CN101510370A - 三项概率分布演示模型的构建方法及其仪器 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种三项概率分布演示模型的构建方法及仪器，主要解决了现有的二项概率分布模型不能演示三项概率分布的问题。该发明利用三项式系数间的相互关系，将其建模为广义杨辉四面体，同时，结合三项概率分布的基本理论及现有的机械工艺水平，设计并制作出能够进行三项概率分布演示的仪器。该仪器包括m个单体，每个单体为一个主管道和三个支管道形成的一体结构，这些单体连接成n层网状立体结构，且每一层的单体个数按照1/2(k+1)(k+2)设置，k＝0，1，2，…n。在最下面一层连接有长管，通过统计长管中弹球的数目，并与三项概率分布的理论值进行对比，直观地表述三项概率分布。本发明具有制作难度较低、工艺精度高以及直观形象的优点，用在概率论教学中的三项概率分布演示。

Description

三项概率分布演示模型的构建方法及其仪器

技术领域

本发明属于教学仪器技术领域，特别涉及一种概率演示仪，可用于概率论的教学中，用来演示三项概率分布。

背景技术

在概率论的教学中，往往会由于知识本身的抽象性而使得学生无法对概率形成比较直观的概念，因此需要使用教学仪器来演示概率的分布或其形成的过程，使学生对概率分布形成直观的理解，达到更好的教学效果。概率演示仪就是为了将概率分布几何化，并结合机械或其它知识，将概率分布的形成过程演示处理，并模拟和观察最终的分布结果。但是，由于概率演示仪设计的难度及其工艺的难度太大，在过去的几十年中，该领域并没有取得太多的成果，没有设计巧妙或新颖的概率演示仪或教学仪器问世。

现在已有的概率演示仪主要是格尔顿钉板模型，其形状如图1所示。格尔顿钉板模型主要用于演示二项概率分布，其制作要求为：钉子与钉子之间的距离相等，即孔的大小相同，且比弹珠的直径大一些；从水平方向看，除了边缘上的钉子以外，每个钉子都处于上一层或下一层中与其相对的孔的中间位置；当弹珠落到某个钉子上后，它只会弹到该钉子最左边或最右边的那个孔中，而且进入这两个孔的概率p和q相等，都为

使用格尔顿钉板模型演示二项概率分布的基本原理为：将钉子从上到下依次标记为第0层到第n层，由于弹珠落到某个钉子上后，只会弹到该钉子最左边或最右边的那个孔中，而且进入这两个孔的概率p和q相等，都为

所以，假如弹珠落在第i层第k个孔的概率为p(i，k)，则弹珠落在第i+1层第k个孔的概率可以表示为：

$p(i+1,k)=\frac{1}{2}p(i,k)+\frac{1}{2}p(i,k-1)$

将该式称为概率转移方程，则结合p(0，0)＝1，可以推导出，弹珠落在第n层，第k(k＝0，1，…，n)个孔的概率为：

$p(n,k)=\frac{C_n^k}{2^n}$

因此，当弹珠的个数很大时，第n层第k个孔下面凹槽中的弹珠数占总弹珠数的频率将趋近于

也即，假若总共有2ⁿ个弹珠，则最终在第n层第k个孔下面凹槽中的弹珠数趋近于

而且，在此过程中，概率转移方程可以表示为：

$\frac{C_{i+1}^k}{2^{i+1}}=\frac{1}{2}\×\frac{C_i^k}{2^i}+\frac{1}{2}\×\frac{C_i^{k-1}}{2^i}$

化简之后，即

$C_n^k=C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1}$

这恰好是二项式定理。同时，二项式定理的几何化模型为杨辉三角，如图2所示。将杨辉三角中的每一行看做一层，并将其从上到下依次标记为第0层到第n层。则对于第i层第k个数字刚好是

而且在杨辉三角中，每一个数都等于其上一层相邻两个数的和，即有，

$C_i^k=C_{i-1}^k+C_{i-1}^{k-1}$

这正是二项式定理。而且，比较杨辉三角这一二项式定理的几何化模型与格尔顿钉板模型之间是一致的。所以，概率分布系数及其几何化模型对于概率分布演示仪的设计是有所启示的。

根据概率论的基本知识可以知道，二项概率分布的表达式为：

$p(n,k)=C_n^k{p}^k{q}^{(n-k)}$

其中，

为二项式系数：

$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

k＝0，1，……，n为状态1的个数，p，q>0且p+q＝1为两个状态各自的概率。当 $p=q=\frac{1}{2}$ 时，p(n，k)就可以表示为：

$p(n,k)=\frac{C_n^k}{2^n}$

这正好与格尔顿钉板模型中弹珠落在第n层第k个孔的概率相等。因此，可以使用格尔顿钉板模型正确地演示 $p=q=\frac{1}{2}$ 时的二项概率分布，使得二项概率分布的教学更加直观形象。而且现在，格尔顿钉板模型作为教学仪器，已经得到了广泛应用。

然而，随着三项概率分布问题的出现，使得概率分布问题更加复杂和抽象。由于格尔顿钉板模型是一个二维演示模型，只能对二项概率分布进行演示，不能对三项概率分布进行演示，因而在教学中三项概率分布问题不利于被学生理解和接受。研制一种三项概率分布演示仪是很有必要的。

发明内容

本发明的目的在于克服二项概率分布演示仪的不足，提供一种三项概率分布演示模型的构建方法及仪器，以实现对三项概率分布的演示，便于学生理解，提高教学质量。

实现本发明目的的技术要点是：推导得出三项式系数间的相互关系，并将其建模为广义杨辉四面体，结合三项概率分布的基本理论及现有的机械工艺水平，设计和制作出合理的且可以实现的三项概率分布演示仪。

一.本发明提供的构建三项概率分布演示模型的方法，包括如下步骤：

1)利用三项式系数

的表达式得出广义杨辉恒等式为：

$D_n^{k,h}=D_{n-1}^{k-1,h}+D_{n-1}^{k,h-1}+D_{n-1}^{k,h}$

其中，三项式系数

表达式为：

$D_n^{k,h}=\frac{n!}{k!h!(n-k-h)!}$

k和h满足：

$\left\{\begin{array}{c}k=\mathrm{0,1,2}......n\\ h=\mathrm{0,1,2}......n\\ k+h\≤n\end{array}\right.$

n为状态出现的总数，k，h分别为前两种状态出现的次数；

2)根据广义杨辉恒等式，将三项式系数建模为四面体形状的几何模型，称为广义杨辉四面体；

3)将广义杨辉四面体模型转化为三项概率分布模型：

$p_{n+1}(k,h)=\frac{1}{2}{p}_n(k,h)+\frac{1}{3}{p}_n(k-1,h)+\frac{1}{3}{p}_n(k,h)$

其中， $p_n(k,h)=D_n^{k,h}{p}^k{q}^h{r}^{(n-k-h)},$

n，k，h与步骤1)中所述相同，

p+q+r＝1且p，q，r>0，为三项分布中三种状态各自出现的概率；

4)根据三项概率分布模型，结合广义杨辉四面体的构造，构建出三项概率分布演示模型的管道连接方式。

二.本发明提供的一种三项分布概率演示仪，包括m个单体和由这些单体构成的n个层间结构，其中每个单体为一个主管道和三个支管道形成的一体结构，这些单体连接成n层网状立体结构，且每一层的单体个数按照

设置，k＝0，1，2，…n。

上述的三项分布概率演示仪，其中构成单体的四个管道长度相同，且它们的端点组成正四面体，在空间成对称分布。

上述的三项分布概率演示仪，其中每个单体的四个管道的一端均固定有开孔圆球，每个单体之间通过开孔圆球连接成网状立体结构。

上述的三项分布概率演示仪，其中第一层的单体主管道下面的三个支管道通过其端部的开孔圆球分别与第二层的三个单体的主管道连接，且三个单体的支管道之间也通过开孔圆球连接，依次类推，第k层的单体主管道下面的支管道通过开孔圆球与第k+1层的单体的主管道连接，且第k+1层的单体的支管道之间通过开孔圆球连接。

将多个弹珠投入最顶端单体的主管道中，然后统计各长管中的弹珠数，得到三项概率分布的统计值，并与三项概率分布的理论值进行对比，就可以直观的理解三项概率分布的物理概念。

本发明具有如下优点：

1)由于本发明设计并制作出了三项概率分布演示仪，使得三项概率分布的教学变得更加直观和形象，将对概率论的教学起到积极的作用。

2)由于本发明使用弹珠的个数来表示实验结果，并使用长管来存储弹珠，因此便可以通过观察长管中弹珠的高度得到三项分布的概貌，并对三项分布形成最为直观的印象。

3)由于本发明在设计过程中综合考虑了现有的工艺水平，因此其制作难度较低，并可以取得较好的工艺精度，易于在概率教学中进行推广和应用。

附图说明

图1是现有的格尔顿钉板模型示意图；

图2是现有的杨辉三角示意图；

图3是本发明三项概率分布演示模型的构建过程图；

图4是本发明中三项系数按字典序排列的“三角”图；

图5是本发明中广义杨辉四面体模型；

图6是用本发明构建的三项概率分布演示仪管道连接示意图；

图7是本发明的三项概率分布演示仪的单体结构图；

图8是本发明的三项概率分布演示仪的整体结构图；

具体实施方式

本发明的核心思想是根据三项式系数及三项概率分布的基本理论推导出三项式系数和三项概率分布满足的递推关系并将其几何化，利用这些递推关系及其几何化后的模型设计出合理的三项概率分布演示仪方案，然后根据现有的机械工艺水平改进该方案，并制作出三项概率分布演示仪的实物。

参照图3，本发明构建三项概率分布演示模型的具体步骤如下：

步骤1，利用三项式系数

的表达式得出三项式系数的递推关系，即广义杨辉恒等式。

1.写出三项式系数

的表达式为：

$D_n^{k,h}=\frac{n!}{k!h!(n-k-h)!}$

2.利用三项式系数的表达式推导广义杨辉恒等式：

$D_{n-1}^{k,h}+D_{n-1}^{k,h-1}+D_{n-1}^{k-1,h}$

$=\frac{(n-1)!}{k!h!(n-1-k-h)!}+\frac{(n-1)!}{k!(h-1)!(n-1-k-h)!}+\frac{(n-1)!}{(k-1)!h!(n-1-k-h)!}$

$=\frac{(n-1)!}{k!h!(n-k-h)!}[(n-k-h)+k+h]$

$=\frac{(n-1)!n}{k!h!(n-k-h)!}$

$=\frac{n!}{k!h!(n-k-h)!}$

$=D_n^{k,h}$

即，三项式系数满足广义杨辉恒等式：

${D_n^{k,h}=D}_{n-1}^{k-1,h}+D_{n-1}^{k,h-1}+D_{n-1}^{k,h}---\left(1\right)$

其中k，h和n满足：

$\left\{\begin{array}{c}k=\mathrm{0,1,2}......n\\ h=\mathrm{0,1,2}......n\\ k+h\≤n\end{array}\right.$

n为状态出现的总数，k，h分别为前两种状态出现的次数。

步骤2，根据广义杨辉恒等式，将三项式系数建模为正四面体形状的几何模型，即广义杨辉四面体。

1.将三项式系数按照字典序排列为“三角”如图4所示。其中，图4(a)为n＝0时的三项式系数排列图，图4(b)为n＝1时的三项式系数排列图，图4(c)为n＝2时的三项式系数排列图，图4(d)为n＝3时的三项式系数排列图，图4(e)为n＝4时的三项式系数排列图，图4(f)为n＝5时的三项式系数排列图。

2.将三项式系数按照n递增的顺序自上而下罗列在一起，就形成了一个正四面体的形状，如图5所示。该正四面体模型为三项式系数的几何化模型，并将其称作广义杨辉四面体。观察广义杨辉四面体，可以看出，每一个三项式系数都等于其“肩上”的三个三项式系数之和，不足三个的补零。例如，第3层中的“6”等于第2层中三个“2”之和。而根据广义杨辉四面体中三项式系数表达式可以看出，这正好是广义杨辉恒等式的几何模型。

步骤3，结合三项概率分布的基本理论，利用广义杨辉恒等式推导出三项概率分布模型。

1.根据概率论的基本知识可以写出基本三项概率分布为：

$p_n(k,h)=D_n^{k,h}{p}^k{q}^h{r}^{(n-k-h)}---\left(2\right)$

p+q+r＝1且p，q，r>0，为三项概率分布中三种状态各自出现的概率，当p＝q＝r＝1/3时，三项概率分布可以表示为：

$p_n(k,h)=\frac{D_n^{k,h}}{3^n};---\left(3\right)$

2.根据广义杨辉恒等式，即(1)式，得到：

$\frac{D_n^{k,h}}{3^n}=\frac{1}{3}\×\frac{D_{n-1}^{k,h}}{3^{n-1}}+\frac{1}{3}\×\frac{D_{n-1}^{k-1,h}}{3^{n-1}}+\frac{1}{3}\×\frac{D_{n-1}^{k,h-1}}{3^{n-1}}---\left(4\right)$

结合(3)式，得到三项概率分布模型：

$p_n(k,h)=\frac{1}{3}{p}_{n-1}(k,h)+\frac{1}{3}{p}_{n-1}(k-1,h)+\frac{1}{3}{p}_{n-1}(k,h-1)---\left(5\right)$

其中，三项式系数

表达式为

$D_n^{k,h}=\frac{n!}{k!h!(n-k-h)!}$

k，h，n满足

$\left\{\begin{array}{c}k=\mathrm{0,1,2}......n\\ h=\mathrm{0,1,2}......n\\ k+h\≤n\end{array}\right.$

n为状态出现的总数，k，h分别为前两种状态出现的次数；p_n(k，h)为n次中前两种状态分别出现k次和h次得到的概率。

步骤4，根据三项概率分布间的关系，结合广义杨辉四面体的构造，设计出三项概率分布演示仪的管道连接关系雏形。

1.构造管道连接的单体来实现等概率的三项概率分布。

由式(3)可知，当p＝q＝r＝1/3时，对于确定的n，三项概率分布的概率p_n(k，h)与其对应的三项式系数成正比。因此可以采用与格尔顿钉板模型相似的想法，利用弹珠的滚动进行实验。但是，这里由于是三项概率分布，具有三个概率，因此需要将某一节点处分出三个管道连接到下一层，并且使弹珠进入这三个管道的概率相同。结合式(4)及广义杨辉四面体，使用如图6(a)所示的结构来实现这一功能。

在图6(a)中，下面的四个管道两两之间的夹角相同，均为109.5°，假若这些管道的长度相同，那么四个管道轴线的定点之间的连线构成正四面体，且四个管道的轴线的交点正好是该正四面体的中心。当弹珠沿着竖直管道的轴线下落时，其随机地进入下面的三个管道中，而且进入任何一个管道的概率都是1/3。为了使弹珠尽可能的沿轴线运动，管道的直径应该比弹珠的直径略大些，这样竖直管道就可以起到校正弹珠运动方向的作用，使弹珠不会由于运动方向的不同使其进入各个管道的概率不同。

2.对管道连接的单体进行扩展，以实现三项概率分布演示仪的管道连接关系雏形。

将图6(a)中所示的单体结构按照广义杨辉四面体的结构依次向下扩展，然后在最后一层各节点的下面接上长管用来存储到达最后一层各节点处的弹珠数，便构成如图6(b)所示的整体结构图。在图6(b)中，所有的节点都是其上一层中“肩上”三个节点的分叉汇集而成。因此，假若弹珠进入第n层某一节点的概率为p_n(k，h)，则有

$p_n(k,h)=\frac{1}{3}{p}_{n-1}(k,h)+\frac{1}{3}{p}_{n-1}(k-1,h)+\frac{1}{3}{p}_{n-1}(k,h-1)$

而p(0，0)＝1，因此可以推导出

$p_n(k,h)=\frac{D_n^{k,h}}{3^n}---\left(6\right)$

比较式(6)和式(3)可知，这正是p＝q＝r＝1/3时的三项分布。因此，当3ⁿ足够大时，到达第n层的每个节点的弹珠数趋近于

因此，通过统计最下面的弹珠数就可以得到三项概率分布统计值，而且能够通过观察长管中弹珠的高度来直观地观察三项概率分布。

步骤5，结合现有的工艺水平，修正三项概率演示仪雏形，使其可以实现和制作，并能成功演示三项概率分布。

1.改造管道连接的单体设计方案，提出开孔圆球连接的单体设计方案。

就现有工艺水平而言，四根管道的直接连接是极其困难的，而且要保证四根管道两两之间的夹角相同是不可能的，因此，图6(b)中所设计的模型是无法实现的，需要根据现有的工艺水平做进一步的改进，提高加工出来的模型的精度。为了使四根管道的连接更加容易实现，将步骤4中的单体设计方案改为如图7所示。在图7中，四根管道间使用一根直径比管道直径大一些的开孔圆球连接形成一个单件。该开孔圆球上有四个圆孔，圆孔中心构成一个正四面体的四个顶点，圆孔在球心及其附近区域形成一个空间对称的连通区域。这种单体构造方案可以保证三个支管道的概率几乎相同。

2.将单体进行扩展，得到最终的三项概率分布演示仪，如图8所示。

参照图8，本发明的三项概率分布演示仪包括m个单体和由这些单体构成的n个层间结构。每个单体为一个主管道1和三个支管道2、3、4形成的一体结构，如图7所示。该四个管道1、2、3、4的长度相同，且它们的端点组成正四面体，在空间成对称分布。每个单体的四个管道的一端均固定有开孔圆球5。

将这些单体连接成n层网状立体结构，且每一层的单体个数按

设置，k＝0，1，2，…n，n的大小根据实验演示要求进行设定，本实施例设为五层。连接时，通过开孔圆球5将各个单体按照广义杨辉四面体连接成网状立体结构，在最顶端的单件下面放三个单件，且单件与单件之间也用开孔圆球连接，这时，开孔圆球上的孔数与九个岔管中就有三对是交在一起的，因此下面一层应有六个出口。再依次装六个单件、装十个单件、十五个单件，依次类推，第k层的单体主管道下面的支管道通过开孔圆球5与第k+1层的单体的主管道连接，且第k+1层的单体的支管道之间通过开孔圆球5连接。在第n层，即最下面的一层中，每个单体的支管道通过相应的开孔圆球5连接有长管6，每个长管6的下端添加有圆柱形的收集槽7。

实验演示时，先将在每个长管6之间穿入开孔平板8，对长管进行固定，以增加该模型的稳定性。然后将多个弹珠从顶端单体的主管道放入该n级三项概率演示仪内，在第i级岔口处依同一概率1/3分别流向三个方向，最终这些弹球都落入长管内，通过观察长管内弹球的数目，就能对三项概率分布形成最为直观的印象。实验结束后，将长管从这些收集槽中提出后，弹珠就落入了收集槽中，具体统计收集槽中弹球的数目，并与三项概率分布的理论值进行对比，就能够直观地表述三项概率分布。

上述三项概率分布演示仪的结构只是本发明的一个具体实例，并不构成对本三项概率分布演示仪发明的任何限制。显然，任何人在了解了本发明的设计思想后，都可以做出对该三项概率分布演示仪的改进，这些都应该属于本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种三项概率分布演示模型的构建方法，包括如下步骤：

1)利用三项式系数

的表达式，得出广义杨辉恒等式为：

$D_n^{k,h}=D_{n-1}^{k-1,h}+D_{n-1}^{k,h-1}+D_{n-1}^{k,h},$

其中，三项式系数

表达式为：

$D_n^{k,h}=\frac{n!}{k!h!(n-k-h)!}$

k和h满足：

$\left\{\begin{array}{c}k=\mathrm{0,1,2}......n\\ h=\mathrm{0,1,2}......n\\ k+h\≤n\end{array}\right.$

n为状态出现的总数，k，h分别为前两种状态出现的次数；

2)根据广义杨辉恒等式，将三项式系数建模为正四面体形状的几何模型，称为广义杨辉四面体；

3)将广义杨辉四面体模型转化为三项概率分布模型：

$p_{n+1}(k,h)=\frac{1}{3}{p}_n(k,h)+\frac{1}{3}{p}_n(k-1,h)+\frac{1}{3}{p}_n(k,h)$

其中，

$p_n(k,h)=D_n^{k,h}{p}^k{q}^h{r}^{(n-k-h)},$

n，k，h与步骤1)中所述相同，

p+q+r＝1且p，q，r>0，为三项分布中三种状态各自出现的概率；

4)根据三项概率分布模型，结合广义杨辉四面体的构造，构建出三项概率分布演示模型的管道连接方式。

2.根据权利要求1所述的方法，其中步骤3)所述的”将广义杨辉四面体模型转化为三项概率分布模型”，按照如下步骤进行：

(2a)根据概率论的基本知识写出基本三项概率分布为：

$p_n(k,h)=D_n^{k,h}{p}^k{q}^h{r}^{(n-k-h)},$

式中，p+q+r＝1且p，q，r>0，为三项概率分布中三种状态各自出现的概率；

(2b)设定等概率情况下，即当p＝q＝r＝1/3时，将三项概率分布表示为：

$p_n(k,h)=\frac{D_n^{k,h}}{3^n}$

式中，为三项式系数，满足广义杨辉恒等式 $D_n^{k,h}=D_{n-1}^{k-1,h}+D_{n-1}^{k,h-1}+D_{n-1}^{k,h};$

(2c)根据广义杨辉恒等式将上述三项概率分布表示为：

$\frac{D_n^{k,h}}{3^n}=\frac{1}{3}\×\frac{D_{n-1}^{k,h}}{3^{n-1}}+\frac{1}{3}\×\frac{D_{n-1}^{k-1,h}}{3^{n-1}}+\frac{1}{3}\×\frac{D_{n-1}^{k,h-1}}{3^{n-1}}$

即 $p_n(k,h)=\frac{1}{3}{p}_{n-1}(k,h)+\frac{1}{3}{p}_{n-1}(k-1,h)+\frac{1}{3}{p}_{n-1}(k,h-1),$

式中，三项式系数为广义组合：

$D_n^{k,h}=\frac{n!}{k!h!(n-k-h)!}$

k和h满足

$\left\{\begin{array}{c}k=\mathrm{0,1,2}......n\\ h=\mathrm{0,1,2}......n\\ k+h\≤n\end{array}\right.$

n为状态出现的总数，k，h分别为前两种状态出现的次数；p_n(k，h)为n次中前两种状态分别出现k次和h次得到的概率。

3.根据权利要求1所述的方法，其中步骤4)所述的“根据三项概率分布模型，结合广义杨辉四面体的构造，构建出三项概率分布演示模型的管道连接方式”按照如下步骤进行：

(3a)根据三项分布的概率p_n(k，h)与其对应的三项系数

的正比关系，确定利用弹珠的滚动对三项概率分布演示；

(3b)根据三项概率分布的等概率特点，在一根管道的节点处分出三个管道，并要满足弹珠进入该三个管道的概率相同；

(3c)根据步骤(3b)设计出由一个主管道分出三个支管道的演示模型单体结构；

(3d)按照广义杨辉四面体的结构，将单体结构放置在对应的位置，构建出三项概率分布演示模型的管道连接方式。

4.一种三项分布概率演示仪，包括m个单体和由这些单体构成的n个层间结构，其特征在于每个单体为一个主管道(1)和三个支管道(2)、(3)、(4)形成的一体结构，这些单体连接成n层网状立体结构，且每一层的单体个数按照

设置，k＝0，1，2，…n。

5.根据权利要求4所述的三项分布概率演示仪，其特征在于构成单体的四个管道(1)、(2)、(3)、(4)长度相同，且它们的端点组成正四面体，在空间成对称分布。

6.根据权利要求5所述的三项分布概率演示仪，其特征在于每个单体的四个管道的一端均固定有开孔圆球(5)。

7.根据权利要求1或6所述的三项分布概率演示仪，其特征在于每个单体之间通过开孔圆球(5)连接成网状立体结构。

8.根据权利要求7所述的三项分布概率演示仪，其特征在于第一层的单体主管道下面的三个支管道通过其端部的开孔圆球(5)分别与第二层的三个单体的主管道连接，且三个单体的支管道之间也通过开孔圆球(5)连接，依次类推，第k层的单体主管道下面的支管道通过开孔圆球(5)与第k+1层的单体的主管道连接，且第k+1层的单体的支管道之间通过开孔圆球(5)连接。

9.根据权利要求4所述的三项分布概率演示仪，其特征在于第n层每个单体的支管道通过相应的开孔圆球(5)连接有长管(6)，每个长管(6)的下端添加有圆柱形的收集槽(7)。

10.根据权利要求9所述的三项分布概率演示仪，其特征在于每个长管(6)之间通过开孔平板(8)固定。

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