KR102185385B1 - Pseudo random number generation method - Google Patents

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KR102185385B1
KR102185385B1 KR1020190167180A KR20190167180A KR102185385B1 KR 102185385 B1 KR102185385 B1 KR 102185385B1 KR 1020190167180 A KR1020190167180 A KR 1020190167180A KR 20190167180 A KR20190167180 A KR 20190167180A KR 102185385 B1 KR102185385 B1 KR 102185385B1
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KR
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function
generating
polynomial function
polynomial
ergodic
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Inventor
정상태
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인하대학교 산학협력단
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Abstract

The present disclosure relates to a method of generating a pseudorandom number. According to an embodiment of the present disclosure, there is an advantage of providing a method of generating a pseudorandom number in which the quality of a pseudorandom number with respect to uniformity and periodicity is maximized by using a polynomial function having an ergodic property. A method of generating a pseudorandom number comprises the steps of: generating an ergodic polynomial function; and generating a pseudorandom number based on the polynomial function.

Description

의사난수 생성 방법. {Pseudo random number generation method} How to generate pseudorandom numbers. {Pseudo random number generation method}

의사난수 생성 방법에 관한 것으로, 더욱 상세하게는 에르고딕성을 가지는 다항함수로부터 의사난수를 생성하는 의사난수 생성 방법에 관한 것이다.The present invention relates to a method for generating a pseudorandom number, and more particularly, to a method for generating a pseudorandom number from a polynomial function having an ergodic property.

난수는 특정한 배열 순서나 각 항간의 의존성이 없는 임의적인 수열을 말하는데, 이 난수를 컴퓨터에 발생기키면 어떤 알고리즘에 의해 생성되기 때문에 긴 주기를 갖게 된다. 이와 같이 진정한 의미로는 난수가 아니지만 사용상 난수로 간주해도 지장이 없는 난수를 의사 난수라고 한다.A random number refers to an arbitrary sequence that does not have a specific sequence or dependence between each term. When this random number is generated by a computer, it is generated by a certain algorithm, so it has a long period. In this way, a random number that is not a random number in a true sense, but does not interfere with it even if it is regarded as a random number for use, is called a pseudo random number.

생성된 의사난수의 품질을 확보하기 위하여는 난수분포가 치우치지 않는 균일성이 확보되어야 하고, 난수가 일정 주기로 반복되지 않아야 한다.In order to ensure the quality of the generated pseudo-random number, uniformity in which the random number distribution is not biased must be secured, and the random number must not be repeated in a certain period.

1. 한국등록특허 제10-1300915호1. Korean Patent Registration No. 10-1300915

본 발명은 상기와 같은 문제를 해결하기 위한 것으로서, 주기성이 드러나지 않고 균일한 속성의 에르고딕 함수를 이용하는 의사난수 생성 방법을 제공하는데 그 목적이 있다.An object of the present invention is to provide a method of generating a pseudorandom number using an Ergodic function having a uniform property without revealing periodicity, as an object to solve the above problem.

상기와 같은 목적을 달성하기 위한 본 발명의 의사난수 생성 방법은 의사난수를 생성하는 방법에 있어서, 에르고딕성을 가진 다항함수를 생성하는 단계; 및In order to achieve the above object, the method of generating a pseudo-random number of the present invention includes the steps of: generating a polynomial function having an Ergotic property; And

상기 다항함수에 기반하여 의사난수를 생성하는 단계를 포함하고, 상기 다항함수는

Figure 112019129304867-pat00001
진수환
Figure 112019129304867-pat00002
(
Figure 112019129304867-pat00003
는 2, 3 또는 5 이상의 소수) 에 기반하는
Figure 112019129304867-pat00004
-함수에 속하는 것을 특징으로 한다.Generating a pseudorandom number based on the polynomial function, wherein the polynomial function is
Figure 112019129304867-pat00001
Jinsoohwan
Figure 112019129304867-pat00002
(
Figure 112019129304867-pat00003
Is based on 2, 3 or 5 or more prime numbers)
Figure 112019129304867-pat00004
-It is characterized by belonging to a function.

바람직하게는, 상기 다항함수 생성 단계는 다음의 수학식 (1), (2) 중 어느 하나를 이용하여 에르고딕성을 가진 상기 다항함수를 생성하는 것이고,Preferably, the step of generating the polynomial function is to generate the polynomial function having an Ergotic property using any one of the following equations (1) and (2),

(1)

Figure 112019129304867-pat00005
(One)
Figure 112019129304867-pat00005

(2)

Figure 112019129304867-pat00006
(2)
Figure 112019129304867-pat00006

상기

Figure 112019129304867-pat00007
진수환
Figure 112019129304867-pat00008
에서
Figure 112019129304867-pat00009
는 2인 것이다.remind
Figure 112019129304867-pat00007
Jinsoohwan
Figure 112019129304867-pat00008
in
Figure 112019129304867-pat00009
Is 2.

바람직하게는, 상기 다항함수 생성 단계는 다음의 수학식 (1), (2) 중 어느 하나를 이용하여 에르고딕성을 가진 상기 다항함수를 생성하는 것이고,Preferably, the step of generating the polynomial function is to generate the polynomial function having an Ergotic property using any one of the following equations (1) and (2),

(1)

Figure 112019129304867-pat00010
(One)
Figure 112019129304867-pat00010

(2)

Figure 112019129304867-pat00011
(2)
Figure 112019129304867-pat00011

상기

Figure 112019129304867-pat00012
진수환
Figure 112019129304867-pat00013
에서
Figure 112019129304867-pat00014
는 3인 것이다.remind
Figure 112019129304867-pat00012
Jinsoohwan
Figure 112019129304867-pat00013
in
Figure 112019129304867-pat00014
Is 3.

바람직하게는, 상기 다항함수 생성 단계는 임의의 단환식 순열(unicyclic permutation)로부터 다음의 조건 (i), (ii) 및 (iii) 충족 여부에 따라 에르고딕성을 가진 상기 다항함수를 생성하는 것이고,Preferably, the step of generating the polynomial function is to generate the polynomial function having ergodic properties according to whether the following conditions (i), (ii) and (iii) are satisfied from any unicyclic permutation. ,

Figure 112019129304867-pat00015
Figure 112019129304867-pat00015

상기

Figure 112019129304867-pat00016
진수환
Figure 112019129304867-pat00017
에서
Figure 112019129304867-pat00018
는 5 이상인 것이다.remind
Figure 112019129304867-pat00016
Jinsoohwan
Figure 112019129304867-pat00017
in
Figure 112019129304867-pat00018
Is 5 or more.

바람직하게는, 상기 다항함수 생성 단계는 다음의 수학식을 이용하여 에르고딕성을 가진 상기 다항함수를 생성하는 것이다.Preferably, the step of generating the polynomial function is to generate the polynomial function having ergodic properties by using the following equation.

Figure 112019129304867-pat00019
Figure 112019129304867-pat00019

전술한 바와 같은 본 발명에 따르면, 균일한 속성의 에르고딕 다항함수를 이용하여 균일성과 주기성에 관하여 품질이 극대화된 의사난수 생성 방법을 제공할 수 있다.According to the present invention as described above, it is possible to provide a method of generating a pseudorandom number in which quality is maximized with respect to uniformity and periodicity by using an Ergodic polynomial function having a uniform property.

도 1은 본 발명에 따른 의사난수 생성 방법의 흐름도를 도시한다.1 is a flowchart of a method for generating a pseudorandom number according to the present invention.

본 발명의 이점 및 특징, 그리고 그것들을 달성하는 방법은 첨부되는 도면과 함께 후술되어 있는 실시예들을 참조하면 본 발명의 이점 및 특징, 그리고 그것들을 달성하는 방법은 첨부되는 도면과 함께 후술되어 있는 실시예들을 참조하면 명확해질 것이다. 이에 앞서 본 발명에 관련된 공지 기능 및 그 구성에 대한 구체적인 설명이 본 발명의 요지를 불필요하게 흐릴 수 있다고 판단되는 경우에는 그 구체적인 설명을 생략하였음에 유의해야 할 것이다.Advantages and features of the present invention, and a method of achieving them, with reference to the embodiments described below with the accompanying drawings, the advantages and features of the present invention, and a method of achieving them will be described later with the accompanying drawings. It will become clear by referring to examples. Prior to this, when it is determined that a detailed description of known functions and configurations related to the present invention may unnecessarily obscure the subject matter of the present invention, it should be noted that the detailed description thereof has been omitted.

에르고딕성은 어떤 동역학계의 궤적이 거의 항상 공간 전체를 밀집하게 채우는 성질로 에르고딕성을 가지는 다항함수는 균일하게 분포된 결과 값을 가지므로 의사난수를 생성하는데 유용하게 활용될 수 있다. Ergoticity is a property that the trajectory of a certain dynamic system almost always fills the entire space densely. Since the polynomial function with Ergothic property has uniformly distributed result values, it can be usefully used to generate pseudorandom numbers.

본 발명에서는 에르고딕성을 가진 다항함수를 생성하고 에르고딕성을 지닌 다항함수로부터 의사난수를 생성한다. 본 발명에서 제안하는 구체적인 방법과 내용은 다음과 같다.In the present invention, an ergodic polynomial function is generated and a pseudorandom number is generated from the ergodic polynomial function. Specific methods and contents proposed by the present invention are as follows.

본 발명은

Figure 112019129304867-pat00020
진 정수환
Figure 112019129304867-pat00021
위의 1-Lipschitz 함수에 대한 에르고딕성의 기준을 함수 고유의 데이터와 연관된 van der Put 계수의 관점에서 제시한다. 이러한 기준은 말러 급수를 이용하여
Figure 112019129304867-pat00022
위의 1-Lipschitz 함수의 에르고딕성에 대한 적절한 조건을 제공하는데 적용될 수 있다. 특히, 에르고딕성 기준은 말러(Mahler) 그리고 van der Put 급수의 관점에서
Figure 112019129304867-pat00023
그리고
Figure 112019129304867-pat00024
상의
Figure 112019129304867-pat00025
-함수로 알려진 어떤 1-Lipschitz 함수로부터 얻어질 수 있다. 이러한 함수들은 1 차수(order 1)의 국소 해석(locally analytic) 함수이므로 다항식을 포함한다. The present invention
Figure 112019129304867-pat00020
Jin Soo-hwan
Figure 112019129304867-pat00021
The Ergothic criterion for the 1-Lipschitz function above is presented in terms of the van der Put coefficients associated with the function specific data. This criterion uses the Mahler series
Figure 112019129304867-pat00022
It can be applied to provide an appropriate condition for the ergodicity of the 1-Lipschitz function above. In particular, the Ergothic criterion is in terms of Mahler and van der Put series.
Figure 112019129304867-pat00023
And
Figure 112019129304867-pat00024
top
Figure 112019129304867-pat00025
Can be obtained from any 1-Lipschitz function known as -function. These functions contain polynomials because they are locally analytic functions of order 1.

본 발명은 임의의 5 이상의 소수

Figure 112019129304867-pat00026
에 대하여,
Figure 112019129304867-pat00027
상의
Figure 112019129304867-pat00028
-함수의 에르고딕성 기준으로부터 주어진 법(modulus)
Figure 112019129304867-pat00029
의 단환식 순열을 실현하는 효율적이고 실용적인 에르고딕 다항식 생성 방법을 제공한다. 최종적으로 이들을 통해
Figure 112019129304867-pat00030
상의 모든 에르고딕
Figure 112019129304867-pat00031
-함수로부터 환원되는 모듈로(modulo)
Figure 112019129304867-pat00032
에르고딕 다항식을 얻을 수 있다.The present invention is any number of 5 or more
Figure 112019129304867-pat00026
about,
Figure 112019129304867-pat00027
top
Figure 112019129304867-pat00028
-The modulus given from the Ergodic criteria of the function
Figure 112019129304867-pat00029
We provide an efficient and practical Ergodic polynomial generation method that realizes monocyclic permutation of. Finally through these
Figure 112019129304867-pat00030
Ergodic on Pinterest
Figure 112019129304867-pat00031
-Modulo reduced from function
Figure 112019129304867-pat00032
Ergodic polynomial can be obtained.

이 때

Figure 112019129304867-pat00033
Figure 112019129304867-pat00034
로 나누어진다.At this time
Figure 112019129304867-pat00033
Figure 112019129304867-pat00034
It is divided into

도 1은 의사난수 생성 방법의 흐름도를 도시한다. 의사난수를 생성하는 방법에 있어서, 먼저, 에르고딕성을 가진 다항함수를 생성한다(S100). 이어서, 생성된 다항함수에 기반하여 의사난수를 생성한다(S200). 이때, 다항함수는

Figure 112019129304867-pat00035
진수환
Figure 112019129304867-pat00036
(
Figure 112019129304867-pat00037
는 2, 3 또는 5 이상의 소수) 에 기반하는
Figure 112019129304867-pat00038
-함수에 속하는 것이다.1 is a flowchart of a method for generating a pseudorandom number. In the method of generating a pseudorandom number, first, a polynomial function having an ergodic property is generated (S100). Subsequently, a pseudorandom number is generated based on the generated polynomial function (S200). In this case, the polynomial function is
Figure 112019129304867-pat00035
Jinsoohwan
Figure 112019129304867-pat00036
(
Figure 112019129304867-pat00037
Is based on 2, 3 or 5 or more prime numbers)
Figure 112019129304867-pat00038
-It belongs to a function.

Figure 112019129304867-pat00039
는 소수
Figure 112019129304867-pat00040
에 대한
Figure 112019129304867-pat00041
진수환이다(ring of
Figure 112019129304867-pat00042
-adic integers for a prime number
Figure 112019129304867-pat00043
).
Figure 112019129304867-pat00044
는 소수
Figure 112019129304867-pat00045
에 대한 대한
Figure 112019129304867-pat00046
진 수체(field of
Figure 112019129304867-pat00047
-adic numbers)이고,
Figure 112019129304867-pat00048
는
Figure 112019129304867-pat00049
에서
Figure 112019129304867-pat00050
진 절대값이다.
Figure 112019129304867-pat00051
는
Figure 112019129304867-pat00052
에서
Figure 112019129304867-pat00053
로의 모든 연속 함수들의 공간이다.
Figure 112019129304867-pat00039
Is a prime number
Figure 112019129304867-pat00040
for
Figure 112019129304867-pat00041
It is a ring of
Figure 112019129304867-pat00042
-adic integers for a prime number
Figure 112019129304867-pat00043
).
Figure 112019129304867-pat00044
Is a prime number
Figure 112019129304867-pat00045
For
Figure 112019129304867-pat00046
Field of
Figure 112019129304867-pat00047
-adic numbers),
Figure 112019129304867-pat00048
Is
Figure 112019129304867-pat00049
in
Figure 112019129304867-pat00050
True absolute value.
Figure 112019129304867-pat00051
Is
Figure 112019129304867-pat00052
in
Figure 112019129304867-pat00053
It is the space of all successive functions of Rho.

예를 들면 함수 f:

Figure 112019129304867-pat00054
->
Figure 112019129304867-pat00055
가 모든
Figure 112019129304867-pat00056
에 대해서
Figure 112019129304867-pat00057
를 만족하면 1-Lipschitz 함수라고 정의한다.
Figure 112019129304867-pat00058
를 계수로 하는 다항함수는
Figure 112019129304867-pat00059
-함수에 속하는 대표적인 1-Lipschitz 함수이다.For example function f:
Figure 112019129304867-pat00054
->
Figure 112019129304867-pat00055
Going all
Figure 112019129304867-pat00056
about
Figure 112019129304867-pat00057
If is satisfied, it is defined as a 1-Lipschitz function.
Figure 112019129304867-pat00058
The polynomial function with the coefficient is
Figure 112019129304867-pat00059
-It is a representative 1-Lipschitz function belonging to the function.

1-Lipschitz 함수 f는

Figure 112019129304867-pat00060
에서 연속적이다. 다음 문장들 (L1)-(L5)는 1-Lipschitz 조건과 동등한 조건을 나타내는 것이다.1-Lipschitz function f is
Figure 112019129304867-pat00060
Is continuous in The following sentences (L1)-(L5) represent conditions equivalent to the 1-Lipschitz condition.

Figure 112019129304867-pat00061
Figure 112019129304867-pat00061

위 문장 중 (L1)은 1-Lipschitz 함수 f:

Figure 112019129304867-pat00062
->
Figure 112019129304867-pat00063
는 다음 수학식 1과 같이 정의되는 잉여류 환(quotient ring)에서의 축소(reduced) 함수열
Figure 112019129304867-pat00064
을 유도한다.In the above sentence (L1) is the 1-Lipschitz function f:
Figure 112019129304867-pat00062
->
Figure 112019129304867-pat00063
Is a reduced function sequence in a quotient ring defined as in Equation 1 below.
Figure 112019129304867-pat00064
To induce.

Figure 112019129304867-pat00065
Figure 112019129304867-pat00065

Figure 112019129304867-pat00066
진 동역계는 다음과 같이 세 순서쌍
Figure 112019129304867-pat00067
으로 구성된다.
Figure 112019129304867-pat00066
The vibration dynamic system is three ordered pairs as follows
Figure 112019129304867-pat00067
Consists of

첫째 성분은 p진 정수환

Figure 112019129304867-pat00068
이고 둘째 성분인
Figure 112019129304867-pat00069
는
Figure 112019129304867-pat00070
과 같이 정규화된
Figure 112019129304867-pat00071
의 확률 측도(Probability measure)이며 세째로 f:
Figure 112019129304867-pat00072
->
Figure 112019129304867-pat00073
는 가측(measurable) 함수이다. 다음과 같이
Figure 112019129304867-pat00074
진법으로 쓰여진 0 이상의 정수
Figure 112019129304867-pat00075
(
Figure 112019129304867-pat00076
) 가 주어질 때 The first component is the p-gene integer ring
Figure 112019129304867-pat00068
And the second component
Figure 112019129304867-pat00069
Is
Figure 112019129304867-pat00070
Normalized as
Figure 112019129304867-pat00071
Is the Probability measure of f:
Figure 112019129304867-pat00072
->
Figure 112019129304867-pat00073
Is a measurable function. As follows
Figure 112019129304867-pat00074
An integer greater than or equal to zero written in base
Figure 112019129304867-pat00075
(
Figure 112019129304867-pat00076
When) is given

m_는

Figure 112019129304867-pat00077
로 정의 된다.m_ is
Figure 112019129304867-pat00077
Is defined as

0 이상의 정수 m과

Figure 112019129304867-pat00078
에 대한 van der Put 함수
Figure 112019129304867-pat00079
은 m을 중심으로 반지름(radius)
Figure 112019129304867-pat00080
로 둘러싼 어떤 공들(balls)
Figure 112019129304867-pat00081
의 특성 함수들이며 다음 수학식 2와 같이 정의된다.An integer m greater than or equal to 0 and
Figure 112019129304867-pat00078
For van der Put function
Figure 112019129304867-pat00079
Is the radius around m
Figure 112019129304867-pat00080
Some balls surrounded by
Figure 112019129304867-pat00081
These are the characteristic functions of and are defined as in Equation 2 below.

Figure 112019129304867-pat00082
Figure 112019129304867-pat00082

Figure 112019129304867-pat00083
는
Figure 112019129304867-pat00084
에 대한 직교 기저이다. 따라서, 모든 연속함수 f:
Figure 112019129304867-pat00085
는 다음 수학식 3과 같이 유일하게 표현될 수 있다.
Figure 112019129304867-pat00083
Is
Figure 112019129304867-pat00084
Is the orthogonal basis for Thus, all continuous functions f:
Figure 112019129304867-pat00085
May be uniquely expressed as in Equation 3 below.

Figure 112019129304867-pat00086
Figure 112019129304867-pat00086

이때,

Figure 112019129304867-pat00087
에 따라
Figure 112019129304867-pat00088
이다. 또한 급수의 계수
Figure 112019129304867-pat00089
은 다음 수학식 4에 따라 결정된다.At this time,
Figure 112019129304867-pat00087
Depending on the
Figure 112019129304867-pat00088
to be. Also the coefficient of the series
Figure 112019129304867-pat00089
Is determined according to Equation 4 below.

Figure 112019129304867-pat00090
Figure 112019129304867-pat00090

모든 1-Lipschitz 함수 f:

Figure 112019129304867-pat00091
->
Figure 112019129304867-pat00092
는 다음 수학식 5와 같이 나타낼 수 있다.All 1-Lipschitz functions f:
Figure 112019129304867-pat00091
->
Figure 112019129304867-pat00092
Can be expressed as in Equation 5 below.

Figure 112019129304867-pat00093
Figure 112019129304867-pat00093

또한, f:

Figure 112019129304867-pat00094
에서 모든 연속적 함수는 다음 수학식 6과 같은 말러 급수를 가진다.Also, f:
Figure 112019129304867-pat00094
In all the continuous functions have Mahler series as shown in Equation 6 below.

Figure 112019129304867-pat00095
Figure 112019129304867-pat00095

이때,

Figure 112019129304867-pat00096
에 따라
Figure 112019129304867-pat00097
이다. 또한 급수의 계수
Figure 112019129304867-pat00098
은 다음 수학식 7 또는 수학식 8로 나타낼 수 있다.At this time,
Figure 112019129304867-pat00096
Depending on the
Figure 112019129304867-pat00097
to be. Also the coefficient of the series
Figure 112019129304867-pat00098
Can be represented by the following Equation 7 or Equation 8.

Figure 112019129304867-pat00099
Figure 112019129304867-pat00099

Figure 112019129304867-pat00100
Figure 112019129304867-pat00100

이때,

Figure 112019129304867-pat00101
이다.At this time,
Figure 112019129304867-pat00101
to be.

모든 1-Lipschitz 함수 f:

Figure 112019129304867-pat00102
->
Figure 112019129304867-pat00103
는 다음 수학식 9와 같이 나타낼 수 있다.All 1-Lipschitz functions f:
Figure 112019129304867-pat00102
->
Figure 112019129304867-pat00103
Can be expressed as in Equation 9 below.

Figure 112019129304867-pat00104
Figure 112019129304867-pat00104

말러 급수로 표현된

Figure 112019129304867-pat00105
-함수의 정의는 말러 계수가 다음의 특정한 증가율을 가지는 다음 수학식 10과 같다.Expressed in Mahler's series
Figure 112019129304867-pat00105
-The definition of the function is as in Equation 10 below, wherein the Mahler coefficient has the following specific increase rate.

Figure 112019129304867-pat00106
Figure 112019129304867-pat00106

S100 단계는

Figure 112019129304867-pat00107
진수환
Figure 112019129304867-pat00108
에서
Figure 112019129304867-pat00109
가 2일 때 다음 수학식 11, 12 중 어느 하나를 이용하여 에르고딕성을 가진 상기
Figure 112019129304867-pat00110
-함수를 생성할 수 있다. 수학식 11은 van der Put 계수에 관한 것이고, 수학식 12는 말러 계수에 관한 것이다.Step S100
Figure 112019129304867-pat00107
Jinsoohwan
Figure 112019129304867-pat00108
in
Figure 112019129304867-pat00109
When is 2, using any one of Equations 11 and 12 below,
Figure 112019129304867-pat00110
-You can create functions. Equation 11 relates to the van der Put coefficient, and Equation 12 relates to the Mahler coefficient.

Figure 112019129304867-pat00111
Figure 112019129304867-pat00111

f:

Figure 112019129304867-pat00112
가 위 수학식 11과 같이 주어진 van der Put 급수의
Figure 112019129304867-pat00113
-함수라면 f는 다음 조건을 만족 할 때에만 에르고딕하다. f:
Figure 112019129304867-pat00112
Of the van der Put series given as in Equation 11 above
Figure 112019129304867-pat00113
-If it is a function, f is ergotic only when the following conditions are satisfied.

Figure 112019129304867-pat00114
Figure 112019129304867-pat00114

Figure 112019129304867-pat00115
Figure 112019129304867-pat00115

또한, f:

Figure 112019129304867-pat00116
가 위 수학식 12와 같이 주어진 말러 급수의
Figure 112019129304867-pat00117
-함수라면 f는 다음 조건을 만족 할 때에만 에르고딕하다.Also, f:
Figure 112019129304867-pat00116
Of the Mahler series given by Equation 12 above
Figure 112019129304867-pat00117
-If it is a function, f is ergotic only when the following conditions are satisfied.

Figure 112019129304867-pat00118
Figure 112019129304867-pat00118

f:

Figure 112019129304867-pat00119
가
Figure 112019129304867-pat00120
-함수라면 f는 오직 다음 16개 다항식 중 하나의 다항식으로부터 유도되는 잉여류환(residue class ring)
Figure 112019129304867-pat00121
위에서의 사상(map)
Figure 112019129304867-pat00122
과 일치할 때에만 에르고딕하다.f:
Figure 112019129304867-pat00119
end
Figure 112019129304867-pat00120
If it is a function, then f is only a residual class ring derived from one of the following 16 polynomials.
Figure 112019129304867-pat00121
Map from above
Figure 112019129304867-pat00122
It is ergodic only when it matches with.

Figure 112019129304867-pat00123
Figure 112019129304867-pat00123

S100 단계는

Figure 112019129304867-pat00124
진수환
Figure 112019129304867-pat00125
에서
Figure 112019129304867-pat00126
는 3일 때 다음 수학식 13, 14 중 어느 하나를 이용하여 에르고딕성을 가진
Figure 112019129304867-pat00127
-함수를 생성할 수 있다. 수학식 13은 말러 계수에 관한 것이고, 수학식 14는 van der Put 계수에 관한 것이다.Step S100
Figure 112019129304867-pat00124
Jinsoohwan
Figure 112019129304867-pat00125
in
Figure 112019129304867-pat00126
When is 3, using any one of Equations 13 and 14 below,
Figure 112019129304867-pat00127
-You can create functions. Equation 13 relates to Mahler's coefficient, and Equation 14 relates to the van der Put coefficient.

Figure 112019129304867-pat00128
Figure 112019129304867-pat00128

f:

Figure 112019129304867-pat00129
가 위 수학식 13과 같이 주어진 말러 급수의
Figure 112019129304867-pat00130
-함수라면 f가 다음 (i)-(viii)까지의 조건 중 하나를 만족할 때에만 에르고딕하다.f:
Figure 112019129304867-pat00129
Of the Mahler series given by Equation 13 above
Figure 112019129304867-pat00130
-Function is ergotic only when f satisfies one of the following conditions (i)-(viii).

Figure 112019129304867-pat00131
Figure 112019129304867-pat00131

Figure 112019129304867-pat00132
Figure 112019129304867-pat00132

Figure 112019129304867-pat00133
Figure 112019129304867-pat00133

f:

Figure 112019129304867-pat00134
가 위 수학식 14와 같이 주어진 van der Put 급수의
Figure 112019129304867-pat00135
-함수라면 f가 다음 (i)-(viii)까지의 조건 중 하나를 만족할 때에만 에르고딕하다.f:
Figure 112019129304867-pat00134
Of the van der Put series given by Equation 14 above
Figure 112019129304867-pat00135
-Function is ergotic only when f satisfies one of the following conditions (i)-(viii).

Figure 112019129304867-pat00136
Figure 112019129304867-pat00136

Figure 112019129304867-pat00137
Figure 112019129304867-pat00137

Figure 112019129304867-pat00138
는 5 이상의 소수이고, f:
Figure 112019129304867-pat00139
->
Figure 112019129304867-pat00140
가 위 수학식 14와 같이 주어진 van der Put 급수의
Figure 112019129304867-pat00141
-함수라면 f는 오직 다음 (i)-(iii) 조건들을 만족할 때에만 에르고딕하다.
Figure 112019129304867-pat00138
Is a prime number greater than or equal to 5, and f:
Figure 112019129304867-pat00139
->
Figure 112019129304867-pat00140
Of the van der Put series given by Equation 14 above
Figure 112019129304867-pat00141
-If it is a function, f is ergotic only when the following conditions (i)-(iii) are satisfied.

Figure 112019129304867-pat00142
Figure 112019129304867-pat00142

S100 단계는

Figure 112019129304867-pat00143
는 5 이상의 소수일 때 상기 조건 (i), (ii) 및 (iii) 충족 여부에 따라 주어진 단환식 순열(unicyclic permutation)을 실현하는 에르고딕성을 가진 다항함수를 생성할 수 있다.Step S100
Figure 112019129304867-pat00143
When is a prime number of 5 or more, it is possible to generate a polynomial function having an ergotic property that realizes a given unicyclic permutation according to whether conditions (i), (ii), and (iii) are satisfied.

예를 들어, 유한체

Figure 112019129304867-pat00144
의 모든 원소
Figure 112019129304867-pat00145
에 대해 합동식
Figure 112019129304867-pat00146
을 충족하는 주어진 단환식 순열(unicyclic permutaion)
Figure 112019129304867-pat00147
을 실현하는 에르고딕 다항식
Figure 112019129304867-pat00148
을 생성하는 절차를 살펴본다. 이때, 에르고딕 다항식
Figure 112019129304867-pat00149
의 차수(degree)는
Figure 112019129304867-pat00150
이하이다.For example, finite field
Figure 112019129304867-pat00144
All elements of
Figure 112019129304867-pat00145
About joint expression
Figure 112019129304867-pat00146
A given unicyclic permutaion that satisfies
Figure 112019129304867-pat00147
Ergodic polynomial to realize
Figure 112019129304867-pat00148
Let's look at the procedure for creating Here, the Ergodic polynomial
Figure 112019129304867-pat00149
The degree of is
Figure 112019129304867-pat00150
Below.

먼저

Figure 112019129304867-pat00151
에서 임의의 단환식 순열
Figure 112019129304867-pat00152
이 주어지면 라그랑쥬 보간 공식에 따라
Figure 112019129304867-pat00153
를 생성하는 보간 다항식
Figure 112019129304867-pat00154
를 구한다(step 1). 이어서 다항식
Figure 112019129304867-pat00155
과 연관된 연립 방정식을 풀어 다항식
Figure 112019129304867-pat00156
의 말러 계수
Figure 112019129304867-pat00157
을 구한다(step 2).first
Figure 112019129304867-pat00151
Random monocyclic permutation in
Figure 112019129304867-pat00152
Given is, according to the Lagrange interpolation formula
Figure 112019129304867-pat00153
Interpolation polynomial to generate
Figure 112019129304867-pat00154
Find (step 1). Then polynomial
Figure 112019129304867-pat00155
Solve the system of equations associated with the polynomial
Figure 112019129304867-pat00156
Mahler's coefficient
Figure 112019129304867-pat00157
Find (step 2).

이어서

Figure 112019129304867-pat00158
조건. 즉 합동
Figure 112019129304867-pat00159
를 만족하는 van det Put 계수
Figure 112019129304867-pat00160
를 선택한 후, 모든
Figure 112019129304867-pat00161
에 대하여
Figure 112019129304867-pat00162
를 만족하는 말러 계수
Figure 112019129304867-pat00163
를 구한다(step 3). 이때,
Figure 112019129304867-pat00164
이다. next
Figure 112019129304867-pat00158
Condition. Joint
Figure 112019129304867-pat00159
Van det Put coefficient satisfying
Figure 112019129304867-pat00160
After selecting, all
Figure 112019129304867-pat00161
about
Figure 112019129304867-pat00162
Mahler's coefficient that satisfies
Figure 112019129304867-pat00163
Find (step 3). At this time,
Figure 112019129304867-pat00164
to be.

상기의 선형 연립 방정식은 법 p에 관한 유일해(unique solution)를 가지는 데, 그 이유는 계수 행렬(coefficient matrix )의 하부 삼각형 부분(lower triangular part) 이 파스칼 삼각형 꼴(Pascal triangle form)이기 때문이다. 이어서, 이전 단계에서 구한

Figure 112019129304867-pat00165
에 대하여, Lucas 합동 공식을 사용하여
Figure 112019129304867-pat00166
조건, 즉
Figure 112019129304867-pat00167
을 만족하는 법
Figure 112019129304867-pat00168
에 대한 말러 계수
Figure 112019129304867-pat00169
을 구한다(step 4). 이 과정을 거쳐 구한 말러 계수는 법
Figure 112019129304867-pat00170
에 관한 f의 전이성(transitivity) 을 만족시키므로 f는 에르고딕하다.The above linear system of equations has a unique solution to the method p, because the lower triangular part of the coefficient matrix is a Pascal triangle form. . Subsequently, the
Figure 112019129304867-pat00165
Regarding, using the Lucas joint formula
Figure 112019129304867-pat00166
Condition, i.e.
Figure 112019129304867-pat00167
How to satisfy
Figure 112019129304867-pat00168
Mahler coefficient for
Figure 112019129304867-pat00169
Find (step 4). How to calculate Mahler's coefficient obtained through this process
Figure 112019129304867-pat00170
Since it satisfies the transitivity of f with respect to, f is ergotic.

구체적으로 예를 들어

Figure 112019129304867-pat00171
=(2345160)이
Figure 112019129304867-pat00172
에서 단환식 순열이라고 하면, 라그랑쥬 보간 공식에 따른 보간 다항식은
Figure 112019129304867-pat00173
이다. 이로부터 다항식
Figure 112019129304867-pat00174
의 말러 계수
Figure 112019129304867-pat00175
Figure 112019129304867-pat00176
를 구할 수 있다. 선택된 벡터
Figure 112019129304867-pat00177
Figure 112019129304867-pat00178
은 상기 step 3에서의 합동식
Figure 112019129304867-pat00179
을 만족시키고, 상기 step 3 선형 연립 방정식의 유일한 해인 말러 계수
Figure 112019129304867-pat00180
을 찾을 수 있다.Specifically for example
Figure 112019129304867-pat00171
=(2345160)
Figure 112019129304867-pat00172
Speaking of monocyclic permutation in, the interpolation polynomial according to the Lagrange interpolation formula is
Figure 112019129304867-pat00173
to be. From this polynomial
Figure 112019129304867-pat00174
Mahler's coefficient
Figure 112019129304867-pat00175
Figure 112019129304867-pat00176
Can be obtained. Selected vector
Figure 112019129304867-pat00177
Figure 112019129304867-pat00178
Is the joint equation in step 3 above
Figure 112019129304867-pat00179
And the Mahler coefficient, the only solution to the linear system of equations in step 3
Figure 112019129304867-pat00180
Can be found.

이때 상기

Figure 112019129304867-pat00181
벡터의 선택을 달리하면 계속하여 다른 에르고딕 다항식을 생성할 수도 있다. 주어진 말러 벡터
Figure 112019129304867-pat00182
을 계수로 갖는 다항함수 f에 Lucas의 합동(Lucas`s congruence) 공식을 적용하여 상기 step 4에서의 조건
Figure 112019129304867-pat00183
을 유도해 낸다. 이렇게 구한 조건을 만족하는 벡터
Figure 112019129304867-pat00184
를 취하면 다음과 같은 에르고딕 다항식을 얻을 수 있다.At this time
Figure 112019129304867-pat00181
By varying the choice of vectors, you can continue to generate other Ergodic polynomials. Given Mahler vector
Figure 112019129304867-pat00182
The condition in step 4 above by applying Lucas's congruence formula to the polynomial function f having as a coefficient
Figure 112019129304867-pat00183
Induces A vector that satisfies the conditions found in this way
Figure 112019129304867-pat00184
If we take, we get the following Ergodic polynomial.

Figure 112019129304867-pat00185
Figure 112019129304867-pat00185

상기 에르고딕 다항함수의 법

Figure 112019129304867-pat00186
에 관한 단환식 궤적(orbit)는 다음과 같이 주어진다.The Ergothic polynomial method
Figure 112019129304867-pat00186
The monocyclic orbit of is given by

(0 2 10 25 19 1 6 14 16 24 39 33 15 20 28 30 38 4 47 29 34 42 44 3 18 12 43 48 7 9 17 32 26 8 13 21 23 31 46 40 22 27 35 37 45 11 5 36 41)(0 2 10 25 19 1 6 14 16 24 39 33 15 20 28 30 38 4 47 29 34 42 44 3 18 12 43 48 7 9 17 32 26 8 13 21 23 31 46 40 22 27 35 37 45 11 5 36 41 )

소수

Figure 112019129304867-pat00187
에 대해
Figure 112019129304867-pat00188
와 같이 설정할 수 있다.decimal
Figure 112019129304867-pat00187
About
Figure 112019129304867-pat00188
Can be set like this.

에르고딕 다항함수는 다음과 같이 에르고딕

Figure 112019129304867-pat00189
-함수 f:
Figure 112019129304867-pat00190
->
Figure 112019129304867-pat00191
의 분해된 구성요소로 나타낼 수 있다. 이를 위해, 집합
Figure 112019129304867-pat00192
는 법
Figure 112019129304867-pat00193
에 관한 전이성(transitivity)을 갖고 있으며 그 계수가
Figure 112019129304867-pat00194
인 다항 함수들로 이루어진 집합을 나타낸다.The Ergodic polynomial function is as follows:
Figure 112019129304867-pat00189
-Function f:
Figure 112019129304867-pat00190
->
Figure 112019129304867-pat00191
It can be represented as a disassembled component of. For this, set
Figure 112019129304867-pat00192
How to
Figure 112019129304867-pat00193
Has a transitivity of and its coefficient is
Figure 112019129304867-pat00194
Represents a set of polynomial functions.

f:

Figure 112019129304867-pat00195
->
Figure 112019129304867-pat00196
가
Figure 112019129304867-pat00197
-함수이면, f는 다음 수학식 15와 같은 형태의 합으로서 표현될 때만 에르고딕하다.f:
Figure 112019129304867-pat00195
->
Figure 112019129304867-pat00196
end
Figure 112019129304867-pat00197
-If it is a function, f is ergotic only when expressed as a sum in the form of Equation 15 below.

Figure 112019129304867-pat00198
Figure 112019129304867-pat00198

이때,

Figure 112019129304867-pat00199
는
Figure 112019129304867-pat00200
가 각각 2, 3 그리고 5 이상의 소수일 때 차수가 최대 2, 8, 그리고
Figure 112019129304867-pat00201
인 에르고딕 다항함수이고,
Figure 112019129304867-pat00202
는
Figure 112019129304867-pat00203
에서 어떤 1-Lipschitz 함수이다. 다항함수
Figure 112019129304867-pat00204
는 상술한 바와 같은 에르고딕
Figure 112019129304867-pat00205
-함수로부터 얻을 수 있고,
Figure 112019129304867-pat00206
는 수학식 5와 같은 van der put 급수 내지 수학식 9와 같은 말러 급수로부터 얻을 수 있다.At this time,
Figure 112019129304867-pat00199
Is
Figure 112019129304867-pat00200
Is a prime number of 2, 3 and 5 or more, respectively, the order is at most 2, 8, and
Figure 112019129304867-pat00201
Is an Ergodic polynomial function,
Figure 112019129304867-pat00202
Is
Figure 112019129304867-pat00203
In any 1-Lipschitz function. Polynomial function
Figure 112019129304867-pat00204
Is Ergodic as described above
Figure 112019129304867-pat00205
-Can be obtained from a function,
Figure 112019129304867-pat00206
Can be obtained from a van der put series such as Equation 5 or a Mahler series such as Equation 9.

한편,

Figure 112019129304867-pat00207
의 원소의 갯수는 다음 수학식 16에 따라 결정된다.
Figure 112019129304867-pat00208
가 특히 작은 경우에는
Figure 112019129304867-pat00209
의 에르고딕 다항함수는 효율적으로 계산 가능하다. Meanwhile,
Figure 112019129304867-pat00207
The number of elements of is determined according to Equation 16 below.
Figure 112019129304867-pat00208
Is especially small if
Figure 112019129304867-pat00209
The Ergodic polynomial of can be calculated efficiently.

Figure 112019129304867-pat00210
Figure 112019129304867-pat00210

실시예에 따른 방법은 다양한 컴퓨터 수단을 통하여 수행될 수 있는 프로그램 명령 형태로 구현되어 컴퓨터 판독 가능 매체에 기록될 수 있다. 상기 컴퓨터 판독 가능 매체는 프로그램 명령, 데이터 파일, 데이터 구조 등을 단독으로 또는 조합하여 포함할 수 있다. 상기 매체에 기록되는 프로그램 명령은 실시예를 위하여 특별히 설계되고 구성된 것들이거나 컴퓨터 소프트웨어 당업자에게 공지되어 사용 가능한 것일 수도 있다. 컴퓨터 판독 가능 기록 매체의 예에는 하드 디스크, 플로피 디스크 및 자기 테이프와 같은 자기 매체(magnetic media),CD-ROM, DVD와 같은 광기록 매체(optical media), 플롭티컬 디스크(floptical disk)와 같은 자기-광 매체(magneto-optical media), 및 롬(ROM), 램(RAM), 플래시 메모리 등과 같은 프로그램 명령을 저장하고 수행하도록 특별히 구성된 하드웨어 장치가 포함된다. 프로그램 명령의 예에는 컴파일러에 의해 만들어지는 것과 같은 기계어 코드뿐만 아니라 인터프리터 등을 사용해서 컴퓨터에 의해서 실행될 수 있는 고급 언어 코드를 포함한다. 상기된 하드웨어 장치는 실시예의 동작을 수행하기 위해 하나 이상의 소프트웨어 모듈로서 작동하도록 구성될 수 있으며, 그 역도 마찬가지이다.The method according to the embodiment may be implemented in the form of program instructions that can be executed through various computer means and recorded in a computer-readable medium. The computer-readable medium may include program instructions, data files, data structures, and the like alone or in combination. The program instructions recorded on the medium may be specially designed and configured for the embodiment, or may be known and usable to those skilled in computer software. Examples of computer-readable recording media include magnetic media such as hard disks, floppy disks, and magnetic tapes, optical media such as CD-ROMs and DVDs, and magnetic media such as floptical disks. -A hardware device specially configured to store and execute program instructions such as magneto-optical media, and ROM, RAM, flash memory, and the like. Examples of the program instructions include not only machine language codes such as those produced by a compiler, but also high-level language codes that can be executed by a computer using an interpreter or the like. The hardware device described above may be configured to operate as one or more software modules to perform the operation of the embodiment, and vice versa.

이상으로 본 발명의 기술적 사상을 예시하기 위한 바람직한 실시예와 관련하여 설명하고 도시하였지만, 본 발명은 이와 같이 도시되고 설명된 그대로의 구성 및 작용에만 국한되는 것이 아니며, 기술적 사상의 범주를 일탈함이 없이 본 발명에 대해 다수의 변경 및 수정이 가능함을 잘 이해할 수 있을 것이다. 따라서, 그러한 모든 적절한 변경 및 수정과 균등물들도 본 발명의 범위에 속하는 것으로 간주되어야 할 것이다.As described above and shown in connection with a preferred embodiment for illustrating the technical idea of the present invention, the present invention is not limited to the configuration and operation as shown and described as described above, and deviates from the scope of the technical idea. It will be appreciated that many changes and modifications are possible to the present invention without. Accordingly, all such appropriate changes and modifications and equivalents should be considered to be within the scope of the present invention.

Claims (5)

의사난수를 생성하는 방법에 있어서,
에르고딕성을 가진 다항함수를 생성하는 단계; 및
상기 다항함수에 기반하여 의사난수를 생성하는 단계를 포함하고,
상기 다항함수는
Figure 112019129304867-pat00211
진수환
Figure 112019129304867-pat00212
(
Figure 112019129304867-pat00213
는 2, 3 또는 5 이상의 소수) 에 기반하는
Figure 112019129304867-pat00214
-함수에 속하는 것을 특징으로 하는 의사난수 생성 방법.
In the method of generating a pseudorandom number,
Generating an ergodic polynomial function; And
Including the step of generating a pseudo-random number based on the polynomial function,
The polynomial function is
Figure 112019129304867-pat00211
Jinsoohwan
Figure 112019129304867-pat00212
(
Figure 112019129304867-pat00213
Is based on 2, 3 or 5 or more prime numbers)
Figure 112019129304867-pat00214
-A method of generating a pseudorandom number, characterized in that it belongs to a function.
 제1항에 있어서,
상기 다항함수 생성 단계는 다음의 수학식 (1), (2) 중 어느 하나를 이용하여 에르고딕성을 가진 상기 다항함수를 생성하는 것이고,
(1)
Figure 112019129304867-pat00215

(2)
Figure 112019129304867-pat00216

상기
Figure 112019129304867-pat00217
진수환
Figure 112019129304867-pat00218
에서
Figure 112019129304867-pat00219
는 2인 것을 특징으로 하는 의사난수 생성 방법.
The method of claim 1,
The step of generating the polynomial function is to generate the polynomial function having an Ergotic property using any one of the following equations (1) and (2),
(One)
Figure 112019129304867-pat00215

(2)
Figure 112019129304867-pat00216

remind
Figure 112019129304867-pat00217
Jinsoohwan
Figure 112019129304867-pat00218
in
Figure 112019129304867-pat00219
A pseudo-random number generation method, characterized in that 2.
 제1항에 있어서,
상기 다항함수 생성 단계는 다음의 수학식 (1), (2) 중 어느 하나를 이용하여 에르고딕성을 가진 상기 다항함수를 생성하는 것이고,
(1)
Figure 112019129304867-pat00220

(2)
Figure 112019129304867-pat00221

상기
Figure 112019129304867-pat00222
진수환
Figure 112019129304867-pat00223
에서
Figure 112019129304867-pat00224
는 3인 것을 특징으로 하는 의사난수 생성 방법.
The method of claim 1,
The step of generating the polynomial function is to generate the polynomial function having an Ergotic property using any one of the following equations (1) and (2),
(One)
Figure 112019129304867-pat00220

(2)
Figure 112019129304867-pat00221

remind
Figure 112019129304867-pat00222
Jinsoohwan
Figure 112019129304867-pat00223
in
Figure 112019129304867-pat00224
A pseudo-random number generation method, characterized in that 3.
 제1항에 있어서,
상기 다항함수 생성 단계는 임의의 단환식 순열(unicyclic permutation)로부터 다음의 조건 (i), (ii) 및 (iii) 충족 여부에 따라 에르고딕성을 가진 상기 다항함수를 생성하는 것이고,
Figure 112019129304867-pat00225

상기
Figure 112019129304867-pat00226
진수환
Figure 112019129304867-pat00227
에서
Figure 112019129304867-pat00228
는 5 이상인 것을 특징으로 하는 의사난수 생성 방법.
The method of claim 1,
The step of generating the polynomial function is to generate the polynomial function having ergodic properties according to whether the following conditions (i), (ii) and (iii) are satisfied from any unicyclic permutation,
Figure 112019129304867-pat00225

remind
Figure 112019129304867-pat00226
Jinsoohwan
Figure 112019129304867-pat00227
in
Figure 112019129304867-pat00228
Is a pseudo-random number generation method, characterized in that 5 or more.
 제1항에 있어서,
상기 다항함수 생성 단계는 다음의 수학식을 이용하여 에르고딕성을 가진 상기 다항함수를 생성하는 것을 특징으로 하는 의사난수 생성 방법.
Figure 112019129304867-pat00229

The method of claim 1,
The generating of the polynomial function comprises generating the polynomial function having ergodic properties by using the following equation.
Figure 112019129304867-pat00229
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