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"Perfectionnements aux appareils à induction"
La présente invention a trait à l'amélioration du fonctionnement de dispositifs électriques ayant des par- ties mobiles les unes par rapport aux autres, le mouve- ment relatif entre ces parties pouvant être soit une ro- tation, soit une translation linéaire d'une position à l'autre. Elle se rapporte plus particulièrement, mais non exclusivement à une servo-commande télémétrique de gran- de précision réalisée par le mouvement simultané de rotors des dispositifs transmetteurs et récepteurs et notamment des dispositifs du type bien connu de moteurs auto-synchrones ayant des stators triphasés.
L'invention a d'une façon générale pour objet de nou- veaux procédés et de nouveaux moyens pour la production dans les dispositifs du genre spécifié, en fonction de la posi- tion angulaire du rotor, de tensions et de variations d'im-
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pédance qui sont sensiblement des fonctions sinusoïdales pures.
L'invention a plus particulièrement pour objet un dis- positif de mesure ou de transmission à distance capable d'une haute précision par suite de l'élimination sensible- ment complète des erreurs dues aux caractéristiques de ro- tors.
L'invention a également pour objet l'amélioration de la préoision de systèmes télémétriques du genre spécifié par l'emploi de nouveaux procédés et moyens permettant de réduire les erreurs dues aux stators, ces procédés et mo- yens visant une nouvelle distribution des enroulements de stators.
L'invention a d'autre part pour objet de fournir aux ingénieurs électriciens un nouveau moyen leur permettant de déterminer d'avance les caractéristiques de construction de dispositifs électriques ayant des rotors en vue de réali- ser des performances optima, ce qui est important aussi bien dans le cas de génératrices ou moteurs de grande puissance ou à vitesse de fonctionnement élevée que dans le cas d'al- ternateurs à courant purement sinusoïdal et d'appareils de mesure ou de commande à distance du type auto-synchrone.
Il a été constaté en effet que les performances aussi bien de génératrices que de moteurs étaient améliorées si on réduisait au minimum les composantes harmoniques qui généra- lement étaient atténuées et perdues dans les connexions de transmission et entrainaient une réduction de rendement.
Les objets ci-dessus ainsi que d'autres, et des particu larités nouvelles de l'invention apparaîtront plus complè- tement de la description détaillée qui suit, et des dessins
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ci-joints, étant entendu que ces dessins ne sont donnés qu'à titre d'exemple nullement limitatif.
Jusqu'ici la pratique voulait que l'on cherche à obtenir la précision des systèmes de mesure et de commande à distance en rendant les transmetteurs et les récepteurs au- to-synchrone identiques et en comptant sur la correspondance de leurs caractéristiques. Mais cette méthode s'est révélée inadéquate, car les tolérances pratiques de fabrication, à moins de prendre des précautions spéciales, étaient trop grandes pour la réalisation d'une haute précision. Il a été constaté cependant qu'il est très avantageux dans les systè- mes de télémesure ou de télécommande de réduire au minimum les écarts de courants de la forme purement sinusoïdale dont l'obtention constitue l'objet principal de la présente inven tion.
Il est connu que toute courbe de variation, soit de ten sion, soit d'impédance en fonction soit de la position an- gulaire soit du temps, peut être analysée sur la base des séries de Fourier avec tout degré d'approximation voulu par l'emploi d'un nombre suffisant de termes. La présente in- vention, établit une distribution des enroulements de sta- tor et/ou de rotor, )elle que pratiquement tous les harmoni- ques pouvant affecter le fonctionnement ou les performances du système de télémesure ou de télécommande, se trouvent éliminés. En outre, l'invention apporte une nouvelle techni- que à l'utilisation de l'analyse de Fourier, de façon à ren- dre possible pour la première fois, une réalisation directe de stators et/ou de rotors du genre ci-dessus sans nécessi- ter l'établissement et l'essai d'une succession de modèles expérimentaux.
Cette façon de procéder, en éliminant les harmoniques en ne les annulant, est plus efficace que tout procédé connu et notamment celui qui est décrit dans le bre-
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vet américain No 2.348.572, dans lequel les harmoniques sont d'abord produits et ensuite affaiblis et dissipés.
Parailleurs, les techniques des deux procédés sont radica- lement différentes.
Avant d'entrer dans les détails, il sera donné ci-des sous un bref aperçu général de la méthode suivie pour at- taquer ce problème. Par exemple, avec l'emploi d'un rotor bi- symétrique à deux pôles, la tension Es d'une spire ou bobine de stator et son angle peuvent être représentés par l'ex- pression Es = E1 sin. # + E sin. 3 # + E5 sin. 5 E7 sin.
7 # dans laquelle les termes en cosinus ainsi que tous les termes en sinus d'ordre pairs ont été éliminés du fait de la bi-symétrie du rotor. D'autre part, en utilisant un stator triphasé, connecté en Y, les 3e et 9e harmoniques dis- paraissent, comme il est bien connu. Le 9e harmonique dis- paraît aussi avec les stators à 9 encoches, ce qui ne lais- se que le 5e harmonique et les harmoniques d'ordres plus éle vés avec leur amplitude rapidement décroissante avec le numé ro d'ordre de l'harmonique. Ainsi il ne reste pratiquement que les 5e et 7e harmoniques comme sources principales d'er- reurs.
Cependant avec un rotor à pôles saillants, le 5e et/ ou le 7e harmonique également peuvent être pratiquement éli- minés en amincissant les faces des pôles vers leurs extrémi- tés, en tenant compte de leur largeur de manière à augmenter l'entrefer vers les extrémités, comme il est connu.
Mais lorsqu'un rotor à pôles ainsi conformés est utilisé dans un récepteur d'une transmission ou d'une commande à dis tance à servo-moteur et que, pour une raison quelconque le servo-moteur ne fonctionne pas, le dit rotor introduit dans le système des erreurs qui détruisent la précision des au-
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tres récepteurs branchés en parallèle. Ceci rend hautement préférable un rotor cylindrique à pôles non saillants. Com- me les stators associes avec les rotors à deux pôles n'em- ploient qu'un nombre impair d'encoches pour réduire les er- reurs et que Jour des enroulements non divisés et des stators triphasés, le nombre d'encoches est un multiple entier de trois, le nombre possible d'encoches dans le stator serait 3, 9, 15, 21, 27, 33......
En prenant par exemple, un stator à 9 encoches et un rotor bipolaire circulaire, à 8 encoches, aveo environ une encoche de décalage relatif entre le stator et le rotor, le nombre de barres dans plusieurs encoches peut être déterminé selon la présente invention de façon à assurer une élimina- tion pratiquement complète des 5e et 7e harmoniques, ce qui fait que des bobines parallèles ou équivalentes, inductives avec des nombres de spires inégaux sont ainsi utilisables dans le stator selon la présente Invention.
Une fois cette conception formulée, alors d'après l'exa- men des courbes de Es/Er pour différents angles de rotor, Es et Er étant respectivement les tensions de stator et de rotor (pour une phase considérée), la distribution des spi- res de l'enroulement a été changée de 100-50 pour une phase à 80-50-20 (ou environ 55 1/3 - 33 1/3 - 13 1/3% du nombre to- tal de spires par phase) et une amélioration marquée de per- formances a été constaté.
Toutefois, par la modification de l'qnalyse de Fourier suivant l'invention, ces pourcentages deviennent 53,2, 34,7 12,1 et l'élimination des harmoniques du 3e au 9e ordre.est pratiquement complète et indépendante des caractéristiques de tout rotor symétrique, ce qui présente une grande importan-
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ce pratique. Ceci permet d'obtenir dans un système de oom- mande à distance auto-synchrone triphasé à servo-moteur, à la fois une précision plus grande et une tension de zéro ré- siduelle beaucoup plus basse, ce qui rend possible l'emploi pour le récepteur d'un entrainement par servo-moteur beaucoup plus sensible.
De plus, en utilisant l'analyse de Fourier modifiée selon la présente invention, il est possible avec un stator à 9 encoches, un rotor symétrique bipolaire et une connexion en Y non désirée d'établir un enroulement de sta- tor employant quatre bobines avec 34,7, 30,5, 22.7 et 12.1% du nombre total de spires par phase, avec (à cause de la symétrie des harmoniques par rapport au 9e harmonique), des harmoniques négligeables depuis le 3e jusqu'au 15e, et sans qu'aucun harmonique d'ordre plus élevé ne soit produit en quantité appréciable.
De même, les conditions imposées par des buts spéciaux peuvent être remplies par l'analyse de Fourier ainsi modi- fiée. Ainsi, par exemple, un enroulement virtuellement égal disposé perpendiculairement aux bobines parallèles sus-mentionnées, peut être utilisé pour fournir avec les dites bobines deux composantes de champ à angle droit, cet enroulement pouvant être un enroulement constitué par une série de bobines séparées, composées respectivement de nom- bres de spires correspondant aux moitiés des valeurs 34,7, 30,5, 22,7 et 12,1% indiquées précédemment.
Le résumé qui précède illustre aussi bien les possibi- lités que la flexibilité de la méthode de la présente inven- tion.
Sur les dessins, sur lesquels les mêmes numéros de réfé rance indiquent des parties semblables dans toutes les figu-
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res :
La figure 1 est un schéma d'un système de servo-comman- de à distance auto-synchrone classique;
La figure 2 est une représentation schématique d'un sta- tor typique avec une distribution de bobines classique, les bobines ayant un nombre égal de spires et étant espacées uni- formément d'un angle constant;
La figure 3 est une représentation schématique analogue montrant une distribution commune de bobines semblables con- venant pour des systèmes triphasés.
La figure 4 est une représentation schématique similaire d'un autre enroulement plus ou moins classique donnant des résultats identiques à ceux du schéma de la figure 3;
Les figures 5 et 6 sont des représentations schématiques des stators à 9 encoches avec uhe répartition des bobines éta- blie selon l'invention en vue d'éliminer les harmoniques, la disposition de la figure 5 ne nécessitant pas la connexion en Y pour éliminer le troisième harmonique tandis que la disposi- tion de la figure 6 exige la connexion en Y pour éliminer le troisième harmonique;
La figure 7 est un schéma conventionnel de connexions pour un dispositif de commande à distance biphasé utilisant deux phases perpendiculaires l'une à l'autre dans le stator et un enroulement monophasé sur le rotor;
La figure 8 montre une répartition de bobines pour un stator à 9 encoches avec un enroulement d'une phase de type en escalier fait suivant l'invention, disposé perpendiculai- rement à celui de la figure 5 formant la deuxième phase, seu- le la bobine inférieure de la figure 5 étant indiquée en pointillés au bas de la figure 8, pour montrer l'orientation relative des bobines dans les deux phases;
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La figure 9 est un graphique montrant la relation entre l'angle de rotor et le faoteur de couplage pour un/stator à 9 encoches et un rotor à deux pôles saillants avec un amin cissement nul et un amincissement de 0,127 mm. comme indiqué sur l'un des croquis accessoires tandis que l'autre croquis accessoire montre le zéro de référence angulaire.
La figure 10 est un graphique analogue pour une bobine à pas égal à trois encoches pour diverses largeurs et divers amincissements du rotor;
La figure 11 est une représentation schématique d'un stator à 9 encoches montrant une barre et l'axe de référence du rotor;
La figure 12 est un graphique montrant le coefficient de couplage pour une phase avec le fondamental et le troisième harmonique tracés en fonction du temps;
La figure 13 est une représentation schématique d'un stator à 9 encoches montrant la position de l'axe de référen- pour la symétrie par rapport à un axe normal à l'axe de ré- férence;
La figure 14 est un graphique ayant les mêmes coordonnées que la figure 12, mais montrant le fondamental pour la bobi- ne a-e à pas égal à quatre encoches de la figure 13, le fon- damental étant déphasé de 10 et le troisième harmonique de 30 par rapport à l'axe de référence de la figure 13;
La figure 15 est un diagramme vectoriel pour le fondamen- tal du graphique de la figure 14;
La figure 16 est un diagramme vectoriel analogue pour le troisième harmonique de la figure 14;
La figure 17 est une représentation schématique d'un rotor monophasé à 7 encoches, travaillant dans un stator nor- mal, biphasé, à 12 encoches avec l'enroulement de rotor con-
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forme à l'invention;
La figure 18 est une représentation schématique similai- re d'un rotor à 2 pôles saillants amincis, dans un stator à trois bobines dans trois encoches et 6 encoches iaactives de façon 4 constituer effectivement un stator à 9 encoches;
La figure 19 est un diagramme d'enroulement similaire à ceux des figures 5 et 6 montrant les positions possibles des bobines parallèles indépendantes dans un stator ayant un nom- bre impair d'encoches par exemple quinze,comme montré.
La figure 1 montre une serve-commande auto-synchrone bien connue ayant des dispositifstransmetteur et récepteur semblables et un servo-moteur associé avec le dernier. Si l'on fait abstraction du dit servo-moteur, les conducteurs d'amenée du courant alternatif 11 et 12 doivent être consi- dérés comme connectés aux enroulements de rotor 13 et 14 des dispositifs transmetteur et récepteur 15 et 16 respectivement.
Dans l'exemple montré, ces conducteurs sont reliés à l'enrou- lement de rotor 13 du transmetteur ainsi qu'à une phase du servo-moteur et au dispositif amplificateur associé avec l'enroulement de rotor 14 du récepteur 16. Les dispositifs transmetteur et récepteur 15 et 16 respectivement, ont trois phases 17, 18, 19 et 20, 21 et 22 connectées en Y et ils sont reliés entre eux par les conducteurs 23, 24 et 25. La figure 1 montre la position d'équilibre du système, l'enroulement de rotor 14 du récepteur étant perpendiculaire à l'enroulement de rotor 13 du transmetteur et le flux dans le récepteur, pour réduire au minimum la tension de sortie de l'enroulement 14.
La position de référence zéro au transmetteur est indiquée en EZ15 dans laquelle l'enroulement 13 est parallèle à la phase 17 du stator correspondant, et celle au récepteur est indiquée en EZ16 dans laquelle l'enroulement de rotor 14 est normal au plan de la plase correspondante 20. Malgré lefait que les enroulements de rotor 13 et 14 n'ont pas des positions semblables même pour cette condition de référence zéro, il
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a été établi que les courants purement sinusoïdaux produisent des mouvements angulaires exactement égaux des enroulements de rotor 13 et 14, vers l'équilibre.
Le moteur biphasé 26 est actionné en fonction de la dif férence de phase du courant de sortie amplifié de l'enroule- ment de rotor 14 du récepteur, par rapport au courant alter- natif d'alimentation, pour produire la condition d'équilibre spécifiée, un décalage de phase de 90 étant produit , par exemple, dans l'amplificateur.
Alors, en tenant compte du décalage de phase de 90 , les positions de référencezéroEZ15 et EZ16 au transmetteur et au récepteur peuvent être amenées en parallélisme avec les phases correspondantes 17 et 20 respectivement, en vue de déterminer l'erreur télémétrique.
Au lieu d'avoir uneseule bobine pour chaque phrase, on peut, en réalité, utiliser un stator à 9 encoches avec une pluralité de bobines par phase. Ces bobines peuvent être établies de la façon classique, comme dans la figure 2, en ce qui concerne une phase. Avec un rotor 'bipolaire symétrique, parallèle à la bobine c-h, associé avec les bobines b-g et d-i, tous les termes en cosinus et les termes en sinus d'har- moniques pairs disparaissent. Dans le présent exemple,, cha- cunedes trois bobines a 50 spires.
Mais, pour un stator triphasé à 9 encoches, les bobines sont modifiées de la façon classique, comme dans la figure 3, pour avoir des bobines analogues pour chaque phase, en fai- sant occuper, par chaque phase, un tiers du nombre total d'encoches, 3 dans le cas présent. Ainsi, nous avons les bobines c-h, c-g et d-h ayant chacune 50 spires conme dans la figure 2.
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En vue de réduire le travail de bobinage et de fixation mais sans produire de changement significatif ou perceptible de l'effet électro-magnétique, les bobines peuvent être re- disposées de façon plus ou moins classique, comme indiqué sur la figure 4, sans changer les caractéristiques électriques de l'enroulement, et, par suite, sans tomber dans la présente invention. Les extrémités des conducteurs qui forment les bobines parallèles peuvent être reconnectées pour former des bobines équivalentes dans lesquelles le sens de plusieurs conducteurs n'est pas changé, et d'une façon générale il est possible de réaliser un grand nombre de configurations diffé- rentes de bobines sans affeoter les caractéristiques électri- ques de l'enroulement.
Les bobines parallèles sont décri- tes à la fois pour plus de clarté et à titre de réalisation préférée.
Sur la figure 4, la bobine c-h embrasse 4 dents suivant le trajet le plus court et a 100 spires. La bobine d-g, de même, embrasse 3 dents et a 50 spires. cette disposition produit des 5e et 7e harmoniques bien importants lorsqu'on emploie un rotor circulaire, les dits harmoniques apparais- sant respectivement dans l'équation (1) donnée plus loin comme E5 sin. 5 et E7 sin. 7 #.
Ainsi qu'on l'a fait remarquer précédemment, le 5e harmonique peut être pratiquement éliminé et le 7e forte- ment réduit par l'emploi d'un léger amincissement des extré- mités des deux pôles saillants du rotor. Cette particularité sera discutée dans la suite et doit être considérée comme faisant partie de l'invention seulement en relation avec la stator spiral de la figure 18. Ou bien encore, un harmonique, par exemple le 5e, peut être éliminé dans l'enroulement comme de la figure 2, en utilisant entre les bobines, un angle élee-
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trique de 5 x 40 = 200 avec 0,5 N/ cos 20 = 0,532 N spires pour chacune des bobines latérales b-g et d-i pour N spires de la bobine c-h.
Mais il existe une autre solution, meilleure au point de vue commercial qui fait partie également de l'invention.
On s'est rendu compte qu'avec un stator à 9 encoches, on pouvait utiliser un maximum de quatre bobines parallèles dans chacune des phases. Le point principal à noter ici est qu'un maximum de seulement quatrobines indépendantes par phase, est possible dans un stator à 9 encoches.
Comme on le montrera par la suite, pour une élimination pratique- ment complète des harmoniques impairs, depuis le Se jusqu'au 15e, le 3e étant éliminé sans emploi d'un stator triphasé, le nombre de spires par phase dans les bobines identifiées par leur indice correspondant au nombre de dents embrassées sui- vant le trajet le plus court, s'expriment comme suit, aussi bien en % du nombre total par phase qu'en nombre réel de spi- res par phase
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<tb> Hobines <SEP> % <SEP> spires
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<tb> N <SEP> 30,54 <SEP> 46
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<tb> 100.00% <SEP> 150 <SEP> spires
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Ces bobines sont identifiées de façon correspondante dans la figure 5.
En d'autres termes, deux bobines ont été ajou- tées à celles de la figure 4 pour obtenir un fonctionnement amélioré, y compris l'absence de tout effet dû aux caracté- ristiques d'un rotor rond ayant deux pôles symétriques; le rotor étant dans ce cas, de préférence, du type à pôles non saillants.
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Egalement, d'après l'invention, comme indiqué sur la figure 6, une bobine unique peut être ajoutée aux deux de la figure 4 avec la même amélioration du fonctionnement, la différence principale étant que le bobinage est plus simple, tout en étant également efficace pour un stator triphasé connecté en Y. La relation entre les bobines est la suivante:
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<tb> Bobines <SEP> % <SEP> spires
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<tb> N2 <SEP> 12,1 <SEP> 18
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<tb> 100,0% <SEP> 150 <SEP> spires
<tb>
En d'autres termes, on a supprimé sur la figure 5 la bobine N1 qui a le coefficient de couplage le plus bas pour le fon- damental et qui est la plus difficile à installer.
L'addition de toute bobine N 2 à l'enroulement de phase d'un stator à 9 encoches produit une amélioration d'autant plus grande que l'on se rapproche de la valeur correcte dans le choix du nombre de spires pour cette bobine N2.
Une réalisation quelque peu différente est montrée en application à une disposition courante de la figure 7 dans laquelle le transmetteur 30 induit des composantes sinus et cosinus dans deux phases normales l'une à l'autre 31 et 32.
Le récepteur 33 comporte des phases mutuellement perpendicu- laires analogues 34 et 35, Les rotors respectifs 35 et 36 du transmetteur et du récepteur sont connectés à ,une source commune de courant alternatif. Il en résulte qu'un mouvement angulaire du rotor 36 du transmetteur produit un mouvement similaire du rotor 37 du récepteur jusqu'à une nouvelle posi- tion d'équilibre, comme il est bien connu.
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Selon l'invention, une phase d'un stator à 9 encoches utilisé dans cette disposition est faite comme le montre la figure 5, tandis que l'autre phase normale à la première est faite comme l'enroulement en escalier de la figure 8. Par suite de l'inclinaison moyenne des enroulements, il faut environ 1,5% de tours en plus dans ce dernier enroulement.
Il est visible, d'après la figure 8 que les quatre bobines de la figure 5 sont divisées en 8 bobines, comme suit :
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<tb> Bobines <SEP> -IL <SEP> spires
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<tb> 2N4' <SEP> 34,73 <SEP> 54
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<tb> 2N3' <SEP> 30,54 <SEP> 46
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<tb> 2N2' <SEP> 22,67 <SEP> 34
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Les deux bobines N , par exemple, peuvent avoir 9 spires, les bobines NI, étant lesbobines c-d et g-h. Cette phase bénéficie de la même absence d'harmonique que celle qui est montrée sur la Figure 5, à laquelle elle est normale. En choisissant un nombre total de spires différent, les nombres entiers de spires se rapprochent davantage des proportions correctes.
En se reportant à la figure 8, le couplage dans un sens, entre les deux phases dans une encoche donnée quelconque, par exemple l'encoche e, est complètement neutralisé par un couplage identique dans le sens opposé dans une encoche com- plémentaire, o'est-à-dire l'encoche f. Pour éviter la confu- sion, seule, la bobine e-f de l'autre phase est montrée, n pointillés) sur la figure 8.
Ainsi qu'il a été mentionné précédemment en relation avec les figures 2-4, le 5e harmonique peut être pratiquement
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éliminé au moyen d'un élargissement de valeur correcte de l'entrefer vers les extrémités des arcs polaires des pales d'un rotor à deux pôles saillants. Ainsi, en se reportant à la figure 9, un élargissement de l'entrefer de 0,127 mm. est le meilleur pour un rotor de 8,18 mm. de largeur et de 12,6 mm. de diamètre avec un entrefer minimum de 0,063 mm.
Le graphique de la figure 9 montre la tension pour le stator en pour cent de celle du rotor, pour diverses posi- tions du rotor par rapport à sa position de zéro montrée sur le croquis auxiliaire de la figure 9 des enroulements de stator. La courbe A3, par exemple, correspondant à un entre-
3 fer constant montre'cette relation comme étant non sinusot- dale, avec un fort 5e harmonique, tandis que la courbe B3, pour un rotor avec un élargissement de l'entrefer vers les extrémités des aras polaires de 0,127 mm. est sensiblement une sinusoïde pure, la courbe, pour la bobine qui entoure trois dents suivant le trajet le plus court, étant une bon- ne moyenne si on considère les coefficients de couplage des divers enroulements.
Les autres courbes B contiennent seule- ment comme harmoniques appréciables, des 3e harmoniques, qui, toutefois, sont neutralisés par la connexion en Y.
Ainsi qu'on l'a remarqué précédemment, ce rotor cons- titue un des moyens pour l'application dans la pratique de la méthode d'obtention d'une précision de télécommande supé- rieure par la réalisation d'un couplage entre le stator et le rotor qui varie pratiquement suivant une fonction purement sinusoïdale avec la variation de la position angulaire du rotor.
Bien que des surfaces magnétiques déformées définis- sant des entrefers variables soient bien connues dans la technique des moteurs et des générateurs, l'utilisation d'une variation de profil dépendant de la largeur de l'épanouisse-
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ment polaire et établie avec précision pour l'obtention d'une relation sinusoidale dans les télécommandes auto- synchrones permet de résoudre un problème qui était depuis longtemps un obstaole pour les travailleurs experts dans cette technique.
La figure 10 est un graphique analogue à celui de la figure 9, dans lequel le rapport de tension de la bobine en- tourant trois dents est comparé à une courbe purement sinu- soidale pour plusieurs variations différentes de profil des arc polaires et pour deux largeurs du rotor. Ceci montre que la variation de profil des arcs polaires du rotor sus- mentionné dans le sens d'augmentation de l'entrefer vers les extrémités des arcs polaires du rotor donne un comportement optimum et qu'il permet de diminuer la largeur effective du rotor. En d'autres termes, un rotor plus étroit exigerait une augmentation moindre de l'entrefer.
La considération des graphiques tels que montrés sur la figure 9 a également conduit à la réalisation d'une rela- tion se rap,prochant sensiblement d'une fonction purement si- nusoïdale par addition de la bobine 2 et l'adoption pour les autres bobines de nombres de spires montrés sur la figure 6.
Ce moyen additionnel permet d'amener les courants de circu- lation dans les trois phases, en phase, par rapport au temps, lorsque les rotors du transmetteur et du récepteur sont dans des positions de correspondance, en éliminant les 5e et 7e harmoniques de leurs impédances.
Ceci donne aussi une tension de zéro meilleure puisque le zéro médiocre que l'on a avec les enroulements classiques est dû aux différences de phases par rapport au temps de ces courants de circulation.
Par exemple, avec les enroulements de stators classiques, lorsque le rotor du transmetteur était à 30 de son zéro de référence,le rotor du récepteur était en équilibre à 32 , ce
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qui donnait une erreur de zéro de 2 . Cette erreur de zéro de 2 était causée par les harmoniques impairs mentionnés.
Bans ces conditions, il existait une tension de 0,150 volt résultant d'une relation incorrecte des phases par rapport au temps des dits courants de circulation. L'existence de cette tension était préjudiciable puisqu'elle se traduisait par le maintien d'un degré d'amplification pour l'entraîne- ment du moteur tellement bas que la commande à distance n'é- tait plus suffisamment sensible pour assurer le fonctionne- ment optimum. Grâce aux masures prises conformément àl'in- vention, cette tension de zéro peut être réduite à moins de un dixième de la valeur de 0,150 volt, avec une augmentation proportionnelle du degré d'amplification passible et de la sensibilité, et une diminution proportionnelle de l'erreur.
Une fois que la conception de base précédemment décrite, est bien comprise, il est possible de modifier la distribu- tion des spires dans les diverses bobines et déterminer ex- périmentalement l'approximation avec laquelle on approche de la relation véritablement sinusoïdale, en faisant des modifications successives, selon l'invention, jusqu'à ce qu'on obtienne la précision voulue.
Mais, bien que la méthode qui précède permette d'obtenir les résultats pratiques justifiant l'intérêt de la présente invention, celle-ci fournit également un procédé nouveau et plus direct, qui élimine utilement les approximations successives de tâtonnement.
Considérons la tension produite et l'impédance créée par une barre conductrice unique dans une encoche de stator d'un stator à 9 encoches, par exemple de la figure 11, lors- que la position angulaire d'un rotor non défini, excité en
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courant alternatif varie. sur la figure 12, la courbe@E montre le couplage d'une barre avec le rotor en volts par barre pour 1 volt par spire dans le rotor. Comme une barre constitue une demi-spire, le facteur de couplage maximum ainsi exprimé est environ 1/2. Les courbes El et E3 mon- trent la composante fondamentale et les fortes composantes de 3e harmonique.
Ceci peut se mettre sous la forme d'une série de Fou- rier :: ET = E1 sin # + E1' cos # E2 sin 2 # + E2,cos 2# (2)
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et Z a Zo + Z1 sin 0 + Zlt cos 0 + z2sin 2 zij + Z2'cos 20 (3) ou Z est une impédance mutuelle conventionnelle. appelons l'axe de l'arbre du rotor l'axe Z et l'axe des pôles N et S l'axe X.
Alors si le noyau de fer du rotor est par exemple symétrique mécaniquement, magnétiquement et élec triquement aussi bien par rapport à l'axe x que par rapport à l'axe y, tous les termes harmoniques pairs, c'est-à-dire tous les termes en sinus et cosinus et tous les termes en cosinus disparaissent et tous les termes atteignent une va- leur algébrique maximum à 90
ET = El sin 0 + E3 sin 3 # + E5 sin 5 # (4) Z - Zo+Z1 sin # + Z3 sin 3 # + Z5 sin 5 # (5)
La figure 5 montre les quatre bobines parallèles indé- pendantes possibles d'un stator à 9 encoches.
En se rappor- tant à la Figure 13, l'axe de référence est choisi à 90 /n de l'encoche, a, pour amener cet axe à être parallèle aux bobines, n'étant le nombre d'encoches du stator. Ainsi qu'il est montré sur la figure 14, avec le dispositif ci-dessus, la courbe de couplage fondamentale des barres dans l'encoche a est déplacée de 10 , et la courbe de couplage fondamental des barres dans l'encoche e est déplacée de 170 , de sorte que le couplage de la bobine (n-1)'/2, = 4 où. (n-l)/2 est le pas de cette bobine, est N(n-1)/2 90 o 90
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El sj,n ( an ) )-N( n-1 1/ 2 El six (iso 0 90 n
90 2 E1 (sin #) N(n-1)/2 cos - ) n
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où N est le nombre de spires et l'indice est le pas des en- coches.
Pour le stator à 9 encoches, ce facteur est 2E1 sin N4 cos 10 .
Ce facteur de couplage fondamental est montré sur la figure 14 et sous forme vectorielle sur la figure 15.
De même, le facteur de couplage fondamental dans la bobine (n-3) de pas égal à 5 est 2E1 sin N(n-3)/2 900 2 cos - comme le montre l'équation suivant (7) n 90 90 ET1 = 2E1 sin [N(n-3)/2 cos 90 /n + N(n-5)/2 cos 90 /n + N1 cos (n-2) 90 /n ] (7) qui, pour le stator à 9 encoches se réduit à ET1 = 2E1 sin (N4 oos 10 + N4 cos 30 + N2 cos 50 + N1 cos 70 ) (8)
De même, pour tout harmonique h dans la courbe de cou- plage de la figure 12, la-phase de la courbe est déplacée de 90 /n pour les barres de l'encoche a. Ainsi, le 3e harmoni- que des barres dans l'encoche a d'un stator à 9 encoches mon- tré sur la figure 13 est à trois fois la soit 30 du zéro de la courbe du 3e harmonique.
Les 3e harmoniques des barres dans les encoches a et e, s'additionnent vectoriellement comme le montre la figure 16, de sorte que le troisième har- monique dans la bobine 4 du stator à 9 encoches est ET1 - 2E1 sin 3# (N4 cos 30 ) (9)
Ceci peut s'exprimer de façon générale pour tous les harmoniques, comme suit :
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"Tl - 2% sin h 0 [ N(n-.12 cos h 900 N(n.,3J%2 cos 900 ETl 2En. sin h N(n-ll/2 cos - N (n:-3)/2 cos 90 N1 cos h(n-2) 90 /n (10) D'après ce qui précède, il est visible que tout harmonique donné peut être supprimé au moins de deux façons différentes:
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ou bien Eh sin h# peut être rendu égal à zéro en modifiant la distribution du flux du rotor ou bien le terme entre cro- chets peut être annulé par une distribution appropriée des spires dans les encoches du stator, conformément à l'équa- tion (10).
Il y a lieu de remarquer que les éléments stator et ro- tor peuvent être interchangés ou inversés, de sorte qu'un rotor cylindrique ayant un nombre impair d'encoches, avec un enroulement sinusoïdal à une ou plusieurs phases, réparti comme il a .été esquissé ci-dessus, fonctionne comme un stator ayant un nombre pair d'encoches et des enroulements symétri- ques très simples. De tels enroulements seraient très avan- tageux lorsqu'il est désirable d'avoir un grand nombre de phases au stator.
Sur la figure 17, c'est le rotor, au lieu du stator, qui est bobiné non harmoniquement, selon l'invention, tandis que le stator, est symétrique. Pour cet exemple, un enroulement monophasé est placé sur un rotor à 7 encoches utilisant trois bobines parallèles, ou leurs équivalents, et deux enroulements normaux, monophasés, sont placés sur un stator à 12 encoches utilisant deux bobines parallèles par phase, de préférence,' chacune d'un pas de 5 encoches.
Cette construction a l'avantage que le rotor n'a pas besoin d'être tellement symétrique, ce qui est de grande im- portance pour des applications aux commandes de haute pré- cision et notamment aux transmetteurs d'angles de position de gyroscopes suspendus à la cardan, Ceci illustre la possi- bilité d'inversion du rotor et du stator.
La disposition montrée sur la figure 18 est basée sur la forme du rotor pour produire une distribution du flux de rotor qui élimine les 5e et 7e hamoniques. Le rotor et le o stator ont un décalage relatif de 40 le stator comportant
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effectivement 9 encoches composées de 6 encoches inactives complétant 3 encoches contenant les bobinages, avec les bobi- nes connectées en Y pour éliminer le 3e harmonique.
Cette construction permet de réaliser des unités transmettrices et réceptrices selon l'invention de dimensions minima, ces unités étant capables d'assurer entre la tension et le mouvement du rotor une relation qui se rapproche pratiquement d'une véritable sinusoïde, rendant ainsi possible la réa- lisation d'une télécommande précise avec des dispositifs du type auto-synchrone à servo-moteur décrits, les arcspolaires des pôles du rotor étant amincis vers les extrémités de façon à produire la relation sinusoïdale désirée.
Ainsi qu'il apparaît sur la figure 19 qui montre un stator ayant un nombre n impair d'encoches le nombre maximum de bobines parallèles indépendantes est n-1 pour les quin-
2 ze encoches de ce stator.
Dans l'emploi du procédé de Fourier modifié, une cer- taine symétrie apparait dans l'élimination des harmoniques au-dessus et au-dessous du nème harmonique, où n est toujours le nombre d'encoches du stator.
Considérons le nème harmonique: cos h 90 /n - cos n 90 /n = cos 90 = 0 (11) Alors, pour l'harmonique h' = n + 2 : cos h' 90 /n - cos (n+2) 90 /n = cos (90 +180 /n) (12) et pour l'harmonique h" = n-2: cos h" 900/n - cos (n-2)90 /n = cos (90 -180 /n) (13)
On verra, d'après les équations (12) et (13) que ces termes sont symétriques par rapport au nème harmonique, puis- que cos (90 +180 /n) = - cos (90 -180 /n)
De cette façon, si le Eh" pour une valeur particulière quelconque de h inférieure à n est rendu nul en distribuant l'enroulement de façon à rendre nul le .terme entre crochets, alors, la valeur de la somme 3h', pour un ordre égal au-des-
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sus de n,
est également nulle.
Par exemple, avec un stator à 9 encoches, où E7 est rendu égal à zéro, E11 est aussi nul puisque:
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E7-2E'lsin 715(N4cos 90 +NSoos 120 +N2cos350 +Nlgos 4900)=O (15) et: E11 llsin 11%(N cos 110o+NScos 560 +N 2 oos 550 0+Nloos770o)-o (16) En remarquant que : cos 70 = - cos 110 cos 210 = - cos 330 cos 350 = - cos 550 = - cos 190 cos 490 = - cos 130 = - cos 770 = - cos 50 En d'autres mots, les termes N4' N3' N2' N1 sont identiques dans les deux équations et les termes en cosinus ont des valeurs numériques identiques mais sont de signes opposés.
On peut remarquer en passant, que le terme N3 dans les équa- tions (15) et (16) est de signe opposé aux autres termes.
En ce qui concerne le facteur de couplage fondamental des enroulements de type en escalier, le couplage de la bobi ne à pas de quatre encoches, dans un stator à 9 encoches par exemple, est : (1 + cos 20 ) au lieu de (2 cos 10 ), comme il a été expliqué pour un enroulement à bobines parallèles ou
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8 ces 10 2 + 0,9848 1,9696 1+eos 20 1 + 0,9397 1,9397 1,015 En d'autres termes, l'enroulement à bobines en escalier exige 1,5% plus de spires que l'enroulement correspondant à bobines parallèles. Bien que cet effet soit petit, sa prise en consi- dération aide à améliorer la distribution des enroulements.
Bien que ceci soit généralement moins intéressant, un stator et un rotor ayant un nombre pair d'encoches peuvent être utilisés, conformément à l'invention, par une extension
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du procédé précédent, cette extension étant considérable, car cette application exige la prise en considération d'enroule- ments non parallèles, et, par suite, aussi bien des termes sinus que des termes cosinus de Eh. On ne la donne pas ici, puisqu'elle n'implique aucun nouveau principe, et elle peut être effectuée par une personne connaissant cette technique sur la base des explications qui précèdent. De même, d'au- tres enroulements de type en escalier, généralement indési- rables, peuvent être réalisés pour des cas particuliers, dans le cadre de l'invention, avec des stators ayant un nombre impair d'encoches.
D'après ce qui précède, il apparaît clairement que l'in vention peut être réalisée sous des formes nombreuses et di- verses. Comme exemple, il peut être avantageux de l'utiliser avec de gros alternateurs dans lesquels le rendement peut être augmenté par la production d'une onde de tension se rappro- chant sensiblement de la forme purement sinusotdale. Comme autre exemple, on peut l'utiliser simplement avec des éléments électriques capables de déplacements relatifs par translation au lieu de rotation, par exemple dans des détecteurs pour produire des signaux de travail destination de trains en mouvement. Comme autre exemple encore, elle permet de réali ser une modulation plus précise d'une tension d'entrée à on- de carrée.
Elle permet également d'éliminer une difficulté de vieille date des systèmes de servo-commande inductifs au- to-synchrones due à la présence des erreurs de position et des points des tensions zéro élevées espacés à des intervalles de 60 .
Lorsqu'une distribution des conducteurs faisant disparai- tre tous les coefficients au-dessus du premier est établie, la sortie du stator varie exactement comme une fonction sinu-
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soldale et l'impédance se compose d'une somme d'une constante et d'une variation sinusoïdale qui devient nulle si le rotor est un cylindre à encoches inclinées sans avance électrique.
Ceci est vrai quelle que soit la forme du rotor et la distri- bution du flux, pourvu qu'il n'y ait pas de changements brus- ques produisant des harmoniques appréciables supérieurs à ceux qui sont neutralisés. Pour tous les rotors que l'on rencontre en pratique, cette condition est pleinement remplie.
Ce n'est que si le rotor n'est pas muni d'encoches inclinées et som-tend unrc extrêmement pâtit c'est-à-dire si le flux est concentré dans un angle de moins de 30 que cette condi- tion n'est pas remplie: Les seuls écarts qui restent sont dûs à des erreurs mécaniques qui affectent la symétrie et il est maintenant possible dans tous les cas pratiques de faire disparaître les erreurs théoriques dans les erreurs de "fond" produites mécaniquement.
Si on le désire, un rotor ayant un nombre impair d'en- coches bobinées conformément à la distribution assurant l'éli- mination des harmoniques, peut être utilisé pour produire des tensions réellement sinusoïdales dans un stator ayant un nombre pair d'encoches, avec des enroulements de stator très simples de toute distribution, pourvu seulement que ces en- roulements soient symétriques par rapport aux deux axes nor- maux à l'arbre.
Par exemple, un rotor 4 7 encoches, à excitation mono- phasée, bobiné de façon à éliminer les 3e, 5e, 9e et lle harmoniques et travaillant soit dans un stator triphasé à 6 encoches ou dans un stator à 12 encoches, ayant 1,2,3, 4,6 ou 12 phases, donne d'excellentes tensions de sortie purement sinusoïdales dans toutes les phases. Cette combinai- son se révèle aussi avantageuse et simple pour un système de
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commande à distance diphasé ou pour résoudre les angles en composantes sinus et cosinus.
Pour certains buts, par exemple pour un dispositif syn- chrone de type différentiel, l'invention peut être mise en pratique en utilisant un rotor ayant un enroulement triphasé connecté en Y, qui est symétrique dans le plan de rotation, par rapport à deux axes perpendiculaires l'un à l'autre et à l'axe de rotation (comme, par exemple, l'enroulement de sta- tor de la figure 17), dans un stator ayant un enroulement triphasé, connecté en Y, avec des bobines dont le nombre de spires varie directement avec le pas des encoches, (par exemple comme dans les figures 1, 5 et 6). Ou bien le rotor et le stator peuvent être intervertis.
Si l'on veut obtenir une autre forme d'onde que la forme sinusoïdale, on peut l'obtenir en utilisant la méthode indiquée ici. De même, selon l'invention, la composante fon- damentale peut être supprimée et il est possible de produire un harmonique élevé à l'aide d'un générateur à faible vitesse.
Bien que dans la disposition ci-dessus on a parlé d'une paire de pôles, celle-ci peut être l'une d'un certain nom- bre de paires de pôles.
Dans ce qui précède, on a mentionné des unités synchrones ou des unités inductives auto-synchrones. Ces termes se rap- portent soit à des unités transmettrices soit à des unités réceptrices du genre décrit dans le brevet américain No 2.038.059 du 17 Janvier 1935. De même, on s'est référé dans la description précédente aux dispositifs servo-moteurs in- auto-synchrones. Ce terme se rapporte au dispositif ductifs/ du genre décrit dans le brevet américain du 29 Décem bre 1938, No 2.240.680. Toutefois, l'invention est applica- ble à des dispositifs et systèmes utilisant à l'une des ex- trémités de la commande un dispositif suivant l'un des bre- vets mentionnés et à l'autre extrémité un dispositif différent.
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Bien que l'on ait illustré et décrit quelques unes des réalisations de l'invention, il est entendu que l'on peut y apporter divers modifications et changements quant à son application à la forme de réalisation et.la disposition rela- tive des éléments composants, sans pour cela sortir de son domaine ni s'écarter de son esprit.
REVENDICATIONS.
1. Dans un dispositif électrique à courant alternatif com- portant deux éléments relativement mobiles induotivement couplés, un enroulement sur au moins l'un des dits éléments, distribué de manière telle que le nombre moyen de barres ou conducteurs du dit enroulement par degré électrique, varie avec l'angle élec- trique des barres à partir d'une position de référence de coupla- ge neutre sur une gamme de 90 degrés électriques, en substance conformément à la solution d'un déterminant comprenant un certain nombre d'équations dont chacune est égale à zéro et représente un harmonique à neutraliser dans la relation du couplage à la position relative des deux dits éléments, chacune des dites équations comprenant une série finie de termes sinusoïdaux, et chacun de ces termes exprimant, pour chaque barre et l'harmoni- que particulier,
le facteur de couplage de la barre en dépendan- ce de son angle électrique à partir de la position de référence.
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"Improvements to induction devices"
The present invention relates to the improvement of the operation of electrical devices having parts movable with respect to one another, the relative movement between these parts being able to be either a rotation or a linear translation of one. position to another. It relates more particularly, but not exclusively to a high precision telemetry servo-control produced by the simultaneous movement of the rotors of the transmitting and receiving devices and in particular of the devices of the well known type of self-synchronous motors having three-phase stators.
The invention generally relates to novel methods and means for the production in devices of the kind specified, depending on the angular position of the rotor, voltages and variations in size.
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pedance which are substantially pure sinusoidal functions.
A more particular object of the invention is a remote measurement or transmission device capable of high precision by virtue of the substantially complete elimination of errors due to the characteristics of rotors.
The object of the invention is also to improve the preparation of telemetry systems of the type specified by the use of new methods and means making it possible to reduce errors due to stators, these methods and means aiming at a new distribution of the windings of stators.
Another object of the invention is to provide electrical engineers with a new means enabling them to determine in advance the construction characteristics of electrical devices having rotors with a view to achieving optimum performance, which is also important. in the case of generators or motors of great power or at high operating speed than in the case of purely sinusoidal current alternators and of measuring or remote control devices of the self-synchronous type.
In fact, it has been found that the performance of both generators and motors is improved if the harmonic components are reduced to a minimum, which are generally attenuated and lost in the transmission connections and lead to a reduction in efficiency.
The above and other objects and novel features of the invention will become more fully apparent from the following detailed description and from the drawings.
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attached, it being understood that these drawings are given only by way of non-limiting example.
Until now, it has been practice to seek to achieve the precision of remote measuring and control systems by making the transmitters and receivers identical to each other and relying on their corresponding characteristics. But this method was found to be inadequate because the practical manufacturing tolerances, unless special precautions were taken, were too large to achieve high precision. However, it has been found that it is very advantageous in telemetry or remote control systems to reduce to a minimum the variations in currents of the purely sinusoidal form, the obtaining of which constitutes the main object of the present invention.
It is known that any curve of variation, either of voltage or of impedance as a function either of the angular position or of time, can be analyzed on the basis of the Fourier series with any degree of approximation desired by l use of a sufficient number of terms. The present invention establishes a distribution of stator and / or rotor windings whereby virtually all harmonics which may affect the operation or performance of the telemetry or remote control system are eliminated. In addition, the invention provides a new technique for the use of Fourier analysis, so as to make possible for the first time, a direct production of stators and / or rotors of the above type. without requiring the establishment and testing of a succession of experimental models.
This way of proceeding, by eliminating the harmonics while not canceling them, is more efficient than any known process and in particular that which is described in the patent.
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American vet No 2.348.572, in which the harmonics are first produced and then weakened and dissipated.
Moreover, the techniques of the two processes are radically different.
Before going into details, it will be given below under a brief general outline of the method followed to tackle this problem. For example, with the use of a two-pole bi-symmetrical rotor, the voltage Es of a coil or stator coil and its angle can be represented by the expression Es = E1 sin. # + E sin. 3 # + E5 sin. 5 E7 sin.
7 # in which the cosine terms as well as all the even order sine terms have been eliminated due to the bi-symmetry of the rotor. On the other hand, by using a three-phase stator, connected in Y, the 3rd and 9th harmonics disappear, as is well known. The 9th harmonic also disappears with the 9 notch stators, which leaves only the 5th harmonic and higher order harmonics with their amplitude rapidly decreasing with the order number of the harmonic. So practically only the 5th and 7th harmonics remain as the main sources of errors.
However with a rotor with salient poles, the 5th and / or the 7th harmonic also can be practically eliminated by thinning the faces of the poles towards their ends, taking into account their width so as to increase the air gap towards the ends. ends, as it is known.
But when a rotor with poles so shaped is used in a receiver of a transmission or a remote control with servomotor and the servomotor for some reason does not work, said rotor introduced into the system of errors which destroy the precision of the
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very receivers connected in parallel. This makes a cylindrical rotor with non-salient poles highly preferable. As stators associated with two-pole rotors employ only an odd number of notches to reduce errors, and in the case of undivided windings and three-phase stators, the number of notches is one. integer multiple of three, the possible number of notches in the stator would be 3, 9, 15, 21, 27, 33 ......
Taking for example, a 9-notch stator and a circular, 8-notch bipolar rotor, with about one notch of relative offset between stator and rotor, the number of bars in several notches can be determined according to the present invention in such a manner. to ensure practically complete elimination of the 5th and 7th harmonics, whereby parallel or equivalent, inductive coils with unequal numbers of turns are thus usable in the stator according to the present invention.
Once this design has been formulated, then from an examination of the curves of Es / Er for different rotor angles, Es and Er being respectively the stator and rotor voltages (for a phase considered), the distribution of the spi - winding res has been changed from 100-50 for one phase to 80-50-20 (or about 55 1/3 - 33 1/3 - 13 1/3% of the total number of turns per phase) and a marked improvement in performance was observed.
However, by the modification of the Fourier analysis according to the invention, these percentages become 53.2, 34.7 12.1 and the elimination of 3rd to 9th order harmonics. Is practically complete and independent of the characteristics of any. symmetrical rotor, which is of great importance
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this practice. This makes it possible to obtain in a three-phase servo-motor self-synchronous remote control system both greater precision and a much lower residual zero voltage, which makes it possible to use it for the receiver of a much more sensitive servo motor drive.
Further, using the modified Fourier analysis according to the present invention, it is possible with a 9 notch stator, a bipolar symmetrical rotor and an unwanted Y connection to establish a stator winding employing four coils with 34.7, 30.5, 22.7 and 12.1% of the total number of turns per phase, with (because of the symmetry of the harmonics with respect to the 9th harmonic), negligible harmonics from the 3rd to the 15th, and without qu 'no higher order harmonics are produced in appreciable amounts.
Likewise, the conditions imposed by special purposes can be fulfilled by the modified Fourier analysis. Thus, for example, a virtually equal winding arranged perpendicular to the aforementioned parallel coils, can be used to provide with said coils two field components at right angles, this winding possibly being a winding formed by a series of separate coils, composed respectively of numbers of turns corresponding to the halves of the values 34.7, 30.5, 22.7 and 12.1% indicated above.
The foregoing summary illustrates both the possibilities and the flexibility of the method of the present invention.
In the drawings, in which the same reference numbers indicate like parts in all the figures
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res:
Figure 1 is a schematic of a conventional self-synchronous remote servo control system;
Figure 2 is a schematic representation of a typical stator with a conventional coil distribution, the coils having an equal number of turns and being uniformly spaced at a constant angle;
Figure 3 is a similar schematic representation showing a common distribution of like coils suitable for three-phase systems.
FIG. 4 is a similar schematic representation of another more or less conventional winding giving results identical to those of the diagram of FIG. 3;
Figures 5 and 6 are schematic representations of 9-notch stators with a distribution of coils established according to the invention with a view to eliminating harmonics, the arrangement of Figure 5 not requiring the Y connection to eliminate the third harmonic while the arrangement of Figure 6 requires the Y connection to eliminate the third harmonic;
Figure 7 is a conventional circuit diagram for a two-phase remote controller using two phases perpendicular to each other in the stator and a single-phase winding on the rotor;
FIG. 8 shows a distribution of coils for a 9-notch stator with a winding of a step-type phase made according to the invention, arranged perpendicular to that of FIG. 5 forming the second phase, only the lower coil of Figure 5 being indicated in dotted lines at the bottom of Figure 8, to show the relative orientation of the coils in the two phases;
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Fig. 9 is a graph showing the relationship between rotor angle and coupling factor for a 9 notch / stator and a two salient pole rotor with zero thinning and 0.127mm thinning. as shown on one of the accessory sketches while the other accessory sketch shows the angular reference zero.
Fig. 10 is a similar graph for a three-notch pitch coil for various rotor widths and thinnings;
Figure 11 is a schematic representation of a 9-notch stator showing a bar and the reference axis of the rotor;
Fig. 12 is a graph showing the coupling coefficient for one phase with the fundamental and the third harmonic plotted against time;
Figure 13 is a schematic representation of a 9 notch stator showing the position of the reference axis for symmetry with respect to an axis normal to the reference axis;
Figure 14 is a graph having the same coordinates as Figure 12, but showing the fundamental for the four-notch coil ae of Figure 13, the fundamental being out of phase by 10 and the third harmonic by 30 with respect to the reference axis of Figure 13;
Figure 15 is a vector diagram for the background of the graph of Figure 14;
Figure 16 is an analogous vector diagram for the third harmonic of Figure 14;
Figure 17 is a schematic representation of a 7-notch single-phase rotor, working in a normal, two-phase, 12-notch stator with the rotor winding con-
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form to invention;
Fig. 18 is a similar schematic representation of a rotor with 2 thinned salient poles, in a stator with three coils in three notches and 6 active notches to effectively constitute a 9 notch stator;
Figure 19 is a winding diagram similar to those of Figures 5 and 6 showing the possible positions of independent parallel coils in a stator having an odd number of notches eg fifteen, as shown.
Fig. 1 shows a well-known self-synchronous servo-drive having similar transmitter and receiver devices and a servo motor associated with the latter. Leaving aside said servo motor, the AC supply conductors 11 and 12 should be regarded as connected to the rotor windings 13 and 14 of the transmitter and receiver devices 15 and 16 respectively.
In the example shown, these conductors are connected to the rotor winding 13 of the transmitter as well as to a phase of the servomotor and to the amplifier device associated with the rotor winding 14 of the receiver 16. The transmitter devices and receiver 15 and 16 respectively, have three phases 17, 18, 19 and 20, 21 and 22 connected in Y and they are connected together by conductors 23, 24 and 25. Figure 1 shows the equilibrium position of the system with the rotor winding 14 of the receiver being perpendicular to the rotor winding 13 of the transmitter and the flow in the receiver, to minimize the output voltage of the winding 14.
The zero reference position at the transmitter is indicated in EZ15 in which the winding 13 is parallel to the phase 17 of the corresponding stator, and that at the receiver is indicated in EZ16 in which the rotor winding 14 is normal to the plane of the plase. 20. Despite the fact that the rotor windings 13 and 14 do not have similar positions even for this zero reference condition, it
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It has been established that the purely sinusoidal currents produce exactly equal angular movements of the rotor windings 13 and 14, towards equilibrium.
The two-phase motor 26 is operated according to the phase difference of the amplified output current of the rotor winding 14 of the receiver, relative to the supply AC current, to produce the specified equilibrium condition. where a phase shift of 90 is produced, for example, in the amplifier.
Then, taking into account the phase shift of 90, the zero reference positions EZ15 and EZ16 at the transmitter and the receiver can be brought in parallel with the corresponding phases 17 and 20 respectively, in order to determine the ranging error.
Instead of having a single coil for each sentence, we can actually use a 9-notch stator with a plurality of coils per phase. These coils can be established in the conventional way, as in Figure 2, with respect to a phase. With a symmetrical bipolar rotor, parallel to the coil c-h, associated with the coils b-g and d-i, all the cosine terms and the sine terms of even harmonics disappear. In the present example, each of the three coils has 50 turns.
But, for a three-phase stator with 9 notches, the coils are modified in the conventional way, as in figure 3, to have similar coils for each phase, by occupying, by each phase, one third of the total number of 'notches, 3 in this case. Thus, we have the coils c-h, c-g and d-h each having 50 turns as in figure 2.
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In order to reduce the work of winding and fixing but without producing a significant or perceptible change in the electromagnetic effect, the coils can be arranged in a more or less conventional manner, as shown in figure 4, without changing the electrical characteristics of the winding, and therefore without falling within the present invention. The ends of the conductors which form the parallel coils can be reconnected to form equivalent coils in which the direction of several conductors is not changed, and in general it is possible to realize a large number of different configurations of coils without affecting the electrical characteristics of the winding.
Parallel coils are described both for clarity and as a preferred embodiment.
In Figure 4, the coil c-h embraces 4 teeth along the shortest path and has 100 turns. The d-g coil, likewise, embraces 3 teeth and has 50 turns. this arrangement produces very important 5th and 7th harmonics when a circular rotor is used, the said harmonics appearing respectively in equation (1) given below as E5 sin. 5 and E7 sin. 7 #.
As noted above, the 5th harmonic can be practically eliminated and the 7th greatly reduced by the use of a slight thinning of the ends of the two salient poles of the rotor. This feature will be discussed in the following and should be regarded as forming part of the invention only in relation to the spiral stator of figure 18. Alternatively, a harmonic, for example the 5th, can be eliminated in the winding as of figure 2, using between the coils, a high angle
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tric of 5 x 40 = 200 with 0.5 N / cos 20 = 0.532 N turns for each of the side coils b-g and d-i for N turns of the coil c-h.
But there is another, better solution from a commercial point of view which also forms part of the invention.
It was realized that with a stator with 9 notches, one could use a maximum of four parallel coils in each of the phases. The main point to note here is that a maximum of only four independent coils per phase is possible in a 9 notch stator.
As will be shown subsequently, for a practically complete elimination of odd harmonics, from the Se to the 15th, the 3rd being eliminated without the use of a three-phase stator, the number of turns per phase in the coils identified by their index corresponding to the number of embraced teeth following the shortest path, are expressed as follows, both as a% of the total number per phase and as a real number of turns per phase
EMI12.1
<tb> Hobines <SEP>% <SEP> turns
<tb>
<tb>
<tb>
<tb> N4 <SEP> 34.73 <SEP> 52
<tb>
<tb>
<tb>
<tb>
<tb> N <SEP> 30.54 <SEP> 46
<tb>
<tb>
<tb>
<tb>
<tb> N2 <SEP> 22.67 <SEP> 34
<tb>
<tb>
<tb>
<tb>
<tb> N1 <SEP> 12.06 <SEP> 18
<tb>
<tb>
<tb>
<tb>
<tb>
<tb> 100.00% <SEP> 150 <SEP> turns
<tb>
These coils are identified correspondingly in Figure 5.
In other words, two coils have been added to those of Figure 4 to achieve improved operation, including the absence of any effect due to the characteristics of a round rotor having two symmetrical poles; the rotor being in this case, preferably, of the non-salient pole type.
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Also, according to the invention, as shown in figure 6, a single coil can be added to the two of figure 4 with the same improvement in operation, the main difference being that the winding is simpler, while being also effective for a three-phase stator connected in Y. The relationship between the coils is as follows:
EMI13.1
<tb> Coils <SEP>% <SEP> turns
<tb>
<tb>
<tb>
<tb> N4 <SEP> 53.2 <SEP> 80
<tb>
<tb>
<tb>
<tb> N3 <SEP> 34.7 <SEP> 52
<tb>
<tb>
<tb>
<tb>
<tb> N2 <SEP> 12.1 <SEP> 18
<tb>
<tb>
<tb>
<tb>
<tb> 100.0% <SEP> 150 <SEP> turns
<tb>
In other words, in FIG. 5, the coil N1 which has the lowest coupling coefficient for the fundamental and which is the most difficult to install has been omitted.
The addition of any coil N 2 to the phase winding of a stator with 9 notches produces an improvement which is all the greater as one approaches the correct value in the choice of the number of turns for this coil N2. .
A somewhat different embodiment is shown in application to a common arrangement of FIG. 7 in which the transmitter 30 induces sine and cosine components in two phases normal to each other 31 and 32.
Receiver 33 has similar mutually perpendicular phases 34 and 35. Respective rotors 35 and 36 of transmitter and receiver are connected to a common source of alternating current. As a result, angular movement of the rotor 36 of the transmitter produces a similar movement of the rotor 37 of the receiver to a new position of equilibrium, as is well known.
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According to the invention, one phase of a 9-notch stator used in this arrangement is made as shown in Fig. 5, while the other phase normal to the first is made like the stepped winding of Fig. 8. Due to the average inclination of the windings, about 1.5% more turns are required in this last winding.
It can be seen from figure 8 that the four coils of figure 5 are divided into 8 coils, as follows:
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<tb> Coils <SEP> -IL <SEP> turns
<tb>
<tb>
<tb>
<tb>
<tb> 2N4 '<SEP> 34,73 <SEP> 54
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<tb>
<tb>
<tb>
<tb>
<tb> 2N3 '<SEP> 30.54 <SEP> 46
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<tb>
<tb>
<tb> 2N2 '<SEP> 22.67 <SEP> 34
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<tb>
<tb> 2N1 '<SEP> 12.06 <SEP> 18
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<tb>
<tb>
<tb>
<tb>
<tb>
<tb>
<tb>
<tb> 100.00% <SEP> 152 <SEP> turns
<tb>
The two N coils, for example, can have 9 turns, the NI coils being the c-d and g-h coils. This phase benefits from the same absence of harmonic as that shown in Figure 5, to which it is normal. By choosing a different total number of turns, the whole numbers of turns are closer to the correct proportions.
Referring to figure 8, the coupling in one direction, between the two phases in any given notch, for example the notch e, is completely neutralized by an identical coupling in the opposite direction in an additional notch, o 'that is, the notch f. To avoid confusion, only the e-f coil of the other phase is shown, n dotted) in figure 8.
As previously mentioned in connection with Figures 2-4, the 5th harmonic can be practically
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eliminated by means of an enlargement of the correct value of the air gap towards the ends of the pole arcs of the blades of a rotor with two salient poles. Thus, referring to FIG. 9, an enlargement of the air gap of 0.127 mm. is best for an 8.18mm rotor. wide and 12.6 mm. in diameter with a minimum air gap of 0.063 mm.
The graph of Figure 9 shows the voltage for the stator in percent of that of the rotor, for various positions of the rotor relative to its zero position shown in the auxiliary sketch of Figure 9 of the stator windings. The curve A3, for example, corresponding to an inter-
3 constant iron shows this relationship to be non-sinusotal, with a strong 5th harmonic, while curve B3, for a rotor with a widening of the air gap towards the ends of the pole arrays of 0.127 mm. is substantially a pure sine wave, the curve, for the coil which surrounds three teeth along the shortest path, being a good average if we consider the coupling coefficients of the various windings.
The other B curves contain only 3rd harmonics as appreciable harmonics, which, however, are neutralized by the Y connection.
As has been observed previously, this rotor constitutes one of the means for the application in practice of the method of obtaining greater remote control precision by making a coupling between the stator and the rotor which varies substantially according to a purely sinusoidal function with the variation of the angular position of the rotor.
Although deformed magnetic surfaces defining variable air gaps are well known in the motor and generator art, the use of a variation in profile depending on the width of the fan.
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polarization and precisely established for obtaining a sinusoidal relation in autosynchronous remote controls solves a problem which has long been an obstacle to workers skilled in this technique.
Figure 10 is a graph analogous to that of Figure 9, in which the tension ratio of the coil surrounding three teeth is compared to a purely sinusoidal curve for several different variations in the profile of the polar arcs and for two widths. of the rotor. This shows that the variation in profile of the pole arcs of the aforementioned rotor in the direction of increasing the air gap towards the ends of the pole arcs of the rotor gives optimum behavior and that it makes it possible to reduce the effective width of the rotor. In other words, a narrower rotor would require less increase in air gap.
Consideration of the graphs as shown in figure 9 has also led to the realization of a relation rela- tion, appreciably proceeding from a purely sinusoidal function by addition of the coil 2 and the adoption for the other coils. number of turns shown in Figure 6.
This additional means makes it possible to bring the circulating currents in the three phases, in phase, with respect to time, when the rotors of the transmitter and of the receiver are in corresponding positions, by eliminating the 5th and 7th harmonics of their. impedances.
This also gives a better zero voltage since the poor zero that we have with conventional windings is due to the phase differences with respect to time of these circulating currents.
For example, with conventional stator windings, when the transmitter rotor was at 30 from its datum, the receiver rotor was balanced at 32, this
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which gave an error of zero of 2. This zero error of 2 was caused by the odd harmonics mentioned.
Under these conditions, there was a voltage of 0.150 volts resulting from an incorrect relationship of the phases with respect to the time of said circulating currents. The existence of this voltage was detrimental since it resulted in maintaining a degree of amplification for driving the motor so low that the remote control was no longer sensitive enough to ensure operation. - optimum ment. By means of measures taken in accordance with the invention, this zero voltage can be reduced to less than one tenth of the value of 0.150 volts, with a proportional increase in the degree of acceptable amplification and of the sensitivity, and a proportional decrease in. the mistake.
Once the basic design previously described is well understood, it is possible to modify the distribution of the turns in the various coils and to experimentally determine the approximation with which one approaches the true sinusoidal relation, by making successive modifications, according to the invention, until the desired precision is obtained.
But, although the above method makes it possible to obtain the practical results justifying the interest of the present invention, it also provides a new and more direct method, which usefully eliminates the successive approximations of trial and error.
Consider the voltage produced and the impedance created by a single conductor bar in a stator slot of a 9-slot stator, for example in Figure 11, when the angular position of an undefined rotor, excited in
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alternating current varies. in figure 12, curve @ E shows the coupling of a bar with the rotor in volts per bar for 1 volt per turn in the rotor. As a bar constitutes a half-turn, the maximum coupling factor thus expressed is approximately 1/2. Curves E1 and E3 show the fundamental component and the strong components of the 3rd harmonic.
This can be put in the form of a Fou- rier series :: ET = E1 sin # + E1 'cos # E2 sin 2 # + E2, cos 2 # (2)
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and Z a Zo + Z1 sin 0 + Zlt cos 0 + z2sin 2 zij + Z2'cos 20 (3) where Z is a conventional mutual impedance. Let us call the axis of the rotor shaft the Z axis and the N and S pole axis the X axis.
Then if the iron core of the rotor is, for example, mechanically, magnetically and electrically symmetrical with respect to both the x axis and the y axis, all even harmonic terms, that is to say all the sine and cosine terms and all cosine terms disappear and all the terms reach a maximum algebraic value of 90
ET = El sin 0 + E3 sin 3 # + E5 sin 5 # (4) Z - Zo + Z1 sin # + Z3 sin 3 # + Z5 sin 5 # (5)
Figure 5 shows the four possible independent parallel coils of a 9-notch stator.
Referring to Figure 13, the reference axis is chosen 90 / n from the notch, a, to cause this axis to be parallel to the coils, not being the number of notches in the stator. As shown in Fig. 14, with the above device, the fundamental coupling curve of the bars in notch a is shifted by 10, and the fundamental coupling curve of the bars in notch e is shifted of 170, so that the coupling of the coil (n-1) '/ 2, = 4 where. (n-l) / 2 is the pitch of this coil, is N (n-1) / 2 90 o 90
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El sj, n (an)) -N (n-1 1/2 El six (iso 0 90 n
90 2 E1 (sin #) N (n-1) / 2 cos -) n
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where N is the number of turns and the index is the pitch of the notches.
For the 9-notch stator, this factor is 2E1 sin N4 cos 10.
This fundamental coupling factor is shown in Figure 14 and in vector form in Figure 15.
Likewise, the fundamental coupling factor in the coil (n-3) of pitch equal to 5 is 2E1 sin N (n-3) / 2 900 2 cos - as shown by the following equation (7) n 90 90 ET1 = 2E1 sin [N (n-3) / 2 cos 90 / n + N (n-5) / 2 cos 90 / n + N1 cos (n-2) 90 / n] (7) which, for the stator at 9 notches reduces to ET1 = 2E1 sin (N4 oos 10 + N4 cos 30 + N2 cos 50 + N1 cos 70) (8)
Likewise, for any harmonic h in the coupling curve of figure 12, the phase of the curve is shifted by 90 / n for the bars of notch a. Thus, the 3rd harmonic of the bars in notch a of a 9 notch stator shown in Fig. 13 is three times the zero of the 3rd harmonic curve.
The 3rd harmonics of the bars in the notches a and e, add up vector as shown in figure 16, so that the third harmonic in the coil 4 of the stator with 9 notches is ET1 - 2E1 sin 3 # (N4 cos 30) (9)
This can be expressed generally for all harmonics, as follows:
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"Tl - 2% sin h 0 [N (n-.12 cos h 900 N (n., 3J% 2 cos 900 ETl 2En. Sin h N (n-ll / 2 cos - N (n: -3) / 2 cos 90 N1 cos h (n-2) 90 / n (10) From the above, it can be seen that any given harmonic can be suppressed in at least two different ways:
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either Eh sin h # can be made equal to zero by changing the distribution of the rotor flux or the term in brackets can be canceled by an appropriate distribution of the turns in the notches of the stator, according to the equation (10).
It should be noted that the stator and rotor elements can be interchanged or reversed, so that a cylindrical rotor having an odd number of notches, with a sinusoidal winding of one or more phases, distributed as it has. sketched above, functions as a stator having an even number of notches and very simple symmetrical windings. Such windings would be very advantageous when it is desirable to have a large number of phases at the stator.
In FIG. 17, it is the rotor, instead of the stator, which is wound non-harmonically, according to the invention, while the stator is symmetrical. For this example, a single-phase winding is placed on a 7-notch rotor using three parallel coils, or their equivalents, and two normal, single-phase windings are placed on a 12-notch stator using two parallel coils per phase, preferably, ' each with a pitch of 5 notches.
This construction has the advantage that the rotor does not need to be so symmetrical, which is of great importance for applications with high precision controls and in particular with position angle transmitters of suspended gyroscopes. cardan joint, This illustrates the possibility of reversing the rotor and stator.
The arrangement shown in Figure 18 is based on the shape of the rotor to produce a rotor flux distribution which eliminates the 5th and 7th hamonics. The rotor and the stator have a relative offset of 40 the stator comprising
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actually 9 notches made up of 6 inactive notches supplementing 3 notches containing the windings, with the coils connected in Y to eliminate the 3rd harmonic.
This construction makes it possible to produce transmitting and receiving units according to the invention of minimum dimensions, these units being capable of ensuring between the voltage and the movement of the rotor a relation which is practically close to a true sinusoid, thus making the sheave possible. - Lisation of a precise remote control with devices of the self-synchronous servo-motor type described, the poles of the poles of the rotor being thinned towards the ends so as to produce the desired sinusoidal relation.
As it appears in figure 19 which shows a stator having an odd number n of notches the maximum number of independent parallel coils is n-1 for the fifteen.
2 ze notches of this stator.
In the use of the modified Fourier process, some symmetry appears in the elimination of harmonics above and below the nth harmonic, where n is always the number of stator notches.
Consider the nth harmonic: cos h 90 / n - cos n 90 / n = cos 90 = 0 (11) Then, for the harmonic h '= n + 2: cos h' 90 / n - cos (n + 2) 90 / n = cos (90 +180 / n) (12) and for the harmonic h "= n-2: cos h" 900 / n - cos (n-2) 90 / n = cos (90 -180 / n) (13)
We will see, from equations (12) and (13) that these terms are symmetrical with respect to the nth harmonic, since cos (90 +180 / n) = - cos (90 -180 / n)
In this way, if the Eh "for any particular value of h less than n is made zero by distributing the winding so as to nullify the term in square brackets, then the value of the sum 3h ', for an order equal to
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over n,
is also zero.
For example, with a 9-notch stator, where E7 is made equal to zero, E11 is also zero since:
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E7-2E'lsin 715 (N4cos 90 + NSoos 120 + N2cos350 + Nlgos 4900) = O (15) and: E11 llsin 11% (N cos 110o + NScos 560 + N 2 oos 550 0 + Nloos770o) -o (16) Noting that: cos 70 = - cos 110 cos 210 = - cos 330 cos 350 = - cos 550 = - cos 190 cos 490 = - cos 130 = - cos 770 = - cos 50 In other words, the terms N4 ' N3 'N2' N1 are identical in both equations and the cosine terms have identical numerical values but are of opposite signs.
It may be noted in passing that the term N3 in equations (15) and (16) has the opposite sign to the other terms.
Regarding the fundamental coupling factor of staircase type windings, the coupling of the bobi does not have four notches, in a 9 notch stator for example, is: (1 + cos 20) instead of (2 cos 10), as explained for a winding with parallel coils or
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8 ces 10 2 + 0.9848 1.9696 1 + eos 20 1 + 0.9397 1.9397 1.015 In other words, the stepped coil winding requires 1.5% more turns than the corresponding winding with parallel coils. Although this effect is small, taking it into account helps to improve the distribution of the windings.
Although this is generally less attractive, a stator and a rotor having an even number of notches can be used, in accordance with the invention, by an extension.
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of the preceding method, this extension being considerable, since this application requires the consideration of non-parallel windings, and, consequently, of both sine terms and cosine terms of Eh. It is not given here, since it does not imply any new principle, and it can be performed by a person familiar with this technique on the basis of the above explanations. Likewise, other windings of the staircase type, generally undesirable, can be made for special cases, within the scope of the invention, with stators having an odd number of notches.
From the foregoing, it is clear that the invention can be implemented in many and various forms. As an example, it may be advantageous to use it with large alternators in which the efficiency can be increased by the production of a voltage wave substantially approaching the purely sine wave shape. As another example, it can be used simply with electrical elements capable of relative displacements by translation instead of rotation, for example in detectors to produce work signals intended for moving trains. As yet another example, it enables more precise modulation of a square wave input voltage to be achieved.
It also eliminates a long-standing difficulty in inductive auto-synchronous servo control systems due to the presence of positional errors and high zero voltage points spaced at 60 intervals.
When a distribution of the conductors eliminating all the coefficients above the first is established, the output of the stator varies just like a sine function.
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and the impedance is composed of a sum of a constant and a sinusoidal variation which becomes zero if the rotor is an inclined notch cylinder without electric advance.
This is true whatever the shape of the rotor and the distribution of flux, provided that there are no abrupt changes producing appreciable harmonics greater than those which are neutralized. For all the rotors encountered in practice, this condition is fully met.
Only if the rotor is not provided with inclined notches and tends to suffer extremely badly i.e. if the flow is concentrated at an angle of less than 30 than this condition does. is not fulfilled: The only deviations which remain are due to mechanical errors which affect the symmetry and it is now possible in all practical cases to eliminate the theoretical errors in the "background" errors produced mechanically.
If desired, a rotor having an odd number of notches wound according to the harmonic elimination distribution can be used to produce true sinusoidal voltages in a stator having an even number of notches, with very simple stator windings of any distribution, provided only that these windings are symmetrical with respect to the two axes normal to the shaft.
For example, a 4 7 notch rotor, with single-phase excitation, wound so as to eliminate the 3rd, 5th, 9th and 11th harmonics and working either in a three-phase stator with 6 notches or in a 12-notch stator, having 1, 2,3, 4,6 or 12 phases, gives excellent purely sinusoidal output voltages in all phases. This combination also proves to be advantageous and simple for a
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two-phase remote control or to resolve angles in sine and cosine components.
For some purposes, for example for a differential type synchronous device, the invention can be practiced by using a rotor having a three-phase winding connected in Y, which is symmetrical in the plane of rotation, with respect to two axes. perpendicular to each other and to the axis of rotation (as, for example, the stator winding of Fig. 17), in a stator having a three-phase winding, connected in Y, with coils whose the number of turns varies directly with the pitch of the notches, (for example as in FIGS. 1, 5 and 6). Or the rotor and stator can be interchanged.
If you want to get a waveform other than the sine wave, you can get it using the method shown here. Likewise, according to the invention, the fundamental component can be suppressed and it is possible to produce a high harmonic using a low speed generator.
Although in the above arrangement we have spoken of a pole pair, this can be one of a number of pole pairs.
In the above, synchronous units or self-synchronous inductive units have been mentioned. These terms refer either to transmitting units or to receiving units of the kind described in US Pat. No. 2,038,059 of January 17, 1935. Likewise, reference has been made in the preceding description to servo-motor devices in - auto-synchronous. This term refers to the ductive device / of the kind described in U.S. Patent of Dec. 29, 1938, No. 2,240,680. However, the invention is applicable to devices and systems using at one of the ends of the control a device according to one of the mentioned patents and at the other end a different device.
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While some of the embodiments of the invention have been illustrated and described, it is understood that various modifications and changes may be made thereto as to its application to the embodiment and the relative arrangement of the elements. components, without leaving its domain or deviating from its mind.
CLAIMS.
1. In an alternating current electrical device comprising two relatively movable elements induotively coupled, a winding on at least one of said elements, distributed in such a way that the average number of bars or conductors of said winding per electrical degree, varies with the electric angle of the bars from a neutral coupling reference position over a range of 90 electric degrees, substantially in accordance with the solution of a determinant comprising a number of equations each of which is equal to zero and represents a harmonic to be neutralized in the relation of the coupling to the relative position of the two said elements, each of the said equations comprising a finite series of sinusoidal terms, and each of these terms expressing, for each bar and the harmoni - that particular,
the coupling factor of the bar as a function of its electrical angle from the reference position.