CN102934004A - 球形梯度折射率（grin）透镜及其在太阳能聚光中的使用 - Google Patents

Abstract

提供可以实现理想成像和最大聚光度的球形梯度折射率（GRIN）透镜。GRIN透镜的各种折射率分布允许通过当前可用的材料和制造技术来制造该透镜。提供用于光伏太阳能聚光的系统和方法，其中光学部件跟踪太阳光并且光伏电池保持固定。这些系统和方法的光学部件可以包括理想成像球形GRIN透镜，以提供高通量浓度。

Description

球形梯度折射率(GRIN)透镜及其在太阳能聚光中的使用

相关申请的交叉引用

本申请要求于2010年9月7日提交的美国临时申请No.61/380,632的优先权，该临时申请的公开内容全部并入本文。

关于联邦政府资助的研究的声明

本发明是在美国国防部先进研究项目局授予的M-GRIN项目下的合同号HR0011-10-C-0110的政府支持下作出的。政府对本发明拥有一定的权利。

背景技术

梯度折射率（GRIN）透镜是一种具有透镜材料的可变的折射率的光学器件。理论上表明，具有一定的特定导出折射率分布n(r)（在透镜径向坐标r上是球形对称的）的球形GRIN透镜可以实现理想的成像。但是，具有所需的n(r)的用于光学和太阳能频率的理想成像GRIN透镜还不能通过可用的材料和制造技术制造出的。

在试图理解鱼眼（fish eye）时，马克斯韦尔开启了GRIN光学器件的领域。对于普通近场源和目标产生理想成像的折射率分布n(r)的第一推导由Lunebrug公开（尽管仅对远场源和在透镜表面上的焦点提供了特定的解）[1]。Lunebrug的推导假定n(r)是可逆的单调函数，没有不连续性。尽管Lunebrug的解在微波天线中得到了成功的实现，但是由于其如下的严重的约束，Lunebrug的解对于可见和IR辐射仍然是深奥的理想：  （a）在透镜表面处的1的最小折射率n_min，（b）大的折射率梯度（Δn≡n_max-n_min>0.4），以及（c）焦点存在于球体的外部上。近来在透明聚合物中的研究进展[2-4]已经激起了用于必需的超薄球形透镜层的材料和生产技术，但是强烈要求（impose）n<0.13和必须超出1.4的n_min值，以及使恒定的折射率的球芯成为必要。

基于在给定的聚光器出口数值孔径NA_exit处最大通量浓度（fluxconcentration）C_max与可接收半角θ_acc之间的基本关系[5-6]：C_max=(NA_exit/sin(θ_acc))²，似乎在名义上固定的系统中不能实现10³的数量级（或更高）的全天太阳能聚光级别。确切地说，太阳能聚光器仅仅通过由大量基座（pedestal）驱动的精确双轴跟踪来实现了10³的数量级（θ_acc≈1°）的日平均通量浓度[7-8]。单独的跟踪器可以支撑重达数百公斤的许多的m²的收集器。这里，θ_acc是包含与对准误差、光学轮廓的形状缺陷和材料性质同其设计值的偏差卷积（convolve）的4.7mrad的太阳光的固有值的有效太阳能半角。

在早期的太阳能热和光伏聚光器中，吸收器的绝对本性或者被调节的运动的扩展范围排除了对具有跟踪太阳光的光学器件的固定的吸收器的实际的考虑。聚光器光伏（CPV）技术演变到mm尺度的太阳能电池消除了这些缺点，并促使对名义上固定的高度聚光光学器件的前景进行重新考虑，其间接的好处将是屋顶CPV。此外，在模块内部存在实用的微机械系统，该微机械系统能够在cm的尺度上以亚-mrad的精度（足够小以至于不会影响θ_acc）进行太阳光跟踪。

传统的透镜和反射镜的不足早已被认识到了。甚至为名义的收集器固定而修整的非成像设计以高收集效率处成功地实现了仅数十个sun的日平均通量浓度[10]（1sun=1mW/mm²）——比CPV所需的值低一到两个数量级。

发明内容

在本公开主题的一个方面中，提供了一种球形GRIN透镜。GRIN透镜具有半径和径向对称的折射率分布n(r)，其中r是透镜内的径向位置并且0≤r≤1。在某些实施例中，透镜的n(r)满足如下：存在r_a和r_b，0<r_a<r_b<1，使得n(0)＞n(r_a)，n(r_b)＞n(r_a)且n(r_b)＞n(1)。在这些实施例中的某些实施例中，GRIN透镜的中心的折射率n(0)>n(r_b)。在其它实施例中，n(0)<n(r_b)。

在某些实施例中，GRIN透镜包含具有基本上恒定的折射率的芯，即，从透镜的中心到给定的半径（例如，大约0.05到大约0.9，或者大约0.1到大约0.6）n(r)基本上恒定不变。在这些实施例中，GRIN透镜还可以包含这样的部分，该部分具有比恒定的折射率大的折射率。

在某些实施例中，GRIN透镜可以包含具有基本上恒定的折射率的外壳。在上述实施例或下面描述的实施例中的任意一个中，GRIN透镜的表面折射率n(1)可以大于1。

在某些实施例中，穿过芯的折射率的变化不超出0.3，例如，不大于0.13。最大的折射率可以是大约1.4到大约2，或者大约1.4到大约1.8，或者大约1.4到大约1.6。

在某些实施例中，在球形GRIN透镜的0≤r≤1的范围内的全部n(r)是从包括透镜的孔径、透镜的期望焦距和n(1)的给定的一组输入参数数学推导出来的，使得该球形GRIN透镜整体上产生名义上理想的成像。

在某些实施例中，球形GRIN透镜的n(r)至少包含依赖于r的两部分：（1）r_A≤r≤r_B的用户规定的部分，其中r_A和r_B∈(0,1)；（2）0<r<r_A且r_B<r<1的部分，其中，n(r)是从包括透镜的孔径和透镜的期望焦距的一组输入参数数学推导出来的，使得该球形GRIN透镜整体上产生名义上理想的成像。在这些实施例中，用户规定的部分可以在r_A≤r≤r_B内是常量，或者在r_A≤r≤r_B内是线性或非线性函数。此外，用户定义的区域可以是GRIN透镜的外壳，例如，0<r_A<C₃，C₃是在大约0.6到大约0.95的范围中的实数，并且r_B=1。

球形GRIN透镜可以由其折射率在大约1.1到大约2.0的范围中的一种或多种材料制成。材料可以是聚合物、玻璃或其它适合的材料。

球形GRIN透镜可以具有小于1的孔径。例如，孔径外部的透镜的球形帽可以是对称地截平的。球形GRIN透镜的焦距与GRIN透镜的半径之比可以大于或等于1，或者小于1。

在某些实施例中，球形GRIN透镜产生名义上理想的成像。球形GRIN透镜可以作为成像系统、光伏聚光系统、照相机、显微镜、望远镜、照明系统等的光学部件被合并，还可以作为其中相对于通量浓度应用而言物体和像（源和目标）的角色被互换的其它应用（例如，准直仪）的光学部件被合并。

在本公开主题的另一个方面中，提供一种用于获得球形GRIN透镜的径向对称折射率分布n(r)的方法。该方法包括：为一组输入参数中的每一个设置值，该组输入参数包括n(1)、透镜的焦距和透镜的孔径；以及使用计算机设备，基于为该组输入参数设置的值来数值地确定n(r)，从而使得透镜产生名义上理想的成像。为透镜表面的折射率设置的值可以大于1，并且为透镜的孔径设置的值可以小于1。

在本公开主题的另一个方面中，提供一种用于获得球形GRIN透镜的径向对称折射率分布n(r)的方法。该方法包括：提供r_A≤r≤r_B的范围的预定义函数；为一组输入参数中的每一个设置值，这些参数包括透镜的焦距和透镜的孔径；以及使用计算机设备，基于为该组输入参数设置的值，针对r的其余范围数值地确定n(r)，从而使得透镜产生名义上理想的成像。

在本公开主题的又一个方面中，提供一种用于光伏太阳能聚光的系统。该系统包括：包含光伏电池的固定的吸收器；球形梯度折射率（GRIN）透镜，其中，光伏电池放置在离GRIN透镜的中心的一距离处，该距离等于GRIN透镜对于太阳光的焦距；以及可操作地耦合到GRIN透镜的跟踪装置。跟踪装置能够使GRIN透镜移动以跟踪太阳光的轨迹，同时保持从透镜到光伏电池的距离。该系统还可以包括背板（backing plate），该背板具有附着有光伏电池的表面。该背板可以充当或包含散热器。该系统还可以包括包围固定的吸收器、GRIN透镜和跟踪装置的壳体。该系统的球形GRIN透镜可以是理想成像的GRIN透镜，并且可以是具有不小于1的焦距的上述球形GRIN透镜中的任何一个。例如，球形GRIN透镜的焦距可以大于1.73。

在本公开主题的另一个方面中，提供一种利用太阳能的方法。该方法包括：将光伏电池放置在离球形GRIN透镜的中心的一距离处，该距离等于GRIN透镜对于太阳光的焦距；以及移动GRIN透镜以在保持该距离的同时跟踪太阳光的轨迹，其中，在移动GRIN透镜期间，光伏电池保持固定。

在本公开主题的另一个方面中，提供一种用于光伏太阳能聚光的系统，其包括：吸收器，该吸收器包括具有光接收表面的光伏电池；球形梯度折射率（GRIN）透镜，其中，光伏电池放置在离GRIN透镜的中心的一距离处，该距离等于GRIN透镜对于太阳光的焦距；以及可操作地耦合到GRIN透镜和光伏电池的跟踪装置，跟踪装置能够移动GRIN透镜以跟踪太阳光的轨迹，并能够移动光伏电池，从而使得连接GRIN透镜的中心和太阳的中心的线总是垂直于光伏电池的光接收表面。在该系统中，GRIN透镜可以是名义上理想成像的GRIN透镜。GRIN透镜可以是上述各种GRIN透镜中的任何一个。

附图说明

图1a-1b描述通过理想成像球形GRIN透镜的光线轨迹的几何图形。

图2a-2e描述各种理想成像球形GRIN透镜的光线追迹。

图3a-3e描述在图2a-2e中描述的各种理想成像球形GRIN透镜的折射率分布。

图4描述对于壳的一定范围的折射率而言具有恒定的折射率壳的球形GRIN透镜的壳厚度依赖于透镜的焦距的关系。

图5a描述根据本公开主题的某些实施例的具有大于1的表面折射率的球形GRIN透镜的折射率分布。

图5b描述如图5a所描述的球形GRIN透镜的远场源的光线追迹。

图6示出根据本公开主题的某些实施例的用于获得球形GRIN透镜的折射率分布的某些输入参数。

图7描述根据本公开主题的某些实施例的具有基本上恒定的折射率的芯的球形GRIN透镜的某些折射率分布。

图8描述根据本公开主题的某些实施例的具有基本上恒定的折射率的芯和恒定的折射率的外壳的球形GRIN透镜的折射率分布。

图9a描述根据本公开主题的某些实施例的作为封闭式解获得的具有基本上恒定的折射率的芯的球形GRIN透镜的折射率分布。

图9b描述对于相同的给定孔径和焦距的标准Luneburg解的折射率分布与从封闭式解获得的折射率分布的比较。

图10a描述根据本公开主题的某些实施例的具有移动光学部件和固定的吸收器的光伏聚光系统（photovoltaic concentration system）。

图10b描述导致未收集辐射的本公开主题的光伏聚光系统的球形GRIN透镜的布置。

图10c描述导致相互遮蔽的本公开主题的光伏聚光系统的球形GRIN透镜的小型封装。

图10d描述包含多个球形GRIN透镜的名义上固定的光伏模块。

图11a-11b描述根据本公开主题的光伏聚光系统的某些实施例的对于一定范围的入射角而言在固定的吸收器上的球形GRIN透镜的焦点。

图12描述根据本公开主题的光伏聚光系统的某些实施例的对于球形GRIN透镜的不同焦距而言的可收集辐射的损耗。

图13描述根据本公开主题的光伏聚光系统的某些实施例的聚光效率特性与球形GRIN透镜的焦距的依赖关系。

图14描述根据本公开主题的光伏聚光系统的某些实施例的球形GRIN透镜对于全太阳光谱的多色光的色散损耗。

图15描述本公开主题的光伏聚光系统的失调灵敏度。

图16描述适合于本公开主题的光伏聚光系统的球形GRIN透镜的实施例的折射率分布。

图17描述适合于本公开主题的光伏聚光系统的球形GRIN透镜的另一个实施例的折射率分布。

图18描述适合于本公开主题的光伏聚光系统的球形GRIN透镜的又一个实施例的折射率分布。

具体实施方式

在一个方面中，本公开主题提供可以提供名义上理想的成像的新类的GRIN透镜。如在本文中所使用的，与球形GRIN透镜相关的“名义上理想的成像”（其可以与“理想成像”互换使用）是指，球形GRIN透镜对于关注波长的给定的单色光没有几何像差。可以理解，由于色散造成的色差仍然会存在于理想成像透镜中。

在某些实施例中，GRIN透镜具有径向对称的折射率分布n(r)，其中r是透镜内的径向位置并且0≤r≤1（即，r是透镜内的点和透镜的中心之间的距离与透镜半径之比，因此r具有折合单位（reduced unit）或无量纲单位，并且在透镜的表面处是1）。n(r)满足如下：存在r_a和r_b，0<r_a<r_b<1，使得n(0)＞n(r_a)，n(r_b)＞n(r_a)且n(r_b)＞n(1)。根据该条件描述的n(r)包含广泛的折射率分布的集合，当结合包含附图的各种示范性例子进行观看时，其可以被更容易地理解。描述的与n(r)的特征有关的各种参数，诸如r_a、r_b、r_c、r_d、r_A、r_B、C₁、C₂等，是沿着球面坐标r的径向位置，并且在下面的某些图中仅为了图示而被识别。这样理解，在示出的相同n(r)分布上的不同位置处可以识别这些参数中的某些参数。

正如本文所公开的，设计理想成像球形GRIN透镜涉及推导球形透镜在空气中的n(r)（对于空气，n=1），如图1所示，该球形透镜将包含半径为r_o的球形轮廓的部分的物体理想地成像到半径r₁的球形轮廓像（图1(a)：从在r_o处的源点到r₁处的目标点的穿过理想成像球形GRIN透镜的样本光线轨迹。r^*表示最靠近原点的点。图1（b）：从远场源（r_o→∞）跟踪到焦距F=r₁处的目标的波前）。斯涅尔定律（这里，等同于给定光线沿着其整个轨迹的偏斜度（skewness）的守恒[5,11]）

rn(r)Sin(α)=κ(1)

（其中，α是沿着光线的极角）与恒定不变的光路长度的费马定理结合，以获得控制积分方程。

$\underset{r^{*}}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{\mathrm{\&kappa;dr}}{r\sqrt{{\mathrm{\&rho;}}^2-{\mathrm{\&kappa;}}^2}}=f\left(\mathrm{\&kappa;}\right)$ 其中ρ(r)≡m(r)

                                     (2)

且 $f\left(\mathrm{\&kappa;}\right)=\frac{1}{2}[{\mathrm{Sin}}^{-1}\frac{\mathrm{\&kappa;}}{r_o}+{\mathrm{Sin}}^{-1}\frac{\mathrm{\&kappa;}}{r_1}+2{\mathrm{Cos}}^{-1}\mathrm{\&kappa;}]0\&le;\mathrm{\&kappa;}\&le;1.$

为了求解方程(2)，将两边乘以dκ/√(κ²-ρ²)，从ρ到1进行积分，并互换积分的阶，以获得：

n_Luneburg＝exp(ω(ρ，r_o)+ω(ρr₁))其中 $\mathrm{\&omega;}(\mathrm{\&rho;},s)=\frac{1}{\mathrm{\&pi;}}\underset{\mathrm{\&rho;}}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{{\mathrm{Sin}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{\&kappa;}}{s}\right)}{\sqrt{{\mathrm{\&kappa;}}^2-{\mathrm{\&rho;}}^2}}\mathrm{d\&kappa;}---\left(3\right).$

其中，假定n(r)是连续的且可逆的，其中n(1)=1。如图2（b）所示，由Luneburg应用的显式解是针对r_o→∞且F=1:n(r)=√(2–r²)。

Fletcher[12]用严格数值解（而不是解析解）将Luneburg的解推广到任意焦距F。如在本文中所使用的，球形GRIN透镜的焦距是相比于球体的单位半径表达的从透镜的焦点到透镜球体的中心的距离。Morgan[13]演示了在n(r)中引入非连续性可以放宽第一和第二约束。图2示出理想成像球形GRIN透镜的样本光线追迹。折射率分布n(r)在可以解析地表达时被标注。（a）源和焦点在球体的表面上是在直径上相对的（Maxwell[14]）。（b）远场源到球体表面上的焦点（F=1）（Luneburg [1]）。（c）远场源和任意F[12]。在（a）到（c）中，这些分布被限制为连续函数，并且要求n(1)=1，以及可调整的Δn。（d）到（e）Morgan[13]演示了当允许均质的外壳（内部分布是连续的）时对于任意F的解，这里图示了得到如部分（c）中一样的相同的F=1.74的外壳的折射率和厚度的两个不同值。图3示出图2中的透镜的n(r)分布：（a）Maxwell的透镜，（b）Luneburg的透镜（F=1），（c）基于Fletcher[12]的F=1.74的完全连续分布透镜；（d，e）包含均匀外壳和内部连续分布（基于Morgan[13]的计算）的F=1.74透镜的两个例子，其中最小的n远高于1并且Δn相对较小。

如上所述，在连续内部分布的情况下，Morgan引入了恒定的折射率n_常量的外壳的额外的自由度。下面提供更广义的Morgan解：考虑具有单一不连续性的远场解：直到半径a的连续芯分布和均匀外壳。Morgan[13]的控制积分方程（方程（4））为：

$2\underset{r^{*}\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{\mathrm{\&kappa;dr}}{r\sqrt{{\mathrm{\&rho;}}^2-{\mathrm{\&kappa;}}^2}}=\arcsin \frac{\mathrm{\&kappa;}}{F}+\arcsin \mathrm{\&kappa;},$ 0≤κ≤1  ρ(r)=r·n(r)(4)

其中，r^*是沿着该轨迹的最小半径。连续分布（0≤r≤a）的解为：

n=(1/a)exp(ω(ρ,F)–Ω(ρ))其中

$\mathrm{\&omega;}(\mathrm{\&rho;},F)=\frac{1}{\mathrm{\&pi;}}\underset{\mathrm{\&rho;}}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{\arcsin \left(\frac{\mathrm{\&kappa;}}{F}\right)}{\sqrt{{\mathrm{\&kappa;}}^2-{\mathrm{\&rho;}}^2}}\mathrm{d\&kappa;},$ $\mathrm{\&Omega;}\left(\mathrm{\&rho;}\right)=\frac{2}{\mathrm{\&pi;}}\underset{\mathrm{\&rho;}}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{G\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{\sqrt{{\mathrm{\&kappa;}}^2-{\mathrm{\&rho;}}^2}}\mathrm{d\&kappa;},$ $G\left(\mathrm{\&kappa;}\right)=\underset{a}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{\mathrm{\&kappa;}}{r\sqrt{{\mathrm{\&rho;}}^2-{\mathrm{\&kappa;}}^2}}\mathrm{dr}---\left(5\right)$

(0≤ρ≤1，F≥1).方程（5）中的积分可以被数值地计算。如果满足方程(6)，那么存在解：

$\arcsin \left(\frac{1}{F}\right)\&GreaterEqual;2\underset{a}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{\mathrm{dr}}{r\sqrt{{\mathrm{\&rho;}}^2-1}}.---\left(6\right)$

图4总结了外壳的n_常量怎样影响该层的允许厚度和F。如图所示，由Morgan提出的具有恒定的折射率壳的解可以将最小折射率显著地提高到远高于1，例如，提高到高于1.2的值，同时将Δn从大于0.4（针对Luneburg透镜）降低到小于0.2。合适的成品太阳能透明材料（也适合于GRIN透镜制造工艺的常用的塑料和玻璃[3，15]）通常具有从~1.3到~2的折射率，其可以通过上述广义解来提供。但是，基于Morgan的恒定的折射率壳建议的上述n(r)的解仅提供了有限的解；还存在其它更广义的不要求恒定的折射率壳的解，这些解提供GRIN透镜的更多样的设计以提供理想成像。如下面将示出的，理想成像可以通过但不限于单一连续GRIN分布来实现；确切地，其仅要求球体的某些有限区域包含推导出的连续梯度折射率，以便透镜整体上实现理想成像。用户可以规定或提供透镜的其它区域，例如，恒定的折射率的芯或壳，或者折射率是r的特定函数（线性或非线性（例如，抛物线、对数、多项式等）函数）的区域。由于球形GRIN透镜可以由离散的壳制造，因此在透镜制造中缺乏连续性不会引起问题[2-4]。在下面，对于适合于实际材料和制造技术的理想成像球形GRIN透镜设计，提供若干新类的n(r)解。某些示例性n(r)分布（在本文中称作“冠军设计”）说明了，在本文中提供的解可以通过可行的比例放大来满足成品聚合物技术的限制：n_min=1.44并且n_max=1.57。

出于说明而非限制的目的，在本文中描述的很多n(r)分布都适合于针对太阳光的实际关注的情况—之前被认为使用现有的、可以容易地制造的透明的材料难以获得。由于理想成像也意味着获得通量浓度的热动力学极限[5,11]，因此针对名义上地获得理想成像的球形GRIN透镜呈示例子。后者意味着这样的Luneburg型太阳能透镜将构成单元件聚光器，该单元件聚光器在规定浓度（concentration）处接近接收角度（以及与离轴方向的光学容限）的基本最大值（或者反之亦然）。这也与现在在聚光器光伏器件中常见的10³量级的平均辐照级别有关。此外，这样的GRIN透镜提供用于实现名义上固定的高辐照度太阳能聚光的唯一解，将在下面对该解更全面地描述。

在本公开主题的某些实施例中，理想成像球形GRIN透镜的n(r)可以提供任意透镜表面折射率N≡n(1)。为了获得n(r)，方程(2)可以被重写为：

$\underset{r^{*}}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{\mathrm{\&kappa;dr}}{r\sqrt{{\mathrm{\&rho;}}^2-{\mathrm{\&kappa;}}^2}}=\frac{1}{2}({\mathrm{Sin}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{\&kappa;}}{r_o}\right)+{\mathrm{Sin}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{\&kappa;}}{r_1}\right)+2{\mathrm{Sin}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{\&kappa;}}{N}\right)-2{\mathrm{Sin}}^{-1}\left(\mathrm{\&kappa;}\right))0\&le;\mathrm{\&kappa;}\&le;N---\left(7\right)$

（注意κ的修改后的域）。在方程(7)中的最后两项来源于透镜表面处的两个额外的折射。使用代入式d(ln(r))=-dg(ρ)/dr≡-g′(ρ)得到Abel积分方程：

$-\underset{\mathrm{\&kappa;}}{\overset{N}{\&Integral;}}\frac{g^{\&prime;}\left(\mathrm{\&rho;}\right)\mathrm{\&kappa;dr}}{\sqrt{{\mathrm{\&rho;}}^2-{\mathrm{\&kappa;}}^2}}=\frac{f\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{2},$ 其解为 $n\left(\mathrm{\&rho;}\right)=\mathrm{Nexp}\left(\frac{1}{\mathrm{\&pi;}}\underset{\mathrm{\&rho;}}{\overset{N}{\&Integral;}}\frac{f\left(\mathrm{\&kappa;}\right)\mathrm{d\&kappa;}}{r\sqrt{{\mathrm{\&kappa;}}^2-{\mathrm{\&rho;}}^2}}\right)---\left(8\right)$

在图5中示出具有N=1.1、F=1.1和远场源的透镜的该解的例子（图5（a）示出n(r)分布的解；并且，图5（b）示出若干旁轴光线的光线追迹）。如图所示，在该分布中存在r_a和r_b，使得n(0)>n(r_a)，n(r_b)>n(r_a)且n(r_b)>n(1)（此外，n(0)>n(r_b)，并且n(1)>1）。尽管在这里呈示的推导涉及一般的近场问题（任意r_o和r₁），但是示范性例子与远场问题有关，例如，与太阳能聚光器应用有关。

在本公开主题的某些实施例中，理想成像GRIN透镜可以具有基本上恒定的折射率的尺寸可调的芯（例如，由均质材料制成），其半径的范围可以是透镜的半径的大约0.05到大约0.95，或者透镜的半径的大约0.1到大约0.5，或者由制造技术或约束所期望或要求的其它尺寸。这样的恒定的折射率的尺寸可调的芯使得制造被设计用来实现理想成像的具有精确的、鲁棒的GRIN分布的球形GRIN透镜变得可行。如在本文中所使用的，与GRIN透镜的一部分的折射率有关的用语“基本上恒定”（例如，“恒定折射率芯”或“恒定折射率壳”）是指在该部分的r的定义范围中的折射率的变化不会超出0.001。在某些实施例中，折射率的变化可以更小，例如，小于10^-4。

如在本文中所公开的，具有恒定折射率芯区域的n(r)分布可以按照如下获得。如图6所示，使用边界条件n(1)，选择有效孔径A的值、以及F和n(0)的期望值。如在本文中所使用的，球形GRIN透镜的孔径是指有效辐照表面（用于接收入射光的球面的部分）的横截面直径除以透镜球体的直径。在本文中全孔径（A=1）和非全孔径（A<1）两者都可以被用作输入。尽管非全孔径是由Sochacki[16]在研究Luneburg型透镜时发掘的，但是Sochacki的n(r)是平滑函数的要求以及其排除全孔径透镜的窄的参数空间也严重地限制了可用的解。

给定输入参数，控制方程变成：

$\underset{N}{\overset{\mathrm{\&kappa;}}{\&Integral;}}\frac{\mathrm{\&kappa;}{g}^{\&prime;}\left(\mathrm{\&rho;}\right)\mathrm{d\&rho;}}{\sqrt{{\mathrm{\&rho;}}^2-{\mathrm{\&kappa;}}^2}}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{f_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{2}& 0\&le;\mathrm{\&kappa;}\&le;A\\ \frac{f_1^{+}\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{2}& A\&le;\mathrm{\&kappa;}\&le;N\end{array}\right.$

其中 $f_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right)={\mathrm{Sin}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{\&kappa;}}{r_o}\right)+{\mathrm{Sin}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{\&kappa;}}{r_1}\right)+2{\mathrm{Sin}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{\&kappa;}}{N}\right)-2{\mathrm{Sin}}^{-1}\left(\mathrm{\&kappa;}\right)---\left(9\right)$

且仍然在下面的分析中被确定。

与之前一样，通过在两边都乘以dκ/√(κ²-ρ²)，从ρ到N进行积分并互换积分的阶，得到下面的解：

$n\left(\mathrm{\&rho;}\right)=\mathrm{Nexp}[\frac{1}{\mathrm{\&pi;}}\underset{\mathrm{\&rho;}}{\overset{A}{\&Integral;}}\frac{f_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{\sqrt{{\mathrm{\&kappa;}}^2-{\mathrm{\&rho;}}^2}}\mathrm{d\&kappa;}+\frac{1}{\mathrm{\&pi;}}\underset{A}{\overset{N}{\&Integral;}}\frac{f_1^{+}\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{\sqrt{{\mathrm{\&kappa;}}^2-{\mathrm{\&rho;}}^2}}\mathrm{d\&kappa;}]$

$=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{Nexp}[\mathrm{\&omega;}(\mathrm{\&rho;},r_1,A)+\mathrm{\&omega;}(\mathrm{\&rho;},r_0,A)+2\mathrm{\&omega;}(\mathrm{\&rho;},N,A)-2\mathrm{\&omega;}(\mathrm{\&rho;},1,A)+\frac{1}{\mathrm{\&pi;}}\underset{A}{\overset{N}{\&Integral;}}\frac{f_1^{+}\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{\sqrt{{\mathrm{\&kappa;}}^2-{\mathrm{\&rho;}}^2}}\mathrm{d\&kappa;}]0\&le;\mathrm{\&rho;}\&le;A\\ \mathrm{Nexp}\left[\frac{1}{\mathrm{\&pi;}}\underset{\mathrm{\&rho;}}{\overset{N}{\&Integral;}}\frac{f_1^{+}\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{\sqrt{{\mathrm{\&kappa;}}^2-{\mathrm{\&rho;}}^2}}\mathrm{d\&kappa;}\right]A\&le;\mathrm{\&rho;}\&le;N.\end{array}\right.---\left(10\right)$

方程(10)可以被重算为：

$\ln \left(\frac{n\left(\mathrm{\&rho;}\right)}{N}\right)=\frac{1}{\mathrm{\&pi;}}\underset{\mathrm{\&rho;}}{\overset{A}{\&Integral;}}\frac{f_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{\sqrt{{\mathrm{\&kappa;}}^2-{\mathrm{\&rho;}}^2}}\mathrm{d\&kappa;}+\frac{1}{\mathrm{\&pi;}}\underset{A}{\overset{N}{\&Integral;}}\frac{f_1^{+}\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{\sqrt{{\mathrm{\&kappa;}}^2-{\mathrm{\&rho;}}^2}}\mathrm{d\&kappa;},$ 并且重新整理为：

$\frac{1}{\mathrm{\&pi;}}\underset{A}{\overset{N}{\&Integral;}}\frac{f_1^{+}\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{\sqrt{{\mathrm{\&kappa;}}^2-{\mathrm{\&rho;}}^2}}\mathrm{d\&kappa;}=\ln \left(\frac{n\left(\mathrm{\&rho;}\right)}{N}\right)-\frac{1}{\mathrm{\&pi;}}\underset{\mathrm{\&rho;}}{\overset{N}{\&Integral;}}\frac{f_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{\sqrt{{\mathrm{\&kappa;}}^2-{\mathrm{\&rho;}}^2}}\mathrm{d\&kappa;}---\left(11\right)$

$=\ln \left(\frac{n\left(\mathrm{\&rho;}\right)}{N}\right)-\mathrm{\&omega;}(\mathrm{\&rho;},r_1,A)+\mathrm{\&omega;}(\mathrm{\&rho;},r_0,A)+2\mathrm{\&omega;}(\mathrm{\&rho;},N,A)-2\mathrm{\&omega;}(\mathrm{\&rho;},1,A)$

其中 $\mathrm{\&omega;}(\mathrm{\&rho;},A,s)=\frac{1}{\mathrm{\&pi;}}\underset{\mathrm{\&rho;}}{\overset{s}{\&Integral;}}\frac{{\mathrm{Sin}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{\&kappa;}}{A}\right)}{\sqrt{{\mathrm{\&kappa;}}^2-{\mathrm{\&rho;}}^2}}\mathrm{d\&kappa;}$

并且，对于范围0≤ρ≤ρ_o，n(ρ)是常量（恒定折射率芯），其中ρ_o≤A。

因此，需要求解具有恒定不变的积分限制的积分方程，其被称为第一类的Fredholm积分方程。由于这样的积分方程通常是不适定（ill-posed）的且奇异的，因此很难找到解[17,18]。在调用可以得到封闭式解[19]的方法之前，可以数值地求解方程(11)。通过假定该解可以被表示为如下来开始：

（在这里的例子中，Lagrange多项式被采用，但是选择可以被扩展到其它表示。）将方程(12)代入方程(11)得到：

在对κ的域进行适当的离散化时，方程(13)成为线性方程的系统：

Bw=g    (14)

其中，未知的是方程(12)中的权重w_i。

如Twomey[20]所指出的，Phillips[21]演示了，当求解Bw=g时获得的精确解几乎总是不好的并且经常是灾难性不好的—在解振荡或显示出某些与在先知识冲突的其它特征的这种意义上。因此，在使用下面给出的解的情况下，在这里可以采用由Twomey和Phillips提出的数值技术：

w=(B^*B+βH)^-1B^*g    (15)

其中，^*表示矩阵转置，β是通常在0到1的范围内的任意数，并且矩阵H可以具有各种表示[20]。具有平滑（非振荡）解的例子可以通过下面的Phillips过程来呈示（由此得到H矩阵）：

$H=\left[\begin{array}{cccccccc}1& -2& 1& 0& 0& .& .& .\\ -2& 5& -4& 1& 0& .& .& .\\ 1& -4& 6& -4& 1& 0& .& .\\ 0& 1& -4& 6& -4& 1& 0& .\\ .& .& .& .& .& .& .& .\\ .& .& 0& 1& -4& 6& -4& 1\\ .& .& .& 0& 1& -4& 5& -2\\ .& .& .& 0& 0& 1& -2& 1\end{array}\right].---\left(16\right)$

只有物理上不允许的解被拒绝，例如，对于给定值的r具有大于一个的n(r)值的多值函数。

在本文中呈示了三阶Lagrange多项式所需的推导，但是该技术可以扩展到任何阶的多项式近似或者可替代的插值技术（样条（spline）、Hermite多项式等）[22]：

$f_1^{+}\left(\mathrm{\&kappa;}\right)=\frac{{\mathrm{\&kappa;}-\mathrm{\&kappa;}}_{i+1}}{{\mathrm{\&kappa;}}_i-{\mathrm{\&kappa;}}_{i+1}}\frac{\mathrm{\&kappa;}-{\mathrm{\&kappa;}}_{i+2}}{{\mathrm{\&kappa;}}_i-{\mathrm{\&kappa;}}_{i+2}}\frac{{\mathrm{\&kappa;}-\mathrm{\&kappa;}}_{i+3}}{{\mathrm{\&kappa;}}_i-{\mathrm{\&kappa;}}_{i+3}}{w}_i+\frac{{\mathrm{\&kappa;}-\mathrm{\&kappa;}}_i}{{\mathrm{\&kappa;}}_{i+i}-{\mathrm{\&kappa;}}_i}\frac{{\mathrm{\&kappa;}-\mathrm{\&kappa;}}_{i+2}}{{\mathrm{\&kappa;}}_{i+1}-{\mathrm{\&kappa;}}_{i+2}}\frac{{\mathrm{\&kappa;}-\mathrm{\&kappa;}}_{i+3}}{{\mathrm{\&kappa;}}_{i+1}-{\mathrm{\&kappa;}}_{i+3}}{w}_{i+1}---\left(17\right).$

$+\frac{{\mathrm{\&kappa;}-\mathrm{\&kappa;}}_i}{{\mathrm{\&kappa;}}_{i+2}-{\mathrm{\&kappa;}}_i}\frac{\mathrm{\&kappa;}-{\mathrm{\&kappa;}}_{i+1}}{{\mathrm{\&kappa;}}_{i+2}-{\mathrm{\&kappa;}}_{i+1}}\frac{{\mathrm{\&kappa;}-\mathrm{\&kappa;}}_{i+3}}{{\mathrm{\&kappa;}}_{i+2}-{\mathrm{\&kappa;}}_{i+3}}{w}_{i+2}+\frac{{\mathrm{\&kappa;}-\mathrm{\&kappa;}}_i}{{\mathrm{\&kappa;}}_{i+3}-{\mathrm{\&kappa;}}_i}\frac{{\mathrm{\&kappa;}-\mathrm{\&kappa;}}_{i+1}}{{\mathrm{\&kappa;}}_{i+3}-{\mathrm{\&kappa;}}_{i+1}}\frac{{\mathrm{\&kappa;}-\mathrm{\&kappa;}}_{i+2}}{{\mathrm{\&kappa;}}_{i+3}-{\mathrm{\&kappa;}}_{i+2}}{w}_{i+3}.$

方程（17）被插入到方程(13)并在κ之上进行积分。自由变量ρ和哑变量κ的适当的离散化导致方程(14)的形式的方程的代数系统，然后从其通过方程(12)取得因子w_i以f₁ ⁺(κ)。最终，将f₁ ⁺(κ)插入方程(10)，获得平滑n(r)。可替换地，可以直接反转矩阵B（实际上，由于其差的秩，进行伪反转），以获得振荡解。然后，使用Luneburg的基本积分方程变换[1]，得到对应的n(r)。

恒定折射率芯的解不是严格地恒定不变的，而是以10^-5到10^-3的数量级在名义上恒定不变的n(0)周围振荡。光线追迹验证了，芯的解可以被基本上视为常量值。最终，观测到方程(10)中的解在任何地方都连续的，这暗示了f₁ ⁺(B)=f₁(B)—需要在方程(14)到方程(15)的解中实现的条件。请注意，实际的n(0)和芯的径向程度作为解的一部分出现。即，n(0)的初始猜测值可以充当输入参数，但是该解可以迭代为不同的最终值。

在下面，获得具有扩展的恒定折射率芯和规定表面折射率的示例性球形GRIN透镜。这里的目的在于，使用给定的表面折射率N=1.555、A=0.97、F=1.71和ρ_o=0.12（其中，针对κ的18个节点的格栅线性分区、针对ρ的15个节点，以及β=1）来实现包含透镜半径的相当部分的恒定折射率芯。在图7中示出了针对相同输入参数的三个不同的解，图7示出了（a）对n(0)的初始猜测值的影响，以及（b）平滑对振荡的计算过程。基于方程(14)中的矩阵B的伪反转的解表现出振荡行为，该振荡行为呈示出透镜制造有问题（另外两个解是使用上面描述的平滑技术产生的），但是该解具有允许较低Δn（实际上，足够低，低到符合冠军设计的要求）的优点。所有的三个分布都得到相同的理想成像。如图所示，在最上面的分布（以及其它两个分布中）中存在r_a和r_b，使得n(0)>n(r_a)，n(r_b)>n(r_a)且n(r_b)>n(1)（此外，n(0)<n(r_b)，并且n(1)>1）。此外，存在如图所示的C₁，使得当0≤r≤C₁时，折射率基本上恒定不变。

在下面的例子中，提供在芯和外层中都具有恒定的折射率的球形GRIN透镜。对方程(10)的检查揭示了，如果f₁ ⁺(κ)=常量，那么对于A₂≤ρ≤N则n(ρ)=常量。因此，将该条件强加到之前呈示的数值解中可以得到具有恒定折射率芯和恒定折射率外层的解。控制方程被重写为：

$\underset{N}{\overset{\mathrm{\&kappa;}}{\&Integral;}}\frac{\mathrm{\&kappa;}{g}^{\&prime;}\left(\mathrm{\&rho;}\right)\mathrm{d\&rho;}}{\sqrt{{\mathrm{\&rho;}}^2-{\mathrm{\&kappa;}}^2}}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{f_1\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{2}& 0\&le;\mathrm{\&kappa;}\&le;A_1\\ \frac{f_1^{+}\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{2}& A_1\&le;\mathrm{\&kappa;}\&le;A_2\\ \frac{f_2^{+}\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{2}& A_2\&le;\mathrm{\&kappa;}\&le;N\end{array}\right.---\left(18\right)$

其中，函数f₁ ⁺(κ)被确定为解的一部分，并且函数f₂ ⁺(κ)从规定的外壳得到（例如，对于恒定折射率壳，f₂ ⁺(κ)=0，其导致，对于A₂≤ρ≤N，n(ρ)=N）。方程(18)通过下式求解

$n\left(\mathrm{\&rho;}\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{Nexp}\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&omega;}(\mathrm{\&rho;},r_1,A_1)+\mathrm{\&omega;}(\mathrm{\&rho;},r_0,A_1)+20\&le;\mathrm{\&rho;}\&le;A_1(\mathrm{\&rho;},N,A_1)-2\mathrm{\&omega;}(\mathrm{\&rho;},1,A_1)\\ +\underset{A_1}{\overset{A_2}{\&Integral;}}\frac{f_1^{+}\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{\mathrm{\&pi;}\sqrt{{\mathrm{\&kappa;}}^2-{\mathrm{\&rho;}}^2}}\mathrm{d\&kappa;}+\underset{A_2}{\overset{N}{\&Integral;}}\frac{f_2^{+}\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{\mathrm{\&pi;}\sqrt{{\mathrm{\&kappa;}}^2-{\mathrm{\&rho;}}^2}}\mathrm{d\&kappa;}\end{array}\right]& \\ \mathrm{Nexp}[\underset{\mathrm{\&rho;}}{\overset{A_2}{\&Integral;}}\frac{{f_1}^{+}\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{\mathrm{\&pi;}\sqrt{{\mathrm{\&kappa;}}^2-{\mathrm{\&rho;}}^2}}\mathrm{d\&kappa;}+\underset{A_2}{\overset{N}{\&Integral;}}\frac{f_2^{+}\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{\mathrm{\&pi;}\sqrt{{\mathrm{\&kappa;}}^2-{\mathrm{\&rho;}}^2}}\mathrm{d\&kappa;}]& A_1\&le;\mathrm{\&rho;}\&le;A_2\\ \mathrm{Nexp}\left[\underset{\mathrm{\&rho;}}{\overset{N}{\&Integral;}}\frac{f_2^{+}\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{\mathrm{\&pi;}\sqrt{{\mathrm{\&kappa;}}^2-{\mathrm{\&rho;}}^2}}\mathrm{d\&kappa;}\right]& A_2\&le;\mathrm{\&rho;}\&le;N\end{array}\right.---\left(19\right)$

并且，得到的n(r)在图8（其描述了包含恒定折射率外壳和基本上恒定的折射率的芯的透镜的n(r)）中示出。透镜输入参数为F=1.680、A₁=0.900、A₂=1.423且N=1.573。该解（基于上述的平滑计算方法）具有在0.33的芯半径之上扩展的n(0)=1.534。如图8所示，在该分布中存在r_a和r_b，使得n(0)＞n(r_a)，n(r_b)＞n(r_a)且n(r_b)＞n(1)（此外，n(0)<n(r_b)，并且n(1)>1）。此外，存在如图所示的C₂，使得当0≤r≤C₂时，折射率基本上恒定不变（并且还存在r_d，C₂<r_d<1，并且n(r_d)>n(C₂)）。另外，该分布还包括r_c，对于r_c<r<1（在该特定情况下即r_A<r<r_B），折射率是常量（预定义的）。

Fredholm方程(11)具有封闭式解。应用变换：

z＝ρ²，t＝κ²， $\mathrm{\&gamma;}\left(t\right)=\frac{f^{+}\left(\mathrm{\&kappa;}\right)}{\sqrt{\mathrm{\&kappa;}}},$

其中

方程(11)变成奇异积分方程：

其中A₁＝A²，N₁＝N²(21)

对于该积分方程，封闭式解为

$\mathrm{\&gamma;}\left(t\right)=-\frac{1}{2\mathrm{\&pi;}}\sqrt{\frac{N_1-t}{t-A_1}}\underset{A_1}{\overset{N_1}{\&Integral;}}\sqrt{\frac{N_1-s}{s-A_1}}\frac{d}{\mathrm{ds}}\left[\underset{A_1}{\overset{s}{\&Integral;}}\frac{F\left(u\right)}{\sqrt{s-u}}\mathrm{du}\right]\mathrm{ds}+\frac{1}{2}\frac{d}{\mathrm{dt}}\underset{A_1}{\overset{t}{\&Integral;}}\frac{F\left(u\right)}{\sqrt{s-u}}\mathrm{ds}.---\left(22\right).$

然后通过计算方程(22)中的导数和积分来数值地求解γ(κ)。在积分的计算中出现的奇点可以使用Matlab的quadgk函数来数值地处理[23]。

需要额外的条件来得到平滑解：

$f^{+}\left(A\right)={\mathrm{Sin}}^{-1}\left(\frac{A}{r_o}\right)+{\mathrm{Sin}}^{-1}\left(\frac{A}{r_1}\right)+2{\mathrm{Sin}}^{-1}\left(\frac{A}{N}\right)-2{\mathrm{Sin}}^{-1}\left(A\right).---\left(23\right)$

在离散化的计算格栅中，f⁺的前两个值可能需要等于f⁺(A)，或者可以寻找类似的启发式方案来得到平滑的并且物理上允许的解。

使用封闭式方法，通过在图9a中示出的高达r=0.3的恒定折射率芯获得针对远场源、F=1.5且A=0.75的样本解。如果需要全有效孔径A→1，那么为了保持恒定折射率芯，N需要被大幅地提升（N≧2）。尽管使用该技术生成的全孔径解与原来的Luneburg方法（图9b）相比表现出更高的n_min和更低的Δn两者，但是在对方程(22)中的积分进行计算时它们需要粗的离散化（coarse discretization）。对于该特定例子，在数值积分中使用了3点等间距的离散化。

新类的GRIN解针对无穷多的之前未识别的解，这些解现在可以针对光学频率实际上被实现。当前可用的技术和材料可以被用来制造具有在本文中提供的n(r)分布的球形GRIN透镜。例如，聚合物或玻璃材料可以被用于制造GRIN透镜；材料的折射率可以在1.1到2.0的范围中，其中，穿过透镜的折射率的变化小于0.3，甚至更小（例如，小于0.13）。可以使用如美国专利No.6,582,807和7,002,754（以及参考文献[2-4]）中公开的用于制造GRIN透镜的方法；这些专利的公开的全部内容以引用的方式并入本文中。基于这些技术制造的球形GRIN透镜的精细层状结构的渐进的折射率分布可以充分地接近提供的连续的n(r)，从而使得GRIN透镜可以产生理想成像。

此外，由于可制造材料变得可用，所以，调节之前被视为基于现有GRIN光学分析难以处理的折射率的范围的灵活性也可以在红外成像和聚光的领域开启了新的前景。

在另一方面，本公开主题采用球形GRIN透镜和/或理想成像来为名义上固定的CPV系统提供可行的解决方案。理想成像是成像和非成像物镜结合在一起的实例，因为理想成像是获得聚光的基本限制的不寻常的同义词[5,11]。认识到采用有限数量的光学元件不能实现理想成像，并且包含很多反射镜的光学部件是不实际的，部分地由于GRIN透镜的折射率分布是名义上连续的，因此本公开主题采用GRIN透镜作为光学部件。此外，本公开主题提供用于名义上固定的太阳能聚光器的GRIN透镜，该太阳能聚光器适合于实际的材料和制造技术。

参考图10a（其未按比例绘制，仅用于图示的目的），本公开主题提供用于光伏太阳能聚光的系统，该系统包括：固定的吸收器，例如，光伏电池（例如，太阳能电池）110；作为光学器件的球形梯度折射率（GRIN）透镜120，其中，光伏电池放置在离GRIN透镜的中心的一距离处，该距离等于GRIN透镜对于太阳光的焦距；以及可操作地耦合到GRIN透镜的跟踪装置130，该跟踪装置能够沿着虚拟球体140的表面移动GRIN透镜以在保持该距离的同时跟踪太阳光的轨迹（未示出）。还提供了利用太阳能的相关方法，该方法包括：将光伏电池放置在球形GRIN透镜的焦距处，并移动GRIN透镜以在保持该距离的同时跟踪太阳光的轨迹。在移动GRIN透镜的期间，光伏电池保持固定。

如图10a所示，该系统还可以包括背板114（其可以充当或包括散热器），该背板具有附着（例如，热结合）有光伏电池的表面。如图10d所示，多个GRIN透镜与背板和跟踪装置一起可以被（例如，密封地）包围在壳体150中，以形成名义上固定的模块（即，只有光学器件由跟踪装置移动以跟踪太阳光，而该模块作为整体保持固定）。该模块的名义上的固定可以导致~30%的可收集能量的表面上的损耗（年平均、晴朗的天气、中纬度），这是由于隔开透镜导致未收集的辐射（如图10b所示），或者透镜被密集封装并导致相互遮蔽（如图10c所示）。但是，如下文将进一步讨论的，可收集能量的损耗不会对系统的实用性或可用性造成显著的挑战。

在光伏系统中，GRIN透镜的大小可以根据实际要求来选择，实际要求诸如为太阳能模块的期望尺寸、GRIN透镜的封装密度，以及使用的太阳能电池的大小。如下文将进一步讨论的，系统的几何聚光度（geometric concentration）C（GRIN透镜的直径的平方与太阳能电池的直径的平方之比）可以被选择为高达大约30000。但是，为了提供太阳能聚光与失调容限之间的折衷并出于其它实践考虑，几何聚光度可以被选择在1000与2000之间。例如，在几何聚光度C≈1300时，对于1mm直径的太阳能电池，GRIN透镜的直径可以是大约36mm。市售的精确微跟踪器可以被用作跟踪装置。

由于在GRIN透镜移动的同时系统的太阳能电池保持固定，所以焦点不保持圆形，而是随着入射角改变。如图11所示，投射到电池上的焦点可以从在垂直入射处的最小碟改变到随太阳光入射角而增大的椭圆形区域。图11（a）描述了针对F=1.74示出的入射角θ从0到60°的静止平面吸收器上的焦点（~8小时/天的太阳光光束收集）；图11（b）示出了被约束为θ=0-50°的放大图。仅在真正的最大入射角θ_acc=5mrad处需要大量的功率密度稀释。焦点投射的这种变化造成收集效率与聚光之间的权衡。对于给定的F和θ_acc，由于它们都导致相同的成像性质，因此这些结果与特定n(r)无关。（如下文所阐述的，目标通量映射是不均匀的，但是不均匀性对于当前聚光器电池只是次重要的。）

收集效率还依赖于F。在短F处，可收集辐射的可调整部分照射吸收器的下侧，因此是不可用的。全部避免该损耗需要F≧√3（参见图12）。（为了避免透镜轨迹不与吸收器的静止平面相交，还需要至少1.74的F值）。因此，在某些实施例中，GRIN透镜的焦距被选择为大于1.73。

尽管在本文中描述的固定的高聚光模块会在平均入射角余弦中导致损耗，但是为了在模块内部的精确cm尺度透镜跟踪而去除了大阵列的大规模精确跟踪使得该固定系统变得有价值并且开启了屋顶CPV的可能性。

通过对从0到60°的入射角进行平均来评估全天的收集，其中基于对模板内部的过量相互遮蔽的考虑选择最大值（对应于~8小时/天的收集）。（基于典型的晴天中纬度太阳光束辐照，也对太阳能输入在每个入射角处进行能量加权并按年进行平均，并且发现相对于采用简单时间权重的平均的改变是可以忽略的。）透镜设计和性能评估是基于中间谱处的单色辐射的。代表性的色散损耗（基于选择用于透镜制造的材料的某种程度的特定情况）如图14中所示被量化。

收集效率与几何聚光度C（与C_max之比）的特性曲线是通过针对一定范围F进行光线追迹模仿来产生的。（由于透镜和模块覆盖了釉，因此这里的收集效率省略了菲涅尔反射和吸收，其容易被量化，并且依赖于是否采用了抗反射涂层。）基于在最小化的太阳能聚光器中其可以被实现而采用了θ_acc=5mrad[24]。（在具有大量双轴跟踪器的大尺度CPV系统中已经实现了θ_acc=7mrad[8]。）图13中的图（示出效率-聚光度特性与F的依赖关系）也被发现对10mrad一样大的θ_acc不敏感（如果横坐标仍然是相对聚光度C/C_max），其将厚度中的不可忽略的随机误差和球形壳的确切折射率有效地并入GRIN透镜。

为了度量实际的设计情况并评估CPV光学性能，首先注意的是今天的聚光器电池表现出在辐照值不超过~10³sun处出现峰值的效率[7,25-29]。在θ_acc=5mrad且F=1.74时，C_max≈13,000，因此C=1,300对应于C/C_max=0.1。因此几何收集效率为98%（图13）。另外，实现对于离轴方向的大幅光学容限（例如，容限半角θ_t≧1°）要求将θ_acc设计为远低于θ_t，这反过来意味着C/C_max值基本上低于1[30]。

在仅5%光线拒绝时，聚光度可以增加到~4,000（可以想象与未来超高效超小型的太阳能电池有密切关系）。即使在θ_acc=10mrad（从而使得C=1,300对应于C/C_max≈0.4）的极端情况下，几何损耗仅为7%。在图13中总结出的结果允许对基本上所有关注的聚光度值的收集效率进行评估，并且即使在这里描绘的名义上的固定策略中也锐化球形GRIN透镜的高收集潜能。

作为在使用商用小型电池时变为可用的关键尺寸的例子，分别（C=1,300）在~65-70mm深且2.5m²的正方形模块中（包含釉、散热器和内部微跟踪器），考虑1和36mm的电池和透镜直径。内部透镜跟踪要求~1.5透镜半径的间距：在模块外围的每个边缘上的~27mm的死区（dead space），其对应于模块的总面积的~3%（除了平面中的针对球体的~11%的封装损耗）。因此，透镜（密度为~1g/cm³的聚合物层[3,15]）每m²的模块孔径将包含~15kg的质量（挤压的铝微跟踪器组件将增加~5kg）。

使用AM1.5D太阳光谱和基于代表性材料[31]的测量性质的Cauchy型色散关系来评估色差（色散损耗）—在图14（示出量化的色散损耗，其中效率-聚光度曲线是基于用于设计透镜的名义上的单色波长并然后基于AM1.5D太阳光谱产生的。在C/C_max=0.1处的垂直指标指出，对于当前实用的CPV设计来说，色散损耗基本上可以忽略不计。）中绘出。不出意外地，色散损耗随焦距和聚光度增加，但是GRIN透镜的色散损耗远低于传统均质透镜的色散损耗。例如，在F=1.74和C=1,300处，色散损耗仅为1%。不同于色差会放大固有像差的光学部件的传统透镜，球形GRIN透镜开始就是（几何地）无像差的，从而使得色散造成几乎可以忽略不计的损耗（除非要求聚光度接近C_max）。

图15量化对吸收器失调（或者，等同于，透镜的内部跟踪运动中的系统误差）的灵敏度（吸收器位移以最小（θ=0）焦点半径R为单位；对于C=1300和C/C_max=0.1（垂直虚线）的示范性CPV情况，R=0.15mm）。效率-聚光度曲线是针对吸收器从F=1.74系统中的其预期位置的给定平移产生的。具体来说，考虑C≈1,300（C/C_max≈0.1），其中，太阳能电池的直径为1mm（因此透镜直径为~36mm）。对于大部分的每日收集周期，焦点与电池相比显著地小。结果，甚至大小可调的位移也仅导致~1-2%的光线拒绝。给定当前高效聚光器太阳能电池对显著地不均匀的通量图（flux map）的容限和鲁棒性，该结果提出名义上固定的系统对由内部跟踪装置进行跟踪的光学误差具有格外的容限。

名义上的固定以小于1的入射角的年平均余弦（即，对于晴朗的中纬度位置为~0.7[6]，这与光学部件无关的折衷）的代价实现。密集封装的透镜在模块内会发生~30%的遮蔽，或者可以通过将它们隔开并接收如图10b和10c（或者中间布置）中一样的被截取的辐射的~30%没有到达透镜来显著地降低遮蔽。

另外，高聚光度放弃了对漫辐射的接收[5,6]。固定的非聚光太阳能聚光器从漫射收集受益，而在本文中描述的聚光器基本上不收集（与所有CPV一样）。

当投射的焦点最小时，吸收器通量图是非均匀的—在垂直入射处最明显（图11）。原则上，通量不均匀性增大了太阳能电池串联电阻损耗。但是，当前的商用聚光器电池已经表现出在严重到几百个百分比的通量局域化处不超出测量不确定性的效率降低[27-29]。

对于正方形（与圆形相比）电池，一个方法是内切该正方形内的设计焦点并将平均聚光度减少π/4的因子—尤其是假设达到高辐照相对容易，从而避免收集效率的进一步损耗极为重要。通量均匀性的轻微恶化不会显著地降低电池的效率，并且实现103量级的聚光度值不会被受损。当通量均匀性是关键性的时，可以加入万花筒[27]和科勒积分器[32]。此外，在数千sun的辐照级别，即使具有显著的通量不均匀性，无源散热器也可以将电池温度保持在环境温度之上不多于~20-30K[27-29,33]。

对这里描绘的特定光学和内部跟踪部件的最终大规模生产的成本预测是近似的。处理的聚合物材料通常成本不高于每公斤几美元—因此对于之前描述的类型的模块每m²的孔径低于100美元。当需要数十亿（对于GW级别的发电）时每个透镜的0.1美元量级的自动制造成本也不是不合理的，相当于每m²的模块孔径大致100美元。使用包含内部微跟踪器的精确三角机器人系统的工作经验表明，以每m²的模块孔径100美元进行大规模生产也不是不可行的。

对于光伏聚光应用，可以使用具有不小于1的焦距的上述任意一个球形GRIN透镜，其包括具有恒定折射率芯、恒定壳或其它具有用户规定的部分的分布的透镜。下面给出球形GRIN透镜的冠军设计的几个例子。这些例子包括截平透镜，该截平透镜可以在收集效率中不引入增量损耗的情况下避免太阳能模块中的封装损耗并实现通量浓度≈30000（之前认为使用单个透镜不能实现）。对于基于633nm的波长处的折射率设计的透镜，基于AM1.5D太阳光谱和关于代表性聚合物材料[2-4]的测量性质的Cauchy型色散关系对色散损耗（由于依赖于波长的折射率造成）进行评估。除非另有指出，在本申请中提及的所有折射率值都基于该波长。

针对A<1的设计允许以消除典型矩形模块中的封装损耗的形式来截平透镜，在收集效率中没有增量损耗—适合于双轴跟踪光伏聚光器。图16呈示也包含恒定折射率芯的冠军设计。图16（a）示出适合于太阳能聚光器的球形GRIN透镜的n(r)，其中F=1.7并且A=0.65；图16（b）示出表征透镜性能的效率-聚光度曲线。几何效率不会解释与材料有关的菲涅尔反射和吸收，菲涅尔反射和吸收是特定案例，并且容易被并入。横坐标是指与热动力限制C_max={A/(F Sin(θ_sun))}²相比的聚光度C，在该情况下C_max为5847。解释对于离轴方向的自由光学容限的实际的聚光器设计预示着C≈1500[30]的设计，其中C/C_max≈0.26并且几何收集效率基本上是100%；图16（c）示出采用多色的扩展太阳能源（5mrad有效太阳角半径θ_sun包含与透镜误差卷积的固有太阳能碟）的光线追迹模拟（Light

Synopsys Inc.），图示非全孔径GRIN解在没有可收集辐射损耗时可以被怎样“切削”（即，孔径外部的透镜的球形帽被对称地截平，导致两个（上和下）平表面）。针对横跨太阳光谱的12个波长的每一个波长，跟踪在空间上均匀地分布并且以立体角投射的50000条光线。

图17示出另一个冠军设计的n(r)（F=1.32并且A=0.985，由于收集器固定，后者导致可收集辐射的3%的损耗）。在全100°接收角之上积分的在C=1500处的几何收集效率=95%（选择C=1500以基于C_max=22,730提供自由离轴容限），包括由于多色的扩展太阳能源导致的损耗。如果为了方便起见，将n(r)在0≤r≤0.15内近似为常量，那么透镜性能实质上不受影响。

图18呈示另一个冠军设计，其n(r)可以在其焦点中心处产生超出30000的太阳能通量浓度—迄今为止认为使用用于宽带辐射的单个透镜难以达到的辐照级别。（图18a示出针对F=1.09和A=0.99的n(r)分布，其中C_max=33000；图18b示出扩展的多色太阳能源的光线追迹。）尽管色散损耗导致一些辐射落到超高辐照区域的外部，但是在这里演示了这样的巨大通量密度完全可以产生—以纳米材料合成和聚光器太阳能电池特性的值。

在这里讨论的光学策略的高性能潜力还可以应用于2D系统，即，行聚焦柱形GRIN透镜，尽管可达到的聚光度大致为3D值的平方根。由于吸收器功率密度的稀释在2D中较不明显，因此效率-聚光度特性可以略微地更好。可替换地，具有合适的折射率分布的半球形GRIN透镜也可以被用于太阳能模块，该太阳能模块可以是平面覆盖釉的整体部分。使用关注从几百到10³sun量级的聚光度级别的当前的、投射的CPV应用，这里详细的分析被限制在3D系统。

在本文中描述的太阳能聚光器还可以被用于将光聚焦到光纤上，以及传送用于室内照明应用的自然光。它们还可以以相同的梯度折射率与圆柱体组合，并通过将光聚焦到靠近太阳能聚光的热动力限制的条带上来提供二维太阳能聚光，因此将适合于太阳能热应用。

如本文中所述的球形GRIN透镜还可以在当前使用的非固定系统中使用。因此，提供用于光伏太阳能聚光的系统，其包括：吸收器，该吸收器包括具有光接收表面的光伏电池；球形GRIN透镜，其中，光伏电池放置在离GRIN透镜的中心的一距离处，该距离等于GRIN透镜对于太阳光的焦距；以及可操作地耦合到GRIN透镜和光伏电池的跟踪装置，跟踪装置能够移动GRIN透镜以跟踪太阳光的轨迹，并移动光伏电池，从而使得连接GRIN透镜的中心和太阳的中心的线总是垂直于太阳能电池的光接收表面。此外，在该系统中，GRIN透镜可以是名义上理想的成像GRIN透镜，或者上述各种GRIN透镜中的任何一种。

除了光伏聚光以外，各种上述球形GRIN透镜可以被用于广泛的应用中，例如，它们可以作为成像系统（例如，红外成像系统、照相机、显微镜、望远镜），照明系统，以及期望或者需要光的高聚光度、短焦距和理想成像的其它装置之一的光学部件被并入。它们还可以被用于其中相对于通量浓度应用而言物体和像（源和目标）的角色被互换的应用（诸如准直仪）中。

下面是在本文中应用的参考文献列表，其序列号在本申请中以方括号列出（这些参考文献的公开内容通过引用并入本文）。

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本文中的描述仅仅说明了本公开主题的原理。考虑到本文中的教导，对上述实施例的各种修改和替换对于本领域技术人员来说都是显而易见的。此外，应当注意，在本文中使用的语言原则上是出于可读性和指导性的目的来选择的，并且不可以选择用来描绘或限定本发明的主题。因此，本文中的公开内容应当是示范性的，但是并限制本公开主题的范围。

Claims (44)

1.一种球形梯度折射率（GRIN）透镜，具有半径和径向对称的折射率分布n(r)，其中r是透镜内的径向位置并且0≤r≤1，其中n(r)满足如下：存在r_a和r_b，0<r_a<r_b<1，使得n(0)＞n(r_a)，n(r_b)＞n(r_a)，且n(r_b)>n(1)。

2.权利要求1所述的球形GRIN透镜，其中，进一步地，n(0)＞n(r_b)。

3.权利要求1所述的球形GRIN透镜，其中，进一步地，n(0)<n(r_b)。

4.前述权利要求中的任何一项所述的球形GRIN透镜，其中，进一步地，对于0≤r≤C₁，n(r)基本上恒定不变，其中C₁是从大约0.05到大约0.95的实数。

5.前述权利要求中的任何一项所述的球形GRIN透镜，其中，进一步地，存在r_c，其中r_b<r_c<1，使得在r_c≤r≤1范围内的n(r)基本上恒定不变。

6.一种球形梯度折射率（GRIN）透镜，具有半径和径向对称的折射率分布n(r)，其中r是透镜内的径向位置并且0≤r≤1，其中n(r)在0≤r≤C₂范围中基本上恒定不变，其中C₂是从大约0.05到大约0.9的实数。

7.权利要求6所述的球形GRIN透镜，其中C₂从大约0.1到大约0.6。

8.权利要求6所述的球形GRIN透镜，其中，进一步地，存在r_d，C₂<r_d<1，使得n(r_d)>n(C₂)。

9.权利要求8所述的球形GRIN透镜，其中，进一步地，n(r_d)＞n(1)。

10.前述权利要求中的任何一项所述的球形GRIN透镜，其中，进一步地，n(1)>1。

11.前述权利要求中的任何一项所述的球形GRIN透镜，其中，进一步地，n(r)具有最大值n_max和最小值n_min，并且其中n_max-n_min≤0.3。

12.权利要求11所述的球形GRIN透镜，其中n_max-n_min≤0.13。

13.权利要求11所述的球形GRIN透镜，其中n_max在从大约1.4到大约2的范围中。

14.前述权利要求中的任何一项所述的球形GRIN透镜，其中，在0≤r≤1的范围内的全部n(r)都是从包括透镜的孔径、透镜的期望焦距和n(1)的给定的一组输入参数数学推导出来的，使得该球形GRIN透镜整体上产生名义上理想的成像。

15.权利要求1-13中的任何一项所述的球形GRIN透镜，其中，n(r)至少包括依赖于r的两个部分：

（1）r_A≤r≤r_B的用户规定的部分，其中r_A和r_B∈(0,1)；

（2）0<r<r_A且r_B<r<1的部分，其中，n(r)是从包括透镜的孔径和透镜的期望焦距的一组输入参数数学推导出来的，使得该球形GRIN透镜整体上产生名义上理想的成像。

16.权利要求15所述的球形GRIN透镜，其中用户规定的部分在r_A≤r≤r_B内是常量。

17.权利要求15所述的球形GRIN透镜，其中用户规定的部分在r_A≤r≤r_B内是线性或非线性函数。

18.权利要求15所述的球形GRIN透镜，其中0<r_A<C₃，C₃是从大约0.6到大约0.95的范围中的实数，并且r_B=1。

19.根据前述权利要求中的任何一项所述的球形GRIN透镜，所述球形GRIN透镜由折射率在大约1.1到大约2.0的范围中的一种或多种材料制成。

20.根据前述权利要求中的任何一项所述的球形GRIN透镜，所述球形GRIN透镜由一种或多种聚合物材料制成。

21.根据前述权利要求中的任何一项所述的球形GRIN透镜，所述球形GRIN透镜具有小于1的孔径。

22.权利要求21所述的球形GRIN透镜，其中在孔径外部的透镜的球形帽是对称地截平的。

23.根据前述权利要求中的任何一项所述的球形GRIN透镜，所述球形GRIN透镜的焦距与该GRIN透镜的半径之比大于或等于1。

24.根据权利要求1-22中的任何一项所述的球形GRIN透镜，所述球形GRIN透镜的焦距与该GRIN透镜的半径之比小于1。

25.根据权利要求1-13和19-24中的任何一项所述的球形GRIN透镜，所述球形GRIN透镜产生名义上理想的成像。

26.根据前述权利要求中的任何一项所述的球形GRIN透镜，所述球形GRIN透镜作为成像系统、照相机、显微镜、望远镜、准直仪和照明系统中的一种的光学部件被合并。

27.一种用于获得具有半径的球形GRIN透镜的径向对称折射率分布n(r)的方法，其中r是透镜内的径向位置并且0≤r≤1，该方法包括：

为包括n(1)、透镜的焦距和透镜的孔径的一组输入参数中的每一个设置值；以及

使用计算机设备，基于为该组输入参数设置的值来数值地确定n(r)，从而使得该透镜产生名义上理想的成像。

28.根据权利要求27所述的方法，其中，为透镜表面的折射率设置的值大于1。

29.根据权利要求27所述的方法，其中，为透镜的孔径设置的值小于1。

30.一种用于获得具有半径的球形GRIN透镜的径向对称折射率分布n(r)的方法，其中r是透镜内的径向位置并且0≤r≤1，该方法包括：

提供r_A≤r≤r_B的范围的预定义函数；

为一组输入参数中的每一个设置值，这些参数包括透镜的焦距和透镜的孔径；以及

使用计算机设备，基于为该组输入参数设置的值，针对r的其余范围数值地确定n(r)，从而使得该透镜产生名义上理想的成像。

31.一种用于光伏太阳能聚光的系统，包括：

包括光伏电池的固定的吸收器；

球形梯度折射率（GRIN）透镜，其中，光伏电池放置在离GRIN透镜的中心的一距离处，该距离等于GRIN透镜对于太阳光的焦距；以及

可操作地耦合到GRIN透镜的跟踪装置，该跟踪装置能够移动GRIN透镜以在保持所述距离的同时跟踪太阳光的轨迹。

32.根据权利要求31所述的系统，其中，所述系统还包括背板，该背板具有附着有光伏电池的表面。

33.根据权利要求32所述的系统，其中，背板包含散热器。

34.根据权利要求31所述的系统，所述系统还包括包围固定的吸收器、GRIN透镜和跟踪装置的壳体。

35.根据权利要求31所述的系统，其中，球形GRIN透镜产生名义上理想的成像。

36.根据权利要求31所述的系统，其中，球形GRIN透镜是根据权利要求1-23和25中的任何一项所述的球形GRIN透镜。

37.根据权利要求31所述的系统，其中，所述系统的几何聚光度高达大约30000。

38.根据权利要求31所述的系统，其中，球形GRIN透镜的焦距与透镜的半径之比大于1.73。

39.一种利用太阳能的方法，包括：

把光伏电池放置在离球形GRIN透镜的中心的一距离处，该距离等于GRIN透镜对于太阳光的焦距；以及

移动GRIN透镜以在保持所述距离的同时跟踪太阳光的轨迹，其中，在移动GRIN透镜期间，光伏电池保持固定。

40.根据权利要求39所述的方法，其中，GRIN透镜是名义上理想成像的GRIN透镜。

41.根据权利要求39所述的方法，其中，GRIN透镜是根据权利要求1-23和25中的任何一项所述的GRIN透镜。

42.一种用于光伏太阳能聚光的系统，包括：

吸收器，该吸收器包括具有光接收表面的光伏电池；

球形梯度折射率（GRIN）透镜，其中，光伏电池放置在离GRIN透镜的中心的一距离处，该距离等于GRIN透镜对于太阳光的焦距；以及

可操作地耦合到GRIN透镜和光伏电池的跟踪装置，该跟踪装置能够移动GRIN透镜以跟踪太阳光的轨迹，并且能够移动光伏电池，从而使得连接GRIN透镜的中心和太阳光的中心的线总是垂直于光伏电池的光接收表面。

43.根据权利要求42所述的方法，其中，GRIN透镜是名义上理想成像的GRIN透镜。

44.根据权利要求42所述的方法，其中，GRIN透镜是根据权利要求1-23和25中的任何一项所述的GRIN透镜。

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