BR102012010971A2

BR102012010971A2 - Método e dispositivo de exponenciação modular resistente aos ataques de canal-lateral

Info

Publication number: BR102012010971A2
Application number: BRBR102012010971-9A
Authority: BR
Inventors: Marc Joye
Original assignee: Thomson Licensing
Priority date: 2011-05-11
Filing date: 2012-05-09
Publication date: 2013-11-12
Also published as: US8984040B2; EP2523097A1; JP5977996B2; EP2523097B1; US20120290634A1; MX2012005408A; CN102779022A; HK1176423A1; CN102779022B; EP2523096A1; JP2012239171A; CA2775325A1

Abstract

MÉTODO E DISPOSITIVO DE EXPONENCIAÇÃO MODULAR RESISTENTE AOS ATAQUES DE CANAL-LATERAL Uma exponenciação modular compreendendo etapas de multiplicações modulares iterativas e considerando como entrada um primeiro módulo N, um expoente secreto d e uma base x. Durante ao menos um etapa de multiplicação modular tendo como objetivo a computação de um resultado c a partir de dois valores a, b e do primeiro módulo N; de modo que c = a.b mod N, um processador (120) pega como entrada os dos velores a, b, e o primeiro módulo N a partir dos quais são obtidos dois operandos a<39>, b<39> e um segundo módulo N, utllizando operações com complexidade quando muito linear - ao menos um dos dois operandos a<39>,b<39> ´e diferente dos dois operandos a<39>, b<39> são diferentes quando a = b - de modo que a multiplicação modular c = a.b mod N a partir do ponto de vista de canal-lateral se comporta como uma quadratura modular exceto quando a<39> for igual a b<39>.Um resultado intermediário c<39> = a<39>.b<39> mod N<39> e computado, e o resultdo c é derivado do resultado intermediário c<39> utilizando uma operação com complexidade quando muito linear; e o resultado c é usado na exponenciação modular.

Description

"MÉTODO E DISPOSITIVO DE EXPONENCIAÇÃO MODULAR RESISTENTE AOS ATAQUES DE CANAL-LATERAL"

CAMPO TÉCNICO

A presente invenção se refere geralmente à criptografia, e particularmente aos algo- ritmos de exponenciação modular resistentes a certos ataques de canal-lateral.

ANTECEDENTES

Essa seção pretende introduzir o leitor aos vários aspectos da técnica, que podem ser relacionados a vários aspectos da presente invenção que são descritos e/ou reivindica- dos abaixo. Acredita-se que essa discussão seja útil para prover o leitor com informação de fundamentos para facilitar um melhor entendimento dos vários aspectos da presente inven- ção. Consequentemente deve-se entender que essas declarações devem ser lidas em virtu- de disso, e não como admissões de técnica anterior.

Uma operação fundamental em criptografia de chave pública é a exponenciação modular. Na entrada Ν, χ e d, y = Xd mod N é computado. Há naturalmente, um hospedeiro de algoritmos de exponenciação modular da técnica anterior, dos exemplos do qual estão sendo fornecidos em seguida.

Algoritmo 1 - Método binário da esquerda para a direita

Entrada: N,xê π/ΝΈ ed = {d^,d0):2 e M

Saída: y = Xd mod N

20

1: R[0]«- 1; R[1] ^x

2: para j = /-1 descendentemente até 0 realizar 3: R[0] <- R[0]2 mod N

4: se (dj Φ 0) então R[0] R[0]· R[1] mod N

5: terminar para 6: retornar R[0]

Algoritmo 2 - Método binário da direita para a esquerda

Entrada: N1 χe Z/NX ed= (dt_t,d0)2 e m Saída: y = Xd mod N

1: R[0] <— 1; R[1]<-x 2: para j = O até I-1 realizar

3: se (dy * 0) então R[0] <- R[0]· R[1] mod N

5

4: R[1 ] R[1]2 mod N

5: terminar para

6: retornar R[0]

10

Embora ambos os métodos sejam eficientes, aqueles versados na técnica conside- rarão que eles podem estar sujeitos no canal-lateral, especificamente ataques de Análise de Potência Simples (SPA). Vide "Paul Kocher, Joshua Jaffe, e Benjamin Jun; Differential PowerAnaIysis; In M. Wiener, editor, Advances in Cryptology - CRYPTO'99, volume 1666 of Lecture Notes in Computer Science, páginas 388-397; Springer-Verlag, 1999"; e "Paul C. Kocher; Timing Attacks on Implementations of Diffie-Hellman1 RSA, DSS1 and Other Sys- tems; In N. Koblitz, editor, Advances in Cryptology- CRYPTO'96, volume 1109 of Lecture Notesin Computer Science, páginas 104-113. Springer-Verlag, 1996".

O problema principal reside na presença da derivação condicional, isto é, a decla- ração 'se'.

Uma forma de superar esse problema é a de executar uma multiplicação em cada laço do circuito, em outras palavras realizar uma multiplicação falsa sempre que d} = 0. Vide "Jean-Sébastien Coron; Resistance Against Differential Power Analysis for Elliptic Curve Cryptosystems; In Ç.K. Koç e C. Paar1 editors, Cryptographic Hardware and Embedded Sys- tems - CHES'99, volume 1717 of Lecture Notes in Computer Science, páginas 292-302. Springer-Verlag, 1999". As implementações resultantes, contudo são mais lentas, o custo aumenta de aproximadamente 1,5 multiplicações por bit até 2 multiplicações por bit. Um empecilho adicionado é que as implementações se tomem vulneráveis aos ataques protegi- dos contra erro; vide "Sung-Ming Yen and Marc Joye; Checking before output may not be enough against fault-based cryptanalysis; IEEE Transactions on Computers, 49(9):967-970, 2000"; and "Sung-Ming Yen, Seung-Joo Kim, Seon-Gan Lim, and Sang-Jae Moon; A Coun- termeasure Against One Physical Cryptanalysis May Benefit Another Attack; In K. Kim, edi- tor, Information Security and Cryptology - ICISC 2001, volume 2288 of Lecture Notes in Computer Science, pages 417-427. Springer-Verlag, 2002". Uma forma melhor de prevenir ataques do tipo SPA é a de utilizar a assim chamada

atomicidade de canal-lateral; vide "Benoít Chevallier-Mames, Mathieu Ciet, and Marc Joye; Low-Cost Solutions for Preventing Simple Side-channel Analysis: Side-Channel Atomicity; IEEE Transactions on Computers, 53(6):760-768, 2004". Os algoritmos correspondentes são:

Algoritmo 3 - Método binário da esquerda para a direita (atômico)

Entrada: Ν, χ E Z/ltfl ed- (^11d0)2 6 M Saída: y= Xd mod Λ/

1: R[0] <— 1; R[1]«-x

2: y /-1; ò <— 0

3: enquanto (/'s 0) realizar

4: R[0] R[0]· R[b] mod N

5: b <- b □ df, j*-j- ~·ό

6: terminar enquanto 7: retornar R[0]

Algoritmo 4 - Método binário da direita para a esquerda (atômico)

Entrada: Ν, χ e z/wz e d = (d^.dQ)2 e M Saída: y = XdInod Λ/

1: R[0] <— 1; R[1]«-x

2: y 0; ó <— 1

3: enquanto (/' < /-1) realizar

4: ò <- b □ dj

5: R[b] R[b]· R[1] mod N]j<-j + b

6: terminar enquanto 7: retornar R[0] Nos Algoritmos 3 e 4, □ denota o operador XOR (OR exclusivo) e -1 denota o operador de negação (isto é, se b = O então -"0=1 e e b = 1 então -φ = 0).

Será considerado que o custo não é aumentado, porém permanece em aproxima-

damente 1,5 multiplicações por bit. Será ainda considerado que a atomicidade de canal- Iateral não é restrita aos métodos de exponenciação binária. Algoritmos adicionais podem ser encontrados no documento anteriormente mencionado de Chevallier-Mames, Ciet and Joye.

Embora a atomicidade de canal-lateral conduza a algoritmos muito bons, deve-se

enfatizar que a metodologia supõe que a operação de multiplicação é atômica. Mais explici- tamente, supõe-se que não é possível fazer a distinção entre uma quadratura modular e uma multiplicação modular mediante observação de um canal-lateral adicional. Essa suposi- ção nem sempre é consumada. Ataques concretos são reportados em "Frédéric Amiel, Be- noít Feix, Michael Tunstall, Claire Whelan, and William P. Marnane; Distinguishing Multiplica- tions from Squaring Operations; In R. Avanzi, L. Keliher, and F. Sica, editors, Selected Areas in Cryptography - SAC 2008, volume 5394 of Lecture Notes in Computer Science, páginas 346-360. Springer-Verlag, 2009".

Será assim considerado que há a necessidade de uma solução na qual uma multi- plicação modular, do ponto de visto do canal-lateral, se comporta como uma quadratura mo- dular. Essa invenção provê tal solução.

SUMÁRIO DA INVENÇÃO

Em um primeiro aspecto a invenção se refere a um método de realizar uma expo- nenciação modular compreendendo etapas de multiplicações modulares iterativas e pegan- do como entrada um primeiro módulo N, um expoente secreto d e uma base x. Durante pelo menos uma etapa de multiplicação modular tendo como objetivo a computação de um resul- tado c a partir de dois valores a, b e o primeiro módulo N de modo que c = a-b mod N, um processador pega como entrada as duas metades a, b e o primeiro módulo N; obtém, a par- tir dos dois valores a, b e do primeiro módulo N, dois operandos a', b' e um segundo módulo N'; de tal modo que ao menos um dos dois operandos a' b' seja diferente dos dois valores a, b e que os dois operandos a', b' sejam diferentes quando a for igual a b, de modo que a mul- tiplicação modular c = a b mod N a partir do ponto de vista do canal-lateral se comporta co- mo uma quadratura modular exceto quando a' for igual a b'; em que o operando a' é obtido a partir do valor a, o operando b' é obtido a partir do valor b, e o segundo módulo N' é obtido a partir do primeiro módulo N utilizando operações com uma complexidade quase linear; com- putar um resultado intermediário c' = a' b' mod Λ/'; derivar o resultado c a partir do resultado intermediário c', em que c é obtido a partir de c' utilizando uma operação com complexidade quase linear; e utilizar o resultado c' na exponenciação modular.

Em uma primeira modalidade preferida, a' = 2a, b' = b + N e /V = 2N, e c' = c/2.

Em uma segunda modalidade preferida, á = N - a, b' = b e N = N, e c' = N - c. É vantajoso que o primeiro módulo N seja ímpar.

Em um segundo aspecto, a invenção se refere a um processador para realizar uma

exponenciação modular compreendendo etapas de multiplicações modulares iterativas e pegando como entrada um primeiro módulo N, um expoente secreto d e uma base χ. O pro- cessador compreender meios, durante ao menos uma multiplicação modular tendo como objetivo computar um resultado c a partir de dois valores a, b e o primeiro módulo N de mo- do que c = ab mod N, para: pegando como entrada os dois valores a, b e o primeiro módulo N; obtendo, a partir dos dois valores a, b e do primeiro módulo N, dois operandos a', b' e um segundo módulo N'; de tal modo que ao menos um dos dois operandos a', b' é diferente dos dois valores a, b, e que os dois operandos a', b' são diferentes quando a é igual a b, de mo- do que a multiplicação modular c = a b mod N do ponto de vista de canal-lateral se comporta como uma quadratura modular exceto quando a' é igual a b'; em que o operando a' é obtido a partir do valor a, o operando b' é obtido a partir do valor b, e o segundo módulo N' é obtido a partir do primeiro módulo N utilizando operações com complexidade quando muito linear; computar um resultado intermediário c' = a'-'b mod N'; e derivar o resultado c a partir do re- sultado intermediário c', em que c é obtido a partir de c' utilizando uma operação com com- plexidade quando muito linear; em que o processador compreende ainda meios para utilizar o resultado c na exponenciação modular.

Em uma segunda modalidade preferida, a' = N - a, b' = b e /V = N, e c' = N - c. É vantajoso que o primeiro módulo N seja ímpar. Em um terceiro aspecto, a invenção se refere a um produto de programa de compu-

tador tendo armazenado no mesmo, instruções que, quando executadas por um processa- dor, realizam o método do primeiro aspecto.

BREVE DESCRIÇÃO DOS DESENHOS

Características preferidas da presente invenção serão descritas agora, por intermé- dio de exemplo não limitador, com referência aos desenhos anexos, nos quais a Figura 1 ilustra um aparelho para realizar uma exponenciação resistente a certos ataques de canal- lateral de acordo com uma modalidade preferida da invenção.

DESCRIÇÃO DAS MODALIDADES

Uma idéia inventiva principal da presente invenção é, como já mencionado, a de fa- zer com que uma multiplicação modular se comporte como uma quadratura modular a partir de um ponto de vista de canal-lateral, que pode ser usada para prover algoritmos de expo- nenciação modular que sejam resistentes a certos ataques de canal-lateral. Isso pode ser obtido mediante avaliação de uma multiplicação modular de a e b de módulo N de modo que quando a = b, os valores dos dois operandos aparecendo na multi- plicação modular são diferentes.

Uma primeira modalidade preferida se baseia na observação de que para quaisquer

elementos: a, b ε rLfNT.

ab mod N = [(a + a) ■ (b + N) mod 2Λ/]/2

Prova: Definir números inteiros T = (a + a)· (b + N) e S = T/2. Temos Tmod 2N=T-

ΠΤΙ(2Ν)Π2Ν = 2(S-DS/NDN) = 2(S mod N). Portanto, temos (Tmod 2N)/2 = S = ab

(mod N). Segue-se agora o resultado ao se observar que (Tmod 2N)I2 is in {0.....N-1}. □

Vale a pena assinalar que quando a = b, se tem (a + a) ■ (b + N) = (2a) · (a + N) e 2a Φ a + N uma vez que de outro modo se teria a = Ν, o que não é possível uma vez que a

está em 2/ITZ (isto é, no conjunto {0, 1.....N - 1}). Em outras palavras, quando a = b, os

valores das duas operações aparecendo na multiplicação modular (a + a) ■ (b + N) mod 2N são diferentes.

Uma segunda modalidade preferida se baseia na identidade:

20

a b mod N=N - [(N- a) b mod N\

Prova: Definir número inteiros S = N-[(N - a)· b mod N\. Como (-1)2 = 1, obviamente temos

S ξ a b (mod N). Adicionalmente S □ {0.....N-1}. □

Outra vez, desde que N seja ímpar, vale a pena assinalar que quando a = b os va- lores dos dois operandos aparecendo na multiplicação modular (N - a) ■ b mod N são dife- rentes. Na realidade, quando a = b, se tem (N - a) ■ b = (N - a) ■ a e (N - a) Φ a é sempre sa- tisfeito quando N é ímpar.

Se a' e b' são os operandos e N' é o módulo na multiplicação modular modificada e c' é o resultado da multiplicação modular modificada que precisa ser ajustada para se obter a saída correta c, então será considerado que os operandos a' e b' e os módulos N' são ob- tidos utilizando as operações com complexidade quase linear - aqueles versados na técnica considerarão que N' = 2N é normalmente implementado como uma adição ou um desloca- mento de bits - como é o caso para a operação usada para obter c a partir de c' - a 'divisão' sendo implementada como um deslocamento de bits.

Qualquer uma das modalidades pode ser então usada nos Algoritmos, 3 e 4, descri- tos na seção Antecedentes, originando os seguintes algoritmos. Algoritmo 3' - O método binário L para R (atômico) implementando a primeira mo-

dalidade

Entrada: Ν, χe 2/Λ'Ζed= (^1, ...,de)2 e M Saída: y = Xd mod N

1: R[0] <— 1; R[1] <—x

2: y<— /-1; b <— 0

3: enquanto (/s 0) realizar

15

4: R[0] <- ((R[0] + R[0]) ■ (R[í>] + N) mod 2N)I2

5: b <- b □ d/, j^-j- ^b

6: terminar enquanto

7: retornar R[0]

Algoritmo 4' - Método binário R para L (atômico) implementando a segunda moda- lidade

Entrada: Ν, χ e ZfNZ e d = (Jm, .... á0}2 e I

Saída: y = x" mod Λ/

1: R[0]<- 1; R[1] <— x

2: y <— 0; ò 1

3: enquanto (/'á /-1) realizar

4: b <- b Π dj

35

5: R[ò] N- [{N- R[ô])· R[1 ] mod N],j<—j+b 6: terminar enquanto

7: retornar R[0]

Deve-se observar que há casos onde a fórmula re-escrita produz uma quadratura modular. Um exemplo disso é a multiplicação modular de 70 e 20 com N = 120 utilizando a fórmula da primeira modalidade:

((70+70) (20+120) mod 240)/2 = (140-140 mod 240)/2 = (19600 mod 240)/2 = 160/2 = 80. Um exemplo disso com a fórmula da segunda modalidade é a multiplicação modular de 70 e 51 com N = 121:

121 - ((121-70) 51 mod 121) = 121 - (51-51 mod 121) = 121 - (2601 mod 121) = 61.

Contudo, será considerado que essas ocorrências são muito mais raras do que as quadraturas no esquema atômico original, uma vez que esses ocorrem mais freqüentemente do que ao contrário. Além disso, quando combinadas com certas técnicas de randomização, pode ser difícil produzir tais valores conflitantes. Isso acontece, por exemplo, quando a ex- ponenciação modular y = Xd mod N é computada como y = [(x + r-N)d mod t-N] mod N onde t é um número inteiro de /c-bit aleatório para algum parâmetro de segurança ke ré um núme- ro inteiro aleatório em {0,..., t- 1}.

A Figura 1 ilustra um dispositivo de acordo com uma modalidade preferida da pre- sente invenção. O dispositivo 100 compreende ao menos uma unidade de interface 110 a- daptada para comunicação com outros dispositivos (não mostrados), ao menos um proces- sador 120 e ao menos uma memória 130 adaptada para armazenar dados, tais como acu- muladores e resultados de cálculos intermediários. O processador 120 é adaptado para computar uma multiplicação modular de acordo com qualquer uma das modalidades dos métodos inventivos, e também para executar algoritmos de exponenciação modular imple- mentando tais multiplicações, como anteriormente descrito aqui. Um produto de programa de computador 140 tal como um CD-ROM ou um DVD compreende instruções armazenadas que, quando executadas pelo processador 120, realizam o método de acordo com qualquer uma das modalidades da invenção. Será considerado que o presente método de multiplicação pode prover algoritmos

de exponenciação modular que proporcionam uma proteção aumentada contra ataques de canal-lateral.

Cada aspecto revelado na descrição e (onde apropriado) nas reivindicações e nos desenhos pode ser provido independentemente ou em qualquer combinação apropriada. Características descritas como sendo implementadas em hardware também podem ser im- plementadas em software, e vice-versa. Numerais de referência aparecendo nas reivindica- ções servem apenas como ilustração e não devem ter qualquer efeito limitador sobre o es- copo das reivindicações.

Claims

1. Método de realizar uma exponenciação modular CARACTERIZADO pelo fato de que compreende etapas de multiplicações modulares iterativas e pegando como entrada um primeiro módulo N, um expoente secreto d e uma base χ, o método sendo realizado em um processador (100) e compreendendo as etapas, durante pelo menos uma etapa de multipli- cação modular tendo como objetivo computar um resultado c a partir de dois valores a, b e o primeiro módulo N, de modo que c = ab mod N, de: - pegar como entrada os dois valores a, b e o primeiro módulo N; - obter, a partir dos dois valores a, b, e do primeiro módulo N, dois operandos a', b' e um segundo módulo N'; de tal modo que ao menos um dos dois operandos a', b' é diferen- te dos dois valores a', b' e que os dois operandos a', b' são diferentes quando a é igual a b, de modo que a multiplicação modular c = a b mod N a partir do ponto de vista de canal- Iateral se comporta como uma quadratura modular exceto quando a' for igual a b'\ em que o operando a' é obtido a partir do valor a, o operando b' é obtido a partir do valor b, e o segun- do módulo N'é obtido a partir do primeiro módulo N utilizando operações com complexidade quando muito linear; - computar um resultado intermediário c' = a' b' mod /V; - derivar o resultado c a partir do resultado intermediário c', em que c é obtido a par- tir de c' utilizando uma operação com complexidade quando muito linear; e - utilizar o resultado c na exponenciação modular.

1/2 REIVINDICAÇÕES

2. Método, de acordo com a reivindicação 1, CARACTERIZADO pelo fato de que a' = 2a, b' = b + N e /V = 2N, e em que c' = c/2.

3. Método, de acordo com a reivindicação 1, CARACTERIZADO pelo fato de que a' = N - a, b' = b e /V = N, e em que c' = N-c.

4. Método, de acordo com a reivindicação 3, CARACTERIZADO pelo fato de que o primeiro módulo Né ímpar.

5. Processador (100) para realizar uma exponenciação modular CARACTERIZADO pelo fato de que compreende etapas de multiplicações modulares iterativas e pegando como entrada um primeiro módulo N, um expoente secreto d e uma base χ, o processador com- preendendo meios (120), durante ao menos uma multiplicação modular tendo como objetivo computar um resultado c a partir de dois valores a, b e o primeiro módulo N de modo que c = a b mod N, para: - pegar como entrada os dois valores a, b e o primeiro módulo N; - obter, a partir dos dois valores a, b, e do primeiro módulo N, dois operandos a', b' e um segundo módulo N'; de tal modo que ao menos um dos dois operandos a', b' é diferen- te dos dois valores a', b' e que os dois operandos a', b' são diferentes quando a é igual a b, de modo que a multiplicação modular c = a»b mod N a partir do ponto de vista de canal- lateral se comporta como uma quadratura modular exceto quando a' for igual a b'; em que o operando a' é obtido a partir do valor a, o operando b' é obtido a partir do valor b, e o segun- do módulo N1 é obtido a partir do primeiro módulo N utilizando operações com complexidade quando muito linear; - computar um resultado intermediário c' = a'*b' mod N'; e - derivar o resultado c a partir do resultado intermediário c\ em que c é obtido a par- tir de c' utilizando uma operação com complexidade quando muito linear; em que o processador compreende ainda meios (120) para utilizar o resultado c na exponenciação modular.

6. Processador, de acordo com a reivindicação 5, CARACTERIZADO pelo fato de que a' = 2a, b' = b + N e /V = 2N, e em que c' = c/2.

7. Processador, de acordo com a reivindicação 5, CARACTERIZADO pelo fato de que a' = N - a, b' = b e A/' = N, e em que c' = N- c.

8. Processador, de acordo com a reivindicação 7, CARACTERIZADO pelo fato de que o primeiro módulo N é ímpar.

9. Produto de programa de computador (140) CARACTERIZADO pelo fato de ter armazenado no mesmo, instruções que, quando executadas por um processador, realizam o método de qualquer uma das reivindicações 1 a 4.