CN101718584A - 一种基于多项式拟合的全光采样的线性度和转换效率计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于多项式拟合的全光采样线性度和转换效率计算方法，它利用采样传输曲线的最小二乘拟合多项式函数米表征全光采样系统，通过多项式函数数学代换和三角函数倍角公式运算，计算得到采样谐波失真和转换效率，实现全光采样的线性度和转换效率表征。它具有计算过程简单、结果准确、硬件实现容易的特点。本发明为快速、准确表征和评价全光采样性能指标提供了途径，在全光信号处理、光网络信号的采样测量和质量监测方面具有广泛应用前景。

Description

一种基于多项式拟合的全光采样的线性度和转换效率计算方法

技术领域

本发明属于全光信号处理领域，它特别涉及全光采样系统的线性度和转换效率计算方法。

背景技术

全光采样是一种全光信号变换技术，其利用被采样模拟信号光对采样脉冲光的调制作用，获得强度被调制的采样光输出，实现对模拟光信息的实时获取和测量。如图1所示，在全光采样系统的端口1输入高重复频率、等幅度的采样脉冲，同时在端口2输入被采样模拟信号光，在端口3可获得强度随着模拟信号光变化的采样脉冲输出。全光采样技术可用于高速信号变换和处理系统，其在现代全光通信网中光信号测量及质量监测具有很好的应用前景。

理想的全光采样系统应该是高效率的线性系统，即输出采样脉冲的峰值功率与模拟信号光功率呈线性变化关系，但是实际采样过程都存在非线性引起的失真。在衡量采样系统方面，线性度和转换效率是两个非常重要的指标。目前还没有专门针对全光采样指标的计算方法，可以作为参考的是GB/T 7665-2005《传感器通用术语》和GB/T 18459-2001《传感器主要静态性能指标计算方法》定义的线性度和转换效率概念。根据这两个标准，线性度通过对传输曲线进行最小二乘直线拟合，用传输曲线偏离直线的程度来表征。根据拟合直线方法的不同，有独立线性度、基于零的线性度和终端或端点线性度。而转换效率一般是用拟合直线的斜率来表示。根据公开发表的文献，例如Shim J，Liu B，Piprek J等(见文献Shim J，Liu B，PiprekJ and Bowers J E.Nonlinear properties of traveling-wave electroabsorption modulator.IEEEPhotonics Technology Letters，2004，16(4)：1035-1037.)提出利用快速傅立叶变换方法分析不同电注入功率下输出光信号的谐波分量，实现了对电光模拟调制的非线性特性分析。基于傅立叶变换的谐波分析方法被广泛用于信号分析，对于信号失真分辨率较高。

利用直线拟合传输曲线的方法得到的是传输曲线本身的线性度，并不是真正的传感系统或者采样系统的线性度，因此直线拟合方法存在局限性和不足；傅立叶变换法利用傅立叶卷积运算对比分析输入信号和输出信号的频谱，由于输出采样脉冲含有脉冲本身和幅度包络的两种频谱成份，需要剔除脉冲本身频谱，才能得到输入模拟信号与输出脉冲包络的频谱对比，这种方法分析结果准确，但是测量或者计算过程非常繁琐，且仪器成本较高。

发明内容

本发明的目的是提供一种全光采样线性度和转换效率的计算方法，它利用采样传输曲线的最小二乘拟合多项式函数来表征全光采样系统，通过多项式函数代换和三角函数积化和差变换，计算得到采样谐波失真和转换效率，完成全光采样的线性度和转换效率全面表征。

为了方便地描述本发明内容，首先做术语定义：

定义1最小二乘多项式拟合

假设给定数据点(x_i，y_i)(i＝1，2，...，n)，Φ为所有次数不超过m(m≤n)的多项式构成的函数类，现求一使得

$I=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{[f\left(x_i\right)-y_i]}^2=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{[\underset{k=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x}_i^k-y_i]}^2=\min ---\left(1\right)$

当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式(1)的f_m(x)称为最小二乘拟合多项式。

显然

$I=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{[\underset{k=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x}_i^k-y_i]}^2$

为a₀，a₁，...，a_m的多元函数，因此上述问题即为求I＝I(a₀，a₁，...，a_m)的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得

$\frac{\∂I}{\∂a_j}=2\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(\underset{k=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x}_i^k-y_i)x_i^j=0,j=\mathrm{0,1},...,m---\left(2\right)$

即

$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(\underset{k=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^{j+k}\right)a_k=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^j{y}_i,j=\mathrm{0,1},...,m---\left(3\right)$

(3)是关于a₀，a₁，...，a_m的线性方程组，用矩阵表示为

$\left[\begin{array}{cccc}n& \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i& ...& \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^m\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i& \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2& ...& \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^{m+1}\\ ...& ...& ...& ...\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^m& \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^{m+1}& & \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^{m+m}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ ...\\ a_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{y}_i\\ ...\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^m{y}_i\end{array}\right]---\left(4\right)$

式(3)或式(4)称为正规方程组或法方程组。由于方程组(4)的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式(4)中解出a₀，a₁，...，a_m，从而可得多项式

$f_m\left(x\right)=\underset{k=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x}^k---\left(5\right)$

可以证明，式(5)中的f_m(x)满足式(2)，即f_m(x)为所求的拟合多项式。

定义2拟合相对误差

拟合相对误差是拟合绝对误差与实际值的比值，相对误差用来表示拟合值与真实值接近的程度。其表示式为

$\mathrm{\σ}=\frac{1}{n}\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{r_i}{y_i}\right)}^2}=\frac{1}{n}\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{y_i-\underset{k=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x}^k}{y_i}\right)}^2}---\left(6\right)$

对于本发明提出了一种全光采样的线性度和转换效率的计算方法，其特征是它包含以下步骤：

步骤1获得采样传输曲线

步骤1a：确定全光采样系统的输入光参数(被采样模拟信号光强度变化范围[p_l，p_r](p_l＜p_r)，模拟信号最高频率成分为f_a(Hz)，采样脉冲的峰值光强p_s，重复频率f_s(Hz)(f_s≥2f_a))和线性度分析精度δ。

步骤1b：测量采样传输曲线。将峰值功率为p_s、重复频率为f_s的采样脉冲和一强度可调的直流光信号同时输入全光采样系统，将直流信号光功率依次从p_l等步长变化到p_r，步长小于(p_r-p_l)f_a/f_s，记录输出采样脉冲峰值功率y_i(i＝1，2，...，n)，由采样点(p_i，y_i)(i＝1，2，...，n)得到采样传输曲线。

步骤2传输曲线多项式拟合

将步骤1得到的采样传输曲线用多项式函数分别取m＝1，2，3，...进行最小二乘法拟合，计算每次拟合的相对平均误差σ_m。当相对平均误差σ_m小于或等于线性度分析精度δ时，此时的m为最终多项式函数阶次，与之对应的拟合多项式系数{a₀，a₁....，a_m}为采样传输曲线拟合的最终多项式系数。

步骤3变量代换

在步骤2得到的多项式函数中令

或者

得到关于cosωt或者sinωt的多项式函数

或者 $y\left(t\right)=\underset{k=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{c}_k{\sin }^k\mathrm{\ωt},(k=\mathrm{0,1,2},...,m).$

步骤4倍角展开

将步骤3得到的关于cosωt或者sinωt的多项式函数利用三角函数倍角公式展开成其倍角的代数和，即

或者

步骤5线性度和转换效率计算

利用步骤4的系数q_k，借助公式

和

计算全光采样k次谐波失真和转换效率，得到采样线性度和转换效率的结果。

本发明的实质该方法利用传输曲线的多项式拟合函数米表征采样系统，通过多项式函数的变换，从多项式系数计算谐波失真和转换效率，最终求得采样线性度和转换效率信息。

本发明的优点或积极的效果：

本发明提出的全光采样线性度和转换效率计算方法不需要对采样输入、输出信号进行谐波分析，通过多项式拟合和函数变换就可计算出全光采样的线性度和转换效率，具有计算过程简单，结果准确的优点。

附图说明

图1是全光采样系统原理示意图。

其中1是高重频等幅采样脉冲输入端口，2是被采样模拟光信号输入端口，3是采样脉冲输出端口。

图2是本发明的工作流程图。

图3是半导体光放大器全光采样系统示意框图。

其中1为高重频脉冲源，2为模拟信号光源，3为采样脉冲输出端口，4、5为偏振控制器，6为耦合器，7为半导体光放大器，8为检偏器，9为偏振合束器，10为带通滤波器。

图4是采样传输曲线及其多项式拟合结果示意图。

图5是实施例的计算过程示意图。

具体实施方式

通过对如图3所示半导体光放大器全光采样系统的一个实例仿真验证本发明提出的基于多项式拟合的线性度和转换效率计算方法，所有步骤、结论都在Matlab 6.5上验证正确。

如图3所示，半导体光放大器全光采样系统工作原理为：将波长为λ_p高重频脉冲光1和波长为λ_a的模拟信号光2分别经过偏振控制器4和偏振控制器5进行起偏，之后两束偏振光通过耦合器6耦合注入半导体光放大器7中，入射的模拟光2将调制半导体光放大器7中的载流子浓度和增益，采样脉冲光1通过半导体光放大器7后偏振态发生旋转，通过检偏器8和偏振合束器9把采样脉冲光1的偏振态调制转换为强度调制，带通光滤波器10将波长为λ_a的模拟光2滤掉，只让波长为λ_p的高重频采样脉冲光1通过，最终获得强度随着模拟信号光强变化的采样脉冲光3输出，实现高重频脉冲光对模拟信号光强度的全光高速采样。

本实施例的仿真参数来自H.J.S.Dorren，D.Lenstra等公开发表的文献(见文献H.J.S.Dorren，D.Lenstra，et al.，Nonlinear polarization rotation in semiconductor optical amplifiers：theory and application to all-optical flip-flop memory.IEEE Journal of Quantum Electronics，2003，39(1)：141-148)。

步骤1获得采样传输曲线

步骤1a：确定全光采样系统的输入光参数。采样脉冲光为高斯型脉冲，脉宽(FWHW)为80ps，采样频率f_s＝2GHz，峰值功率p_s＝0.1mW。模拟信号光为频率f_a＝100MHz的余弦信号，最小光功率p_l＝0.2mW，最大光功率p_r＝0.9mW。偏振控制器4和5的偏振角均为45度。线性度分析精度δ＝0.05％。

步骤1b：测量采样传输曲线。将峰值功率为0.1mW、重复频率为2GHz的采样脉冲输入全光采样系统，在模拟信号光输入端口输入一强度可调的直流光，光功率依次从0.2mW等步长变化到0.9mW，变化步长为0.02mW(0.02mW＜(p_r-p_l)f_a/f_s＝0.035mW)，输入模拟信号光功率依次为0.2mW、0.22mW、0.24mW...0.9mW，得到此功率下对应的输出脉冲光峰值功率，两者一一对应得到36组采样点数据(p_i，y_i)(i＝1，2，3，...，36)，由将采样点数据绘于直角坐标系中得到采样传输曲线，如图4所示。

步骤2传输曲线多项式拟合

取多项式阶次m＝1，2，3，...，将步骤1得到的采样传输曲线分别进行最小二乘法多项式拟合，拟合函数为

当m＝1、2、3、4、5、6时，拟合平均相对误差σ₁＝6.349％、σ₂＝0.879％、σ₃＝0.061％、σ₄＝0.050％、σ₅＝0.047％、σ₆＝0.038％，由于σ₄＝0.050％小于等于线性度分析精度δ＝0.05％，因此取多项式阶次m＝4。此时采样传输曲线多项式函数为f(x)＝a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，式中a₀＝-1.4405，a₁＝12.115，a₂＝-13.631，a₃＝6.5348，a₄＝-1.0307。

步骤3变量代换

在步骤2得到的多项式函数中令x(t)＝0.55+0.35cosωt得到关于cosωt的多项式函数y(t)＝T(0.55+0.35cosωt)。将此多项式函数按照cos项升幂排列得y(t)＝2.0923+0.82786cosωt-0.57811cos²ωt+0.18296cos³ωt-0.015467cos⁴ωt，即c₀＝2.0923，c₁＝0.82786，c₂＝-0.57811，c₃＝0.18296，a₄＝-0.015467。

步骤4倍角展开

由三角函数倍角公式

${\cos }^2\mathrm{\ωt}=\frac{\cos 2\mathrm{\ωt}+1}{2}$

${\cos }^3\mathrm{\ωt}=\frac{\cos 3\mathrm{\ωt}+3\cos \mathrm{\ωt}}{4}$

${\cos }^4\mathrm{\ωt}=\frac{\cos 4\mathrm{\ωt}}{8}+\frac{\cos 2\mathrm{\ωt}}{2}+\frac{3}{8}$

将步骤3得到的关于cosωt的多项式函数进行按照上述三角函数倍角公式展开得y(t)＝1.7972+0.9469cosωt-0.2968cos2ωt+0.0457cos3ωt-0.0019cos4ωt，即q₀＝1.7972，q₁＝0.9469，q₂＝-0.2968，q₃＝0.0457，q₄＝-0.0019。

步骤5采样效率与线性度计算

利用步骤4得到的函数系数q_k，可计算得到全光采样的效率为

E_f＝2q₁/(p_r-p_l)＝2.7569

该采样过程产生的2、3、4次谐波火真为

D₂＝|q₂/q₁|＝0.3076

D₃＝|q₃/q₁|＝0.0474

D₄＝|q₄/q₁|＝0.0020

经过以上步骤就完成了对全光采样系统的采样线性度和转换效率。

为了说明本发明方法的准确性，我们利用傅立叶变换对本实施例也进行了分析，两计算结果对比如表1所示。

表1本发明结果与傅立叶分析结果对比

	Ef	D2	D3	D4
					本发明计算结果	2.7569	0.3076	0.0474	0.0020
傅立叶分析结果	2.822	0.3092	0.0510	0.0024

从具体实施例可知，本发明的计算过程简单，整个计算过程很容易采用数字信号处理DSP硬件实现，对全光采样系统的线性度和转换效率进行动态分析与评价，为优化全光采样系统工作参数和快速选择全光采样工作范围提供准确、快速、简单的方法。

全光采样是连接模拟光信号与数字光信号的必须桥梁，二十一世纪将是光信息时代，它将以在光域实现Tbps超大信息流的传递、存储、处理和运算为标志。下一代全光通信网络技术以及光计算的发展，迫切需要全光模数转换技术以解决高速、并行的数字光学信息处理，它在网络交换、同步以及逻辑运算等方面都将发挥重要作用，而全光采样是全光模数转换的前提和基础。另外，现代光网络中光交叉互联和光上、下路复用等器件逐渐增多，光网络的光-电-光节点数目大大减少。这使得传统的电子测量和监测方式受到限制，对传输光信号的采样测量和质量监测也对全光采样技术提出了需求。因此本发明提出的全光采样线性度和转换效率计算方法能为表征和评价全光采样性能指标提供参考，具有广泛的应用前景。

Claims (1)

1.一种基于多项式拟合的全光采样线性度和转换效率的计算方法，其特征是它包含以下步骤：

步骤1获得采样传输曲线

步骤1a：确定全光采样系统的输入光参数(被采样模拟信号光强度变化范围[p_l，p_r](p_l＜p_r)，模拟信号最高频率成分为f_a(Hz)，采样脉冲的峰值光强p_s，重复频率f_s(Hz)(f_s≥2f_a))和线性度分析精度δ。

步骤1b：测量采样传输曲线。将峰值功率为p_s、重复频率为f_s的采样脉冲和一强度可调的直流光信号同时输入全光采样系统，将直流信号光功率依次从p_l等步长变化到p_r，步长小于(p_r-p_l)f_a/f_s，记录输出采样脉冲峰值功率y_i(i＝1，2，...，n)，由采样点(p_i，y_i)(i＝1，2，...，n)得到采样传输曲线。

步骤2传输曲线多项式拟合

将步骤1得到的采样传输曲线用多项式函数

分别取m＝1，2，3，...进行最小二乘法拟合，计算每次拟合的相对平均误差σ_m。当相对平均误差σ_m小于或等于线性度分析精度δ时，此时的m为最终多项式函数阶次，与之对应的拟合多项式系数{a₀，a₁，...，a_m}为采样传输曲线拟合的最终多项式系数。

步骤3变量代换

在步骤2得到的多项式函数中令

或者

得到关于cosωt或者sinωt的多项式函数

或者

(k＝0，1，2，...，m)。

步骤4倍角展开

将步骤3得到的关于cosωt或者sinωt的多项式函数利用三角函数倍角公式展开成其倍角的代数和，即

或者k＝0，1，2，...，m。

步骤5线性度和转换效率计算

利用步骤4的系数q_k，借助公式

k＝2，3，...，m和

计算全光采样k次谐波失真和转换效率，得到采样线性度和转换效率的结果。

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