CN101008937B - 提高有限域上乘法以及大矩阵消元的计算速度的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种提高有限域上乘法的计算速度的方法，包括以下步骤：步骤1.在有限域中选取一个子域，使得该子域中的元素个数、存储该子域中的元素所需的字节数与该有限域对于该子域的扩张次数的积小于计算机高速缓存的容量；步骤2.选取该有限域对所述子域的一组基；步骤3.根据该组基和需要计算乘法的元素计算出乘法辅助表，将该乘法辅助表保存在计算机高速缓存中；步骤4.查询计算机高速缓存中的乘法辅助表，根据查询结果进行乘法结果计算，将计算结果保存作为乘法结果值。本发明还涉及一种基于上述方法的提高有限域大矩阵消元的计算速度的方法。由于考虑到计算机高速缓存的容量，本发明大幅度提高了上述两种计算的计算速度。

Description

提高有限域上乘法以及大矩阵消元的计算速度的方法

技术领域

本发明涉及一种提高有限域上乘法的计算速度的方法以及基于此方法的提高有限域上高斯消元的计算速度的方法。

背景技术

在密码学、编码理论和应用数学等许多领域中，经常会遇到求解有限域上线性方程组和矩阵的秩的问题，例如，在多变量公钥密码和流密码的设计与分析中，著名的XL算法中的关键步骤是求解一个规模很大的线性方程组；在应用数学的组合设计中，为了判别两个设计的不同构，我们要计算两个设计的关联矩阵的秩等等。许多时候，我们需要求解有限域上大规模线性方程组和大规模矩阵的秩。高斯消元是求解矩阵的秩和求解线性方程组的通用方法。而在上述密码学、编码理论和应用数学等领域的问题中，由于运算涉及的矩阵往往规模十分庞大，因此，必须要要借助计算机才能完成它们的高斯消元。

高斯消元的一个典型步骤是将矩阵(或线性方程组的系数矩阵或增广矩阵)的某一行(比如说第i行)的a倍加到另一行(比如说第j行)上去，其中a是这两行第一个非零元素之比的相反数。在计算机上实现高斯消元时，加法通常是很快的。因此有限域上的乘法(即第i行的所有非零元素乘以a)是消元算法中的瓶颈运算，特别是当矩阵的列数很大的时候。

因此，通过计算机快速的实现有限域上的乘法对于密码学、编码理论和应用数学等众多领域具有十分重要的意义。

在现有的有限域上乘法的计算机实现方法中，通常采用先构建有限域上乘法表，再通过查表的方式实现两个元素之间的乘法运算。而在现有的计算机的内存和计算能力有限的情况下，直接构造一个较大域上完全的乘法表几乎是不可行的，比如，要构造GF(2¹⁶)上的乘法表将大约4G的存储空间，因此，实现有限域上的乘法运算通常有以下方法：

1.用有限域E的本原元表示E中的元素，建立本原元关于各元素的指数表和对数表。需要的存储空间为E元素个数与每个元素所需存储空间的2倍。例如GF(2¹⁶)指数表与对数表需要的空间为256KB。计算GF(2¹⁶)上乘法需要查2次对数表，一次指数表，一次异或。

2.用相伴矩阵表示E上的元素，用矩阵乘法计算E上的乘法。空间与时间复杂度较大。

3.构造E的某适当子域上的乘法表，通过查子域上的乘法表计算E上的乘法。例如GF(2¹⁶)上构造子域GF(2⁸)需要的空间为256KB。计算GF(2¹⁶)上乘法需要查4次乘法表，3次异或。

另外，在计算机进行计算处理时，由于CPU的速度比内存和硬盘的速度要快得多，所以在存取数据时会使CPU等待，而影响计算机的速度。高速缓存(Cache)的存取速度比其它内存和硬盘都要快，所以它被用作先于内存与CPU交换数据。一级高速缓存(L1 Cache)是CPU第一层高速缓存。内置的一级高速缓存的容量和结构对CPU的性能影响较大，不过高速缓冲存储器均由静态RAM组成，结构较复杂，在CPU管芯面积不能太大的情况下，一级高速缓存的容量不可能做得太大。一般一级高速缓存的容量通常在32-256KB。二级高速缓存(L2 Cache)是CPU的第二层高速缓存，分内部和外部两种芯片。内部的芯片二级缓存运行速度与主频相同，而外部的二级缓存则只有主频的一半。二级高速缓存容量也会影响CPU的性能，原则是越大越好，现在普通台式机CPU的二级缓存一般为128KB到2MB或者更高，笔记本、服务器和工作站上用CPU的二级高速缓存最高可达1MB-3MB。

而在上述现有的在现有的有限域上元素乘法计算方法时，并没有考虑计算机高速缓存与内存的差异性能问题，在乘法计算过程中构造出的二维表的大小往往超过高速缓存的容量，而不得不存储在内存中。导致在调用上述二维表时，CPU需要在内存中读取上述二维表数据，速度较慢，浪费了大量的CPU工作时间。

发明内容

本发明目的在于：克服上述现有的有限域上乘法计算机的实现方法中存在的缺陷，提高有限域上乘法运算计算机实现时的速度。另一目的在于在解决在提高有限域上乘法运算计算机实现时的速度后，实现计算机可执行的高速有限域上大矩阵的消元。

为实现上述目的，本发明提供了一种提高有限域上乘法的计算速度的方法，包括以下步骤：

步骤1、在有限域中选取一个子域，使得该子域中的元素个数、存储该子域中的元素所需的字节数与该有限域对于该子域的扩张次数的积小于计算机高速缓存的容量；

步骤2、在该子域上取该有限域对于子域的扩张次数次的首一不可约多项式；在该有限域上计算出一代数元，满足该代数元为所述首一不可约多项式的解，则选取该解的零次，到该有限域对于子域的扩张次数减一次幂，构成该有限域对所述子域的一组基；

步骤3、根据该组基和需要计算乘法的元素计算出乘法辅助表，将该乘法辅助表保存在计算机高速缓存中；

步骤4、查询计算机高速缓存中的乘法辅助表，进行乘法结果计算，将计算结果保存作为乘法结果值。

本发明还提供了一种提高有限域上大矩阵消元的计算速度的方法，包括以下步骤：

在对矩阵进行消元的过程中，需要对矩阵第i行乘以一个元素a后加到第j行时，所述元素a与矩阵第i行每一个非零元素进行的乘法运算采用本发明提供的有限域上乘法计算机的实现方法实现。

本发明具有以下优点：

利用计算机高速缓存与CPU数据交换迅速的特性，在有限域上元素乘法以及有限域上大矩阵消元的计算机实现过程中构造出的可以完全存储入高速缓存的乘法辅助表，节省了CPU查询上述乘法辅助表的时间，大幅度提高了有限域上乘法以及大矩阵消元的计算机实现速度。

附图说明

图1为本发明有限域上乘法的计算机实现方法实施例的流程图。

具体实施方式

下面通过附图和实施例，对本发明的技术方案做进一步的详细描述。

如图1所示，为本发明有限域上乘法的计算机实现方法的流程图，包括如步骤：

步骤1、根据下述条件选取有限域的一个子域：该子域中的元素个数、存储该子域中的元素所需的字节数以及该有限域对于子域的扩张次数之积小于计算机高速缓存的容量；

步骤2、选取该有限域对所述子域的一组基；

步骤3、根据该组基、需要计算乘法的元素以及计算机高速缓存容量计算出乘法辅助表，将该乘法辅助表保存在计算机高速缓存中；

步骤4、查询计算机高速缓存中的乘法辅助表，进行乘法结果计算，将计算结果保存作为乘法结果值。

也就是说，在步骤1中，选取了有限域E的一个子域F，使得

l·|F|·Byte_E＜Cap_cachel    (1)

这里l是E对F的扩张次数，表示E是F的l次扩域，|F|表示F的大小，即F中元素的个数，Byte_E是存储E中一个元素所需的字节数，Cap_cachel表示计算机一级高速缓冲存储器(Cache)的容量(字节数)。

由于在初始时就考虑了计算机高速缓存的容量，因此，步骤4构造出的乘法辅助表可以被完全存放在计算机高速缓存中，在接下来查询该乘法辅助表的过程中，可以保证CPU只需要从高速缓存中读取数据，提高了计算速度。步骤3中构造乘法辅助表的方法，可以采用现有的构造方法(如构造子域上的乘法表为乘法辅助表，相应地，步骤4也可以根据现有的方法实现)。但是，当乘法计算涉及的有限域E的子域F较大并且有限域E对于子域F的扩张次数l较小时，采用现有的构造方法构造出的乘法辅助表需要占有的存储空间较大，可能超过计算机高速缓存的容量。

以上所述的高速缓存可以为一级高速缓存或二级高速缓存，或者其它可以与CPU进行高速数据交换的存储模块。

假设{u₀，u₁，...，u_l-1}是E对F的一组基，则E中的任意一个元素a都可以表示成

a＝a₀u₀+a₁u₁+...+a_l-1u_l-1，

其中a₀，a₁，...，a_l-1∈F。设b＝b₀u₀+b₁u₁+...+b_l-1u_l-1是E中的另一个元素，其中b₀，b₁，...，b_l-1∈F，则

a·b＝b₀u₀a+b₁u₁a+...+b_l-1u_l-1a。

因此，乘法辅助表可以采用以下方式构造，也就是说步骤3可以具体为：

计算所有u_kza(整数k从1到l-1，z取遍F所有元素)，并将他们存储为一个二维表，并将该二维表做为乘法辅助表保存在计算机高速缓存中；

其中，a用来表示有限域上需求解乘积的两个元素中的一个元素；

F表示该有限域的子域；

{u₀，u₁，...，u_l-1}表示有限域对F的一组基；

l表示有限域对于子域的扩张次数。

那么，当b＝b₀u₀+b₁u₁+...+b_l-1u_l-1是有限域上需求解乘积的两个元素中的另一个元素时，由于，a·b＝b₀u₀a+b₁u₁a+...+b_l-1u_l-1a，可以通过查询上述乘法辅助表计算a·b，也就是说，步骤4为：查询所述乘法辅助表对应于(0，b₀)，(1，b₁)，...，(l-1，b_l-1)的项，并将它们求和，将结果保存作为乘法结果值。

另外，E对F的基的选取有多种方法。一个广泛应用的方法是多项式基，即取F上一个首项系数为1的l次不可约多项式f(x)，并令u_k＝x^k(mod f(x))(k从0到l-1)。在本实施例中，采用多项式基的方法选取E对F的基。步骤2可以具体为：

在该子域上取该有限域对于子域的扩张次数次的首一不可约多项式；在该有限域上计算出一代数元，满足该代数元为所述首一不可约多项式的解，则选取该解的零次，到该有限域对于子域的扩张次数减一次幂，构成该有限域对所述子域的一组基。

也就是说，取子域(设为F，需要计算a，b乘积的有限域设为E)上一个l次首一不可约多项式其中c_l＝1，计算出E上的代数元β，满足f(β)＝0。则，{β⁰，β¹，…，β^l-1}为该有限域(E)对所述子域(F)的一组基，l表示有限域对于子域的扩张次数。

因此，当是有限域上需求解乘积的两个元素中的一个元素时，步骤3可以为：

步骤31、对于所有z∈F，计算元素

步骤32、将步骤31中计算出元素以j为行标识或列标识以二维表的形式保存为一个在高速缓存中，做为乘法辅助表；

其中，

其中c_l＝1表示所述的首一不可约多项式；

β表示满足f(β)＝0的代数元；

l表示有限域对于子域的扩张次数；

e_ij或者为0，或者为a_k与c_m的代数表达式(k，m＝0…l-1)。

相应地，当

是有限域上需要求解乘积的两个元素中的另一个元素时，由于只需求解g(β)模f(β)的余式r(β)即可计算出a与b的乘积。

设

其中

即

进一步可以将r(β)表示为

因此，只需查询乘法辅助表，查找出

并对它们求和，计算出

可以看出，该方法所构造出的乘法辅助表中的元素个数为l·|F|个所需的存储空间为l·|F|·Byte_E，其中，Byte_E表示本方法为E上每个元素所占的存储空间。而现有技术构造出的乘法辅助表需要占有的存储空间为|F|²·Byte_E＝|F|·l^-1·|F|·Byte_F，因此，对于某些较大的子域F和较小的l，现有技术构造出的乘法辅助表需要占有的存储空间大于本实施方式提供的上述构造方法所构成出的乘法辅助表需要占有的存储空间，并且有可能大于计算机的一级高速缓存。因此，对于这样的F，现有技术构造出的乘法辅助表不能完全放入计算机的一级Cache中，必须要在二级或三级Cache或在内存中执行查表操作。此时本发明方法更显出速度上的优势。因为本发明的所有查表都是在一级(或二级)Cache中进行的，而读一级Cache中数据通常比二级Cache快5倍左右，比读内存中的数据快一个到两个数量级。

另外，本发明的有限域上乘法的计算机实现方法也可以减少相关的运算次数，特别是当它用于大矩阵的消元时。比如使用现有的查基域上的乘法计算方法做矩阵消元，通过查基域上的乘法表计算

得到a·b，不妨设计算平均需要查t次基域上的乘法表。那么将b乘以矩阵第k行需要的查表次数为k·l·n(n是定义在E上待消元的矩阵的列数)。使用本发明提供的有限域上乘法的计算机实现方法进行消去时，预计算乘法辅助计算表的需要查表t·m·|F|次。而用b乘以矩阵第k行时查表次数为m·n。总的查表次数为t·m·|F|+m·n。当

时，本发明提供的有限域上乘法的计算机实现方法能使查表次数减少。所需要的加法次数与查表次数类似，也将相应地减少。另外，当基域上的乘法表无法完全放入计算机的一级Cache中时，必须要在二级或三级Cache或在内存中执行查表操作。那么使用本发明提供的有限域上乘法的计算机实现方法更可以体现速度上的优势。因为查表都是在一级Cache中操作。而通常在一级Cache中操作通常比在内存中的同样操作快一个数量级。

下面以有限域E＝GF(2¹⁶)为例，进一步对本发明有限域上乘法的计算机实现方式进行说明：

E＝GF(2¹⁸)是含2¹⁶个元素的有限域，a，b为该有限域E上需计算乘积a·b的两个元素。

选取F＝GF(2⁸)，选取l＝2。此时l·|F|·Byte_E小于计算机的一级Cache容量，而|F|·l^-1·|F|·Byte_E大于一级Cache容量。

选取F中的一个元素c₀，它在GF(2¹⁶)对GF(2⁸)的迹映射下的像是1。令f(x)＝x²+x+c₀，u₀＝1，u₁＝x(mod f(x))(换句话说，此时，u₁＝x(modf(x))，即为满足f(β)＝0的代数元，而u₀＝1＝β⁰，u₁＝x(mod f(x))＝β，因此{u₀，u₁}是E对F的一组基)。设a＝a₀+a₁u₁(a₀，a₁属于F)，则乘法辅助表(T_a表示)由全部za₀+u₁za₁和c₀za₁+u₁z(a₀+a₁)(z属于F)组成。并且E中每个元素都各占两个字节，即Byte_E＝2，T_a大小为1024字节，存储在一级高速缓存中。

对于E的一个元素b＝b₀+b₁u₁，计算a·b时，由CPU查询表T_a，得到a₀b₀+a₁u₁b₀和a₁c₀b₁+(a₀+a₁)u₁b₁，再由CPU对这两个结果进行一次异或(即求和)，即得到结果。

上述方法分别求解a₀b₀，a₁b₁u，a₀b₁，(b₀+b₁)a₁，然后异或a₀b₀+a₁b₁u与a₀b₁+(b₀+b₁)a₁。共需要3次异或，4～5次查表(a₀b₀，a₁b₁u()，a₀b₁，(b₀+b₁)a₁共4次查表。如果没有另外构造a₁与b₁u的乘法表，那么就要先查表求a₁b₁然后再查表求a₁b₁u共5次查表)。

本发明还涉及一种有限域上大矩阵消元的计算机实现方法，它以上述有限域上乘法的计算机实现方法为基础，在对矩阵进行消元的过程中，需要对矩阵第i行乘以一个元素a后加到第j行时，所述元素a与矩阵第i行每一个非零元素进行的乘法运算采用本发明有限域上乘法的计算机实现方法实现。由于在有限域上大矩阵消元时需要涉及大量的元素乘法运算，因此，采用上述方法可以有效的提高消元的速度。

对于小规模的乘法来说，采用本发明有限域上乘法的计算机实现的实施方式构造乘法辅助表是没有必要，因为构造乘法辅助表本身也需要消耗CPU时间。而在矩阵第i行乘以一个元素a后加到第j行时，由于矩阵第i行所有元素都需要乘以元素a，因此，在对矩阵进行消元的过程中，需要对矩阵第i行乘以一个元素a后加到第j行时，可以根据元素a计算乘法辅助表。也就是说，根据预先计算的一组基、计算机高速缓存容量以及元素a计算的乘法辅助表，由于该乘法辅助表可以被反复利用，因而提高了矩阵消元的速度。

另外在做有限域上的大矩阵消元时，该有限域是固定的，因此，只需对该有限域选取一次子域以及子域上的基即可。也就是说，在进行矩阵消元前，根据下述条件选取有限域的一个子域：该子域中的元素个数、存储该子域中的元素所需的字节数以及该有限域对于子域的扩张次数之积小于计算机高速缓存的容量，选取该有限域对所述子域的一组基，存储该子域以及该组基。当采用本发明一种有限域上乘法的计算机实现方法实现矩阵消元中的乘法运算时只需查询该子域以及该组基，计算乘法辅助表，进行乘法结果计算，将计算结果保存作为乘法结果值即可。下面，通过实验结果来说明：

在E＝GF(2¹⁶)是含2¹⁶个元素的有限域上需要要对E上一个92700×92659矩阵进行高斯消元(这个问题来自于对多变量公钥密码体制MFE的代数攻击)。使用DELL PowerEdge 7250计算机(满配，4颗Itanium2处理器，32G内存，16KB一级数据Cache)进行高斯消元。采用本发明的有限域上大矩阵消元的计算机实现方法，在258小时以内(不到11天)完成了高斯消元，而使用现有方法完成该高斯消元的实验所需时间为52天。为完成一次消元，使用本发明方法和使用现有技术方法分别需要1024+2n’和4n’次查表，后者几乎是前者的2倍。实际上，前者的查表在一级Cache中完成，后者大部分查表需要从二级Cache中读取数据(现有技术)，因此前者的速度提高了不仅仅1倍，而是提高了接近4倍。

最后应说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非对本发明的技术方案进行限制，尽管参照上述的实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解：依然可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而这些修改或替换依然不脱离本发明技术方案的精神和范围。

Claims (9)

1.一种提高有限域上乘法的计算速度的方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、在有限域中选取一个子域，使得该子域中的元素个数、存储该子域中的元素所需的字节数与该有限域对于该子域的扩张次数的积小于计算机高速缓存的容量；

步骤2、在该子域上取该有限域对于子域的扩张次数次的首一不可约多项式；在该有限域上计算出一代数元，满足该代数元为所述首一不可约多项式的解，则选取该解的零次，到该有限域对于子域的扩张次数减一次幂，构成该有限域对所述子域的一组基；

步骤3、根据该组基和需要计算乘法的元素计算出乘法辅助表，将该乘法辅助表保存在计算机高速缓存中；

步骤4、查询计算机高速缓存中的乘法辅助表，根据查询结果进行乘法结果计算，将计算结果保存作为乘法结果值。

2.根据权利要求1所述的提高有限域上乘法的计算速度的方法，其特征在于，所述的高速缓存为一级高速缓存或二级高速缓存。

3.根据权利要求1所述的提高有限域上乘法的计算速度的方法，其特征在于，步骤3为：计算所有u_kza，并将他们存储为一个二维表，并将该二维表做为乘法辅助表保存在计算机高速缓存中；

其中，所述k为整数且k从1到l-1，z取遍F所有元素；所述a用来表示有限域上需求解乘积的两个元素中的一个元素；

F表示所述子域；

{u₀，u₁，...，u_l-1}表示所述有限域对F的一组基；

l表示有限域对于子域的扩张次数。

4.根据权利要求3所述的提高有限域上乘法的计算速度的方法，其特征在于，当b＝b₀u₀+b₁u₁+...+b_l-1u_l-1是有限域上需求解乘积的两个元素中的另一个元素时，步骤4为：查询所述乘法辅助表对应于(0，b₀)，(1，b₁)，...，(l-1，b_l-1)的项，并将它们求和，将结果保存作为乘法结果值。

5.根据权利要求1所述的提高有限域上乘法的计算速度的方法，其特征在于，设

是有限域上需求解乘积的两个元素中的一个元素，步骤3具体为：

步骤31、对于所有z∈F，计算元素

步骤32、将步骤31中计算出的元素

以j为行标识或列标识以二维表的形式保存在高速缓存中，做为乘法辅助表；

所述子域用F表示；

表示所述的首一不可约多项式，其中c_l＝1；

β表示所述的代数元，满足f(β)＝0；

l表示有限域对于子域的扩张次数；

e_ij或者为0，或者为a_k与c_m的代数表达式，其中(k，m＝0...l-1)。

6.根据权利要求5所述的提高有限域上乘法的计算速度的方法，其特征在于，当

是有限域上需要求解乘积的两个元素中的另一个元素时，步骤4具体为：查询所述乘法辅助表，查找出

并对它们求和，计算出

7.一种提高有限域上大矩阵消元的计算速度的方法，其特征在于，在对矩阵进行消元的过程中，需要对矩阵第i行乘以一个元素a后加到第j行时，所述元素a与矩阵第i行每一个非零元素进行的乘法运算采用权利要求1-7任一方法实现。

8.根据权利要求7所述的提高有限域上大矩阵消元的计算速度的方法，其特征在于，在对矩阵进行消元的过程中，需要对矩阵第i行乘以一个元素a后加到第j行时，根据元素a计算乘法辅助表。

9.根据权利要求7或8所述的提高有限域上大矩阵消元的计算速度的方法，其特征在于，在步骤2之后，该方法还进一步包括：存储所述子域以及该组基。

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