CN102985935A - 手性拓扑超导体中的π / 8栅极的平面实现的方法 - Google Patents

Abstract

此处公开了在拓扑上受保护的π/8栅极，该栅极当与通过准粒子编织以及平面准粒子干涉测量法获得的栅极相结合时变为通用的。公开了扭曲干涉仪，以及借助于该扭曲干涉仪实现的CTS中的平面π/8栅极。在ISH所支持的状态X（CTS）的上下文中描述了各实施例，但是扭曲干涉仪的概念更一般并且与所有阴离子（即，准粒子）系统具有相关性。

Description

手性拓扑超导体中的π / 8栅极的平面实现的方法

技术领域

此处所公开的并且要求保护的主题一般涉及量子计算领域。具体而言，此处所公开并且要求保护的主题涉及手性拓扑超导体中的π/8栅极的平面实现的方法。 

背景 

术语“手性拓扑超导体(CTS)”可用于描述基于通过邻近效应导入了超导性的自旋轨道耦合半导体的任何2D系统，以及具有下面所列出的拓扑属性的任何其他Ising式的系统。示例包括Sau等人(电子预印本(arxiv):0907,2239)、Alicea(电子预印本:0912.2115)，以及Qi等人(电子预印本：1003.5448)，这些申请以引用的方式并入本文中。这样的系统是拓扑超导体，并支持局部化的Majorana状态。这些CTS不是纯粹地拓扑的，另外还支持传统的有序参数如果CTS不是平面的，而被配置为亏格>0的表面，则拉格朗日算子中的有效刚度项

将防止某些拓扑状态的重叠。出于这个原因，需要设计用于在严格平面的上下文中执行在计算上通用的栅极集的协议。 

以前，术语“Ising夹层异质结构”(ISH)用于表示此概念。但是，由于希望可以在没有有效的有序参数

的情况下构建ISH，因此，术语“CTS”在此用于强调有序参数的存在。 

发明内容

此处公开了在拓扑上受保护的

该栅极当与可通过准粒子编织和先前描述的平面准粒子干涉测量得到的各栅极相结合时变为通用的： 

$P=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& i\end{array}\right|,$ $H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right|,$ 并且

构成CTS准粒子激发的基础的Ising拓扑结构的主要特点包括： 

·激发I,σ，ψ(平凡(trivial)，扭曲，费米粒子)， 

·非平凡的融合 $\mathrm{\σ}\⊗\mathrm{\σ}=1+\mathrm{\ψ}$ $\mathrm{\ψ}\⊗\mathrm{\ψ}=1,$

·S-矩阵： $\left|\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& 0& -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right|,$

·扭曲矩阵： $\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& e^{\frac{2\mathrm{\πi}}{16}}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|,$ 以及 

● $\mathrm{spin}\left(\mathrm{\σ}\right)=e^{\frac{2\mathrm{\πi}}{16}}$

为解释所公开的方法，该量子力学测量概念可能(（2+)）维的TQFT中的拓扑变化有关。首先，可以以彭罗斯表示法[P]示出具有3阶张量的张量缩并，如图1A和1B所示。 

利用可能的结果矢量v¹,...,vⁿ的测量算子O可以被写作： 

其中

是对应于结果v^l的检测器状态。不仅可以将测量应用于矢量w，而且还可将其应用于张量T(对应于将量子信息分离为不相交的系统)，在此情况下 

$w|\&RightArrow;\mathrm{wO}=\underset{l=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}<w|v^l><v^l|\&CircleTimes;|{\stackrel{\&OverBar;}{v}}^l>$

变为 

$T|\&RightArrow;\mathrm{TcontractO}==\underset{l=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left(\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{T}_{\mathrm{ijk}}{v}_k^l\right)\&CircleTimes;|{\stackrel{\&OverBar;}{v}}^l>.$

一旦观察到测量的结果，系统就处于张量积状态。如此，测量v(即，观察某个v^l)可以被写成图2中所描绘的最右边的替换项。观察到的测量的最后效果是具有观察到的状态的张量缩并。 

如图3所示的(2+1)维的TQFT的情况只是稍微复杂一些。3维流形的M起到张量T的作用，但是其价态未被指定，直到M的边界被分割为“片段”。这些片段可以是封闭的或具有边界(不一定连接)，并充当该张量的索引集。TQFT公理强烈地限制随着M的边界分解被改变会产生哪些张量。作为示例，设M为固体环S¹×D²，且理论为Ising。以以下三种方式将

分解为A∪B会沿着各A∩B环产生以1,σ，ψ为基底的三个不同的矩阵(2阶张量)。 

现在说明这些计算。情况(2)是公理化的：乘积对应于单位态射(identitymorphism)。恒等算子“粘合(glue up)”而变为以经圈(longitudinal)为基底的矢量v_l∈V_l(T²),

现在通过S将其转换为以子午圈(meridial)为基底，从而获得v_m＝S(v_l)=(1,0,0)∈V_m，然后将其转换为应将各元素除以S_l,i=d_i/D的算子以获得情况(1)。最后，为了计算情况(3)，请注意，如果A=S^-1T²S是将(1)发送到(3)的模变换，则以扭曲(twisted)圈(t)为基底的ν变为 

$v_t=\left|\begin{array}{ccc}\frac{1+\mathrm{\&omega;}}{2}& 0& \frac{1-\mathrm{\&omega;}}{2}\\ 0& 1& 0\\ \frac{1-\mathrm{\&omega;}}{2}& 0& \frac{1+\mathrm{\&omega;}}{2}\end{array}\right|\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1+\mathrm{\&omega;}}{2}\\ 0\\ \frac{1-\mathrm{\&omega;}}{2}\end{array}\right),\mathrm{\&omega;}=e^{-2\mathrm{\&pi;i}/8},$

这将转换为情况(3)。 

我们还记录与(3′)相关联的矢量和算子，与情况(3)相同的边界数据，但是，包含ψ电荷的威尔逊环的固体环沿着其中心运行。在情况(3′)中， 

$v_t=\left|\begin{array}{ccc}\frac{1+\mathrm{\&omega;}}{2}& 0& \frac{1-\mathrm{\&omega;}}{2}\\ 0& 1& 0\\ \frac{1-\mathrm{\&omega;}}{2}& 0& \frac{1+\mathrm{\&omega;}}{2}\end{array}\right|\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1+\mathrm{\&omega;}}{2}\\ 0\\ \frac{1-\mathrm{\&omega;}}{2}\end{array}\right),$

并且对应的算子是 

$\left|\begin{array}{ccc}1-e^{2\mathrm{\&pi;i}/8}& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1+e^{2\mathrm{\&pi;i}/8}\end{array}\right|.$

已知，使用σ试探粒子的Ising系统内的干涉仪的操作沿着干涉测量环γ将干涉测量环的拓扑电荷状态投射到电荷扇区1,σ，或ψ，直到误差占试探的数量为呈指数级别的小。 

类似于部分迹线

的TQFT将沿着测量到的环γ粘合双手柄(2-handle)的时空拓扑流体。如图4所示，在该双手柄的中心处的α电荷线正好是测量结果α=1,σ，ψ(因此，如果测量到平凡粒子，则该双手柄没有威尔逊线)。直到没有物理意义的总体标量(=S_1α)，如果γ是环形边界分量T上的环，我们不仅可以粘合双手柄，而且还可以粘合3手柄

(包含匹配的电荷线)，以便沿着γ测量α等效于用粘合到γ的固体环

来对T进行Dehn填充，S¹×*是电荷α的威尔逊环。与彭罗斯TQFT的类比： 

现在可以完成。如图5所示，沿着γ用位于其中心处的电荷α 的威尔逊环来对固体环进行测量Dehn填充——并且，在不相交系统中，我们具有记录了α是测量结果这一事实的状态

附图简述 

图1A和1B示出了Penrose表示法中的张量缩并。 

图2描绘了使用张量缩并的测量。 

图3描绘了(2+1)维的TQFT。 

图4描绘了沿着测量到的环粘合双手柄的时空拓扑流体。 

图5描绘了对固体环进行测量Dehn填充。 

图6A提供了CTS-ISH上下文中的Beenakker样式的干涉仪的简图。 

图6B描绘了扭曲干涉仪。 

图7A和7B示出了对以扭曲环为基底的算子的计算。 

图8概述了使用扭曲干涉测量法来产生在拓扑上受保护的π/8的栅极的协议。 

图9A和9B示出了可如何获得π/8的栅极。 

图10A和10B示出了与对应于处于不同状态的原始量子位的各电荷线有关的威尔逊环。 

图11示出了其中可以实现各示例实施例和各方面的示例计算环境。 

具体实施方式

CTS是导致“具有单张Dirac式的费密面的通用(无特殊对称性)2D拓扑超导薄膜”的任何半导体/超导系统。我们的术语有时如我们的共同待审的美国专利申请号12/979,778和12/979,856中那样标识具有封装(house)它的ISH的状态(称为X)，这些申请以引用的方式并入本文中。如此处所公开的，可以以千兆赫时标为单位来急剧地调节(基本上“打开”和“关闭”)三个隧穿幅值t₁、t₂以及t₃。这可以利用下列各项来完成：1)高速电子和/或磁性顶浇浇口，以光学方法使用激光脉冲来干扰隧穿结附近的X的基态，从而有效地降 低了此区域内的体相带隙(bulk gap)Δ，并增大了用于隧穿的幅值(注意， 

其中，M是有效质量，Δ且L是该概述的隧穿结的长度)，或3)任何其他电子、光学、或磁性干涉。 

作为参考和对比，图6A提供了CTS-ISH上下文中的Beenakker(电子预印本:0903.2196)样式的干涉仪的简图。虚线是分别具有幅值t₁和t₂的隧穿结。单箭头表示沿着边缘的Majorana模式，而双箭头表示Dirac模式。图6B描绘了扭曲干涉仪。干涉测量法环被标记为l。 

请注意，如此处所使用的，“真空”不存在X状态流体或者是没有非阿贝尔属性的经转换的流体。“真空”是通过电子和/或磁性顶部浇注(topgating)创建的。在图6B中，沿着岛(经过隧穿结1和3)从a到b的距离l₁应该大致是绕道该岛而经过隧穿结2从a到b的距离L₂的1/5。允许隧穿在t₁,t₂,t₃处持续为≈t₀/10的时间间隔，其中t₀是波包以群速度围绕岛传播一个来回的时间。 

可以在源极S和漏极D和D′之间维护偏压。当隧穿结1、2以及3打开时，所有电流都流入D′。在时间t＝0，使t₁是大致为≈t₀/10(大约10^-10-10^-9秒)的很短的时间，允许具有相对于L₁而言小的载体(support)的σ粒子的波包以幅值t₁移位到岛，同时该波包继续以幅值

沿着左边缘移位。知道边缘模式的几何形状和速度的情况下，当后一种情况的波包到达第二隧穿结时，t₂正好暂时地从零增大——再次为≈t₀/10的时间，使得以幅值t₂传输该包。最后，当第二波包分支到达第三隧穿结时，第一波包分支在围绕岛2.5来回之后正好也到达第三隧穿结。 

此时，使t₃暂时地大致(>0)，且这两个分支干扰。在漏极D处检测此干扰的本质，为建设性的还是破坏性的。条件L₂/L₁≈5允许两个分支同时到达。为了维护平凡拓扑电荷和σ拓扑电荷沿着真空岛的边缘的重叠，在扭曲干涉仪 的运行期间，磁通应该成线状地通过真空岛，该磁通被调节以均衡这两个状态的能量。这种调节不需要呈指数级别地准确；其目的不是计算状态的准确性，而是在于在围绕干涉仪2.5来回的期间维持重叠。这种调节中的误差可能以代数方式降低扭曲干涉仪的可见性。 

直到误差占被准许进入岛的Isingσ粒子的数量呈指数级别的小，扭曲干涉仪通过根据观察到了|1＞还是|ψ>而以以经线圈{|1＞,|ψ＞}中的任何一个为基底 

$\left|\begin{array}{cc}1+\mathrm{\&omega;}& 0\\ 0& 1-\mathrm{\&omega;}\end{array}\right|\mathrm{or}\left|\begin{array}{cc}1-\mathrm{\&omega;}& 0\\ 0& 1+\mathrm{\&omega;}\end{array}\right|$

来对包封在干涉测量环内的拓扑电荷产生作用，其中，ω=e^-πi/4。 

在非扭曲的(Beenakker)上下文中，测量以包封在非扭曲干涉测量环l中的拓扑电荷{|1＞,|ψ＞}为基底(图6A)。算子O是利用测量结果来张量化(tensored)的两个基本预计器的和，即

或不太正式地，如果观察到|1＞，则 $P_1=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right|,$ 如果观察到|ψ>，则 $P_2=\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right|.$ 可以预期在影响P₁,P₂的共轭的扭曲的上下文中--考虑从非扭曲的干涉测量环到扭曲的干涉测量环的基底的改变。然而，如果没有电荷线进入或离开扭曲干涉仪(我们始终假设不存在移动电荷)，则O_t＝O_扭曲必定是以拓扑电荷{|1＞,|ψ＞}为基底的对角矩阵。 

如上文所描述的，使具有平凡结果的电荷测量等效于用纯拓扑基态介质的固体环S¹×D²来在拓扑上对扭曲干涉测量环γ进行Dehn填充。而结果|ψ>等效于用沿着中心圈

的ψ电荷环(威尔逊线环)沿着γ对固体环进行Dehn填充。 

根据以扭曲环{1，ψ}为基底的算子，如果测量了|1＞，我们得到： 

$O_t{|}_{|1>}=\left|\begin{array}{cc}1+\mathrm{\&omega;}& 0\\ 0& 1-\mathrm{\&omega;}\end{array}\right|=(1+\mathrm{\&omega;})|1><1|+(1-\mathrm{\&omega;})|\mathrm{\&psi;}><\mathrm{\&psi;}|$

且如果测量了|ψ>，则 

$O_t{|}_{|\mathrm{\&psi;}>}=\left|\begin{array}{cc}1-\mathrm{\&omega;}& 0\\ 0& 1+\mathrm{\&omega;}\end{array}\right|=(1-\mathrm{\&omega;})|1><1|+(1+\mathrm{\&omega;})|\mathrm{\&psi;}><\mathrm{\&psi;}|.$

在图7A中，围绕岛两个额外的来回意味着，测量沿着在拓扑上扭曲的“(1,-2)”环(使用子午圈、经线圈基底)而受到坐标的A:=S^-1T²S变化的影响，该环涉及图6A和6B中的干涉仪l的空间周界(即普通的干扰环)。参考图7A和7B，可以看出，上面所提供的计算会计算O_t。 

扭曲干涉测量法使用用来形成波包的n个共同传播的试探粒子(在Ising理论中为σ′s(CTS))的单个突发。对n的合理估算是10≤n≤100，其足够大因此既能收敛干涉仪又能在10^-10秒内隧穿到真空岛上。σ试探沿着相互扭曲-4π并彼此链接(链接数=-2)的轨迹，因为它们使得两个(顺指针)回路围绕真空岛。可以将对流入漏极D的电流的测量与标准的干涉测量计算进行比较，以沿着(-2,1)干涉测量环产生拓扑电荷|1＞或|ψ>。 

对于ISH马约拉纳边缘模式速度的球场估计是10⁴m/s。如果L₁＝5μm并且波包将使其大多数幅值沿着具有呈指数衰减的尾巴的1μm的长度而被支持，则隧穿结应该打开达10^-10秒。对于合理的隧穿电流，这将允许在10和100σ′s间进行隧穿，足以有效地收敛干涉仪。 

图8概述了使用扭曲干涉测量法来产生在拓扑上受保护的π/8的栅极的协议。图8描绘了1或涉及时间的ψ量子位。第一事件是创建新的真空点(局部最小值)。在鞍点处，此真空点拆分成两个真空点，每一个真空点都具有拓扑电荷σ。第三，沿着γ执行扭曲干涉测量法。注意，在图8中，γ不应该被读作威尔逊环，而应读作扭曲干涉测量法的表示法。 

第四事件是原始量子位的σ个充电点的融合。第五和最后一个事件是沿着α的电荷测量。可以通过普通的(前面所描述的)Beenakker准粒子干涉测量法将顶部的电荷α测量为是1或ψ。扭曲干涉测量法用于测量围绕γ(≡较早的表示法中的l′)的电荷，其中由γ中的两个扭结(kink)记录的扭曲对应于围绕图6B中的真空岛的两个环。这通过射影测量产生状态A(1)或A(ψ)。使用量子拓扑技术，我们将验证初始α|1＞+β|ψ＞通过遵循四种测量情况下的“结果”的矩阵来转换： 

在所有四种情况下，以上最右一列中列出的可用的转换(如上文所描述的)将图8在中执行的栅极转换为所希望的π/8栅极(直到非相关的整体相位)。 

Freedman、Nayak以及Walker(电子预印本:0512.072和0512.066)和美国专利申请号12/979,778和12/979,856,说明了π/8栅极可以通过在α=1的情况下沿着图9A中的β进行剪切来获得(以及在α＝ψ的情况下为其逆)。使图9A中的表面变复杂导致图9B。现在图9A中成框(framed)的曲线γ正好是将β发送到图9B中标记的子午圈μ所需的手术(surgery)。沿着γ测量1会影响普通的成框手术，而测量ψ会影响轻松计算出的变量“有误的手 术”，这可通过一个或两个编织生成器的动作而被校正为上述普通手术。上面的表中的矩阵给出了根据两种测量的准确的结果。 

由于原始量子位在其内部穿孔上具有σ电荷，因此，在β上将具有σ电荷，但是，与时间t＝0时的原始量子位相比，两个融合沟道1和ψ之间的相对相位现在改变了e^2πi/8。图9B中的环β′是跨积结构传输的β的副本。 

环γ′上为(-1)的Dehn扭曲将β′抛到子午圈μ。如此，对平行于γ′的体相的Dehn填充(与普通的框γ′相比，在该体相的框中具有为(-1)的额外扭曲)继承自该体相的边界并有效地赋予该体相一个新的乘积结构，其中β通过柱体连接到μ。，如图8所描绘的，γ是该与γ′同位素的为(-1)的成框体相环。如此，以|1＞作为结果的扭曲干涉测量法将通过沿着β切割图9A的表面而确定的扭曲和非时间切片量子位“传输(teleports)”到在图9B顶部的非扭曲时间切片量子位(在虚线圈内)。 

如果结果是|ψ>，则仍需计算扭曲干涉测量法的效果。|σ>不是可能的结果，因为沿着γ＝l′=(1,2)的电荷是通过应用矩阵A从沿着l的电荷中获得的。A不混合|σ>和{|1＞,|ψ＞}扇区以及沿着l＝α|1＞+β|ψ>的电荷。结果|ψ>的效果是平行于γ′的电荷|ψ>的威尔逊环(在体相中)，在该威尔逊环的框中，没有额外的扭曲。 

通过使用模块化张量类别(MTC)的计算工具，图10A示出了与对应于处于状态|1＞的原始量子位的电荷线有关的威尔逊环″γ″，而图10B示出了具有处于状态|ψ＞的原始量子位的配置。显然，测量|ψ>相当于 $\left|\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|$ 的动作，该动作一直到所有阶段都是编织生成器的平方。 

示例计算环境 

图11示出了其中可以实现各示例实施例和各方面的示例计算环境。计算系统环境100仅为合适的计算环境的一个示例，并非旨在对使用范围或功能提 出任何限制。也不应将该计算环境100解释为对示例性操作环境100中示出的任一组件或其组合有任何依赖性或要求。 

可以使用很多其他通用和专用计算机系统环境或配置。适合使用的公知计算系统、环境和/或配置的示例包括但不限于个人计算机、服务器计算机、手持式或膝上型设备、多处理器系统、基于微处理器的系统、机顶盒、可编程消费电子产品、网络PC、小型机、大型计算机、嵌入式系统、包括以上系统或设备的任一个的分布式计算环境等等。 

可以使用由计算机执行的诸如程序模块之类的计算机可执行指令。一般而言，程序模块包括执行特定任务或实现特定抽象数据类型的例程、程序、对象、组件、数据结构等。可以使用在其中任务由通过通信网络或其他数据传输介质链接的远程处理设备执行的分布式计算环境。在分布式计算环境中，程序模块及其他数据可以位于包括存储器存储设备在内的本地和远程计算机存储介质中。 

参考图11，示例性系统包括计算机110形式的通用计算设备。计算机110的组件可以包括，但不仅限于，处理单元120、系统存储器130，以及将包括系统存储器的各个系统组件耦合到处理单元120的系统总线121。处理单元120可以表示多个逻辑处理单元，诸如多线程处理器上支持的那些逻辑处理单元。系统总线121可以是若干类型的总线结构中的任何一种，包括使用各种总线体系结构中的任何一种的存储器总线或存储器控制器、外围总线，以及局部总线。作为示例而非限制，这样的体系结构包括工业标准体系结构(ISA)总线、微通道体系结构(MCA)总线、增强型ISA(EISA)总线、视频电子标准协会(VESA)局部总线，以及外围组件互连(PCI)总线(也称为附加板总线)。系统总线121也可以被实现为通信设备之间的点到点连接、交换机结构等等。 

计算机110通常包括各种计算机可读介质。计算机可读介质可以是能由计算机110访问的任何可用介质，而且包含易失性和非易失性介质、可移动和不可移动介质。作为示例而非限制，计算机可读介质可包括计算机存储介质和 通信介质。计算机存储介质包括以用于存储诸如计算机可读指令、数据结构、程序模块或其它数据等信息的任何方法或技术实现的易失性和非易失性、可移动和不可移动介质。计算机存储介质包括但不限于，RAM、ROM、EEPROM、闪存或其它存储器技术、CDROM、数字多功能盘(DVD)或其它光盘存储、磁盒、磁带、磁盘存储或其它磁存储设备、或可以用来储存所期望的信息并可由计算机110访问的任一其它介质。通信介质通常以诸如载波或其他传输机制等已调制数据信号来体现计算机可读指令、数据结构、程序模块或其他数据，并包括任意信息传送介质。术语“已调制数据信号”是指其一个或多个特征以这样的方式设置或改变以便在信号中对信息进行编码的信号。作为示例而非限制，通信介质包括诸如有线网络或直接线连接之类的有线介质，以及诸如声学、RF、红外及其他无线介质之类的无线介质。上述任何组合也应该包括在计算机可读的介质范围内。 

系统存储器130包括以诸如只读存储器(ROM)131和随机存取存储器(RAM)132之类的易失性和/或非易失性存储器的形式存在的计算机存储介质。基本输入/输出系统133(BIOS)通常存储在ROM 131中，其包含诸如在启动过程中帮助在计算机110内的元件之间传输信息的基本例程。RAM132通常包含可以立即被处理单元120访问的和/或目前正在由处理单元120进行操作的数据和/或程序模块。作为示例而非限制，图11示出了操作系统134、应用程序235，其他程序模块236，和程序数据137。 

计算机110也可以包括其他可移动的/不可移动的，易失性/非易失性的计算机存储介质。仅作为示例，图11示出了从不可移动、非易失性磁介质中读取或向其写入的硬盘驱动器140，从可移动、非易失性磁盘152中读取或向其写入的磁盘驱动器151，以及从诸如CD ROM或其他光学介质等可移动、非易失性光盘156中读取或向其写入的光盘驱动器155。可在示例性操作环境中使用的其他可移动/不可移动、易失性/非易失性计算机存储介质包括但不限于，磁带盒、闪存卡、数字多功能盘、数字录像带、固态RAM、固态ROM等。硬盘驱动器141通常由诸如接口140等不可移动存储器接口连接至系统总 线121，并且磁盘驱动器151和光盘驱动器155通常由诸如接口150等可移动存储器接口连接至系统总线121。 

上文所讨论的并且在图11中示出的驱动器及其相关联的计算机存储介质为计算机110提供对计算机可读指令、数据结构、程序模块及其他数据的存储。例如，在图11中，硬盘驱动器141被示为存储操作系统144、应用程序145、其他程序模块146、以及程序数据147。请注意，这些组件可以与操作系统134、应用程序135、其他程序模块636，以及程序数据137相同，也可以不同。操作系统144、应用程序145、其他程序模块146，以及程序数据147被给予不同的编号，以至少说明它们是不同的副本。用户可以通过诸如键盘162和定点设备161(通常被称为鼠标、轨迹球或触摸板)之类的输入设备将命令和信息输入计算机20。其他输入设备(未示出)可以包括话筒、游戏杆、游戏手柄、碟形卫星天线、扫描仪等等。这些及其他输入设备常常通过耦合到系统总线的用户输入接口160连接到处理单元120，但是，也可以通过其他接口和总线结构(如并行端口、游戏端口、通用串行总线(USB)端口)来进行连接。监视器191或其他类型的显示设备也可以通过诸如视频接口190之类的接口而连接到系统总线121。除监视器之外，计算机还可以包括可以通过输出外围接口195连接的诸如扬声器197和打印机196之类的其他外围输出设备。 

计算机110可以使用到一个或多个远程计算机(如远程计算机180)的逻辑连接在联网环境中操作。远程计算机180可以是个人计算机、服务器、路由器、网络PC、对等设备或其他公共网络节点，通常包括上文参考计算机110所描述的元件中的许多或全部，但是图11中只示出了存储器设备181。图11中所描述的逻辑连接包括局域网(LAN)171和广域网(WAN)173，但是，也可以包括其他网络。这样的联网环境在办公室、企业范围的计算机网络、内部网和因特网中是普遍现象。 

当用于LAN联网环境中时，计算机110通过网络接口或适配器170连接到LAN 171。当用于WAN联网环境中时，计算机110通常包括调制解调器172或用于通过WAN 173(如因特网)建立通信的其他装置。调制解 调器172(可以是内置的或外置的)可以经由用户输入接口160或其他适当的机制连接到系统总线121。在联网环境中，参考计算机110描绘的程序模块，或其某些部分可以被存储在远程存储器存储设备中。作为示例而非限制，图11示出了驻留在存储器设备181上的远程应用程序185。可以理解，所示出的网络连接只是示例性的，也可以使用用于在计算机之间建立通信链路的其他装置。 

附录A 

作为我们的协议的计算的独立检查，我们使用辫子张量范畴的技术来计算协议算子的两个对角线元素。我们展示其中“扭曲”干涉测量法和“普通”干涉测量法两者都产生平凡粒子|1>的情况。该协议基于|1>，|ψ＞来影响 $\left|\begin{array}{cc}\mathrm{\&alpha;}/2& 0\\ 0& \mathrm{\&beta;}/2\end{array}\right|,$ 其中 

${\mathrm{\&omega;}}_0=\frac{1}{2}|1>+\frac{\sqrt{2}}{2}|\mathrm{\&sigma;}>+\frac{1}{2}|\mathrm{\&psi;}>,$ 并且 

使用因子

以及

我们得到

此外， 

现在通过使用

三次以及

两次，产生： 

将ψ传递经过σ给出额外的-1，因此 

现在

(出于统一性，

)，因此 

类似地， 

并且在之前的计算之后，中间项变为： 

因为存在被单根电荷线穿过的球体(虚线)。 

通过使用以及

我们发现第一和第二项是相等的。那么， 

因子2通过R³而非S³中的计算而得到，并且还将各量子维度与ω₀的各分量进行相关。一般来说，2可以被总量子维度

替代。因此，在其中两种干涉测量法测量都产生平凡拓扑电荷的情况下，我们的协议如所要求保护的那样影响“π/8栅极” $\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{\mathrm{\&pi;i}/4}\end{array}\right|.$

1扭曲干涉测量法图解分析 

在该章节中，我们将我们的注意力限于Ising任意子(anyon)，其具有可能的拓扑电荷1、σ和ψ。这些电荷的拓扑扭曲因子分别为θ₁＝1、 

和θ_ψ＝-1。单值矩阵为： 

$M=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& -1\\ 1& -1& 1\end{array}\right]---\left(1.1\right)$

我们通过考虑对任意子的电荷b＝σ的单个试探的效果 

而开始。对于目标任意子密度矩阵的特定分量，必须针对单个试探测量来估计的相关图是： 

其中，U现在包括分隔任意子A和任意子C的干涉仪的腿中的扭曲。对于结果s＝→，这是： 

其中，我们已经定义了： 

$q_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;}=\begin{array}{c}{\left|t_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}+t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_{11})}{\mathrm{\&theta;}}_b^{-2}{M}_{\mathrm{ab}}\\ +t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_{11})}{\mathrm{\&theta;}}_b^2{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2\end{array}---\left(1.4\right)$

并且，已经使用了图表规则将b环移除。σ任意子的拓扑扭曲因子为θ_σ＝e^iπ/8。针对s＝↑结果的类似计算给出： 

$q_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&UpArrow;}=\begin{array}{c}{\left|t_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}+t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_{11})}{\mathrm{\&theta;}}_b^{-2}{M}_{\mathrm{ab}}\\ -t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_{11})}{\mathrm{\&theta;}}_b^2{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2.\end{array}---(1.5)$

通过该计算，插入了合适的系数和归一化因子，在对结果s的单一试探测量之后，我们得到了目标任意子的经简化的密度矩阵： 

其中，测量结果s的概率是通过附加地采取对目标系统的量子跟踪而得到的，其投影到各e=1分量上，从而给出： 

$\mathrm{Pr}\left(s\right)=\widetilde{\mathrm{Tr}}\left[\mathrm{\&rho;}{\mathrm{\&Pi;}}_s\right]=\underset{a,c,f,\mathrm{\&mu;}}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_{(a,c_i{f}_1\mathrm{\&mu;}),\left(a_i{c}_i{f}_1\mathrm{\&mu;}\right)}^A{q}_{\mathrm{aa}1,b}^s.---\left(1.7\right)$

我们注意到： 

$q_{\mathrm{aa}1,b}^{\&RightArrow;}={\left|t_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2+{\left|r_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2+2\mathrm{Re}\left\{t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{\mathrm{\&theta;}}_b^{-2}{M}_{\mathrm{ab}}\right\}---\left(1.8\right)$

$q_{\mathrm{aa}1,b}^{\&UpArrow;}={\left|t_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2+{\left|r_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2-2\mathrm{Re}\left\{t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{\mathrm{\&theta;}}_b^{-2}{M}_{\mathrm{ab}}\right\}---(1.9)$

这两个等式给出了清楚的概率分布(即，

)。 

在本实验中，量 

$t_1{r}_1^{*}{t}_2^{*}{r}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}\&equiv;{\mathrm{Te}}^{\mathrm{i\&theta;}}---\left(1.10\right)$

确定了量子干涉的可视性，其中对θ的改变允许人们观察干涉项调制。幅值T＝|t₁r₁t₂r₂|被

最大化。在现实实验中，即使对于单个试探，实验参数t_j、r_j、θ_I和θ_II也将具有某种变化，这引起了某种程度的相位非相干性。通过在θ中的某一分布上求平均，人们可以发现干涉项中的e^iθ应该被有效地替换。在该表达式中，

是得到的有效相位，并且Q∈[0，1]：是反映干涉仪缺乏相干性以及减少量子干涉的可视性的抑制因子。对于本文的其余部分，我们将忽略这个问题，并假设Q＝1，但应该一直记住任何干涉实验的成功主要依赖于Q被构造地尽可能大。 

如果我们打算一次将一个试探发送通过扭曲干涉仪，则N个试探(最初完 全相同)的结果将简单地通过迭代该单个试探计算而得到。测量结果串(s₁，...，s_N)以如下概率发生： 

$\mathrm{Pr}(s_1,...,s_N)=\underset{a,c,f,\mathrm{\&mu;}}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_{(a,c;f,\mathrm{\&mu;}),(a,c;f,\mathrm{\&mu;})}^A{q}_{\mathrm{aa}1,b}^{s_1}...q_{\mathrm{aa}1,b}^{s_N}---\left(1.11\right)$

并且导致所测量的目标任意子的简化的密度矩阵： 

$\left|\begin{array}{c}{\mathrm{\&rho;}}^A(s_1,...,s_N)=\underset{(c,\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;}),(f^{\&prime;},v,v^{\&prime;})}{\underset{a,a^{\&prime;},c,c^{\&prime;},f,\mathrm{\&mu;},{\mathrm{\&mu;}}^{\&prime;}}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{(a,c;f,\mathrm{\&mu;}),(a^{\&prime;},c^{\&prime;};f,{\mathrm{\&mu;}}^{\&prime;})}^A}{{\left(d_f{d}_{f^{\&prime;}}\right)}^{1/2}}\frac{q_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{s_1}...q_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{s_N}}{\mathrm{Pr}(s_1,...,s_N)}\\ \&times;{\left[{\left(F_{a^{\&prime;}{c}^{\&prime;}}^{\mathrm{ac}}\right)}^{-1}\right]}_{(f,\mathrm{\&mu;},{\mathrm{\&mu;}}^{\&prime;})(e,\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})}{\left[F_{a^{\&prime;}{c}^{\&prime;}}^{\mathrm{ac}}\right]}_{(e,\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})(f^{\&prime;},v,v^{\&prime;})}|a,c;f^{\&prime;},v><a^{\&prime;},c^{\&prime;};f^{\&prime;},v^{\&prime;}|\end{array}\right|.---\left(1.12\right)$

显然，测量结果的特定次序对该计算结果并不重要，但是仅每一类型的结果的总数是有关系的，因此导致二项式分布。我们将测量结果串中的 

的总数表示为n，并且将具有相同n的所有结果群集在一起。定义(对于任意p和q)， 

$W_N(n;p,q)=\frac{N!}{n!(N-n)!}{p}^n{q}^{N-n}---\left(1.13\right)$

在水平探测器处测量到N个试探中的n的概率是： 

${\mathrm{Pr}}_N\left(n\right)=\underset{a,c,f,\mathrm{\&mu;}}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_{(a,c;f,\mathrm{\&mu;}),(a,c;f,\mathrm{\&mu;})}^A{W}_N(n;q_{\mathrm{aa}1,b}^{\&RightArrow;},q_{\mathrm{aa}1,b}^{\&UpArrow;})---\left(1.14\right)$

并且这些测量产生目标任意子的经简化的密度矩阵 

$\left|\begin{array}{c}{\mathrm{\&rho;}}_N^A\left(n\right)=\underset{(c,\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;}),(f^{\&prime;},v,v^{\&prime;})}{\underset{a,a^{\&prime;},c,c^{\&prime;},f,\mathrm{\&mu;},{\mathrm{\&mu;}}^{\&prime;}}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{(a,c;f,\mathrm{\&mu;}),(a^{\&prime;},c^{\&prime;};f,{\mathrm{\&mu;}}^{\&prime;})}^A}{{\left(d_f{d}_{f^{\&prime;}}\right)}^{1/2}}\frac{W_N(n;q_{a{a}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;},q_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&UpArrow;})}{{\mathrm{Pr}}_N\left(n\right)}\\ \&times;{\left[{\left(F_{a^{\&prime;}{c}^{\&prime;}}^{\mathrm{ac}}\right)}^{-1}\right]}_{(f,\mathrm{\&mu;},{\mathrm{\&mu;}}^{\&prime;})(e,\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})}{\left[F_{a^{\&prime;}{c}^{\&prime;}}^{\mathrm{ac}}\right]}_{(e,\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})(f^{\&prime;},v,v^{\&prime;})}|a,c;f^{\&prime;},v><a^{\&prime;},c^{\&prime;};f^{\&prime;},v^{\&prime;}|\end{array}\right|.---\left(1.15\right)$

这与非扭曲情况的区别仅在于干涉项的相位，并且因此清楚地产生相同的渐近测量结果，即基于电荷的投影以及在干涉仪的内部和外部之间的任何非平凡缠绕的非相干性。 

然而，如果我们以如下方式一次将所有试探发送通过干涉仪——该方式是经过干涉仪的扭曲腿的所有试探被扭曲在一起(即，在第一试探完成其第一个完整的扭曲之前，所有试探都在扭曲岛上)，则试探任意子会体验一非常特殊的缠绕操作，该操作允许扭曲干涉测量法的非常不同的结果。 在这种情况下，当m个试探一起经过干涉仪的扭曲腿时，它们都在彼此编织两次，如图XX中描绘的。 

对于Ising任意子，可以以直截了当的方式来估算m个试探的这一双重扭曲(每一扭曲承载拓扑电荷

)。通过将单一性的一部分应用于该m个试探，我们看见m条线的双重扭曲等于

乘m条非扭曲线，其中 

我们现在回想非扭曲干涉仪的定义： 

$\begin{array}{c}{p}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;}={\left|t_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}+t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{\mathrm{ab}}\\ +t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2\end{array}---\left(1.17\right)$

$\begin{array}{c}{p}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&UpArrow;}={\left|t_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}+t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{\mathrm{ab}}\\ +t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2\end{array}---\left(1.18\right)$

，并考虑以对应于四种可能方式的1、

和M_eb为幂的展开式 

试探线可以链接密度矩阵基础元素： 

$\begin{array}{c}{W}_N(n;p_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;},p_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}c,b}^{\&UpArrow;})=\underset{m_1,m_a,m_{a^{\&prime;}},m_e}{\mathrm{\&Sigma;}}\mathrm{\&omega;}(N,n;m_1,m_a,m_{a^{\&prime;}},m_e;t_1,r_1,t_2,r_2)\\ \&times;{\left(e^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{\mathrm{ab}}\right)}^{m_a}{\left(e^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}\right)}^{M_{a^{\&prime;}}}{M}_{\mathrm{eb}}^{m_e}\end{array}---\left(1.19\right),$

其中ω(m₁，m_a，m_a′，m_e；t₁，r₁，t₂，r₂)是多项式系数。 

对于具有Ising任意子的扭曲干涉仪，我们用以下项来替换对密度矩阵的超级算子的操作中的

$\begin{array}{c}\underset{m_1,m_a,m_{a^{\&prime;}},m_e}{\mathrm{\&Sigma;}}\mathrm{\&omega;}(N,n;m_1,m_a,m_{a^{\&prime;}},m_e;t_1,r_1,t_2,r_2)f(m_a+m_e)f^{*}(m_{a^{\&prime;}}+m_e)\\ \&times;{\left(e^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{\mathrm{ab}}\right)}^{m_a}{\left(e^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}\right)}^{M_{a^{\&prime;}}}{M}_{\mathrm{eb}}^{m_e}.\end{array}---(1.20),$

扭曲情况和非扭曲情况的差异在于：当m个试探经过处于图表的右矢 部分的干涉仪的扭曲腿时，插入因子

当mt个因子经过处于图表的左矢部分的干涉仪的扭曲腿时，插入因子

在以上的实验中，m＝m_a+m_e且m′＝m_a′+m_e。这个表达式可以通过利用傅里叶分解根据各二项式的和来重写： 

$f\left(m\right)=\frac{1+e^{-\mathrm{i\&pi;}/4}}{2}+\frac{1-e^{-\mathrm{i\&pi;}/4}}{2}{(-1)}^m---\left(1.21\right)$

其给出： 

$\begin{array}{c}f\left(m\right)f^{*}\left(m^{\&prime;}\right)=\frac{1+\cos (\mathrm{\&pi;}/4)}{2}+i\frac{\sin (\mathrm{\&pi;}/4)}{2}{(-1)}^m\\ -i\frac{\sin (\mathrm{\&pi;}/4)}{2}{(-1)}^{m^{\&prime;}}+\frac{1-\cos (\mathrm{\&pi;}/4)}{2}{(-1)}^{m+m^{\&prime;}}---\left(1.22\right)\\ ={\cos }^2(\mathrm{\&pi;}/8)+i\sin (\mathrm{\&pi;}/8)\cos (\mathrm{\&pi;}/8){(-1)}^m\\ -i\sin (\mathrm{\&pi;}/8)\cos (\mathrm{\&pi;}/8){(-1)}^{m^{\&prime;}}+{\sin }^2(\mathrm{\&pi;}/8){(-1)}^{m+m^{\&prime;}}.---\left(1.23\right)\end{array}$

使用这个表达式，我们发现： 

$\begin{array}{c}\underset{m_1,m_a,m_{a^{\&prime;}},m_e}{\mathrm{\&Sigma;}}\mathrm{\&omega;}(N,n;m_1,m_a,m_{a^{\&prime;}},m_e;t_1,r_1,t_2,r_2)f(m_a+m_e)f^{*}(m_{a^{\&prime;}}+m_e)\\ \&times;{\left(e^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{\mathrm{ab}}\right)}^{m_a}{\left(e^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}\right)}^{m_{a^{\&prime;}}}{M}_{\mathrm{eb}}^{m_e}\\ ={\cos }^2(\mathrm{\&pi;}/8)\underset{m_1,m_a,m_{a^{\&prime;}},m_e}{\mathrm{\&Sigma;}}\mathrm{\&omega;}(N,n;m_1,m_a,m_{a^{\&prime;}},m_e;t_1,r_1,t_2,r_2)\\ \&times;{\left(e^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{\mathrm{ab}}\right)}^{m_a}{\left(e^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}\right)}^{m_{a^{\&prime;}}}{M}_{\mathrm{eb}}^{m_e}\\ +i\sin (\mathrm{\&pi;}/8)\cos (\mathrm{\&pi;}/8)\underset{m_1,m_a,m_{a^{\&prime;}},m_e}{\mathrm{\&Sigma;}}\mathrm{\&omega;}(N,n;m_1,m_a,m_{a^{\&prime;}},m_e;t_1,r_1,t_2,r_2)\\ \&times;{(-e^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{\mathrm{ab}})}^{m_a}{\left(e^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}\right)}^{m_{a^{\&prime;}}}{(-M_{\mathrm{eb}})}^{m_e}\\ -i\sin (\mathrm{\&pi;}/8)\cos (\mathrm{\&pi;}/8)\underset{m_1,m_a,m_{a^{\&prime;}},m_e}{\mathrm{\&Sigma;}}\mathrm{\&omega;}(N,n;m_1,m_a,m_{a^{\&prime;}},m_e;t_1,r_1,t_2,r_2)\\ \&times;{\left(e^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{\mathrm{ab}}\right)}^{m_a}{(-e^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*})}^{m_{a^{\&prime;}}}{(-M_{\mathrm{eb}})}^{m_e}\\ +{\sin }^2(\mathrm{\&pi;}/8)\underset{m_1,m_a,m_{a^{\&prime;}},m_e}{\mathrm{\&Sigma;}}\mathrm{\&omega;}(N,n;m_1,m_a,m_{a^{\&prime;}},m_e;t_1,r_1,t_2,r_2)\\ \&times;{(-e^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{\mathrm{ab}})}^{m_a}{(-e^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*})}^{m_{a^{\&prime;}}}{M}_{\mathrm{eb}}^{m_e}\end{array}---\left(1.24\right)$

$\begin{array}{c}={\cos }^2(\mathrm{\&pi;}/8)W_N(n;p_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;},p_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&UpArrow;})\\ +i\sin (\mathrm{\&pi;}/8)\cos (\mathrm{\&pi;}/8)W_N(n;{\mathrm{\&xi;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;},{\mathrm{\&xi;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&UpArrow;})\\ -i\sin (\mathrm{\&pi;}/8)\cos (\mathrm{\&pi;}/8)W_N(n;{\mathrm{\&zeta;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;},{\mathrm{\&zeta;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&UpArrow;})\\ +{\sin }^2(\mathrm{\&pi;}/8)W_N(n;q_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;},q_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&UpArrow;})\end{array}---\left(1.25\right)$

其中，p如上定义，并且我们还定义了附加的量： 

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&xi;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;}=-{\left|t_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}-t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{\mathrm{ab}}\\ +t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2\end{array}---\left(1.26\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&xi;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&UpArrow;}=-{\left|t_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}-t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{\mathrm{ab}}\\ +t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2\end{array}---\left(1.27\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&zeta;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;}=-{\left|t_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}+t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{\mathrm{ab}}\\ +t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2\end{array}---\left(1.28\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&zeta;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&UpArrow;}=-{\left|t_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}-t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{\mathrm{ab}}\\ +t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2\end{array}---\left(1.29\right)$

$\begin{array}{c}{q}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;}={\left|t_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}+t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{\mathrm{ab}}\\ -t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2\end{array}---(1.30)$

$\begin{array}{c}{q}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&UpArrow;}={\left|t_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}+t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{\mathrm{ab}}\\ +t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2\end{array}---(1.31)$

因此，通过将N个试探发送经过扭曲干涉仪(这N个试探中的n个是在结果

的情况下测量到的)而得到的密度矩阵是： 

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&rho;}}_N^A\left(n\right)=\underset{(e,\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;}),(f^{\&prime;},v,v^{\&prime;})}{\underset{a{,a}^{\&prime;},c,c^{\&prime;},f,\mathrm{\&mu;},{\mathrm{\&mu;}}^{\&prime;}}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{(a,c;f,\mathrm{\&mu;}),(a^{\&prime;},c^{\&prime;};f,{\mathrm{\&mu;}}^{\&prime;})}^A}{{\left(d_f{d}_{f^{\&prime;}}\right)}^{1/2}}\frac{1}{{\mathrm{Pr}}_N\left(n\right)}\\ [{\cos }^2(\mathrm{\&pi;}/8)W_N(n;p_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;},p_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&UpArrow;})+i\sin (\mathrm{\&pi;}/8)\cos (\mathrm{\&pi;}/8)W_N(n;{\mathrm{\&xi;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;},{\mathrm{\&xi;}}_{a{a}^{\&prime;}e,b}^{\&UpArrow;})\\ -i\sin (\mathrm{\&pi;}/8)\cos (\mathrm{\&pi;}/8)W_N(n;{\mathrm{\&zeta;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;},{\mathrm{\&zeta;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&UpArrow;})+{\sin }^2(\mathrm{\&pi;}/8)W_N(n;q_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;},q_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&UpArrow;})]\\ \&times;{\left[{\left(F_{a^{\&prime;}{c}^{\&prime;}}^{\mathrm{ac}}\right)}^{-1}\right]}_{(f,\mathrm{\&mu;},{\mathrm{\&mu;}}^{\&prime;})(e,\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})}{\left[F_{a^{\&prime;}{c}^{\&prime;}}^{\mathrm{ac}}\right]}_{(e,\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&beta;})(f^{\&prime;},v,v^{\&prime;})}|a,c;f^{\&prime;},v><a^{\&prime;},c^{\&prime;};f^{\&prime;},v^{\&prime;}|.\end{array}---\left(1.32\right)$

其中，在水平探测器处测量到N个试探中的n个的概率是： 

$\begin{array}{c}{\mathrm{Pr}}_N\left(n\right)=\underset{a,c,f,\mathrm{\&mu;}}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_{(a,c;f,\mathrm{\&mu;}),(a,c;f,\mathrm{\&mu;})}^A[{\cos }^2(\mathrm{\&pi;}/8)W_N(n;p_{\mathrm{aa}1,b}^{\&RightArrow;},p_{\mathrm{aa}1,b}^{\&UpArrow;})\\ +i\sin (\mathrm{\&pi;}/8)\cos (\mathrm{\&pi;}/8)W_N(n;{\mathrm{\&xi;}}_{\mathrm{aa}1,b}^{\&RightArrow;},{\mathrm{\&xi;}}_{\mathrm{aa}1,b}^{\&UpArrow;})\\ -i\sin (\mathrm{\&pi;}/8)\cos (\mathrm{\&pi;}/8)W_N(n;{\mathrm{\&zeta;}}_{\mathrm{aa}1,b}^{\&RightArrow;},{\mathrm{\&zeta;}}_{\mathrm{aa}1,b}^{\&UpArrow;})\\ +{\sin }^2(\mathrm{\&pi;}/8)W_N(n;q_{\mathrm{aa}1,b}^{\&RightArrow;},q_{\mathrm{aa}1,b}^{\&UpArrow;})].\end{array}---\left(1.33\right).$

我们可以考虑N→∞极限。通过定义r＝n/N并且 

$\begin{array}{cc}{p}_1\&equiv;p_{111,\mathrm{\&sigma;}}^{\&RightArrow;}=q_{\mathrm{\&psi;\&psi;}1,\mathrm{\&sigma;}}^{\&RightArrow;}={\mathrm{\&xi;}}_{\mathrm{\&psi;}1\mathrm{\&psi;},\mathrm{\&sigma;}}^{\&RightArrow;}={\mathrm{\&zeta;}}_{1\mathrm{\&psi;\&psi;},\mathrm{\&sigma;}}^{\&RightArrow;}& \left(1.34\right)\\ p_{\mathrm{\&psi;}}\&equiv;p_{\mathrm{\&psi;\&psi;}1,\mathrm{\&sigma;}}^{\&RightArrow;}=q_{111,\mathrm{\&sigma;}}^{\&RightArrow;}={\mathrm{\&xi;}}_{1\mathrm{\&psi;\&psi;},\mathrm{\&sigma;}}^{\&RightArrow;}& \left(1.35\right)\\ p_{\mathrm{\&sigma;}}\&equiv;p_{\mathrm{\&sigma;\&sigma;}1,\mathrm{\&sigma;}}^{\&RightArrow;}=q_{\mathrm{\&sigma;\&sigma;}1,\mathrm{\&sigma;}}^{\&RightArrow;}& \left(1.36\right)\\ & \left(1.37\right)\end{array}$

我们得到 

$\begin{array}{c}{W}_N(n;p_{\mathrm{aa}1,\mathrm{\&sigma;}}^{\&RightArrow;},p_{\mathrm{aa}1,\mathrm{\&sigma;}}^{\&UpArrow;})\&RightArrow;\mathrm{\&delta;}(r-p_a)---\left(1.38\right)\\ W_N(n;{\mathrm{\&xi;}}_{\mathrm{aa}1,\mathrm{\&sigma;}}^{\&RightArrow;},{\mathrm{\&xi;}}_{\mathrm{aa}1,\mathrm{\&sigma;}}^{\&UpArrow;})\&RightArrow;0---\left(1.39\right)\\ W_N(n;{\mathrm{\&zeta;}}_{\mathrm{aa}1,\mathrm{\&sigma;}}^{\&RightArrow;},{\mathrm{\&zeta;}}_{\mathrm{aa}1,\mathrm{\&sigma;}}^{\&UpArrow;})\&RightArrow;0---\left(1.40\right)\\ W_N(n;q_{\mathrm{aa}1,\mathrm{\&sigma;}}^{\&RightArrow;},q_{\mathrm{aa}1,\mathrm{\&sigma;}}^{\&UpArrow;})\&RightArrow;(r-p_{\&Not;a})---\left(1.41\right)\end{array}$

其中，对于a＝1，σ，ψ分别为

我们还注意到： 

$\begin{array}{c}{W}_N(n;{\mathrm{\&xi;}}_{\mathrm{\&psi;}1\mathrm{\&psi;},\mathrm{\&sigma;}}^{\&RightArrow;},{\mathrm{\&xi;}}_{\mathrm{\&psi;}1\mathrm{\&psi;},\mathrm{\&sigma;}}^{\&UpArrow;})=W_N(n;{\mathrm{\&zeta;}}_{1\mathrm{\&psi;\&psi;},\mathrm{\&sigma;}}^{\&RightArrow;},{\mathrm{\&zeta;}}_{1\mathrm{\&psi;\&psi;},\mathrm{\&sigma;}}^{\&UpArrow;})\&RightArrow;\mathrm{\&delta;}(r-p_1)---\left(1.42\right)\\ W_N(n;{\mathrm{\&xi;}}_{1\mathrm{\&psi;\&psi;},\mathrm{\&sigma;}}^{\&RightArrow;},{\mathrm{\&xi;}}_{1\mathrm{\&psi;\&psi;},\mathrm{\&sigma;}}^{\&UpArrow;})=W_N(n;{\mathrm{\&zeta;}}_{\mathrm{\&psi;}1\mathrm{\&psi;},\mathrm{\&sigma;}}^{\&UpArrow;},{\mathrm{\&zeta;}}_{\mathrm{\&psi;}1\mathrm{\&psi;},\mathrm{\&sigma;}}^{\&UpArrow;})\&RightArrow;\mathrm{\&delta;}(r-p_{\mathrm{\&psi;}}).---\left(1.43\right)\end{array}$

因此，当N→∞极限时，我们得到： 

$\begin{array}{c}\mathrm{Pr}\left(r\right)=[{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{1,1}}^A{\cos }^2(\mathrm{\&pi;}/8)+{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&psi;},\mathrm{\&psi;}}^A{\sin }^2(\mathrm{\&pi;}/8)]\mathrm{\&delta;}(r-p_1)+\left[{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&sigma;},\mathrm{\&sigma;};1}^A{+\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&sigma;},\mathrm{\&sigma;};\mathrm{\&psi;}}^A\right]\mathrm{\&delta;}(r-p_{\mathrm{\&sigma;}})\\ +[{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{1,1}}^A{\sin }^2(\mathrm{\&pi;}/8)+{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&psi;},\mathrm{\&psi;}}^A{\cos }^2(\mathrm{\&pi;}/8)]\mathrm{\&delta;}(r-p_{\mathrm{\&psi;}}).\end{array}---\left(1.44\right)$

如果我们限于测量拓扑量子位的状态(即，测量四个σ任意子中包括具有a＝1，ψ的量子位的两个任意子)的情况，我们发现

的概率 并且得到的超级算子对如下密度矩阵起作用： 

${\mathrm{\&rho;}}^A|\&RightArrow;\frac{1}{\mathrm{Pr}\left(p_1\right)}\left[\begin{array}{cc}{\cos }^2(\mathrm{\&pi;}/8){\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{1,1}}^A& -i\sin (\mathrm{\&pi;}/8)\cos (\mathrm{\&pi;}/8){\mathrm{\&rho;}}_{1,\mathrm{\&psi;}}^A\\ i\sin (\mathrm{\&pi;}/8)\cos (\mathrm{\&pi;}/8){\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&psi;},1}^A& {\sin }^2(\mathrm{\&pi;}/8){\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&psi;},\mathrm{\&psi;}}^A\end{array}\right].---\left(1.45\right)$

类似地，我们得到r→pψ的概率 $\mathrm{Pr}\left(p_{\mathrm{\&psi;}}\right)={\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{1,1}}^A{\sin }^2(\mathrm{\&pi;}/8)+{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&psi;},\mathrm{\&psi;}}^A{\cos }^2(\mathrm{\&pi;}/8),$ 并且得到的超级算子对如下密度矩阵起作用： 

${\mathrm{\&rho;}}^A|\&RightArrow;\frac{1}{\mathrm{Pr}\left(p_{\mathrm{\&psi;}}\right)}\left[\begin{array}{cc}{\sin }^2(\mathrm{\&pi;}/8){\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{1,1}}^A& i\sin (\mathrm{\&pi;}/8)\cos (\mathrm{\&pi;}/8){\mathrm{\&rho;}}_{1,\mathrm{\&psi;}}^A\\ -i\sin (\mathrm{\&pi;}/8)\cos (\mathrm{\&pi;}/8){\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&psi;},1}^A& {\cos }^2(\mathrm{\&pi;}/8){\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&psi;},\mathrm{\&psi;}}^A\end{array}\right].---\left(1.46\right)$

如果我们从初始量子位状态

(其可以通过应用Clifford栅极即|ψ＞＝P^-1H|1>从|1＞中得到)开始，我们得到Pr(p₁)＝Pr(p_ψ)＝1/2，其中这两个结果给出如下“魔法状态”： 

$|\mathrm{\&Psi;}>|\&RightArrow;\left\{\begin{array}{cc}|H>=\cos (\mathrm{\&pi;}/8)|1>+\sin (\mathrm{\&pi;}/8)|\mathrm{\&psi;}>& r=p_1\\ {\mathrm{\&sigma;}}_y|H>=\sin (\mathrm{\&pi;}/8)|1>-\cos (\mathrm{\&pi;}/8)|\mathrm{\&psi;}>& r=p_1\end{array}\right..---\left(1.47\right)$

我们还注意到

的概率

并且得到的密度矩阵与非扭曲情况时相同，即 

${\mathrm{\&rho;}}^A|\&RightArrow;\frac{1}{2}[|\mathrm{\&sigma;},\mathrm{\&sigma;};1><\mathrm{\&sigma;},\mathrm{\&sigma;};1|+|\mathrm{\&sigma;},\mathrm{\&sigma;};\mathrm{\&psi;}><\mathrm{\&sigma;},\mathrm{\&sigma;};\mathrm{\&psi;}|].---\left(1.48\right)$

人们可能会担心试探经过干涉仪的“扭曲”腿的描述可能不包括各个试探任意子的扭曲因子，而只是通过各探测全部都彼此编织两次来描述。如果该替换描述是正确的，则将直截了当地看见该计算结果实际上十分相似，这表明试探的集体编织(而非扭曲)才是扭曲干涉仪的关键分量。为了明白这点，我们简单地注意到如果我们移除所有扭曲因子，则我们将改为得到： 

在这种情况下，我们将正好具有相同的分析，只是： 

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&xi;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;}=-{\left|t_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}+t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{\mathrm{ab}}\\ +t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{-\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2\end{array}---(1.50)$

$\begin{array}{c}{p}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&UpArrow;}={\left|t_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}-t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{\mathrm{ab}}\\ -t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{-\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2\end{array}---(1.51)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&xi;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;}=-{\left|t_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}-t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e^{\mathrm{i\&pi;}/4}M}_{\mathrm{ab}}\\ +t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{-\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2\end{array}---(1.52)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&xi;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&UpArrow;}={-\left|t_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}+t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{\mathrm{ab}}^{\&prime;}\\ -t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{-\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2\end{array}---(1.53)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&zeta;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;}=-{\left|t_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}+t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e^{\mathrm{i\&pi;}/4}M}_{\mathrm{ab}}\\ -t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{-\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2\end{array}---(1.54)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&zeta;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&UpArrow;}={-\left|t_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}-t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{\mathrm{ab}}\\ +t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{-\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2\end{array}---(1.55)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{q\&xi;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;}={\left|t_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}-t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e^{\mathrm{i\&pi;}/4}M}_{\mathrm{ab}}\\ -t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{-\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2\end{array}---(1.56)$

$\begin{array}{c}{q}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&UpArrow;}={-\left|t_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}+t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{\mathrm{ab}}\\ +t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{-\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2\end{array}---(1.57)$

它们在干涉项上具有来自

的附加相位因子。 

$\begin{array}{c}\mathrm{Pr}\left(r\right)=[{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{1,1}}^A{\cos }^2(\mathrm{\&pi;}/8)+{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&psi;},\mathrm{\&psi;}}^A{\sin }^2(\mathrm{\&pi;}/8)]\mathrm{\&delta;}(r-p_1)+[{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&sigma;},\mathrm{\&sigma;};1}^A+{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&sigma;},\mathrm{\&sigma;};\mathrm{\&psi;}}^A]\mathrm{\&delta;}(r-p_{\mathrm{\&sigma;}})\\ +[{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{1,1}}^A{\sin }^2(\mathrm{\&pi;}/8)+{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&psi;},\mathrm{\&psi;}}^A{\cos }^2(\mathrm{\&pi;}/8)]\mathrm{\&delta;}(r-p_{\mathrm{\&psi;}}).\end{array}---\left(1.44\right)$

如果我们限制于测量拓扑量子位的状态(即，测量四个σ任意子中包括具有a＝1，ψ的量子位的两个任意子)的情况，我们发现

的概率 

并且得到的超级算子对如下密度矩阵起作用： 

${\mathrm{\&rho;}}^A|\&RightArrow;\frac{1}{\mathrm{Pr}\left(p_1\right)}\left[\begin{array}{cc}{\cos }^2(\mathrm{\&pi;}/8){\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{1,1}}^A& -i\sin (\mathrm{\&pi;}/8)\cos (\mathrm{\&pi;}/8){\mathrm{\&rho;}}_{1,\mathrm{\&psi;}}^A\\ i\sin (\mathrm{\&pi;}/8)\cos (\mathrm{\&pi;}/8){\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&psi;},1}^A& {\sin }^2(\mathrm{\&pi;}/8){\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&psi;},\mathrm{\&psi;}}^A\end{array}\right].---\left(1.45\right)$

类似地，我们得到r→p_ψ的概率 $\mathrm{Pr}\left(p_{\mathrm{\&psi;}}\right)={\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{1,1}}^A{\sin }^2(\mathrm{\&pi;}/8)+{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&psi;},\mathrm{\&psi;}}^A{\cos }^2(\mathrm{\&pi;}/8),$ 并得到的超级算子对如下密度矩阵起作用： 

${\mathrm{\&rho;}}^A|\&RightArrow;\frac{1}{\mathrm{Pr}\left(p_{\mathrm{\&psi;}}\right)}\left[\begin{array}{cc}{\sin }^2(\mathrm{\&pi;}/8){\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{1,1}}^A& i\sin (\mathrm{\&pi;}/8)\cos (\mathrm{\&pi;}/8){\mathrm{\&rho;}}_{1,\mathrm{\&psi;}}^A\\ -i\sin (\mathrm{\&pi;}/8)\cos (\mathrm{\&pi;}/8){\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&psi;},1}^A& {\cos }^2(\mathrm{\&pi;}/8){\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{\&psi;},\mathrm{\&psi;}}^A\end{array}\right].---\left(1.46\right)$

如果我们从初始量子位状态

(其可以通过应用Clifford栅极即|ψ＞＝P^-1H|1＞从|1＞中得到)开始，我们得到Pr(p₁)＝Pr(p_ψ)＝1/2，其中这两个结果给出如下“魔法状态”： 

$|\mathrm{\&Psi;}>|\&RightArrow;\left\{\begin{array}{cc}|H>=\cos (\mathrm{\&pi;}/8)|1>+\sin (\mathrm{\&pi;}/8)|\mathrm{\&psi;}>& r=p_1\\ {\mathrm{\&sigma;}}_y|H>=\sin (\mathrm{\&pi;}/8)|1>-\cos (\mathrm{\&pi;}/8)|\mathrm{\&psi;}>& r=p_1\end{array}\right..---\left(1.47\right)$

我们还注意到

的概率

并且得到的密度矩阵与非扭曲情况时相同，即 

${\mathrm{\&rho;}}^A|\&RightArrow;\frac{1}{2}[|\mathrm{\&sigma;},\mathrm{\&sigma;};1><\mathrm{\&sigma;},\mathrm{\&sigma;};1|+|\mathrm{\&sigma;},\mathrm{\&sigma;};\mathrm{\&psi;}><\mathrm{\&sigma;},\mathrm{\&sigma;};\mathrm{\&psi;}|].---\left(1.48\right)$

人们可能会担心试探经过干涉仪的“扭曲”腿的描述可能不包括各个试探任意子的扭曲因子，而只是通过各探测全部都彼此编织两次来描述。如果该替换描述是正确的，则将直截了当地看见该计算结果实际上十分相似，这表明试探的集体编织(而非扭曲)才是扭曲干涉仪的关键分量。为了明白这点，我们简单地注意到如果我们移除所有扭曲因子，则我们将改为得到： 

在这种情况下，我们将正好具有相同的分析，只是： 

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&xi;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;}=-{\left|t_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}+t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{\mathrm{ab}}\\ +t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{-\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2\end{array}---(1.50)$

$\begin{array}{c}{p}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&UpArrow;}={\left|t_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}-t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{\mathrm{ab}}\\ -t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{-\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2\end{array}---(1.51)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&xi;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;}=-{\left|t_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}-t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e^{\mathrm{i\&pi;}/4}M}_{\mathrm{ab}}\\ +t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{-\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2\end{array}---(1.52)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&xi;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&UpArrow;}={-\left|t_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}+t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{\mathrm{ab}}^{\&prime;}\\ -t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{-\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2\end{array}---(1.53)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&zeta;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;}=-{\left|t_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}+t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e^{\mathrm{i\&pi;}/4}M}_{\mathrm{ab}}\\ -t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{-\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2\end{array}---(1.54)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&zeta;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&UpArrow;}={-\left|t_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}-t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{\mathrm{ab}}\\ +t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{-\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2\end{array}---(1.55)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{q\&xi;}}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&RightArrow;}={\left|t_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}-t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e^{\mathrm{i\&pi;}/4}M}_{\mathrm{ab}}\\ -t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{-\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2\end{array}---(1.56)$

$\begin{array}{c}{q}_{{\mathrm{aa}}^{\&prime;}e,b}^{\&UpArrow;}={-\left|t_1\right|}^2{\left|t_2\right|}^2{M}_{\mathrm{eb}}+t_1{r}_1^{*}{r}_2^{*}{t}_2^{*}{e}^{i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{\mathrm{ab}}\\ +t_1^{*}{r}_1{t}_2{r}_2{e}^{-i({\mathrm{\&theta;}}_I-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{II}})}{e}^{-\mathrm{i\&pi;}/4}{M}_{a^{\&prime;}b}^{*}+{\left|r_1\right|}^2{\left|r_2\right|}^2\end{array}---(1.57)$

它们在干涉项上具有来自

的附加相位因子。 

Claims (15)

1.一种扭曲干涉仪，包括：

源极、第一漏极以及第二漏极；

第一真空和第二真空之间的第一隧穿路径；

所述第一真空和第三真空之间的第二隧穿路径；

所述第二真空和所述第三真空之间的第三隧穿路径，

其中，在所述源极和所述漏极之间维护有偏压，以便电流围绕所述真空的边缘流动。

2.如权利要求1所述的干涉仪，其特征在于，所述真空中的每一个不存在X状态流体或是没有非阿贝尔属性的经转换流体，并且所述真空是通过电子或磁性顶部浇注来创建的。

3.如权利要求1所述的干涉仪，其特征在于，所述第一真空的边缘上的第一点和所述第三真空的边缘上的第三点之间穿过所述第一和第三隧穿路径的第一距离是所述第一点和所述第三点之间穿过所述第二隧穿路径的第二距离的大约1/5。

4.如权利要求1所述的干涉仪，其特征在于，允许隧穿在所述隧穿路径中的每一个处持续与波包以群速度围绕所述第二真空传播一个来回的时间成比例的时间间隔。

5.如权利要求1所述的干涉仪，其特征在于，当所述第一、第二以及第三隧穿结打开时，所有电流流入所述第一漏极。

6.如权利要求1所述的干涉仪，其特征在于，具有相对于所述第一距离而言小的载体的σ粒子的波包被允许以第一幅值移位到所述第二真空。

7.如权利要求6所述的干涉仪，其特征在于，所述波包被允许以小于所述第一幅值的第二幅值移位到所述第一真空。

8.如权利要求7所述的干涉仪，其特征在于，第二波包到达所述第二隧穿结，使得该包以第三幅值传输。

9.如权利要求8所述的干涉仪，其特征在于，当所述第二波包到达所述第三隧穿结时，所述第一波包正好也到达所述第三隧穿结。

10.一种手性拓扑超导体中的平面π/8栅极，包括低移动性电子结构，所述低移动性电子结构包括自旋轨道耦合半导体、普通超导体、铁磁绝缘体。

11.如权利要求10所述的栅极，其特征在于，所述电子结构能够支持通用拓扑、容错量子计算。

12.一种在拓扑上受保护的用于在手性拓扑超导体（CTS）、Ising夹层异质结构（ISH）器件中实现π/8栅极的方法，所述方法包括：

在所述CTS-ISH器件内以在拓扑上受保护的、容错的方式实现通用量子计算。

13.如权利要求12所述的方法，其特征在于，所述CTS-ISH器件包括能够支持通用拓扑的、容错的量子计算的低移动性电子结构。

14.如权利要求13所述的方法，其特征在于，所述低移动性电子结构包括自旋轨道耦合半导体。

15.如权利要求14所述的方法，其特征在于，所述低移动性电子结构包括普通超导体。

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