CN102880783A - 一种确定同轴结构微放电阈值的方法 - Google Patents

Abstract

一种确定同轴结构微放电阈值的方法，确定同轴结构中的电子运动轨迹及电子运动速度；将出射速度满足的麦克斯韦分布的概率转化为渡越时间的联合概率密度函数；分别对四类概率密度函数进行最大值和单调性处理，得到处理后的联合概率密度函数；将电子的碰撞动能作为材料的二次电子发射特性的入射电子能量，获得该渡越时间下电子碰撞时产生的二次电子倍增函数；构建微放电时电子数目满足的稳态方程；通过求解稳态方程中有效二次电子倍增率，判断该电压是否会发生微放电；采用二分法逐步计算下一电压的有效倍增率，该有效倍增率为1时对应的电压即为微放电阈值。本发明能够获得准确的微放电阈值，同时获得阈值的速度快。

Description

一种确定同轴结构微放电阈值的方法

技术领域

本发明涉及一种确定同轴结构微放电阈值的方法，适用于不发生微放电的同轴结构微波部件的设计及同轴结构微波部件微放电阈值的预测。

背景技术

微放电效应也称二次电子倍增效应，是指部件处于1×10^-3Pa或更低压强时，在承受大功率的情况下发生的谐振放电现象。航天器载荷中大功率微波部件如输出多工器、滤波器、开关矩阵、天线馈源等极易产生微放电效应，微放电效应一旦发生将造成严重后果：噪声电平抬高，输出功率下降；微波传输系统驻波比增大，反射功率增加，信道阻塞；微波部件表面损坏，载荷寿命缩短；航天器载荷永久性失效，因此大功率微波部件的研制过程中微放电是必须要克服的效应之一。

微放电的敏感阈值是工程人员设计不发生微放电的微波部件的参考依据，目前预测微放电阈值的方法可以分为以下几种：一是由平行平板结果推演而来，如ESA的Multipactor Calcultor；二是通过轨迹追踪法，如FEST 3D；三是FDTD与PIC结合的方法，如CST的粒子工作室。ESA的MultipactorCalcultor计算器对于同轴结构的微放电阈值计算由于是从平板结构推演而来，预测结果与实验结果相比误差较大。

但上述已有方法存在的缺点主要体现在：(1)未考虑电子实际出射时的速度分布和相位分布；(2)采用了固定的二次电子发射模型或描述二次电子发射的简单固定参数，从而不能描述实际部件表面的二次电子发射特性，导致计算的微波部件微放电阈值出现偏差；(3)计算时间长，不利于为高微放电阈值的微波部件设计提供参考。

发明内容

本发明技术解决问题：克服现有技术的不足，提供一种确定同轴结构微放电阈值的方法，该方法能够获得准确的微放电阈值，同时获得阈值的速度快。

本发明技术解决方案：一种确定同轴结构微放电阈值的方法，其特点包括以下几个步骤：

(1)根据电子在同轴结构中所受到的电场力和磁场力，由电子运动满足的Newton-Lorentz方程确定同轴结构中的电子的运动轨迹及运动速度；

(2)根据电子完成碰撞时出射速度与渡越时间的一一对应性，将出射速度满足的麦克斯韦分布概率转化联立为渡越时间的联合概率函数概率；

(3)根据电子的初始位置和发生的碰撞类型，所述电子初始位置分为：内径出射和外径出射；所述碰撞类型包括：双边碰撞和单边碰撞；将步骤(2)得到的概率密度函数分为四类：内径单边、内径双边、外径单边与外径双边，结合步骤(1)中的电子运动轨迹，分别对这四类概率密度函数进行最大值和单调性处理；

(4)利用步骤(1)得到的电子运动速度，建立电子碰撞动能与渡越时间的关系，将电子的碰撞动能作为材料的二次电子发射特性的入射电子能量，获得该渡越时间下电子碰撞时产生的二次电子数目；

(5)基于发生微放电时相邻两次碰撞的电子出射相位分布稳定的基础，根据步骤(3)得到的概率密度函数与步骤(4)得到的二次电子倍增率函数构建微放电时电子数目满足的稳态方程；通过求解稳态方程中有效二次电子倍增率，判断该电压是否会发生微放电；采用二分法逐步计算下一电压的有效倍增率，该有效倍增率为1时对应的电压即为微放电阈值。

所述步骤(1)确定同轴结构中的电子运动轨迹及电子运动速度的方法为：

(1)电子满足的Newton-Lorentz为：

$m\stackrel{\·\·}{\stackrel{\→}{r}}\left(t\right)=-e(\stackrel{\→}{E}(\stackrel{\→}{r},t)+\stackrel{\·}{\stackrel{\→}{r}}\left(t\right)\×\stackrel{\→}{B}(\stackrel{\→}{r},t))$

m表示电子的质量，e表示电子的电量，t表示电子的运动时间，表示电子的运动轨迹，和

分别表示电子轨迹的一阶导数和两阶导数，即电子运动的速度和加速度，

表示同轴结构中的电场分布，

表示同轴结构中的磁场分布；

将电子满足的Newton-Lorentz方程分解到柱坐标系的三个方向上，忽略影响电子运动较小的力，在非相对论情况下，磁场力远远小于电场力，忽略磁场力；

(2)若同轴结构中电场与位置无关，此时电场和磁场为

和

则电子运动时间为t的电子运动轨迹和电子运动速度分别为：

$r\left(t\right)=-\frac{e}{m}\∫\∫\stackrel{\→}{E}\left(t\right)\mathrm{dt}$

$v\left(t\right)=\stackrel{\·}{\stackrel{\→}{r}}\left(t\right)=-\frac{e}{m}\∫\stackrel{\→}{E}\left(t\right)\mathrm{dt}$

若同轴结构中电场与位置有关，将电子的位移分为引导电子整体运动趋势的平均位移和射频场引起的快速振荡位移，采用微扰法进行求解，获得电子运动轨迹及电子运动速度方程。

所述步骤(2)的联合概率密度函数为：

$G\left(t\right|t_0;r)=\left|\frac{\mathrm{dg}\left(t\right|t_0;r)}{\mathrm{dt}}\right|f\left[g\left(t\right|t_0;r)\right]$

t表示电子在同轴结构内、外导体间的渡越时间，t₀表示电子的出射时刻，r表示电子的运动轨迹，G(t|t₀；r)表示联合概率密度函数，g(t|t₀；r)表示电子的出射速度，f[g(t|t₀；r)]表示电子出射速度满足的麦克斯韦分布函数，

$g\left(t\right|t_0;r)=v_0=\stackrel{\·}{r}\left(t_0\right),v\≥0$

$f\left(v_0\right)=\frac{v_0}{v_T^2}\exp (-\frac{{v_0}^2}{{2v}_T^2}),v\≥0,\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}f\left(v_0\right){\mathrm{dv}}_0=1$

v_T表示热力学速度，v₀表示电子出射时刻的速度。

所述步骤(3)的四类碰撞分别为：

外径双边：G_ds，o(t|t₀；r)    内径双边：G_ds，i(t|t₀；r)

外径单边：G_ss，o(t|t₀；r)    内径单边：G_ss，i(t|t₀；r)

令最大值处理函数：

$\mathrm{\θ}(t;t_{\max })=\left\{\begin{array}{c}0,t>t_{\max };\\ 1,t\≤t_{\max }.\end{array}\right.$

当电子从外径出射时， $t_{\max }=t_0-\frac{\mathrm{XY}}{Y^2+{\mathrm{\Λ}}^2/\left({2\mathrm{\ω}}^2{X}^2\right)};$

当电子从内径出射时， $t_{\max }=-t_0+\frac{2\mathrm{\π}+\arccos (\stackrel{\·}{r}\left(t_0\right)R_i/{\mathrm{eE}}_0{R}_o+\cos \left({\mathrm{\ωt}}_0\right))}{\mathrm{\ω}};$

其中，t_max表示最大渡越时间，ω为微波角频率，

Λ＝eE₀/m，e和m分别表示电子的电量和质量，v_critical表示单边与双边碰撞的临界速度，E₀为径向电场强度最大值，R_i和R_o分别表示同轴结构的内径和外径；

$v_{\mathrm{critical}}=\frac{\mathrm{\Λ}}{\mathrm{\ω}}\sqrt{\frac{2}{{(R_i-\sqrt{{R_i}^2+4\mathrm{\Λ}/{\mathrm{\ω}}^2})}^2}-\frac{1}{{{2R}_o}^2}}-\frac{\mathrm{\Λ}\cos \left({\mathrm{\ωt}}_0\right)}{{\mathrm{\ωR}}_o}$

令单调性函数：

$\mathrm{\χ}(t;\underset{k}{\∪}\mathrm{\Δk})=\left\{\begin{array}{c}0,t\∈\underset{k}{\∪}\mathrm{\Δk};\\ 1,t\∉\underset{k}{\∪}\mathrm{\Δk};\end{array}\right.$

将碰撞前的一个周期[t_i-T，t_i)划分为n个区间，n≥100：[t₀，t₁)，[t₁，t₂)，...，[t_n-1，t_n)，t_p＝t_i-T+p/nT，p＝0，1，...，n，令

F(t_p)＝[r(t_p)-r(t_i)][r(t_p+1)-r(t_i)]    p＜n

如果F(t_p)＞0，区间[tp，tp+1)∈Δk，如果F(t_p)≤0，区间

其中，r(t_i)表示碰撞时刻为ti的电子位置，其中，r表示电子的运动轨迹，Δk表示满足单调性处理的时间区间。

所述步骤(4)中二次电子倍增函数的确定方法为：

电子的碰撞速度

电子的碰撞能量

电子的碰撞能量作为二次电子发射模型中的入射电子能量，通过选用的二次电子发射模型计算出同轴传输线材料的二次电子发射系数，从而获得出射时刻为t₀，以渡越时间t完成对应碰撞类型的电子产生的二次电子倍增函数：

σ_i(t_i|t₀；r)＝σ(W_i)

t_i表示电子的碰撞时刻，t_i＝t+t₀，m表示电子的质量，t表示电子的渡越时间，r表示电子的运动轨迹。

所述步骤(5)中构建的微放电的稳态方程及求解方法为：

(51)微放电的稳态方程：

${\mathrm{\σ}}^{\mathrm{eff}}{f}^{\mathrm{st}}\left(t_{1,i}^{\mathrm{st}}\right)=\underset{0}{\overset{T}{\∫}}{\mathrm{dt}}_{\mathrm{2,0}}^{\mathrm{st}}(K_{\mathrm{ds},i}\left(t_{1,i}^{\mathrm{st}}\right|t_{\mathrm{2,0}}^{\mathrm{st}})+K_{\mathrm{ss},i}\left(t_{1,i}^{\mathrm{st}}\right|t_{\mathrm{2,0}}^{\mathrm{st}}))\underset{0}{\overset{T}{\∫}}(K_{\mathrm{ds},o}\left(t_{\mathrm{2,0}}^{\mathrm{st}}\right|t_{\mathrm{1,0}}^{\mathrm{st}-1})+K_{\mathrm{ss},o}\left(t_{\mathrm{2,0}}^{\mathrm{st}}\right|t_{\mathrm{1,0}}^{\mathrm{st}-1}))f^{\mathrm{st}}\left(t_{\mathrm{1,0}}^{\mathrm{st}-1}\right){\mathrm{dt}}_{\mathrm{1,0}}^{\mathrm{st}-1}$

其中

$K_{\mathrm{coll}\_\mathrm{type},\mathrm{ini}\_\mathrm{position}}\left(t^{\′\′}\right|t^{\′})=W_{\mathrm{coll}\_\mathrm{type},\mathrm{ini}\_\mathrm{position}}\left(t^{\′\′}\right|t^{\′})\mathrm{\δ}\left(t^{\′\′}\right|t^{\′})+\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{W}_{\mathrm{coll}\_\mathrm{type},\mathrm{ini}\_\mathrm{position}}(t^{\′\′}+\mathrm{nT}|t^{\′});$

W_{coll_type，ini_position}(t″|t′)＝G_{coll_type，ini_position}(t|t′；r)σ_{coll_type，ini_position}(t″|t′；r)

$\mathrm{\δ}\left(t\right|t^{\′})=\left\{\begin{array}{cc}1& t>t^{\′}\\ 0& t\≤t^{\′}\end{array}\right.$

下标coll_type表示碰撞类型(ds或ss)，ini_position表示电子的初始位置i或o，σ^eff表示有效二次电子倍增率，f^st(t)表示微放电时达到稳态的电子出射时刻相位分布，T为同轴结构传输的微波周期，t的上标st表示达到稳态时的碰撞，st-1表示稳态的前一次碰撞，t的下标1和2表示电子出射的位置，若1表示电子此刻处于外径，则2表示电子此刻处于内径，反之，若1表示电子此刻处于内径，则2表示电子此刻处于外径，t的下标0和i分别表示初始时刻和碰撞时刻；

(52)稳态积分方程采用矩阵形式展开，进行数值求解：

令 $U_i\left(t_{1,i}^{\mathrm{st}}\right|t_{\mathrm{2,0}}^{\mathrm{st}})=K_{\mathrm{ds},i}\left(t_{1,i}^{\mathrm{st}}\right|t_{\mathrm{2,0}}^{\mathrm{st}})+K_{\mathrm{ss},i}\left(t_{1,i}^{\mathrm{st}}\right|t_{\mathrm{2,0}}^{\mathrm{st}}),$ $U_o=\left(t_{\mathrm{2,0}}^{\mathrm{st}}\right|t_{\mathrm{1,0}}^{\mathrm{st}-1})=K_{\mathrm{ds},o}\left(t_{\mathrm{2,0}}^{\mathrm{st}}\right|t_{\mathrm{1,0}}^{\mathrm{st}-1})+K_{\mathrm{ss},o}\left(t_{\mathrm{2,0}}^{\mathrm{st}}\right|t_{\mathrm{1,0}}^{\mathrm{st}-1})$

$C_{\mathrm{mm}}=A_{\mathrm{mm}}^o*A_{\mathrm{mm}}^i$

矩阵

的元素为

${\mathrm{Ak}}_{\mathrm{ij}}^o=h*U_o\left(t_i\right|t_j)$

矩阵

的元素为

${\mathrm{Ak}}_{\mathrm{ij}}^i=h*U_i\left(t_i\right|t_j)$

其中，h＝T/q，T为微波周期，q是大于200的正整数，

和

的下标i和j表示矩阵行和列，t_i＝ih，t_j＝jh，i，j＝1，2，...，q；

求解矩阵C_mm的特征值，从获得的m个特征值中选取最大的特征值λ_max，则σ^eff＝λ_max；

如果σ^eff＞1表示该电压下会发生微放电，σ^eff＜1表示该电压下不会发生微放电，σ^eff＝1表示该电压时微放电的阈值。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)本发明采用Maxwell统计分布描述电子从材料表面出射时的速度分布，更加符合电子出射的实际状态；

(2)本发明可选用的二次发射模型更广泛，可采用更接近实际部件表面材料的二次电子发射模型或者可直接采用测量的二次电子发射特性，从而使计算结果更加准确。

(3)本发明提供的方法计算速度快，更适于工程上预测微放电阈值。

总之，本发明获得的同轴传输线微放电阈值已经通过微放电实验验证，预测结果与实验结果基本吻合，方法可行，获得阈值速度快，因此具有实用性。

附图说明

图1为本发明的实现流程图；

图2为本发明涉及的同轴结构的示意简图；Ro和Ri分别为同轴结构的外径和内径；

图3为本发明测量的二次电子发射系数，横坐标是入射电子能量(单位：eV)，纵坐标是二次电子发射系数；

图4为外径与内径比值2，3的同轴结构的微放电敏感区域。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明进一步详细说明。

假设同轴传输线外径Ro＝3.55mm，内径Ri＝1.54mm，射频场频率f＝1.6GHz，放电间隙d＝Ro-Ri＝2.01mm，角频率ω＝2πf＝10¹⁰rad/s，内外导体间施加电压U₀＝200V。

令m＝200，T＝1/1.6GHz＝0.625ns，h＝3.125×10^-12s。t_{1，2，...，m}＝3.125×10^-12s，6.25×10^-12s，...，6.25×10^-10s。

同轴传输线的结构简图如图2所示，本发明的具体步骤如下：

按照步骤一：

同轴传输线传输主模时内部的电磁场分布为：

$E_r=\frac{U_0}{r\ln (R_o/R_i)}{e}^{j(\mathrm{\ωt}-\mathrm{\βz})}=\frac{E_0}{r}{e}^{j(\mathrm{\ωt}-\mathrm{\βz})}$

其中，r表示同轴结构的径向，E₀表示径向电场强度最大值，t表示电子的运动时间，β表示相位常数，z表示同轴结构的传输距离，ε₀表示真空介电常数，μ₀表示真空磁导率。

由于

(真空磁导率μ₀＝4π×10^-7H/m，光速c＝3×10⁸m/s)，磁场力远远小于电场力，忽略磁场力。

电子满足的Newton-Lorentz方程为：

$\stackrel{\·\·}{r}=-\frac{{\mathrm{eE}}_0}{\mathrm{mr}}\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)=-\frac{\mathrm{\Λ}}{r}\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)$

Λ＝eE₀/m＝4.213×10¹³，此处的e和m表示电子的电量和质量，由于该结构中电场与位置有关，可采用微扰法求解。将电子的轨迹r(t)分解为平衡项R(t)和微扰项x(t)，即

r(t)＝R(t)+x(t)

将电子的运动方程按照泰勒展开为

$\stackrel{\·\·}{R}\left(t\right)+\stackrel{\·\·}{x}\left(t\right)=-\frac{\mathrm{\Λ}}{R\left(t\right)+x\left(t\right)}\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)\≈-\frac{\mathrm{\Λ}}{R\left(t\right)}\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)+\frac{\mathrm{\Λx}\left(t\right)}{R{\left(t\right)}^2}\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)$

求解上式得到电子的轨迹和速度为

$r\left(t\right)=\frac{\mathrm{\Λ}}{{\mathrm{\ω}}^2}\frac{\sin \left(\mathrm{\ωt}\right)}{\sqrt{C_1{(t-C_2)}^2+\frac{{\mathrm{\Λ}}^2}{{2\mathrm{\ω}}^2{C}_1}}}+\sqrt{C_1{(t-C_2)}^2+\frac{{\mathrm{\Λ}}^2}{{2\mathrm{\ω}}^2{C}_1}}$

$\stackrel{\·}{r}\left(t\right)\≈\frac{1}{\sqrt{C_1{(t-C_2)}^2+\frac{{\mathrm{\Λ}}^2}{{2\mathrm{\ω}}^2{C}_1}}}(C_1(t-C_2)+\frac{\mathrm{\Λ}}{\mathrm{\ω}}\cos \left(\mathrm{\ωt}\right))$

待定系数C1和C2由电子初始时刻的位置和速度确定。

$C_1={\left(v_0\frac{\mathrm{\Λ}\cos \left({\mathrm{\ωt}}_0\right)}{\mathrm{\ωr}\left(t_0\right)}\right)}^2+\frac{{\mathrm{\Λ}}^2}{2{\mathrm{\ω}}^2{[r\left(t_0\right)-\frac{\mathrm{\Λ}\sin \left({\mathrm{\ωt}}_0\right)}{{\mathrm{\ω}}^{2}r\left(t_0\right)}]}^2}$

$C_2=t_0-\frac{(v_0+\frac{\mathrm{\Λ}\cos \left({\mathrm{\ωt}}_0\right)}{\mathrm{\ωr}\left(t_0\right)})(r\left(t_0\right)-\frac{\mathrm{\Λ}\sin \left({\mathrm{\ωt}}_0\right)}{{\mathrm{\ω}}^{2}r\left(t_0\right)})}{C_1}$

其中，v₀表示电子的初始速度，t₀表示电子运动的初始时刻，r(t₀)表示电子的初始位置。

按照步骤二：

室温下热力学速度一般为v_T＝8.9×10⁵m/s。

对步骤一中获得的速度进行求导：

$\frac{{\mathrm{dv}}_0}{\mathrm{dt}}=\frac{\frac{2\mathrm{\Λ\ω}\cos \left({\mathrm{\ωt}}_i\right)[C_1{(t_i-C_2)}^2+{\mathrm{\Λ}}^2/{2\mathrm{\ω}}^2{C}_1]}{\mathrm{\Λ}\sin \left({\mathrm{\ωt}}_i\right)-[C_1{(t_i-C_2)}^2+{\mathrm{\Λ}}^2/{2\mathrm{\ω}}^2{C}_1]{\mathrm{\ω}}^2}-2C_1(t_i-C_2)}{2(v_0+\frac{\mathrm{\Λ}\cos \left({\mathrm{\ωt}}_0\right)}{\mathrm{\ωr}\left(t_0\right)}){(t_i-C_2)}^2+2r\left(t_i\right)(t_i-C_2)({(v_0+\frac{\mathrm{\Λ}\cos \left({\mathrm{\ωt}}_0\right)}{\mathrm{\ωr}\left(t_0\right)})}^2-\frac{1}{2}{\left(\frac{\mathrm{\Λ\ωr}\left(t_0\right)}{{\mathrm{\ω}}^2{r}^2\left(t_0\right)-\mathrm{\Λ}\sin \left({\mathrm{\ωt}}_0\right)}\right)}^2)/C_1-\frac{{\mathrm{\Λ}}^2}{{\mathrm{\ω}}^2}(v_0+\frac{\mathrm{\Λ}\cos \left({\mathrm{\ωt}}_0\right)}{\mathrm{\ωr}\left(t_0\right)})/{C_1}^2}$

其中，t_i表示电子的到达时刻(或碰撞时刻)，r(t_i)表示电子的到达位置(碰撞位置)。

按照步骤三：

当电子的初始时刻t₁＝3.125×10^-12s，达到时刻可以为t_i＝t₁+T，t₁+2T，...，t₁+nT。

发生外径双边碰撞，电子的初始位置为Ro，电子的到达位置Ri，渡越时间的最大值 $t_{\max }=t_0-\frac{\mathrm{XY}}{Y^2+{\mathrm{\Λ}}^2/\left({2\mathrm{\ω}}^2{X}^2\right)}=2.1052\×{10}^{-9}s,$ 则到达时刻中n＝fix(tmax/T)＝3。在不同碰撞时刻t_i＝t₁+T，t₁+2T，t₁+3T，通过求解步骤一的轨迹方程，可以得到对应到达时刻的初始速度v_(ds，o)1，v_(ds，o)2，v_(ds，o)3。将这些速度代入到步骤二中得到外径双边的联合概率密度函数，经过单调性处理后，

$G_{\mathrm{ds},o}(t_1+T|t_1;r)=\frac{{\mathrm{dv}}_{(\mathrm{ds},o)1}}{\mathrm{dt}}f\left[v_{(\mathrm{ds},o)1}\right]$

$G_{\mathrm{ds},o}(t_1+2T|t_1;r)=\frac{{\mathrm{dv}}_{(\mathrm{ds},o)2}}{\mathrm{dt}}f\left[v_{(\mathrm{ds},o)2}\right]$

$G_{\mathrm{ds},o}(t_1+3T|t_1;r)=\frac{{\mathrm{dv}}_{(\mathrm{ds},o)3}}{\mathrm{dt}}f\left[v_{(\mathrm{ds},o)3}\right]$

其中，G_ds，o(t₁+T|t₁；r)、G_ds，o(t₁+2T|t₁；r)和G_ds，o(t₁+3T|t₁；r)分别表示电子从外径在t₁时刻出发，分别在t₁+T时刻、t₁+2T时刻和t₁+3T时刻到达内径的概率密度；f[v_(ds，o)1]、f[v_(ds，o)2]和f[v_(ds，o)3]分别表示初始速度分别为v_(ds，o)1、v_(ds，o)2和v_(ds，o)3的概率。

发生外径单边碰撞，电子的初始位置为Ro，电子的到达位置Ro，渡越时间的最大值 $t_{\max }=t_0-\frac{\mathrm{XY}}{Y^2+{\mathrm{\Λ}}^2/\left({2\mathrm{\ω}}^2{X}^2\right)}=1.7843\×{10}^{-9}s,$ 则到达时刻中n＝fix(tmax/T)＝2。在不同碰撞时刻t_i＝t₁+T，t₁+2T，通过求解步骤一的轨迹方程，可以得到对应到达时刻的初始速度v_(ss，o)1，v_(ss，o)2。将这些速度代入到步骤二中得到外径单边的联合概率密度函数，经过单调性处理后，

$G_{\mathrm{ss},o}(t_1+T|t_1;r)=\frac{{\mathrm{dv}}_{(\mathrm{ss},o)1}}{\mathrm{dt}}f\left[v_{(\mathrm{ss},o)1}\right]$

$G_{\mathrm{ss},o}(t_1+2T|t_1;r)=\frac{{\mathrm{dv}}_{(\mathrm{ss},o)2}}{\mathrm{dt}}f\left[v_{(\mathrm{ss},o)2}\right]$

其中，G_ss，o(t₁+T|t₁；r)和G_ss，o(t₁+2T|t₁；r)分别表示电子从外径在t₁时刻出发，分别在t₁+T时刻和t₁+2T时刻到达外径的概率密度；f[v_(ss，o)1]和f[v_(ss，o)2]分别表示初始速度分别为v_(ss，o)1和v_(ss，o)2的概率。

发生内径双边碰撞，电子的初始位置为Ri，电子的到达位置Ro，渡越时间的最大值 $t_{\max }=-t_0+\frac{2\mathrm{\π}+\arccos (\stackrel{\·}{r}\left(t_0\right)R_i/{\mathrm{eE}}_0{R}_o+\cos \left({\mathrm{\ωt}}_0\right))}{\mathrm{\ω}}=1.4532\×{10}^{-9}\mathrm{ns},$ 则到达时刻中n＝fix(tmax/T)＝2。在不同到达时刻t_i＝t₁+T，t₁+2T，通过求解步骤一的轨迹方程，可以得到对应碰撞时刻的初始速度v_(ds，i)1，v_(ds，i)2。将这些速度代入到步骤二中得到内径双边的联合概率密度函数G_ds，i(t|t₀；r)，经过单调性处理后，

$G_{\mathrm{ds},i}(t_1+T|t_1;r)=\frac{{\mathrm{dv}}_{(\mathrm{ds},i)1}}{\mathrm{dt}}f\left[v_{(\mathrm{ds},i)1}\right]$

$G_{\mathrm{ds},i}(t_1+2T|t_1;r)=\frac{{\mathrm{dv}}_{(\mathrm{ds},i)2}}{\mathrm{dt}}f\left[v_{(\mathrm{ds},i)2}\right]$

其中，G_ds，i(t₁+T|t₁；r)和G_ds，i(t₁+2T|t₁；r)分别表示电子从内径在t₁时刻出发，分别在t₁+T时刻和t₁+2T时刻到达外径的概率密度；f[v_(ds，i)1]和f[v_(ds，i)2]分别表示初始速度分别为v_(ds，i)1和v_(ds，i)2的概率。

发生内径单边碰撞，电子的初始位置为Ri，电子的到达位置Ri，渡越时间的最大值 $t_{\max }=-t_0+\frac{2\mathrm{\π}+\arccos (\stackrel{\·}{r}\left(t_0\right)/R_i/{\mathrm{eE}}_0{R}_o+\cos \left({\mathrm{\ωt}}_0\right))}{\mathrm{\ω}}=0.7787\×{10}^{-9}\mathrm{ns},$ 则到达时刻中n＝fix(tmax/T)＝1。在不同碰撞时刻t_i＝t₁+T，通过求解步骤一的轨迹方程，可以得到对应到达时刻的初始速度v_(ss，i)1。将这些速度代入到步骤二中得到内径单边的联合概率密度函数G_ss，i(t|t₀；r)，经过单调性处理后，

$G_{\mathrm{ss},i}(t_1+T|t_1;r)=\frac{{\mathrm{dv}}_{(\mathrm{ss},i)1}}{\mathrm{dt}}f\left[v_{(\mathrm{ss},i)1}\right]$

其中，G_ss，i(t₁+T|t₁；r)表示电子从内径在t₁时刻出发，在t₁+T时刻到达内径的概率密度；f[v_(ss，i)1]表示初始速度为v_(ss，i)1的概率。

按照步骤四：

为了更准确的获得同轴结构的微放电阈值，采用与实际部件表面相同的二次电子发射，该二次电子发射系数由与部件工艺相同的样片测量得到，如图3所示。

根据实施例中步骤一的出射时刻t1，发生外径双边碰撞时，碰撞时刻为t_i＝t₁+T，t₁+2T，t₁+3T，则电子的渡越时间t＝t_i-t₁＝T，2T，3T，电子的碰撞速度分别为：

${\stackrel{\·}{r}}_{\mathrm{ds},o}\left(T\right)=[C_1(T-C_2)+\frac{\mathrm{\Λ}}{\mathrm{\ω}}]/\sqrt{C_1{(T-C_2)}^2+\frac{{\mathrm{\Λ}}^2}{{2\mathrm{\ω}}^2{C}_1}},$

${\stackrel{\·}{r}}_{\mathrm{ds},o}\left(2T\right)=[C_1(2T-C_2)+\frac{\mathrm{\Λ}}{\mathrm{\ω}}]/\sqrt{C_1{(2T-C_2)}^2+\frac{{\mathrm{\Λ}}^2}{{2\mathrm{\ω}}^2{C}_1}},$

${\stackrel{\·}{r}}_{\mathrm{ds},o}\left(3T\right)=C_1(3T-C_2)+\frac{\mathrm{\Λ}}{\mathrm{\ω}}/\sqrt{C_1{(3T-C_2)}^2+\frac{{\mathrm{\Λ}}^2}{{2\mathrm{\ω}}^2{C}_1}}.$

相应的电子碰撞能量为 $W_{\mathrm{ds},o1}=\frac{1}{2}m{\stackrel{\·}{r}}_{\mathrm{ds},o}{\left(T\right)}^2,$ $W_{\mathrm{ds},o2}=\frac{1}{2}m{\stackrel{\·}{r}}_{\mathrm{ds},o}{\left(2T\right)}^2,$ $W_{\mathrm{ds},o3}=\frac{1}{2}m{\stackrel{\·}{r}}_{\mathrm{ds},o}{\left(3T\right)}^2;$ 其中，m表示电子的质量。根据图3材料的二次电子发射系数，分别以W_ds，o1，W_ds，o2，W_ds，o3作为横坐标的值查阅图中的纵坐标值σ_ds，o(t₁+T|t₁；r)，σd_s，o(t₁+2T|t₁；r)和σ_ds，o(t₁+3T|t₁；r)。

发生外径单边碰撞时，碰撞时刻为t_i＝t₁+T，t₁+2T，则电子的渡越时间t＝t_i-t₁＝T，2T，电子的碰撞速度分别为：

${\stackrel{\·}{r}}_{\mathrm{ss},o}\left(T\right)=[C_1(T-C_2)+\frac{\mathrm{\Λ}}{\mathrm{\ω}}]/\sqrt{C_1{(T-C_2)}^2+\frac{{\mathrm{\Λ}}^2}{{2\mathrm{\ω}}^2{C}_1}},$

${\stackrel{\·}{r}}_{\mathrm{ss},o}\left(2T\right)=[C_1(2T-C_2)+\frac{\mathrm{\Λ}}{\mathrm{\ω}}]/\sqrt{C_1{(2T-C_2)}^2+\frac{{\mathrm{\Λ}}^2}{{2\mathrm{\ω}}^2{C}_1}}.$

相应的电子碰撞能量为

根据图3材料的二次电子发射系数，分别以W_ss，o1，W_ss，o2作为横坐标的值查阅图中的纵坐标值σ_ss，o(t₁+T|t₁；r)和σ_ss，o(t₁+2T|t₁；r)。

发生内径双边碰撞时，碰撞时刻为t_i＝t₁+T，t₁+2T，则电子的渡越时间t＝t_i-t₁＝T，2T，电子的碰撞速度分别为：

${\stackrel{\·}{r}}_{\mathrm{ds},i}\left(T\right)=[C_1(T-C_2)+\frac{\mathrm{\Λ}}{\mathrm{\ω}}]/\sqrt{C_1{(T-C_2)}^2+\frac{{\mathrm{\Λ}}^2}{{2\mathrm{\ω}}^2{C}_1}},$

${\stackrel{\·}{r}}_{\mathrm{ds},i}\left(2T\right)=[C_1(2T-C_2)+\frac{\mathrm{\Λ}}{\mathrm{\ω}}]/\sqrt{C_1{(2T-C_2)}^2+\frac{{\mathrm{\Λ}}^2}{{2\mathrm{\ω}}^2{C}_1}}.$

相应的电子碰撞能量为

根据图3材料的二次电子发射系数，分别以W_ds，i1，W_ds，i2作为横坐标的值查阅图中的纵坐标值σ_ds，i(t₁+T|t₁；r)，σ_ds，i(t₁+2T|t₁；r)。

发生外径双边碰撞时，碰撞时刻为t_i＝t₁+T，则电子的渡越时间t＝t_i-t₁＝T，

电子的碰撞速度分别为： ${\stackrel{\·}{r}}_{\mathrm{ss},i}\left(T\right)=[C_1(T-C_2)+\frac{\mathrm{\Λ}}{\mathrm{\ω}}]/\sqrt{C_1{(T-C_2)}^2+\frac{{\mathrm{\Λ}}^2}{{2\mathrm{\ω}}^2{C}_1}}.$

相应的电子碰撞能量为

根据图3材料的二次电子发射系数，分别以W_ss，i1作为横坐标的值查阅图中的纵坐标值σ_ss，i(t₁+T|t₁；r)。

按照步骤五：

矩阵和

中的元素以

说明其求解方法。

${\mathrm{Ak}}_{11}^i=h*U_i\left(t_1\right|t_1)=K_{\mathrm{ds},i}\left(t_1\right|t_1)+K_{\mathrm{ss},i}\left(t_1\right|t_1)$

$K_{\mathrm{ds},i}\left(t_1\right|t_1)=\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{W}_{\mathrm{ds},i}(t_1+\mathrm{nT}|t_1)=\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{G}_{\mathrm{ds},i}(t_1+\mathrm{nT}|t_1;r){\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ds},i}(t_1+\mathrm{nT}|t_1;r)$

$=G_{\mathrm{ds},i}(t_1+T|t_1;r){\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ds},i}(t_1+2T|t_1;r)+G_{\mathrm{ds},i}(t_1+2T|t_1;r){\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ds},i}(t_1+2T|t_1;r)$

$K_{\mathrm{ss},i}\left(t_1\right|t_1)=\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{W}_{\mathrm{ss},i}(t_1+\mathrm{nT}|t_1)=\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{G}_{\mathrm{ss},i}(t_1+\mathrm{nT}|t_1;r){\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ss},i}(t_1+\mathrm{nT}|t_1;r)$

$=G_{\mathrm{ss},i}(t_1+T|t_1;r){\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ss},i}(t_1+T|t_1;r)$

按照上面的步骤求出矩阵C_mm的所有元素，然后求出该矩阵的特征值，从所有的特征值中挑出最大的特征值λ_max＝0.69，σ^eff＜1，则电压200V(即功率400W)不发生微放电。

下一步计算200×2＝400V，σ^eff＞1，400V发生微放电。采用二分法，计算出σ^eff＝1时的电压，该电压对应的功率即为微放电的阈值。同样，对不同的频率和间隙可以算出该结构的微放电敏感区域，微放电敏感区域的边界即为不同频率和间隙对应的微放电阈值，如果微波传输的电压大于该值，则会发生微放电，如果微波传输的电压小于该值，表明不会发生微放电，如图4所示。

表1为本发明预测的微放电阈值与实验结果的对比，可以看出，该发明的结果与实验结果基本吻合。

表1

fd(GHz·mm)	该发明的结果(W)	测试结果
			0.6633	不发生	不发生
2.3115	240W	295W
			3.216	730W	770W

本发明说明书未详细说明的部分是本领域技术人员的公知常识。

Claims (6)

1.一种确定同轴结构微放电阈值的方法，其特征在于实现步骤如下：

(1)根据电子在同轴结构中所受到的电场力和磁场力，由电子运动满足的Newton-Lorentz方程确定同轴结构中的电子运动轨迹及电子运动速度；

(2)根据电子完成碰撞时出射速度与渡越时间的一一对应性，将出射速度满足的麦克斯韦分布的概率转化为渡越时间的联合概率密度函数；

(3)根据电子的初始位置和发生的碰撞类型，将步骤(2)得到的联合概率密度函数分为四类：内径单边、内径双边、外径单边与外径双边，结合步骤(1)中的电子运动轨迹，分别对所述四类概率密度函数进行最大值和单调性处理，得到处理后的联合概率密度函数；所述电子初始位置分为：内径出射和外径出射；所述碰撞类型包括：双边碰撞和单边碰撞；

(4)利用步骤(1)得到的电子运动速度，建立电子碰撞动能与渡越时间的关系，将电子的碰撞动能作为材料的二次电子发射特性的入射电子能量，获得该渡越时间下电子碰撞时产生的二次电子倍增函数；

(5)基于发生微放电时相邻两次碰撞的电子出射相位分布稳定的基础，根据步骤(3)得到的处理后联合概率密度函数与步骤(4)得到的二次电子倍增率函数构建微放电时电子数目满足的稳态方程；通过求解稳态方程中有效二次电子倍增率，判断该电压是否会发生微放电；采用二分法逐步计算下一电压的有效倍增率，该有效倍增率为1时对应的电压即为微放电阈值。

2.根据权利要求1所述的确定同轴结构微放电阈值的方法，其特征在于：所述步骤(1)确定同轴结构中的电子运动轨迹及电子运动速度的方法为：

(1)电子满足的Newton-Lorentz为：

$m\stackrel{\·\·}{\stackrel{\→}{r}}\left(t\right)=-e(\stackrel{\→}{E}(\stackrel{\→}{r},t)+\stackrel{\·}{\stackrel{\→}{r}}\left(t\right)\×\stackrel{\→}{B}(\stackrel{\→}{r},t))$

m表示电子的质量，e表示电子的电量，t表示电子的运动时间，表示电子的运动轨迹，

和

分别表示电子轨迹的一阶导数和两阶导数，即电子运动的速度和加速度，

表示同轴结构中的电场分布，

表示同轴结构中的磁场分布；

将电子满足的Newton-Lorentz方程分解到柱坐标系的三个方向上，忽略影响电子运动较小的力，在非相对论情况下，磁场力远远小于电场力，忽略磁场力；

(2)若同轴结构中电场与位置无关，此时电场和磁场为

和

则电子运动时间为t的电子运动轨迹和电子运动速度分别为：

$r\left(t\right)=-\frac{e}{m}\∫\∫\stackrel{\→}{E}\left(t\right)\mathrm{dt}$

$v\left(t\right)=\stackrel{\·}{\stackrel{\→}{r}}\left(t\right)=-\frac{e}{m}\∫\stackrel{\→}{E}\left(t\right)\mathrm{dt}$

若同轴结构中电场与位置有关，将电子的位移分为引导电子整体运动趋势的平均位移和射频场引起的快速振荡位移，采用微扰法进行求解，获得电子运动轨迹及电子运动速度方程。

3.根据权利要求1所述的确定同轴结构微放电阈值的方法，其特征在于：所述步骤(2)的联合概率密度函数为：

$G\left(t\right|t_0;r)=\left|\frac{\mathrm{dg}\left(t\right|t_0;r)}{\mathrm{dt}}\right|f\left[g\left(t\right|t_0;r)\right]$

t表示电子在同轴结构内、外导体间的渡越时间，t₀表示电子的出射时刻，r表示电子的运动轨迹，G(t|t₀；r)表示联合概率密度函数，g(t|t₀；r)表示电子的出射速度，f[g(t|t₀；r)]表示电子出射速度满足的麦克斯韦分布函数，

$g\left(t\right|t_0;r)=v_0=\stackrel{\·}{r}\left(t_0\right),v\≥0$

$f\left(v_0\right)=\frac{v_0}{v_T^2}\exp (-\frac{{v_0}^2}{{2v}_T^2}),v\≥0,\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}f\left(v_0\right){\mathrm{dv}}_0=1$

v_T表示热力学速度，v₀表示电子出射时刻的速度。

4.根据权利要求1所述的确定同轴结构微放电阈值的方法，其特征在于：所述步骤(3)的四类碰撞分别为：

外径双边：G_ds，o(t|t₀；r)    内径双边：G_ds，i(t|t₀；r)

外径单边：G_ss，o(t|t₀；r)    内径单边：G_ss，i(t|t₀；r)

令最大值处理函数：

$\mathrm{\θ}(t;t_{\max })=\left\{\begin{array}{c}0,t>t_{\max };\\ 1,t\≤t_{\max }.\end{array}\right.$

当电子从外径出射时， $t_{\max }=t_0-\frac{\mathrm{XY}}{Y^2+{\mathrm{\Λ}}^2/\left({2\mathrm{\ω}}^2{X}^2\right)};$

当电子从内径出射时， $t_{\max }=-t_0+\frac{2\mathrm{\π}+\arccos (\stackrel{\·}{r}\left(t_0\right)R_i/{\mathrm{eE}}_0{R}_o+\cos \left({\mathrm{\ωt}}_0\right))}{\mathrm{\ω}};$

其中，t_max表示最大渡越时间，ω为微波角频率，

Λ＝eE₀/m，e和m分别表示电子的电量和质量，v_critical表示单边与双边碰撞的临界速度，E₀为径向电场强度最大值，R_i和R_o分别表示同轴结构的内径和外径；

$v_{\mathrm{critical}}=\frac{\mathrm{\Λ}}{\mathrm{\ω}}\sqrt{\frac{2}{{(R_i-\sqrt{{R_i}^2+4\mathrm{\Λ}/{\mathrm{\ω}}^2})}^2}-\frac{1}{{{2R}_o}^2}}-\frac{\mathrm{\Λ}\cos \left({\mathrm{\ωt}}_0\right)}{{\mathrm{\ωR}}_o}$

令单调性函数：

$\mathrm{\χ}(t;\underset{k}{\∪}\mathrm{\Δk})=\left\{\begin{array}{c}0,t\∈\underset{k}{\∪}\mathrm{\Δk};\\ 1,t\∉\underset{k}{\∪}\mathrm{\Δk};\end{array}\right.$

将碰撞前的一个周期[t_i-T，t_i)划分为n个区间，n≥100：[t₀，t₁)，[t₁，t₂)，...，[t_n-1，t_n)，t_p＝t_i-T+p/nT，p＝0，1，...，n，令

F(t_p)＝[r(t_p)-r(t_i)][r(t_p+1)-r(t_i)]    p＜n

如果F(t_p)＞0，区间[tp，tp+1)∈Δk，如果F(t_p)≤0，区间其中，r(t_i)表示碰撞时刻为ti的电子位置，其中，r表示电子的运动轨迹，Δk表示满足单调性处理的时间区间。

5.根据权利要求1所述的确定同轴结构微放电阈值的方法，其特征在于：所述步骤(4)中二次电子倍增函数的确定方法为：

电子的碰撞速度

电子的碰撞能量

将电子的碰撞能量作为二次电子发射模型中的入射电子能量，通过选用的二次电子发射模型计算出同轴传输线材料的二次电子发射系数，从而获得出射时刻为t_o，以渡越时间t完成对应碰撞类型的电子产生的二次电子倍增函数：

σ_i(t_i|t₀；r)＝σ(W_i)

t_i表示电子的碰撞时刻，t_i＝t+t₀，m表示电子的质量，t表示电子的渡越时间，r表示电子的运动轨迹。

6.根据权利要求1所述的确定同轴结构微放电阈值的方法，其特征在于：所述步骤(5)中构建的微放电的稳态方程及求解方法为：

(51)微放电的稳态方程：

${\mathrm{\σ}}^{\mathrm{eff}}{f}^{\mathrm{st}}\left(t_{1,i}^{\mathrm{st}}\right)=\underset{0}{\overset{T}{\∫}}{\mathrm{dt}}_{\mathrm{2,0}}^{\mathrm{st}}(K_{\mathrm{ds},i}\left(t_{1,i}^{\mathrm{st}}\right|t_{\mathrm{2,0}}^{\mathrm{st}})+K_{\mathrm{ss},i}\left(t_{1,i}^{\mathrm{st}}\right|t_{\mathrm{2,0}}^{\mathrm{st}}))\underset{0}{\overset{T}{\∫}}(K_{\mathrm{ds},o}\left(t_{\mathrm{2,0}}^{\mathrm{st}}\right|t_{\mathrm{1,0}}^{\mathrm{st}-1})+K_{\mathrm{ss},o}\left(t_{\mathrm{2,0}}^{\mathrm{st}}\right|t_{\mathrm{1,0}}^{\mathrm{st}-1}))f^{\mathrm{st}}\left(t_{\mathrm{1,0}}^{\mathrm{st}-1}\right){\mathrm{dt}}_{\mathrm{1,0}}^{\mathrm{st}-1}$

其中

$K_{\mathrm{coll}\_\mathrm{type},\mathrm{ini}\_\mathrm{position}}\left(t^{\′\′}\right|t^{\′})=W_{\mathrm{coll}\_\mathrm{type},\mathrm{ini}\_\mathrm{position}}\left(t^{\′\′}\right|t^{\′})\mathrm{\δ}\left(t^{\′\′}\right|t^{\′})+\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{W}_{\mathrm{coll}\_\mathrm{type},\mathrm{ini}\_\mathrm{position}}(t^{\′\′}+\mathrm{nT}|t^{\′});$

W_{coll_type，ini_position}(t″|t′)＝G_{coll_type，ini_position}(t|t′；r)σ_{coll_type，ini_position}(t″|t′；r)

$\mathrm{\δ}\left(t\right|t^{\′})=\left\{\begin{array}{cc}1& t>t^{\′}\\ 0& t\≤t^{\′}\end{array}\right.$

下标coll_type表示碰撞类型(ds或ss)，ini_position表示电子的初始位置i或o，σ^eff表示有效二次电子倍增率，f^st(t)表示微放电时达到稳态的电子出射时刻相位分布，T为同轴结构传输的微波周期，t的上标st表示达到稳态时的碰撞，st-1表示稳态的前一次碰撞，t的下标1和2表示电子出射的位置，若1表示电子此刻处于外径，则2表示电子此刻处于内径，反之，若1表示电子此刻处于内径，则2表示电子此刻处于外径，t的下标0和i分别表示初始时刻和碰撞时刻；

(52)稳态积分方程采用矩阵形式展开，进行数值求解：

令 $U_i\left(t_{1,i}^{\mathrm{st}}\right|t_{\mathrm{2,0}}^{\mathrm{st}})=K_{\mathrm{ds},i}\left(t_{1,i}^{\mathrm{st}}\right|t_{\mathrm{2,0}}^{\mathrm{st}})+K_{\mathrm{ss},i}\left(t_{1,i}^{\mathrm{st}}\right|t_{\mathrm{2,0}}^{\mathrm{st}}),$ $U_o=\left(t_{\mathrm{2,0}}^{\mathrm{st}}\right|t_{\mathrm{1,0}}^{\mathrm{st}-1})=K_{\mathrm{ds},o}\left(t_{\mathrm{2,0}}^{\mathrm{st}}\right|t_{\mathrm{1,0}}^{\mathrm{st}-1})+K_{\mathrm{ss},o}\left(t_{\mathrm{2,0}}^{\mathrm{st}}\right|t_{\mathrm{1,0}}^{\mathrm{st}-1})$

$C_{\mathrm{mm}}=A_{\mathrm{mm}}^o*A_{\mathrm{mm}}^i$

矩阵

的元素为

${\mathrm{Ak}}_{\mathrm{ij}}^o=h*U_o\left(t_i\right|t_j)$

矩阵

的元素为

${\mathrm{Ak}}_{\mathrm{ij}}^i=h*U_i\left(t_i\right|t_j)$

其中，h＝T/q，T为微波周期，q是大于200的正整数，

和

的下标i和j表示矩阵行和列，t_i＝ih，t_j＝jh，i，j＝1，2，...，q；

求解矩阵C_mm的特征值，从获得的m个特征值中选取最大的特征值λ_max，则σ^eff＝λ_max；

如果σ^eff＞1表示该电压下会发生微放电，σ^eff＜1表示该电压下不会发生微放电，σ^eff＝1表示该电压时微放电的阈值。

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