CN101655829A - 一种外压自增强圆筒及其设计计算与制造方法 - Google Patents

Abstract

一种外压自增强圆筒及其设计计算与制造方法。用于提高压力容器的安全性与承载能力，解决缺乏外压容器自增强容器设计计算与制造方法以及现有内压自增强技术设计计算烦琐或不精确而可能导致不安全等技术问题。其技术方案要点是：采用特定的承载能力、塑性区深度与筒壁计算厚度公式，使自增强圆筒壁内总应力(操作压力引起的应力与自增强处理后的残余应力之和)的当量应力不大于圆筒材料的屈服强度σ_y；或保证圆筒经自增强处理后整个筒壁内残余应力的当量应力及总应力的当量应力均不大于σ_y。本发明还提供了一个自增强技术施行时无论塑性区多深，卸除自增强压力后都不产生屈服的最大径比。本发明的技术方案也适用于内压自增强圆筒。

Description

一种外压自增强圆筒及其设计计算与制造方法

技术领域

本发明涉及一种外压自增强圆筒及其设计计算与制造方法。

背景技术

压力容器形状大多为圆筒形，如，化工用容器、石油化工用容器、炮筒、核反应容器等。压力容器广泛应用于许多工业部门，如机械、化工、制药、能源、材料、食品、冶金、石油、建筑、航空、航天、兵器等部门。压力容器除受内压外，还常受外压作用，如说明书附图1所示。圆筒不论承受内压还是外压作用，筒壁中的弹性应力分布很不均匀，内壁面应力远大于外壁面应力，如图2所示。厚度越大，应力分布越不均匀。这不但不能充分发挥外层材料的作用，导致材料的浪费，而且存在安全隐患。自增强技术可提高压力容器的承载能力及其安全性。所谓自增强是在容器操作使用前对其进行加外压处理，使筒体内层屈服，产生塑性变形，形成塑性区，外层仍为弹性状态。保持该外压一段时间后卸压。卸压后筒体内层塑性区因残余变形不能复原，而外层弹性区力图复原，却受到内层塑性区的牵掣也不能恢复到原来状态，但外层弹性区力图复原的趋势给内层塑性区以拉伸作用，使内层塑性区产生拉应力，而外层弹性区产生压应力。于是形成一种内层受拉外层受压的预应力状态。容器投入使用受外压后，预应力与操作压力引起的应力叠加，使应力较大的内壁应力降低，应力较小的外壁应力有所增加，从而使容器壁中应力趋于均匀。由此可提高容器的承载能力。这就是外压自增强。

与受内压的情况一样，外压自增强技术的关键因素也是塑性区深度，即容器弹性与塑性区交界面半径的确定，或超应变度 $\mathrm{\ϵ}=\frac{r_j-r_i}{r_o-r_i}\×100\%=\frac{k_j-1}{k-1}\×100\%$ 的确定，其中r_i、r_j、r_o分别为自增强筒体的内半径、弹塑性界面半径与外半径；k为径比，k＝r_o/r_i；k_j为自增强容器塑性区深度，k_j＝r_j/r_i(参阅图3)。本发明以下标i、j、o分别表示内径、弹-塑性界面半径、外径处的量。超应变度不仅影响到自增强工艺的实施，也影响到自增强容器的承载能力等。对k_j或r_j或ε的确定，现行技术只有针对内压容器的方法，对外压容器尚无方法出现，能否袭用内压容器的方法，还没有理论支持。即使现行的内压容器方法，有的过于粗略(如图解法与估计法)，又不能反映问题实质；有的过于烦琐(如试凑法)，也不能反映问题实质。且不能克服一些弊病，如反向屈服问题，即卸除自增强处理时所施加的压力p_a后可能内层因受到过大的压缩而产生压缩屈服。这是非常不利的。从安全、经济的观点出发，自增强容器要同时保证卸除自增强压力后整个筒壁内残余应力的当量应力及总应力的当量应力均不大于材料的屈服强度σ_y，还要提高承载能力。特别是，对外压容器而言，如何确定超应变度、如何确定承载能力等，以提供一种安全的外压自增强圆筒形压力容器及其设计计算与制造方法，是急待解决的问题。

发明内容

本发明的目的是提供一种外压自增强圆筒及其设计计算与制造方法。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：通过对圆筒施加外压进行自增强处理，设计自增强圆筒时，使其承载能力p为 $\frac{p}{{\mathrm{\σ}}_y}={\ln k}_j+\frac{k^2-k_j^2}{2k^2}$ 或 $\frac{p}{{\mathrm{\σ}}_y}=\frac{{\ln k}_j^2}{\sqrt{3}}+\frac{k^2-k_j^2}{\sqrt{3}{k}^2},$ 考虑安全系数n后，其计算厚度t为 $t=r_i(k_j\sqrt{\frac{\left[\mathrm{\σ}\right]}{\left[\mathrm{\σ}\right]{\ln k}_j^2+\left[\mathrm{\σ}\right]-2p}}-1)$ 或 $t=r_i(k_j\sqrt{\frac{\left[\mathrm{\σ}\right]}{\left[\mathrm{\σ}\right]{\ln k}_j^2+\left[\mathrm{\σ}\right]-\sqrt{3}p}}-1),$ 可保证圆筒壁内总应力(操作压力引起的应力与自增强处理后的残余应力之和)的当量应力不大于σ_y；其中[σ]为许用应力，[σ]＝σ_y/n。k≤k_c时，使圆筒的塑性区深度k_j＝k，此时其承载能力为 $\frac{p}{{\mathrm{\σ}}_y}=\ln k$ 或 $\frac{p}{{\mathrm{\σ}}_y}=\frac{2}{\sqrt{3}}{\ln k}^2,$ 即为全屈服压力，考虑安全系数n后，圆筒的计算厚度为t＝r_i(e^p/[σ]-1)或 $t=r_i(e^{\sqrt{3}p/2\left[\mathrm{\σ}\right]}-1);$ k≥k_c时，塑性区深度k_j由公式 $k^2{\ln k}_j^2-k^2-k_j^2+2=0$ 确定，此时承载能力为 $\frac{p}{{\mathrm{\σ}}_y}=\frac{k^2-1}{k^2}=2\frac{p_e}{{\mathrm{\σ}}_y}$ 或 $\frac{p}{{\mathrm{\σ}}_y}=\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{k^2-1}{k^2}=2\frac{p_e}{{\mathrm{\σ}}_y},$ 考虑安全系数n后，圆筒的计算厚度为 $t=r_i(\sqrt{\frac{\left[\mathrm{\σ}\right]}{\left[\mathrm{\σ}\right]-p}}-1)$ 或 $t=r_i(\sqrt{\frac{2\left[\mathrm{\σ}\right]}{2\left[\mathrm{\σ}\right]-\sqrt{3}p}}-1);$ 这样确定圆筒的塑性区深度和承载能力可保证圆筒经自增强处理后整个筒壁内残余应力的当量应力及总应力的当量应力均不大于σ_y；其中p_e为圆筒不经自增强时的最大弹性承载能力(初始屈服载荷)，k_c为临界径比，等于由公式 $\frac{k^2}{k^2-1}\ln k=1$ 确定的值，即k_c＝2.2184574899167...。这些措施也适用于受内压的自增强圆筒。

本发明的有益效果和优点是：提供了自增强圆筒安全的塑性区深度计算公式，即 $k^2{\ln k}_j^2-k^2-k_j^2+2=0,$ 该公式确立了容器厚度尺寸(以k反映)与安全的塑性区深度(以k_j反映)之间的函数关系，反映了问题的实质，避免了现有技术的弊端；找到了无论塑性区多深，卸除自增强压力后都不产生屈服的最大k值，即临界径比k_c，k_c等于由公式 $\frac{k^2}{k^2-1}\ln k=1$ 确定的值，即k_c≈2.2184574899167；提供了各种条件下自增强压力容器的最适承载能力计算公式： $\frac{p}{{\mathrm{\σ}}_y}={\ln k}_j+\frac{k^2-k_j^2}{2k^2}$ (第三强度理论)和 $\frac{p}{{\mathrm{\σ}}_y}=\frac{\ln k_j^2}{\sqrt{3}}+\frac{k^2-k_j^2}{\sqrt{3}{k}^2}$ (第四强度理论)； $\frac{p}{{\mathrm{\σ}}_y}=\frac{k^2-1}{k^2}=2\frac{p_e}{{\mathrm{\σ}}_y}$ (第三强度理论)和 $\frac{p}{{\mathrm{\σ}}_y}=\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{k^2-1}{k^2}=2\frac{p_e}{{\mathrm{\σ}}_y}$ (第四强度理论)以及 $\frac{p}{{\mathrm{\σ}}_y}=\ln k$ (第三强度理论)和 $\frac{p}{{\mathrm{\σ}}_y}=\frac{2}{\sqrt{3}}{\ln k}^2$ (第四强度理论)。本发明填补了现有技术在外压圆筒方面的空缺。

附图说明

图1是受外压的容器筒体。

图2是外压作用下容器筒体壁中的应力分布。

图3是筒体横截面弹-塑性区域。

图4是至7是筒体壁中弹-塑性应力沿壁厚的分布。

图8是最佳塑性深度(实线oad)。

图9至12是残余应力及其当量应力沿壁厚的分布。

图13是总应力的当量应力沿壁厚的分布。

图14是按第三强度理论的最佳承载能力(实线)。

图15是按第四强度理论的最佳承载能力(实线)。

具体实施方式

首先结合附图进行分析。如图1所示为一内、外半径分别为r_i、r_o的圆筒体，受外压p作用。由压力容器知识知其壁中任意半径r处的弹性应力为：

轴向应力： $\frac{{\mathrm{\σ}}_z^p}{p}=-\frac{k^2}{k^2-1}---\left(1\right)$

径向应力： $\frac{{\mathrm{\σ}}_r^p}{p}=(1-\frac{1}{{(r/r_i)}^2})\frac{{\mathrm{\σ}}_z^p}{p}---\left(2\right)$

环向应力： $\frac{{\mathrm{\σ}}_i^p}{p}=(1+\frac{1}{{(r/r_i)}^2})\frac{{\mathrm{\σ}}_z^p}{p}---\left(3\right)$

式中上标p表示压力p引起的量(此处为应力)；下标z、r、t分别表示径向、轴向、环向。以k＝3.5为例，应力分布如图2所示。可见内壁面应力最大，外压力越大，应力越大。外压增加到一定值时，厚壁圆筒内壁面开始屈服；继续增大外压，塑性区从内向外扩展，形成两个区域：内侧为塑性区，外侧为弹性区。弹性区和塑性区均为与容器同轴的圆筒体。假设外压增大到某一值时，对应的弹-塑性界面半径为r_j，假想从r_j处将弹-塑性区分开，加上应有的力，并设弹-塑性界面上的压力为p_j。这样，外层弹性区为一内、外半径分别为r_j、r_o的弹性筒体，受内压p_j和外压p同时作用(如图3(b)所示)；内层塑性区为一内、外半径分别为r_i、r_j的塑性筒体，仅受外压p_j作用(如图3(c)所示)。

塑性区应力分析。设筒体材料屈服时符合特雷斯卡(Tresca)屈服条件，即

σ_r-σ_t＝σ_y    (4)

筒壁单元体的平衡方程为： $\frac{{\mathrm{d\σ}}_r}{\mathrm{dr}}+\frac{{\mathrm{\σ}}_r-{\mathrm{\σ}}_t}{r}=0,$ 将式(4)代入该式得： $\frac{{\mathrm{d\σ}}_r}{\mathrm{dr}}+\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{r}=0,$ 该式的解为：σ_r＝-σ_ylnr+C    (5)

边界条件为：(1)r＝r_i时σ_r＝0；(2)r＝r_j时σ_r＝-p_j。

将条件(1)代入式(5)解出积分常数C，将C代回式(5)得塑性区：

径向应力为：σ_r＝-σ_ylnr/r_i    (6)

由式(4)得环向应力为：σ_t＝-σ_y(1+lnr/r_i)    (7)

而轴向应力为：σ_z＝(σ_t+σ_r)/2＝-σ_y(0.5+lnr/r_i)    (8)

将条件(2)代入式(6)得弹-塑性区界面压为：

p_j＝σ_ylnk_j    (9)

塑性区全屈服时，外层弹性筒体内壁面刚屈服，故在内壁面亦有σ_r-σ_t＝σ_y，而在此内壁面上： ${\mathrm{\σ}}_t=p_j\frac{r_o^2+r_j^2}{r_o^2-r_j^2}-p\frac{2r_o^2}{r_o^2-r_j^2},$ σ_r＝-p_j。代入式(4)并解出

$p_j=p-\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{2}\frac{r_o^2-r_j^2}{r_o^2}=p-\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{2}\frac{k^2-k_j^2}{k^2}---\left(10\right)$

令式(9)＝式(10)得外压与所对应的弹-塑性界面半径r_j的关系：

$\frac{p}{{\mathrm{\σ}}_y}={\ln k}_j+\frac{k^2-k_j^2}{2k^2}---\left(11\right)$

式(11)右边第一项是塑性层全屈服的压力，第二项是弹性层内壁面初始屈服的压力。在式(11)中：

令k_j＝1得最大弹性(初始屈服)载荷： $\frac{p_e}{{\mathrm{\σ}}_y}=\frac{k^2-1}{2k^2}---\left(12\right)$

令k_j＝k得全(整体)屈服载荷： $\frac{p_y}{{\mathrm{\σ}}_y}=\ln k---\left(13\right)$

弹性区应力分析。由压力容器知识直接可得弹性区的应力为：

径向应力： $\frac{{\mathrm{\σ}}_r}{{\mathrm{\σ}}_y}=0.5{\left(\frac{r_j}{r}\right)}^2-{\ln k}_j-0.5=\frac{{0.5k}_j^2}{{(r/r_i)}^2}-{\ln k}_j-0.5---\left(14\right)$

周向应力： $\frac{{\mathrm{\σ}}_t}{{\mathrm{\σ}}_y}=-0.5{\left(\frac{r_j}{r}\right)}^2-{\ln k}_j-0.5=-\frac{0.5k_j^2}{{(r/r_i)}^2}-{\ln k}_j-0.5---\left(15\right)$

轴向应力： $\frac{{\mathrm{\σ}}_z}{{\mathrm{\σ}}_y}=-{\ln k}_j-0.5---\left(16\right)$

k＝3.5、k_j分别为1.71276、1.870829、1.675和k_j＝k＝3.5(即全屈服)条件下弹-塑性状态的应力分布分别如图4至7所示。

若按第四强度理论，即米赛斯(Mises)屈服条件，则当量应力为：

${\mathrm{\σ}}_e=\sqrt{\frac{1}{2}[{({\mathrm{\σ}}_r-{\mathrm{\σ}}_t)}^2+{({\mathrm{\σ}}_t-{\mathrm{\σ}}_z)}^2+{({\mathrm{\σ}}_z-{\mathrm{\σ}}_r)}^2]}$

而对圆筒有σ_z＝(σ_t+σ_r)/2，故 ${\mathrm{\σ}}_e=\frac{\sqrt{3}}{2}({\mathrm{\σ}}_r-{\mathrm{\σ}}_t).$ 令σ_e＝σ_y得： ${\mathrm{\σ}}_r-{\mathrm{\σ}}_t=\frac{2{\mathrm{\σ}}_y}{\sqrt{3}}---\left(4^{\′}\right)$

故只需将第三强度理论中的σ_y换成

即得相应的按第四强度理论的公式：

塑性区径向应力： ${\mathrm{\σ}}_r=-\frac{2{\mathrm{\σ}}_y}{\sqrt{3}}\ln \frac{r}{r_i}---\left(6^{\′}\right)$

环向应力： ${\mathrm{\σ}}_t=-\frac{{2\mathrm{\σ}}_y}{\sqrt{3}}(1+\ln \frac{r}{r_i})---\left(7^{\′}\right)$

轴向应力： ${\mathrm{\σ}}_z=-\frac{2{\mathrm{\σ}}_y}{\sqrt{3}}(0.5+\ln \frac{r}{r_i})---\left(8^{\′}\right)$

弹-塑性区界面压： $p_j=\frac{2{\mathrm{\σ}}_y}{\sqrt{3}}{\ln k}_j---\left(9^{\′}\right)$

$p_j=p-\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{\sqrt{3}}\frac{r_o^2-r_j^2}{r_o^2}=p-\frac{{\mathrm{\σ}}_y}{\sqrt{3}}\frac{k^2-k_j^2}{k^2}---\left({10}^{\′}\right)$

外压与r_j的关系： $\frac{p}{{\mathrm{\σ}}_y}=\frac{2}{\sqrt{3}}{\ln k}_j+\frac{k^2-k_j^2}{\sqrt{3}{k}^2}---\left({11}^{\′}\right)$

式(11′)右边第一项是塑性层全屈服的压力，第二项是弹性层内壁面初始屈服的压力。在式(11′)中：

令k_j＝1得最大弹性(初始屈服)载荷为： $\frac{p_e}{{\mathrm{\σ}}_y}=\frac{k^2-1}{\sqrt{3}{k}^2}---\left({12}^{\′}\right)$

令k_j＝k得全(整体)屈服载荷为： $\frac{p_y}{{\mathrm{\σ}}_y}=\frac{2}{\sqrt{3}}\ln k---\left({13}^{\′}\right)$

弹性区径向应力： $\frac{{\mathrm{\σ}}_r}{{\mathrm{\σ}}_y}=\frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{k_j^2}{{(r/r_i)}^2}-{\ln k}_j^2-1)---\left({14}^{\′}\right)$

周向应力： $\frac{{\mathrm{\σ}}_t}{{\mathrm{\σ}}_y}=-\frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{k_j^2}{{(r/r_i)}^2}+{\ln k}_j^2+1)---\left({15}^{\′}\right)$

轴向应力： $\frac{{\mathrm{\σ}}_z}{{\mathrm{\σ}}_y}=-\frac{1}{\sqrt{3}}({\ln k}_j^2+1)---\left({16}^{\′}\right)$

弹-塑性状态的应力分布与按第三强度理论的相似。

式(11)和(11′)实际上就是对圆筒进行自增强处理时所施加的外压力p_a，称为自增强压力，这个压力与塑性区深度，即容器弹-塑性区界面半径r_j有关，只要r_j确定了，容器所需施加的自增强压力就可按式(11)或(11′)算出。下面分析经自增强处理的筒壁应力，先按第三强度理论。

1、自增强处理时施加的压力 $\frac{p_a}{{\mathrm{\σ}}_y}={\ln k}_j+\frac{k^2-k_j^2}{2k^2}$ 作用下的筒壁应力

此时塑性区应力是式(6)～式(8)；弹性区应力是式(14)～式(16)。

2、自增强处理时施加的压力卸除后，筒壁中的残余应力

按卸载定理，先以Δp＝p_a-0＝p_a为假想载荷，按弹性理论计算所引起的应力。在卸载压力Δp作用下，按弹性理论，径向、周向、轴向应力改变量分别为：

${\mathrm{\Δ\σ}}_r=-\frac{p_a}{k^2-1}(k^2-\frac{r_o^2}{r^2})$ ${\mathrm{\Δ\σ}}_t=-\frac{p_a}{k^2-1}(k^2+\frac{r_o^2}{r^2})$ ${\mathrm{\Δ\σ}}_z=-\frac{k^2{p}_a}{k^2-1}---\left(17\right)$

将式(11)代入式(17)得应力改变量分别为：

$\frac{{\mathrm{\Δ\σ}}_r}{{\mathrm{\σ}}_y}=-({\ln k}_j+\frac{k^2-k_j^2}{2k^2})\frac{1}{k^2-1}(k^2-\frac{k^2}{{(r/r_i)}^2})---\left(18\right)$

$\frac{{\mathrm{\Δ\σ}}_t}{{\mathrm{\σ}}_y}=-({\ln k}_j+\frac{k^2-k_j^2}{2k^2})\frac{1}{k^2-1}(k^2+\frac{k^2}{{(r/r_i)}^2})---\left(19\right)$

$\frac{{\mathrm{\Δ\σ}}_z}{{\mathrm{\σ}}_y}=-({\ln k}_j+\frac{k^2-k_j^2}{{2k}^2})\frac{k^2}{k^2-1}---\left(20\right)$

根据卸载定理，用卸载前的应力，即式(6)～(8)和式(14)～(16)减去各相应的应力改变量即式(18)～(20)，即得残余应力(上标′表示残余应力)：

塑性区径向残余应力： $\frac{{\mathrm{\σ}}_r^{\′}}{{\mathrm{\σ}}_y}=({\ln k}_j+\frac{k^2-k_j^2}{2k^2})\frac{k^2}{k^2-1}(1-\frac{1}{{(r/r_i)}^2})-\ln \frac{r}{r_i}---\left(21\right)$

环向残余应力： $\frac{{\mathrm{\σ}}_t^{\′}}{{\mathrm{\σ}}_y}=({\ln k}_j+\frac{k^2-k_j^2}{2k^2})\frac{k^2}{k^2-1}(1+\frac{1}{{(r/r_i)}^2})-\ln \frac{r}{r_i}-1---\left(22\right)$

轴向残余应力： $\frac{{\mathrm{\σ}}_z^{\′}}{{\mathrm{\σ}}_y}=({\ln k}_j+\frac{k^2-k_j^2}{2k^2})\frac{k^2}{k^2-1}-\ln \frac{r}{r_i}-0.5---\left(23\right)$

弹性区径向残余应力： $\frac{{\mathrm{\σ}}_r^{\′}}{{\mathrm{\σ}}_y}=({\ln k}_j+\frac{k^2-k_j^2}{2k^2})\frac{k^2}{k^2-1}(1-\frac{1}{{(r/r_i)}^2})+\frac{0.5k_j^2}{{(r/r_i)}^2}-{\ln k}_j-0.5---\left(24\right)$

环向残余应力： $\frac{{\mathrm{\σ}}_t^{\′}}{{\mathrm{\σ}}_y}=({\ln k}_j+\frac{k^2-k_j^2}{2k^2})\frac{k^2}{k^2-1}(1+\frac{1}{{(r/r_i)}^2})-\frac{0.5k_j^2}{{(r/r_i)}^2}-{\ln k}_j-0.5---\left(25\right)$

轴向残余应力： $\frac{{\mathrm{\σ}}_z^{\′}}{{\mathrm{\σ}}_y}=({\ln k}_j+\frac{k^2-k_j^2}{2k^2})\frac{k^2}{k^2-1}-{\ln k}_j-0.5---\left(26\right)$

塑性区残余应力的当量应力σ′_e/σ_y为(下标e表示当量应力)：

σ′_e/σ_y＝|σ′_r/σ_y-σ′_t/σ_y|    (27)

将式(21)、(22)代入式(27)得塑性区残余应力的当量应力σ′_e/σ_y为：

$\frac{{{\mathrm{\σ}}_e}^{\′}}{{\mathrm{\σ}}_y}=|1-\frac{k^2-k_j^2+k^2\ln k_j^2}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}|---\left(28\right)$

同理，弹性区残余应力的当量应力σ′_e/σ_y为：

$\frac{{{\mathrm{\σ}}_e}^{\′}}{{\mathrm{\σ}}_y}=\frac{{{\mathrm{\σ}}_r}^{\′}}{{\mathrm{\σ}}_y}-\frac{{{\mathrm{\σ}}_t}^{\′}}{{\mathrm{\σ}}_y}=\frac{k^2(k_j^2-1-{\ln k}_j^2)}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}---\left(29\right)$

以下结论也适合于受内压的情况，因为有：

$k_j^2-1>{\ln k}_j,$ 故整个弹性区内，σ′_e/σ_y＞0。但在塑性区，σ′_r/σ_y-σ′_t/σ_y可正可负。如在容器内表面，r/r_i＝1，于是内壁面残余应力的当量应力σ′_ei/σ为：

$-\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ei}}^{\′}}{{\mathrm{\σ}}_y}=\frac{{\mathrm{\σ}}_r^{\′}}{{\mathrm{\σ}}_y}-\frac{{\mathrm{\σ}}_t^{\′}}{{\mathrm{\σ}}_y}=1-\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}=\frac{k_j^2-1-k^2{\ln k}_j^2}{k^2-1}---\left(30\right)$

${\ln k}_j^2=2\frac{k_j^2-1}{k_j^2+1}+...,$ 所以 ${\ln k}_j^2>2\frac{k_j^2-1}{k_j^2+1},$ 从而 $k^2{\ln k}_j^2>{2k}^2\frac{k_j^2-1}{k_j^2+1}>k_j^2-1$

故在容器内表面，σ′_r/σ_y-σ′_t/σ_y恒为负。显然，d(σ′_r/σ_y-σ′_t/σ_y)/d(r/r_i)在塑性区大于0，在弹性区小于0。而在弹塑性界面，r/r_i＝k_j，式(28)、(29)都成为：

$0<\frac{{{\mathrm{\&sigma;}}_e}^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{ej}}}^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k^2(k_j^2-1-{\ln k}_j^2)}{(k^2-1)k_j^2}<1---\left(31\right)$

可见，在塑性区，σ′_r/σ_y-σ′_t/σ_y从内表面的负值，增加为弹-塑性界面上的正值；而在弹性区，σ′_r/σ_y-σ′_t/σ_y从弹-塑性界面上的正值，降低为外表面上的正值。于是令 $1-\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}=0$ 得：

$\frac{r}{r_i}=\sqrt{\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{k^2-1}}=\sqrt{\frac{{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{ei}}}^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}+1}<k_j---\left(32\right)$

这实际上是三条残余应力曲线[式(21)～(23)]的交点的横坐标。因为令式(21)＝式(22)和式(21)＝式(23)或式(22)＝式(23)都得式(32)，这说明三条残余应力分布曲线交于一点，其横坐标为式(32)。

在式(30)中令k_j＝k得全屈服时容器内表面残余应力的当量应力为：

$\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{ei}}^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k^2{\ln k}^2-k^2+1}{k^2-1}---\left(33\right)$

又在式(33)中令σ′_ei/σ_y≤1得： $\frac{k^2\ln k}{k^2-1}\&le;1---\left(34\right)$

解式(34)得：k≤2.2184574899167...＝k_c    (35)

将k_c＝2.2184574899167...称为临界径比。所以，当k≤k_c时，不论k_j多大，即不论塑性区多深，卸除自增强压力p_a后，容器不会产生屈服；而k≥k_c时，若k_j过大，即塑性区太深，卸除自增强压力后，容器会产生屈服。于是在式(30)中令σ′_ei/σ_y＝1可得k≥k_c时容器的径比k与不产生屈服的塑性区深度k_j间的对应关系，并将这种k_j记作

称作最佳塑性深度：

$k^2\ln {k_{j^{*}}}^2-k^2-{k_{j^{*}}}^2+2=0$ 或 $k=\sqrt{\frac{k_{j^{*}}^2-2}{{\ln k}_{j^{*}}^2-1}},(k\&GreaterEqual;k_c,k_{j^{*}}\&GreaterEqual;\sqrt{e})---\left(36\right)$

而当k≤k_c时，可取 $k_{j^{*}}=k.$ 图8显示了最佳塑性深度(实线oad)，图中还示出了以圆筒内、外半径的算术平均值为塑性区半径或以圆筒内、外半径的几何平均值为塑性区半径的k～k_j关系，分别为直线of和曲线om。假若以圆筒内、外半径算术平均值为塑性区半径，则有

r_j＝(r_i+r_o)/2亦即k_j＝r_j/r_i＝(k+1)/2    (37)

以圆筒内外半径的几何平均值为塑性区半径，则有

$r_j=\sqrt{r_o{r}_i}$ 即 $k_j=\sqrt{k}---\left(38\right)$

a、b≥0时， ${(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^2\&GreaterEqual;0,$ 故 $a+b\&GreaterEqual;2\sqrt{\mathrm{ab}},$ 令a＝k，b＝1，得 $k+1\&GreaterEqual;2\sqrt{k}$

故由式(37)确定的塑性区半径大于由式(38)确定的塑性区半径，即对相同的圆筒内外半径，算术平均半径大于几何平均半径。由图8也可看到这一点。

式(36)指出：对一定径比k的容器，若 $k_j\&le;k_{j^{*}},$ 卸除自增强压力后筒壁不会屈服；若 $k_j\&GreaterEqual;k_{j^{*}},$ 卸除自增强压力后筒壁会屈服。所以由式(36)可方便而容易地确定安全的塑性区深度。对公式(36)及其他公式的应用见各实施例。由式(36)可见，k越大(筒体越厚)，k_j越小，即塑性区越浅。这给工程应用带来了很大方便，因为筒体越厚越难产生较大的屈服区，故当筒体较厚时取较浅的塑性区，不但卸除自增强压力后筒壁不会屈服，且可以满足设计要求。方程 $k^2\ln {k_{j^{*}}}^2-k^2-{k_{j^{*}}}^2+2=0$ 的求解可1)按显式 $k=\sqrt{\frac{{k_{j^{*}}}^2-2}{{{\ln k}_{j^{*}}}^2-1}};$ 或2)用Excel软件；或3)用图8查取；或4)按表1提供的数据查取(遇中间值可用插值法)：

表1 $k^2\ln {k_{j^{*}}}^2-k^2-{k_{j^{*}}}^2+2=0$ 数值表

k          k_j           k          k_j         k           k_j          k               k_j

46.12228   1.649        6.662588   1.663      3.364833    1.72        2.290026        1.98

21.58601   1.65         6.5        1.663777   3.211949    1.73        2.282389        1.99

20         1.650212     6.455815   1.664      3.087896    1.74        2.27539         2

19         1.650375     6.268851   1.665      3           1.748442    2.268979        2.01

18         1.650565     6.09877    1.666      2.985168    1.75        2.263112        2.02

17         1.650791     6          1.666625   2.898709    1.76        2.257751        2.03

16.20955   1.651        5.943217   1.667      2.824972    1.77        2.252859        2.04

16         1.651061     5.800273   1.668      2.761395    1.78        2.248404        2.05

15         1.651387     5.668352   1.669      2.706071    1.79        2.244356        2.06

14         1.651788     5.546136   1.67       2.657551    1.8         2.240689        2.07

13.54616   1.652        5.5        1.670397   2.614713    1.81        2.237377        2.08

13         1.652286     5.432516   1.671      2.576674    1.82        2.234398        2.09

12         1.652918     5.32655    1.672      2.542726    1.83        2.231732        2.1

11.88665   1.653        5.227437   1.673      2.512296    1.84        2.22936         2.11

11         1.653735     5.134487   1.674      2.5         1.844363    2.227263        2.12

10.72744   1.654        5.047102   1.675      2.484917    1.85        2.225426        2.13

10         1.65482      5          1.675565   2.460201    1.86        2.223835        2.14

9.859732   1.655        4.964763   1.676      2.437823    1.87        2.222475        2.15

9.1793     1.656        4.887016   1.677      2.417512    1.88        2.221333        2.16

9          1.656304     4.813461   1.678      2.399035    1.89        2.220397        2.17

8.627561   1.657        4.743747   1.679      2.382195    1.9         2.219658        2.18

8.168728   1.658        4.67756    1.68       2.366822    1.91        2.219103        2.19

8.085911   1.6582       4.614622   1.681      2.359639    1.915       2.218892        2.195

8.045493   1.6583       4.554685   1.682      2.358241    1.916       2.218855        2.196

8          1.658414     4.5        1.682956   2.35277     1.92        2.218724        2.2

7.779543   1.659        4.160525   1.69       2.33991     1.93        2.218513        2.21

7.44415    1.66         4          1.694172   2.328131    1.94        2.218459        2.22

7.151321   1.661        3.811702   1.7        2.317334    1.95        2.218457        2.218457

7          1.661571     3.558259   1.71       2.307434    1.96

6.892851   1.662        3.5        1.712755   2.298354    1.97

若 $k_j=k_{j^{*}},$ 式(32)成为 $r/r_i=\sqrt{2}<\sqrt{e},$ 这说明当 $k_j=k_{j^{*}}$ 时，不论k和k_j多大，σ′_t/σ_y-σ′_r/σ_y＝0总在 $r/r_i=\sqrt{2}$ 发生。

$e^{k_j^2-1}=1+\frac{k_j^2-1}{1!}+...$ 即 $e^{k_j^2-1}>k_j^2\&RightArrow;{k_j}^2-1>{{\ln k}_j}^2\&RightArrow;$

$k^2({k_j}^2-1)-k^2\ln {k_j}^2>0\&RightArrow;k^2{k_j}^2>k^2+k^2{{\ln k}_j}^2\&RightArrow;k^2{k_j}^2-{k_j}^2>k^2+k^2{{\ln k}_j}^2-{k_j}^2\&RightArrow;$

${k_j}^2(k^2-1)>k^2-{k_j}^2+k^2\ln {k_j}^2\&RightArrow;(k^2-{k_j}^2+k^2{{\ln k}_j}^2)/(k^2-1)<{k_j}^2.$ 因此，

$\frac{r}{r_i}=\sqrt{\frac{k^2-k_j^2+k^2\ln k_j^2}{k^2-1}}<k_j.$ 这进一步说明，在r＝r_i处，σ′_ej/σ_y＞0。

图9至12是残余应力及其当量应力沿壁厚的分布特性，图中r、z、t和e分别为径向、轴向、环向和当量应力(虚线)。

外压p在器壁内r处产生的应力是式(1)～(3)，写成另一种形式是：

轴向应力： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_z^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=-\frac{k^2}{k^2-1}\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}---\left(39\right)$

径向应力： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_r^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=(1-\frac{1}{{(r/r_i)}^2})\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_z^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}---\left(40\right)$

环向应力： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_t^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=(1+\frac{1}{{(r/r_i)}^2})\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_z^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}---\left(41\right)$

外压引起的当量应力： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_r^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_t^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{2k^2}{k^2-1}\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}---\left(42\right)$

塑性区内，总应力σ^T/σ_y的当量应力σ_e ^T/σ_y为：

$\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_r^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_t^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_r^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_r^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y})-(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_t^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_t^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y})=(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_r^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_t^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y})+(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_r^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_t^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y})$

$\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_r^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_t^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=1-\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}+\frac{{2k}^2}{k^2-1}\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}---\left(43\right)$

令σ_e ^T/σ_y＝1得： $\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}={\ln k}_j+\frac{k^2-k_j^2}{2k^2}=\frac{p_a}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}$ (p/σ_y竟与r/r_i无关)    (44) $\frac{d(p/{\mathrm{\&sigma;}}_y)}{d{k}_j}=\frac{k^2-k_j^2}{k_j{k}^2}>0$ (k_j＝k时，＝0)，即k_j越大，p/σ_y越大，k_j＝k时，p/σ_y最大。但k＞k_c时，k_j不能达到k；只有k＜k_c时，k_j才可达到k。

所以，自增强容器承受p_a时，在整个塑性区，σ_e ^T/σ_y≡1(σ′_ei/σ_y≤1不一定成立)，这便自然达到了等强度设计效果。若承受小于p_a的载荷，在塑性区，σ_e ^T/σ_y＜1；若承受大于p_a的载荷，在塑性区，σ_e ^T/σ_y＞1。图13是总应力的当量应力σ_e ^T/σ_y沿壁厚的分布。不论k＜k_c还是k＞k_c，也不论k_j大小如何，均可用式(44)确定容器所能承受的压力，此时必有σ_e ^T/σ_y≡1。k＜k_c时，令k_j＝k，式(44)成为：

p/σ_y＝lnk＝p_y/σ_y(σ′_ei/σ_y＜1)    (44a)

结合式(44)与(36)可得当 $k_j=k_{j^{*}}$ 时自增强容器的承载能力：

$\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{p^{*}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k^2-1}{k^2}=2\frac{p_e}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}---\left(45\right)$

其中p_e为初始屈服压力。即 $k_j=k_{j^{*}}$ 及σ_e ^T＝σ_y时自增强容器的承载能力为其初始屈服压力的2倍，称为最佳承载能力p^*/σ_y，当自增强容器承受p^*/σ_y且 $k_j=k_{j^{*}}$ 时，必有σ′_ei＝σ_y及整个塑性区σ_e ^T≡σ_y。k＜k_c时，不采用式(45)。式(45)示于图14。

将式(45)代入(42)得： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^{p^{*}}}{{\mathrm{\&sigma;}}_v}=2{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}---\left(46\right)$

于是在塑性区有： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_r^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_t^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^{p^{*}}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=1-\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}+2{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}---\left(47\right)$

当 $k_j=k_{j^{*}}$ 时，式(47)成为： ${\mathrm{\&sigma;}}^{T^{*}}/{\mathrm{\&sigma;}}_y\&equiv;1$ (整个塑性区)，不仅如此，还有σ′_ei/σ_y＝1。

在式(43)令σ_e ^T/σ_y＝0得： $\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}={\ln k}_j+\frac{k^2-k_j^2}{2k^2}-\frac{k_j^2-1}{2k^2}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^2---\left(48\right)$

即自增强容器承受式(48)所确定的压力时，在塑性区某r/r_i处，σ_e ^T/σ_y＝0。在式(48)令p/σ_y＝0得：

$\frac{r}{r_i}=\sqrt{\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{k^2-1}},$ 这正是式(32)。

在容器内表面，r/r_i＝1，于是式(48)成为： $\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}={\ln k}_j-\frac{k_j^2-1}{2k^2}>0---\left(48a\right)$

在容器弹塑性界面处，r/r_i＝k_j，式(48)成为： $\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}={\ln k}_j-\frac{k_j^2-1}{2}<0$ (舍去)(48b)

结合式(48a)与(36)可得当 $k_j=k_{j^{*}}$ 时： $\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k^2-1}{2k^2}=\frac{p_e}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}---\left(49\right)$

式(44)/(48a)得： $\frac{k^2{\ln k}_j^2+k^2-k_j^2}{k^2{\ln k}_j^2+1-k_j^2}>1---\left(50\right)$

k_j＝1时，式(50)的值为∞；

k_j＝k时，式(50)的值为

k＝k_c时此值为2；

k_j与k的关系符合式(36)时，式(50)的值恒为2。

将式(48a)代入式(43)得： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=1-{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}---\left(51\right)$

在容器内表面，r/r_i＝1，于是式(51)成为：σ_e ^T/σ_y＝0。

在容器的弹塑性界面处，r/r_i＝k_j，于是式(51)成为： ${{\mathrm{\&sigma;}}_e}^T/{\mathrm{\&sigma;}}_y=1-1/k_j^2<1$ 而＞0。

因此自增强容器承受式(48a)所表达的载荷时，一定不会屈服。

在弹性区： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_r^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_r^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y})-(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_t^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_t^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y})=(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_r^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_t^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y})+(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_r^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_t^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y})$

$\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_r^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_t^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k^2(k_j^2-1-{\ln k}_j^2)}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}+\frac{{2k}^2}{k^2-1}\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}---\left(52\right)$

在容器外表面，r/r_i＝r_o/r_i＝k，则 $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k_j^2-1-{\ln k}_j^2}{k^2-1}+\frac{2}{k^2-1}\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}---\left(53\right)$

把式(44)代入式(53)得： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k_j^2}{k^2}\&le;1$

欲使σ_e ^T≥σ_y，据式(53)，须 $\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}\&GreaterEqual;{\ln k}_j+\frac{k^2-k_j^2}{2}>\frac{p_a}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}---\left(54\right)$

这是个很大的载荷。k_j＝1时，式(54)成为：p/σ_y≥(k²-1)/2；k_j＝k时，式(54)成为：p/σ_y≥lnk＝p_y/σ_y。不难证明，(k²-1)/2＞lnk。

由式(45)可导出自增强容器在σ′_ei＝σ_y(考虑安全系数及圆整后可能σ′_ei＜σ_y)、整个塑性区内σ_e ^T≡σ_y(考虑安全系数后可能σ_e ^T＜σ_y)条件下壁厚t的计算公式为：

$t=r_i(\sqrt{\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_y}{{\mathrm{\&sigma;}}_y-\mathrm{np}}}-1)=r_i(\sqrt{\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_y/n}{{\mathrm{\&sigma;}}_y/n-p}}-1)=r_i(\sqrt{\frac{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]-p}}-1)---\left(55\right)$

其中n为安全系数，[σ]＝σ_y/n为许用应力。但当k＜k_c时，不采用式(55)。

由式(44)可导出自增强容器在整个塑性区内σ_e ^T≡σ_y条件下壁厚t的计算公式(σ′_ei≤σ_y不一定成立)为：

$t=r_i(k_j\sqrt{\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_y/n}{({\mathrm{\&sigma;}}_y/n){\ln k}_j^2+{\mathrm{\&sigma;}}_y/n-2p}}-1)=r_i(k_j\sqrt{\frac{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]{\ln k}_j^2+\left[\mathrm{\&sigma;}\right]-2p}}-1)---\left(56\right)$

当 $k_j=k_{j^{*}}$ 时，即k～k_j关系符合式(36)，式(56)即是式(55)。

由式(44a)可导出k＜k_c的自增强容器当k_j＝k时，在整个筒壁内σ_e ^T≡σ_y条件下壁厚t的计算公式(σ′_ei＜σ_y必成立)为：

t＝r_i(e^p/σ/n-1)＝r_i(e^p/[σ]-1)(k＜k_c)    (57)

按第四强度理论(以上标^III、^IV分别表示与第三、四强度理论有关的量)

对圆筒形容器有σ_z＝(σ_r+σ_t)/2、 ${{\mathrm{\&sigma;}}_e}^{\mathrm{IV}}=\frac{\sqrt{3}}{2}{{\mathrm{\&sigma;}}_e}^{\mathrm{III}}.$ 基于这种关系，可得相应于第三强度理论的有关结论。基于第四强度理论的相关公式序号加“′”，给出如下：

1、自增强压力 $\frac{p_a}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{2}{\sqrt{3}}{\ln k}_j+\frac{k^2-k_j^2}{\sqrt{3}{k}^2}$ 作用下的筒壁应力塑性区应力是式(6′)～(8′)；弹性区应力是式(14′)～(16′)。

2、自增强压力卸除后，筒壁中的残余应力

应力改变量： $\frac{{\mathrm{\&Delta;\&sigma;}}_r}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=-(\frac{{\ln k}_j^2}{\sqrt{3}}+\frac{k^2-k_j^2}{\sqrt{3}{k}^2})\frac{1}{k^2-1}(k^2-\frac{k^2}{{(r/r_i)}^2})---\left({18}^{\&prime;}\right)$

$\frac{{\mathrm{\&Delta;\&sigma;}}_t}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=-(\frac{{\ln k}_j^2}{\sqrt{3}}+\frac{k^2-k_j^2}{\sqrt{3}{k}^2})\frac{1}{k^2-1}(k^2+\frac{k^2}{{(r/r_i)}^2})---\left({19}^{\&prime;}\right)$

$\frac{{\mathrm{\&Delta;\&sigma;}}_z}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=-(\frac{{\ln k}_j^2}{\sqrt{3}}+\frac{k^2-k_j^2}{\sqrt{3}{k}^2})\frac{k^2}{k^2-1}---\left({20}^{\&prime;}\right)$

塑性区径向残余应力： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_r^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=(\frac{{\ln k}_j^2}{\sqrt{3}}+\frac{k^2-k_j^2}{\sqrt{3}{k}^2})\frac{k^2}{k^2-1}(1-\frac{1}{{(r/r_i)}^2})-\frac{\ln {(r/r_i)}^2}{\sqrt{3}}---\left({21}^{\&prime;}\right)$

环向残余应力： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_t^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=(\frac{{\ln k}_j^2}{\sqrt{3}}+\frac{k^2-k_j^2}{\sqrt{3}{k}^2})\frac{k^2}{k^2-1}(1+\frac{1}{{(r/r_i)}^2})-\frac{\ln {(r/r_i)}^2}{\sqrt{3}}-\frac{2}{\sqrt{3}}---\left({22}^{\&prime;}\right)$

轴向残余应力： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_z^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=(\frac{{\ln k}_j^2}{\sqrt{3}}+\frac{k^2-k_j^2}{\sqrt{3}{k}^2})\frac{k^2}{k^2-1}-\frac{\ln {(r/r_i)}^2}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}---\left({23}^{\&prime;}\right)$

弹性区径向残余应力： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_r^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=(\frac{{\ln k}_j^2}{\sqrt{3}}+\frac{k^2-k_j^2}{\sqrt{3}{k}^2})\frac{k^2}{k^2-1}(1-\frac{1}{{(r/r_i)}^2})+\frac{k_j^2}{\sqrt{3}{(r/r_i)}^2}-\frac{{\ln k}_j^2}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}---\left({24}^{\&prime;}\right)$

环向残余应力： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_t^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=(\frac{{\ln k}_j^2}{\sqrt{3}}+\frac{k^2-k_j^2}{\sqrt{3}{k}^2})\frac{k^2}{k^2-1}(1-\frac{1}{{(r/r_i)}^2})-\frac{k_j^2}{\sqrt{3}{(r/r_i)}^2}-\frac{{\ln k}_j^2}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}---\left({25}^{\&prime;}\right)$

轴向残余应力： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_z^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=(\frac{{\ln k}_j^2}{\sqrt{3}}+\frac{k^2-k_j^2}{\sqrt{3}{k}^2})\frac{k^2}{k^2-1}-\frac{{\ln k}_j^2}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}---\left({26}^{\&prime;}\right)$

塑性区残余应力的当量应力： ${{\mathrm{\&sigma;}}_e}^{\&prime;}/{\mathrm{\&sigma;}}_y=\frac{\sqrt{3}}{2}|{{\mathrm{\&sigma;}}_r}^{\&prime;}/{\mathrm{\&sigma;}}_y-{{\mathrm{\&sigma;}}_t}^{\&prime;}/{\mathrm{\&sigma;}}_y|---\left({27}^{\&prime;}\right)$

塑性区残余应力的当量应力σ′_e/σ_y为：式(28)。

弹性区残余应力的当量应力σ′_e/σ_y为：式(29)。

容器内表面残余应力：式(30)。

三条残余应力曲线交点及塑性区残余应力当量应力为0的点横坐标：式(32)。

k_j＝k(全屈服)时容器内表面残余应力的当量应力为：式(33)。

临界径比k_c＝2.2184574899167...；最佳塑性深度：式(36)。

残余应力分量的分布特性与按第三强度理论的类似，残余应力的当量应力与按第三强度理论的完全相同。

外压引起的当量应力： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_r^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_t^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y})=\frac{\sqrt{3}{k}^2}{k^2-1}\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}---\left({42}^{\&prime;}\right)$

塑性区内，总应力的当量应力σ_e ^T/σ_y为：

$\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_r^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_t^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=1-\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}+\frac{\sqrt{3}{k}^2}{k^2-1}\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}---\left({43}^{\&prime;}\right)$

令σ_e ^T/σ_y＝1得： $\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{{\ln k}_j^2}{\sqrt{3}}+\frac{k^2-k_j^2}{\sqrt{3}{k}^2}=\frac{p_a}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}$ (p/σ_y与r/r_i无关)    (44′) $\frac{d(p/{\mathrm{\&sigma;}}_y)}{{\mathrm{dk}}_j}=\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{k^2-k_j^2}{k_j{k}^2}>0$ (k_j＝k时，＝0)，即k_j越大，p/σ_y越大，k_j＝k时，p/σ_y最大。但k＞k_c时，k_j不能达到k；只有k＜k_c时，k_j才可达到k。

自增强容器承受p_a时，整个塑性区σ_e ^T≡σ_y(σ′_ei≤σ_y不一定成立)。若承受小于p_a的载荷，在塑性区，σ_e ^T＜σ_y；若承受大于p_a的载荷，在塑性区，σ_e ^T＞σ_y。图13是σ_e ^T/σ_y沿壁厚的分布。不论k＜k_c或k＞k_c，也不论k_j多大，均可用式(44′)确定容器所能承受的压力，此时必有σ_e ^T≡σ_y。k＜k_c时，令k_j＝k，式(44′)成为：

$p/{\mathrm{\&sigma;}}_y=\frac{2}{\sqrt{3}}\ln k=p_y/{\mathrm{\&sigma;}}_y,({{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{ei}}}^{\&prime;}/{\mathrm{\&sigma;}}_y<1)---\left({44a}^{\&prime;}\right)$

$k_j=k_{j^{*}}$ 的最佳承载能力p^*/σ_y： $\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{p^{*}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{k^2-1}{k^2}=2\frac{p_e}{{\mathrm{\&sigma;}}_y},(k>k_c)---\left({45}^{\&prime;}\right)$

式(45′)示于图15。将式(45′)代入(42′)得：式(46)。

于是在塑性区有：式(47)。

当 $k_j=k_{j^{*}}$ 时，式(47)成为： ${\mathrm{\&sigma;}}^{T^{*}}/{\mathrm{\&sigma;}}_y\&equiv;1$ (在整个塑性区)，不仅如此，还有σ′_ei＝σ_y。

在式(43′)令σ_e ^T/σ_y＝0得： $\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{1}{\sqrt{3}}({\ln k}_j^2+\frac{k^2-k_j^2}{k^2}-\frac{k_j^2-1}{k^2}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^2)---\left({48}^{\&prime;}\right)$ 即自增强容器承受式(48′)所确定的压力时，在塑性区某r/r_i处，σ_e ^T＝0在式(48′)令p/σ_y＝0得：式(32)。

在容器内表面，r/r_i＝1，于是式(48′)成为： $\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{1}{\sqrt{3}}({\ln k}_j^2-\frac{k_j^2-1}{k^2})>0---\left({48a}^{\&prime;}\right)$

在容器弹塑性界面处，r/r_i＝k_j，式(48′)＜0舍去。

结合式(48a′)与(36)可得当 $k_j=k_{j^{*}}$ 时： $\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k^2-1}{\sqrt{3}{k}^2}=\frac{p_e}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}---\left({49}^{\&prime;}\right)$

式(44′)/(48a′)得：式(50)。

将式(48a′)代入式(43′)得：式(51)。

同样，自增强容器承受式(48a′)所表达的载荷时，必不屈服。

弹性区： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_r^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_t^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k^2(k_j^2-1-{\ln k}_j^2)}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}+\frac{\sqrt{3}{k}^2}{k^2-1}\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}---\left({52}^{\&prime;}\right)$

在容器外表面，r/r_i＝r_o/r_i＝k，则 $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k_j^2-1-{\ln k}_j^2}{k^2-1}+\frac{\sqrt{3}}{k^2-1}\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}---\left({53}^{\&prime;}\right)$

把式(44′)代入式(53′)得： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k_j^2}{k^2}\&le;1$

欲使σ_e ^T/σ_y≥1，根据式(53′)，须使 $\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}\&GreaterEqual;\frac{1}{\sqrt{3}}({\ln k}_j^2+k^2-k_j^2)>\frac{p_a}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}---\left({54}^{\&prime;}\right)$

这是个很大的载荷。k_j＝1时，式(54′)成为： $p/{\mathrm{\&sigma;}}_y\&GreaterEqual;(k^2-1)/\sqrt{3};$ k_j＝k时，式(54′)成为： $p/{\mathrm{\&sigma;}}_y\&GreaterEqual;{\ln k}^2/\sqrt{3}=p_y/{\mathrm{\&sigma;}}_y.$ 不难证明， $(k^2-1)/\sqrt{3}>{\ln k}^2/\sqrt{3}.$

由式(45′)可导出自增强容器在σ′_ei＝σ_y(考虑安全系数及圆整后可能σ′_ei＜σ_y)、整个塑性区内σ_e ^T≡σ_y(考虑安全系数后可能σ_e ^T＜σ_y)条件下壁厚t的计算公式为：

$t=r_i(\sqrt{\frac{2{\mathrm{\&sigma;}}_y}{2{\mathrm{\&sigma;}}_y-n\sqrt{3}p}}-1)=r_i(\sqrt{\frac{2{\mathrm{\&sigma;}}_y/n}{2{\mathrm{\&sigma;}}_y/n-\sqrt{3}p}}-1)=r_i(\sqrt{\frac{2\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{2\left[\mathrm{\&sigma;}\right]-\sqrt{3}p}}-1),(k>k_c)---\left({55}^{\&prime;}\right)$

由式(44′)可导出自增强容器在整个塑性区内σ_e ^T≡σ_y条件下的壁厚t的计算公式(σ′_ei≤σ_y不一定成立)为：

$t=r_i(k_j\sqrt{\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_y/n}{({\mathrm{\&sigma;}}_y/n){\ln k}_j^2+{\mathrm{\&sigma;}}_y/n-\sqrt{3}p}}-1)=r_i(k_j\sqrt{\frac{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]{\ln k}_j^2+\left[\mathrm{\&sigma;}\right]-\sqrt{3}p}}-1)---\left({56}^{\&prime;}\right)$

当 $k_j=k_{j^{*}}$ 时，即k～k_j关系符合式(36)，式(56′)即是式(55′)。

由式(44a′)可导出k＜k_c的自增强容器当k_j＝k时，在整个筒壁内σ_e ^T≡σ_y条件下壁厚t的计算公式(σ′_ei/σ_y＜1必成立)为：

$t=r_i(e^{\sqrt{3}p/2\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}-1),(k<k_c)---\left({57}^{\&prime;}\right)$

实施例1，某外压高压容器，采用自增强技术，内径为r_i＝150mm；容器材料为34CrNi3MoA，其σ_y＝700Mpa；承受的外压为p＝360Mpa；根据有关行业对容器的设计规范，安全系数取n＝1.6。

由式(55)立即可算出该容器的计算厚度为：

$t=r_i(\sqrt{\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_y}{{\mathrm{\&sigma;}}_y-\mathrm{np}}}-1)=150(\sqrt{\frac{700}{700-1.6\&times;360}}-1)=206.3932\mathrm{mm}$

取材料的规格厚度208mm。则r_o＝r_i+t＝150+208＝358mm，k＝r_o/r_i＝2.386667＞k_c。

查表1知，k＝2.382195时， $k_{j^{*}}=1.9;$ k＝2.399035时， $k_{j^{*}}=1.89.$ 由线性插值法得：k＝2.386667时， $k_{j^{*}}=1.89738.$

这样设计的容器，用厚度208mm的34CrNi3MoA来制造，在投入使用前对其进行自增强(超压)处理，使塑性区半径 $r_j=r_i{k}_{j^{*}}=150\&times;1.89738=284.607\mathrm{mm}.$ 必有：σ′_ei＝σ_y、整个塑性区σ_e ^T＜σ_y。验证如下：

根据式(30)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{ei}}^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k^2{\ln k}_j^2-k_j^2+1}{k^2-1}=\frac{{2.386667}^2\ln {1.89738}^2-{1.89738}^2+1}{{2.386667}^2-1}=1$

根据式(43)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=1-\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}+\frac{{2k}^2}{k^2-1}\frac{p}{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}=1-0.00391{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}<1$

注：因材料的实际厚度(208mm)大于计算厚度(206.3932mm)，故以实际厚度验证时σ_e ^T/σ_y＜1，若以计算厚度来验证，必有σ_e ^T/σ_y≡1。

若将本实施例的外压改作内压，内压自增强圆筒的设计方法等与本实施例同。以下各实施例及本发明所提供的设计制造方法均适用于受内压的圆筒。

实施例2，假设工艺计算确定了压力容器内径r_i＝500mm；容器材料选用20MnMoNb，其σ_y＝480Mpa；要求承受的外压p＝100Mpa；安全系数取n＝1.6。

由式(55)立即可算出该容器的计算厚度：

$t=r_i(\sqrt{\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_y}{{\mathrm{\&sigma;}}_y-\mathrm{np}}}-1)=500(\sqrt{\frac{480}{480-1.6\&times;100}}-1)=112.3724\mathrm{mm}$

取锻件的规格厚度114mm。则r_o＝r_i+t＝500+114＝614mm，k＝r_o/r_i＝1.228＜k_c，不宜采用式(55)，应采用式(56)。

1)取k_j＝k。

k_j＝k时宜采用式(57)：t＝r_i(e^p/σ/n-1)＝r_i(e^p/[σ]-1)＝500(e^100/480/1.6-1)＝197.8062mm。取锻件的规格厚度200mm。则r_o＝r_i+t＝500+200＝700mm，k＝r_o/r_i＝1.4＝k_j。

这样设计的容器，用厚度200的20MnMoNb锻件制造，投入使用前对其进行自增强处理，达到全屈服。必有：σ′_ei＜σ_y、整个塑性区内σ_e ^T＜σ_y。验证如下：

根据式(30)：  $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{ei}}^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k^2{\ln k}_j^2-k_j^2+1}{k^2-1}=\frac{{1.4}^2{\ln 1.4}^2-{1.4}^2+1}{{1.4}^2-1}=0.373928$

根据式(43)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=1-\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}+\frac{{2k}^2}{k^2-1}\frac{p}{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}=1-0.01282{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}<1.$

注：σ′_ei＜σ_y是因为k＜k_c，σ_e ^T＜σ_y是因为验证时用的规格厚度大于计算厚度。

2)取k_j＝1.2，采用式(56)：

$t=r_i(k_j\sqrt{\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_y/n}{({\mathrm{\&sigma;}}_y/n){\ln k}_j^2+{\mathrm{\&sigma;}}_y/n-2p}}-1)=r_i(k_j\sqrt{\frac{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]{\ln k}_j^2+\left[\mathrm{\&sigma;}\right]-2p}}-1)=218.176\mathrm{mm}.$

取锻件的规格厚度220mm。则r_o＝r_i+t＝500+220＝720mm，k＝r_o/r_i＝1.44。

这样设计的容器，用厚度220的20MnMoNb锻件来制造，投入使用前进行自增强处理，使r_j＝r_ik_j＝500×1.2＝600mm，则σ′_ei＜σ_y、整个塑性区σ_e ^T＝σ_y验证：

根据式(30)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{ei}}^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k^2{\ln k}_j^2-k_j^2+1}{k^2-1}=\frac{{1.44}^2{\ln 1.2}^2-{1.2}^2+1}{{1.44}^2-1}=0.294452$

根据式(43)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=1-\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}+\frac{{2k}^2}{k^2-1}\frac{p}{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}=1-0.00682{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}<1$

3)取k_j＝1.4采用式(56)的结果必然与1)的结果相同。

4)因为k_j＝k时，p/σ_y最大，所以当k_j＜k时，要尽可能使k_j＝k。

实施例3，设有一径比k＝2.5的自增强容器，由20MnMoNb制成，σ_y＝480Mpa。需确定该容器所能承受的载荷。

按第四强度理论。由式(45′)或图15得：最佳承载能力p^*/σ_y＝0.969948，即p^*＝0.969948×480＝465.5753Mpa，取安全系数n＝1.6，则p＝465.5753/1.6＝290.9845Mpa。查表1知，k＝2.5时， $k_{j^{*}}=1.844363.$ 该容器承受290.9845Mpa的外压时，必有σ′_ei＝σ_y、整个塑性区内σ_e ^T＜σ_y。验证：

根据式(30)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{ei}}^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k^2{\ln k}_j^2-k_j^2+1}{k^2-1}=\frac{{2.5}^2{\ln 1.844363}^2-{1.844363}^2+1}{{2.5}^2-1}=1.$

根据式(43′)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=1-\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}+\frac{\sqrt{3}{k}^2}{k^2-1}\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}=1-0.75{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}<1.$

根据式(43′)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=1-\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}+\frac{\sqrt{3}{k}^2}{k^2-1}\frac{p}{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}=1.$

若不要求σ′_ei/σ_y≤1，即k_j不必等于

只需整个塑性区内σ_e ^T/σ_y≤1，可利用式(44′)确定该容器所能承受的载荷。

1)假如该容器的k_j＝1.7，则

$\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{1}{\sqrt{3}}({\ln k}_j^2+\frac{k^2-k_j^2}{k^2})=\frac{1}{\sqrt{3}}({\ln 1.7}^2+\frac{{2.5}^2-{1.7}^2}{{2.5}^2})=0.9231$

取安全系数n＝1.6，则p＝0.9231×480/1.6＝443.0881/1.6＝276.9301。

该容器承受443.0881Mpa外压时，必有σ′_ei＜σ_y、整个塑性区内σ_e ^T＜σ_y。承受276.9301Mpa外压时，必有σ′_ei＜σ_y、整个塑性区内σ_e ^T＜σ_y。验证：

根据式(30)：  $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{ei}}^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k^2{\ln k}_j^2-k_j^2+1}{k^2-1}=\frac{{2.5}^2{\ln 1.7}^2-{1.7}^2+1}{{2.5}^2-1}=0.903400598.$

之所以σ′_ei/σ_y＜1，是因为 $k_j=1.7<k_{j^{*}}=1.844363.$

根据式(43′)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=1-\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}+\frac{\sqrt{3}{k}^2}{k^2-1}\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}\&equiv;1.$

根据式(43′)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=1-\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}+\frac{\sqrt{3}{k}^2}{k^2-1}\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}=1-0.7138{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}<1.$

2)假如该容器的k_j＝1.9，则

$\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{1}{\sqrt{3}}({\ln k}_j^2+\frac{k^2-k_j^2}{k^2})=\frac{1}{\sqrt{3}}({\ln 1.9}^2+\frac{{2.5}^2-{1.9}^2}{{2.5}^2})=0.985022$

取安全系数n＝1.6，则p＝0.985022×480/1.6＝295.5056。

该容器承受295.5056的外压时，必有σ′_ei＞σ_y、整个塑性区内σ_e ^T/σ_y＜1，验证：根据式(30)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{ei}}^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k^2{\ln k}_j^2-k_j^2+1}{k^2-1}=\frac{{2.5}^2{\ln 1.9}^2-{1.9}^2+1}{{2.5}^2-1}=1.031080681.$

之所以σ′_ei/σ_y＞1，是因为 $k_j=1.9>k_{j^{*}}=1.844363.$

根据式(43′)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=1-\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}+\frac{\sqrt{3}{k}^2}{k^2-1}\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}=1-0.762{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}<1$

实施例4，设工艺要求容器内径r_i＝50mm；材料用0Cr18Ni9，工作温度300℃下的[σ]＝114Mpa；承受外压p＝125Mpa。对σ′_ei≤σ_y无严格要求。

这种情况下，可由式(56)或(56′)确定该容器的计算厚，这里用式(56′)。

1)取k_j＝1.7，则

$t=r_i(k_j\sqrt{\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_y/n}{({\mathrm{\&sigma;}}_y/n){\ln k}_j^2+{\mathrm{\&sigma;}}_y/n-\sqrt{3}p}}-1)=r_i(k_j\sqrt{\frac{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]{\ln k}_j^2+\left[\mathrm{\&sigma;}\right]-\sqrt{3}p}}-1)=161.1334\mathrm{mm}.$

圆整取锻件的规格厚度162mm。则r_o＝r_i+t＝50+162＝212mm，k＝r_o/r_i＝4.24。

查表1知，k＝4.160525时， $k_{j^{*}}=1.69;$ k＝4.5时， $k_{j^{*}}=1.682956.$

由线性插值法得：k＝4.24时， $k_{j^{*}}=1.687535<1.7.$

这样设计的容器，用厚度162的0Cr18Ni9来制造，投入使用前进行自增强处理：①使弹塑性界面半径为 $r_j=r_i{k}_{j^{*}}=84.3767\mathrm{mm}.$ 必有σ′_ei＜σ_y(若用计算厚度，σ′_ei＝σ_y)、整个塑性区内σ_e ^T＞σ_y(因 $k_{j^{*}}=1.687535<1.7$ )；②若r_j＝1.7×50＝85mm。必有σ′_ei＞σ_y(因 $1.7>k_{j^{*}}$ )、整个塑性区内σ_e ^T＜σ_y(用计算厚度时，σ_e ^T＝σ_y)。验证：

①根据式(30)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{ei}}^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k^2{\ln k}_j^2-k_j^2+1}{k^2-1}=\frac{{4.24}^2{\ln 1.687535}^2-{1.687535}^2+1}{{4.24}^2-1}=0.999344019.$

根据式(43′)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=1-\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}+\frac{\sqrt{3}{k}^2}{k^2-1}\frac{p}{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}=1{+0.0117\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}>1.$

②根据式(30)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{ei}}^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k^2{\ln k}_j^2-k_j^2+1}{k^2-1}=\frac{{4.24}^2{\ln 1.7}^2-{1.7}^2+1}{{4.24}^2-1}=1.012442565.$

根据式(43′)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=1-\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}+\frac{\sqrt{3}{k}^2}{k^2-1}\frac{p}{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}=1-0.0014{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}<1.$

2)取k_j＝1.67，则

$t=r_i(k_j\sqrt{\frac{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]{\ln k}_j^2+\left[\mathrm{\&sigma;}\right]-\sqrt{3}p}}-1)=184.7983\mathrm{mm}.$ r′_o＝r_i+t＝50+184.694＝232.7983mm，

k＝r_o/r_i＝4.695965337。由式(36)得：k＝4.695965337时， $k_{j^{*}}=1.679717.$ 验证：

①k＝4.695965337，

根据式(30)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{ei}}^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k^2{\ln k}_j^2-k_j^2+1}{k^2-1}=\frac{{4.685965337}^2{\ln 1.679717}^2-{1.679717}^2+1}{{4.685965337}^2-1}=1.$

根据式(43′)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=1-\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}+\frac{\sqrt{3}{k}^2}{k^2-1}\frac{p}{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}=1-0.0106{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}<1.$

②k＝4.695965337， $k_j=1.67<k_{j^{*}}.$

根据式(30)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{ei}}^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k^2{\ln k}_j^2-k_j^2+1}{k^2-1}=\frac{4.685965337^2{\ln 1.67}^2-{1.67}^2+1}{4.685965337^2-1}=0.989391815.$

根据式(43′)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=1-\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}+\frac{\sqrt{3}{k}^2}{k^2-1}\frac{p}{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}=1.$

圆整：取t＝234mm，r_o＝r_i+t＝50+234＝284mm，k＝r_o/r_i＝5.68， $k_{j^{*}}=1.6689085.$

3)取k_j＝2，则

$t=r_i(k_j\sqrt{\frac{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]{\ln k}_j^2+\left[\mathrm{\&sigma;}\right]-\sqrt{3}p}}-1)=93.27944\mathrm{mm}.$ r′_o＝r_i+t＝50+93.27944＝143.27944mm，

k＝r′_o/r_i＝2.865589。由式(36)得：k＝2.865589时， $k_{j^{*}}=1.764304.$ 验证：

①k＝2.865589，

根据式(30)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{ei}}^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k^2{\ln k}_j^2-k_j^2+1}{k^2-1}=\frac{2.865589^2{\ln 1.764304}^2-{1.764304}^2+1}{{2.865589}^2-1}=1.$

根据式(43′)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=1-\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}+\frac{\sqrt{3}{k}^2}{k^2-1}\frac{p}{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}=1+0.16253{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}>1.$

②k＝4.695965337， $k_j=2>k_{j^{*}}.$

根据式(30)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{ei}}^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k^2{\ln k}_j^2-k_j^2+1}{k^2-1}=\frac{{2.865589}^2{\ln 2}^2-2^2+1}{{2.865589}^2-1}=1.162529059.$

根据式(43′)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=1-\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}+\frac{\sqrt{3}{k}^2}{k^2-1}\frac{p}{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}=1.$

圆整：取t＝94mm，r_o＝r_i+t＝50+94＝144mm，k＝r_o/r_i＝2.88， $k_{j^{*}}=1.762395.$

4)由式(55′)确定该容器的计算厚度：

$t=r_i(\sqrt{\frac{2\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{2\left[\mathrm{\&sigma;}\right]-\sqrt{3}p}}-1)=50(\sqrt{\frac{2\&times;114}{2\&times;114-\sqrt{3}\&times;125}}-1)=172.694\mathrm{mm}.$

r′_o＝r_i+t＝50+172.694＝222.694mm，k＝r′_o/r_i＝4.453879442。

由式(36)得：k＝4.453879442时， $k_{j^{*}}=1.683796.$ 验证：

根据式(30)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{ei}}^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k^2{\ln k}_j^2-k_j^2+1}{k^2-1}=\frac{{4.453879442}^2{\ln 1.683796}^2-{1.683796}^2+1}{{4.453879442}^2-1}=1.$

根据式(43′)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=1-\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}+\frac{\sqrt{3}{k}^2}{k^2-1}\frac{p}{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}=1.$

圆整：取t＝174mm，r_o＝r_i+t＝50+174＝224mm，k＝r_o/r_i＝4.48， $k_{j^{*}}=1.6833161.$

验证：根据式(30)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{ei}}^{\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k^2{\ln k}_j^2-k_j^2+1}{k^2-1}=\frac{{4.48}^2{\ln 1.6833161}^2-{1.6833161}^2+1}{{4.48}^2-1}=1.$

根据式(43′)： $\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_e^T}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=1-\frac{k^2-k_j^2+k^2{\ln k}_j^2}{(k^2-1){(r/r_i)}^2}+\frac{\sqrt{3}{k}^2}{k^2-1}\frac{p}{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}=1-0.001234{\left(\frac{r}{r_i}\right)}^{-2}<1.$

注：以上各实施例着重于本专利的关键点，故对压力容器现行设计步骤未加也不必详细叙述。

本发明建立了外压圆筒自增强的理论与设计计算及制造方法，分析论证过程中得到的一些规律、关系式及数据、图表等可作为压力容器工程设计时参考的基础和依据，也使自增强理论各参数间的关系和变化规律更清晰、透彻和实用；对工程上遇到的各种情况，均可按本发明提供的方法加以解决；并且这些规律、关系式及数据、图表等大多与内压自增强圆筒的相同。外压圆筒通过施加外压进行自增强，内压圆筒通过施加内压进行自增强，除此差别以外，本发明建立的外压圆筒自增强理论与设计计算及制造方法同样适用于内压自增强圆筒。

Claims (4)

1、一种外压自增强圆筒及其设计计算与制造方法，其特征是：通过对圆筒施加外压进行自增强处理，这种圆筒的承载能力p按公式 $\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\ln k_j+\frac{k^2-k_j^2}{2k^2}$ 或 $\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{\ln k_j^2}{\sqrt{3}}+\frac{k^2-k_j^2}{\sqrt{3}{k}^2}$ 确定，考虑安全系数或材料设计系数n后，圆筒的计算厚度t按公式 $t=r_i(k_j\sqrt{\frac{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]\ln k_j^2+\left[\mathrm{\&sigma;}\right]-2p}}-1)$ 或 $t=r_i(k_j\sqrt{\frac{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]\ln k_j^2+\left[\mathrm{\&sigma;}\right]-\sqrt{3}p}}-1)$ 确定，可保证圆筒壁内总应力(操作压力引起的应力与自增强处理后的残余应力之和)的当量应力不大于圆筒材料的屈服强度σ_y；其中k为径比，k＝r_o/r_i、r_o为圆筒外壁面半径、r_i为圆筒内壁面半径、k_j为塑性区深度，k_j＝r_j/r_i、r_j为圆筒弹性区与塑性区界面半径、[σ]为许用应力，[σ]＝σ_y/n。

2、如权利要求1所述的外压自增强圆筒及其设计计算与制造方法，其特征是：k≤k_c时，这种圆筒的塑性区深度按k_j＝k确定，此时其承载能力p按 $\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\ln k$ 或 $\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{2}{\sqrt{3}}\ln k^2$ 确定，即等于全屈服压力，考虑安全系数或材料设计系数n后，圆筒的计算厚度t按公式t＝r_i(e^p/[σ]-1)或 $t=r_i(e^{\sqrt{3}p/2\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}-1)$ 确定；k≥k_c时，塑性区深度k_j按公式 $k^2\ln k_j^2-k^2-k_j^2+2=0$ 确定，此时承载能力p按 $\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{k^2-1}{k^2}=2\frac{p_e}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}$ 或 $\frac{p}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}=\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{k^2-1}{k^2}=2\frac{p_e}{{\mathrm{\&sigma;}}_y}$ 确定，考虑安全系数或材料设计系数n后，圆筒的计算厚度t按 $t=r_i(\sqrt{\frac{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{\left[\mathrm{\&sigma;}\right]-p}}-1)$ 或 $t=r_i(\sqrt{\frac{2\left[\mathrm{\&sigma;}\right]}{2\left[\mathrm{\&sigma;}\right]-\sqrt{3}p}}-1)$ 确定；这样确定圆筒的塑性区深度和承载能力可保证圆筒经自增强处理后整个筒壁内残余应力的当量应力及总应力的当量应力均不大于圆筒材料的屈服强度σ_y；其中k、r_i、[σ]如权利要求1所述，p_e为圆筒不作自增强时的最大弹性承载能力(初始屈服载荷)，k_c为临界径比，等于由公式 $\frac{k^2}{k^2-1}\ln k=1$ 确定的值，即k_c＝2.2184574899167...(包括2.2184574899167...的近似值)。

3、根据权利要求1所述的外压自增强圆筒及其设计计算与制造方法，其特征是：权利要求1所述的特征适用于受内压的自增强圆筒。

4、根据权利要求2所述的外压自增强圆筒及其设计计算与制造方法，其特征是：权利要求2所述的特征适用于受内压的自增强圆筒。

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