KR101418686B1 - Subquadratic Space Complexity Parallel Multiplier and Method using type 4 Gaussian normal basis - Google Patents

Subquadratic Space Complexity Parallel Multiplier and Method using type 4 Gaussian normal basis Download PDF

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KR101418686B1
KR101418686B1 KR1020130091814A KR20130091814A KR101418686B1 KR 101418686 B1 KR101418686 B1 KR 101418686B1 KR 1020130091814 A KR1020130091814 A KR 1020130091814A KR 20130091814 A KR20130091814 A KR 20130091814A KR 101418686 B1 KR101418686 B1 KR 101418686B1
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홍도원
서창호
박선미
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공주대학교 산학협력단
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    • G06F7/72—Methods or arrangements for performing computations using a digital non-denominational number representation, i.e. number representation without radix; Computing devices using combinations of denominational and non-denominational quantity representations, e.g. using difunction pulse trains, STEELE computers, phase computers using residue arithmetic
    • G06F7/724—Finite field arithmetic

Abstract

Disclosed are a parallel multiplication computation method and a computation apparatus thereof. The parallel multiplication computation method according to the present invention includes the steps of: receiving the element a of a finite field [] as a vector [] and converting the vector [] as an element of the finite field []; receiving the element b of the finite field [] as a vector [] and converting the vector [] as an element of the finite field []; receiving two element of the finite field [] and calculating the resultant value of the multiplication c to output the c as a vector []; and receiving the element c of the finite field [] as a vector [] and converting the vector as an element of the finite field [].

Description

유한체에서 타입 4 가우시안 정규기저를 이용한 이차 미만의 공간 복잡도를 갖는 병렬 곱셈 연산방법 및 그 연산장치{Subquadratic Space Complexity Parallel Multiplier and Method using type 4 Gaussian normal basis}[0001] The present invention relates to a parallel multiplication operation method using a type 4 Gaussian normal basis in a finite field and a spatial multiplication operation method using the same,

본 발명은 병렬 곱셈 연산방법 및 그 연산장치에 관한 것으로서, 보다 상세하게는 타입 4 가우시안 정규기저(Gaussian normal basis:이하, “GNB”라 함)를 이용하여 유한체 상에서 곱셈 연산을 수행할 때 필요한 공간 복잡도(space complexity)를 줄임으로써, 하드웨어 구현 시 요구되는 면적의 감소를 통한 비용 절감 효과를 얻을 수 있는, 유한체

Figure 112013070103728-pat00001
상에서 타입 4 가우시안 정규기저를 이용한 이차 미만의 공간 복잡도를 갖는 병렬 곱셈 연산방법 및 그 연산장치에 관한 것이다.
The present invention relates to a parallel multiply operation method and an operation apparatus thereof, and more particularly, to a parallel multiply operation method and a multiplier operation method for performing a multiply operation on a finite field by using a type 4 Gaussian normal basis (hereinafter referred to as "GNB" By reducing the space complexity, it is possible to obtain a cost reduction effect by reducing the area required in hardware implementation,
Figure 112013070103728-pat00001
The present invention relates to a parallel multiply operation method having a spatial complexity less than a second order using a type 4 Gaussian normal basis on an input /

유한체

Figure 112013070103728-pat00002
상에서 가장 중요하고 기본이 되는 곱셈 연산 기법은, 타원 곡선 암호(elliptic curve cryptography), 페어링 기반 암호(paring-based cryptography) 등의 공개키 암호(public key cryptography)와 코딩 이론(coding theory) 등 다양한 분야에 널리 활용되는 핵심 기술이다. Finite element
Figure 112013070103728-pat00002
The most important and basic multiplication operation technique is to use various fields such as elliptic curve cryptography and public key cryptography such as paring-based cryptography and coding theory Is a core technology that is widely used.

유한체

Figure 112013070103728-pat00003
상에서 연산의 효율성은 유한체의 원소를 표현하는데 사용되는 기저(basis)의 선택에 크게 영향을 받는다. 기저 중 정규기저(normal basis)는 제곱 연산(squaring)을 비트 순환 쉬프트(bit cyclic shift)로 계산 할 수 있어 하드웨어(hardware) 상에서 아무 비용없이 수행 될 수 있다는 큰 장점을 가지고 있으나, 지금까지 알려진 곱셈 연산(multiplication)은 다른 기저를 사용 했을 때와 비교하여 비효율적이다. 이에 정규기저의 특별한 형태로 최적 정규기저(Optimal normal basis:이하 “ONB”라 함)나 GNB 등을 이용한 효율적인 곱셈 연산 설계에 대한 연구가 많이 이루어지고 있다.Finite element
Figure 112013070103728-pat00003
The efficiency of the operation on the finite element is greatly influenced by the selection of the basis used to represent the finite field element. The normal basis of the base has a great advantage that squaring can be performed with bit cyclic shift so that it can be performed without any cost in hardware. However, the known multiplication Multiplication is inefficient compared to using other bases. In this paper, we propose an effective multiplicative arithmetic operation using an optimal normal basis (GNB) as a special form of regular basis.

지금까지 유한체

Figure 112013070103728-pat00004
상에서 제안된 정규기저를 이용한 다양한 병렬 곱셈기(multiplier)들의 대부분은 이차 이상의 공간 복잡도(quadratic space complexity)를 가진다. 다시 말해, 곱셈 연산을 수행할 때 필요한
Figure 112013070103728-pat00005
상에서의 XOR 게이트(gate) 또는 AND 게이트의 수가
Figure 112013070103728-pat00006
이상이다. 그러나 스마트 기기의 확산으로 인해 기존 PC 기반 환경에 비해 연산의 경량화가 요구되어, 곱셈 연산을 수행 할 때 필요한 공간 복잡도, 즉
Figure 112013070103728-pat00007
상의 필요한 게이트 수가
Figure 112013070103728-pat00008
이 되는 이차 미만의 공간 복잡도(subquadratic space complexity)를 가진 병렬 곱셈기 개발의 필요성이 증가하고 있다.So far,
Figure 112013070103728-pat00004
Most of the parallel multipliers using the regular bases proposed in this paper have quadratic space complexity higher than the second order. In other words, when performing a multiply operation
Figure 112013070103728-pat00005
The number of XOR gates or AND gates
Figure 112013070103728-pat00006
Or more. However, due to the proliferation of smart devices, it is required to reduce the computational complexity compared to the existing PC-based environment. Thus, the space complexity required for performing the multiplication operation
Figure 112013070103728-pat00007
Required gate number
Figure 112013070103728-pat00008
The need for parallel multiplier development with subquadratic space complexity is increasing.

최근, 정규기저의 특별한 형태인 ONB를 이용하여 유한체 상에서 이차 미만의 공간 복잡도를 가진 병렬 곱셈기들이 제안되었다. Leone는 Karatsuba 알고리즘을 이용하여 처음으로 타입 1 ONB를 이용한 이차 미만의 공간 복잡도를 가진 곱셈기를 제안하였다. 다음으로 Fan과 Hasan은 Toeplitz 행렬과 벡터의 곱(Toeplitz matrix-vector product)을 이용하여 타입 1, 2 ONB를 이용한 이차 미만의 공간 복잡도를 가진 곱셈기를 제안하였다. Adikari et al.은 Toeplitz 행렬과 벡터의 곱을 재조합(recombination)한 방법을 이용하여 타입 1, 2 ONB를 이용한 이차 미만의 공간 복잡도를 가진 곱셈기를 제안하였다. 이에 다른 형태의 정규기저를 이용한 이차 미만의 공간 복잡도를 가진 병렬 곱셈기의 설계도 요구되고 있다.
In recent years, parallel multipliers with less than quadratic space complexity on a finite field have been proposed using ONB, a special form of regular basis. Leone proposed a first - order multiplier with less than second order space complexity using the Type 1 ONB using the Karatsuba algorithm. Next, Fan and Hasan proposed a multiplier with less than quadratic spatial complexity using type 1 and 2 ONBs using the Toeplitz matrix-vector product (Toeplitz matrix-vector product). Adikari et al. Proposed a multiplier with less than quadratic spatial complexity using type 1 and 2 ONBs by using recombination of Toeplitz matrices and vectors. Therefore, it is required to design a parallel multiplier with a spatial complexity less than the second order using another form of regular basis.

본 발명은 전술한 요구에 부응하기 위하여 창안된 것으로서, ONB 이외의 다른 형태의 정규기저를 이용하여 이차 미만의 공간 복잡도를 갖는 병렬 곱셈기 및 그 곱셈 연산방법을 제공하는 것을 목적으로 한다. 특히, 정규기저의 한 형태인 타입 4 GNB를 이용하여 유한체

Figure 112013070103728-pat00009
상에서 이차 미만의 공간 복잡도를 갖는 병렬 곱셈 연산방법 및 그 연산장치를 제공하는 것을 목적으로 한다. 또한 기존의 곱셈 연산방법 및 그 연산장치와 비교하여 낮은 공간 복잡도를 가짐으로써, 제한된 환경에도 적용 가능한 병렬 곱셈 연산방법 및 그 연산장치를 제공하는 것을 목적으로 한다.
It is an object of the present invention to provide a parallel multiplier having a space complexity less than a second order by using another type of regular basis other than the ONB, and to provide a multiplication operation method thereof. In particular, using the Type 4 GNB, a form of regular basis,
Figure 112013070103728-pat00009
And to provide a computing device and a parallel multiplication operation method having a spatial complexity lower than that of the second multiplication. It is another object of the present invention to provide a parallel multiply operation method and an arithmetic operation apparatus applicable to a limited environment by having a low spatial complexity as compared with an existing multiply operation method and its arithmetic operation apparatus.

전술한 목적을 달성하기 위한 본 발명의 제1 실시예에 따른 병렬 곱셈 연산방법은, 유한체

Figure 112013070103728-pat00010
의 원소 a를 벡터
Figure 112013070103728-pat00011
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00012
을 유한체
Figure 112013070103728-pat00013
의 원소로 변환하는 과정; 상기 유한체
Figure 112013070103728-pat00014
의 원소 b를 벡터
Figure 112013070103728-pat00015
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00016
을 상기 유한체
Figure 112013070103728-pat00017
의 원소로 변환하는 과정; 상기 유한체
Figure 112013070103728-pat00018
의 두 원소를 입력 받아 두 원소의 곱 c를 계산해서 벡터
Figure 112013070103728-pat00019
로 출력하는 과정; 및 상기 유한체
Figure 112013070103728-pat00020
의 원소 c를 벡터
Figure 112013070103728-pat00021
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00022
를 상기 유한체
Figure 112013070103728-pat00023
의 원소로 변환하는 과정을 포함하는 것을 특징으로 한다.According to a first aspect of the present invention, there is provided a parallel multiply operation method including:
Figure 112013070103728-pat00010
The element a of
Figure 112013070103728-pat00011
As a result,
Figure 112013070103728-pat00012
To a finite element
Figure 112013070103728-pat00013
Into an element of < RTI ID = 0.0 > The finite element
Figure 112013070103728-pat00014
The element b of
Figure 112013070103728-pat00015
As a result,
Figure 112013070103728-pat00016
Lt; / RTI >
Figure 112013070103728-pat00017
Into an element of < RTI ID = 0.0 > The finite element
Figure 112013070103728-pat00018
And then calculates the product c of the two elements to obtain the vector
Figure 112013070103728-pat00019
; And the finite element
Figure 112013070103728-pat00020
The element c of
Figure 112013070103728-pat00021
As a result,
Figure 112013070103728-pat00022
Lt; RTI ID = 0.0 &
Figure 112013070103728-pat00023
Into an element of < / RTI >

여기서, 상기 유한체

Figure 112013070103728-pat00024
의 임의의 두 원소 a, b는 타입 4 GNB
Figure 112013070103728-pat00025
를 이용하여 다음과 같이 표현된다.Here,
Figure 112013070103728-pat00024
Any two elements a and b of type 4 GNB
Figure 112013070103728-pat00025
Is expressed as follows.

Figure 112013070103728-pat00026
Figure 112013070103728-pat00026

여기서, 두 원소 a, b의 코디네이트 벡터(coordinate vector)는 각각

Figure 112013070103728-pat00027
와
Figure 112013070103728-pat00028
이다.Here, the coordinate vectors of the two elements a and b are
Figure 112013070103728-pat00027
Wow
Figure 112013070103728-pat00028
to be.

유한체

Figure 112013070103728-pat00029
의 타입 2 GNB의 정규 원소를
Figure 112013070103728-pat00030
라 할 때, 정규 원소 사이의 관계식
Figure 112013070103728-pat00031
를 이용하여 두 원소 a와 b는 다음과 같이 유한체
Figure 112013070103728-pat00032
의 원소로 인식되며,Finite element
Figure 112013070103728-pat00029
Of the type 2 GNB's regular elements
Figure 112013070103728-pat00030
, The relation between normal elements
Figure 112013070103728-pat00031
The two elements a and b are defined as follows:
Figure 112013070103728-pat00032
, And the < RTI ID = 0.0 >

Figure 112013070103728-pat00033
Figure 112013070103728-pat00033

상기 유한체

Figure 112013070103728-pat00034
의 타입 2 GNB로 표현한 두 원소 a, b의 코디네이트 벡터는 각각
Figure 112013070103728-pat00035
가 된다.The finite element
Figure 112013070103728-pat00034
The coordinate vectors of the two elements a and b expressed in the type 2 GNB of
Figure 112013070103728-pat00035
.

타입 2 GNB

Figure 112013070103728-pat00036
를 이용하여 표현된 유한체
Figure 112013070103728-pat00037
의 원소
Figure 112013070103728-pat00038
가 상기 유한체
Figure 112013070103728-pat00039
에도 포함되는 원소인 경우 다음과 같은 식이 성립하며,Type 2 GNB
Figure 112013070103728-pat00036
The finite element
Figure 112013070103728-pat00037
Element of
Figure 112013070103728-pat00038
Lt; / RTI >
Figure 112013070103728-pat00039
, The following equations hold for the elements included in

Figure 112013070103728-pat00040
Figure 112013070103728-pat00040

상기 유한체

Figure 112013070103728-pat00041
의 타입 4 GNB로 표현한 원소 c의 코디네이트 벡터는
Figure 112013070103728-pat00042
가 된다.The finite element
Figure 112013070103728-pat00041
The coordinate vector of the element c represented by the type 4 GNB of
Figure 112013070103728-pat00042
.

전술한 목적을 달성하기 위한 본 발명의 제2 실시예에 따른 병렬 곱셈 연산방법은, 유한체

Figure 112013070103728-pat00043
의 원소 a를 벡터
Figure 112013070103728-pat00044
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00045
을 유한체
Figure 112013070103728-pat00046
의 원소로 변환하는 과정; 상기 유한체
Figure 112013070103728-pat00047
의 원소 b를 벡터
Figure 112013070103728-pat00048
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00049
을 상기 유한체
Figure 112013070103728-pat00050
의 원소로 변환하는 과정; 상기 유한체
Figure 112013070103728-pat00051
의 두 원소를 입력 받아 두 원소의 곱 c를 계산해서 벡터
Figure 112013070103728-pat00052
로 출력하는 과정; 및 상기 유한체
Figure 112013070103728-pat00053
의 원소 c를 벡터
Figure 112013070103728-pat00054
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00055
를 상기 유한체
Figure 112013070103728-pat00056
의 원소로 변환하는 과정을 포함하는 것을 특징으로 한다.According to a second aspect of the present invention, there is provided a parallel multiplication operation method including:
Figure 112013070103728-pat00043
The element a of
Figure 112013070103728-pat00044
As a result,
Figure 112013070103728-pat00045
To a finite element
Figure 112013070103728-pat00046
Into an element of < RTI ID = 0.0 > The finite element
Figure 112013070103728-pat00047
The element b of
Figure 112013070103728-pat00048
As a result,
Figure 112013070103728-pat00049
Lt; / RTI >
Figure 112013070103728-pat00050
Into an element of < RTI ID = 0.0 > The finite element
Figure 112013070103728-pat00051
And then calculates the product c of the two elements to obtain the vector
Figure 112013070103728-pat00052
; And the finite element
Figure 112013070103728-pat00053
The element c of
Figure 112013070103728-pat00054
As a result,
Figure 112013070103728-pat00055
Lt; RTI ID = 0.0 &
Figure 112013070103728-pat00056
Into an element of < / RTI >

상기 유한체

Figure 112013070103728-pat00057
의 임의의 두 원소 a, b는 타입 4 GNB
Figure 112013070103728-pat00058
를 이용하여 다음과 같이 표현된다.The finite element
Figure 112013070103728-pat00057
Any two elements a and b of type 4 GNB
Figure 112013070103728-pat00058
Is expressed as follows.

Figure 112013070103728-pat00059
Figure 112013070103728-pat00059

여기서, 두 원소 a, b의 코디네이트 벡터(coordinate vector)는 각각

Figure 112013070103728-pat00060
와
Figure 112013070103728-pat00061
이다.Here, the coordinate vectors of the two elements a and b are
Figure 112013070103728-pat00060
Wow
Figure 112013070103728-pat00061
to be.

유한체

Figure 112013070103728-pat00062
의 타입 1 GNB의 정규 원소를
Figure 112013070103728-pat00063
라 할 때, 정규 원소 사이의 관계식
Figure 112013070103728-pat00064
를 이용하여 두 원소 a와 b는 다음과 같이 상기 유한체
Figure 112013070103728-pat00065
의 원소로 인식되며,Finite element
Figure 112013070103728-pat00062
Type 1 GNB's regular elements of
Figure 112013070103728-pat00063
, The relation between normal elements
Figure 112013070103728-pat00064
The two elements a and b are transformed into the finite element
Figure 112013070103728-pat00065
, And the < RTI ID = 0.0 >

Figure 112013070103728-pat00066
Figure 112013070103728-pat00066

상기 유한체

Figure 112013070103728-pat00067
의 타입 1 GNB로 표현한 두 원소 a, b의 코디네이트 벡터는 각각The finite element
Figure 112013070103728-pat00067
The coordinate vectors of the two elements a and b represented by the type 1 GNB of

Figure 112013070103728-pat00068
Figure 112013070103728-pat00068

타입 1 GNB

Figure 112013070103728-pat00069
를 이용하여 표현된 유한체
Figure 112013070103728-pat00070
의 원소
Figure 112013070103728-pat00071
가 상기 유한체
Figure 112013070103728-pat00072
에도 포함되는 원소라면 다음의 식이 성립하며,Type 1 GNB
Figure 112013070103728-pat00069
The finite element
Figure 112013070103728-pat00070
Element of
Figure 112013070103728-pat00071
Lt; / RTI >
Figure 112013070103728-pat00072
, The following equation is established,

Figure 112013070103728-pat00073
Figure 112013070103728-pat00073

상기 유한체

Figure 112013070103728-pat00074
의 타입 4 GNB로 표현한 원소 c의 코디네이트 벡터는
Figure 112013070103728-pat00075
가 된다.The finite element
Figure 112013070103728-pat00074
The coordinate vector of the element c represented by the type 4 GNB of
Figure 112013070103728-pat00075
.

전술한 목적을 달성하기 위한 본 발명의 제1 실시예에 따른 병렬 곱셈 연산장치는, 유한체

Figure 112013070103728-pat00076
의 원소 a를 벡터
Figure 112013070103728-pat00077
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00078
을 유한체
Figure 112013070103728-pat00079
의 원소로 변환하는 제1 변환부; 상기 제1 변환부의 유한체
Figure 112013070103728-pat00080
의 원소 b를 벡터
Figure 112013070103728-pat00081
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00082
을 유한체
Figure 112013070103728-pat00083
의 원소로 변환하는 제2 변환부; 상기 제1 변환부 및 상기 제2 변환부의 유한체
Figure 112013070103728-pat00084
의 두 원소를 입력 받아 두 원소의 곱 c를 계산해서 벡터
Figure 112013070103728-pat00085
로 출력하는 출력부; 및 상기 출력부로부터 유한체
Figure 112013070103728-pat00086
의 원소 c를 벡터
Figure 112013070103728-pat00087
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00088
를 유한체 의 원소로 변환하는 제3 변환부를 포함하는 것을 특징으로 한다.According to a first aspect of the present invention, there is provided a parallel multiplication arithmetic unit comprising:
Figure 112013070103728-pat00076
The element a of
Figure 112013070103728-pat00077
As a result,
Figure 112013070103728-pat00078
To a finite element
Figure 112013070103728-pat00079
A first conversion unit for converting an input signal into an element of The finite element of the first transforming unit
Figure 112013070103728-pat00080
The element b of
Figure 112013070103728-pat00081
As a result,
Figure 112013070103728-pat00082
To a finite element
Figure 112013070103728-pat00083
A second conversion unit for converting the input data into an element of the second conversion unit; The first transforming unit and the second transforming unit finite element
Figure 112013070103728-pat00084
And then calculates the product c of the two elements to obtain the vector
Figure 112013070103728-pat00085
; And a controller
Figure 112013070103728-pat00086
The element c of
Figure 112013070103728-pat00087
As a result,
Figure 112013070103728-pat00088
To an element of a finite field.

전술한 목적을 달성하기 위한 본 발명의 제2 실시예에 따른 병렬 곱셈 연산장치는, 유한체

Figure 112013070103728-pat00089
의 원소 a를 벡터
Figure 112013070103728-pat00090
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00091
을 유한체
Figure 112013070103728-pat00092
의 원소로 변환하는 제1 변환부; 상기 제1 변환부의 유한체
Figure 112013070103728-pat00093
의 원소 b를 벡터
Figure 112013070103728-pat00094
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00095
을 상기 유한체
Figure 112013070103728-pat00096
의 원소로 변환하는 제2 변환부; 상기 제1 변환부 및 상기 제2 변환부의 유한체
Figure 112013070103728-pat00097
의 두 원소를 입력 받아 두 원소의 곱 c을 계산해서 벡터
Figure 112013070103728-pat00098
로 출력하는 출력부; 및 상기 출력부로부터 유한체
Figure 112013070103728-pat00099
의 원소 c를 벡터
Figure 112013070103728-pat00100
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00101
를 유한체
Figure 112013070103728-pat00102
의 원소로 변환하는 제3 변환부를 포함하는 것을 특징으로 한다.
According to a second aspect of the present invention, there is provided a parallel multiplication arithmetic unit comprising:
Figure 112013070103728-pat00089
The element a of
Figure 112013070103728-pat00090
As a result,
Figure 112013070103728-pat00091
To a finite element
Figure 112013070103728-pat00092
A first conversion unit for converting an input signal into an element of The finite element of the first transforming unit
Figure 112013070103728-pat00093
The element b of
Figure 112013070103728-pat00094
As a result,
Figure 112013070103728-pat00095
Lt; / RTI >
Figure 112013070103728-pat00096
A second conversion unit for converting the input data into an element of the second conversion unit; The first transforming unit and the second transforming unit finite element
Figure 112013070103728-pat00097
And then calculates the product c of the two elements to obtain the vector
Figure 112013070103728-pat00098
; And a controller
Figure 112013070103728-pat00099
The element c of
Figure 112013070103728-pat00100
As a result,
Figure 112013070103728-pat00101
A finite element
Figure 112013070103728-pat00102
To an element of the second conversion unit.

본 발명에 따르면, 곱셈 연산방법 및 그 연산장치는 타입 4 GNB를 이용한 곱셈 연산을 효율적으로 수행 할 수 있을 뿐 아니라, 스마트 기기의 확산으로 인해 경량화된 IT 기기들에 대한 보안 분야의 핵심 기술로 적용 가능하다.
According to the present invention, the multiplication operation method and the operation device can efficiently perform multiplication operation using the type 4 GNB, and can be applied as a core technology of the security field for IT devices that are lightened due to the spread of smart devices It is possible.

도 1은 본 발명의 실시 예에 따라 유한체

Figure 112013070103728-pat00103
을 이용하여
Figure 112013070103728-pat00104
상에서 곱셈 연산을 수행하는 방법을 나타낸 제어 흐름도이다.
도 2는 유한체
Figure 112013070103728-pat00105
,
Figure 112013070103728-pat00106
,
Figure 112013070103728-pat00107
사이의 포함관계와 각 유한체의 GNB, GNB의 정규원소들 사이의 관계식을 나타낸 도면이다.
도 3은 본 발명의 실시 예들에 따른 타입 4 GNB를 이용한
Figure 112013070103728-pat00108
상의 병렬 곱셈기들의 공간 복잡도를 표로 나타낸 도면이다.
도 4는 본 발명의 다른 실시 예에 따라 유한체
Figure 112013070103728-pat00109
을 이용하여
Figure 112013070103728-pat00110
상에서 곱셈 연산을 수행하는 방법을 나타낸 제어 흐름도이다.
도 5는 타입 4 GNB를 이용한
Figure 112013070103728-pat00111
상의 병렬 곱셈기들의 공간 복잡도를 표로 나타낸 도면이다.1 is a block diagram of an embodiment of the present invention,
Figure 112013070103728-pat00103
Using
Figure 112013070103728-pat00104
FIG. 4 is a flowchart illustrating a method of performing a multiplication operation on a plurality of processors according to an embodiment of the present invention.
Fig.
Figure 112013070103728-pat00105
,
Figure 112013070103728-pat00106
,
Figure 112013070103728-pat00107
And the relationship between normal elements of GNB and GNB of each finite element.
FIG. 3 is a flowchart illustrating a method of using Type 4 GNBs according to embodiments of the present invention.
Figure 112013070103728-pat00108
Lt; RTI ID = 0.0 > complex multipliers on < / RTI >
FIG. 4 is a block diagram of an alternative embodiment of the present invention,
Figure 112013070103728-pat00109
Using
Figure 112013070103728-pat00110
FIG. 4 is a flowchart illustrating a method of performing a multiplication operation on a plurality of processors according to an embodiment of the present invention.
FIG. 5 is a flowchart illustrating a method of using Type 4 GNB
Figure 112013070103728-pat00111
Lt; RTI ID = 0.0 > complex multipliers on < / RTI >

이하, 첨부된 도면을 참조하여 본 발명의 실시예를 상세하게 설명한다. 이하의 설명에 있어서, 당업자에게 주지 저명한 기술에 대해서는 그 상세한 설명을 생략할 수 있다. Hereinafter, embodiments of the present invention will be described in detail with reference to the accompanying drawings. In the following description, a detailed description of known techniques well known to those skilled in the art may be omitted.

또한, 본 발명의 구성 요소를 설명하는 데 있어서, 동일한 명칭의 구성 요소에 대하여 도면에 따라 다른 참조부호를 부여할 수도 있으며, 서로 다른 도면임에도 불구하고 동일한 참조부호를 부여할 수도 있다. 그러나, 이와 같은 경우라 하더라도 해당 구성 요소가 실시예에 따라 서로 다른 기능을 갖는다는 것을 의미하거나, 서로 다른 실시예에서 동일한 기능을 갖는다는 것을 의미하는 것은 아니며, 각각의 구성 요소의 기능은 해당 실시예에서의 각각의 구성요소에 대한 설명에 기초하여 판단하여야 할 것이다.In describing the constituent elements of the present invention, the same reference numerals may be given to constituent elements having the same name, and the same reference numerals may be given thereto even though they are different from each other. However, even in such a case, it does not mean that the corresponding component has different functions according to the embodiment, or does not mean that the different components have the same function. It should be judged based on the description of each component in the example.

또한, 본 발명의 실시예를 설명함에 있어, 관련된 공지 구성 또는 기능에 대한 구체적인 설명이 본 발명의 요지를 흐릴 수 있다고 판단되는 경우에는 그 상세한 설명은 생략할 수 있다.In the following description of the embodiments of the present invention, a detailed description of known functions and configurations incorporated herein will be omitted when it may make the subject matter of the present invention rather unclear.

또한, 본 발명의 구성 요소를 설명하는 데 있어서, 제 1, 제 2, A, B, (a), (b) 등의 용어를 사용할 수 있다. 이러한 용어는 그 구성 요소를 다른 구성 요소와 구별하기 위한 것일 뿐, 그 용어에 의해 해당 구성 요소의 본질이나 차례 또는 순서 등이 한정되지 않는다. 어떤 구성 요소가 다른 구성요소에 "연결", "결합" 또는 "접속"된다고 기재된 경우, 그 구성 요소는 그 다른 구성요소에 직접적으로 연결되거나 접속될 수 있지만, 각 구성 요소 사이에 또 다른 구성 요소가 "연결", "결합" 또는 "접속"될 수도 있다고 이해되어야 할 것이다.In describing the components of the present invention, terms such as first, second, A, B, (a), and (b) may be used. These terms are intended to distinguish the constituent elements from other constituent elements, and the terms do not limit the nature, order or order of the constituent elements. When a component is described as being "connected", "coupled", or "connected" to another component, the component may be directly connected or connected to the other component, Quot; may be "connected," "coupled," or "connected. &Quot;

도 1은 본 발명의 실시 예에 따라 유한체

Figure 112013070103728-pat00112
을 이용하여
Figure 112013070103728-pat00113
상에서 곱셈 연산을 수행하는 방법을 나타낸 제어 흐름도이다.1 is a block diagram of an embodiment of the present invention,
Figure 112013070103728-pat00112
Using
Figure 112013070103728-pat00113
FIG. 4 is a flowchart illustrating a method of performing a multiplication operation on a plurality of processors according to an embodiment of the present invention.

도 1은 유한체

Figure 112013070103728-pat00114
의 원소 a를 벡터
Figure 112013070103728-pat00115
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00116
을 유한체
Figure 112013070103728-pat00117
의 원소로 변환하는 과정(100),
Figure 112013070103728-pat00118
의 원소 b를 벡터
Figure 112013070103728-pat00119
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00120
을 유한체
Figure 112013070103728-pat00121
의 원소로 변환하는 과정(200),
Figure 112013070103728-pat00122
의 두 원소를 입력 받아 두 원소의 곱 c을 계산해서 벡터
Figure 112013070103728-pat00123
로 출력하는 과정(300), 유한체
Figure 112013070103728-pat00124
의 원소 c를 벡터
Figure 112013070103728-pat00125
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00126
를
Figure 112013070103728-pat00127
의 원소로 변환하는 과정(400)으로 구성된다.Fig.
Figure 112013070103728-pat00114
The element a of
Figure 112013070103728-pat00115
As a result,
Figure 112013070103728-pat00116
To a finite element
Figure 112013070103728-pat00117
(100), and
Figure 112013070103728-pat00118
The element b of
Figure 112013070103728-pat00119
As a result,
Figure 112013070103728-pat00120
To a finite element
Figure 112013070103728-pat00121
(200) of transforming into an element of
Figure 112013070103728-pat00122
And then calculates the product c of the two elements to obtain the vector
Figure 112013070103728-pat00123
(300), a finite state machine
Figure 112013070103728-pat00124
The element c of
Figure 112013070103728-pat00125
As a result,
Figure 112013070103728-pat00126
To
Figure 112013070103728-pat00127
(400).

도 1의 각 단계를 상세히 설명하면 다음과 같다. Each step of FIG. 1 will be described in detail as follows.

Figure 112013070103728-pat00128
상에서 타입 t GNB는 다음과 같이 정의된다.
Figure 112013070103728-pat00128
The type t GNB is defined as follows.

(정의 1)(Definition 1)

Figure 112013070103728-pat00129
가 소수(prime)라고 가정한다.
Figure 112013070103728-pat00130
를 위수(order) t를 가진
Figure 112013070103728-pat00131
의 원소라 하고,
Figure 112013070103728-pat00132
상에서 2의 위수는 ordp2로 표시한다. 그리고
Figure 112013070103728-pat00133
는
Figure 112013070103728-pat00134
상의 단위원에 대한 p번째 원시근(primtive pth root of unity)이라고 가정하고,
Figure 112013070103728-pat00135
라고 한다. 만약
Figure 112013070103728-pat00136
가 성립하면
Figure 112013070103728-pat00137
는
Figure 112013070103728-pat00138
상의
Figure 112013070103728-pat00139
의 정규기저가 되는데 이를 타입 t GNB라 하고 β는 타입 t GNB의 정규원소(normal element)라 부른다.
Figure 112013070103728-pat00129
Is a prime.
Figure 112013070103728-pat00130
With an order t
Figure 112013070103728-pat00131
And,
Figure 112013070103728-pat00132
The ordinal of 2 on ord is denoted by ord p 2. And
Figure 112013070103728-pat00133
The
Figure 112013070103728-pat00134
(Pt) root of unity with respect to the unit circle on the top,
Figure 112013070103728-pat00135
. if
Figure 112013070103728-pat00136
Is established
Figure 112013070103728-pat00137
The
Figure 112013070103728-pat00138
top
Figure 112013070103728-pat00139
, Which is called the type t GNB and β is the normal element of the type t GNB.

(타입 1, 2 ONB는 타입 1, 2 GNB와 동일하다.)(Type 1, 2 ONBs are the same as Type 1, 2 GNBs.)

유한체

Figure 112013070103728-pat00140
이 타입 4 GNB를 가지기 때문에 정의 1에 의해,
Figure 112013070103728-pat00141
는 소수이다. 이때,
Figure 112013070103728-pat00142
의 원소 2의 위수 ordp2는 4n이 되고, 원소 2n의 위수는 4가 된다는 것을 보일 수 있다.
Figure 112013070103728-pat00143
를
Figure 112013070103728-pat00144
상의 단위원에 대한 p번째 원시근이라 하면, 정의 1에 의해
Figure 112013070103728-pat00145
가
Figure 112013070103728-pat00146
의 타입 4 GNB의 정규원소, 가 타입 4 GNB가 된다. Finite element
Figure 112013070103728-pat00140
With this type 4 GNB, by definition 1,
Figure 112013070103728-pat00141
Is a prime number. At this time,
Figure 112013070103728-pat00142
Percentile of ord p 2 of the element 2 is to be 4n, percentile of 2 n elements can be seen that the four.
Figure 112013070103728-pat00143
To
Figure 112013070103728-pat00144
If we say that p is the p-th root of the unit circle,
Figure 112013070103728-pat00145
end
Figure 112013070103728-pat00146
The type 4 GNB's regular element, and the type 4 GNB.

더 나아가

Figure 112013070103728-pat00147
은 소수이고
Figure 112013070103728-pat00148
이므로 정의 1에 의해
Figure 112013070103728-pat00149
는
Figure 112013070103728-pat00150
의 타입 1 GNB(타입 1 ONB)의 정규원소이고
Figure 112013070103728-pat00151
은 타입 1 GNB가 된다. Furthermore
Figure 112013070103728-pat00147
Is a prime number
Figure 112013070103728-pat00148
So by definition 1
Figure 112013070103728-pat00149
The
Figure 112013070103728-pat00150
Of type 1 GNB (type 1 ONB)
Figure 112013070103728-pat00151
Is a type 1 GNB.

또한,

Figure 112013070103728-pat00152
은 소수이고
Figure 112013070103728-pat00153
이므로 정의 1에 의해
Figure 112013070103728-pat00154
는
Figure 112013070103728-pat00155
의 타입 2 GNB(타입 2 ONB)의 정규원소이고
Figure 112013070103728-pat00156
은 타입 2 GNB가 된다. Also,
Figure 112013070103728-pat00152
Is a prime number
Figure 112013070103728-pat00153
So by definition 1
Figure 112013070103728-pat00154
The
Figure 112013070103728-pat00155
Of the type 2 GNB (type 2 ONB)
Figure 112013070103728-pat00156
Is a type 2 GNB.

도 2는 유한체

Figure 112013070103728-pat00157
,
Figure 112013070103728-pat00158
,
Figure 112013070103728-pat00159
사이의 포함관계와 각 유한체의 GNB, GNB의 정규원소들 사이의 관계식을 나타낸 도면이다.Fig.
Figure 112013070103728-pat00157
,
Figure 112013070103728-pat00158
,
Figure 112013070103728-pat00159
And the relationship between normal elements of GNB and GNB of each finite element.

유한체

Figure 112013070103728-pat00160
의 임의의 두 원소 a, b는 타입 4 GNB
Figure 112013070103728-pat00161
를 이용하여 수학식 1과 같이 표현된다.Finite element
Figure 112013070103728-pat00160
Any two elements a and b of type 4 GNB
Figure 112013070103728-pat00161
(1) < / RTI >

[수학식 1][Equation 1]

Figure 112013070103728-pat00162
Figure 112013070103728-pat00162

두 원소 a, b의 코디네이트 벡터(coordinate vector)는 각각

Figure 112013070103728-pat00163
와
Figure 112013070103728-pat00164
로 도 1의 (100)과 (200)에서와 같이 입력된다. 도 2의 정규 원소 사이의 관계식
Figure 112013070103728-pat00165
를 이용하여 두 원소 a와 b는 수학식 2와 같이 유한체
Figure 112013070103728-pat00166
의 원소로 인식된다. The coordinate vectors of the two elements a and b are
Figure 112013070103728-pat00163
Wow
Figure 112013070103728-pat00164
(100) and (200) of FIG. The relationship between the regular elements in Fig.
Figure 112013070103728-pat00165
The two elements a and b are expressed by the following equation (2)
Figure 112013070103728-pat00166
As shown in Fig.

[수학식 2]&Quot; (2) "

Figure 112013070103728-pat00167
Figure 112013070103728-pat00167

따라서, 유한체

Figure 112013070103728-pat00168
의 타입 2 GNB로 표현한 두 원소 a, b의 코디네이트 벡터는 각각
Figure 112013070103728-pat00169
가 되고 이 과정은 도 1의 (100)과 (200)에 나타낸 바와 같이 된다.Therefore,
Figure 112013070103728-pat00168
The coordinate vectors of the two elements a and b expressed in the type 2 GNB of
Figure 112013070103728-pat00169
And this process becomes as shown in (100) and (200) of FIG.

도 1의 (300)은

Figure 112013070103728-pat00170
의 원소 a, b를 벡터로 받아
Figure 112013070103728-pat00171
상에서 타입 2 GNB(타입 2 ONB)를 이용한 이차 미만의 공간 복잡도를 가진 기존의 병렬 곱셈기를 이용하여 a와 b의 곱
Figure 112013070103728-pat00172
를 계산하는 과정이다. (300)의 출력은
Figure 112013070103728-pat00173
의 타입 2 GNB를 이용한 c의 코디네이트 벡터
Figure 112013070103728-pat00174
로 주어진다. 1 (300)
Figure 112013070103728-pat00170
Take the elements a and b as vectors
Figure 112013070103728-pat00171
Using a type 2 GNB (Type 2 ONB) on a conventional parallel multiplier with less than second order spatial complexity, the product of a and b
Figure 112013070103728-pat00172
. (300)
Figure 112013070103728-pat00173
Coordinate vector of c with type 2 GNB of
Figure 112013070103728-pat00174
.

c는

Figure 112013070103728-pat00175
에 속하는 두 원소 a와 b의 곱이기 때문에
Figure 112013070103728-pat00176
에도 속한다. 따라서 원소 c를
Figure 112013070103728-pat00177
의 타입 4 GNB를 이용하여 표현할 수 있다.
Figure 112013070103728-pat00178
의 타입 2 GNB의 정규원소 β0와
Figure 112013070103728-pat00179
의 타입 4 GNB의 정규원소 β 사이의 관계식
Figure 112013070103728-pat00180
은 상기에서 보였다. 이 관계식과 유한체 이론(finite field theory)을 이용하여 c가
Figure 112013070103728-pat00181
에 포함되는 원소라면 수학식 3이 성립한다는 것을 보일 수 있다.c is
Figure 112013070103728-pat00175
Is a product of two elements a and b belonging to
Figure 112013070103728-pat00176
. Therefore,
Figure 112013070103728-pat00177
Can be expressed using the Type 4 GNB.
Figure 112013070103728-pat00178
Regular element β 0 of the type 2 and the GNB
Figure 112013070103728-pat00179
The relationship between the normal element β of type 4 GNB
Figure 112013070103728-pat00180
Was shown above. Using this relation and the finite field theory,
Figure 112013070103728-pat00181
It can be seen that Equation (3) holds when the element is included in the equation (3).

[수학식 3]&Quot; (3) "

Figure 112013070103728-pat00182
Figure 112013070103728-pat00182

그러므로 유한체

Figure 112013070103728-pat00183
의 타입 4 GNB로 표현한 원소 c의 코디네이트 벡터는
Figure 112013070103728-pat00184
가 되고 이 과정은 도 1의 (400)에 나타낸 바와 같다.Therefore,
Figure 112013070103728-pat00183
The coordinate vector of the element c represented by the type 4 GNB of
Figure 112013070103728-pat00184
And this process is as shown in (400) of FIG.

다음에, 도 1에 따라 수행된 상의 곱셈기의 복잡도(complexity)를 설명한다. 도 1의 (100), (200), (400) 과정은 실제 하드웨어에서 아무 비용없이 수행 될 수 있다. 도 1의 (300) 과정은

Figure 112013070103728-pat00185
상에서 타입 2 ONB를 이용한 곱셈 연산을 수행하는 과정이다. 따라서 도 1에 따라 수행된
Figure 112013070103728-pat00186
상의 곱셈기의 복잡도는 도 1의 (300) 과정의
Figure 112013070103728-pat00187
상에서 이용한 곱셈기의 복잡도와 일치한다. 다시 말해,
Figure 112013070103728-pat00188
상에서 타입 2 ONB를 이용하여 원소 a와 b의 곱
Figure 112013070103728-pat00189
를 계산하기 위한 곱셈기의 공간 복잡도가
Figure 112013070103728-pat00190
라면, 도 1에 따라 수행된
Figure 112013070103728-pat00191
상의 곱셈기의 공간 복잡도도
Figure 112013070103728-pat00192
가 되어 이차 미만의 공간 복잡도를 가지게 된다.Next, the complexity of an image multiplier performed according to FIG. 1 will be described. The steps (100), (200), and (400) of FIG. 1 can be performed in real hardware at no cost. The process 300 of FIG.
Figure 112013070103728-pat00185
And a multiplication operation using a type 2 ONB is performed on the data. Thus,
Figure 112013070103728-pat00186
The complexity of the multiplier on the
Figure 112013070103728-pat00187
And the complexity of the multiplier used in Fig. In other words,
Figure 112013070103728-pat00188
The product of the elements a and b using the type 2 ONB
Figure 112013070103728-pat00189
The space complexity of the multiplier
Figure 112013070103728-pat00190
1, < RTI ID = 0.0 >
Figure 112013070103728-pat00191
Space complexity of the multiplier over
Figure 112013070103728-pat00192
So that the spatial complexity is less than the second order.

도 3에 나타낸 표에서 4번째와 5번째 행들은 도 1의 (300)에서 Fan과 Hasan이 제안한

Figure 112013070103728-pat00193
상의 곱셈기를 사용했을 경우, 도 1에 나타낸 곱셈 연산방법에 따라 수행된
Figure 112013070103728-pat00194
상의 곱셈기의 복잡도를 보여준다. 여기서, 제1 곱셈기는 이하에서 설명하는 도 4의 실시예에 따른 곱셈기를 의미하며, 제2 곱셈기는 도 1의 실시예에 따른 곱셈기를 의미한다.In the table shown in Fig. 3, the fourth and fifth rows are shown in Fig. 1 (300) by Fan and Hasan
Figure 112013070103728-pat00193
When the multiplier is used, the multiplication is performed according to the multiplication operation method shown in FIG. 1
Figure 112013070103728-pat00194
It shows the complexity of the multiplier over. Here, the first multiplier means a multiplier according to the embodiment of FIG. 4 described below, and the second multiplier means a multiplier according to the embodiment of FIG.

도 4는 본 발명의 다른 실시 예에 따라 유한체

Figure 112013070103728-pat00195
을 이용하여
Figure 112013070103728-pat00196
상에서 곱셈 연산을 수행하는 방법을 나타낸 제어 흐름도이다.FIG. 4 is a block diagram of an alternative embodiment of the present invention,
Figure 112013070103728-pat00195
Using
Figure 112013070103728-pat00196
FIG. 4 is a flowchart illustrating a method of performing a multiplication operation on a plurality of processors according to an embodiment of the present invention.

도 4는 유한체

Figure 112013070103728-pat00197
의 원소 a를 벡터
Figure 112013070103728-pat00198
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00199
을 유한체
Figure 112013070103728-pat00200
의 원소로 변환하는 과정(10),
Figure 112013070103728-pat00201
의 원소 b를 벡터
Figure 112013070103728-pat00202
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00203
을 유한체
Figure 112013070103728-pat00204
의 원소로 변환하는 과정(20),
Figure 112013070103728-pat00205
의 두 원소를 입력 받아 두 원소의 곱 c을 계산해서 벡터
Figure 112013070103728-pat00206
로 출력하는 과정(30), 유한체
Figure 112013070103728-pat00207
의 원소 c를 벡터
Figure 112013070103728-pat00208
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00209
를
Figure 112013070103728-pat00210
의 원소로 변환하는 과정(40)으로 구성된다.Fig.
Figure 112013070103728-pat00197
The element a of
Figure 112013070103728-pat00198
As a result,
Figure 112013070103728-pat00199
To a finite element
Figure 112013070103728-pat00200
(10),
Figure 112013070103728-pat00201
The element b of
Figure 112013070103728-pat00202
As a result,
Figure 112013070103728-pat00203
To a finite element
Figure 112013070103728-pat00204
(20),
Figure 112013070103728-pat00205
And then calculates the product c of the two elements to obtain the vector
Figure 112013070103728-pat00206
(30), a finite state machine
Figure 112013070103728-pat00207
The element c of
Figure 112013070103728-pat00208
As a result,
Figure 112013070103728-pat00209
To
Figure 112013070103728-pat00210
(40).

이어서, 도 4의 각 단계를 상세히 설명한다.Next, each step of FIG. 4 will be described in detail.

유한체

Figure 112013070103728-pat00211
의 임의의 두 원소 a, b는 타입 4 GNB
Figure 112013070103728-pat00212
를 이용하여 수학식 4와 같이 표현된다.Finite element
Figure 112013070103728-pat00211
Any two elements a and b of type 4 GNB
Figure 112013070103728-pat00212
Is expressed as Equation (4).

[수학식 4]&Quot; (4) "

Figure 112013070103728-pat00213
Figure 112013070103728-pat00213

두 원소 a, b의 코디네이트 벡터(coordinate vector)는 각각

Figure 112013070103728-pat00214
와
Figure 112013070103728-pat00215
로 도 4의 (10)과 (20)에서처럼 입력된다. 도 2의 정규 원소 사이의 관계식
Figure 112013070103728-pat00216
를 이용하여 두 원소 a와 b는 수학식 5와 같이 유한 체
Figure 112013070103728-pat00217
의 원소로 인식된다. The coordinate vectors of the two elements a and b are
Figure 112013070103728-pat00214
Wow
Figure 112013070103728-pat00215
(10) and (20) of FIG. The relationship between the regular elements in Fig.
Figure 112013070103728-pat00216
The two elements a and b are expressed by the following equation (5)
Figure 112013070103728-pat00217
As shown in Fig.

[수학식 5]&Quot; (5) "

Figure 112013070103728-pat00218
Figure 112013070103728-pat00218

Figure 112013070103728-pat00219
Figure 112013070103728-pat00219

따라서, 유한체

Figure 112013070103728-pat00220
의 타입 1 GNB로 표현한 두 원소 a, b의 코디네이트 벡터는 각각Therefore,
Figure 112013070103728-pat00220
The coordinate vectors of the two elements a and b represented by the type 1 GNB of

Figure 112013070103728-pat00221
Figure 112013070103728-pat00221

되고 이 과정은 도 4의 (10)과 (20)에서 도시화 된다.This process is illustrated in (10) and (20) of FIG.

도 4의 (30)은

Figure 112013070103728-pat00222
의 원소 a, b를 벡터로 받아
Figure 112013070103728-pat00223
상에서 타입 1 GNB(타입 1 ONB)를 이용한 이차 미만의 공간 복잡도를 가진 기존의 병렬 곱셈기를 이용하여 a와 b의 곱
Figure 112013070103728-pat00224
를 계산하는 과정이다. (30)의 출력은
Figure 112013070103728-pat00225
의 타입 1 GNB를 이용한 c의 코디네이트 벡터
Figure 112013070103728-pat00226
로 주어진다. 4 (30)
Figure 112013070103728-pat00222
Take the elements a and b as vectors
Figure 112013070103728-pat00223
Using a type 1 GNB (type 1 ONB) on a parallel multiplier with less than second order spatial complexity,
Figure 112013070103728-pat00224
. (30)
Figure 112013070103728-pat00225
Coordinate vector of c using type 1 GNB of
Figure 112013070103728-pat00226
.

c는

Figure 112013070103728-pat00227
에 속하는 두 원소 a와 b의 곱이기 때문에
Figure 112013070103728-pat00228
에도 속한다. 따라서 원소 c를
Figure 112013070103728-pat00229
의 타입 4 GNB를 이용하여 표현할 수 있다.
Figure 112013070103728-pat00230
의 타입 1 GNB의 정규원소
Figure 112013070103728-pat00231
와
Figure 112013070103728-pat00232
의 타입 4 GNB의 정규원소 β 사이의 관계식
Figure 112013070103728-pat00233
은 도 2에서 주어진다. 이 관계식과 유한체 이론을 이용하여 c가
Figure 112013070103728-pat00234
에 포함되는 원소라면 수학식 6이 성립한다는 것을 보일 수 있다.c is
Figure 112013070103728-pat00227
Is a product of two elements a and b belonging to
Figure 112013070103728-pat00228
. Therefore,
Figure 112013070103728-pat00229
Can be expressed using the Type 4 GNB.
Figure 112013070103728-pat00230
Type 1 GNB's regular elements of
Figure 112013070103728-pat00231
Wow
Figure 112013070103728-pat00232
The relationship between the normal element β of type 4 GNB
Figure 112013070103728-pat00233
Is given in Fig. Using this relation and the finite field theory,
Figure 112013070103728-pat00234
It can be seen that Equation (6) holds.

[수학식 6]&Quot; (6) "

Figure 112013070103728-pat00235
Figure 112013070103728-pat00235

그러므로 유한체

Figure 112013070103728-pat00236
의 타입 4 GNB로 표현한 원소 c의 코디네이트 벡터는
Figure 112013070103728-pat00237
가 되고 이 과정은 도 4의 (40)에 나타낸 바와 같다.Therefore,
Figure 112013070103728-pat00236
The coordinate vector of the element c represented by the type 4 GNB of
Figure 112013070103728-pat00237
And this process is as shown in (40) of FIG.

도 4에 따라 수행된

Figure 112013070103728-pat00238
상의 곱셈기의 복잡도(complexity)를 설명한다. 도 4의 (10), (20), (40) 과정은 실제 하드웨어에서 아무 비용없이 수행 될 수 있다. 도 4의 (30) 과정은
Figure 112013070103728-pat00239
상에서 타입 1 ONB를 이용한 곱셈 연산을 수행하는 과정이다. 따라서 도 4에 따라 수행된
Figure 112013070103728-pat00240
상의 곱셈기의 복잡도는 도 4의 (30) 과정의
Figure 112013070103728-pat00241
상에서 이용한 곱셈기의 복잡도와 일치한다. 다시 말해,
Figure 112013070103728-pat00242
상에서 타입 1 ONB를 이용하여 원소 a와 b의 곱 c(= a ·b)를 계산하기 위한 곱셈기의 공간 복잡도가
Figure 112013070103728-pat00243
라면, 도 4에 따라 수행된
Figure 112013070103728-pat00244
상의 곱셈기의 공간 복잡도도
Figure 112013070103728-pat00245
가 되어 이차 미만의 공간 복잡도를 가지게 된다.4,
Figure 112013070103728-pat00238
The complexity of the multiplier on the output. The steps (10), (20), and (40) of FIG. 4 can be performed in real hardware at no cost. 4, the process of (30)
Figure 112013070103728-pat00239
And a multiplication operation using the type 1 ONB is performed on the input data. Thus,
Figure 112013070103728-pat00240
The complexity of the multiplier in FIG.
Figure 112013070103728-pat00241
And the complexity of the multiplier used in Fig. In other words,
Figure 112013070103728-pat00242
The space complexity of the multiplier to calculate the product c (= a · b) of the elements a and b using a type 1 ONB on
Figure 112013070103728-pat00243
4, < RTI ID = 0.0 >
Figure 112013070103728-pat00244
Space complexity of the multiplier over
Figure 112013070103728-pat00245
So that the spatial complexity is less than the second order.

도 3에 나타낸 표의 2번째와 3번째 행들은 도 4의 (30)에서 Fan과 Hasan이 제안한

Figure 112013070103728-pat00246
상의 곱셈기를 사용했을 경우, 도 4에 따라 수행된
Figure 112013070103728-pat00247
상의 곱셈기의 복잡도를 보여준다. The second and third rows of the table shown in Fig. 3 correspond to those of Fan and Hasan in Fig. 4 (30)
Figure 112013070103728-pat00246
Lt; RTI ID = 0.0 > multiplier < / RTI >
Figure 112013070103728-pat00247
It shows the complexity of the multiplier over.

도 3에서 알 수 있듯이, 도 1에 따라

Figure 112013070103728-pat00248
상에서 곱셈 연산을 수행한 제 2곱셈기가 도 4에 따라 수행된 제 1곱셈기보다 더 효율적이다. As can be seen in Figure 3,
Figure 112013070103728-pat00248
A second multiplier that performs a multiplication operation on the first multiplier is more efficient than the first multiplier performed according to FIG.

도 5에 나타낸 표는 유한체

Figure 112013070103728-pat00249
상에서 타입 4 GNB를 이용한 기존의 병렬 곱셈기와 제안된 병렬 곱셈기의 복잡도를 비교한다. 여기서, 제안된 곱셈기의 복잡도는 도 1에 따라 수행되며 유한체
Figure 112013070103728-pat00250
상에서의 곱셈기는 Fan과 Hasan이 제안했던 곱셈기와 Adikari et al.이 제안했던 곱셈기를 이용하였다. 도 5에 의하면 본 발명의 실시예에 따른 곱셈기는 최초로 이차 미만의 공간 복잡도를 가지고 있다. The table shown in Fig.
Figure 112013070103728-pat00249
We compare the complexity of the proposed parallel multiplier with the existing parallel multiplier using the Type 4 GNB. Here, the complexity of the proposed multiplier is performed according to FIG. 1,
Figure 112013070103728-pat00250
Multipliers used by Fan and Hasan and multipliers proposed by Adikari et al. Referring to FIG. 5, a multiplier according to an embodiment of the present invention first has a spatial complexity less than a second order.

이상에서, 본 발명의 실시예를 구성하는 모든 구성 요소들이 하나로 결합하거나 결합하여 동작하는 것으로 기재되어 있다고 해서, 본 발명이 반드시 이러한 실시예에 한정되는 것은 아니다. 즉, 본 발명의 목적 범위 안에서라면, 그 모든 구성 요소들이 하나 이상으로 선택적으로 결합하여 동작할 수도 있다. 또한, 그 모든 구성 요소들이 각각 하나의 독립적인 하드웨어로 구현될 수 있지만, 각 구성 요소들의 그 일부 또는 전부가 선택적으로 조합되어 하나 또는 복수 개의 하드웨어에서 조합된 일부 또는 전부의 기능을 수행하는 프로그램 모듈을 갖는 컴퓨터 프로그램으로서 구현될 수도 있다. 또한, 이와 같은 컴퓨터 프로그램은 USB 메모리, CD 디스크, 플래쉬 메모리 등과 같은 컴퓨터가 읽을 수 있는 저장매체(Computer Readable Media)에 저장되어 컴퓨터에 의하여 읽혀지고 실행됨으로써, 본 발명의 실시예를 구현할 수 있다. 컴퓨터 프로그램의 저장매체로서는 자기 기록매체, 광 기록매체, 캐리어 웨이브 매체 등이 포함될 수 있다.The present invention is not necessarily limited to these embodiments, as all the constituent elements constituting the embodiment of the present invention are described as being combined or operated in one operation. That is, within the scope of the present invention, all of the components may be selectively coupled to one or more of them. In addition, although all of the components may be implemented as one independent hardware, some or all of the components may be selectively combined to perform a part or all of the functions in one or a plurality of hardware. As shown in FIG. In addition, such a computer program may be stored in a computer-readable medium such as a USB memory, a CD disk, a flash memory, etc., and read and executed by a computer, thereby implementing embodiments of the present invention. As the storage medium of the computer program, a magnetic recording medium, an optical recording medium, a carrier wave medium, or the like may be included.

또한, 기술적이거나 과학적인 용어를 포함한 모든 용어들은, 상세한 설명에서 다르게 정의되지 않는 한, 본 발명이 속하는 기술 분야에서 통상의 지식을 가진 자에 의해 일반적으로 이해되는 것과 동일한 의미를 갖는다. 사전에 정의된 용어와 같이 일반적으로 사용되는 용어들은 관련 기술의 문맥상의 의미와 일치하는 것으로 해석되어야 하며, 본 발명에서 명백하게 정의하지 않는 한, 이상적이거나 과도하게 형식적인 의미로 해석되지 않는다.Furthermore, all terms including technical or scientific terms have the same meaning as commonly understood by one of ordinary skill in the art to which this invention belongs, unless otherwise defined in the Detailed Description. Commonly used terms, such as predefined terms, should be interpreted to be consistent with the contextual meanings of the related art, and are not to be construed as ideal or overly formal, unless expressly defined to the contrary.

이상의 설명은 본 발명의 기술 사상을 예시적으로 설명한 것에 불과한 것으로서, 본 발명이 속하는 기술 분야에서 통상의 지식을 가진 자라면 본 발명의 본질적인 특성에서 벗어나지 않는 범위에서 다양한 수정 및 변형이 가능할 것이다. 또한, 본 발명에 개시된 실시예들은 본 발명의 기술 사상을 한정하기 위한 것이 아니라 설명하기 위한 것이며, 이러한 실시예에 의하여 본 발명의 기술 사상의 범위가 한정되는 것은 아니다. 따라서, 본 발명의 보호 범위는 청구범위에 의하여 해석되어야 하며, 그와 균등한 범위 내에 있는 모든 기술 사상은 본 발명의 권리범위에 포함되는 것으로 해석되어야 할 것이다.
The foregoing description is merely illustrative of the technical idea of the present invention and various changes and modifications may be made by those skilled in the art without departing from the essential characteristics of the present invention. In addition, the embodiments disclosed in the present invention are not intended to limit the scope of the present invention but to limit the scope of the technical idea of the present invention. Accordingly, the scope of protection of the present invention should be construed according to the claims, and all technical ideas within the scope of equivalents should be interpreted as being included in the scope of the present invention.

Claims (6)

제1 변환부가 유한체
Figure 112014055432648-pat00251
의 원소 a를 벡터
Figure 112014055432648-pat00252
로 입력 받아, 벡터
Figure 112014055432648-pat00253
을 유한체
Figure 112014055432648-pat00254
의 원소로 변환하는 과정;
제2 변환부가 상기 유한체
Figure 112014055432648-pat00255
의 원소 b를 벡터
Figure 112014055432648-pat00256
로 입력 받아, 벡터
Figure 112014055432648-pat00257
을 상기 유한체
Figure 112014055432648-pat00258
의 원소로 변환하는 과정;
출력부가 상기 유한체
Figure 112014055432648-pat00259
의 두 원소를 입력 받아 두 원소의 곱 c를 계산해서 벡터
Figure 112014055432648-pat00260
로 출력하는 과정; 및
제3 변환부가 상기 유한체
Figure 112014055432648-pat00261
의 원소 c를 벡터
Figure 112014055432648-pat00262
로 입력 받아, 벡터
Figure 112014055432648-pat00263
를 상기 유한체
Figure 112014055432648-pat00264
의 원소로 변환하는 과정
을 포함하는 것을 특징으로 하는 병렬 곱셈 연산방법.
The first transform section is a finite element
Figure 112014055432648-pat00251
The element a of
Figure 112014055432648-pat00252
As a result,
Figure 112014055432648-pat00253
To a finite element
Figure 112014055432648-pat00254
Into an element of < RTI ID = 0.0 >
The second transforming unit
Figure 112014055432648-pat00255
The element b of
Figure 112014055432648-pat00256
As a result,
Figure 112014055432648-pat00257
Lt; / RTI >
Figure 112014055432648-pat00258
Into an element of < RTI ID = 0.0 >
The output unit
Figure 112014055432648-pat00259
And then calculates the product c of the two elements to obtain the vector
Figure 112014055432648-pat00260
; And
The third transform section
Figure 112014055432648-pat00261
The element c of
Figure 112014055432648-pat00262
As a result,
Figure 112014055432648-pat00263
Lt; RTI ID = 0.0 &
Figure 112014055432648-pat00264
To the element of
And a multiplier for multiplying the parallel multiplication result.
제 1항에 있어서,
정규 원소 사이의 관계식
Figure 112013070103728-pat00265
를 이용하여 두 원소 a와 b는 다음과 같이 유한체
Figure 112013070103728-pat00266
의 원소로 인식되며,
Figure 112013070103728-pat00267

상기 유한체
Figure 112013070103728-pat00268
의 타입 2 GNB로 표현한 두 원소 a, b의 코디네이트 벡터는 각각
Figure 112013070103728-pat00269
가 되는 것을 특징으로 하는 병렬 곱셈 연산방법.
The method according to claim 1,
Relation between normal elements
Figure 112013070103728-pat00265
The two elements a and b are defined as follows:
Figure 112013070103728-pat00266
, And the < RTI ID = 0.0 >
Figure 112013070103728-pat00267

The finite element
Figure 112013070103728-pat00268
The coordinate vectors of the two elements a and b expressed in the type 2 GNB of
Figure 112013070103728-pat00269
Of the multiplication result.
제 1항에 있어서,
상기 유한체
Figure 112013070103728-pat00270
의 원소 c가 상기 유한체
Figure 112013070103728-pat00271
에 포함되는 원소인 경우 다음과 같은 식이 성립하며,
Figure 112013070103728-pat00272

상기 유한체
Figure 112013070103728-pat00273
의 타입 4 GNB로 표현한 원소 c의 코디네이트 벡터는
Figure 112013070103728-pat00274
가 되는 것을 특징으로 하는 병렬 곱셈 연산방법.
The method according to claim 1,
The finite element
Figure 112013070103728-pat00270
The element c of the finite element
Figure 112013070103728-pat00271
The following equation is established,
Figure 112013070103728-pat00272

The finite element
Figure 112013070103728-pat00273
The coordinate vector of the element c represented by the type 4 GNB of
Figure 112013070103728-pat00274
Of the multiplication result.
제1 변환부가 유한체
Figure 112014055432648-pat00275
의 원소 a를 벡터
Figure 112014055432648-pat00276
로 입력 받아, 벡터
Figure 112014055432648-pat00277
을 유한체
Figure 112014055432648-pat00278
의 원소로 변환하는 과정;
제2 변환부가 상기 유한체
Figure 112014055432648-pat00279
의 원소 b를 벡터
Figure 112014055432648-pat00280
로 입력 받아, 벡터
Figure 112014055432648-pat00281
을 상기 유한체
Figure 112014055432648-pat00282
의 원소로 변환하는 과정;
출력부가 상기 유한체
Figure 112014055432648-pat00283
의 두 원소를 입력 받아 두 원소의 곱 c를 계산해서 벡터
Figure 112014055432648-pat00284
로 출력하는 과정; 및
제3 변환부가 상기 유한체
Figure 112014055432648-pat00285
의 원소 c를 벡터
Figure 112014055432648-pat00286
로 입력 받아, 벡터
Figure 112014055432648-pat00287
를 상기 유한체
Figure 112014055432648-pat00288
의 원소로 변환하는 과정
을 포함하는 것을 특징으로 하는 병렬 곱셈 연산방법.
The first transform section is a finite element
Figure 112014055432648-pat00275
The element a of
Figure 112014055432648-pat00276
As a result,
Figure 112014055432648-pat00277
To a finite element
Figure 112014055432648-pat00278
Into an element of < RTI ID = 0.0 >
The second transforming unit
Figure 112014055432648-pat00279
The element b of
Figure 112014055432648-pat00280
As a result,
Figure 112014055432648-pat00281
Lt; / RTI >
Figure 112014055432648-pat00282
Into an element of < RTI ID = 0.0 >
The output unit
Figure 112014055432648-pat00283
And then calculates the product c of the two elements to obtain the vector
Figure 112014055432648-pat00284
; And
The third transform section
Figure 112014055432648-pat00285
The element c of
Figure 112014055432648-pat00286
As a result,
Figure 112014055432648-pat00287
Lt; RTI ID = 0.0 &
Figure 112014055432648-pat00288
To the element of
And a multiplier for multiplying the parallel multiplication result.
유한체
Figure 112013070103728-pat00289
의 원소 a를 벡터
Figure 112013070103728-pat00290
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00291
을 유한체
Figure 112013070103728-pat00292
의 원소로 변환하는 제1 변환부;
상기 제1 변환부의 유한체
Figure 112013070103728-pat00293
의 원소 b를 벡터
Figure 112013070103728-pat00294
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00295
을 유한체
Figure 112013070103728-pat00296
의 원소로 변환하는 제2 변환부;
상기 제1 변환부 및 상기 제2 변환부의 유한체
Figure 112013070103728-pat00297
의 두 원소를 입력 받아 두 원소의 곱 c를 계산해서 벡터
Figure 112013070103728-pat00298
로 출력하는 출력부; 및
상기 출력부로부터 유한체
Figure 112013070103728-pat00299
의 원소 c를 벡터
Figure 112013070103728-pat00300
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00301
를 유한체 의 원소로 변환하는 제3 변환부
를 포함하는 것을 특징으로 하는 병렬 곱셈 연산장치.
Finite element
Figure 112013070103728-pat00289
The element a of
Figure 112013070103728-pat00290
As a result,
Figure 112013070103728-pat00291
To a finite element
Figure 112013070103728-pat00292
A first conversion unit for converting an input signal into an element of
The finite element of the first transforming unit
Figure 112013070103728-pat00293
The element b of
Figure 112013070103728-pat00294
As a result,
Figure 112013070103728-pat00295
To a finite element
Figure 112013070103728-pat00296
A second conversion unit for converting the input data into an element of the second conversion unit;
The first transforming unit and the second transforming unit finite element
Figure 112013070103728-pat00297
And then calculates the product c of the two elements to obtain the vector
Figure 112013070103728-pat00298
; And
From the output section,
Figure 112013070103728-pat00299
The element c of
Figure 112013070103728-pat00300
As a result,
Figure 112013070103728-pat00301
To an element of a finite field,
And a multiplier for multiplying the parallel multiplication result.
유한체
Figure 112013070103728-pat00302
의 원소 a를 벡터
Figure 112013070103728-pat00303
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00304
을 유한체
Figure 112013070103728-pat00305
의 원소로 변환하는 제1 변환부;
상기 제1 변환부의 유한체
Figure 112013070103728-pat00306
의 원소 b를 벡터
Figure 112013070103728-pat00307
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00308
을 상기 유한체
Figure 112013070103728-pat00309
의 원소로 변환하는 제2 변환부;
상기 제1 변환부 및 상기 제2 변환부의 유한체
Figure 112013070103728-pat00310
의 두 원소를 입력 받아 두 원소의 곱 c을 계산해서 벡터
Figure 112013070103728-pat00311
로 출력하는 출력부; 및
상기 출력부로부터 유한체
Figure 112013070103728-pat00312
의 원소 c를 벡터
Figure 112013070103728-pat00313
로 입력 받아, 벡터
Figure 112013070103728-pat00314
를 유한체
Figure 112013070103728-pat00315
의 원소로 변환하는 제3 변환부
를 포함하는 것을 특징으로 하는 병렬 곱셈 연산장치.

Finite element
Figure 112013070103728-pat00302
The element a of
Figure 112013070103728-pat00303
As a result,
Figure 112013070103728-pat00304
To a finite element
Figure 112013070103728-pat00305
A first conversion unit for converting an input signal into an element of
The finite element of the first transforming unit
Figure 112013070103728-pat00306
The element b of
Figure 112013070103728-pat00307
As a result,
Figure 112013070103728-pat00308
Lt; / RTI >
Figure 112013070103728-pat00309
A second conversion unit for converting the input data into an element of the second conversion unit;
The first transforming unit and the second transforming unit finite element
Figure 112013070103728-pat00310
And then calculates the product c of the two elements to obtain the vector
Figure 112013070103728-pat00311
; And
From the output section,
Figure 112013070103728-pat00312
The element c of
Figure 112013070103728-pat00313
As a result,
Figure 112013070103728-pat00314
A finite element
Figure 112013070103728-pat00315
And a third conversion unit
And a multiplier for multiplying the parallel multiplication result.

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