CN102589511A - 一种硬脆陶瓷材料在磨粒加工后表面切削深度分布测定方法 - Google Patents

Abstract

一种硬脆陶瓷材料在磨粒加工后表面切削深度分布测定方法，该测定方法包含以下步骤：1)建立磨粒与工件间磨削力模型及磨粒与磨具结合剂间磨削力模型，决定磨粒对工件的切削深度的磨粒工件间法向力：2)在研磨过程中，磨粒在法向方向受力平衡，由式(1)和式(2)，得单颗磨粒切削深度；3)由式(2)，磨具磨粒在工件的切削深度t是磨粒粒径d的函数，基于磨具磨粒粒径的数量基准分布并结合概率统计原理，分析出研磨加工时磨具磨粒群在工件的切削深度t的概率分布密度函数。本发明结合磨粒与结合剂间的弹塑性因素和磨粒的出刃高度、准确度高。

Description

一种硬脆陶瓷材料在磨粒加工后表面切削深度分布测定方法

技术领域

本发明涉及磨粒加工后表面切削深度分布技术，尤其是一种磨粒加工后表面切削深度分布的测定方法。 

背景技术

硬脆陶瓷材料塑性域加工，工件加工后表面质量好，表面与亚表面损伤层小。但其完全塑性域加工，要求所有磨粒的切削深度都在临界切削深度以下，通常加工效率极低。为了在加工效率及加工后工件表面质量两者间达到均衡，往往采用的研磨加工工艺是一个渐进的过程：脆性去除为主，塑性去除为辅→脆性去除和塑性去除相同→塑性去除为主，脆性去除为辅→完全塑性域加工。以往在制定这几步研磨工艺时，主要凭借经验和先期试验，不仅需要时间较多，而且无法主动去设计研磨工艺。对硬脆陶瓷材料塑性域加工的一般认识是当磨粒的切削深度小于材料的临界切削深度时，脆陶瓷材料的去除状态为塑性去除。因此建立有效磨粒的切削深度分布模型就可主动控制有效磨粒的切削深度，从而设计硬脆材料研磨的加工工艺。 

根据文献检索，以往对有效磨粒切削深度的分析主要是根据磨粒的出刃高度来建立的，而没考虑磨粒与结合剂间的弹塑性因素对有效磨粒切削深度的影响。而在实际的研磨加工中，磨具表层磨粒中出刃高度最大的磨粒首先接触到工件表面，工件对该磨粒的压力使其在磨具结合剂中弹性位移增大，结合剂对磨粒弹性作用力也随之增加，这使得磨粒在工件中的切削深度增加。当磨粒在结合剂中的弹性位移超过一阈值后，结合剂产生塑性变形(即屈服)，既磨粒下陷位移增加而结合剂对磨粒的作用力变化不大，因此磨粒对工件切削深度也几乎不变，如图1所示，大磨粒1，小磨粒2、结合剂3，工件表面4。因此在对磨粒切削深度的分 析时必须考虑磨粒与结合剂间的弹塑性因素对磨粒切削深度的影响。 

发明内容

为了克服已有磨粒加工后表面切削深度测量技术的未考虑磨粒与结合剂间的弹塑性因素、准确度较差的不足，本发明提供一种结合磨粒与结合剂间的弹塑性因素和磨粒的出刃高度、准确度高的硬脆陶瓷材料在磨粒加工后表面切削深度分布的测定方法。 

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是： 

一种硬脆陶瓷材料在磨粒加工后表面切削深度分布测定方法，该测定方法包含以下步骤： 

1)单颗磨粒受力分析： 

建立磨粒与工件间磨削力模型，决定磨粒对工件的切削深度的磨粒工件间法向力F_n1表示为 

$F_{n1}=\frac{1}{2}\mathrm{H\π}{c}^2=\frac{1}{2}\mathrm{H\π}(2\mathrm{rt}-t^2)---\left(1\right)$

式(1)中，H为被加工材料表面的显微硬度，c为粒径为d的磨粒与工件接触圆半径，r为磨粒粒径的半径值，t为磨粒的切削深度； 

建立磨粒与磨具结合剂间磨削力模型，磨粒与磨具结合剂间的法向力为： 

F_n2＝K₁Ed[S-t-K(D₁-d)]    (2) 

式(2)中E为磨具结合剂的弹性模量，d为磨粒的粒径，K₁为比例系数，D₁为磨具中最大磨粒的粒径，S为工件受载后下移量； 

2)建立单颗磨粒切削深度分布模型：在研磨过程中，磨粒在法向方向受力平衡，由式(1)和式(2)，得单颗磨粒切削深度，即 

$t=\frac{(\mathrm{H\πr}+K_1\mathrm{Ed})-\sqrt{A}}{\mathrm{H\π}}---\left(3\right)$

式(3)中A＝(Hπr+K₁Ed)²-2HπK₁Ed(S-KD₁+Kd)； 

K为磨粒的出刃高度系数； 

3)建立磨粒群切削深度分布模型： 

由式(2)，磨具磨粒在工件的切削深度t是磨粒粒径d的函数，由于磨具中磨粒的粒径d基于数量基准分布，切削深度t的分布函数为 

$F_T\left(t\right)=P(T\≤t)$

$=P(\frac{(\mathrm{H\πr}+K_1\mathrm{ED})-\sqrt{A}}{\mathrm{H\π}}\≤t)$

$=P(D\≤\frac{B+\sqrt{C}}{2{\mathrm{KK}}_{1}E})=F_D\left(\frac{B+\sqrt{C}}{2{\mathrm{KK}}_{1}E}\right)---\left(4\right)$

式(4)中B＝-K₁E(S-KD₁-t) 

C＝(K₁E)²(S-KD₁-t)²-2KπK₁EH(t²-2rt) 

磨粒群对工件的切削深度t基于数量基准的概率密度函数为： 

$f_T\left(t\right)=\frac{{\stackrel{\‾}{d}}^3\·{\left(2{\mathrm{KK}}_{1}E\right)}^3\·[K_{1}E\sqrt{C}-{\left(K_{1}E\right)}^2(S-{\mathrm{KD}}_1-t)+2\mathrm{K\π}{K}_1\mathrm{EHr}-2\mathrm{K\π}{K}_1\mathrm{EHt}]}{\sqrt{2\mathrm{\π}}\·\mathrm{\σ}\·{(B+\sqrt{C})}^4\·\sqrt{C}}$

$\·e^{-\frac{{(\ln \frac{B+\sqrt{C}}{2{\mathrm{KK}}_{1}E}-\mathrm{\μ})}^2}{2{\mathrm{\σ}}^2}}---\left(5\right)$

为磨粒粒径的平均值； 

μ为磨粒群粒径数学期望； 

σ为磨粒群粒径标准差； 

磨具磨粒群切削深度分布是指工件表面不同切削深度的面积所占百分比，某一切削深度的面积为该压入深度的磨粒切削运动后形成的切痕面积总和，磨具磨 粒群在工件的切削深度t的概率分布密度函数为： 

$f_T\left(t\right)=\frac{\stackrel{\‾}{d}\·{\left(2{\mathrm{KK}}_{1}E\right)}^3\·[K_{1}E\sqrt{C}-{\left(K_{1}E\right)}^2(S-{\mathrm{KD}}_1-t)+2\mathrm{K\π}{K}_1\mathrm{EHr}-2\mathrm{K\π}{K}_1\mathrm{EHt}]}{\sqrt{2\mathrm{\π}}\·\mathrm{\σ}\·{(B+\sqrt{C})}^4\·\sqrt{C}}$

$\·e^{-\frac{{(\ln \frac{B+\sqrt{C}}{2{\mathrm{KK}}_{1}E}-\mathrm{\μ})}^2}{2{\mathrm{\σ}}^2}}\×[2\sqrt{2\mathrm{rt}-t^2}\×K_2(L+W)]---\left(6\right)$

式(6)中B＝-K₁E(S-KD₁-t) 

C＝(K₁E)²(S-KD₁-t)²-2KπK₁EH(t²-2rt) 

K₂为切削长度系数； 

L为检测区域的长度值； 

W为检测区域的宽度值； 

本发明的有益效果主要表现在： 

(1)分析过程简单。只要确定磨具结合剂的弹性模量、磨具粒度号、磨粒刃圆半径、被加工工件硬度及加工载荷等，即能分析计算出工件上磨粒切削深度分布。 

(2)分析结果准确度高。在不同粒度、结合剂浓度研磨磨及不同加工载荷工艺条件下，磨粒切削深度分布模型的分析结果与实际加工工件检测结果相对比，其中检测结果采用白光干涉仪Wyko NT9800来分析加工工件加工后的表面微观形貌。分布模型在磨粒切削深度分布趋势的仿真结果与实际加工结果相同，且最大切削深度值基本一致。 

(3)可主动设计塑性域加工工艺。为了在加工效率和加工表面质量之间均衡，可针对被加工工件表面塑性域加工程度要求，根据磨粒切削深度分布模型，设计不同的硬脆材料塑性域加工工艺。 

(4)预测被加工工件表面表面粗糙度值。磨粒切削深度分布模型的分析结果是工件表面不同高度值的百分比，可结合表面粗糙度R_a等参数的定义预测被加工工件表面表面粗糙度值。 

附图说明

图1是本发明中磨粒的近等切削深度加工原理图。 

图2是本发明中磨粒与工件受力分析图。 

图3是本发明中磨粒群受力位移图。 

图4是本发明中磨粒切痕面积计算图。 

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。 

参照图2～图4，一种硬脆陶瓷材料在磨粒加工后表面切削深度分布的测定方法，包括以下过程： 

1)单颗磨粒受力分析 

由于塑性域研磨是由诸多磨粒在工件表面上微切削形成，单个磨粒是研磨的基础。因此要分析磨具磨粒群的切削深度分布，首先要从单个磨粒受力状况着手。磨粒与工件间磨削力模型的建立 

研磨过程中磨粒与工件相互作用的实际情况非常复杂。因此，为简化分析，需作如下假设： 

(1)假设研磨前的工件待加工表面和结合剂表面是一个理想的绝对平面； 

(2)假设硬脆工件材料仅发生塑性变形，且工件材料的硬度为常数，与磨粒的形状、压力等因素无关； 

(3)假设加工时仅磨粒与工件接触，结合剂与工件没有接触； 

(4)假设磨粒起切削作用的刃圆半径为常数； 

(5)假设研磨机-磨具-工件系统中，除了磨具的结合剂发生弹性变形，被加工工件发生塑性变形外，其它都认为是刚性的，不发生变形。同时忽略研磨机主轴的回转误差及系统的振动影响。 

塑性域研磨时，作用于粒径为d的磨粒与工件间的磨削力模型如图2所示。 磨削力有两个分量，分别为法向力F_n和切向力F_t。其中磨粒对工件的切削深度主要由法向力F_n1决定，其可表示为 

$F_{n1}=\frac{1}{2}\mathrm{H\π}{c}^2=\frac{1}{2}\mathrm{H\π}(2\mathrm{rt}-t^2)---\left(1\right)$

式(1)中H为被加工材料表面的显微硬度(GPa)，c为粒径为d的磨粒与工件接触圆半径(μm)，r为磨粒粒径的半径值(μm)，t为磨粒的切削深度(μm)。由于磨粒沿工件表面切削时，它与工件接触面是半圆，则在式(1)中引入了系数1/2。 

磨粒与磨具结合剂间磨削力模型的建立 

由于磨具结合剂是弹塑性结合剂，在与磨粒间的法向力作用下产生弹塑性变形。由于此法向力较小，磨粒在磨具结合剂中产生的位移很小，磨具结合剂产生的变形接近于弹性变形。这里为简化分析，假设磨具结合剂只发生弹性变形，且结合剂的弹性模量处处相等，与磨粒的形状、压力等因素无关。磨粒与磨具结合剂间的法向力F_n2为 

F_n2＝K₁Ed·Δh    (2) 

式(2)中E为磨具结合剂的弹性模量，d为磨粒的粒径，Δh为磨粒在磨具结合剂中的下陷位移深度，K₁为比例系数。 

这里磨粒在磨具结合剂中下陷的位移Δh是磨粒与工件接触受力后产生的，因为工件表面首先碰到出刃高度最大的磨粒D₁，随着工件下移，最大磨粒在结合剂中产生下陷位移后，工件表面逐步与出刃高度小的磨粒接触受力，因此对于一般粒径d的磨粒在工件下移S后，接触到工件表面时还有一段空行程，如图3所示。磨粒的出刃高度一般与其粒径与结合剂种类有关，与磨粒粒径成比例关系。 

当工件下降S时，对于任意磨粒d在接触到工件时的空行程为K(D₁-d)，因此其在磨具结合剂中的实际位移Δh为 

Δh＝S-t-K(D₁-d)    (3) 

式(3)中D₁为磨具中最大磨粒的粒径，S为工件受载后下移量。 

结合式(2)，磨粒与磨具结合剂间的法向力为 

F_n2＝K₁Ed[S-t-K(D₁-d)]    (4) 

2)单颗磨粒切削深度分布模型的建立 

在研磨过程中，磨粒在法向方向受力平衡，因此有 

F_n1＝F_n2    (5) 

即 

$\frac{1}{2}\mathrm{H\π}(2\mathrm{rt}-t^2)=K_1\mathrm{Ed}[S-t-K(D_1-d)]---\left(6\right)$

其中K为磨粒的出刃高度系数。 

可得单颗磨粒切削深度，即 

$t=\frac{(\mathrm{H\πr}+K_1\mathrm{Ed})-\sqrt{A}}{\mathrm{H\π}}---\left(7\right)$

式(7)中A＝(Hπr+K₁Ed)²-2HπK₁Ed(S-KD₁+Kd) 

3)磨粒群切削深度分布模型的建立 

磨具磨粒在工件的切削深度t是磨粒粒径d的函数，由于磨具中磨粒的粒径d基于数量基准分布，根据概率统计学，磨具磨粒群在工件的切削深度t也是符合一定分布的函数。根据分布函数的定义，切削深度t的分布函数为 

$F_T\left(t\right)=P(T\≤t)$

$=P(\frac{(\mathrm{H\πr}+K_1\mathrm{ED})-\sqrt{A}}{\mathrm{H\π}}\≤t)$

$=P(D\≤\frac{B+\sqrt{C}}{2{\mathrm{KK}}_{1}E})=F_D\left(\frac{B+\sqrt{C}}{2{\mathrm{KK}}_{1}E}\right)---\left(8\right)$

式(8)中B＝-K₁E(S-KD₁-t) 

C＝(K₁E)²(S-KD₁-t)²-2KπK₁EH(t²-2rt) 

对式(8)求导并结合磨粒基于数量基准的概率密度函数，可得磨粒群对工件的切削深度t基于数量基准的概率密度函数为 

$f_T\left(t\right)=\frac{{\stackrel{\‾}{d}}^3\·{\left(2{\mathrm{KK}}_{1}E\right)}^3\·[K_{1}E\sqrt{C}-{\left(K_{1}E\right)}^2(S-{\mathrm{KD}}_1-t)+2\mathrm{K\π}{K}_1\mathrm{EHr}-2\mathrm{K\π}{K}_1\mathrm{EHt}]}{\sqrt{2\mathrm{\π}}\·\mathrm{\σ}\·{(B+\sqrt{C})}^4\·\sqrt{C}}$

$\·e^{-\frac{{(\ln \frac{B+\sqrt{C}}{2{\mathrm{KK}}_{1}E}-\mathrm{\μ})}^2}{2{\mathrm{\σ}}^2}}---\left(9\right)$

其中 

为磨粒粒径的平均值； 

μ为磨粒群粒径数学期望； 

σ为磨粒群粒径标准差。 

式(9)建立的是工件在受载进给为S时，磨具磨粒群对工件表面不同切削深度的磨粒数量所占百分比，如图4中实心圆表示位置。而磨具磨粒群切削深度分布是指工件表面不同切削深度的面积所占百分比。某一切削深度的面积为该压入深度的磨粒切削运动后形成的切痕面积总和，如图4中虚线表示磨粒切痕，并假定同压入深度磨粒切削所形成的切痕都是同深度。 

因此磨具磨粒群在工件的切削深度t的概率分布密度函数为 

$f_T\left(t\right)=\frac{\stackrel{\‾}{d}\·{\left(2{\mathrm{KK}}_{1}E\right)}^3\·[K_{1}E\sqrt{C}-{\left(K_{1}E\right)}^2(S-{\mathrm{KD}}_1-t)+2\mathrm{K\π}{K}_1\mathrm{EHr}-2\mathrm{K\π}{K}_1\mathrm{EHt}]}{\sqrt{2\mathrm{\π}}\·\mathrm{\σ}\·{(B+\sqrt{C})}^4\·\sqrt{C}}$

$\·e^{-\frac{{(\ln \frac{B+\sqrt{C}}{2{\mathrm{KK}}_{1}E}-\mathrm{\μ})}^2}{2{\mathrm{\σ}}^2}}\×[2\sqrt{2\mathrm{rt}-t^2}\×K_2(L+W)]---\left(10\right)$

式(10)中B＝-K₁E(S-KD₁-t) 

C＝(K₁E)²(S-KD₁-t)²-2KπK₁EH(t²-2rt) 

K₂ 为切削长度系数； 

L为检测区域的长度值； 

W为检测区域的宽度值。 

实例1：根据微小斜坡磨具研磨实验，对于1000#SiC磨粒磨具，单晶硅在研磨加工时的临界切削深度为0.0239μm。根据磨具磨粒切削深度分布模型计算，当磨具的弹性模量为105.1MPa(SFB结合剂浓度为35wt％)，加工载荷为17.85kPa时，研磨后单晶硅检测区域内小于临界切削深度(0.0239μm)的面积率占47.844％。如保持磨具的加工载荷，通过降低磨具的弹性模量来提高塑性切削表面相对面积率。当选用磨具弹性模量为90.5MPa(SFB结合剂浓度为20wt％)时，则检测区域内小于临界切削深度的面积率上升到56.99％。如按T.G.Bifano对塑性域加工方式的定义，即被加工表面的塑性切削表面相对面积率在90％以上。根据磨具磨粒切削深度分布模型计算，只有当1000#磨具弹性模量降至26.6MPa后，且加工载荷为17.85kPa时，此时塑性切削表面相对面积率可达到90.0608％，实现了塑性域加工方式。磨具结合剂浓度下降可减小磨具的弹性模量，但以SFB结合剂制作的磨具，如结合剂浓度过低，磨具的强度则下降较多。如SFB结合剂浓度低于5.5wt％时磨具易发生破裂。实现塑性域加工的另一途径是减小加工载荷。在结合剂浓度为35wt％的1000#磨具，将加工载荷下降到9.54kPa后，则检测区域内塑性切削表面相对面积率为70.418％。如将加工载荷减至4.5kPa时，磨具研 磨切削深度分布模型显示小于临界切削深度的面积为90.263％。因此对于1000#磨具，可通过不同SFB结合剂浓度和加工载荷的组合来实现单晶硅的塑性域加工。表1即为1000#磨具在SFB结合剂浓度为50wt％、35wt％、20wt％、5.5wt％和2.5wt％时塑性域加工所对应的加工载荷及塑性切削表面相对面积率。 

表1 

对1000#SiC磨粒磨具塑性域加工实验验证在nanopoli-100超精密研磨/抛光机上进行，工件选用P型{100}晶面单晶硅抛光片，研磨盘转速为60r/min。由于结合剂浓度为5.5wt％和2.5wt％的磨具的SFB结合剂含量过少，结合剂对磨粒的把持能力及结合剂本身的强度过弱，在加工中磨具表面出现结合剂和磨粒成块剥落，如图8所示。严重影响单晶硅表面精度，因此SFB结合剂浓度为5.5wt％和2.5wt％的磨具不适合实际加工。而结合剂浓度为50wt％、35wt％、20wt％的磨具强度适宜，加工后磨具表面完好。 

实例2：虽然塑性域加工在单晶硅研磨加工过程中可获得良好的加工表面，但塑性域加工需加工载荷较小(特别对于粗粒度磨具)，为了能快速地降低工件的表面粗糙度及有较高的材料去除率。对单晶硅的研磨加工分两道工序，先采用1000#SiC磨粒磨具用较大的加工载荷进行粗研，去除工件大部分的加工余量及亚表面损伤层，并将单晶硅表面粗糙度降低，此时工件是处于半塑性半脆性去除状态。第二道工序采用4000#磨具进行精研，采用适当的加工载荷使单晶硅处于塑性域加工状态，可去除上道工序产生的加工变质层，并降低工件的表面粗糙度。 此时工件是处于塑性域去除状态，加工后单晶硅表面质量好，加工变质层小。由于4000#SiC磨粒加工时临界切削深度大，保持塑性域切削要求的载荷并不小，因此仍可保持一定的材料去除率。 

上述两道磨具研磨加工工序有4个关键工艺参数需要确定：粗研的加工载荷和加工时间，精研的加工载荷和加工时间。评价指标是最终单晶硅表面粗糙度、亚表面损伤层深度和总加工时间。其中精研的加工载荷可通过磨具研磨磨粒群切削深度模型及4000#磨具对单晶硅的临界切削深度估算出。精研的加工时间与加工至最终表面粗糙度及上道工序的亚表面损伤层厚度有关(约在10min之内)。因此粗研产生的亚表面损伤层厚度应控制在精研的材料去除率和精研加工时间乘积之内。粗研的加工载荷由上述粗研时亚表面损伤层厚度估算出。粗研的加工时间由上道工序所带来亚表面损伤层厚度和粗研材料去除率决定。根据上述思想及单晶硅初始研磨片的亚表面损伤层厚度约为20μm左右。两道工序的工艺参数设定如表2所示。 

表2 

1000#SiC磨粒磨具加工至5min后，单晶硅表面粗糙度就趋向稳定。当加工15min分后，单晶硅表面基本稳定在53nm左右。从加工后工件表面微观形貌来看，单晶表面既有微切削沟槽，也有不少微裂纹和凹坑，因此单晶硅在粗研工艺下的去除机理是半塑性半脆性加工。而对工件表面的去除率也有变化，刚开始磨具表面磨粒尖锐，因此加工工件的材料去除率较高，随着磨粒的磨钝和磨具表面有局部的切屑堵塞，对工件的材料去除率下降，当磨粒脱落和破碎，磨具对工件的材料去除率又随之提高。 

4000#SiC磨粒磨具加工至6min后，单晶硅表面粗糙度就趋向稳定。当加工9min分后，单晶硅表面基本稳定在11nm左右，达到粗抛光后的表面粗糙度。从加工后工件表面微观形貌来看，单晶硅表面主要是浅切削深度的光滑沟槽，因此单晶硅在精研工艺下的去除机理是塑性切削去除模式。另由于加工时间较短，4000#磨具随着加工时间增加对单晶硅的材料去除率有所减小。 

本说明书实施例所述的内容仅仅是对发明构思的实现形式的列举，本发明的保护范围不应当被视为仅限于实施例所陈述的具体形式，本发明的保护范围也及于本领域技术人员根据本发明构思所能够想到的等同技术手段。 

Claims (1)

1.一种硬脆陶瓷材料在磨粒加工后表面切削深度分布测定方法，其特征在于：该测定方法包含以下步骤：

1)单颗磨粒受力分析：

建立磨粒与工件间磨削力模型，决定磨粒对工件的切削深度的磨粒工件间法向力F_n1表示为

$F_{n1}=\frac{1}{2}H{\mathrm{\πc}}^2=\frac{1}{2}\mathrm{H\π}(2\mathrm{rt}-t^2)---\left(1\right)$

式(1)中，H为被加工材料表面的显微硬度，c为粒径为d的磨粒与工件接触圆半径，r为磨粒粒径的半径值，t为磨粒的切削深度；

建立磨粒与磨具结合剂间磨削力模型，磨粒与磨具结合剂间的法向力F_n2为：

F_n2＝K₁Ed[S-t-K(D₁-d)]    (2)

式(2)中E为磨具结合剂的弹性模量，d为磨粒的粒径，K₁为比例系数，D₁为磨具中最大磨粒的粒径，S为工件受载后下移量；

2)建立单颗磨粒切削深度分布模型：在研磨过程中，磨粒在法向方向受力平衡，由式(1)和式(2)，得单颗磨粒切削深度，即

$t=\frac{(\mathrm{H\πr}+K_1\mathrm{Ed})-\sqrt{A}}{\mathrm{H\π}}---\left(3\right)$

式(3)中A＝(Hπr+K₁Ed)²-2HπK₁Ed(S-KD₁+Kd)；

K为磨粒的出刃高度系数；

3)建立磨粒群切削深度分布模型：

由式(2)，磨具磨粒在工件的切削深度t是磨粒粒径d的函数，由于磨具中磨粒的粒径d基于数量基准分布，切削深度t的分布函数为

$F_T\left(t\right)=P(T\≤t)$

$=P(\frac{(\mathrm{H\πr}+K_1\mathrm{ED})-\sqrt{A}}{\mathrm{H\π}}\≤t)$

$=P(D\≤\frac{B+\sqrt{C}}{2K{K}_{1}E})=F_D\left(\frac{B+\sqrt{C}}{2K{K}_{1}E}\right)---\left(4\right)$

式(4)中B＝-K₁E(S-KD₁-t)

C＝(K₁E)²(S-KD₁-t)²-2KπK₁EH(t²-2rt)

磨粒群对工件的切削深度t基于数量基准的概率密度函数为：

$f_T\left(t\right)=\frac{{\stackrel{\‾}{d}}^3\·{\left({2\mathrm{KK}}_{1}E\right)}^3\·[K_{1}E\sqrt{C}-{\left(K_{1}E\right)}^2(S-{\mathrm{KD}}_1-t)+2\mathrm{K\π}{K}_1\mathrm{EHr}-2\mathrm{K\π}{K}_1\mathrm{EHt}]}{\sqrt{2\mathrm{\π}}\·\mathrm{\σ}\·{(B+\sqrt{C})}^4\·\sqrt{C}}$

${\·e}^{-\frac{{(1n\frac{B+\sqrt{C}}{2K{K}_{1}E}-\mathrm{\μ})}^2}{2{\mathrm{\σ}}^2}}---\left(5\right)$

其中

为磨粒粒径的平均值；

μ为磨粒群粒径数学期望；

σ为磨粒群粒径标准差；

磨具磨粒群切削深度分布是指工件表面不同切削深度的面积所占百分比，某一切削深度的面积为该压入深度的磨粒切削运动后形成的切痕面积总和，磨具磨粒群在工件的切削深度t的概率分布密度函数为：

$f_T\left(t\right)=\frac{{\stackrel{\‾}{d}\·\left({2\mathrm{KK}}_{1}E\right)}^3\·[K_{1}E\sqrt{C}-{\left(K_{1}E\right)}^2(S-{\mathrm{KD}}_1-t)+2\mathrm{K\π}{K}_1\mathrm{EHr}-2\mathrm{K\π}{K}_1\mathrm{EHt}]}{\sqrt{2\mathrm{\π}}\·\mathrm{\σ}\·{(B+\sqrt{C})}^4\·\sqrt{C}}$

${\·e}^{-\frac{{(1n\frac{B+\sqrt{C}}{2K{K}_{1}E}-\mathrm{\μ})}^2}{2{\mathrm{\σ}}^2}}\×[2\sqrt{2\mathrm{rt}-t^2}\×K_2(L+W)]---\left(6\right)$

式(6)中B＝-K₁E(S-KD₁-t)

C＝(K₁E)²(S-KD₁-t)²-2KπK₁EH(t²-2rt)

K₂为切削长度系数；

L为检测区域的长度值；

W为检测区域的宽度值。

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