CN103218534B - 一种右截尾型寿命数据分布选择方法 - Google Patents

Abstract

一种右截尾型寿命数据分布选择方法，该方法有五大步骤：步骤一：初步选取几种备选寿命分布；步骤二：分别求出备选寿命分布中参数的极大似然估计步骤三：分别求出备选寿命分布对数似然函数的极大值；步骤四：分别求出各个备选寿命分布的AIC‑BIC值；步骤五：根据信息量最小原则进行分布选择，优先考虑AIC值最小的模型或优先考虑BIC值最小的模型，作为右截尾型产品寿命试验数据的寿命分布。本发明为可靠性工程中的数据分布选择工作提供一种实用方法，它为工程中的可靠性评估提供了技术支持。

Description

一种右截尾型寿命数据分布选择方法

技术领域

本发明涉及一种右截尾型寿命数据分布选择方法，它是一种对右截尾型产品寿命试验数据分布选择提供一种基于赤池信息量准则-贝叶斯信息准则（AIC-BIC）分布选择方法，适用于右截尾型数据分布选择技术领域。

背景技术

在最近几十年里很多有关产品设备寿命分布的模型已经被提出，常用寿命分布如：指数分布、威布尔分布、正态分布以及对数正态分布。对完全寿命数据分布选择的理论研究较为完善；而对右截尾型产品寿命试验数据，如何进行分布类型选择，在这方面的理论研究较为薄弱。

对右截尾型产品寿命试验数据进行分布选择的常用方法是，将参数分布下的分布估计曲线与基准分布曲线（如PL估计曲线）所围的面积定义为该参数分布的拟合距离，然后，根据拟合距离最小原则，选择出右截尾试验数据服从的寿命分布。现有的分布选择方法虽然能对右截尾型产品寿命试验数据进行分布类型选择，但是其结果对基准分布的选取有一定的依赖性，即选取不同的基准分布，利用现有的分布选择方法选择出来的寿命分布可能会有偏差；并且现有的分布选择方法，无法对寿命指标不相同的右截尾型产品寿命试验数据之间分布选择优良性进行评价。为此，本发明给出一种对右截尾型产品寿命试验数据基于AIC-BIC分布选择方法。

发明内容

（1）本发明的目的：

本发明针对分布未知的右截尾型产品寿命试验数据进行分布选择对基准分布依赖性问题，给出一种右截尾型寿命数据分布选择方法，它是一种对右截尾型产品寿命试验数据基于AIC-BIC分布选择方法。从常用备选寿命分布（如：指数分布、威布尔分布、正态分布以及对数正态分布）中，按AIC-BIC值最小准则进行分布类型选择，为可靠性工程中的数据分布选择工作提供一种实用方法，为工程中的可靠性评估等可靠性工作提供技术支持。

（2）技术方案：

本发明是针对右截尾型产品寿命试验数据分布选择方法，因此先对右截尾型寿命试验数据做简要说明。右截尾型寿命试验数据一般是指，对n个个体的寿命进行观测（或调查，下同），观察到的数据对(t₁,δ₁)、(t₂,δ₂)、…、(t_n,δ_n)，其中t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i=1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，当t_i是寿终数据（又叫完全寿命数据）时，令δ_i=0，当t_i为截尾数据时，令δ_i=1。可记录为：(t_i,δ_i),i=1,2,…,n。现对上面提到的截尾数据做如下说明：工程上事先规定试验或观测的截止时间L，有的个体在试验或观测的截止时寿命并未终结，这时称该个体的寿命在L被截尾，称L为截尾数据。

下面对右截尾型寿命试验数据服从的寿命分布参数的极大似然估计做简要说明：

若(t_i,δ_i),i=1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，其中t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i=1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，其总体的概率密度函数是f(t;θ)，累积概率函数是F(t;θ)，其中θ=(θ₁,θ₂,…,θ_k)是总体分布函数中未知参数矢量，θ₁,θ₂,…,θ_k是总体分布函数的k个未知参数。右截尾型寿命试验数据的似然函数定义为：

$L\left(\mathrm{\θ}\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}{\left[f(t_i;\mathrm{\θ})\right]}^{1-{\mathrm{\δ}}_i}{[1-F(t_i;\mathrm{\θ})]}^{{\mathrm{\δ}}_i},---\left(1\right)$

若存在一个统计量使得

$L\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right)=\underset{\mathrm{\θ}}{\max }\left\{L\left(\mathrm{\θ}\right)\right\},---\left(2\right)$

则称是θ的极大似然估计（MLE），即，使得似然函数L(θ)及对数似然函数l(θ)=lnL(θ)取得最大值的参数矢量它可以由定义给出，也可以对似然函数L(θ)及对数似然函数l(θ)=lnL(θ)用微分法导出，其中θ=(θ₁,θ₂,…,θ_k)是总体分布函数中未知参数矢量，θ₁,θ₂,…,θ_k是总体分布函数的k个未知参数。

其中，本发明中的对数（下同）指的是自然对数，即以常数e为底的对数，记作lnN(N>0)。

实施方案中用的AIC-BIC信息量也做如下说明：

$\mathrm{AIC}=2k-2\ln L\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right)=2k-2l\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right),$

(3)

$\mathrm{BIC}=k\ln \left(n\right)-2\ln L\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right)=k\ln \left(n\right)-2l\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right),$

其中，k是统计模型中未知参数的个数，n是寿命观测的个数，统计模型的似然函数的极大值，寿命分布对数似然函数的极大值；增加自由参数的数目提高了拟合的优良性，AIC-BIC鼓励数据拟合的优良性但是尽量避免出现过度拟合的情况。所以优先考虑的模型应是AIC-BIC值最小的那一个，赤池信息量准则-贝叶斯信息准则的方法是寻找可以最好地解释数据但包含最少自由参数的模型，即选取AIC-BIC值最小的分布模型。

本发明一种右截尾型寿命数据分布选择方法，该方法具体步骤如下：

步骤一：根据常用寿命分布的性质，初步选取备选寿命分布，即：指数分布、威布尔分布、正态分布和对数正态分布；

产品寿命是指从开始工作（t=0，t表示时间）到首次发生失效的工作时间，它是一个在[0,+∞)上取值的连续随机变量，常用T表示。它的分布又称失效分布或寿命分布，其分布函数F(t)=F(t;θ)=P(T≤t)又称为累积失效分布函数，其中θ=(θ₁,θ₂,…,θ_k)是分布函数中未知参数矢量，θ₁,θ₂,…,θ_k是分布函数的k个未知参数。其概率密度f(t)=F′(t)又称为失效概率密度函数。它的可靠度函数为R(t)=P(T≥t)；

本发明主要讨论的是实际中较常见四种分布类型：指数分布、正态分布、对数正态分布以及威布尔分布，下面简要介绍这四种常见分布的相关性质。

1）指数分布

指数分布概率密度函数为：

$f(t;\mathrm{\&lambda;})=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&lambda;e}}^{-\mathrm{\&lambda;t}},& t\&GreaterEqual;0,\\ 0,& t<0.\end{array}\right.---\left(4\right)$

则其累积分布函数为：

$F(t;\mathrm{\&lambda;})=\left\{\begin{array}{cc}{1-e}^{-\mathrm{\&lambda;t}},& t\&GreaterEqual;0,\\ 0,& t<0.\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中含有1个参数λ>0；

2）威布尔分布

威布尔分布概率密度函数为：

$f(t;\mathrm{\&eta;},m)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{m}{\mathrm{\&eta;}}{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^{m-1}{e}^{-{(t/\mathrm{\&eta;})}^m},& t\&GreaterEqual;0;\\ 0,& t<0.\end{array}\right.---\left(6\right)$

则其累积分布函数为：

$F(t;\mathrm{\&eta;},m)=1-e^{-{(t_i/\mathrm{\&eta;})}^m}---\left(7\right)$

其中含有2个参数，尺度参数η>0，形状参数m>0；

3）正态分布

正态分布概率密度函数为：

$f(t;{\mathrm{\&mu;}}_1,{\mathrm{\&sigma;}}_1)=\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_1\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-{(t-{\mathrm{\&mu;}}_1)}^2/{{2\mathrm{\&sigma;}}_1}^2},-\&infin;<t<+\&infin;.---\left(8\right)$

其中含有2个参数，均值μ₁，标准差σ₁>0；

4）对数正态分布

对数正态分布概率密度函数为：

$f(t;{\mathrm{\&mu;}}_2,{\mathrm{\&sigma;}}_2)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{{\mathrm{t\&sigma;}}_2\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{-(\ln t-{\mathrm{\&mu;}}_s)}^2/{{2\mathrm{\&sigma;}}_2}^2,& t>0;\\ 0,& t\&le;0.\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中含有2个参数，对数均值μ₂，对数标准差σ₂>0；

步骤二：根据右截尾型产品寿命试验数据，分别求出步骤一中备选寿命分布中参数的极大似然估计；

上述备选寿命分布参数极大似然估计值的求法如下：

1）指数分布的似然函数是

$L\left(\mathrm{\&lambda;}\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{\left(\mathrm{\&lambda;exp}\right\{-{\mathrm{\&lambda;t}}_i\left\}\right)}^{1-{\mathrm{\&delta;}}_i}{\left(\exp \right\{-{\mathrm{\&lambda;t}}_i\left\}\right)}^{{\mathrm{\&delta;}}_i}---\left(10\right)$

其中，(t_i,δ_i),i=1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i=1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，找出一个使得（10）式中L(λ)最大化，即使得样本数据出现的概率最大化，则是指数分布参数λ的极大似然估计；

2）威布尔分布的似然函数是

$L(\mathrm{\&eta;},m)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{\left[\frac{m}{\mathrm{\&eta;}}{\left(\frac{t_i}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^{m-1}{e}^{-{(t_i/\mathrm{\&eta;})}^m}\right]}^{1-{\mathrm{\&delta;}}_i}{\left[e^{-{(t_i/\mathrm{\&eta;})}^m}\right]}^{{\mathrm{\&delta;}}_i}---\left(11\right)$

其中，(t_i,δ_i),i=1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i=1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，找出一个使得（11）式中L(η,m)最大化，即使得样本数据出现的概率最大化，则是威布尔分布参数（η,m）的极大似然估计；

3）正态分布的似然函数是

$L({\mathrm{\&mu;}}_1,{\mathrm{\&sigma;}}_1)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{\left[\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_1\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{{-(t_i-{\mathrm{\&mu;}}_1)}^2/2{{\mathrm{\&sigma;}}_1}^2}\right]}^{1-{\mathrm{\&delta;}}_i}{[1-\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{t_i-{\mathrm{\&mu;}}_1}{{\mathrm{\&sigma;}}_1}\right)]}^{{\mathrm{\&delta;}}_i}---\left(12\right)$

其中，(t_i,δ_i),i=1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i=1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，找出一个使得（12）式中L(μ₁,σ₁)最大化，即使得样本数据出现的概率最大化，则是正态分布参数（μ₁,σ₁）的极大似然估计；

4）对数正态分布的似然函数是

$L({\mathrm{\&mu;}}_2,{\mathrm{\&sigma;}}_2)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{\left[\frac{1}{t_i{\mathrm{\&sigma;}}_2\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{{-(t_i-{\mathrm{\&mu;}}_2)}^2/2{{\mathrm{\&sigma;}}_2}^2}\right]}^{1-{\mathrm{\&delta;}}_i}{[1-\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{{\ln t}_i-{\mathrm{\&mu;}}_2}{{\mathrm{\&sigma;}}_2}\right)]}^{{\mathrm{\&delta;}}_i}---\left(13\right)$

其中，(t_i,δ_i),i=1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i=1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，找出一个使得（13）式中L(μ₂,σ₂)最大化，即使得样本数据出现的概率最大化，则是对数正态分布参数（μ₂,σ₂）的极大似然估计；

步骤三：分别把各个备选寿命分布的未知参数θ的极大似然估计代入对应寿命分布的似然函数L(θ)及对数似然函数l(θ)=lnL(θ)中，则分别是各个备选寿命分布似然函数L(θ)的极大值，分别是各个备选寿命分布对数似然函数lnL(θ)的极大值；

上述备选寿命分布极大似然函数值L(θ)的求法如下：

1）指数分布的极大似然函数值及对数似然函数极大值分别是

$L\left(\widehat{\mathrm{\&lambda;}}\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{\left(\widehat{\mathrm{\&lambda;}}\exp \right\{-\widehat{\mathrm{\&lambda;}}{t}_i\left\}\right)}^{1-{\mathrm{\&delta;}}_i}{\left(\exp \right\{-\widehat{\mathrm{\&lambda;}}{t}_i\left\}\right)}^{{\mathrm{\&delta;}}_i}---\left(14\right)$

$l\left(\widehat{\mathrm{\&lambda;}}\right)=\ln L\left(\widehat{\mathrm{\&lambda;}}\right)---\left(15\right)$

其中，(t_i,δ_i),i=1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i=1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，是指数分布参数λ的极大似然估计；指数分布的对数似然函数极大值是即取指数分布的极大似然函数值的对数值；

2）威布尔分布的极大似然函数值及对数似然函数极大值分别是

$L(\widehat{\mathrm{\&eta;}},\hat{m})=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{\left[\frac{\hat{m}}{\widehat{\mathrm{\&eta;}}}{\left(\frac{t_i}{\widehat{\mathrm{\&eta;}}}\right)}^{\hat{m}-1}{e}^{-{(t_i/\widehat{\mathrm{\&eta;}})}^{\hat{m}}}\right]}^{1-{\mathrm{\&delta;}}_i}{\left[e^{-{(t_i/\widehat{\mathrm{\&eta;}})}^{\hat{m}}}\right]}^{{\mathrm{\&delta;}}_i}---\left(16\right)$

$(\widehat{\mathrm{\&eta;}},\hat{m})=\ln L(\widehat{\mathrm{\&eta;}},\hat{m})---\left(17\right)$

其中，(t_i,δ_i),i=1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i=1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，是威布尔分布参数（η,m）的极大似然估计；威布尔分布的对数似然函数极大值是即取威布尔分布的极大似然函数值的对数值；

3）正态分布的极大似然函数值及对数似然函数极大值分别是

$L({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_1,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_1)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{\left[\frac{1}{{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_1\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{{-(t_i-{\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_1)}^2/2{{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_1}^2}\right]}^{1-{\mathrm{\&delta;}}_i}{[1-\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{t_i-{\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_1}{{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_1}\right)]}^{{\mathrm{\&delta;}}_i}---\left(18\right)$

$l({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_1,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_1)=\ln L({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_1,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_1)---\left(19\right)$

其中，(t_i,δ_i),i=1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i=1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，是正态分布参数（μ₁,σ₁）的极大似然估计；正态分布的对数似然函数极大值是即取正态分布的极大似然函数值的对数值；

4）对数正态分布的极大似然函数值及对数似然函数极大值分别是

$L({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{\left[\frac{1}{t_i{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{{-(t_i-{\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2)}^2/2{{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2}^2}\right]}^{1-{\mathrm{\&delta;}}_i}{[1-\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{{\ln t}_i-{\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2}{{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2}\right)]}^{{\mathrm{\&delta;}}_i}---\left(13\right)$

$l({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2)=\ln L({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2)---\left(21\right)$

其中，(t_i,δ_i),i=1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i=1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，是对数正态分布参数（μ₂,σ₂）的极大似然估计；对数正态分布的对数似然函数极大值是即取对数正态分布的极大似然函数值的对数值；

步骤四：根据步骤三中的备选寿命分布的似然函数极大值及对数似然函数极大值分别求出各个备选寿命分布的AIC-BIC值；

上述各个备选寿命分布AIC-BIC值的求法如下：

1）指数分布的AIC-BIC值是

$\mathrm{AIC}={2k}_1-2\ln L\left(\widehat{\mathrm{\&lambda;}}\right)={2k}_1-2l\left(\widehat{\mathrm{\&lambda;}}\right),$

(22)

$\mathrm{BIC}=k_1\ln \left(n\right)-2\ln L\left(\widehat{\mathrm{\&lambda;}}\right)=k_1\ln \left(n\right)-2l\left(\widehat{\mathrm{\&lambda;}}\right),$

其中，k₁=1是指数分布中未知参数个数，是指数分布的对数似然函数极大值，是指数分布的极大似然函数值，是指数分布参数λ的极大似然估计；

2）威布尔分布的AIC-BIC值是

$\mathrm{AIC}={2k}_2-2\ln L(\widehat{\mathrm{\&eta;}},\hat{m})={2k}_2-2l(\widehat{\mathrm{\&eta;}},\hat{m}),$

(23)

$\mathrm{BIC}=k_2\ln \left(n\right)-2\ln L(\widehat{\mathrm{\&eta;}},\hat{m})=k_2\ln \left(n\right)-2l(\widehat{\mathrm{\&eta;}},\hat{m}),$

其中，k₂=2是威布尔分布中未知参数个数，是威布尔分布的对数似然函数极大值，是威布尔分布的极大似然函数值，是威布尔分布参数（η,m）的极大似然估计；

3）正态分布的AIC-BIC值是

$\mathrm{AIC}={2k}_3-2\ln L({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_1,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_1)={2k}_3-2l({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_1,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_1)$

(24)

$\mathrm{BIC}=k_3\ln \left(n\right)-2\ln L({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_1,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_1)=k_3\ln \left(n\right)-2l({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_1,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_1),$

其中，k₃=2是正态尔分布中未知参数个数，是正态尔分布的对数似然函数极大值，是正态尔分布的极大似然函数值，是正态分布参数(μ₁,σ₁)的极大似然估计；

4）对数正态分布的AIC-BIC值是

$\mathrm{AIC}={2k}_4-2\ln L({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2)={2k}_4-2l({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2),$

(25)

$\mathrm{BIC}=k_4\ln \left(n\right)-2\ln L({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2)=k_4\ln \left(n\right)-2l({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2),$

其中，k₄=2是对数正态尔分布中未知参数个数，是对数正态尔分布的对数似然函数极大值，是对数正态尔分布的极大似然函数值，是对数正态分布参数(μ₂,σ₂)的极大似然估计；

步骤五：根据赤池信息量-贝叶斯信息量最小原则进行分布选择。在备选寿命分布中，选择AIC值最小并且BIC值最小的备选寿命分布模型，作为右截尾型产品寿命试验数据的寿命分布。

（3）优点与功效

本发明一种右截尾型寿命数据分布选择方法，它是针对右截尾数据在数据处理时分布未知的问题，从备选寿命分布中进行分布选择的一种实用的AIC-BIC信息量方法。有如下三个优点：

i.本发明无需选取基准分布，所以分布选择的结果不会依赖于基准分布的选取。

ii.本发明采用AIC-BIC信息量最小准则，由于信息量是没有量纲的，因此可以对寿命指标不相同的右截尾型产品寿命试验数据之间分布选择优良性进行评价。

iii.在计算过程中保证分布拟合优良性的前提下，避免了求函数积分问题，简化了计算过程。

附图说明

图1右截尾型产品寿命试验数据分布

图中横坐标t表示时间，纵坐标f(t)表示密度函数值；

图2本发明方案实施流程图

具体实施方式

以《可靠性数据分析》中某产品的贮存使用记录（表1）为例，对本发明做进一步详细说明。这里标记“+”的数据表示右截尾数据，比如“4+”指产品的寿命超过4年。

表1某产品贮存使用使用记录

11

11

11+

7+

7

4

4+

12+

3

13

13+

13

13

16

15

15+

15

16

13

4

使用本发明给出的右截尾型寿命数据分布选择方法，如图2所示，其具体实施步骤如下：

步骤一：分析工程应用中常用的的寿命分布，从常用寿命分布中初步确定备选寿命分布；

该实例主要讨论的是实际中较常见四种分布类型：指数分布、正态分布、对数正态分布以及威布尔分布，下面简要介绍这四种常见分布的相关性质。

1）指数分布

指数分布概率密度函数为：

$f(t;\mathrm{\&lambda;})=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&lambda;e}}^{-\mathrm{\&lambda;t}},& t\&GreaterEqual;0,\\ 0,& t<0.\end{array}\right.$

则其累积分布函数为：

$F(t;\mathrm{\&lambda;})=\left\{\begin{array}{cc}{1-e}^{-\mathrm{\&lambda;t}},& t\&GreaterEqual;0,\\ 0,& t<0.\end{array}\right.$

其中含有1个参数λ>0；

2）威布尔分布

威布尔分布概率密度函数为：

$f(t;\mathrm{\&eta;},m)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{m}{\mathrm{\&eta;}}{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^{m-1}{e}^{{-(t/\mathrm{\&eta;})}^m},& t\&GreaterEqual;0;\\ 0,& t<0.\end{array}\right.$

则其累积分布函数为：

$F(t;\mathrm{\&eta;},m)=1-e^{{-(t_i/\mathrm{\&eta;})}^m}$

其中含有2个参数，尺度参数η>0，形状参数m>0；

3）正态分布

正态分布概率密度函数为：

$f(t;{\mathrm{\&mu;}}_1,{\mathrm{\&sigma;}}_1)=\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_1\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-{(t-{\mathrm{\&mu;}}_1)}^2/{{2\mathrm{\&sigma;}}_1}^2},-\&infin;<t<+\&infin;.$

其中含有2个参数，均值μ₁，标准差σ₁>0；

4）对数正态分布

对数正态分布概率密度函数为：

$f(t;{\mathrm{\&mu;}}_2,{\mathrm{\&sigma;}}_2)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{{\mathrm{t\&sigma;}}_2\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-{(\mathrm{int}-{\mathrm{\&mu;}}_2)}^2{/{2\mathrm{\&sigma;}}_2}^2,}& t>0;\\ 0,& t\&le;0.\end{array}\right.$

其中含有2个参数，对数均值μ₂，对数标准差σ₂>0；

步骤二：根据观测数据，求出四种常用分布中参数的极大似然估计，见表2第三行“参数估计”；

表2各分布的参数估计以及相关值

上述备选寿命分布参数极大似然估计值的求法如下：

1）指数分布的似然函数是

$L\left(\mathrm{\&lambda;}\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{\left(\mathrm{\&lambda;exp}\right\{-{\mathrm{\&lambda;t}}_i\left\}\right)}^{1-{\mathrm{\&delta;}}_i}{\left(\exp \right\{-{\mathrm{\&lambda;t}}_i)}^{{\mathrm{\&delta;}}_i}$

其中，(t_i,δ_i),i=1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i=1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，可用Matlab软件求得上式的极大值点则极大值点即为指数分布参数λ的极大似然估计；

2）威布尔分布的似然函数是

$L(\mathrm{\&eta;},m)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{\left[\frac{m}{\mathrm{\&eta;}}{\left(\frac{t_i}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^{m-1}{e}^{{-(t_i/\mathrm{\&eta;})}^m}\right]}^{1-{\mathrm{\&delta;}}_i}{\left[e^{{-(t_i/\mathrm{\&eta;})}^m}\right]}^{{\mathrm{\&delta;}}_i}$

其中，(t_i,δ_i),i=1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i=1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，可用Matlab软件求得上式的极大值点 即为威布尔分布参数的极大似然估计值；

3）正态分布的似然函数是

$L({\mathrm{\&mu;}}_1,{\mathrm{\&sigma;}}_1)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{\left[\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_1\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-{(t_i-{\mathrm{\&mu;}}_1)}^2/{{2\mathrm{\&sigma;}}_1}^2}\right]}^{1-{\mathrm{\&delta;}}_i}{[1-\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{t_i-{\mathrm{\&mu;}}_1}{{\mathrm{\&sigma;}}_1}\right)]}^{{\mathrm{\&delta;}}_i}$

其中，(t_i,δ_i),i=1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i=1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，可用Matlab软件求得上式的极大值点 即为正态分布参数的极大似然估计值；

4）对数正态分布的似然函数是

$L({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{\left[\frac{1}{t_i{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{{-(t_i-{\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2)}^2/2{{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2}^2}\right]}^{1-{\mathrm{\&delta;}}_i}{[1-\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{{\ln t}_i-{\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2}{{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2}\right)]}^{{\mathrm{\&delta;}}_i}$

其中，(t_i,δ_i),i=1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i=1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，可用Matlab软件求得上式的极大值点 即为对数正态分布参数的极大似然估计值；

步骤三：分别把MLE代入对应的似然函数公式（1）中，分别求得备选寿命分布似然函数极大值分别取备选寿命分布似然函数极大值的对数，得到相应的对数似然函数值见表2第四行“对数似然函数值”；

其中，备选寿命分布似然函数极大值的求法如下：

1）指数分布的对数似然函数极大值

把步骤二中指数分布的参数极大似然估计值代入指数分布的似然函数（14式）中，得到指数分布似然函数极大值并取指数分布似然函数极大值的对数值，得到指数分布对数似然函数极大值

2）威布尔分布的对数似然函数极大值

把步骤二中威布尔分布的参数极大似然估计值 代入威布尔分布的似然函数（16式）中，得到威布尔分布似然函数极大值并取威布尔分布似然函数极大值的对数值，得到威布尔分布对数似然函数极大值

3）正态分布的对数似然函数极大值

把步骤二中正态分布的参数极大似然估计值 代入正态分布的似然函数（18式）中，得到正态分布似然函数极大值并取正态分布似然函数极大值的对数值，得到正态分布对数似然函数极大值

4）对数正态分布的对数似然函数极大值

把步骤二中对数正态分布的参数极大似然估计值 代入对数正态分布的似然函数（20式）中，得到对数正态分布似然函数极大值并取对数正态分布似然函数极大值的对数值，得到对数正态分布对数似然函数极大值 $l({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2)=\ln L({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2)=-47.7118;$

步骤四：分别把步骤三中的各分布函数的对数似然函数值代入公式（3），求出备选寿命分布的AIC-BIC信息量，见表2；

其中，备选寿命分布AIC-BIC值的求法如下：

1）指数分布的AIC-BIC值

指数分布函数有一个未知参数，即k₁=1，步骤三中求得指数分布对数似然函数极大值代入公式（22）中，求得指数分布的AIC-BIC值分别为AIC=106.6142、BIC=107.6099；

2）威布尔分布的AIC-BIC值

威布尔分布函数有两个未知参数，即k₂=2，步骤三中求得威布尔分布对数似然函数极大值代入公式（23）中，求得威布尔分布的AIC-BIC值分别为AIC=93.7076、BIC=95.6990；

3）正态分布的AIC-BIC值

正态分布函数有两个未知参数，即k₃=2，步骤三中求得正态分布对数似然函数极大值代入公式（24）中，求得正态分布的AIC-BIC值分别为AIC=93.4244、BIC=95.4159；

4）对数正态分布的AIC-BIC值

对数正态分布函数有两个未知参数，即k₄=2，步骤三中求得对数正态分布对数似然函数极大值代入公式（25）中，求得对数正态分布的AIC-BIC值分别为AIC=99.4236、BIC=101.4150；

步骤五：根据信息量最小原则进行分布选择；

根据表2结果，比较AIC-BIC信息量值，发现正态分布的AIC=93.4244、BIC=95.4159都是最小的，根据AIC-BIC信息量值最小原则，选择正态分布作为本例中右截尾数据的拟合分布。拟合分布的密度函数曲线如图1所示，直观来看正态分布拟合更好一点，这进一步验证了该专利申请的进行分布选择的有效性。本发明是针对右截尾数据在数据处理时分布未知的问题，从备选寿命分布中进行分布选择的一种实用的AIC-BIC信息量方法。

Claims (1)

1.一种右截尾型寿命数据分布选择方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

若(t_i,δ_i),i＝1,2,…,n是右截尾型产品寿命试验数据，其中t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i＝1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，总体的概率密度函数是f(t；θ)，累积分布函数是F(t；θ)，其中θ＝(θ₁,θ₂,…,θ_k)是总体分布函数中未知参数矢量，θ₁,θ₂,…,θ_k是总体分布函数的k个未知参数；右截尾型寿命试验数据的似然函数定义为：

$L\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\&Pi;}}{\&lsqb;f(t_i;\mathrm{\&theta;})\&rsqb;}^{1-{\mathrm{\&delta;}}_i}{\&lsqb;1-F(t_i;\mathrm{\&theta;})\&rsqb;}^{{\mathrm{\&delta;}}_i},---\left(1\right)$

若存在一个统计量使得

$L\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right)=\underset{\mathrm{\&theta;}}{max}\left\{L\left(\mathrm{\&theta;}\right)\right\},---\left(2\right)$

则称是θ的极大似然估计MLE，即，使得似然函数L(θ)及对数似然函数l(θ)＝ln L(θ)取得最大值的参数矢量或者对似然函数L(θ)及对数似然函数l(θ)＝ln L(θ)用微分法导出，其中θ＝(θ₁,θ₂,…,θ_k)是总体分布函数中未知参数矢量，θ₁,θ₂,…,θ_k是总体分布函数的k个未知参数；

其中，对数指的是自然对数，即以常数e为底的对数，记作lnN,N＞0；

将AIC-BIC信息量也做如下说明：

$\begin{array}{c}AIC=2k-2\ln L\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right)=2k-2l\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right),\\ BIC=k\ln \left(n\right)-2\ln L\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right)=k\ln \left(n\right)-2l\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right),\end{array}---\left(3\right)$

其中，k是统计模型中未知参数的个数，n是寿命观测的个数，统计模型的似然函数的极大值，寿命分布对数似然函数的极大值；增加自由参数的数目提高了拟合的优良性，AIC-BIC鼓励数据拟合的优良性但是尽量避免出现过度拟合的情况；所以模型应是AIC-BIC值最小的那一个，赤池信息量准则-贝叶斯信息准则的方法是寻找最好地解释数据但包含最少自由参数的模型，即选取AIC-BIC值最小的分布模型；

步骤一：根据常用寿命分布的性质，选取备选寿命分布，即：指数分布、威布尔分布、正态分布和对数正态分布；

产品寿命是指从开始工作到首次发生失效的工作时间，它是一个在[0,+∞)上取值的连续随机变量，用T表示；它的分布又称失效分布或寿命分布，其分布函数F(t)＝F(t；θ)＝P(T≤t)称为累积失效分布函数，其中θ＝(θ₁,θ₂,…,θ_k)是分布函数中未知参数矢量，θ₁,θ₂,…,θ_k是分布函数的k个未知参数；其概率密度f(t)＝F′(t)又称为失效概率密度函数；它的可靠度函数为R(t)＝P(T≥t)；t表示开始工作时间，t＝0；

1)指数分布

指数分布概率密度函数为：

$f(t;\mathrm{\&lambda;})=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&lambda;e}}^{-\mathrm{\&lambda;}t},& t\&GreaterEqual;0,\\ 0,& t<0.\end{array}\right.---\left(4\right)$

则其累积分布函数为：

$F(t;\mathrm{\&lambda;})=\left\{\begin{array}{cc}1-e^{-\mathrm{\&lambda;}t},& t\&GreaterEqual;0,\\ 0,& t<0.\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中含有1个参数λ＞0；

2)威布尔分布

威布尔分布概率密度函数为：

$f(t;\mathrm{\&eta;},m)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{m}{\mathrm{\&eta;}}{\left(\frac{t}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^{m-1}{e}^{-{(t/\mathrm{\&eta;})}^m},& t\&GreaterEqual;0;\\ 0,& t<0.\end{array}\right.---\left(6\right)$

则其累积分布函数为：

$F(t;\mathrm{\&eta;},m)=1-e^{-{(t_i/\mathrm{\&eta;})}^m}---\left(7\right)$

其中含有2个参数，尺度参数η＞0，形状参数m＞0；

3)正态分布

正态分布概率密度函数为：

$f(t;{\mathrm{\&mu;}}_1,{\mathrm{\&sigma;}}_1)=\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_1\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-{(t-{\mathrm{\&mu;}}_1)}^2/2{{\mathrm{\&sigma;}}_1}^2},-\mathrm{\&infin;}<t<+\mathrm{\&infin;}.---\left(8\right)$

其中含有2个参数，均值μ₁，标准差σ₁＞0；

4)对数正态分布

对数正态分布概率密度函数为：

$f(t;{\mathrm{\&mu;}}_2,{\mathrm{\&sigma;}}_2)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{{\mathrm{t\&sigma;}}_2\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-{(\ln t-{\mathrm{\&mu;}}_2)}^2/2{{\mathrm{\&sigma;}}_2}^2},& t>0;\\ 0,& t\&le;0.\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中含有2个参数，对数均值μ₂，对数标准差σ₂＞0；

步骤二：根据右截尾型产品寿命试验数据，分别求出步骤一中备选寿命分布中参数的极大似然估计

上述备选寿命分布参数极大似然估计值的求法如下：

1)指数分布的似然函数是

$L\left(\mathrm{\&lambda;}\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\&Pi;}}{\left(\mathrm{\&lambda;}\exp \right\{-{\mathrm{\&lambda;t}}_i\left\}\right)}^{1-{\mathrm{\&delta;}}_i}{\left(\exp \right\{-{\mathrm{\&lambda;t}}_i\left\}\right)}^{{\mathrm{\&delta;}}_i}---\left(10\right)$

其中，(t_i,δ_i),i＝1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i＝1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，找出一个使得(10)式中L(λ)最大化，即使得样本数据出现的概率最大化，则是指数分布参数λ的极大似然估计；

2)威布尔分布的似然函数是

$L(\mathrm{\&eta;},m)=\underset{i=1}{\overset{n}{\&Pi;}}{\&lsqb;\frac{m}{\mathrm{\&eta;}}{\left(\frac{t_i}{\mathrm{\&eta;}}\right)}^{m-1}{e}^{-{(t_i/\mathrm{\&eta;})}^m}\&rsqb;}^{1-{\mathrm{\&delta;}}_i}{\&lsqb;e^{-{(t_i/\mathrm{\&eta;})}^m}\&rsqb;}^{{\mathrm{\&delta;}}_i}---\left(11\right)$

其中，(t_i,δ_i),i＝1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i＝1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，找出一个使得(11)式中L(η,m)最大化，即使得样本数据出现的概率最大化，则是威布尔分布参数(η,m)的极大似然估计；

3)正态分布的似然函数是

$L\left({\mathrm{\&mu;}}_1,{\mathrm{\&sigma;}}_1\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{\&lsqb;\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_1\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-{\left(t_i-{\mathrm{\&mu;}}_1\right)}^2/2{{\mathrm{\&sigma;}}_1}^2}\&rsqb;}^{1-{\mathrm{\&delta;}}_i}{\&lsqb;1-\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{t_i-{\mathrm{\&mu;}}_1}{{\mathrm{\&sigma;}}_1}\right)\&rsqb;}^{{\mathrm{\&delta;}}_i}---\left(12\right)$

其中，(t_i,δ_i),i＝1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i＝1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，找出一个使得(12)式中L(μ₁,σ₁)最大化，即使得样本数据出现的概率最大化，则是正态分布参数(μ₁,σ₁)的极大似然估计；

4)对数正态分布的似然函数是

$L\left({\mathrm{\&mu;}}_2,{\mathrm{\&sigma;}}_2\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{\&lsqb;\frac{1}{t_i{\mathrm{\&sigma;}}_2\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-{\left(t_i-{\mathrm{\&mu;}}_2\right)}^2/2{{\mathrm{\&sigma;}}_2}^2}\&rsqb;}^{1-{\mathrm{\&delta;}}_i}{\&lsqb;1-\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{\ln t_i-{\mathrm{\&mu;}}_2}{{\mathrm{\&sigma;}}^2}\right)\&rsqb;}^{{\mathrm{\&delta;}}_i}---\left(13\right)$

其中，(t_i,δ_i),i＝1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i＝1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，找出一个使得(13)式中L(μ₂,σ₂)最大化，即使得样本数据出现的概率最大化，则是对数正态分布参数(μ₂,σ₂)的极大似然估计；

步骤三：分别把各个备选寿命分布的未知参数θ的极大似然估计代入对应寿命分布的似然函数L(θ)及对数似然函数l(θ)＝ln L(θ)中，则分别是各个备选寿命分布似然函数L(θ)的极大值，分别是各个备选寿命分布对数似然函数ln L(θ)的极大值；

上述备选寿命分布极大似然函数值L(θ)的求法如下：

1)指数分布的极大似然函数值及对数似然函数极大值分别是

$L\left(\widehat{\mathrm{\&lambda;}}\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{\left(\widehat{\mathrm{\&lambda;}}\exp \left\{-\widehat{\mathrm{\&lambda;}}{t}_i\right\}\right)}^{1-{\mathrm{\&delta;}}_i}{\left(\exp \left\{-\widehat{\mathrm{\&lambda;}}{t}_i\right\}\right)}^{{\mathrm{\&delta;}}_i}---\left(14\right)$

$l\left(\widehat{\mathrm{\&lambda;}}\right)=\ln L\left(\widehat{\mathrm{\&lambda;}}\right)---\left(15\right)$

其中，(t_i,δ_i),i＝1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i＝1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，是指数分布参数λ的极大似然估计；指数分布的对数似然函数极大值是即取指数分布的极大似然函数值的对数值；

2)威布尔分布的极大似然函数值及对数似然函数极大值分别是

$L(\widehat{\mathrm{\&eta;}},\hat{m})=\underset{i=1}{\overset{n}{\&Pi;}}{\&lsqb;\frac{\hat{m}}{\widehat{\mathrm{\&eta;}}}{\left(\frac{t_i}{\widehat{\mathrm{\&eta;}}}\right)}^{\hat{m}-1}{e}^{-{(t_i/\widehat{\mathrm{\&eta;}})}^{\hat{m}}}\&rsqb;}^{1-{\mathrm{\&delta;}}_i}{\&lsqb;e^{-{(t_i/\widehat{\mathrm{\&eta;}})}^{\hat{m}}}\&rsqb;}^{{\mathrm{\&delta;}}_i}---\left(16\right)$

$l(\widehat{\mathrm{\&eta;}},\hat{m})=\ln L(\widehat{\mathrm{\&eta;}},\hat{m})---\left(17\right)$

其中，(t_i,δ_i),i＝1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i＝1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，是威布尔分布参数(η,m)的极大似然估计；威布尔分布的对数似然函数极大值是即取威布尔分布的极大似然函数值的对数值；

3)正态分布的极大似然函数值及对数似然函数极大值分别是

$L\left({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_1,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_1\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Pi;}}}{\&lsqb;\frac{1}{{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_1\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-{\left(t_i-{\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_1\right)}^2/2{{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_1}^2}\&rsqb;}^{1-{\mathrm{\&delta;}}_i}{\&lsqb;1-\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{t_i-{\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_1}{{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_1}\right)\&rsqb;}^{{\mathrm{\&delta;}}_i}---\left(18\right)$

$l({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_1,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_1)=\ln L({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_1,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_1)---\left(19\right)$

其中，(t_i,δ_i),i＝1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i＝1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，是正态分布参数(μ₁,σ₁)的极大似然估计；正态分布的对数似然函数极大值是即取正态分布的极大似然函数值的对数值；

4)对数正态分布的极大似然函数值及对数似然函数极大值分别是

$L({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2)=\underset{i=1}{\overset{n}{\&Pi;}}{\&lsqb;\frac{1}{t_i{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-{(t_i-{\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2)}^2/2{{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2}^2}\&rsqb;}^{1-{\mathrm{\&delta;}}_i}{\&lsqb;1-\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{\ln t_i-{\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2}{{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2}\right)\&rsqb;}^{{\mathrm{\&delta;}}_i}---\left(20\right)$

$l({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2)=\ln L({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2)---\left(21\right)$

其中，(t_i,δ_i),i＝1,2,…,n是上述介绍的右截尾型产品寿命试验数据，t₁,t₂,…,t_n是寿命数据，δ_i,i＝1,2,…,n是作截尾标志的布尔变量，是对数正态分布参数(μ₂,σ₂)的极大似然估计；对数正态分布的对数似然函数极大值是即取对数正态分布的极大似然函数值的对数值；

步骤四：根据步骤三中的备选寿命分布的似然函数极大值及对数似然函数极大值分别求出各个备选寿命分布的AIC-BIC值；

上述各个备选寿命分布AIC-BIC值的求法如下：

1)指数分布的AIC-BIC值是

$\begin{array}{c}AIC=2k_1-2lnL\left(\widehat{\mathrm{\&lambda;}}\right)=2k_1-2l\left(\widehat{\mathrm{\&lambda;}}\right),\\ BIC=k_{1}ln\left(n\right)-2\ln L\left(\widehat{\mathrm{\&lambda;}}\right)=k_{1}ln\left(n\right)-2l\left(\widehat{\mathrm{\&lambda;}}\right),\end{array}---\left(22\right)$

其中，k₁＝1是指数分布中未知参数个数，是指数分布的对数似然函数极大值，是指数分布的极大似然函数值，是指数分布参数λ的极大似然估计；

2)威布尔分布的AIC-BIC值是

$\begin{array}{c}AIC=2k_2-2\ln L(\widehat{\mathrm{\&eta;}},\hat{m})=2k_2-2l(\widehat{\mathrm{\&eta;}},\hat{m}),\\ BIC=k_{2}ln\left(n\right)-2\ln L(\widehat{\mathrm{\&eta;}},\hat{m})=k_{2}ln\left(n\right)-2l(\widehat{\mathrm{\&eta;}},\hat{m}),\end{array}---\left(23\right)$

其中，k₂＝2是威布尔分布中未知参数个数，是威布尔分布的对数似然函数极大值，是威布尔分布的极大似然函数值，是威布尔分布参数(η,m)的极大似然估计；

3)正态分布的AIC-BIC值是

$\begin{array}{c}AIC=2k_3-2\ln L\left({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_1,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_1\right)=2k_3-2l({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_1,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_1),\\ BIC=k_{3}ln\left(n\right)-2\ln L({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_1,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_1)=k_3\ln \left(n\right)-2l({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_1,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_1),\end{array}---\left(24\right)$

其中，k₃＝2是正态分布中未知参数个数，是正态分布的对数似然函数极大值，是正态分布的极大似然函数值，是正态分布参数(μ₁,σ₁)的极大似然估计；

4)对数正态分布的AIC-BIC值是

$\begin{array}{c}AIC=2k_4-2\ln L\left({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2\right)=2k_4-2l\left({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2\right),\\ BIC=k_4\ln \left(n\right)-2\ln L\left({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2\right)=k_4\ln \left(n\right)-2l\left({\widehat{\mathrm{\&mu;}}}_2,{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_2\right),\end{array}---\left(25\right)$

其中，k₄＝2是对数正态分布中未知参数个数，是对数正态分布的对数似然函数极大值，是对数正态分布的极大似然函数值，是对数正态分布参数(μ₂,σ₂)的极大似然估计；

步骤五：根据赤池信息量-贝叶斯信息量最小原则进行分布选择，在备选寿命分布中，选择AIC值最小并且BIC值最小的备选寿命分布模型，作为右截尾型产品寿命试验数据的寿命分布。