CN101800845A - 一种可调节的基于光滑曲线的频域滤波器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种可调节的基于光滑曲线的频域滤波器设计方法，是一种数字信号处理的方法。所述方法包括如下步骤：计算截止频率的步骤；计算通带和阻带截止频率的步骤；初始化光滑曲线的步骤；生成频率响应的步骤；调节光滑曲线修正、优化滤波器的步骤；最终得到频域滤波器的步骤。本发明由信号变采样率自适应计算通带截止频率和阻带截止频率，而后在通带和阻带之间，采用光滑曲线拟合生成过渡带，利用曲线的可调节性和光滑性很好的解决了过渡带样本点的分布问题，并在此基础上设计生成频率响应，最后在频率域内等间隔采样频率响应，得到最终的频域滤波器。

Description

一种可调节的基于光滑曲线的频域滤波器设计方法

技术领域

本发明涉及一种可调节的基于光滑曲线的频域滤波器设计方法，是一种数字信号处理的方法，是一种低通滤波器的设计方法。

背景技术

滤波器的设计是信号处理的核心问题之一。一般来讲，滤波器具有选频作用，其目的是为了压制输入信号中的某些频率分量，从而改变信号频谱中各频率分量的相对比例。根据滤波器所处理的信号性质，可分为模拟滤波器和数字滤波器。数字滤波器包括有限脉冲响应(FIR，Finite Impulse Response)滤波器和无限脉冲响应(IIR，Infinite Impulse Response)滤波器两种。前者同后者相比有着突出的优点：系统总是稳定的、易于实现线性相位、在视音频处理和数据传输中不会发生明显的相位失真，因此，在数字信号处理中，FIR数字滤波器得到了广泛的应用。

性能优秀的滤波器应该具有：最大平坦性的通带、宽度合适且光滑的过渡带、较大衰减性的阻带和非常平坦的群延迟。目前，FIR数字滤波器的设计方法，主要有窗函数法、等波纹逼近法和频率采样法。

窗函数法是设计FIR滤波器最简单的方法。它采用的技术易于理解和实现。但是采用窗函数法设计的滤波器在用于图像下采样滤波时，存在很多不足：在理想频率响应不连续点附近有振荡行为，不能精确指定通带截止频率ω_p和阻带截止频率ω_s，可能需要反复多次验证才能确定较理想窗口类型和大小，由于通带和阻带内的波动不均匀，且越靠近截止频率波动越大，从而导致滤波图像会出现“过冲”和“振铃”现象。

等波纹逼近法即Parks-McClellan算法，它是一种迭代算法。因为满足交错定理，等波纹逼近法可以得到最优化的滤波器，但是较高阶等波纹逼近则比较复杂，不易实现，且在设计滤波器时需要指定较多的技术指标参数，而这些参数在视频图像下采样的滤波器设计中是没有明确标准的。

频率采样法是直接从频域出发，它首先对理想频率响应等间隔采样，而后，对这些频率采样点上的值进行离散傅立叶逆变换得到时域有限长的脉冲响应。该方法物理概念清楚，直观方便。但其效果取决于过渡带的设计，如果过渡带设计的合理，则效果很好；否则，滤波图像会出现“过冲”或“振铃”现象。

实际上，上述三种设计方法得到的都是时域滤波器。当滤波器的阶数比较低时，可采用时域卷积的方法得到滤波图像；但当滤波器的阶数比较高时，时域卷积的效率就会大大降低，此时通常采用FFT快速卷积的算法来提升效率。在实际应用中，往往存在任意比例的下变换，例如将1920x1080的图像下变换为160x90的图像，为了消除混叠现象，仅x方向的滤波器的阶数就为124阶(采用等波纹逼近法计算得出，如采用窗函数法或频率采样法计算，则阶数更高)。此时，如果采用时域卷积的方法来计算滤波图像，其效率将大大降低。随着计算机硬件的发展，实时高效的FFT技术已经成熟，完全可以利用FFT快速卷积的算法来提升算法的效率。但FFT快速卷积进行计算时需要进行2次FFT和1次IFFT运算，如果可以直接将滤波器设计为频域滤波器，则只要1次FFT和1次IFFT就可完成滤波运算，可进一步提升算法效率。另外，一个技术指标完备的低通滤波器需要指定通带截止频率ω_p、阻带截止频率ω_s、通带波动系数σ₁、阻带波动系数σ₂，但在视频的高标清下变换或任意比例下变换中并没有一个标准的滤波器技术指标。因此，在实际应用中，如何根据源信号和目标信号的变采样率，来自适应的设计出符合要求的、高质量的滤波器是一个值得深入研究的问题。特别的，在选择针对视频图像下采样的滤波器设计中，需要研究自适应的、可调节的、鲁棒性强的、频域滤器设计方法。

发明内容

针对现有技术的缺陷，本发明的目的是提出一种可调节的基于光滑曲线的频域滤器设计方法，本发明在通带截止频率和阻带截止频率之间，采用光滑曲线模拟生成过渡带，很好的解决了过渡带的设计问题。同时该方法由源信号和目标信号的变采样率计算通带和阻带的截止频率，并在此基础上自适应生成频域低通滤波器。该滤波器在通带平坦性、阻带衰减性、过渡带平滑性、群延迟性等方面都具有良好的性质，是一种优秀的滤波器设计方案。

本发明的目的是这样实现的：一种可调节的基于光滑曲线的频域滤波器设计方法，所述方法包括如下步骤：

计算截止频率的步骤：用于由源信号采样点和目标信号采样点计算产生滤波器的截止频率ω_c，这里的频率都是归一化的频率；

计算通带和阻带截止频率的步骤：用于由截止频率ω_c计算产生通带截止频率ω_p和阻带截止频率ω_s；

初始化光滑曲线的步骤：用于产生初始化光滑曲线，并将该曲线作为滤波器频率响应在过渡带的响应曲线；

生成频率响应的步骤：用于由直线和光滑曲线分段拟合生成滤波器的频率响应。这里得到的频率响应是分段定义的，其中在[0，ω_p)区间上取值为1，在[ω_p，ω_s)区间上为光滑曲线，在[ω_s，π]区间上取值为0；

产生初始化频率滤波器的步骤：用于通过沿频率轴，等间隔采样上一步拟合得到的频率响应，产生初始化频域滤波器系数；

调节光滑曲线修正、优化滤波器的步骤：用于通过调节控制点，来改变通带截止频率、阻带截止频率以及过渡带的形状，并可通过在过渡带内添加控制点来更丰富的调节过渡带的形状来进一步修正和优化滤波器的频率响应曲线；

最终得到频域滤波器的步骤：用于对频率响应，沿频率轴进行等间隔采样，产生最终的频域滤波器系数。

本发明产生的有益效果是：本发明是一种适用于信号下采样的、自适应、可调节、高质量、鲁棒性强的低通滤波器设计方法。本发明首先由源信号和目标信号的变采样率计算得到通带截止频率和阻带截止频率，而后由光滑曲线拟合生成过渡带，利用曲线的可调节性和光滑性有效的解决了滤波器中过渡带的设计问题，并在[0，ω_p)、[ω_p，ω_s)、[ω_s，π]上分段定义得到滤波器的频率响应，最后沿频率轴等间隔采样频率响应得到最终的频域滤波器。测试表明，本发明设计的低通滤波器，在通带具有最大平坦性、过渡带光滑下降且宽度合适不会产生“过冲”和“振铃”现象、阻带具有快速衰减性，非常适合数字图像滤波。同时该技术可以作为其它算法和技术的一个基础辅助技术，最终达到提升图像质量的目的。

附图说明

下面结合附图和实施例对本发明做进一步解释。

图1是本发明实施例一所述方法的过程框图；

图2是本发明实施例一所述频率响应示意图；

图3本发明实施例二所述高标清下变换时x方向频率响应示意图；

图4是本发明实施例三所述椭圆拟合过渡带示意图；

图5发明实施例四所述的贝塞尔曲线生成示意图。

具体实施方式

实施例一：

本实施例是一种可调节的基于光滑曲线的频域滤波器设计方法。本实施例由信号变采样率自适应计算通带截止频率和阻带截止频率，而后在通带和阻带之间，采用光滑曲线拟合生成过渡带，解决了过渡带样本点的分布问题，并在此基础上设计生成频率响应，最后在频率域内等间隔采样频率响应，得到最终的频域滤波器。滤波器频率响应的曲线如图2所示，该曲线是分段定义的。其中，x轴是频率轴，y轴是幅度轴，ω_p是通带截止频率，ω_s是阻带截止频率，区间[0，ω_p)称为通带，[ω_p，ω_s)称为过渡带，[ω_s，π]称为阻带，通带内的频率分量需要无损的通过，阻带内的频率分量需要完全阻止，过渡带内的频率分量的振幅是沿频率轴单调光滑下降的。因此，设计滤波器时，通带的平坦性、阻带的衰减性、过渡带的光滑下降性都需要仔细考虑。其中过渡带的设计非常重要，例如在图像滤波中，如果过渡带太窄，则滤波图像会出现“振铃”响应，如果过渡带太宽，则滤波图像会出现模糊或频谱混叠现象。本实施例中，采用贝塞尔曲线、样条曲线或抛物线拟合产生过渡带，利用这些曲线的光滑性和可调节性很好的解决了过渡带的设计问题。另外，由任意比例的变采样率计算出通带截止频频、阻带截止频率，并依此为基础初始化光滑曲线，体现了本实例的自适应性；如认为默认生成的滤波器不理想，可以通过调节曲线的控制点来对滤波器进行修正，直到满意为止，体现了本实例的可调节性；实际的测试结果表明，对任意比例下采样的滤波要求，本实例都可提供比较理想的滤波器，体现了本实例的鲁棒性。

本实施例所述方法的过程如图1所示，其步骤如下：

计算截止频率的步骤：用于由源信号采样点和目标信号采样点计算产生滤波器的截止频率ω_c；

计算通带和阻带截止频率的步骤：用于由截止频率ω_c计算产生通带截止频率ω_p和阻带截止频率ω_s；

初始化光滑曲线的步骤：用于产生初始化光滑曲线，并将该曲线作为滤波器频率响应在过渡带的响应曲线；

生成频率响应的步骤：用于由直线和光滑曲线分段拟合生成滤波器的频率响应。这里得到的频率响应是分段定义的，其中在[0，ω_p)区间上取值为1，在[ω_p，ω_s)区间上为光滑曲线，在[ω_s，π]区间上取值为0；

产生初始化频域滤波器的步骤：用于通过沿频率轴，等间隔采样上一步拟合得到的频率响应，产生初始化频域滤波器系数；

调节光滑曲线修正、优化滤波器的步骤：用于通过调节控制点，来改变通带截止频率、阻带截止频率以及过渡带的形状，并可通过在过渡带内添加控制点来更丰富的调节过渡带的形状，进一步修正和优化滤波器的频率响应曲线；

最终得到频域滤波器的步骤：用于对频率响应，沿频率轴进行等间隔采样，产生最终的频域滤波器系数。

实施例二：

本实施例是实施例一的改进，是实施例一关于计算截止频率的步骤的细化。本实施例所述的计算截止频率的步骤中的源信号和目标信号包括：视频图像信号、音频数字信号。

实际上，本发明所设计的滤波器可以生成一维滤波器，也可生成二维滤波器，甚至可以扩展生成n维滤波器。不失一般性的，采用本发明生成n维滤波器时，n个不同方向(维)所对应的频率响应均采用实施例一所述的步骤生成。而音频信号实际上是一维信号，视频图像信号实际上是二维信号。对音频信号只要计算出通带截止频率阻带截止频率，就可由本发明所述方法计算产生滤波器，并进行处理。对视频图像来说，需要考虑两个方向，x方向和y方向。先计算生成两个方向的滤波器，而后滤波处理时，先处理x方向再处理y方向。测试表明，采用本发明所设计的滤波器，在视频高标清下变换中取得了理想的预滤波效果。图3给出的是1920x1080的高清信号下变换到720x576的标清信号时，x方向的滤波器频率响应。

实施例三：

本实施例是实施例一的改进，是实施例一关于初始化光滑曲线的步骤的细化。本实施例所述初始化光滑曲线的步骤中的光滑曲线包括：椭圆线、抛物线。

实际上，通带截止频率和阻带截止频率之间的光滑曲线，可以用多种曲线来拟合。比较简单的曲线是椭圆线和抛物线，使用椭圆线拟合生成过渡带如图4所示。下面举例说明，利用椭圆拟合过渡带的过程，椭圆方程表达式为

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1---\left(1\right)$

由图3显然可知

a＝ω_s    (2)

又椭圆过点(ω_p，1)，将其代入(1)式得到

$\frac{{\mathrm{\ω}}_p^2}{{\mathrm{\ω}}_s^2}+\frac{1}{b^2}=1---\left(3\right)$

由(2)计算得到

$b=\frac{{\mathrm{\ω}}_s}{\sqrt{{\mathrm{\ω}}_s^2-{\mathrm{\ω}}_p^2}}---\left(4\right)$

从而得到图3所示过渡带椭圆方程为

$\frac{x^2}{{\mathrm{\ω}}_s^2}+\frac{({\mathrm{\ω}}_s^2-{\mathrm{\ω}}_p^2)y^2}{{\mathrm{\ω}}_s^2}=1---\left(5\right)$

在得到过渡带曲线方程的基础上，可以得到分段定义的频率响应曲线

$H\left(e^{\mathrm{j\&omega;}}\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& 0\&le;\mathrm{\&omega;}<{\mathrm{\&omega;}}_p\\ \sqrt{{\mathrm{\&omega;}}_s^2-x^2}/\sqrt{{\mathrm{\&omega;}}_s^2-{\mathrm{\&omega;}}_p^2},& {\mathrm{\&omega;}}_p\&le;\mathrm{\&omega;}<{\mathrm{\&omega;}}_s\\ 0,& {\mathrm{\&omega;}}_s\&le;\mathrm{\&omega;}\&le;\mathrm{\&pi;}\end{array}\right.---\left(6\right)$

对(6)式定义的曲线，进行等间隔采样即可得到频域滤波器系数，从而得到所求。使用抛物线拟合过渡带的过程与椭圆线拟合算法一样，只不过此时的曲线方程变成了抛物线方程。

实施例四：

本实施例是实施例一的改进，是实施例一关于初始化光滑曲线的步骤的细化。本实施例所述初始化光滑曲线的步骤中的光滑曲线包括：贝塞尔曲线、B样条曲线。

贝塞尔曲线和B样条曲线都是非常重要的参数曲线，不同的是它们的基函数不同，贝塞尔曲线的基函数是伯恩斯坦(Bernstein)基，B样条曲线的基函数是B样条。这两种曲线都可以很灵活、方便的拟合生成光滑曲线，并且可以通过控制点控制曲线的形状，具有广泛的应用。贝塞尔曲线的生成过程如图5所示。贝塞尔曲线的详细描述如下：

给定空间n+1个点P₀，P₁，...，P_n，称下列参数曲线为n次贝塞尔曲线：

$C\left(u\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{P}_i{B}_{i,n}\left(u\right),0\&le;u\&le;1---\left(7\right)$

其中，B_i，n(u)是伯恩斯坦基函数，即

$B_{i,n}\left(u\right)=C_n^i{u}^i{(1-u)}^{n-i}$ $C_n^i=\frac{n!}{i!(n-i)!}---\left(8\right)$

一般称由P₀，P₁，...，P_n组成的折线为C(u)控制多边形，称P₀，P₁，...，P_n各点为C(u)的控制顶点，C(u)是对P₀，P₁，...，P_n的逼近。利用(7)(8)可推导出常用的一次、二次、三次贝塞尔曲线的表达式。

一次贝塞尔曲线

C(u)＝(1-u)P₀+uP₁                            (9)

二次贝塞尔曲线

C(u)＝(1-u)²P₀+2u(1-u)P¹+u²P₂                (10)

三次贝塞尔曲线

C(u)＝(1-u)³P₀+3u(1-u)²P₁+3u²(1-u)P₂+u³P₃    (11)

当使用贝塞尔曲线拟合生成过渡带的时候，可将点(ω_p，1)和点(ω_s，0)分别作为贝塞尔曲线的起点P₀和终点P_n，起中间的控制点可相应给出，而后采用(7)和(8)计算出曲线上点，得到过渡带。图5所示为二次贝塞尔曲线。B样条曲线的生成算法与贝塞尔曲线生成算法类似。

最后应说明的是，以上仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳布置方案对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案(比如曲线的修改设计过程的前后顺序等)进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围。

Claims (4)

1.一种可调节的基于光滑曲线的频域滤波器设计方法，其特征在于，所述方法的步骤如下：

计算截止频率的步骤：用于由源信号采样点和目标信号采样点计算产生滤波器的截止频率ω_c；

计算通带和阻带截止频率的步骤：用于由截止频率ω_c计算产生通带截止频率ω_p和阻带截止频率ω_s；

初始化光滑曲线的步骤：用于产生初始化光滑曲线，并将该曲线作为滤波器频率响应在过渡带的响应曲线；

生成频率响应的步骤：用于由直线和光滑曲线分段拟合生成滤波器的频率响应。这里得到的频率响应是分段定义的，其中在[0，ω_p)区间上取值为1，在[ω_p，ω_s)区间上为光滑曲线，在[ω_s，π]区间上取值为0；

产生初始化频域滤波器的步骤：用于通过沿频率轴，等间隔采样上一步拟合得到的频率响应，产生初始化频域滤波器系数；

调节光滑曲线修正、优化滤波器的步骤：用于通过调节控制点，来改变通带截止频率、阻带截止频率以及过渡带的形状，并可通过在过渡带内添加控制点来更丰富的调节过渡带的形状，进一步修正和优化滤波器的频率响应曲线；

最终得到频域滤波器的步骤：用于对频率响应，沿频率轴进行等间隔采样，产生最终的频域滤波器系数。

2.权利要求1所述的滤波器设计方法，其特征在于，计算截止频率的步骤中的源信号和目标信号包括：视频图像信号、音频数字信号。

3.权利要求1所述的滤波器设计方法，其特征在于，初始化光滑曲线的步骤中的光滑曲线包括：椭圆线、抛物线。

4.权利要求1所述的滤波器设计方法，其特征在于，初始化光滑曲线的步骤中的光滑曲线包括：贝塞尔曲线、B样条曲线。

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