CN101800485A - 一种准独立模态传感器的构建方法 - Google Patents

Abstract

一种准独立模态传感器的构建方法，它有三大步骤：1.在板上粘贴m个压电应变率传感器，它们经过各增益g_si后求和构成一个组合式压电应变率传感器，随后去激励由n个增益g_aj构成的组合式压电作动器；2.对于应变率传感器有

选取m个压电传感片的区域Ω_si和相应的g_si使得

三、建立目标函数

通过调节各压电传感器后接的比例放大器的增益来实现；本发明在结构振动主动控制领域里具有实用价值和广阔的应用前景。

Description

一种准独立模态传感器的构建方法

(一)技术领域

本发明涉及一种压电传感器的构建方法，尤其是涉及基于准独立模态控制方法的一种准独立模态传感器的构建方法，属于结构振动主动控制领域。

(二)背景技术

对于一个多自由度特别是∞自由度的连续结构的振动控制，“溢出”问题是令人头疼是拦路虎，成为众多文献关注的一个主题。其中，从理论上说，最吸引人的解决办法要数“独立模态控制”技术。它基于结构振动模态理论，首先把结构传感器响应变换到模态坐标域中，在其中按一个一个单自由度系统设计控制器和优化模态广义力，最后再反变换到物理坐标由作动器驱动结构，完成无溢出的闭环控制。这种策略的基础是要有大量的分布式的传感器和作动器，因此，多年来只能当作一种理想模型来欣赏——仿真试验或讨论。但是，近二十年来，随着重量轻、价格低，可大量分布的压电传感器和作动器的崛起，使它变得比较现实了，它的理论和实践价值日益受到人们的重视。

独立模态控制理论的核心是模态传感器和作动器的组建和实施。分布式的压电片实际上可以看成是有∞多个传感器和作动器，并且还有一定的“运算”功能，这恰恰迎合了组建模态传感器和作动器的需要，这就是近年来不少文献热衷于压电片剪裁的独立模态控制的原由。

本发明中用压电梁作为典型结构来解释独立模态控制理论的原理以及本发明在压电结构振动控制中的应用，但该发明也适用于其他结构，特别如航空航天产品之类的大型柔性结构。

图1是众多文献采用的典型的压电片裁剪独立模态控制示意图(单模态)，从图可见：

a、在梁1的下表面贴有一压电作动片2，上表面相应位置贴有同一尺寸的压电测量片3经一大电阻4后接电阻5和运算放大器6构成压电应变传感器；

b、压电应变传感器输出电压u_s经微分放大器g_ss后与外激励电压u_e相减，经功放增益g_a后激励压电作动片构成闭环控制系统。

压电剪裁独立模态控制的现实性和局限性：

(1)多模态控制要贴多层压电片，显然不那么现实可行。

(2)非均匀梁结构例如变截面的，有刚度突变的，带有集中质量的等等，裁剪条件将变得非常复杂甚至没有可行的解。对于其它复杂结构，首先没有应变振型(如梁的Φ_r ^xx(x))的解析解，用有限元法等求解，误差将较大；其次，或许更为重要的是，即使对于简单的弹性薄板，按方程(2-4)等，应变传感器的输出方程(3-5)中的η_r将成为

${\mathrm{\η}}_r={\∫\∫\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ps}}{h}_{\mathrm{ps}}({\mathrm{\Φ}}_r^{\mathrm{xx}}(x,y)+{\mathrm{\Φ}}_r^{\mathrm{yy}}(x,y))\mathrm{dxdy}---(3-15)$

这里可裁剪的东西似乎只剩下δ_ps(x，y)和h_ps(x，y)了，即压电片的厚度或压电常数要随板的坐标x，y而变。这显然是很不现实的。更有甚者，似乎也很难找到关于应变模态Φ_r ^xx(x，y)+Φ_r ^yy(x，y)的正交函数系。

(3)关于适应性

首先，如果结构特性特别是固有振型在运行中有所变化，已裁剪好的压电传感器和作动器将偏离独立模态控制条件，从而有可能使整个控制失效。另外，“硬化”的独立模态传感器和作动器也在很大程度上限制了智能传感和作动器与现代自适应控制技术相结合的深远潜力。

(三)发明内容

(1)目的：本发明的目的是提供一种准独立模态传感器的构建方法，它克服了原有的理论模型在现实应用中的困难，是一种设计优化，可用于实践的准独立模态控制传感器的构建方法。

(2)技术方案：本发明一种准独立模态传感器的构建方法，发明原理介绍如下：

1.压电陶瓷片的四类压电方程

压电体的机一电本构关系也即压电方程描述其机械量(应力T和应变S)及电学量(电场强度E和电位移D)间的耦合关系。本节将导出本发明理论和实验研究中用到的压电陶瓷片(属6mm点群晶体)的四类压电方程。

设压电薄片平面内坐标为x、y，法线方向也即极化方向为z。本发明中将以力学分析中惯用的符号为主，但在本节及以后有关章节分析压电片为主的论述中，为保持压电体分析的原貌，将沿用压电体分析文献中的一般符号，二者对照表如下：

	轴	应力	应变
				从力学角度	x y z	σx σy σz τyz τzxτxy	εx εy εz γyz γzx γxy
从压电角度	1 2 3	T1 T2 T3 T4 T5 T6	S1 S2 S3 S4 S5 S6

压电陶瓷作为6mm点群晶体，有2种最基本的压电效应方程；其一，电学短路(E₁＝E₂＝E₃＝0)条件下的正压电效应

其二，力学自由(T_i＝0，i＝1-6)条件下的逆压电效应

其中E_i和D_i分别为压电体沿i轴的内部场强和极面电位移，d_ij为有关i和j轴的压电常数，有

d_p＝d₃₁＝d₃₂    (1-3)

其中下标p标志“压电片”，本文以后将一直沿用这一下标。

对于我们关心的2维压电片，有

T₃＝0 和 E₁＝E₂＝0    (1-4)

并且我们也只关心D₃、S₁和S₂，方程(2-1)(2-2)成为

D₃＝d₃₁T₁+d₃₂T₂＝d_p(T₁+T₂)(E₃＝0)    (1-5)

$\left[\begin{array}{c}{S}_1\\ S_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{d}_{31}\\ d_{32}\end{array}\right]E_3=\left[\begin{array}{c}{d}_p\\ d_p\end{array}\right]E_3,(T_1=T_2=0)---(1-6)$

在力学自由(T₁＝T₂＝0)条件下，压电薄片作为一个普通电容，还有介电方程

$D_3={\mathrm{\ϵ}}_p^T{E}_3,(T_1=T_2=0)---(1-7)$

其中ε_p ^T是力学自由(T₁＝T₂＝0，由上标T标志)条件下的介电系数

作为弹性体的压电薄片，有电学短路(E₃＝0)条件下的弹性本构关系

$\left[\begin{array}{c}{S}_1\\ S_2\end{array}\right]=\frac{1}{E_p}\left[\begin{array}{cc}1& -{\mathrm{\μ}}_p\\ -{\mathrm{\μ}}_p& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{T}_1\\ T_2\end{array}\right],(E_3=0)---(1-8)$

其中E_p和μ_p分别为压电片的弹性模量和泊桑比。

结合方程(2-5)——(2-8)，得到压电片的机——电耦合本构方程

它全面地反映了压电片6个量(4个机械量T₁、T₂、S₁、S₂和2个电学量D₃和E₃)间的耦合关系，既包含了正压电效应，又包含了逆压电效应。

在不同的场合，用不同的自变量和因变量将更为方便。为此，把方程(1-9)称为第一类压电方程；从中，还可以导得与其等价的其它三类压电方程。

第二类压电方程

其中压电系数

$e_p=\frac{E_p{d}_p}{1-{\mathrm{\μ}}_p}---(1-11)$

而

${\mathrm{\ϵ}}_p^S={\mathrm{\ϵ}}_p^T-2e_p{d}_p={\mathrm{\ϵ}}_p^T-\frac{2E_p{d}_p^2}{1-{\mathrm{\μ}}_p}---(1-12)$

为压电片在夹持(S₁＝S₂＝0，以上标S标志)条件下的介电常数。

第三类压电方程

其中压电系数

$g_p=\frac{d_p}{{\mathrm{\ϵ}}_p^T}---(1-14)$

第四类压电方程

其中压电系数

$h_p=\frac{e_p}{{\mathrm{\ϵ}}_p^S}=\frac{E_p{d}_p}{{\mathrm{\ϵ}}_p^S(1-{\mathrm{\μ}}_p)}---(1-16)$

压电片常用于如梁之类的一维应力结构中，T₂≡0，相应的四类压电方程成为

(第一类T₂≡0)    (1-17)

(第二类T₂≡0)    (1-18)

(第三类T₂≡0)    (1-19)

(第四类T₂≡0)    (1-20)

其中

e_p＝E_pd_p     (1-21)

$g_p=d_p/{\mathrm{\ϵ}}_p^T---(1-22)$

$h_p=e_p/{\mathrm{\ϵ}}_p^S=\frac{E_p{d}_p}{{\mathrm{\ϵ}}_p^S}---(1-23)$

${\mathrm{\ϵ}}_p^S={\mathrm{\ϵ}}_p^T-e_p{d}_p={\mathrm{\ϵ}}_p^T-E_p{d}_p^2---(1-24)$

2.独立模态控制的基本理论

为一般化起见，我们从一个有n自由度离散系统出发，当n→∞时，就推广到连续系统，再根据压电模态与常规模态的类比关系，推广到压电结构。

这一n自由度系统有关符号如下

x            n维位移向量

F            n维激励力向量

Φ，Φ_r      n×n阶模态矩阵，第r阶模态向量

m_r，k_r       第r阶模态质量和刚度

q，q_r        n维模态坐标向量，第r阶模态坐标

f，f_r        n维模态广义力向量，第r阶模态广义力

H(s)，H(s)   n×n阶开环和闭环传递函数

根据微幅振动模态理论，有在拉氏域(s)内的基本方程

f(s)＝Φ^TF(s) $f_r\left(s\right)={\mathrm{\Φ}}_r^{T}F\left(s\right)---(2-1)$

$q\left(s\right)=\mathrm{diag}\left(\frac{1}{m_r{s}^2+k_r}\right)f\left(s\right)=\mathrm{diag}\left(\frac{1}{m_r{s}^2+k_r}\right){\mathrm{\Φ}}^{T}F\left(s\right)$

$q_r\left(s\right)=\frac{f_r\left(s\right)}{m_r{s}^2+k_r}=\frac{{\mathrm{\Φ}}_r^{T}F\left(s\right)}{m_r{s}^2+k_r}---(2-2)$

$x\left(s\right)=\mathrm{\Φq}\left(s\right)=\mathrm{\Φdiag}\left(\frac{1}{m_r{s}^2+k_r}\right){\mathrm{\Φ}}^{T}F\left(s\right)=H\left(s\right)F\left(s\right)---(2-3)$

$H\left(s\right)=\mathrm{\Φdiag}\left(\frac{1}{m_r{s}^2+k_r}\right){\mathrm{\Φ}}^T=\underset{r=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\Φ}}_r^T{\mathrm{\Φ}}_r}{m_r{s}^2+k_r}---(2-4)$

2.1模态传感器

从方程(2-3)，有模态坐标向量

q(s)＝Φ^-1x(s)    (2-5)

它表明，如果把测到的系统响应x(s)通过变换Φ^-1输出，得到的是模态坐标向量q(s)；把这种传感器和变换Φ^-1的组合称为“模态传感器”或“模态滤波器”。

2.2独立模态控制

现在来分析如图2的闭环控制系统。模态传感器输出模态坐标向量q(s)，它经对角控制器环节

c(s)＝diag(c_r(s))    (2-6)

成为优化的模态广义力向量f(s)，最后经模态作动器Φ^-T转化为实际力向量F^*(s)反馈构成闭环。闭环响应为

x(s)＝H(s)(F(s)-Φ^-Tc(s)Φ^-1x(s))    (2-7)

从中解得

x(s)＝H(s)F(s)    (2-8)

其中

H(s)＝(I+H(s)Φ^-Tc(s)Φ^-1)^-1H(s)    (2-9)

是系统的闭环传递函数，I是单位阵。

把方程(2-4)代入(2-9)将有

$\stackrel{\‾}{H}\left(s\right)=\mathrm{\Φdiag}\left(\frac{1}{m_r{s}^2+k_r+c_r\left(s\right)}\right){\mathrm{\Φ}}^T=\underset{r=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\Φ}}_r^T{\mathrm{\Φ}}_r}{m_r{s}^2+k_r+c_r\left(s\right)}---(2-10)$

把它与开环传递函数H(s)(方程2-4)比较一下，可以看出

(1)系统的模态矩阵不变

(2)控制环节c_r(s)只对第r阶模态产生影响而与其它各阶模态无关。这样，由于模态传感器和模态作动器的安排，把对n自由度系统的控制转化成了对一个一个模态的单自由度系统的控制，也即所谓的“独立模态控制”。

例如，如取控制器c(s)为微分环节

c_r(s)＝Δc_rs    (2-11)

有

$\stackrel{\‾}{H}\left(s\right)=\mathrm{\Φdiag}\left(\frac{1}{m_r{s}^2+\mathrm{\Δ}{c}_{r}s+k_r}\right){\mathrm{\Φ}}^T---(2-12)$

系统各阶模态将独立地增加阻尼系数Δc_r。又如取为比例环节

c_r(s)＝Δk_r    (2-13)

将有

$\stackrel{\‾}{H}\left(s\right)=\mathrm{\Φdiag}\left(\frac{1}{m_r{s}^2+(k_r+\mathrm{\Δk})}\right){\mathrm{\Φ}}^T---(2-14)$

系统各阶模态将独立地增加模态刚度Δk_r。

2.3独立模态控制的实现问题

这种独立模态控制理论显然是十分吸引人的：它彻底地解决了其它控制方案普遍存在的观测溢出和控制溢出问题，把多自由度系统转化为一个一个的单自由度系统，各个击破，最后达到控制全部模态的目标。

可以看出，独立模态控制的关键是如何能经济和有效地实现模态传感器和作动器，困难在一个“多”字：

(1)n自由度系统，需要n个传感器和作动器，当n很大，特别是连续系统n→∞时，一般变得很不现实。

(2)n很大时，变换矩阵Φ^-1和Φ^-T的阶数太高，不论硬件配置或软件实现，成本和可能性都成问题。

令人欣慰的是，近年来压电陶瓷等“智能”材料的快速发展，因其重量非常轻，价格低，既能传感又能激励等独特优点使得在结构上安排大量(甚至∞)传感器和作动器成为可能。模态变换矩阵Φ^-1和Φ^-T需要的只是大量廉价的、可集成的运算放大器，原则上没有什么困难。更令人振奋的是由于压电陶瓷之类的智能传感器和作动器是可以“剪裁”的，它将把传感和作动功能与变换功能合为一体。这样，独立模态控制变得比较现实可行了。下一节研究的作为连续结构的压电梁的独立模态控制的成功，是最典型的例子。

3.压电梁的独立模态控制

设有Bernoulli-Enller梁，长为L，截面参数E、b、h等为常量。梁的挠度w按固有振型Φ_r(x)和模态坐标q_r(t)展开为

$w(x,t)=\underset{r=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\Φ}}_r\left(x\right)q_r\left(t\right)---(3-1)$

梁上表面应变为

${\mathrm{\ϵ}}_{x0}(x,t)=\frac{h}{2}{w}^{\mathrm{xx}}(x,t)=\frac{h}{2}\underset{r=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\Φ}}_r^{\mathrm{xx}}\left(x\right)q_r\left(t\right)---(3-2)$

其中固有振型的二阶导数有正交关系

${\∫}_0^L{\mathrm{\Φ}}_i^{\mathrm{xx}}\left(x\right){\mathrm{\Φ}}_j^{\mathrm{xx}}\left(x\right)\mathrm{dx}=\left\{\begin{array}{cc}1& i=j\\ 0& i\≠j\end{array}\right.---(3-3)$

3.1压电剪裁模态传感器

设把一压电片遍布粘贴于梁的上表面(见图1)并后接运放构成压电应变传感器(图3)。

对于一维应力结构(T₂(x，t)＝σ_y(x，t)＝0)，应变传感器输出为

$u_s\left(t\right)\≈\frac{b_p{\mathrm{\δ}}_p{h}_p{R}_f}{R}{\∫}_{{\mathrm{\Ω}}_s}{\mathrm{\ϵ}}_x(x,t)\mathrm{dx}---(3-4)$

依据方程(3-4)和(3-2)，其输出电压为

$u_s\left(t\right)=\frac{R_f}{R}{\∫}_0^L{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ps}}{h}_{\mathrm{ps}}{b}_{\mathrm{ps}}{\mathrm{\ϵ}}_{x0}(x,t)\mathrm{dx}=\frac{h}{2}\frac{R_f}{R}\underset{r=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\η}}_r{q}_r\left(s\right)---(3-5)$

其中(注意方程1-2--1-1-24)

${\mathrm{\η}}_r={\∫}_0^L{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ps}}{h}_{\mathrm{ps}}{b}_{\mathrm{ps}}{\mathrm{\Φ}}_r^{\mathrm{xx}}\left(x\right)\mathrm{dx}={\∫}_0^L\frac{{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ps}}{E}_{\mathrm{ps}}{d}_{\mathrm{ps}}{b}_{\mathrm{ps}}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ps}}^T-E_{\mathrm{ps}}{d}_{\mathrm{ps}}^2}{\mathrm{\Φ}}_r^{\mathrm{xx}}\left(x\right)\mathrm{dx}---(3-6)$

假设(1)把压电片宽度设计成沿梁坐标x可变的b_ps(x)。

(2)压电片的极化方向也是沿x可局部设计的，以致d_ps(x)可取为+1或-1。

(3)压电片厚度δ_ps弹性模量E_ps和力学自由条件下的介电常数ε_ps ^T为常量。那么方程(3-6)成为

${\mathrm{\η}}_r=\frac{{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ps}}{E}_{\mathrm{ps}}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ps}}^T-E_{\mathrm{ps}}{d}_{\mathrm{ps}}^2}{\∫}_0^L{b}_{\mathrm{ps}}\left(x\right)d_{\mathrm{ps}}\left(x\right){\mathrm{\Φ}}_r^{\mathrm{xx}}\left(x\right)\mathrm{dx}---(3-7)$

现在，这样来裁剪(物理尺寸和极化方向安排)压电片，使其与第k阶模态的应变固有振型Φ_k ^xx(x)匹配

$b_{\mathrm{ps}}\left(x\right)d_{\mathrm{ps}}\left(x\right)={\mathrm{\Φ}}_k^{\mathrm{xx}}\left(x\right)$ 或 $b_{\mathrm{ps}}\left(x\right)=\frac{{\mathrm{\Φ}}_k^{\mathrm{xx}}\left(x\right)}{d_{\mathrm{ps}}\left(x\right)}\≥0---(3-8)$

代入(3-7)并注意正交条件(3-3)，将有

${\mathrm{\η}}_r=\left\{\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ps}}{E}_{\mathrm{ps}}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ps}}^T-E_{\mathrm{ps}}{d}_{\mathrm{ps}}^2}& r=k\\ 0& r\≠k\end{array}\right.---(3-9)$

代回(3-5)，将有

$u_s\left(t\right)=\frac{h}{2}\frac{R_f}{R}\frac{{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ps}}{E}_{\mathrm{ps}}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ps}}^T-E_{\mathrm{ps}}{d}_{\mathrm{ps}}^2}{q}_k\left(t\right)---(3-10)$

它表明：按照条件(3-8)裁剪的压电片构成的压电应变传感器的输出电压将直接正比于第k阶模态坐标而不包含其它各阶模态分量，是一个“模态传感器”或“模态滤波器”。

图1(b)为梁上表面的俯视图，示出了对梁的第1阶模态的模态传感器裁剪结果。

$b_{\mathrm{ps}}\left(x\right)={\mathrm{\Φ}}_1^{\mathrm{xx}}\left(x\right)$ d_ps(x)＝const＞0    (3-11)

从2.1节的模态传感器角度来看，这种裁剪的压电模态传感器相当于有∞多个(微元)传感器并同时完成了模态转换矩阵Φ^-1的功能，充分显示了压电片这类材料用作传感器的“智能”性。

3.2压电梁的独立模态阻尼控制

参阅图1的闭环系统。设压电模态传感器和作动器是针对第r阶模态设计的，传感器后串接有微分放大器g_ss，作动器前有比例放大g_a，外激励电压为u_e，有

$f_r\left(s\right)=h{E}_p{u}_a\left(s\right)=h{E}_p(u_e\left(s\right)-\frac{h}{2}\frac{R_f}{R}\frac{{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ps}}{E}_{\mathrm{ps}}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ps}}^T-E_{\mathrm{ps}}{d}_{\mathrm{ps}}^2}{q}_r\left(s\right)g_{s}s)g_a---(3-12)$

代入梁的模态坐标运动方程(2-2)，可解得关于这一阶模态的传递函数

$H_r\left(s\right)=\frac{q_r\left(s\right)}{u_e\left(s\right)}=\frac{h{E}_p{g}_a}{m_r{s}^2+\mathrm{\Δ}{c}_{r}s+k_r}---(3-13)$

其中

$\mathrm{\Δ}{c}_r=\left(h{E}_p\right)\frac{h{R}_f}{2R}\frac{{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ps}}{E}_{\mathrm{ps}}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ps}}^T-E_{\mathrm{ps}}{d}_{\mathrm{ps}}^2}{g}_a{g}_s---(3-14)$

这一阶模态增加了阻尼系数——而其余各阶模态的不变。

当要控制多个模态的阻尼时，可以用简单的“叠加法”或“叠层法”，如图4所示，图中以控制2个模态为例，用的是应变率模态传感器和作动器。

3.3压电剪裁独立模态控制的现实性和局限性

上述结果为具有无穷多自由度的连续结构的独立模态控制提供了一个典范，也充分体现了用分布式压电传感器和作动器的优越性和“智能”潜力，有相当的理论价值。不过，要想直接用于实践，还是有不少困难：

(1)工艺和成本：要按条件(3-11)裁剪压电片宽度b_p(x)特别是局部极化d_p(x)不那么容易。

(2)多模态控制要贴多层压电片，显然不那么现实可行。

(3)非均匀梁结构例如变截面的，有刚度突变的，带有集中质量的等等，裁剪条件将变得非常复杂甚至没有可行的解。

(4)对于其它复杂结构，首先没有应变振型(如梁的Φ_r ^xx(x))的解析解，用有限元法等求解，误差将较大；其次，或许更为重要的是，即使对于简单的弹性薄板，应变传感器的输出方程(3-5)中的η_r将成为

${\mathrm{\η}}_r={\∫\∫\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ps}}{h}_{\mathrm{ps}}({\mathrm{\Φ}}_r^{\mathrm{xx}}(x,y)+{\mathrm{\Φ}}_r^{\mathrm{yy}}(x,y))\mathrm{dxdy}---(3-15)$

这里可裁剪的东西似乎只剩下δ_ps(x，y)和h_ps(x，y)了，即压电片的厚度或压电常数要随板的坐标x，y而变。这显然是很不现实的。更有甚者，似乎也很难找到关于应变模态Φ_r ^xx(x，y)+Φ_r ^yy(x，y)的正交函数系。

(5)关于适应性

首先，如果结构特性特别是固有振型在运行中有所变化，已裁剪好的压电传感器和作动器将偏离独立模态控制条件，从而有可能使整个控制失效。另外，“硬化”的独立模态传感器和作动器也在很大程度上限制了智能传感和作动器与现代自适应控制技术相结合的深远潜力。

4.准独立模态控制

章节3是对于连续结构的压电裁剪独立模态传感器和作动器可以等价地通过下述方式来实现

(1)在结构上布满无数相互独立的微元压电传感器和作动器。

(2)在各个压电传感器后和在压电作动器前接比例放大器，调节它们的增益，使其达到独立模态条件就等价于章节3中如梁上的压电片宽度和局部极化方向的裁剪功能。事实上，这里已把连续的压电结构“离散化”为有∞多自由度的离散系统了。它的非常重要的优点是把压电片的物理裁剪转化为众多放大器增益的调整，把“裁剪”“软化”了。问题是

(1)需要有∞多个压电片传感器和作动器

(2)需无穷阶矩阵求逆(Φ^-1和Φ^-T)——且不说∞阶矩阵Φ的来源，显然是不现实的。

我们提出的解决办法是把压电传感片和作动片尺寸有限化——恰如把结构弹性力学分析转向有限元素法——及随之而来的一套“准独立模态控制”策略。

下面将围绕压电薄板的振动控制——特别是阻尼控制展开研究。

设板的弹性模量为E，泊桑比为μ，厚度为h，按照弹性薄板的模态理论，板的挠度展开式为

$w(x,y,t)=\underset{r=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\Φ}}_r(x,y)q_r\left(t\right)---(4-1)$

其中Φ_r(x，y)和q_r(t)分别为板的第r阶固有振型和模态坐标，其在拉氏域(s)内的运动方程为

$q_r\left(s\right)=\frac{f_r\left(s\right)}{m_r{s}^2+k_r}---(4-2)$

其中m_r，k_r，f_r(s)分别为第r阶模态质量、刚度和模态广义力

把压电片直接接到一个线性运算放大器的负输入端，运放输出电压为

$u_s\left(t\right)=-R_f{\∫\∫}_{{\mathrm{\Ω}}_S}i(x,y,t)\mathrm{dxdy}=R_f{e}_p{\∫\∫}_{{\mathrm{\Ω}}_S}({\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_x(x,y,t)+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}}_y(x,y,t))\mathrm{dxdy}---(4-3)$

其中R_f为运放反馈电阻，Ω_s为压电片遍及的结构区域，它表明：压电片-运放组合作为结构的“应变率传感器”，输出电压正比于结构的当地正应变率之和的积分，当压电片面积足够小时，将趋于直接正比于结构的当地点正应变率之和。

把压电片经一大电阻R接入运放的负输入端，运放输出电压为

$u_s\left(t\right)=-R_f{\∫\∫}_{{\mathrm{\Ω}}_s}i(x,y,t)\mathrm{dxdy}$

$=\frac{{\mathrm{\δ}}_p{h}_p{R}_f}{R}{\∫\∫}_{{\mathrm{\Ω}}_s}({\mathrm{\ϵ}}_x(x,y,t)+{\mathrm{\ϵ}}_y(x,y,t))\mathrm{dxdy},(\frac{\mathrm{\ωR}{\mathrm{\ϵ}}_p^S}{{\mathrm{\δ}}_p}>>1)---(4-4)$

它表明：压电片-运放组合作为结构的“应变传感器”，输出电压正比于结构的当地正应变之和的积分，当压电片面积足够小时，将趋于直接正比于当地点正应变之和。

依据方程(4-3)和(4-4)。有限尺寸压电应变率和应变传感器输出电压分别为

(应变率)    (4-5)

(应变)      (4-6)

其中

4.1基于压电片选位的理想模态传感器

模态传感器的基本功能是只感受所需模态的广义坐标。这种要求，按照结构振动模态理论，也许有可能用一个有常厚度和常压电常数的有限尺寸压电片(例如简单的长方形片)就能做到：把压电片贴在要控制的那一阶压电模态的非“节点”上，同时，又在其它各阶压电模态的“节点”上。

事实上，依据方程(4-7)，如果能这样来选取压电传感片的区域Ω_s，以致有

其中L是感兴趣的模态号，那么方程(4-5)和(4-6)成为

(应变率)    (4-9)

(应变)      (4-10)

成为一个第L阶模态作动器。

应用这种理想的模态传感器构成的模态阻尼控制框图见图5。相似于对图1的分析，可知板的第L阶模态增大了与反馈增益g成正比的阻尼系数。为代表一般性，图中压电作动片和传感片取在不同位置；事实上，在独立模态控制，已不必遵循历来追求的同位配置习惯；同时，如第三章指出的，这种异位激励和测量可免去因局部激励应变对闭环系统的不利影响。

4.2准独立模态传感器

上述简单易行的模态传感器十分诱人，可是它只能作为一种设计或实时控制的指导原则——要找到完全符合条件(4-8)的Ω_s(尺寸和位置)通常是不可能的。

为此，这里提出一种由多个有限尺寸压电片传感器的“软化”组合和优化来逼近理想模态传感器的策略，见图6。在板上贴有m个压电应变率传感器，各个输出为u_si(i＝1，2…m)，它们经过各增益g_si后求和构成一个组合式压电应变率传感器，总输出为u_s，随后去激励由n个增益g_aj(j＝1，2…n)——压电作动片一起构成的组合式压电作动器。通常，振动控制的目标是那些低频模态，因此在组合式传感器后串接一个低通滤波器(设为理想低通滤波器)，把高频模态的响应基本滤去。这相当于大大地减少了压电结构的自由度，在方程(4-5)、(4-6)等中求和上限∞变为有限数N，从而使理想模态滤波器条件(4-8)等中变为比较接近现实可行。

为简便计，不失一般性，在方程(4-5)-(4-6)中把系数取为1，有

(应变率)i＝1，2…m    (4-11)

(应变)i＝1，2…m      (4-12)

这样对于应变率传感器有

其中

如果我们能选到m个压电传感片的区域Ω_si和相应的g_si使得

方程(4-13)成为

u_s(s)＝sP_Lq_L(s)    (4-16)

这一组合式压电应变率传感器成为板的第L阶模态传感器，仿照3.2节关于控制框图1的分析，图6的控制将使第L阶模态的阻尼系数增大，而其余各阶模态的不变。

条件(4-15)可以看成是章节3关于压电裁剪概念的推广，是一种更具广阔应用前景的软化裁剪。它也可以看成是理想条件(4-8)的推广；重要的是，由于引入了多个选择压电片区域及可调节的增益，使其从本质上将变得切实可行，特别是恰如结构力学中的Ritz法那样，可以引入近似解。

一般来说，条件(4-15)还是不能精确实现的，但可以作优化设计使它们达到足够接近可以实用的程度。为此，建立目标函数

$J_s({\mathrm{\Ω}}_s,g_s,m)=\underset{r\∈(1,N),r\≠L}{\mathrm{Min}}\left|\frac{P_r({\mathrm{\Ω}}_s,g_s)}{P_L({\mathrm{\Ω}}_s,g_s)}\right|---(4-16)$

优化的目标是选择压电传感器的数目及相应的m维区域向量Ω_s和增益向量g_s，使J_s足够接近于0，我们把这种组合式压电传感器称为“准独立模态传感器”。

当m→∞，压电片尺寸→无穷小而遍布整个结构时，将有J_s→0，达到真正的模态传感器条件。

4.3多模态准独立模态控制

图6是单模态准独立模态阻尼控制。按叠加原理，可以推广到多模态准独立模态控制如图7所示，图中以控制2个模态#1和#2为例，内环控制#1模态，外环控制#2模态。在这里还特别示出了驱动压电片的功率放大器，一个功放驱动和控制一阶模态。值得注意的是它与图4的多层压电片不同，现在一批压电片将可以用于控制多个模态。事实上，它把前者压电片的多层“软化”到增益矩阵的多列中去了。由此又可见准独立模态传感器软化裁剪的优越性。

综上所述，本发明一种准独立模态传感器的构建方法，该方法具体步骤如下：步骤一：在板或梁上粘贴m个压电应变率传感器，各个输出为u_si(i＝1，2…m)，它们经过各

增益g_si后求和构成一个组合式压电应变率传感器，总输出为u_s，随后去激励由n个增益g_aj(j＝1，2…n)——压电作动片一起构成的组合式压电作动器。通常，振动控制的目标是那些低频模态，因此在组合式传感器后串接一个低通滤波器(设为理想低通滤波器)，把高频模态的响应基本滤去。这相当于大大地减少了压电结构的自由度，在方程(4-5)、(4-6)等中求和上限∞变为有限数N，从而使理想模态滤波器条件(4-8)等变为比较接近现实可行。

(应变率)    (4-5)

(应变)      (4-6)

其中

其中，公式中的符号含义是：u_s表示压电应变率传感器和压电应变传感器的输出电压，h表示薄板的厚度，δ_p表示压电片的厚度，e_p、h_p分别表示前述第二类压电方程和第四类压电方程中的压电系数，R_f表示应变率传感器和应变传感器中的运放反馈电阻，R表示压电应变传感器中的大电阻，Φ_r表示薄板的第r阶模态向量，

表示薄板的第r阶压电模态，q_r表示第r阶模态坐标，c_s表示一常数，Ω_s表示压电片遍及的结构区域，L表示感兴趣的模态号，x、y表示压电薄板上点的坐标，s表示复频域；

步骤二：为简便计，不失一般性，在方程(4-5)-(4-6)中把系数取为1，有

(应变率)i＝1，2…m    (4-11)

(应变)i＝1，2…m      (4-12)

其中，公式中的符号含义是：u_si表示第i个压电应变率传感器和压电应变传感器的输出电压，

表示薄板的第r阶压电模态，Ω_si表示第i个压电片遍及的结构区域，q_r表示第r阶模态坐标，N表示压电模态数，s表示复频域；

这样对于应变率传感器有

其中

选取m个压电传感片的区域Ω_si和相应的g_si使得

其中，公式中的符号含义是：g_si表示与第i个压电应变率传感器连接的增益，P_r为一表示符号无具体含义，其计算公式为(4-15)，其余符号含义同上；

这一对组合式压电应变率传感器成为板的第L阶模态传感器，仿照3.2节关于控制框图1的分析，图6的控制将使第L阶模态的阻尼系数增大，而其余各阶模态的不变。

步骤三：条件(4-15)可以看成是章节3关于压电裁剪概念的推广，是一种更具广阔应用前景的软化裁剪。它也可以看成是理想条件(4-8)的推广；重要的是，由于引入了多个选择压电片区域及可调节的增益，使其从本质上将变得切实可行，特别是恰如结构力学中的Ritz法那样，可以引入近似解。

一般来说，条件(4-15)还是不能精确实现的，但可以作优化设计使它们达到足够接近可以实用的程度。为此，建立目标函数

$J_s({\mathrm{\Ω}}_s,g_s,m)=\underset{r\∈(1,N),r\≠L}{\mathrm{Min}}\left|\frac{P_r({\mathrm{\Ω}}_s,g_s)}{P_L({\mathrm{\Ω}}_s,g_s)}\right|---(4-16)$

其中，公式中的符号含义是：J_s为一表示符号无具体含义，Ω_s表示m维区域向量，g_s表示m维增益向量，P_r为一表示符号无具体含义，其计算公式为(4-15)；

可通过调节各压电传感器后接的计算机程控比例放大器的增益来实现，优化的目标是选择压电传感器的数目及相应的m维区域向量Ω_s和增益向量g_s，使J_s足够接近于0，我们把这种组合式压电传感器为“准独立模态传感器”。

当m→∞，压电片尺寸→无穷小而遍布整个结构时，将有J_s→0，达到真正的模态传感器条件。至此，我们已经组建完成了此种“准独立模态控制传感器”。

(3)优点及功效：本发明一种准独立模态传感器的构建方法，该方法与现有技术相比，其特点是该方法克服了现有技术(独立模态控制)在现实应用中的困难，是一种设计优化、可用于实践的准独立模态传感器的构建方法，可以达到一批压电片控制多个模态的功效。

(四)附图说明

图1压电片裁剪独立模态控制(单模态)示意图

图2独立模态控制示意图

图3压电片传感器示意图(a应变率传感器b应变传感器c基本电路)

图4压电片剪裁独立模态控制(多模态)示意图

图5一种理想的独立模态阻尼控制示意图

图6准独立模态控制示意图

图7准独立模态控制(多模态)示意图

其中图中符号说明如下：

1、梁，2、作动片，3、测量片，4、大电阻R，5、电阻R_f，6、运算放大器，7、微分放大器g_ss，8、比例放大器g_a    

(五)具体实施方式

见图1为压电片裁剪独立模态控制即单模态示意图，图2为独立模态控制示意图，图3为压电片传感器示意图，图4为压电片剪裁独立模态控制即多模态示意图，图5为一种理想的独立模态阻尼控制示意图，图中上述简单易行的模态传感器十分诱人，可是它只能作为一种设计或实时控制的指导原则--要找到完全符合条件(4-8)的Ω_s(尺寸和位置)通常是不可能的。为此，这里提出一种由多个有限尺寸压电片传感器的“软化”组合和优化来逼近理想模态传感器的策略。

见图6，以板结构为例：

本发明一种准独立模态传感器的构建方法，该方法具体步骤如下：

步骤一：在板上粘贴m个压电应变率传感器，各个输出为u_si(i＝1，2…m)，它们经过各增益g_si后求和构成一个组合式压电应变率传感器，总输出为u_s，随后去激励由n个增益g_aj(j＝1，2…n)——压电作动片一起构成的组合式压电作动器。通常，振动控制的目标是那些低频模态，因此在组合式传感器后串接一个低通滤波器(设为理想低通滤波器)，把高频模态的响应基本滤去。这相当于大大地减少了压电结构的自由度，在方程(4-5)、(4-6)等中求和上限∞变为有限数N，从而使理想模态滤波器条件(4-8)等变为比较接近现实可行。

其中

其中，公式中的符号含义是：u_s表示压电应变率传感器和压电应变传感器的输出电压，h表示薄板的厚度，δ_p表示压电片的厚度，e_p、h_p分别表示前述第二类压电方程和第四类压电方程中的压电系数，R_f表示应变率传感器和应变传感器中的运放反馈电阻，R表示压电应变传感器中的大电阻，Φ_r表示薄板的第r阶模态向量，

表示薄板的第r阶压电模态，q_r表示第r阶模态坐标，c_s表示一常数，Ω_s表示压电片遍及的结构区域，L表示感兴趣的模态号，x、y表示压电薄板上点的坐标，s表示复频域；

步骤二：为简便计，不失一般性，在方程(4-5)-(4-6)中把系数取为1，有

(应变率)i＝1，2…m  (4-11)

(应变)i＝1，2…m    (4-12)

这样对于应变率传感器有

其中

选取m个压电传感片的区域Ω_si和相应的g_si使得

其中，公式中的符号含义是：u_si表示第i个压电应变率传感器和压电应变传感器的输出电压，

表示薄板的第r阶压电模态，Ω_si表示第i个压电片遍及的结构区域，q_r表示第r阶模态坐标，N表示压电模态数，s表示复频域；

这一对组合式压电应变率传感器成为板的第L阶模态传感器，仿照3.2节关于控制框图1的分析，图6的控制将使第L阶模态的阻尼系数增大，而其余各阶模态的不变。

步骤三：条件(4-15)可以看成是章节3关于压电裁剪概念的推广，是一种更具广阔应用前景的软化裁剪。它也可以看成是理想条件(4-8)的推广；重要的是，由于引入了多个选择压电片区域及可调节的增益，使其从本质上将变得切实可行，特别是恰如结构力学中的Ritz法那样，可以引入近似解。

一般来说，条件(4-15))还是不能精确实现的，但可以作优化设计使它们达到足够接近可以实用的程度。为此，建立目标函数

$J_s({\mathrm{\Ω}}_s,g_s,m)=\underset{r\∈(1,N),r\≠L}{\mathrm{Min}}\left|\frac{P_r({\mathrm{\Ω}}_s,g_s)}{P_L({\mathrm{\Ω}}_s,g_s)}\right|---(4-16)$

其中，公式中的符号含义是：J_s为一表示符号无具体含义，Ω_s表示m维区域向量，g_s表示m维增益向量，P_r为一表示符号无具体含义；

可通过调节各压电传感器后接的计算机程控比例放大器的增益来实现，优化的目标是选择压电传感器的数目及相应的m维区域向量Ω_s和增益向量g_s，使J_s足够接近于0，我们把这种组合式压电传感器为“准独立模态传感器”。

当m→∞，压电片尺寸→无穷小而遍布整个结构时，将有J_s→0，达到真正的模态传感器条件。至此，我们已经组建完成了此种“准独立模态控制传感器”。

如图7所示，图中以控制2个模态#1和#2为例，内环控制#1模态，外环控制#2模态。在这里还特别示出了驱动压电片的功率放大器，一个功放驱动和控制一阶模态。值得注意的是它与图4的多层压电片不同，现在一批压电片可用于控制多个模态。

Claims (1)

1.一种准独立模态传感器的构建方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一：在板上粘贴m个压电应变率传感器，各个输出为u_si(i＝1，2…m)，它们经过各增益g_si后求和构成一个组合式压电应变率传感器，总输出为u_s，随后去激励由n个增益g_aj(j＝1，2…n)即压电作动片一起构成的组合式压电作动器，在组合式传感器后串接一个低通滤波器，滤去高频模态响应，减少了压电结构的自由度，在下列方程(4-5)、(4-6)等中求和上限∞变为有限数N，从而使理想模态滤波器条件(4-8)变为切实可行；

其中

其中，公式中的符号含义是：u_s表示压电应变率传感器和压电应变传感器的输出电压，h表示薄板的厚度，δ_p表示压电片的厚度，e_p、h_p分别表示前述第二类压电方程和第四类压电方程中的压电系数，R_f表示应变率传感器和应变传感器中的运放反馈电阻，R表示压电应变传感器中的大电阻，Φ_r表示薄板的第r阶模态向量，表示薄板的第r阶压电模态，q_r表示第r阶模态坐标，c_s表示一常数，Ω_s表示压电片遍及的结构区域，L表示感兴趣的模态号，x、y表示压电薄板上点的坐标，s表示复频域；

步骤二：为简便计，在方程(4-5)-(4-6)中把系数取为1，有

(应变率)i＝1，2…m  (4-11)

(应变)i＝1，2…m  (4-12)

这样对于应变率传感器有

其中

选取m个压电传感片的区域Ω_si和相应的g_si使得

其中，公式中的符号含义是：u_si表示第i个压电应变率传感器和压电应变传感器的输出电压，表示薄板的第r阶压电模态，Ω_si表示第i个压电片遍及的结构区域，q_r表示第r阶模态坐标，N表示压电模态数，s表示复频域；这一对组合式压电应变率传感器成为板的第L阶模态传感器，它将使第L阶模态的阻尼系数增大，而其余各阶模态的不变；

步骤三：条件(4-15)是关于压电裁剪概念的推广，由于引入了多个选择压

电片区域及可调节的增益，使其从本质上将变得切实可行；

为此，建立目标函数

$J_s({\mathrm{\Ω}}_s,g_s,m)=\underset{r\∈(1,N),r\≠L}{\mathrm{Min}}\left|\frac{P_r({\mathrm{\Ω}}_s,g_s)}{P_L({\mathrm{\Ω}}_s,g_s)}\right|---(4-16)$

其中，公式中的符号含义是：J_s为一表示符号无具体含义，Ωs表示m维区域向量，g_s表示m维增益向量，P_r为一表示符号无具体含义；

通过调节各压电传感器后接的计算机程控比例放大器的增益来实现，优化的目标是选择压电传感器的数目及相应的m维区域向量Ω_s和增益向量g_s，使J_s足够接近于0，当m→∞，压电片尺寸→无穷小而遍布整个结构时，将有J_s→0，达到真正的模态传感器条件，至此，我们完成了此种准独立模态控制传感器的构建。

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