CN102904240B - 超/特高压输电线路潜供电弧抑制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种超/特高压输电线路潜供电弧的抑制电路及其抑制方法，其特征在于：抑制电路分别与超/特高压输电线路两端的第一断路器相并联，抑制电路包括串联连接的第二断路器和并联阻抗，所述并联阻抗包括一电阻和一电容，所述电阻和电容串联连接或并联连接。本发明的抑制电路及方法，相关参数基本不受故障位置、线路传输功率等的影响，能加速潜供电弧的熄灭，可作为现有潜供电弧抑制方法的有效补充。

Description

超/特高压输电线路潜供电弧抑制方法

技术领域

本发明主要应用于超/特高压交流输电线路，当输电线路发生故障时，可作为潜供电弧的抑制措施。

背景技术

超/特高压输电线路的故障90%以上为单相接地故障，其中又有70%以上为瞬时性故障。为提高系统稳定性和供电可靠性，单相自动重合闸技术在超/特高压线路上获得广泛应用。超/特高压输电线路较长，运行电压高，潜供电弧的熄灭是一个技术难题。如果潜供电弧不能及时熄灭，将使断路器重合于弧光接地故障，造成重合闸失败。

当前的潜供电弧抑制方法与熄灭技术主要包括：并联电抗器加中性点小电抗，快速接地开关，选择开关式并联电抗器组，串联补偿，混合式触发跳闸，线路分区或装设开关站来加速熄弧等。在此基础上，又出现了一系列的改进措施。针对同塔双回输电线路，可采用不同的并联电抗器接线形式以补偿健全回路对故障回路故障相的影响；针对并联电抗器，可采用电磁式或磁阀式的控制方式，通过改变电抗器的取值以适应输电线路运行工况的变化，实现系统无功平衡和潜供电弧的可靠熄灭；等。上述方法中，并联电抗器中性点加小电抗以及快速接地开关的应用最为广泛。尽管如此，这两种方法亦有不足之处：针对并联电抗器加中性点小电抗，小电抗的存在可能引发输电线路的非全相运行谐振过电压，特别对同塔多回输电线路，也会因回路间的电磁耦合而产生谐振；快速接地开关主要用于较短的输电线路，其经济性相对较差，且控制较为麻烦。

综上所述，目前已有的潜供电弧抑制措施效果都不是太理想，特别是针对超/特高压线路电压等级高、线路距离长的情况，必须进行必要的改进和设计。

发明内容

本发明专利的目的在于克服上述现有技术的不足，提供一种操作简单的潜供电弧抑制措施。

为解决上述技术问题，本发明提供一种超/特高压输电线路潜供电弧的抑制电路，其特征在于：抑制电路分别与超/特高压输电线路两端的第一断路器相并联，抑制电路包括串联连接的第二断路器和并联阻抗，所述并联阻抗包括一电阻和一电容，所述电阻和电容串联连接或并联连接。

一种超/特高压输电线路潜供电弧的抑制方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)通过试验获得输电线路的正序参数与零序参数；

2)在超/特高压输电线路两侧断路器处各设置一个并联阻抗Z₀，所述并联阻抗包括并联连接的电阻与电容，或串联连接的电阻与电容，所述并联阻抗连接第二断路器，形成电路分支，所述电路分支与超/特高压等级输电线路两端的第一断路器并联连接；

3)当输电线路正常运行时，与并联阻抗Z₀相连的第二断路器K₀打开；当输电线路发生故障时，故障相两侧的第一断路器K₁迅速分闸，第二断路器K₀迅速合闸，并联阻抗Z₀串入故障相；

4)当潜供电弧熄灭后，第一断路器K₁闭合，第二断路器K₀打开，并联阻抗从故障相切除，输电线路恢复正常运行。

前述的超/特高压输电线路潜供电弧的抑制方法，其特征在于：所述并联阻抗Z₀的参数设计方法包括以下步骤：

当输电线路不安装并联电抗器时，通过等效电路变换，分别计算故障相对故障点的等效电动势

等效阻抗Z₁，健全相对故障点的等效电动势等效阻抗Z₂，其中对于等效阻抗Z₁、等效电动势令：

Z₁₀=Rx+jω(L_s0+Lx)+Z₀        (4)

Z₁₁=Ry+jω(L_s1+Lx)+Z₀        (5)

Z₁₂=1/jωCl        (6)

得知，等效阻抗Z₁具有如下表达形式：

$Z_1=1/(\frac{1}{Z_{10}}+\frac{1}{Z_{11}}+\frac{1}{Z_{12}})---\left(7\right)$

对于等效电动势

可以导出：

$(\frac{1}{Z_{10}}+\frac{1}{Z_{11}}+\frac{1}{Z_{12}}){\stackrel{\·}{U}}_1=\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Ma}}}{Z_{10}}+\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Na}}}{Z_{11}}---\left(8\right)$

${\stackrel{\·}{U}}_1=\frac{\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Ma}}}{Z_{10}}+\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Na}}}{Z_{11}}}{\frac{1}{Z_{10}}+\frac{1}{Z_{11}}+\frac{1}{Z_{12}}}---\left(9\right)$

令：

$Z_{20}=\frac{\mathrm{rx}+\mathrm{j\ωLx}}{2}+\frac{\mathrm{j\ω}{L}_{s0}}{2}---\left(10\right)$

$Z_{21}=\frac{\mathrm{ry}+\mathrm{j\ωLy}}{2}+\frac{\mathrm{j\ω}{L}_{s1}}{2}---\left(11\right)$

为计算等效阻抗Z₂，忽略各电源电动势，通过等效变换，

设： $Z_{22}=\frac{1}{\mathrm{j\ω}2\mathrm{Cl}},$ $Z_{23}=\frac{1}{\mathrm{j\ω}2C_{1}l},$ 得知：

$Z_2=Z_{23}+1/(\frac{1}{Z_{20}}+\frac{1}{Z_{21}}+\frac{1}{Z_{22}})---\left(12\right)$

对于健全相对故障点的等效电动势通过下式求解：

${\stackrel{\·}{U}}_2\frac{\stackrel{\·}{U_{21}}+\stackrel{\·}{U_{22}}}{2}---\left(13\right)$

基于节点电压法，令输电线路故障点处两健全相的电压相量分别为

满足：

$Y_{11}\stackrel{\·}{U_{21}}+Y_{12}\stackrel{\·}{U_{22}}={\stackrel{\·}{I}}_1---\left(14\right)$

$Y_{21}\stackrel{\·}{U_{21}}+Y_{22}\stackrel{\·}{U_{22}}=\stackrel{\·}{I_2}---\left(15\right)$

其中：

$Y_{11}=\frac{1}{2Z_{20}}+\frac{1}{2Z_{21}}+\frac{1}{2Z_{22}}+\frac{3}{4}\frac{1}{Z_{23}}---\left(16\right)$

$Y_{12}=-\frac{3}{4}\frac{1}{Z_{23}}---\left(17\right)$

Y₂₁=Y₁₂        (18)

Y₂₂=Y₁₁        (19)

${\stackrel{\·}{I}}_1=\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mb}}}{2Z_{20}}+\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nb}}}{2Z_{21}}---\left(20\right)$

$\stackrel{\·}{I_2}=\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mc}}}{2Z_{20}}+\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nc}}}{2Z_{21}}---\left(21\right)$

联立式(16)至式(21)，可得：

${\stackrel{\·}{U}}_2=\frac{\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mb}}}{2Z_{20}}+\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nb}}}{{2Z}_{21}}+\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mc}}}{{2Z}_{20}}+\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nc}}}{{2Z}_{21}}}{\frac{1}{Z_{20}}+\frac{1}{Z_{21}}+\frac{1}{Z_{22}}}---\left(22\right)$

当输电线路安装并联电抗器时，L_M、L_N为线路首、末端并联电抗器的电感值，

分别为等效变换后的电源首未端三项电动势，L_s01为等效变换后线路首端健全相的系统等值电感，L_s02为等效变换后线路首端故障相的系统等值电感，L_s11为等效变换后线路末端健全相的系统等值电感、L_s12为等效变换后线路末端故障相的系统等值电感，令：

$k_0=\frac{L_M}{L_{s01}+L_M}---\left(23\right)$

$k_1=\frac{L_N}{L_{s1}+L_N}---\left(24\right)$

$k_2=\frac{\mathrm{j\ω}{L}_M}{Z_0+\mathrm{j\ω}(L_M+L_{s0})}---\left(25\right)$

$k_3=\frac{\mathrm{j\ω}{L}_N}{Z_0+\mathrm{j\ω}(L_N+L_{s0})}---\left(26\right)$

得：L_s01=k₀·L_s0，L_s11=k₁·L_s1， ${\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mb}1}=k_0{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mb}},$ ${\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mc}1}=k_0{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mc}},$ ${\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nb}1}=k_1{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nb}},$ ${\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nc}1}=k_1{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nc}},$ ${\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Ma}1}=k_2{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Ma}},$ ${\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Na}1}=k_3{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Na}};$

对于L_s02、L_s12，表示为：

$L_{s02}=\frac{\mathrm{jw}{L}_M{L}_{s0}-L_{s0}{Z}_0-{Z_0}^2/\mathrm{jw}}{\mathrm{jw}(L_M+L_{s0})+Z_0}---\left(28\right)$

$L_{s12}=\frac{\mathrm{j\ω}{L}_N{L}_{s1}-L_{s1}{Z}_0-{Z_0}^2/\mathrm{j\ω}}{\mathrm{j\ω}(L_N+L_{s1})+Z_0}---\left(29\right)$

将等效变换后获得的首端三相电动势

末端三相电动势

与电感L_s01、L_s11、L_s02、L_s12等参数分别代入式(7)、式(8)、式(12)和式(22)，求得安装并联电抗器时，故障相与健全相对故障点的等效电动势与等效阻抗值，Z₁为故障相对故障点的等效电动势与等效阻抗，

Z₂为健全相对故障点的等效电动势与等效阻抗，R_arc为潜供电弧电阻，

为潜供电弧电压与对应潜供电流，

为线路首端三相电动势，

为线路末端三相电动势，R、L、C为单位长度的线路电阻、电感及对地电容，C₁为单位长度的线路间互电容，R_arc为潜供电弧电阻，L_s0、L_s1分别为首端与末端电源的等值电感，x、y分别表示故障点距离线路首、末端的距离，l为线路长度；L_M、L_N为线路首、末端并联电抗器的电感值，Z₀为并联阻抗，j为虚数单元、ω为角频率。

本发明所达到的有益效果：

本发明的超/特高压输电线路潜供电弧的抑制电路及其方法，抑制电路包括串联连接的第二断路器和并联阻抗，并联阻抗包括一电阻和一电容，电阻和电容串联连接或并联连接，操作简单、易于实现且经济性较好，对正常情况下的输电线路不产生影响。本发明的抑制措施的相关参数基本不受故障位置、线路传输功率等的影响，能加速潜供电弧的熄灭，可作为现有潜供电弧抑制方法的有效补充；应用本方法，可将潜供电流的强制分量大大减小，加速潜供电弧的快速熄灭。

附图说明

图1为潜供电弧抑制措施的拓扑结构；

图2为并联阻抗Z₀的串联实现方式；

图3为并联阻抗Z₀的并联实现方式；

图4为故障点等效电路；

图5为输电线路等效回路；

图6为故障相等效电路；

图7为健全相等效电路；

图8为健全相等效阻抗简化；

图9为安装并联电抗器的输电线路等效电路；

图10为安装并联电抗器的线路等效变换；

图11为特高压输电线路潜供电流；

图12为特高压输电线路恢复电压；

图13为特高压输电线路潜供电流；

图14为特高压输电线路恢复电压。

具体实施方式

本发明的超/特高压输电线路潜供电弧的抑制电路其整体主要原理如下：

1.在输电线路两侧断路器处各设置一个并联阻抗，如图1所示，其中K₁为线路断路器，K₀为并联阻抗断路器，Z₀为并联阻抗。该并联阻抗的结构可通过两种方式实现，其中第一种为电阻与电容串联形式，如图2所示，第二种为电阻与电容并联形式，如图3所示。系统正常运行时，断路器K₁闭合，K₀断开，阻抗Z₀不接入输电线路，对线路不造成影响；当输电线路发生故障后，故障相两侧断路器K₁跳闸，K₀迅速闭合，将该阻抗串入故障电路。

2.输电线路故障时，健全相通过相间电磁耦合在故障点形成潜供电流，基于戴维南等效法则，对输电线路故障点处的等效回路进行简化，如图4所示。其中

Z₁为故障相对故障点的等效电动势与等效阻抗，

Z₂为健全相对故障点的等效电动势与等效阻抗，R_arc为潜供电弧电阻。

为潜供电弧电压与对应潜供电流，可知：

$(\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}+\frac{1}{R_{\mathrm{arc}}})\stackrel{\·}{U}=\frac{1}{Z_1}{\stackrel{\·}{U}}_1+\frac{1}{Z_2}{\stackrel{\·}{U}}_2---\left(1\right)$

$\stackrel{\·}{I}=\frac{\stackrel{\·}{U}}{R_{\mathrm{arc}}}---\left(2\right)$

当

Z₁、

Z₂满足如下条件：

$Z_1=-\frac{{\stackrel{\·}{U}}_1}{{\stackrel{\·}{U}}_2}{Z}_2---\left(3\right)$

则

即流过故障点的潜供电流为零，且电弧熄灭后形成的恢复电压亦将为零。

通过改变并联阻抗Z₀的值，可间接改变Z₁，当Z₁满足上述条件时，即可达到有效抑制潜供电流与恢复电压的目的，加速潜供电弧的熄灭。通过设置合理的阻抗值Z₀，可使得健全相电磁耦合形成的电流与故障相注入的电流幅值相等且相位相反，则流过故障点的潜供电流为零，实现潜供电弧的快速熄灭。

发生单相接地故障时的输电系统等效电路如图5所示，其中

为线路首端三相电动势，

为线路末端三相电动势，R、L、C为单位长度的线路电阻、电感及对地电容，C₁为单位长度的线路间互电容，R_arc为潜供电弧电阻，L_s0、L_s1分别为首端与末端电源的等值电感，x、y分别表示故障点距离线路首、末端的距离，l为线路长度。

当输电线路不安装并联电抗器时，通过等效电路变换，分别计算故障相对故障点的等效电动势

等效阻抗Z₁，健全相对故障点的等效电动势

等效阻抗Z₂。其中对于Z₁、

等效计算电路如图6所示。

令：

Z₁₀=Rx+jω(L_s0+Lx)+Z₀        (4)

Z₁₁=Ry+jω(L_s1+Lx)+Z₀        (5)

Z₁₂=1/jωCl         (6)

易知，等效阻抗Z₁具有如下表达形式：

$Z_1=1/(\frac{1}{Z_{10}}+\frac{1}{Z_{11}}+\frac{1}{Z_{12}})---\left(7\right)$

对于

可以导出：

$(\frac{1}{Z_{10}}+\frac{1}{Z_{11}}+\frac{1}{Z_{12}}){\stackrel{\·}{U}}_1=\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Ma}}}{Z_{10}}+\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Na}}}{Z_{11}}---\left(8\right)$

${\stackrel{\·}{U}}_1=\frac{\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Ma}}}{Z_{10}}+\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Na}}}{Z_{11}}}{\frac{1}{Z_{10}}+\frac{1}{Z_{11}}+\frac{1}{Z_{12}}}---\left(9\right)$

对于Z₂、

可参照图7的等效电路。

令：

$Z_{20}=\frac{\mathrm{Rx}+\mathrm{j\ωLx}}{2}+\frac{\mathrm{j\ω}{L}_{s0}}{2}---\left(10\right)$

$Z_{21}=\frac{\mathrm{Ry}+\mathrm{j\ωLy}}{2}+\frac{\mathrm{j\ω}{L}_{s1}}{2}---\left(11\right)$

为计算等效阻抗Z₂，忽略各电源电动势，通过等效变换，图7可简化为图8所示的形式。

设： $Z_{22}=\frac{1}{\mathrm{j\ω}2\mathrm{Cl}},$ $Z_{23}=\frac{1}{\mathrm{j\ω}2C_{1}l},$ 易知：

$Z_2=Z_{23}+1/(\frac{1}{Z_{20}}+\frac{1}{Z_{21}}+\frac{1}{Z_{22}})---\left(12\right)$

对于

可通过下式求解：

${\stackrel{\·}{U}}_2\frac{\stackrel{\·}{U_{21}}+\stackrel{\·}{U_{22}}}{2}---\left(13\right)$

基于节点电压法，

满足：

$Y_{11}\stackrel{\·}{U_{21}}+Y_{12}\stackrel{\·}{U_{22}}={\stackrel{\·}{I}}_1---\left(14\right)$

$Y_{21}\stackrel{\·}{U_{21}}+Y_{22}\stackrel{\·}{U_{22}}=\stackrel{\·}{I_2}---\left(15\right)$

其中：

$Y_{11}=\frac{1}{2Z_{20}}+\frac{1}{2Z_{21}}+\frac{1}{2Z_{22}}+\frac{3}{4}\frac{1}{Z_{23}}---\left(16\right)$

$Y_{12}=-\frac{3}{4}\frac{1}{Z_{23}}---\left(17\right)$

Y₂₁=Y₁₂        (18)

Y₂₂=Y₁₁        (19)

${\stackrel{\·}{I}}_1=\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mb}}}{2Z_{20}}+\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nb}}}{2Z_{21}}---\left(20\right)$

$\stackrel{\·}{I_2}=\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mc}}}{2Z_{20}}+\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nc}}}{2Z_{21}}---\left(21\right)$

联立式(16)至式(21)，可得：

${\stackrel{\·}{U}}_2=\frac{\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mb}}}{2Z_{20}}+\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nb}}}{{2Z}_{21}}+\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mc}}}{{2Z}_{20}}+\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nc}}}{{2Z}_{21}}}{\frac{1}{Z_{20}}+\frac{1}{Z_{21}}+\frac{1}{Z_{22}}}---\left(22\right)$

当输电线路安装并联电抗器时(设安装于线路两侧)，其等效电路如图9所示。其中L_M、L_N为线路首、末端并联电抗器的电感值。图10为图9的等效变换形式，其中

分别为等效变换后的电源电动势，L_s01、L_s11、L_s02、L_s12为等效变换后的系统等值电感。

为便于描述，作如下定义：

$k_0=\frac{L_M}{L_{s01}+L_M}---\left(23\right)$

$k_1=\frac{L_N}{L_{s1}+L_N}---\left(24\right)$

$k_2=\frac{\mathrm{j\ω}{L}_M}{Z_0+\mathrm{j\ω}(L_M+L_{s0})}---\left(25\right)$

$k_3=\frac{\mathrm{j\ω}{L}_N}{Z_0+\mathrm{j\ω}(L_N+L_{s0})}---\left(26\right)$

易得：L_s01=k₀·L_s0，L_s11=k₁·L_s1， ${\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mb}1}=k_0{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mb}},$ ${\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mc}1}=k_0{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mc}},$ ${\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nb}1}=k_1{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nb}},$ ${\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nc}1}=k_1{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nc}},$ ${\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Ma}1}=k_2{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Ma}},$ ${\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Na}1}=k_3{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Na}}.$

对于L_s02、L_s12，可表示为：

$L_{s02}=\frac{\mathrm{j\ω}{L}_M{L}_{s0}-L_{s0}{Z}_0-{Z_0}^2/\mathrm{j\ω}}{\mathrm{j\ω}(L_M+L_{s0})+Z_0}---\left(28\right)$

$L_{s12}=\frac{\mathrm{j\ω}{L}_N{L}_{s1}-L_{s1}{Z}_0-{Z_0}^2/\mathrm{j\ω}}{\mathrm{j\ω}(L_N+L_{s1})+Z_0}---\left(29\right)$

将等效变换后获得的电动势

与电感（L_s01、L_s11、L_s02、L_s12）等参数分别代入式(7)、式(8)、式(12)和式(22)，可求得安装并联电抗器时，故障相与健全相对故障点的等效电动势与等效阻抗值。

采用我国特高压示范工程南阳至荆门段输电线路模型，采用本发明专利提出的方法进行分析。当输电线路不安装并联电抗器时，典型的潜供电流与恢复电压波形分别如图11、图12所示。当输电线路安装并联电抗器时，典型的潜供电流与恢复电压波形分别如图13、图14所示。研究结果表明，应用本发明专利，可将潜供电流的强制分量减小到极低水平，将大大加速潜供电弧的熄灭。

以上已以较佳实施例公开了本发明，然其并非用以限制本发明，凡采用等同替换或者等效变换方式所获得的技术方案，均落在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种超/特高压输电线路潜供电弧的抑制方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)通过试验获得输电线路的正序参数与零序参数；

2)在超/特高压输电线路两侧分别设置一组断路器，每组断路器包括第一断路器K₁和第二断路器K₀，第二断路器K₀串联连接一个并联阻抗Z₀，所述第一断路器K₁、第二断路器K₀和并联阻抗Z₀形成电路分支，所述并联阻抗Z₀包括并联连接的电阻与电容，或串联连接的电阻与电容，所述电路分支与超/特高压输电线路两端的第一断路器K₁并联连接；

3)当输电线路正常运行时，与并联阻抗Z₀相连的第二断路器K₀打开；当输电线路发生故障时，故障相两侧的第一断路器K₁分闸，第二断路器K₀合闸，并联阻抗Z₀串入故障相；

4)当潜供电弧熄灭后，第一断路器K₁闭合，第二断路器K₀打开，并联阻抗Z₀从故障相切除，输电线路恢复正常运行，

所述并联阻抗Z₀的参数设计方法包括以下步骤：

当输电线路不安装并联电抗器时，通过等效电路变换，分别计算故障相对故障点的等效电动势

等效阻抗Z₁，健全相对故障点的等效电动势

等效阻抗Z₂，其中对于等效阻抗Z₁、等效电动势

令：

Z₁₀=Rx+jω(L_s0+Lx)+Z₀        (4)

Z₁₁=Ry+jω(L_s1+Lx)+Z₀        (5)

Z₁₂=1/jωCl        (6)

易知，等效阻抗Z₁具有如下表达形式：

$Z_1=1/(\frac{1}{Z_{10}}+\frac{1}{Z_{11}}+\frac{1}{Z_{12}})---\left(7\right)$

对于等效电动势

可以导出：

$(\frac{1}{Z_{10}}+\frac{1}{Z_{11}}+\frac{1}{Z_{12}}){\stackrel{\·}{U}}_1=\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Ma}}}{Z_{10}}+\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Na}}}{Z_{11}}---\left(8\right)$

${\stackrel{\·}{U}}_1=\frac{\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Ma}}}{Z_{10}}+\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Na}}}{Z_{11}}}{\frac{1}{Z_{10}}+\frac{1}{Z_{11}}+\frac{1}{Z_{12}}}---\left(9\right)$

令：

$Z_{20}=\frac{\mathrm{Rx}+\mathrm{j\ωLx}}{2}+\frac{\mathrm{j\ω}{L}_{s0}}{2}---\left(10\right)$

$Z_{21}=\frac{\mathrm{Ry}+\mathrm{j\ωLy}}{2}+\frac{\mathrm{j\ω}{L}_{s1}}{2}---\left(11\right)$

为计算等效阻抗Z₂，忽略各电源电动势，通过等效变换，

设： $Z_{22}=\frac{1}{\mathrm{j\ω}2\mathrm{Cl}},$ $Z_{23}=\frac{1}{\mathrm{j\ω}2C_{1}l},$ 得知：

$Z_2=Z_{23}+1/(\frac{1}{Z_{20}}+\frac{1}{Z_{21}}+\frac{1}{Z_{22}})---\left(12\right)$

对于健全相对故障点的等效电动势通过下式求解：

${\stackrel{\·}{U}}_2\frac{\stackrel{\·}{U_{21}}+\stackrel{\·}{U_{22}}}{2}---\left(13\right)$

基于节点电压法，令输电线路故障点处两健全相的电压相量分别为

满足：

$Y_{11}\stackrel{\·}{U_{21}}+Y_{12}\stackrel{\·}{U_{22}}={\stackrel{\·}{I}}_1---\left(14\right)$

$Y_{21}\stackrel{\·}{U_{21}}+Y_{22}\stackrel{\·}{U_{22}}=\stackrel{\·}{I_2}---\left(15\right)$

其中：

$Y_{11}=\frac{1}{2Z_{20}}+\frac{1}{2Z_{21}}+\frac{1}{2Z_{22}}+\frac{3}{4}\frac{1}{Z_{23}}---\left(16\right)$

$Y_{12}=-\frac{3}{4}\frac{1}{Z_{23}}---\left(17\right)$

Y₂₁=Y₁₂        (18)

Y₂₂=Y₁₁        (19)

${\stackrel{\·}{I}}_1=\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mb}}}{2Z_{20}}+\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nb}}}{2Z_{21}}---\left(20\right)$

$\stackrel{\·}{I_2}=\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mc}}}{2Z_{20}}+\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nc}}}{2Z_{21}}---\left(21\right)$

联立式(16)至式(21)，可得：

${\stackrel{\·}{U}}_2=\frac{\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mb}}}{2Z_{20}}+\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nb}}}{{2Z}_{21}}+\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mc}}}{{2Z}_{20}}+\frac{{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nc}}}{{2Z}_{21}}}{\frac{1}{Z_{20}}+\frac{1}{Z_{21}}+\frac{1}{Z_{22}}}---\left(22\right)$

当输电线路安装并联电抗器时，L_M、L_N为线路首、末端并联电抗器的电感值，

分别为等效变换后的电源首末端三相电动势，L_s01为等效变换后线路首端健全相的系统等值电感，L_s02为等效变换后线路首端故障相的系统等值电感，L_s11为等效变换后线路末端健全相的系统等值电感、L_s12为等效变换后线路末端故障相的系统等值电感，令：

$k_0=\frac{L_M}{L_{s01}+L_M}---\left(23\right)$

$k_1=\frac{L_N}{L_{s1}+L_N}---\left(24\right)$

$k_2=\frac{\mathrm{j\ω}{L}_M}{Z_0+\mathrm{j\ω}(L_M+L_{s0})}---\left(25\right)$

$k_3=\frac{\mathrm{j\ω}{L}_N}{Z_0+\mathrm{j\ω}(L_N+L_{s0})}---\left(26\right)$

得：L_s01=k₀·L_s0，L_s11=k₁·L_s1， ${\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mb}1}=k_0{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mb}},$ ${\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mc}1}=k_0{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Mc}},$ ${\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nb}1}=k_1{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nb}},$ ${\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nc}1}=k_1{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Nc}},$ ${\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Ma}1}=k_2{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Ma}},$ ${\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Na}1}=k_3{\stackrel{\·}{E}}_{\mathrm{Na}};$

对于L_s02、L_s12，表示为：

$L_{s02}=\frac{\mathrm{jw}{L}_M{L}_{s0}-L_{s0}{Z}_0-{Z_0}^2/\mathrm{jw}}{\mathrm{jw}(L_M+L_{s0})+Z_0}---\left(28\right)$

$L_{s12}=\frac{\mathrm{j\ω}{L}_N{L}_{s1}-L_{s1}{Z}_0-{Z_0}^2/\mathrm{j\ω}}{\mathrm{j\ω}(L_N+L_{s1})+Z_0}---\left(29\right)$

将等效变换后获得的首端三相电动势

末端三相电动势

等效变换后线路首端健全相的系统等值电感L_s01、等效变换后线路首端故障相的系统等值电感L_s02，等效变换后线路末端健全相的系统等值电感L_s11、等效变换后线路末端故障相的系统等值电感L_s12参数分别代入式(7)、式(8)、式(12)和式(22)，求得安装并联电抗器时，故障相与健全相对故障点的等效电动势与等效阻抗值，其中，Z₁为故障相对故障点的等效电动势与等效阻抗，

Z₂为健全相对故障点的等效电动势与等效阻抗，R_arc为潜供电弧电阻，

为潜供电弧电压与对应潜供电流，

为线路首端三相电动势，

为线路末端三相电动势，R、L、C为单位长度的线路电阻、电感及对地电容，C₁为单位长度的线路间互电容，R_arc为潜供电弧电阻，L_s0、L_s1分别为首端与末端电源的等值电感，x、y分别表示故障点距离线路首、末端的距离，l为线路长度；L_M、L_N为线路首、末端并联电抗器的电感值，Z₀为并联阻抗，j为虚数单元、ω为角频率。

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