CN100457026C - 头部表面高阶Laplacian测量方法 - Google Patents

Abstract

头部表面高阶Laplacian测量方法，涉及生物信息技术领域，特别涉及脑电的皮层高分辨成像技术，主要应用于人脑功能及与人脑相关疾病的研究与诊断。本发明包括以下步骤：1.确定球模型的半径r、各层同心环电极与z轴的夹角Δθ，2Δθ；2.通过各层同心环电极记录局部头表电位U_Δθ，U_2Δθ；3.计算各层同心环上的平均电位；4.计算球面高阶Laplacian。本发明的有益效果是：利用球模型计算局部头表电位的二阶导数，更符合大脑的真实形状；利用同心环记录局部头表电位，通过环上的平均电位可得到更稳健的计算结果。

Description

头部表面高阶Laplacian测量方法

技术领域

本发明涉及生物信息技术领域，特别涉及脑电的皮层高分辨成像技术。

背景技术

头表Laplacian具有以下性质：1.它是一个标量，因此它的地形图分布易于表示，如同头表电位一样；2.地形图与参考电极无关，它的估计也不需要头模型的内部细节；3.与电位分布相比，Laplacian可以近似地被解释为从头皮进入颅骨的电流密度，因此又将其称为电流密度图(Current density map)；4.仿真实验表明，它近似地正比于皮层表面的电位，因此有的文献也笼统地称其为一种皮层成像技术。由于这些性质，使得表面Laplacian近年来在技术和应用两个领域得到很大重视。

由于表面Laplacian能提供不同的、也许是更加局部化的源信息。近年来，人们已发展了许多从表面电位记录推算Laplacian的方法。但是，一方面这种推算本身存在误差，另一方面，这种推算的结果，从理论上并没有增加任何比电位本身更多的原始信息。因此，人们希望了解直接测量Laplacian的可行性和优越性。

当前常用的表面Laplacian测量方法有：5电极阵列法(HjorthB，1975，An online transformation of EEG scalp potentials into orthogonalsource derivations.Electroenceph clin Neurophysiol，39，526～530)，同心环电极法(B.He，and RJ Cohen，Body surface Laplacian mapping inman，IEEE EMBS 13(2)，pp.1179-1191，1992)，这两种技术都是2阶方法。最近也有人提出了高阶方法(W.G Besio，R Aakula，W.Dai comparisionof Bipolar vs.Tripolar Concentric Ring Electrode Laplacian Estimates，Proceedings of the 26^th Annual International Conference of the IEEEEMBS，2004)等。然而所有这些测量方法都是针对平面问题而建立的。

但总的来说，这些测量方法都主要基于差分近似法估计头表电位局部的二阶导数。且在求导数的过程中，都将局部头表区域视为二维平面，没有考虑到大脑实际的生理形状。而大脑的真实形状一般应近似为三维球面而不是二维平面，因此这些基于二维平面近似建立的，测量局部二阶导数的方法精度有限，所得到的结果可能与实际不符。与这些技术不同的是，本技术强调三维球模型情况下的高阶Laplacian测量方法。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是，对头部表面表提供一种基于球面上的高阶Laplacian测量方法，通过更真实的模型，能获得更加符合生理条件的结果。

本发明解决所述技术问题采用的技术方案是，头部表面高阶Laplacian测量方法，包括以下步骤：

a、根据头部表面形状，构造一个球模型，在点U₀周围安放两层同心环电极，各环电极的总面积与顶点电极的面积相同；

b、确定球模型的半径r及各层同心环电极与z轴的夹角Δθ，2Δθ；

c、通过各层同心环电极记录局部头表电位U_Δθ，U_2Δθ；

d、计算各层同心环上的平均电位

e、由下式计算球面高阶Laplacian：

${\▿}^2\≈\frac{16(\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{U}_{\mathrm{\Δ\θ}}\mathrm{d\θ}-U_0)-(\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{U}_{2\mathrm{\Δ\θ}}\mathrm{d\θ}-U_0)}{2r^2{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^2}+O\left({\mathrm{\Δ\θ}}^4\right)$

其中，误差O(Δθ)为：

$\frac{{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^4}{r^2}[\frac{1}{90}\frac{{\∂}^{6}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^8}+\frac{{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^2}{1008}\frac{{\∂}^{8}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^8}+\·\·\·-\frac{1}{6}\frac{{\∂}^{3}U}{\∂{\left(\ln \cos \mathrm{\θ}\right)}^3}+\frac{5{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^2}{48}\frac{{\∂}^{4}U}{\∂{\left(\ln \cos \mathrm{\θ}\right)}^4}-\·\·\·]$

本发明的有益效果是：

1.利用球模型计算局部头表电位的二阶导数，更符合大脑的真实形状。

2.利用同心环记录局部头表电位，通过环上的平均电位可得到更稳健的计算结果。

3.现有技术将球作平面近似时，没有考虑一阶导数项

本发明采用更接近头的真实形状的球模型，从理论上保证了可得到更高的计算精度。

以下结合附图和具体实施方式对本发明做进一步的说明。

附图说明

图1.本发明所述的同心环电极图(以4阶精度为例)。

图2为第一个数值检验图，检验结果显示ln cos(2Δθ)≈4ln cos(Δθ)，Δθ＝[1°∽30°]。

图3为第二个数值检验图，检验结果显示ln cos(Δθ)≈-0.5(Δθ)²，Δθ＝[1°∽30°]。

图4为本发明高阶Laplacian的计算步骤示意图。

具体实施方式

参见图1-4。通过在某点U₀周围安放两层同心环电极(要求各环电极的总面积与顶点电极的面积相同)，，分别记录各层同心环上的电位值，然后便可近似求出局部位置U₀的二阶导数。

为便于说明，假设原点位于球心的直角坐标系的z-轴。通过我们的关注点U₀，则在相应的球坐标系中，球面上的Laplacian的表达式为(Yao D.High-resolution EEG mapping：a radial-basis function basedapproach to the scalp Laplacian estimate Clinical Neurophysiology 113(2002)956-967)：

${\▿}^{2}U=\frac{1}{r^2\sin \mathrm{\θ}}\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}\left(\sin \mathrm{\θ}\frac{\∂U}{\∂\mathrm{\θ}}\right)$

$=\frac{1}{r^2\sin \mathrm{\θ}}[\sin \mathrm{\θ}\frac{{\∂}^{2}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^2}+\cos \mathrm{\θ}\frac{\∂U}{\∂\mathrm{\θ}}]$

$=\frac{1}{r^2}[\frac{{\∂}^{2}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^2}+\frac{\cos \mathrm{\θ}}{\sin \mathrm{\θ}}\frac{\∂U}{\∂\mathrm{\θ}}]$

$=\frac{1}{r^2}[\frac{{\∂}^{2}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^2}-\frac{\∂U}{\frac{\∂\left(\cos \mathrm{\θ}\right)}{\cos \mathrm{\θ}}}]$

$=\frac{1}{r^2}[\frac{{\∂}^{2}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^2}-\frac{\∂U}{\∂\left(\ln \cos \mathrm{\θ}\right)}]---\left(1\right)$

根据泰勒公式，对任意一个在x0的某个开区间(a，b)内n+1阶可导的函数，均可近似地表示为：

$U\left(x\right)=U\left(x_0\right)+\frac{(x-x_0)}{1!}{U}^1\left(x_0\right)+\frac{{(x-x_0)}^2}{2!}{U}^2\left(x_0\right)+\·\·\·+\frac{{(x-x_0)}^n}{n!}{U}^n\left(x_0\right)$

因此，在本方法中，对各层同心环利用泰勒展开式可得：

$U_{\mathrm{\Δ\θ}}=U_0+\frac{\mathrm{\Δ\θ}}{1!}\frac{\∂U}{\∂\mathrm{\θ}}+\frac{{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^2}{2!}\frac{{\∂}^{2}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^2}+\·\·\·+\frac{{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^n}{n!}\frac{{\∂}^{n}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^n}$

$U_{2\mathrm{\Δ\θ}}=U_0+\frac{2\mathrm{\Δ\θ}}{1!}\frac{\∂U}{\∂\mathrm{\θ}}+\frac{{\left(2\mathrm{\Δ\θ}\right)}^2}{2!}\frac{{\∂}^{2}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^2}+\·\·\·+\frac{{\left(2\mathrm{\Δ\θ}\right)}^n}{n!}\frac{{\∂}^{n}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^n}$

其中，U_Δθ，U_2Δθ为同心环上任意一点的电位。若在第一层同心环上选取对称的4点，则利用5点差分法，可近似得到头皮电位的二阶导数为：

$\frac{{\∂}^{2}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^2}=\frac{4(\frac{1}{4}\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}{U}_{\mathrm{\Δ\θ},i}-U_0)}{{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^2}+O_1\left({\mathrm{\Δ\θ}}^2\right)$

其中，

是同心环上4点电位的均值。若用整个环上电位的均值

代替4点电位的均值，则上式可表示为：

$\frac{{\∂}^{2}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^2}=\frac{4(\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{U}_{\mathrm{\Δ\θ}}\mathrm{d\θ}-U_0)}{{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^2}+O_1\left({\mathrm{\Δ\θ}}^2\right)---\left(2\right)$

其中，误差O₁((Δθ)²)为：

$O_1\left({\mathrm{\Δ\θ}}^2\right)=-{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^2[\frac{2}{4!}\frac{{\∂}^{4}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^4}+\frac{2{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^2}{6!}\frac{{\∂}^{6}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^6}+\·\·\·]$

同理，对第二层同心环，也可近似得到头皮电位的二阶导数为：

$\frac{{\∂}^{2}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^2}=\frac{4(\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{U}_{2\mathrm{\Δ\θ}}\mathrm{d\θ}-U_0)}{{\left(2\mathrm{\Δ\θ}\right)}^2}+O_1\left({\left(2\mathrm{\Δ\θ}\right)}^2\right)---\left(3\right)$

其中，误差O₁((2Δθ)²)为：

$O_1\left({\left(2\mathrm{\Δ\θ}\right)}^2\right)=-{\left(2\mathrm{\Δ\θ}\right)}^2[\frac{2}{4!}\frac{{\∂}^{4}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^4}+\frac{2{\left(2\mathrm{\Δ\θ}\right)}^2}{6!}\frac{{\∂}^{6}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^6}+\·\·\·]$

将(2)、(3)组合，即(2)*4/3-(3)*1/3，可得：

$\frac{{\∂}^{2}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^2}=\frac{16(\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{U}_{\mathrm{\Δ\θ}}\mathrm{d\θ}-U_0)-{(\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{U}_{2\mathrm{\Δ\θ}}\mathrm{d\θ}-U_0)}_0}{3{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^2}+O_1\left({\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^4\right)---\left(4\right)$

其中，误差O₁((Δθ)⁴)为：

$O_1\left({\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^{}\right)={\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^4[\frac{1}{90}\frac{{\∂}^{6}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^6}+\frac{{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^2}{1008}\frac{{\∂}^{8}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^8}+\·\·\·]$

若将自变量θ替换成lncosθ，则同样对各层同心环利用泰勒展开式可得：

$U_{\mathrm{\Δ\θ}}=U_0+\frac{\ln \cos \left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}{1!}\frac{\∂U}{\∂\left(\ln \cos \mathrm{\θ}\right)}+\frac{{\left(\ln \cos \left(\mathrm{\Δ\θ}\right)\right)}^2}{2!}\frac{{\∂}^{2}U}{\∂{\left(\ln \cos \mathrm{\θ}\right)}^2}+\·\·\·+\frac{{\left(\ln \cos \left(\mathrm{\Δ\θ}\right)\right)}^n}{n!}\frac{{\∂}^{n}U}{\∂{\left(\ln \cos \right)}^n}---\left(5\right)$

$U_{2\mathrm{\Δ\θ}}=U_0+\frac{\ln \cos \left(2\mathrm{\Δ\θ}\right)}{1!}\frac{\∂U}{\∂\left(\ln \cos \mathrm{\θ}\right)}+\frac{{\left(\ln \cos \left(2\mathrm{\Δ\θ}\right)\right)}^2}{2!}\frac{{\∂}^{2}U}{\∂{\left(\ln \cos \mathrm{\θ}\right)}^2}+\·\·\·+\frac{{\left(\ln \cos \left(2\mathrm{\Δ\θ}\right)\right)}^n}{n!}\frac{{\∂}^{n}U}{\∂{\left(\ln \cos \right)}^n}---\left(6\right)$

当θ很小时，通过数值检验，如图2，有下式成立：

              ln cos(2Δθ)≈4ln cos(Δθ)

若将U_Δθ，U_2Δθ视为同心环上电位的均值，则(5)、(6)组合，即16*(5)-(6)，可得：

$\frac{\∂U}{\∂\left(\ln \cos \mathrm{\θ}\right)}=\frac{16(\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{U}_{\mathrm{\Δ\θ}}\mathrm{d\θ}-U_0)-(\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{U}_{2\mathrm{\Δ\θ}}\mathrm{d\θ}-U_0)}{12\ln \cos \left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}+O_2\left({\left(\ln \cos \left(\mathrm{\Δ\θ}\right)\right)}^2\right)---\left(7\right)$

其中，误差O₂((ln cos(Δθ))²)为：

$O_2\left({\left(\ln \cos \left(\mathrm{\Δ\θ}\right)\right)}^2\right)={\left(\ln \cos \left(\mathrm{\Δ\θ}\right)\right)}^2(\frac{2}{3}\frac{{\∂}^{3}U}{\∂{\left(\ln \cos \mathrm{\θ}\right)}^3}+\frac{5\ln \cos \left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}{6}\frac{{\∂}^{4}U}{\∂{\left(\ln \cos \mathrm{\θ}\right)}^4}+\·\·\·)$

将(4)、(7)两式带入(1)，可得：

${\▿}^2\≈\frac{16(\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{U}_{\mathrm{\Δ\θ}}\mathrm{d\θ}-U_0)-(\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{U}_{2\mathrm{\Δ\θ}}\mathrm{d\θ}-U_0)}{12r^2}(\frac{4}{{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^2}-\frac{1}{\ln \cos \left(\mathrm{\Δ\θ}\right)})+O\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)---\left(8\right)$

其中，误差O(Δθ)为：

$\frac{1}{r^2}[\frac{{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^4}{90}\frac{{\∂}^{6}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^8}+\frac{{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^6}{1008}\frac{{\∂}^{8}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^8}+\·\·\·-\frac{2{\left(\ln \cos \left(\mathrm{\Δ\θ}\right)\right)}^2}{3}\frac{{\∂}^{3}U}{\∂{\left(\ln \cos \mathrm{\θ}\right)}^3}-\frac{5{\left(\ln \cos \left(\mathrm{\Δ\θ}\right)\right)}^3}{6}\frac{{\∂}^{4}U}{\∂{\left(\ln \cos \mathrm{\θ}\right)}^4}-\·\·\·]$

当θ很小时，通过数值检验，如图3，有下式成立：

               ln cos(Δθ)≈-0.5(Δθ)²

因此，式(8)可表示为：

${\▿}^2\≈\frac{16(\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{U}_{\mathrm{\Δ\θ}}\mathrm{d\θ}-U_0)-(\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{U}_{2\mathrm{\Δ\θ}}\mathrm{d\θ}-U_0)}{2r^2{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^2}+O\left({\mathrm{\Δ\θ}}^4\right)---\left(9\right)$

其中，误差O(Δθ)为：

$\frac{{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^4}{r^2}[\frac{1}{90}\frac{{\∂}^{6}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^8}+\frac{{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^2}{1008}\frac{{\∂}^{8}U}{{\∂\mathrm{\θ}}^8}+\·\·\·-\frac{1}{6}\frac{{\∂}^{3}U}{\∂{\left(\ln \cos \mathrm{\θ}\right)}^3}+\frac{5{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^2}{48}\frac{{\∂}^{4}U}{\∂{\left(\ln \cos \mathrm{\θ}\right)}^4}-\·\·\·]$

此式表明，式(9)为一个Δθ的4阶精度的近似。

若要求6阶精度的Laplacian，方法是类似的，只是仅用两层同心环电极时，计算公式用(9)式。事实上，按照类似的思路，还可以得到更高阶精度。

Claims (1)

1、头部表面高阶Laplacian测量方法，包括以下步骤：

a、根据头部表面形状，构造一个球模型；在点U₀周围安放两层同心环电极，各环电极的总面积与顶点电极的面积相同；

b、确定球模型的半径r及各层同心环电极与z轴的夹角Δθ，2Δθ；

c、通过各层同心环电极记录局部头表电位U_Δθ，U_2Δθ；

d、计算各层同心环上的平均电位 $\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{U}_{\mathrm{\Δ\θ}}d\mathrm{\θ},\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{U}_{2\mathrm{\Δ\θ}}\mathrm{d\θ};$

e、由下式计算球面高阶Laplacian：

${\▿}^2\≈\frac{16(\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{U}_{\mathrm{\Δ\θ}}\mathrm{d\θ}-U_0)-(\frac{1}{2\mathrm{\π}}{\∫}_0^{2\mathrm{\π}}{U}_{2\mathrm{\Δ\θ}}\mathrm{d\θ}-U_0)}{2r^2{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^2}+O\left(\mathrm{\Δ}{\mathrm{\θ}}^4\right)$

其中，误差O(Δθ⁴)为：

$O\left({\mathrm{\Δ\θ}}^4\right)=\frac{{\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^4}{r^2}[\underset{n=6}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{2(2^{n-2}-4){\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^{n-6}}{3*n!}\frac{{\∂}^{n}U}{\∂{\mathrm{\θ}}^n}+\underset{m=3}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{(16-4^m){\left(\mathrm{\Δ\θ}\right)}^{2m-6}}{12*{(-2)}^{m-1}*m!}\frac{{\∂}^{m}U}{\∂{\left(\ln \cos \mathrm{\θ}\right)}^m}]$

(n＝6，8，10，…，∞；m＝3，4，5，…，∞)。

Images