CN102252823B - 基于双波长相移干涉测量光学非均匀性的方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于双波长相移干涉测量光学非均匀性的方法，是根据材料的色散特性，采用带有光波长不同的两个激光器或波长可调谐激光器的干涉仪，将待测样品在两种波长光波下的折射率非均匀性等同于待测样品所要测量的光学非均匀性；利用相移干涉术得到待测样品放入干涉仪之前在两种波长光波下获得的相移干涉图以及待测样品放入干涉仪之后在两种波长光波下获得的相移干涉图；采用相移干涉相位恢复算法得到在两种波长光波下待测样品放入干涉仪前后的物光波相位之差，再求得待测样品的光学非均匀性。本发明自动消除了系统误差，测量过程无需调节待测样品，对待测样品前后表面的面形、平行度及加工精度无特殊要求，是一种真正的绝对测量方法，测量精度高。
Description
技术领域
本发明涉及一种应用于光学玻璃、光学晶体及其它光学材料与元件的光学非均匀性测量的方法，属于光学干涉测量领域。
背景技术
相移干涉是从干涉条纹中获取待测光波相位分布的一种方法，通过采用精密的相移器件在参考光波中有序地引入特定相移值，使干涉条纹的位置作相应的移动；在相移过程中，用面阵光电探测器(如CCD等)对干涉条纹的强度分布进行抽样量化，并将其存储在帧存储器中，由计算机按照一定的数学模型和算法求出待测光波的相位分布。相移干涉术是目前精密光学干涉测量中的常用技术，综合应用了光学、激光、电子和计算机等技术，对随机噪声有很强的抑制能力。在采用相移干涉的干涉仪系统中同时采用两种不同波长的激光器或采用波长可调的激光器，可实现双波长相移干涉，双波长相移干涉有助于相位解包和扩展相位测量范围。有关相移干涉、双波长相移干涉及其在不同领域的应用研究已有大量参考文献。相移干涉术最广泛最重要的应用领域是光学元件表面面形和光学系统成像质量的检测评价。目前，许多国际著名商用干涉仪都采用了相移干涉术。基于传统相移干涉的原理，通过改进其算法及实现方式，也可用于光学元件的光学非均匀性测量，但往往对待测样品的面形及加工精度等有特殊要求或限制。
光学非均匀性[《现行光学元件-检测与国际标准》，第64页，科学出版社，2009年7月第一版，北京]定义为相同一块光学材料或元件内部的最大折射率值与最小折射率值之差，表征了光学材料或元件内部的折射率变化，是由化学结构的变化及坯料中的因素引起的。国际标准(IS010110)根据光学非均匀性的技术特性将其分为6类(类别序号从0到5)，分别对应于光学元件内部可允许的折射率改变，类别序号越高表示元件中折射率允许的最大变化值越小、要求越均匀，最大值为5×10-5、最小值为5×10-7。光学元件的非均匀性会导致光波通过元件后波面发生畸变，会直接影响元件本身乃至整个光学系统的性能，如：光学镜头的非均匀性将导致成像质量下降；激光晶体的光学非均匀性将严重影响到激光输出的方向性和相干性以及器件的转换效率，在使用前需要高准确度定量测量其光学非均匀性。研究寻求高准确度定量测量光学非均匀性的方法和仪器系统具有十分重要的意义。
样品光学非均匀性的宏观体现是引起透射光波的波前畸变，理论上来说，通过记录、分析透射光波与参考光波形成的干涉条纹，就可以测得样品的光学非均匀性；然而，因为待测样品都会有前后表面，前后表面的面形变化同样会引起波前畸变，所以透射光波的波前畸变中同时包含了样品内部光学非均匀性引起的波前畸变和样品前后表面面形引起的波前畸变；此外，具体干涉仪系统还会有系统误差(由标准镜、参考镜及其它光学元件引起的波前畸变)。因此，在采用传统的移相干涉术或其它干涉方法测量样品光学非均匀性时，一般情况下实际测得的非均匀性不是样品内部的光学非均匀性，而是包含了样品表面平行度、表面面形及系统误差影响在内的整体非均匀性，存在很大误差。干涉仪系统误差的影响可以通过采用高质量的标准镜、参考镜与其它光学元件，并减去空腔引起的波前畸变来尽量降低或消除。由样品本身前后表面面形及平行度引起的误差只能采取特殊的测量方式与算法来尽量降低，目前常采用的方法主要有以下几种：(1)折射率匹配液法：需要将待测样品表面涂敷折射率与被测样品的折射率相近的折射率液(折射率差至少应小于1×10-4)，然后夹在两块高质量的面形很好的标准平板之间，置于干涉仪(如斐索干涉仪等)的参考面和标准平面之间，通过对得到的干涉图进行分析，计算得到样品折射率分布。某些传统或较早期的干涉仪大多采用该方法。这种方法能够比较精确地测量计算出待测光学元件的折射率非均匀性，但是折射率液的使用很不方便，而且某些场合或某些元件的表面不允许涂抹折射率液。(2)绝对测量法：要求将待测样品加工成具有一定楔角的楔形板，且楔形板前后表面应尽量是面形很好的平面。测量过程中通过微调待测样品，分别使前后表面的反射光偏离光轴并采用空间滤波方法将其滤除。分四步分别测得样品透射光波的波前畸变、样品前表面反射光波的波前畸变、样品后表面反射光波的波前畸变及无待测样品时空腔引起的波前畸变，最后计算得到待测样品的光学非均匀性。该方法可以比较好地消除样品面形及系统带来的误差，是目前使用较多、准确度较高的方法之一。该方法不适用于前后表面平行(如晶体薄片和玻璃平板等)或面形复杂(如非球面透镜等)的光学元件。在绝对测量法原理基础上进行改进，采用短相干光源，可降低对待测样品前后表面面形及夹角的限制和要求，可以有效解决平行平板或非球面样品的光学检测问题。由于在测量过程中需要微调待测样品的角度或位置，使得正反向两次通过样品的光波在样品中的路径会有微小的错位，这会对测量结果造成一定影响，这种方法实际上还不是真正的绝对测量法。(3)波长相移干涉法(变波长干涉法)：该方法采用波长可连续改变的激光器，通过改变激光输出波长来实现干涉信号的相移，激光器既作为光源又起到相移器的作用，不再需要推动硬件实现相移，大大简化了干涉仪的机械结构，可消除由于硬件移动而引起的误差，从而进一步提高了测量精度，并且可用于平行平板样品的光学检测。采用该方法的干涉仪价格昂贵，尚未广泛应用。(4)三表面干涉条纹空域傅里叶分析方法：采用斐索干涉仪(Fizeau interferometer)结构，根据三表面(样品前后表面及标准镜面)干涉时每个面反射光进入光电探测器(如CCD)的振幅不同，对单幅三表面干涉条纹进行空域傅里叶分析。该方法目前还处于原理与实验研究阶段。(5)样品翻转法(如采用全息干涉)：分别测量得到待测样品前后表面引起的波前畸变，并从透射波前中将它们扣除，就可以消除前后表面面形对测量结果的影响。该方法理论上可行，但实际操作难度大，对调整复位精度要求很高，不易实现；且无法扣除系统误差，影响测量精度。该方法只有文献中的原理与实验研究，目前还没有用于实际测量的商用干涉仪。
发明内容
本发明针对现有光学材料或元件的光学非均匀性测量方法存在的不足，提供一种可实现绝对测量、测量精度高的基于双波长相移干涉测量光学非均匀性的方法。
本发明的基于双波长相移干涉测量光学非均匀性的方法，是：
根据材料的色散特性(即同一种材料对于不同波长的光具有不同的折射率)，采用带有光波长不同的两个激光器或波长可调谐激光器的干涉仪，假设干涉仪的两个光源波长分别为λ1和λ2，将待测样品对于波长λ1和波长λ2两种光波的折射率分别记为n1(x，y)和n2(x，y)，折射率与空间坐标(x，y)有关，待测样品的折射率随空间位置的微小变化就是所要测量的光学非均匀性，其中n1(x，y)＝n10+Δn1(x，y)，n2(x，y)＝n20+Δn2(x，y)，n10和n20分别是待测样品在两种波长光波下的平均折射率，Δn1(x，y)和Δn2(x，y)分别表示待测样品在两种波长光波下的折射率非均匀性，Δn1(x，y)和Δn2(x，y)的差别在光学元件国际标准对光学非均匀性所要求的范围内，将待测样品在不同波长光波下的折射率非均匀性等同于待测样品所要测量的光学非均匀性；利用相移干涉术得到待测样品放入干涉仪之前在两种波长光波下获得的相移干涉图以及待测样品放入干涉仪之后在两种波长光波下获得的相移干涉图；采用相移干涉相位恢复算法得到在波长λ1和波长λ2两种光波下待测样品放入干涉仪前后的物光波相位之差和
通过得到的
和求得待测样品的光学非均匀性和厚度变化。
以下详细叙述上述方法的具体实现过程：
(1)根据材料的色散特性(即同一种材料对于不同波长的光具有不同的折射率)，采用带有光波长不同的两个激光器或波长可调谐激光器的干涉仪，假设干涉仪的两个光源波长分别为λ1和λ2，将待测样品对于波长λ1和波长λ2两种光波的折射率分别记为n1(x，y)和n2(x，y)，与空间坐标(x，y)有关，待测样品的折射率随空间位置的微小变化就是所要测量的光学非均匀性；
设待测样品的厚度为d(x，y)，在此假设厚度与空间坐标(x，y)有关，是为了表明本发明的测量方法对待测样品前后表面的面形、平行度及加工精度无特殊要求，厚度d(x，y)可表示为：
d(x，y)＝d0+Δd(x，y)， (A)
式中d0表示待测样品的平均厚度，是常数；Δd(x，y)是由待测样品前后表面面形变化引起的厚度变化。假设干涉仪的两个光源波长分别为λ1和λ2，设待测样品对于波长λ1和λ2两种光波的折射率分别为n1(x，y)和n2(x，y)，与空间坐标(x，y)有关，表示待测样品的折射率随空间位置可能有微小变化，即所要测量的光学非均匀性。折射率n1(x，y)和n2(x，y)可分别表示为
n1(x，y)＝n10+Δn1(x，y)， (B)
n2(x，y)＝n20+Δn2(x，y)，(C)
式中，n10和n20分别是待测样品在两种波长光波下的平均折射率(即用通常方法测得的折射率)，Δn1(x，y)和Δn2(x，y)分别表示待测样品在两种波长光波下的折射率非均匀性。
(2)将待测样品在两种波长下的折射率非均匀性等同于待测样品所要测量的光学非均匀性；
根据光学元件国际标准(ISO10110)，用于加工光学元件的光学材料的折射率非均匀性Δn(x，y)至少要小于5×10-5。虽然由于材料的色散特性导致不同波长下材料的折射率不同，折射率非均匀性也与光波长有关，但不同波长光波下材料的折射率非均匀性的差别一定是在各自平均折射率差别的基础上变化，即
由于n10和n20的差别在10-2量级，而Δn(x，y)至少要小于5×10-5，因此同一种材料在不同波长光波下光学折射率非均匀性之间的差别将远远小于10-7，可以看作是相同的，基于上述考虑，在本发明所述双波长干涉测量方法中可以认为在(B)式和(C)式中有Δn1(x，y)＝Δn2(x，y)＝Δn(x，y)。这是本发明方法的依据。
及此，(B)式和(C)式修正为
n1(x，y)＝n10+Δn1(x，y)＝n10+Δn(x，y)，(D)
n2(x，y)＝n20+Δn2(x，y)＝n20+Δn(x，y)，(E)
(D)式和(E)式中，Δn(x，y)正是所要测量的光学非均匀性。
(3)利用相移干涉术得到待测样品放入干涉仪之前在两种波长光波下获得的相移干涉图，以及待测样品放入干涉仪之后在两种波长光波下获得的相移干涉图；采用相移干涉相位恢复算法，得到在波长λ1和波长λ2两种光波下待测样品放入干涉仪前后的物光波相位之差和
待测样品放入干涉仪前，用两种波长的光波得到的相移干涉图可分别表示为：
待测样品放入干涉仪后，用两种波长的光波得到的相移干涉图可分别表示为：
在(F)-(I)式中，下标1和2分别对应于光波长λ1和λ2，下标o和r分别表示物光波和参考光波，I表示光波强度分布，
表示光波相位分布，δ表示相移干涉中每步的相移量，k＝0、1、…、N，表示第k步相移，N表示总相移步数；例如采用等步长定相移量的四步相移算法时，有δ＝π/2和k＝0、1、2、3。采用相移干涉相位恢复算法，由上面的(F)-(I)式可分别求得：
和
进而，用
与
相减可得到用
与
相减可得到
在得到
和
的过程中，参考光波的相位及由物光光路所引起的物光波相位畸变自动消除。因此本发明方法对干涉仪光路系统自身引起的波前畸变具有自动补偿功能，从而可提高测量精度。
(4)通过得到的
和
求得待测样品的光学非均匀性和厚度变化；
在待测样品放入干涉仪前后，对于波长为λ1和λ2的光分别有以下两式成立：
式中na是空气折射率，空气折射率对不同波长的光都非常接近于1，不同环境下的差别非常小(10-8量级)，取为常数不会影响最终测量结果的精度，在常温20℃常压760mm Hg下取na＝1.00027，将(A)式、(D)-(E)式代入(J)-(K)式加以整理得到：
由(L)式和(M)式得：
在(N)和(0)式中，λ1和λ2、n10和n20及na是都是已知的，在用相移算法得到和后，由(N)式和(0)式分别求得待测样品的光学非均匀性Δn(x，y)和厚度变化Δd(x，y)，其中厚度变化Δd(x，y)包含了样品前后表面的面形变化及表面粗糙度。
式(N)从原理上消除了待测样品前表面、后表面的面形变化及各自的表面粗糙度，最终所测得结果是纯粹的光学非均匀性。
采用本发明的方法还不能够分别测量出样品前表面、后表面的面形变化及各自的表面粗糙度。
本发明依据材料的色散特性以及同一种材料在不同波长下光学非均匀性差别非常小的原理，对待测样品前后表面的面形、平行度及加工精度无特殊要求，只要在干涉测量方法通常所要求的测量范围内即可；测量过程无需调节待测样品，简单、易行；同时本发明方法本身具有系统光路波前畸变自动补偿功能，能够自动消除系统误差，从而进一步提高测量精度；适用于多种不同类型的干涉仪结构，如斐索干涉仪、泰曼-格林干涉仪、马赫-曾德干涉仪等。因此，本发明是一种真正的绝对测量方法，可广泛应用于光学玻璃、光学晶体及其它光学材料与元件的光学非均匀性测量。
附图说明
图1是本发明采用带有光波长不同的两个激光器或波长可调谐激光器的泰曼-格林干涉仪测量光学非均匀性的原理结构示意图。
图2是计算机模拟实验中设定的光学非均匀性分布图。
图3是采用本发明方法由计算机模拟实验得到的测量结果。
图4是采用本发明方法由光学实验测得的Nd:GGG晶体内部折射率非均匀性引起的波前畸变的三维分布图，
图5是采用4D TECHNOLOGY公司FizCam 2000干涉仪测得的Nd:GGG晶体内部折射率非均匀性引起的波前畸变的三维分布图。
其中：1、激光器，2、激光器，3、电子快门，4、电子快门，5、反射镜，6、合光镜，7、扩束准直器，8、分束镜，9、标准反射镜，10、相移器，11、待测样品，12、标准反射镜，13、成像系统，14、面阵光电探测器，15、计算机。
具体实施方式
本发明的测量方法适用于多种干涉仪结构，为了说明简要与方便，仅以带有光波长不同的两个激光器或波长可调谐激光器的泰曼格林干涉仪(Twyman-Green interferometer)为例。泰曼格林干涉仪的原理结构如图1所示，包括激光器1、激光器2、电子快门3、电子快门4、反射镜5、合光镜6、扩束准直器7、分束镜8、标准反射镜9、相移器10、待测样品11、标准反射镜12、成像系统13、面阵光电探测器14及计算机15。电子快门3与电子快门4由微机在测量程序控制下开启或关闭。若开启电子快门3而关闭电子快门4，则激光器1的激光束出射。若关闭电子快门3而开启电子快门4，则激光器2的激光束出射。反射镜5用于反射从激光器1出射的激光束，使其发生光路偏折。合光镜6采用镀膜技术实现对波长λ1反射和对λ2透射。扩束准直器7对从合光镜6出射的激光束进行扩束准直，使之变成平行光束(平面光波)。分束镜8对入射的两种波长的光均具有分束作用，均按一定分束比(如1∶1等)将入射光束分成相互垂直的反射光束和透射光束。经分束镜8反射的光束垂直入射到标准反射镜9上，经标准反射镜9反射后，原路返回，经分束镜8透射再经成像系统13入射到面阵光电探测器14的靶面上，作为干涉仪的参考光波。经分束镜8透射的光束透过待测样品11垂直入射到所述标准反射镜12上，经反射原路返回，第二次反向透过待测样品11，经分束镜8反射再经成像系统13入射到面阵光电探测器14的靶面上，作为干涉仪的物光波。上述参考光波与物光波在面阵光电探测器14的靶面上叠加干涉，形成干涉条纹。面阵光电探测器14记录干涉条纹，干涉条纹经量化抽样存储在计算机15的干涉条纹分析处理系统中。相移器10与标准反射镜9连接，在测量程序控制下驱动标准反射镜9移动，改变参考光波光路的光程，从而实现相移干涉。相移器10可采用压电陶瓷或其它精密驱动装置。
根据本发明的测量方法由计算机15中的干涉条纹分析处理系统对上述参考光波与物光波叠加干涉形成的干涉条纹进行分析处理，通过进一步计算就可得到待测样品11的光学非均匀性。
根据激光器出射光的强弱，还可以在激光器1和激光器2的后面分别采用光强衰减器(图1中没有画出)调节光的强弱，以满足实际记录需要。
具体测量过程及步骤如下：
第一步：在图1所示干涉仪中，首先，不放入待测样品11，开启电子快门3、关闭电子快门4，使激光器1(波长为λ1)的激光束出射；此时物光波与参考光波的相位分布分别用
和
表示；用相移器10驱动标准反射镜9实现相移干涉，如采用等步长定相移量的四步相移干涉方法，用面阵光电探测器14依次记录下相移干涉形成的干涉图I1k，下标k＝0、1、2、3，I1k由(F)式表示。然后，关闭电子快门3、开启电子快门4，使激光器2(波长为λ2)的激光束出射；此时物光波与参考光波的相位分布分别用
和
表示；采取同样的相移方法和记录方式得到干涉图I2k，I2k由(G)式表示。
第二步：放入待测样品11，并开启电子快门3、关闭电子快门4，使激光器1(波长为λ１)的激光束出射；此时物光波的相位分布发生变化，用
表示；参考光波的相位分布不变，仍为采取同样的相移方法和记录方式可得到干涉图I′1k，I′1k由(H)式表示。然后，关闭电子快门3、开启电子快门4，使激光器2(波长为λ2)的激光束出射；此时物光波的相位分布发生变化，用
表示；参考光波的相位分布不变，仍为
采取同样相移方法和记录方式可得到干涉图I′2k，I′2k由(I)式表示。
第三步：对上面两步得到的四组(十六幅)干涉图采用相移干涉相位恢复算法，分别求得对应四种情况下物光、参考光之间的相位差，即
和
进而得到和
最后用(N)式求得待测样品11的光学非均匀性Δn(x，y)。
本发明所述测量方法的实验验证：
(一)计算机模拟实验。采用MATLAB编程模拟。模拟实验中，假设激光器1是He-Ne激光器(λ1＝632.8nm)，激光器2是半导体泵浦YAG倍频激光器(λ2＝532nm)。假设待测样品11是一个光学楔形板，其楔角为π/3600弧度，即0.05度；其平均厚度d0为5000μm；其材料为K9(BK7)玻璃，对波长λ1和λ2的折射率分别为1.51509和1.51947，即在(B)-(E)及(J)-(0)式中分别有n10＝1.51509和n20＝1.51947。假设待测样品11的光学非均匀性Δn(x，y)用MATLAB中的peaks函数表示，其变化幅度为10-6量级、PV值为1.8082×10-6、RMS值为2.3521×10-7，如图2所示。图3所示是采用本发明方法由模拟实验测得的结果，测得的PV值为1.8075×10-6、RMS值为2.3511×10-7。模拟实验测得的结果与理论设定值符合的很好，说明本发明方法是正确的。
(二)光学实验。在实际的光学实验中，激光器1采用He-Ne激光器(λ1＝632.8nm)，激光器2采用半导体泵浦YAG倍频激光器(λ2＝532nm)。待测样品11是一块直径约为99mm的掺钕钆镓石榴石(Nd:GGG)晶体，对波长λ1和λ2的折射率分别为n10＝1.9652和n20＝1.9812，其前后表面均为平面且抛光，其前后表面的夹角约为8×10-4弧度，其平均厚度d0约为9mm。采用马赫-曾德干涉仪结构，采用等步长定相移量的四步相移干涉，干涉条纹分析处理算法采用MATLAB编程实现。实验测得的Nd:GGG晶体内部折射率非均匀性引起的波前畸变的三维分布如图4所示，波前畸变的峰谷值(PV值)为0.00042mm、RMS值为8.448×10-5mm；光学非均匀性的峰谷值(PV值)为4.667×10-5、RMS值为9.39×10-6。
实验中还采用4D TECHNOLOGY公司的FizCam 2000干涉仪对该样品进行了测量。测得的波前畸变三维分布如图5所示，波前畸变的峰谷值(PV值)为0.00040mm、RMS值为8.046×10-5mm；光学非均匀性的峰谷值(PV值)为4.444×10-5、RMS值为8.94×10-6。
采用本发明方法测得的数据与采用4D TECHNOLOGY公司的FizCam 2000干涉仪测得的数据符合的很好，这进一步证明本发明方法的可行性与正确性。
在上面的测量过程与步骤的叙述及实验验证中，均是采用了等步长定相移量的四步相移干涉算法，这只是为了说明与表述的方便与简洁。需要说明的是本发明方法同样适用于其他多种相移算法。
本发明具有以下有益效果：
1.本发明的方法，本身具有系统光路波前畸变自动补偿功能，即能够自动消除系统误差(系统中除待测样品外的其它光学元件引起的参考光波波前畸变与物光波波前畸变)；测量过程中无需调节待测样品；对待测样品前后表面的面形、平行度及加工精度无特殊要求，只要在干涉测量方法通常所要求的测量范围内即可。因此，该方法是一种测量光学非均性的真正的绝对测量方法，从而具有很高的测量精度。
2.本发明的方法适用于多种相移算法。
3.本发明的方法适用于多种不同类型的干涉仪结构，如斐索干涉仪(Fizeauinterferometer)、泰曼-格林干涉仪(Twyman-Green interferometer)、马赫-曾德干涉仪(Mach-Zehnder interferometer)等。
4.本发明的方法可广泛应用于光学玻璃、光学晶体及其它光学材料与元件的光学非均匀性测量。
Claims (3)
1.一种基于双波长相移干涉测量光学非均匀性的方法，其特征是：
根据材料的色散特性，采用带有光波长不同的两个激光器的干涉仪或采用波长可调谐激光器的干涉仪，假设干涉仪的两个光源波长分别为λ1和λ2，将待测样品对于波长λ1和波长λ2两种光波的折射率分别记为n1(x,y)和n2(x,y)，折射率与空间坐标(x,y)有关，待测样品的折射率随空间位置的微小变化就是所要测量的光学非均匀性，其中n1(x,y)=n10+Δn1(x,y)，n2(x,y)=n20+Δn2(x,y)，n10和n20分别是待测样品在两种波长光波下的平均折射率，Δn1(x,y)和Δn2(x,y)分别表示待测样品在两种波长光波下的折射率非均匀性，Δn1(x,y)和Δn2(x,y)的差别在光学元件国际标准对光学非均匀性所要求的范围内，将待测样品在不同波长光波下的折射率非均匀性等同于待测样品所要测量的光学非均匀性；
利用相移干涉术得到待测样品放入干涉仪之前在两种波长光波下获得的相移干涉图以及待测样品放入干涉仪之后在两种波长光波下获得的相移干涉图；采用相移干涉相位恢复算法得到在波长λ1和波长λ2两种光波下待测样品放入干涉仪前后的物光波相位之差
和 通过得到的和
求得待测样品的光学非均匀性和厚度变化。
2.根据权利要求1所述的基于双波长相移干涉测量光学非均匀性的方法，其特征是，得到在波长λ1和波长λ2两种光波下待测样品放入干涉仪前后的物光波相位之差和 
的具体实现过程为：
待测样品放入干涉仪前，用两种波长的光波得到的相移干涉图可分别表示为：
待测样品放入干涉仪后，用两种波长的光波得到的相移干涉图可分别表示为：
在(F)-(I)式中，下标1和2分别对应于光波长λ1和λ2，下标o和r分别表示物光波和参考光波，I表示光波强度分布，
表示光波相位分布，δ表示相移干涉中每步的相移量，k=0、1、…、N，表示第k步相移，N表示总相移步数；采用相移干涉相位恢复算法，由上面的(F)-(I)式分别求得：
和 进而，用
与
相减得到
用 
与
相减得到
在得到 
和
的过程中，参考光波的相位及由物光光路所引起的物光波相位畸变自动消除。
3.根据权利要求2所述的基于双波长相移干涉测量光学非均匀性的方法，其特征是，通过得到的
和
求得待测样品的光学非均匀性和厚度变化的具体实现过程为：
在待测样品放入干涉仪前后，对于波长为λ1和λ2的光分别有以下两式成立：
式中na是空气折射率，空气折射率对不同波长的光都接近于1，不同环境下的差别非常小，取为常数不会影响最终测量结果的精度，在常温20℃常压760mm Hg下取na=1.00027；将下式：
代入(J)-(K)式加以整理得到：
由(L)式和(M)式得：
在(N)和(O)式中，λ1和λ2、n10和n20及na是都是已知的，在用相移干涉相位恢复算法得到和
后，由(N)式和(O)式分别求得待测样品的光学非均匀性Δn(x,y)和厚度变化Δd(x,y)，其中厚度变化Δd(x,y)包含了样品前后表面的面形变化及表面粗糙度；d0表 示待测样品的平均厚度。
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