JPH0350687A - 複合曲面体の図形処理法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 〔産業上の利用分野〕 本発明は、計算機援助による設計またはコンピュータグ
ラフィックスにおける図形処理法に係り、特に、画像生
成，意匠デザイン，機械製品設計。

生産設計等に用いて好適な図形処理法に関する。

〔従来の技術〕

計算機援助による設計またはコンピュータグラフィック
スのための図形処理法に関する従来技術として、二次元
あるいは三次元の形状の定義，加工，ＡＩ集，表示等に
関する方法が，各種提案されている。本発明の主旨であ
る複合曲面体の図形処理法について見れば、バウンダリ
ー・リプレゼンテーション法（Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｒｅ
ｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ，略してＢ−ｒｅｐ法という
）が代表的である。

この方法は，ブレイド（Ｂｒａｉｄ）によって提案され
たものであり、三次元領域形状を、面と稜と頂点の、位
相データと幾何データとの組合わせにより構造的に表現
し、これらのデータを基に領域間の集合演算を可能とす
るものである。このＢ−ｒｅｐ法について記載した文献
として、コンピュータ　エイデイラド　デザイン　オブ
　メカニカル　コンポーネンツ　ウィズ　ボリューム　
ビルディング　ブリツクス．ピー　アール　オー　シ、
セカンド　アイ　エフ　テイー．アイ　エフアイ　ビー
／アイ　エフ　ニー　シ　コンファレンス、ブダペスト
、ピーピー１７４．１９７３（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ａｉ
ｄｅｄ　Ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＣ
ｏｍｐｏｎｅｎｔｓ　　ｗｉｔｈ　　Ｖｏｌｕｍｅ　　
Ｂｕｉｌｄｉｎｇ　　ｌ１ｒｉｃｋｓ，Ｐｒｏｃ。

２ｎｄ　Ｉｎｔ．　Ｉ　Ｆ　Ｉ　Ｐ　／　Ｉ　Ｆ　ＡＣ
　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ。

Ｂｕｄａｐｅｓｔ　ｐ　ｐ　１　７４，　１　９　７　
３）に記載されたものが知られている。

また、次世代を指向する新しい三次元図形処理法の概念
として、距離尺度に基づくモデル化の考え方（以下，距
離尺度モデルという）が野中，用島，徳増によって最近
発表されている。この考え方は、基本的には本発明が実
現した方法と，同じ立場にある．この距離尺度モデルに
ついて記載した文献として、「距離尺度に基づく統一的
な形状表現法の研究』第６回設計自動化工学講演論文集
（１９８８．７）に記載されたものが知られている。

〔発明が解決しようとする課題〕

計算機援助による設計またはコンピュータグラフィック
スのための図形処理法として重要な点は、その目的に応
じて、多少その重みは異なるが、次にあげる４点である
。

（１）、広範な形状の領域の定義，加工，編集，表示及
び領域特性値の出力が可能であること。

（２）、可能なあらゆるデータの組合わせに対して有効
な処理結果を保証できること。すなわち、堅固な図形処
理法であること。

（３）、＠記（２）に関して、目的に応じた処理精度を
保証できること、 （４）、図形処理法及びこれに係わる形状データの形式
が簡明であり、データ量が少ないこと。

ところで、前述した従来技術のＢ−ｒｅｐ法は、前記（
１）に示す点についは満足なものであるが、（２）に示
す点については不完全であり，他の（３）。

（４）については多くの問題点を有している。特に、互
いに接合された工ないし複数個の曲面要素の集りからな
る単一閉曲面を境界とし、その内部領域を実体として定
義される複合曲面体は一般的な三次元立体に対する基本
的な表現となるが、その形状創成のための図形処理手順
、特に形状の形状的な加工編集や表示等の手順が非常に
複雑で例外処理の多いものとなる。これ等の手順が複合
曲面体領域全体に対する一元的な手順としてでなく、各
曲面要素の特性や曲面要素間の接合の仕方に応じた、個
別的で局的的な手順の集りとしてしか記述できないから
である。したがって複合曲面体の形状が複雑な場合には
十分対処できないことが多く。

逆にこの難点を回避するために、曲面要素を平面のみに
限定して対処しなければならない等の問題がある。

一方、距離尺度モデルの考え方は、上記の問題を統一的
に解決する多くの示唆を与えている。しかしながら、そ
の実現方法については、未だ公知ではない。

本発明の目的は、距離尺度モデルの考え方を尊重しつつ
、前述した従来技術の問題点を統−物に解決し、処理系
を簡明・堅固なものとでき、扱うデータ量を少なくてよ
く、前記（１）〜（４）に示す全ての点を満たすことの
できる複合曲面体の図形処理法を提供することにある。

特に、複合曲面体の創成や利用に関して、形状を局所物
に扱うのではなく、一体物としては一元的且つ大局物に
扱うことのできる図形処理法を提供することである。も
う１つの目的は、これによって既に広く使われている本
発明以外の手段で創成された複合曲面体のモデル、たと
えばＢ−ｒａｐミルモデル−ｒｅｐ法で創成されたモデ
ル）を本発明の図形処理法によって、より高度に利用可
能にすることである。

〔課題を解決するための手段〕

一般に、ｎ次元空間上の複合曲面体領域を規定するデー
タは、その境界である曲面要素を規定する一連の方程式
か、あるいは、これらの方程式の生成諸元である一連の
データから成っており、領域の形状に応じて、それらの
形式及び量が異なっている。

本発明によれば、前記目的は、この領域を規定する一連
のデータを用い、空間上の任意の一点が前記領域に対し
て持つ相対位置データを一定形式で生成する手順（以下
、この手順を相対表現手順という）を与え、前記領域を
、この相対表現手順と同一視して、この手順によって、
該領域を一元的に規定する手段と、前記手順を与えられ
（相対表現されたという）で規定された、１ないし複数
個の領域から、領域または領域間の形状的な加工。

編集を行うことにより得られる新たな領域の相対表現を
、前記工ないし複数個の領域の相対表現手順から生成す
ることにより、その新たな領域を相対表現する手段と、
相対表現された領域自身の持つ形状的な特性、例えば、
二次元、三次元領域における体積９重心、形状の概形等
、該領域の相対表現手順を用いて表現あるいは表示する
ための手段とを備えることにより達成される。

〔作用〕

ｎ次元空間上の複合曲面体領域に対し、該領域を規定す
るデータが陽に与えられる場合に、本発明は、空間上の
一点が、その領域に占める相対位置データを一定形式で
生成する手順として、前記領域を表現する手段を与える
。このようにして相対表現された複数の領域は、それぞ
れが有する相対表現のための前記手順の内容が異なるに
せよ、同一の形式で表わすことができる。すなわち、そ
れぞれの手順へのアクセス及び生成された相対位置デー
タは、前記複数の領域の間で、値が異なることがあって
も、その形式は同一である。従って、２つの領域が一致
するとは、空間上の全ての点について、その点に対する
前記２つの領域の相対位置データの値が一致するときで
ある。

前述のようにして相対表現された１つあるいは複数の領
域から、領域または領域間の形状的な加工、ｔａ集を行
うことによって得られる新たな領域もまた、前記１つあ
るいは複数の領域の相対表現手順を用いて、同様に相対
表現することができる。

従って１元になる領域及びこれらの領域から加工。

編集を行うことによって得られる新たな領域は。

全て相対表現手順を用いることにより、一元的に表現さ
れる。さらに、本発明は、結果として相対表現された領
域に関する諸特性を、その領域に付随する相対表現手順
自身を用いて表現することができる。

従って、本発明の下では、ｎ次元空間上の主要な図形処
理は、相対表現手順という唯一の概念に基づいて統一的
に行われる。ところで、従来技術による図形処理法の多
くは、処理の対象となる領域に対し、その領域を規定す
るデータ形式とデータ量が領域の形状によって異なるた
め、その処理法が形状に存在して個別的になったり、複
雑になったり、あるいは、例外処理を多く含むという弱
点を有している。逆に、これらを避けるため、取扱うこ
とのできる領域の形状を制限することにより対応する図
形処理法も存在するが、このような図形処理法は、すで
に説明したように、本発明が解決しようとした課題にい
う問題点を有している。

本発明による図形処理法は、全ての処理を相対表現手順
の下で統一的に行うことができるようにしているため、
処理系を簡明なものとでき、これにより、従来技術の問
題点を解決できるものである。

〔実施例〕

まず、第２図〜第１３図により、本発明による図形処理
法の第１の実施例について説明する。

複合曲面体領域が、ｎ＝２．すなわち二次元空間上にあ
る場合、空間上の任意の１点が前記領域に対して持つ相
対位置データは、第２図に示す諸量を用いて次のように
表現される。なお、複合曲面体の境界を構成する曲面要
素は図において要素番号を添字として記号Ｓで示される
が、この場合、二次元であるので一般には一次元曲面、
すなわち通常の曲線である。

まず、第２図（ａ）において、空間上の任意の点Ｐが、
領域Ｇの内側にあるか外側にあるかを示す量として内外
判定データを１つ定義する。この内外判定データは、点
Ｐが領域Ｇの内側にあるとき値ＩＮを、点Ｐが領域Ｇの
外側にあるとき値ＯＵＴを有する。次に、点Ｐから領域
Ｇへの最短距離ρと、点Ｐに対して最短距離にある領域
Ｇの境界上の点Ｑの位置とを定める。これらのデータの
組をもって、領域Ｇに対する相対表現されたデータとす
る。ここでは、このデータを第１種相対位置データと呼
び、次のように表現される。

（内外判定データ、最短距離ρ、Ｇ上の最短距離点Ｑ）
　　　　　　　　　　　　　　・・・（１）前述の第１
種相対位置データの表現形式は、点Ｐと領域Ｇとの最短
距離ρが求められる場合の形式であるが、ρが決定でき
ない場合、これを別の形式で表現することができる。こ
の場合、第２図（ｂ）に示すように、最短距離ρの代り
に、最適距離下界ρ−と、最短距離上界ρ＋の２つのデ
ータを用いる。また、点Ｑは、点Ｐからの距離上界ρ＋
を与える領域Ｇの境界上の点とし、直線ＰＱｎ領域Ｇの
境界＝（Ｑ） を満たすものとする。このようにして作られる相対位置
データを、第２種相対位置データという。

この第２種相対位置データは１次のような形式で表わさ
れる。

（内外判定データ、最単距離上界ρ−２最短距離上界ρ
＋、Ｐからの距離ρ＋をとる領域Ｇの境界上の点Ｑ）　
　　　　　　　　・・・（２）前述において、第１種相
対位置データと第２種相対位置データとについて説明し
たが、第１種相対位置データは、第２種相対位置データ
において、最単距離上界ρ−＝最短距離上界ρ＋＝最短
距離ρとすれば、第２種相対位置データに含ませること
ができる。従って、以後説明する本発明の実施例では、
相対位置データとして、第１種及び第２種の両方を用い
るが、その形式は、第２種の形式に従うものとする。

次に、各種の領域に対して相対表現手順を与える手段に
ついて説明する。

（１）基本領域を規定する一連のデータに基づく、相対
表現手順を与える手段 ここで対象とする領域は、数式記述の与えられた１個な
いし複数個の曲面要素の集りからなる単一閉曲面を境界
とし、その内部領域を実体として定義される複合曲面体
である。特別な場合として。

０次元領域である点および曲面要素自身を含む。

曲面要素としては、この場合（ｎ＝・２の場合）、１次
元領域である直線または線分２円または円弧および自由
曲線等が含まれる。これ等特別な場合には内部領域は空
である。

一般の複合曲面体の簡単な例としては１円板や正方形板
があげられる。前者の場合には、１個の曲面要素（円）
で囲まれた領域として、また後者の場合には４つの曲面
要素（線分）で囲まれた領域として複合曲面体が定義さ
れる。これ等簡単で、よく知られた複合曲面体の場合に
は、それぞれ専用の方法を用意することができるが、以
下では一般的な方法についてのみ述べる。

ここで、後の便宜のために、基本領域に対する相対表現
手順の参照形式を次に示すように決めておくことにする
。

（定義関数名、領域を規定するデータ）前記において、
定義関数名は、基本領域の種別毎に異なる相対表現手順
を指し、１点Ｐが与えられたとき、相対位置データを値
として持つものとする。なお点Ｐのデータそのものは、
簡単のために参照形式に含めないものとする。

はじめに、曲面要素に対する、相対表現手順を考える０
曲面要素は一般に、Ｕをパラメータとして、Ｕに関して
連続で微分可能な次式で表わされるものとする。

５（ｕ）＝（ｘ（ｕ）、　ｙ（ｕ））　　Ｏ＜ｕ＜１こ
ととき、まず次の事実が存在することに注意する。

（Ａ１）定数Ｋが存在して、曲面要素のパラメータｕｌ
、ｕｇによって規定される部分集合（セグメントという
）： （Ｓ（ｕ）Ｉ　Ｏ＜ｕｘ＜ｕ＜ｕｚ＜１）を点Ｐｃ　を
中心とする半径： Ｒ＝Ｋ　ｌｌｍａｘ　（ＰｃＰｔ、ＰＣＰＺ）の球（こ
の場合は円）に含ませることができる。

さらに、 Ｐｃ＝Ｓ（（ｕｔ＋ｕｚ）／２） Ｐ＋＝Ｓ（ｕｔ）、ｉ＝１．２ である。

（Ａ２）　曲面要素に対して、空間上の点Ｐが十分近い
距離（ｒ＞Ｏ）以内にあるときは、点Ｐと曲面要素との
距離Ｐを求める統一的なアルゴリズムとして、Ｎｅｗｔ
ｏｎ−Ｒａｐｈｓｏｎ法で代゛表される数理計画法が利
用可能である。

そこで曲面要素に対する、相対表現手順は、上記のに、
γを与えて、 （曲面要素９式５（ｕ）、ｕの範囲、Ｋ、γ）と書く。

この手順を利用するとき、点Ｐを与えて次の形で参照す
るものとする。

（曲面要素９式５（ｕ）、［０，１１、に、γ）また、
点Ｐからの距離上界ρ◆くγのときに、事実（Ａ２）の
もとて適用できる相対表現手順を、特に、 （局所曲面要素２式５（ｕ）、ｕの範囲）と書く、以下
、これ等のアルゴリズムを次のように構成する。

（１，１）関数名が、曲面要素のとき、第３図（ａ）は
この場合の手順説明図である。

（ｉ）　　ｕの範囲（今Ｖｒとなっているとする）の中
点ｕｃに対する面上の点０への距離ＰＯを求める。ＰＯ
くγのとき、 （局所曲面要素、５（ｕ）、Ｖｉ） とし、相対位置データを返す（終り）。

（ｉｉ）　　事実（Ａ１）にしたがい、中心Ｏを中心と
する半径Ｒの円Ｃをつくる。

ｐｑｃのとき、丁＝７百−Ｒとする。

ρ〉γならρ＋←ＰＯとし、第２種相対位置データをつ
くり結果を返す（終り）。

（ｎｉ）　　Ｖｌ　を中点ｕＣを基準に２分割する（ｎ
＝３の場合には４分割）。各セグメントをＶ　１ｏ　、
　Ｖ　１１とし、それぞれのセグメントに対して、本手
順を適用する（再帰処理）。

（曲面要素ｔ　５（ｕ）、　ＶＩＪＦ　Ｋ、γ）ｊ＝ｏ
、１ （ｉｖ）　　上記２組の結果（相対位置データのこと）
からρまたはρ−ρ＋それぞれに対して、２組のデータ
の中でどちらか小さい方を値として、相対位置データを
つくり、結果を返す（終り）。

（１，１ａ）　　関数が局所曲面要素のとき。

（ｉ）　ｕｃを初期値として、 を（Ａ２）にしたがい収束計算で求める。

（ｎ）　　上記、ρ、Ｑを用いて第１種相対位置データ
をつくり結果を返す（終り）。

次に、基本領域が一般的な複合曲面体 の場合の相対表現手順について考える。

まず、複合曲面体が、次のｍ個の曲面要素、すなわち、 （Ｓｔ（ｕ）ＩＱ＜ｕり１　　　ｉ＝１〜ｍ）からなる
単一閉曲面を境界として持つものとする。このとき、点
Ｐに対して複合曲面体Ｇの境界ａＧで最短距離をとる点
をＱとする（複数ある場合は任意の１点）。

Ｑを共有する曲面要素の集合を （ｓｉ）ｉε工とし、且つ ｅ、＝ｚ力方向単位ベクトル （紙面に垂直上向きで一定） （１）　ｔ（Ｑ）＝　ｅ　ｕｔ（Ｑ）Ｘ　ｅ　ｚ（ｉε
Ｉ） とすると、次の事実が存在する（以下の記述は第３図（
ｂ）が説明図である）。

（Ｂ１） はＧの内部にあり、く０ならばＰはＧの外部にある。

（Ｂ２）点ＰからδＧと交わらない連続曲線により到達
可能な点Ｐ＊が存在し、ＰＩがＧの内部（外部）にあれ
ばＰεＧの内部（外部）にある。

これ等の事実から、複合曲面体に関する、−射的な相対
表現手順は次のようにして構成される。

（１，３）複合曲面体の相対表現手順 参照形式： ％式％ （曲面要素５ｔ（ｕ）のリスト（ｉ＝ １〜ｍ）Ｌｘ、γ） （１）　　Ｑｏｏ　＋−ａ　Ｇ上の点（たとえば、Ｓｉ
の頂点の１つ、またはそのうちで Ｐに一番近い点） （ｉｉ）　　ＳＷ　ｏｆｆ、Ｐ＊←ｐ、Ｑ＊←Ｑｏｏ。

（ｉｎ）　　ａＧｌ　：　＝　（曲面要素ｔｓｔｔ［ｏ
、１］、に、γ）（ｉ＝１〜ｍ） に対し、Ｐを送信する。

（ｉｖ）上記ａＧｒ（ｉ＝１〜ｍ）から返されたｍヶの
相対位置データに関し、 （ａ）　　すべて第２種のとき、 ρ；１＝Ｉｌｉｎρ１　　ｅ　／’　１２＝ｍｌｎ／）
　ｔｉ＝１〜ｍ　　　　ｉ＝１〜ｍ とする。且つ、５Ｗ＝ｏｆｆ　　なら ＳＷをｏｎとし、さらに、 ρ：　←ρ７１　−ρ、←ρ１２ として、第２種の扱いとする。

（ｂ）　　第１種を含むとき、 ｐ　ｔｏ＝ｍｉｎ（ｐ　ｔ　Ｉ第１種を与えるｉ）とす
る、対応する最短距離点Ｑｔｏを 共有するａＧｌの添字ｉの集合を工 とする。

５Ｗ＝ｏｆｆなら、 ρ：　←ρ；　　←ρ五０９　Ｑ傘←Ｑｔ。

として第１種扱い。且つρ、０＝０な らば（ｖｔｈ）へ。またＳ　Ｗ＝　ｏ　ｎのときはｏｆ
ｆとする。

（Ｖ） （ａ） ＳＷ＝ｏｎのとき、 Ｐ傘Ｑ。０ として（ｎｉ）へ。

（ｂ）　　５Ｗ＝ｏｆｆのとき、 として（ｖｉ）へ。

（ｖｉ）　　内外判定ＩＮ（あるいはＯＮ）（Ｖｎ）　
　　　（Ｉ　　Ｎ／　ＯＵＴ＊　　／’；　ｔ　　ρ：
　　＋　　Ｑ”）を相対位置データとして返す（終り）
。

（２）１個ないし複数個の境界表現された領域から、領
域または領域間の加工、ＩＩ集を通して得られる新たな
領域の相対表現手順を、前記１個ないし複数個の領域の
相対表現手順より生成する手段。

この場合にも、前述した式（３）、　（５）に示すと同
様な参照形式と等式を用意しておく。すなわち、参照形
式は次の式（６）で、等式は式（７）で示すことができ
る。

（操作関数名、操作データ、相対表現手順データまたは
手順名のリスト）　　　　　　・・・（６）のリスト）
　　　　　　・・・（７） 操作関数名は、操作の種類毎に異なり、それぞれ個別の
操作データの下で、与えられる領域または領域間に、加
工９編集を加えることにより生成される新たな領域の相
対表現手順を指し、その値第１種または第２種の相対表
現データを以下、具体的に記述する。

以降の説明図（第４図〜第１３図）にお簡単のため、曲
面要素の表示は省略してとして、 有する。

なお、 いては、 ある。

（ａ） 領域の反転操作 参照形式：　（反転２手順または手順名）ここでいう手
順は、相対表現手順を意味し、以後の説明では、特に断
わらない限り、その意味で用いることにする。

この反転操作は、すでに境界表現された領域の内と外と
の関係を反転して、新たな領域を作るものである。第４
図（ａ）、（ｂ）は、半径ｒの円板Ｇの反転（反転、ａ
）が、点Ｐに対してもつ相対位置データの値が、内外判
定データが反転することを除いて不変であることを示し
ている。また、第４図（ｃ）は、（反転、Ｇ）の相対表
現手順（４００）が、ステップ４１０〜４３０に示す手
続きにより得られることを示している。すなわち、反転
前の領域Ｇの相対表現手順（内外判定データ。

ρ−２ρ÷、Ｑ）の内外判定データをＯＵＴならＩＮへ
、ＩＮならＯＵＴへ逆転し、相対位置データ（内外判定
データ、ρ−２ρ＋、Ｑ）を生成し、これを（反転、Ｇ
）に対する相対表現手順とする（ステップ４１０〜４３
０）。

（ｂ）　２個の領域の集合和 参照形式＝　（和２手順１２手順２） 和操作は、複数の領域の集合和によって新たな領域を作
る操作である。第５図は円板Ｇｌと正方形Ｇ２の２個の
領域による（和、Ｇ１゜Ｇ２）を説明するものである。

第５図において、ρ、ρ−９ρ＋、Ｑ等の符号に添字１
．２が付けられているが、これらは、それぞれ、領域Ｇ
１及びＧ２の点Ｐに対する相対位置データであることを
意味している。また、１，１゜２．２は、それぞれ領域
Ｇｘ、Ｇｚの内部及び外部を示している。

第５図（ａ）、（ｂ）は、領域Ｇ１　、ＧＺともに、第
１種相対位置データが得られた場合を説明する図であり
、また、第５図（ｃ）は、領域Ｇｉ　、Ｇ２の両方ある
いはいずれか一方が、第２種相対位置データを与える場
合を説明する図である。

まず、第５図（ａ）において１点Ｐが （１２）空間にある場合、（和＋　Ｇ　１　＋　０２）
は、第１種相対位置データとして得られ、その最短距離
ρの値として、ρｌくρ２ならば領域ＧＺ側の値が、ま
た逆であれば領域ＧＺ側の値がとられる。すなわち、こ
の場合、ρｌ。

ρ２の小さい方がとられることになる。また。

点Ｐが（１２）空間または（１２）空間にあり、Ｑｔｔ
　Ｇ２が第５図（ａ）Ｌ：示すよウニ、それぞれＧ２お
よびＧ１の外にある場合、すなわち、Ｑｚ、Ｑｚが空間
（２）、（１）にある場合、（和、　Ｇｔ＝　０２）は
、やはり第１種相対位置データとして得られ、最短距離
ρの値は、それぞれ、ＧＺ側及びＧＺ側のデータがとら
れる。領域Ｇｌ、Ｇ２ともに第１種相対位置データを与
えるが、点Ｐ、Ｑｚ及びＧ２が、第５図（ｂ）に示すよ
うな関係にあるとき、または、領域Ｇｔ、　Ｇｙ、の少
なくとも一方が第２種相対位置データで与えられるとき
、すなわち、第５図（Ｃ）に示すような関係にあるとき
、（和、　Ｇ１．　Ｇｚ）は、次のデータを以って相対
位置データとされる。

（内外判定データ、ｍ１ｎ（ρ１−２ρ２−）。

田、Ｎ１Ｌ） ここで、ＮｉＬとは、領域和（Ｇｘ、Ｇｚ）の境界上に
、点Ｐに対応する点Ｑを特定できないことを示している
。そして、この場合、第２種相対位置データの最単距離
上界ρ−は決定できるが、上界ρ＋は決定できず　ｃｃ
の値を有するとする。

（ｃ）　２個の領域の集合積、集合差、参照形式：　（
積１手順１９手順２） （差１手順１２手順２） 集合積、集合差の操作は、それぞれ、２個の領域の共通
領域及び手順１の領域から手順２の領域を引いた差によ
って得られる領域を作る操作であり、これらの操作は、
反転と集合和の操作を用いて、次のように構成すること
ができる。すなわち、 （積２手順１９手順２）：＝ （反転［和（反転　手順１） （反転　手順２）コ） （差２手順１２手順２）：＝ （反転［和（反転　手順１）手順２）］）ここで、等式
：＝は、左辺と右辺とが等価であることを意味しており
、既に用いられたものも同様である。

（ｄ）　　領域の運動の操作 参照形式＝　（運動　母曲線Ｌ　手順）この運動の操作
は、予め１つの手順によって表わされている領域が、母
曲、ＩＬに沿って運動したときに、空間を走査してでき
る領域を定義する操作、である。母曲線りは、直線か円
弧またはこれらの組合せ等であり、次のように表わされ
るものとする。

（Ｌ（ｔ）：Ｏ≦Ｌ≦１） 母曲線りに沿う運動は、元になる領域の１つの参照点が
、母曲線り上をＬ（０）からＬ（１）まで、領域ととも
に移動する運動であるとする。なお、参照点を原点とし
て、領域上に固定された座標系は、参照形式の中では明
記していないが、母曲線りに沿って回転するものと、常
に空間が定義されている母座標系（これを世界座標系と
いう）に平行であるようにしたものと、２つの選択が可
能である。

第６図は、領域Ｇが、母曲線である円弧り上を、座標系
を母曲線りに沿って回転しつつ、参照点０を基準に移動
する運動操作を示している。第６図（ａ）において、０
（０）、ｘ（０）。

ｙ（０）は、１＝０における領域Ｇの座標系を示し、Ｏ
（１）、　ｘ　（１）、　ｙ　（１）は、ｔ＝１におけ
る領域Ｇの座標系を示す。ところで、運動操作によって
できる領域Ｇ・に関する点Ｐの相対位置データは、領域
Ｇを、１＝０に固定し、点Ｐを領域Ｇの移動と逆にＰ（
０）からＰ（１）に移動させてできる円弧ＬＰと、固定
された領域Ｇとの位置関係を調べることによって得るこ
とができる。すなわち、例えば、円弧ＬＰが、領域Ｇと
交差しない場合には、点Ｐは、領域Ｇ＄の外にあり、点
Ｐと領域Ｇ＊との最短距離は１曲線ＬＰと領域Ｇとの最
短距離となる。第６図に示す例では、ＬＰを二分法的に
セグメント分割しつつ、その過程で、第２種相対位置デ
ータを生成する手段を採用するものとする。

へ 第６図（ｂ）、（ｃ）は、この手段を可能とする原理を
説明するものである。すなわち、その１つは、第６図（
ｂ）に示すように１円弧ＬＰの区分点Ｐ（ｔｏ）が、領
域Ｇの内部にあると判定された場合であり１点Ｐは、領
域Ｇ−の内部にあり、点Ｐが、領域Ｇに対して有する最
単距離上界ρ−を以って、点Ｐの領域Ｇ拳に対する最単
距離上界として、処理を終了させることができる。また
、他の１つは、円弧ＬＰが領域Ｇと交差しない場合であ
り、この場合には、先に指摘したように１点Ｐは領域Ｇ
傘の外にある。第６図（ｃ）では、区分点Ｐ（ｔｚ）と
Ｐ（ｔｚ）とで区分されたセグメントが１区分点ｐｕｔ
）、Ｐ（ｔｚ）を両端とする線分中点Ｔを中心として、
線分の長さ２ｒを直径とする円の中に含まれることを示
している−この円が、線分中点Ｔの領域Ｇに対する下界
ρ−より小さい場合には、このセグメントに関する限り
、領域Ｇに対する最単距離上界は、 点Ｔの下界ρ−−ｒ〉０ としてよい。従って、いずれの場合にも、区分操作は有
限回で終了し、領域の運動により生成された新たな領域
に対する相対位置データを求めることができる。

（ｅ）　　領域のアフィン変換 参照形式：　（アフィン　変換マトリクス手順） アフィン変換は、予め手順によって表わされている領域
をアフィン変換して変形し、これにより新しい領域を作
る操作である。第７図は、円板領域Ｇにアフィンマトリ
クスＭ。

Ｍ−作用させ、領域Ｇを変換し、領域Ｇ＊を作る操作を
示している。ここで、アフィンマトリクスＭ、Ｍ−は次
に示すものであるとする。

新たな領域Ｇ拳に対する相対位置データを求めるに先立
って、まず、第７図（ａ）に示すように、点Ｐではなく
、点Ｐ−Ｍ−の領域Ｇに対する相対位置データ（ρ−２
Ｑ等）を求めておく、変換マトリクスＭによるアフィン
変換により、領域Ｇ２点Ｐ−Ｍ−、点Ｑ。

円Ｃは、第７図（ｂ）に示すように、それぞれ、領域Ｇ
拳２点Ｐ２点Ｑ　／、楕円Ｃ′に変換される。いま、ｂ
　（ａとすると、点Ｐを中心とした半径ｂ・ρ−は、領
域Ｇ申の境界と交わることはない。これらの関係を用い
ると。

点Ｐの領域Ｇ傘に関する相対位置データは、次のように
表わすことができる。すなわち、（Ｐ−Ｍ−の領域Ｇに
関する内外判定データ、ρ−・ｂ、線分ＰＱ’の長さ２
点 Ｑ’　） （ｆ）　　領域の鏡像変換 参照形式：（ミラー中心０半径Ｒ手順）鏡像変換は、予
め手順によって表わされている領域を、中心○、半径Ｒ
の円に関し鏡像変換して変形することにより、新しい領
域を作る操作である。円または直線は、円鏡面によって
、円または直線に変換されることが知られている。第８
図は、領域Ｇを、中心０゜半径Ｒの円鏡面によって鏡像
変換し、新たな領域ＧＩを作る操作を示している。この
変換において、点Ｐに対する領域Ｇ吻の相対位置データ
を求める方法は、前述したアフィン変換の場合と同様で
ある。すなわち、まず、ｊａ像点（Ｒ／ＩＰ＋）”・Ｐ
に対する領域Ｇの相対位置データ（再短距離下界ρ−９
点Ｑ等）を求める１点Ｐの鏡像点を中心とする半径ρ−
の円ＭＮは、鏡像変換により、点Ｔを中心とする円Ｍ’
　Ｎ’　に変換される。但し、円Ｍ’　Ｎ’の中心Ｔは
１点Ｐとは一致しない。

点Ｐを中心とした半径を線分ＰＮ’の長さ（＝ｒ）とす
る円の内部は、領域Ｇ傘の境界と共通点を持つことはな
い。また、点Ｑの鏡像点をＱ′としたとき、線分ＰＱ’
は、点Ｑ′以外に領域Ｇ傘の境界と共通点を持たない。

前述により、結局、点Ｐの領域Ｇ１）に関する相対位置
データは、次のように表わされる。

（点Ｐの鏡像点の領域Ｇに対する内外判定データＩ　ｒ
ｔ線分ＰＱ’の長さ２点Ｑ’　）（ｇ）　　領域のオフ
セット 参照形式：　（オフセット　オフセット量δ手順） このオフセット操作は、予め手順によって表わされてい
る領域を、その領域の外側にオフセット量δ　（〉０）
だけ移動させることによって、新しい領域を作る操作で
ある。第９図（ａ）は、オフセット操作により領域Ｇの
領域境界をδだけオフセットし、新たな領域Ｇを作る例
を示す。点Ｐに対する領域Ｇ拳の相対位置データは、次
のようにして構成される。まず、点Ｐの領域Ｇに関する
相対位置データ（ρ、Ｑ等）を求める。この相対位置デ
ータが、第１種相対位置データとして与えられる場合、
点Ｐの領域Ｇ・に対する相対位置データは、第１種相対
位置データとして求めることができる。すなわち、この
相対位置データは、次のようになる。

（ｉ）　　点Ｐが領域Ｇの外にあり、ρ〉δのとき、 （ＯＵ　Ｔ　、ρ−δ、ρ−δ、線分ＰＱ上の点Ｐから
の距離ρ−δの点Ｑ’　） （ｉｉ）　　点Ｐが領域Ｇの外にあり、ρ≦δのとき、 （ＩＮ、δ−ρ、δ−ρ、線分ＱＰの延長上の点Ｑより
の距離δの点Ｑ’　） （ｉｉｉ）　　点Ｐが領域Ｇの内にあるとき、（ＩＮ、
ρ＋δ、ρ＋δ、線分ＰＱの延長上の点Ｑよりの距離δ
の点Ｑ’　） また１点Ｐの領域Ｇに関する相対位置データが、第２種
相対位置データとして与えられる場合、点Ｐの領域Ｇ拳
に対する相対位置データは、第２種相対位置データとし
て求めることができ、次のようになる。

（ｉｖ）　　点Ｐが領域Ｇの外にあり、最単距離上界ρ
−〉δのとき。

（ＯＵＴ＊　ρ−５＋　（”−δ、Ｎ１Ｌ）（Ｖ）　　
点Ｐが領域Ｇの内にあるとき、（Ｉ　Ｎ、ρ−＋δ、ρ
＋＋δ、Ｎ１Ｌ）前述において、点Ｐの領域Ｇに対する
相対位置データが、第２種相対位置データとして与えら
れている場合、前記（ｉｖ）、（ｖ）以外の場合には、
別の算定手段が必要となる。

第９図（ｂｌ）〜（ｂ４）は、このための方法を説明す
る図である。この方法は５点Ｐが領域Ｇの外にあり、ρ
−くδの場合の相対位置を求めるためのものであり、ま
ず、点Ｐが領域Ｇの外にあるので、点Ｐを中心として、
−辺が４６の正方形の窓を設定し、次に、この窓と領域
Ｇの交差の有無、及び、交差する場合には、点Ｐとの最
短距離を、窓の中心を通り、窓の辺に平行な２つの直線
で、窓を再帰的に４分割しつつ評価することにより、相
対位置データを算定するものである。第９図（ｂｌ）〜
（ｂ４）は、その手順を例示したものであり、図中、白
丸の点は、領域Ｇの外部にある点を、黒丸の点は、領域
Ｇの内部にある点を示している。また、ＰＩ、　Ｐ２・
・・・・・及びρ１−２ρ２・・・・・・のような添字
付きの符号Ｐｔ及びρ１−は、細分された小窓の中心Ｐ
＋が、領域Ｇに関して持つ相対位置データのうち、最単
距離上界がρｌ−であることを意味している。

第９図（ｂｌ）に示す点Ｐを中心とする一辺が４６であ
る正方形の窓Ｗを、点Ｐで細分した第９図（ｂ２）に示
す４つの小窓Ｗｌ〜Ｗ４のうち、その中心ＰＬ、ａ、Ｐ
ａは領域Ｇの外部にあり、中心Ｐｉは領域Ｇの内部にあ
る。従って１点Ｐと領域Ｇとの最短距離ρは、点ＰとＰ
ｚとの関係から、ρ≦４「として評価される。また、点
Ｐ１を中心とする小窓Ｗｓは、点Ｐ１を中心とした半径
ρｌ−の円Ｃ１の円の内側に入るので、この小窓Ｗ１と
領域Ｇは交差しない。従って、この小窓Ｗｌについては
、評価の対象から除外する。同様に、小窓Ｗａ、Ｗａに
ついても、評価の対象から除去することができる。第９
図（ｂ３）は。

前述で評価の対象となった小窓Ｗｚを、その中心Ｐｚで
再分割した結果を示している。再分割した小窓Ｗ　２　
ｓ　＝　Ｗ　ｚ番の中心点Ｐ２１〜Ｐ２４のうち、点Ｐ
に最も近い点Ｐ２４は、この例では、領域Ｇの内側とな
るので、最短距離ρは、ρ≦４「／２として再評価され
る。従って、以降の評価は、小窓Ｗ２４に対して行なえ
ばよいことがわかる。第９図（ｂ４）は、さらにステッ
プを進め、小窓Ｗ２４４を中心Ｐａ口で再分割している
状態を示す。このような再分割操作の結果、ρ＝　２Ｊ
ｒ／２であること、最短距離点Ｑ＝Ｐｚ４であることが
結論でき、この結果、点Ｐの領域Ｇに対する相対位置デ
ータが、第１種相対位置データとして求まることになる
。従って、点Ｐの領域Ｇ−に対する相対位置データは、
前述の（ｉ）または（ｉｔ）によって与えられる。なお
、この再分割操作の途中で、窓Ｗが領域Ｇと交差しない
ことが判明した場合には、ρ−＝２δとして。

点Ｐの領域Ｇ傘に対する相対位置データは、前述の（ｉ
ｖ）により求めることができる。

（ｈ）　　領域のフィレット 参照形式：　（フィレット、凸部丸め量δｌ。

凹部丸め量δ２、手順） この操作は９手順で示される領域の凸部角点を半径δ１
の円で丸め、凹部角点を半径δ２の円で丸めて、新たな
領域を作る操作である。この操作は１反転とオフセット
操作を用いて行うことができる次の操作と等価である。

すなわち。

（フィレット　δ１　δ２　手順）：＝（オフセット　
δｌ　（反転　（オフセット　δｌ＋６２　（反転　（
オフセット６２　手順）））））である。

第１０図（ａ）、（ｂ）、（ｃ）は、領域１０に対する
フィレット操作の手続を例示したものである。第１０図
（ａ）〜（Ｃ）において、δ１．δ２は、それぞれ、領
域Ｇの凸部丸め量及び凹部丸め量を意味する。また、こ
のとき、領域Ｇ　＃　Ｇ　ｉｔ　Ｇ　ｚｅ　Ｇ　３及び
オフセット操作で得られる領域Ｇ・の間には、それぞれ
、次の関係がある。

Ｇｔ：＝（オフセット　６２　　Ｇ） Ｇｚ：＝（オフセット　δ１＋δ２（反転Ｇ１））Ｇａ
：＝（反転Ｇｚ） Ｇ４：＝（オフセット　δＩ　Ｇ３） すなわち、 ＧＩ：＝（オフセット　δ１（反転　（オ゛゛フセット
　δｌ＋δ２　（反転　（オフセ ット　６２　Ｇ））乃） となっている。

前述を第１０図（ａ）〜（Ｑ）に従って、簡単に説明す
れば、まず、第１０図（ａ）に示す図形Ｇに対して、凹
部丸め量に対応するδ２のオフセットを行う。この結果
、図形Ｇは、外側に広がり第１０図（ｂ）に示す図形Ｇ
１のように変形される。次に、この図形Ｇ１に反転操作
を行った後、凸部丸め量δｌと凹部丸め量δ２の和δ１
＋δ２のオフセットを行う。この結果、図形Ｇｌは、第
１０図（ｂ）に示す図形Ｇｚとなる。この場合、図形Ｇ
Ａに対して反転を行っているので、得られる図形Ｇ２は
、見かけ上縮小されたものとなる。さらに、この図形Ｇ
３を反転後、凸部丸め量に相当するδ１だけオフセット
する。

これにより、第１０図（ｃ）に示すような最終的な目的
の図形Ｇ傘を得ることができる。

（ｉ）　　領域の力学的変形 参照形式：　（力学的変形ｐ　ｒＱ、β。

（ａ、Ｏ，ｅ）、手順） 領域の力学的変形は、あらかじめ手順によって表わされ
ている領域を、空間全体を満たすある仮想の媒体のもと
に置かれた物体と考えて、その１点○のベクトルｅ方向
に値ａで示される大きさの力を加えたとき、その物体が
自身の材質に応じて、且つ媒体の抗力に対して受ける変
形を、定性的に模擬する操作である。ここでパラメータ
ｒＱ　。

βは、前記の物体の材質や媒体の抗力を定性的に制御す
る値として使われる。

この操作を実現する基本的な考え方は、力の作用によっ
て、物体をその一部と見做して空間全体が一様に変形す
るものとし、物体の変形は変形後の空間内の物体相当部
分をとり出したものとすることである。空間の変形は１
次式で示される連続且つ、−対一の対応を与える写像Ｍ
で代表させる。

すなわち点（ｘｐｙ）が点（ｘ”　ｔ　ｙ’　）に変位
するものとし、簡単のために、０は原点（０，０）とし
且つ、ｅはＸ方向とすると、−例として、 （ｘ’　ｍｙ’　）＝Ｍ（ｘｔｙ）＝（ｘ＋ω（ｒ）、
ｙ）ここに、 ｒ＝石ゴＴ７７ とすることが可能である。以下はこの例で示した写像Ｍ
を用いて説明する。

さて、このように写像Ｍが与えられたあとの処理は、（
ｅ）で示した領域のアフィン変換の場合と全く同じであ
る。写像ＭとアフィンマトリクスＭとは式の形が異なる
だけで、どちらも変換に変りはないからである。

第１１図は、手順で与えられた領域Ｇを写像Ｍで変換し
、領域Ｇ傘を作る操作を示している。新たな領域Ｇ中に
対する相対位置データを求めるに先だって、まず第１１
図（ａ）に示すように点Ｐではなく、Ｐ′＝Ｍ−Ｌ（Ｐ
）の領域Ｇに対する相対位置データ（ρ−２Ｑ等）を求
めておく、写像Ｍによって、領域０９点Ｍ−１（Ｐ）、
点０２円Ｃはそれぞれ、領域Ｇ＊、点Ｐ、Ｑ、閉曲線Ｃ
＊に写像される。また原点○（０，０）はＸ軸上の点０
ｘ（ａ、Ｏ）に写像される。

領域０本に対する点Ｐの相対位置データのうち、ρ；の
値は次式で計算される。すなわち。

ρ；＝ρ−−ａ−ｍａｘ（μｍ、μ２）ここに であり、ρ−〉０ならばρ；〉０という性質を持つ、こ
れから点Ｐの領域Ｇ＊に関する相対位置データは次のよ
うに表すことができる。

（点Ｐ′の領域Ｇに関する内外判定データ、　ρ＊　　
＋　　ｐ　０本、Ｑ＊）次に第１１図（ｂｌ）〜（ｂ３
）を用いて、この操作が物体の力学的変形を定性的に模
擬できることを示す、金物体Ｇの例として図に示したよ
うな半径Ｒの円板を考える。

このとき、パラメータｒＱ　、　βのとり方によって次
に示す３つのモードが実現される。

（ｃｌ）塑性変形モード（局所変形モード）ｒｏ＜Ｒと
するとω（ｒ）ｚＯとなるので第１１図（ｂｌ）に示す
ように円板の中心より少なくとも右半分の点は殆んど変
位しない、しかるに力の作用点０は、Ｘ軸上０’（ａ、
Ｏ）に変位する。これは、大きな集中力がある局所位置
に短時間働く場合、すなわち衝突力を受けた場合で、且
つ物体の剛性がそれほど大きくなく、また媒体の抗力が
大きい場合に相当する。

（ｃ２）剛性変位モード ｒｏ＞Ｒとすると、ω（ｒ）＝ａとなる。

これは第１１図（ｂ２）に示すように物体が剛体変位し
た場合に相当する。云い換えれば、力が緩やかに作用し
、且つ物体の剛性が大きく、物体に働く抗力が相対的に
大きくない場合には、物体は変形せず、ある位置まで移
動する。

（ｃ３）　混成モード Ｂ）１とすルトｒ　＝　ｐ　）　ｒ　。

なる点（ｘ、ｙ）では、ω（ｒ　）　２０であり、ｒ＜
ｒａなる点では、ω（ｒ）、、０となる。したがって力
の作用点付近では剛体変位モードを示し、離れた点では
塑性変形モードを示す。

以上のことから、ｒｏ　、βの制御で力の作用による様
々な変形状態を模擬できることがわかる。

なお、ここでは力の作用が１点の場合 のみ示したが、本操作を拡張し、また他の操作と組合せ
ることにより、力が多点に作用する場合に対応できる操
作とすることができる。

（３）相対表現された領域自身の持つ形状的な特性を、
該領域の相対表現手順を用いて表現するための手段 （ａ）　　空間細分による形状の概形表現相対表現され
た領域は、そのままでは、形状として認識しにくいので
、領域を形状として表現することが必要である。従って
、本発明では、前述した領域の相対表現手順を用いて、
該領域を含む空間を細分して、該領域の概形を表現する
手段を与える。この表現手段を第１２図により説明する
。

まず、第１２図（ａ）において、領域Ｇを含む、−辺Ｈ
の正方形の窓Ｗを設定する。この窓Ｗの細分操作の方法
は、窓Ｗの中心を通り−Ｘｐ’ｊ両軸にそれぞれ平行な
２本の直線によって、４つの正方形の小窓に細分すると
いう方法である。この細分の後、それぞれの小窓につい
て、その窓が領域Ｇに含まれるか、互いに交差しないか
、あるいは、それ以外であるかに応じて、各小窓毎に（
満）、（空）。

（半空）のフラグを付与する。（半空）のフラグのつい
た小窓に対して、さらに前述と同様な細分を行い、これ
によりできた小窓に対して、前述と同様なフラグを付与
する。

このような細分とフラグ付与を再帰的に繰返して実行し
、（半空）のフラグの付与された全ての小窓の一辺の長
さが、要求精度ε以下になったとき、細分を終了するも
のとし、この（半空）のフラグが付与された小窓が領域
境界となる。また、このようにして生成されたフラグ付
きの各小窓のデータは、細分の過程に従って４分木の形
で記憶される。以下、この方法のキーとなる小窓に対す
るフラグ付与の判定基準について、第１２図（ｂ）、（
Ｃ）により説明する。

いま、小窓Ｗ′の中心点Ｐの領域Ｇに関する相対位置デ
ータを、（内外判定データ、ρ−ρ＋、　Ｑ）とし、判
定基準を次のように定める。

基準１：点Ｐを中心とし、ρ−を半径とする円Ｃ−が窓
Ｗ′を含むとき、内 外判定データのＩＮ、ＯＵＴに応 じて、窓Ｗ′のフラグを、それぞ れ、（満）、（空）とする［第 １２図（ｂ）］。

基準２：点Ｐを中心とし、ρ＋を半径とする円Ｃ＋が窓
Ｗ′に含まれるとき、 窓Ｗ′のフラグを（半空）とする ［第１２図（ｃ）］　。

前記の基準が適用できない場合には、その小窓を（半空
）と看して細分を続ければよい。

（ｂ）　　領域のマスプロパティ（面積２重心２重心ま
わりの二次モーメント）の導出。

領域の特性量であるマスプロパティは、前述した（ａ）
の方法によって得ることができる。すなわち、マスプロ
パティは、記憶されている領域の４分水データを走査し
て（満）または（半空）のフラグの付与された窓につい
て、諸量を計算し、これらの総和をとる方法により得る
ことができる。なお、（半空）フラグが付与された窓に
ついては、（満）として取扱うか、または、乱数を用い
て確率的に（満）としたり、（空）としたりというよう
に種々の方法が可能であるが、この取扱い方は任意であ
る。

（ｃ）　　領域の表示 領域の形状を表示するためには、２つの方法があるが、
いずれも、前述の（ａ）により説明した空間細分による
概形表現の４分水データを基本として、４分木を走査し
つつ、（半空）のフラグが付与された窓について、次の
処理を行うことにより達成できる。以下、第１３図を用
いてこれを説明する。

表示法１：第１３図（ａ　１）、　（ａ　２）において
、−辺がεの窓Ｗの中心点 Ｐの領域Ｇに関する相対位置デ ータより、最短距離点Ｑを求め。

Ｑを通り線分ＰＱに垂直な直線 が窓Ｗによって切り取られる線 分ＭＮを表示する。

表示法２：第１３図（ｂ）に示すように、窓Ｗを中心点
Ｐを通り、窓Ｗの 辺に平行な２本の直線で、４つ の小窓Ｗ　１　”　Ｗ　４に細分する。次に、各小窓Ｗ
＋（ｉ＝１〜４）の 中心点Ｐｔについて、点Ｐｔの領 域Ｇに関する相対位置データよ り、最短距離点Ｑ、を求める。

小窓Ｗ、に含まれる点Ｑ１につい て、点Ｑ、を通り、線分ＰｉＱＩ に垂直な直線が窓Ｗによって切 り取られる線分Ｌｉを生成する。

次に、線分Ｌ１（ｉ＝１〜４）相 瓦間の交差状況を調べ、領域Ｇ を含む側の折線ＡＢＣＤＥを表 示する。

前述において、点Ｐ（あるいは点Ｐ１）の領域Ｇへの最
短距離点Ｑ（あるいは点Ｑｔ　＞が、点Ｐ（あるいは点
ｐｔ）の領域Ｇに関する第１種相対位置データとして与
えられるとき、最短距離点Ｑ（あるいはＱＩ）は、その
データの中に含まれているが、そうでない場合には、前
述した領域のオフセット操作において用いた第９図（ｂ
ｌ）〜（ｂ４）の方法を、表示法１では一辺εの窓Ｗに
ついて、表示法２では一辺ε／２の窓Ｗｉについて適用
することにより、求めるものとする。

本発明は、以上説明した（１）〜（３）の手段を用いる
ことにより、すなわち、基本領域形状の定義操作、運動
操作、交換操作による領域の変形、集合演算操作及び領
域形状の特性表現２表示等を行うことにより、機械の意
匠設計、構造設計９部品設計、あるいは、コンピュータ
グラフィックスにおける映像作成等を容易に行うことを
可能とするものである。

次に、本発明の第２の実施例について説明する。

本発明の第２の実施例は、境界表現された領域に関して
、前述の第１の実施例において（３）−（ａ）で説明し
た領域の概形表現の方法を基本とし、精度とを段階的に
小さくすることによって、概形表現を、全体的または部
分的に詳細化していくことのできるものである。この場
合、基本となる境界表現手順により、領域の形状は、厳
密に記述できるものとなっているので、詳細化の段階に
制限はない。この方法によれば、領域に関する特性量の
算定、領域間の干渉判定等を目的に応じた精度で行うこ
とができ、また、ある精度における結果に基づいて、さ
らに、動的に精度の向上を図ることが可能となる。

このため、この第２の実施例は、設計の上流における計
画、設計や、ＮＣ加工の加工シミュレーション、装置の
レイアウト、装置の組立や分解。

プラント部材の搬入、据付のシミュレーション等に用い
て効果的なものである。

次に、本発明の第３の実施例を説明する。

本発明の第３の実施例は、前述した第１の実施例及び第
２の実施例により説明した方法を装置として実現するも
のである。

第１図はそのための図形処理装置の構成を示すブロック
図である。

本発明を実施する図形処理装置は、第１図に示すように
、入力・制御機構１００と、複合曲面体定義用相対表現
機構１１０と、複合曲面体加工・編集用相対表現機構１
２０と、応用処理機構１３０と１表示・出力機構１４０
とにより構成される。

機構１００は、領域の相対表現を行う手段であり。

参照形式と記号：＝とを用いて指示する機能、及び、第
２の実施例における領域を概形表現するための精度εを
動的に制御する機能を含めた、全体の制御機能を実現す
るものである０機構１１０は、第１の実施例の（１）で
説明した基本領域に対する相対表現手順を生成する機構
であり１個々の基本領域に係る個別の定義関数毎に、ビ
ルディングブロック式に増強可能に構成される。機構１
２０ば。

第１の実施例の（２）で説明した機能を機構として実現
したものであり、この機構も、操作関数毎に、ビルデイ
グブロック式に増強可能である。応用処理機構１３０及
び表示・出力機構１４０は、第１の実施例の（３）で説
明した機能を実行する機構であり、機構１３０は、応用
機能単位にビルデイングブロック式に増強可能に構成さ
れる。

次に、本発明の第４の実施例を説明する。

本発明の第４の実施例は、三次元領域に対する図形処理
法２図形処理装置を提供するものである。

本発明の第４の実施例は、前述した本発明の第１〜第３
の実施例の方法を三次元的に拡張し、これにより、三次
元空間上の領域に対する図形処理法９図形処理装置を構
成する方法と、前述した本発明の第１〜第３の実施例に
おける基本となる空間上の点Ｐに対する相対位置データ
に、点Ｐに対する最短距離点Ｑの属する境界面の情報を
付加して、相対位置データを、 （内外判定データ、最単距離上界ρ−９最短距離上界ρ
＋２点Ｐからの距離ρ＋をとる領域境界上の点０２点Ｑ
の涙する面番号） と変更する方法とを組合わせることにより得ることがで
きる。

三次元設計においては、面番号に対応して、面の種別１
面の形状を規定するデータ、面の材質。

加工法、加工精度９色種別等の設計製造上重要となる情
報が、属性として保持されるのが一般的であるので、こ
の第４の実施例は、設計から製造及び検査の段階まで、
−貫して活用することのできるものとなる。

次に、本発明の第５の実施例を説明する。

本発明の第５の実施例は、前述の第４の実施において得
られた、第１図に示すと同様な図形処理装置を内蔵させ
、入力・制御機構１００に、実在する三次元物体に対し
て、視点を相対的に移動して、視点と三次元物体との最
短距離を非接触素子を用いて測定する機構を付加し、表
示・出力機構１４０に、その他の処理機能１１０〜１３
０によって表現された三次元空間上の領域を、実空間上
で三次元物体として、加工、移動あるいは組立て等の操
作を行うための指令機構を付加することにより構成され
る数値制御装置あるいはロボットである。

この第４の実施例における装置に内蔵される図形処理装
置は、三次元空間上の領域を、相対表現手順により、統
一的に表現しており、また、この手順が与える相対位置
データは、利用者や機械が三次元物体を認識するために
、自然で利用しやすい形式を持っている。このため、こ
の実施例によれば、工場等の製造現場において、加工と
測定。

移動と測定、または、組立と測定等の組合せで、自動加
工、自動搬送、自動組立等を可能とし、さらに、自動検
査をも可能にする。

次に、本発明の第６の実施例について説明する。

本発明の第６の実施例は、二次元ないし三次元の（複合
曲面体）領域を自動切削加工する数値制御法および数値
制御装置または加工ロボットを提供するものである。

以下、二次元加工を例にとり、第１４図を用いて、ここ
で基本となる数値制御法の実施例を説明する。第１４図
（ａ）で１曲面要素ＳＬ、Ｓｉ　Ｓ３等で囲まれた領域
Ｇが本発明の１番目の実施例のもとて相対表現されてい
るとする。ここで、この領域を半径ｒのボールエンドミ
ルで加工公差δのもとて輪郭切削するものと仮定する。

第１４図（ａ）は、この場合の工具の位置決めと工具径
路決定を自動処理するための説明図である。最初に、工
具の位置決め法について説明する。まず、領域Ｇにオフ
セット量ｒのオフセット操作を施し、オフセット領域Ｇ
ゆをつくる。すなわち。

Ｇ拳＝（オフセット、ｒ９手手順） とする。次に、領域Ｇの外部（ＯＵＴ）にあり、Ｇより
十分に離れた工具の初期位置をＰｓとし、Ｐｓを通り領
域Ｇと交差する半直線Ｌ１を考える。

Ｐｓ′＝Ｐｓとして、Ｐｓ　　の領域Ｇ＊に関する相対
位置データから距離下限ρ−を求める。

Ｑ　＝ｍａｘ　（ρ−ｒ） する。次にＰｓ　　を中心として、半径Ｑの円を画き、
Ｌｌとの交点のうち、中心に関して点Ｐ８と反対側の点
をＰｓ　　とする。Ｐｓ　　の領域Ｇ申に関する相対位
置データからＰｓ　　の領域Ｇ傘に関する内外判定を求
め、もしそれがＯＵＴならＰｓをＰｓ　　として同様の
処理を続ける。もし、上記内外判定がＩＮとなったなら
ば、Ｐｓ’　（ＯＵＴ）とＰｓ“（Ｉ　Ｎ）を用いてＬ
ｌ上二分探索を行うことにより、輪郭切削開始点Ｑ−が
求まる。

次に、工具径路の決定法について説明する。

今、Ｑ−を開始点Ｑｏとして、加工公差δを考慮した線
分近似のための区間点が順次Ｑ　Ｌ　＋　Ｑ　ｚｓ・・
・と点Ｑｉまで求まったとする。次の点Ｑ１＋１は次の
ようにして求まる。すなわち、点Ｑ、を中心として、半
径ｄ（＝ｒ）の円を画き、この円と点Ｑ、を通るＧ−の
法線（またはその近似直線）Ｌｚとの２つの交点をそれ
ぞれＱＴ、ＱＤとする。ＱｔとＱｏは、領域Ｇ串に関し
て互いに外部と内部の関係にあるので、Ｌｚで２分され
る２つの円弧のうち、１つ前の点Ｑ＋−ｔと反対側にあ
る円弧に関し、二分探索を行ない、この円弧と領域Ｇ傘
の境界との交点Ｑ；÷１を求める。次に、線分Ｑ　ｔ　
Ｑ　”ｓ　＋　１の中心ＱＭの領域Ｇに関する最短距離
ｐＨを求める。ここでもし、１ρｓ　−ｒ　Ｉ　＞　８
なら、ｄを半分にして再度上記の処理を繰返す。またも
し１ρＮ−ｒｌくδ／２で、且つ１つ前の繰返しですぐ
上の処理、すなわちｄを半分にする処理をしていないな
らば、ｄを２倍にして、はじめの処理を繰返す。それ以
外の場合には、Ｑフ÷１を求める点Ｑ　１＋　ｔとして
採用する。

次に、上記の処理に基づく切削の結果、削り残された残
切削部を自動検出し、且つ残切削部に対する工具を自動
決定し、残切削部に対する切削を自動的に行う方法につ
いて説明する。

まず、１番目の実施例で示した方法により、領域Ｇ１１
と領域Ｇの差をとり、これをΔＧ１とする。

すなわち、 ΔＧ１＝（差９手順Ｇ中２手順Ｇ） とする、以下は第１４図（ｂ）を用いて説明する。

次に、工具の運動によって走査される領域Δｖ１を、同
じく１番目の実施例で示した方法により、Δｖ１＝（運
動、工具径路２点Ｑｏに中心を置く半径ｒの円板の手順
） として求める。これから残切削部ΔＧ２がΔＧ２＝（差
２手順ＡＧＩ、手順Δｖ１）として求まる。ここで注目
すべきことは、第１４図（ａ）を用いて説明した方法で
は過切削が起らないことである。

次に、残切削部ΔＧ２に対する工具として、半径がｒよ
り小さいもの、たとえば半径がｒ／２に近いものを１つ
選ぶ。以下、残切削部に対する加工は、ΔＧ２を領域Ｇ
と見做して上記と同様な処理を加えれば達成される。勿
論ΔＧ２を残切削部に対しても、同様な処理が適用でき
る。

この第６の実施例における切削加工のための数値制御法
は、複合曲面体の加工を、その構成要素である曲面要素
を意識させず、一体物として、且つ粗加工から仕上加工
まで自動的に行う手段となるため、製造現場における、
加工情報の作成を容易にし、またこの手段を加工のため
の数値制御装置またはロボットに内蔵させることによっ
て、製造現場の高度な機械化を可能にする。

〔発明の効果〕

以上説明したように、本発明によれば、ｎ次元空間上の
領域を、空間上の任意の点が該領域に対して有する相対
位置データを一定形式で生成する相対表現手順と同一視
し、前記領域をこの相対表現手順で表現することにより
、領域形状の定義。

加工９編集及び結果として相対表現された領域の特性を
表現する手段が、領域の表現として用いられた相対表現
手順によって、いいかえれば、これらの相対表現手順が
与える、一定形式を持つ相対位置データを介して統一的
に与えられるので、従来技術による図形処理法に比較し
て、より概念的に完備し、堅固であいまいさのない図形
処理を行うことが可能となる。また、本発明による図形
処理法自体が簡明なため、この方法を装置として実現す
ることも容易である。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の一実施例の方法を実施する図形処理装
置の構成を示すブロック図、第２図〜第１４図は本発明
の図形処理法を説明する図であり。 第２図は相対位置データの説明図、第３図は基本領域の
定義操作の説明図、第４図は反転操作の説明図、第５図
は和操作の説明図、第６図は運動操作の説明図、第７図
はアフィン変換操作の説明図、第８図は鏡面変換操作の
説明図、第９図はオフセット操作の説明図、第１０図は
フィレット操作の説明図、第１１図は力学的変形操作の
説明図、第１２図は領域の概形表現法の説明図、第１３
図は領域の表示法の説明図、第１４図は数値制御法の説
明図である。 １００・・・入力・制御機構、１１０・・・複合曲面体
定義用相対表現機構、１２０・・・複合曲面体加工・編
集用相対表現機構、１３０・・・応用処理機構、１４０
・・・表示・出力機構、Ｇ・・・領域名、Ｐ・・・空間
上の点、Ｑ・・・点Ｐに対する最短距離点、Ｗ・・・窓
、ρ、ρ−ρ＋・・・点Ｐから領域Ｇ境界への最短距離
、最短距離第 図 県２区 第３図 第４図 反転（Ｇ） （ａ） （ｂ） （４００） （４１０） 第６図 第７図 （ａ） （ｂ） 第８図 第９因 第１０図 第１１図 （ｂｌ） （ｂｌ） （ｂ３） 第１２図 （ｂｌ） （ｂｌ） 耶 ３０ （ａｌ） （ｂ） （ａｌ） 吊１４囚

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １、ｎを自然数とするｎ次元空間内の複合曲面体領域に
   関して、 （１）領域［以下、単に領域というとき複合曲面体領域
   を意味する］を規定する一連のデータを用いて、空間上
   の任意の１点Ｐが前記領域に対して持つ相対位置データ
   を一定形式で生成する手順［以下、この手順を相対表現
   手順という］を与えることにより、前記領域を前記手順
   と同一視して一元的に規定する手段と、（２）前記手順
   が与えられた［以下、相対表現されたという］１ないし
   複数個の領域から、領域または領域間の形状的な加工、
   編集を行うことにより得られる、新たな領域の相対表現
   手順を、前記１ないし複数個の領域の相対表現手順から
   生成することにより、新たな領域を相対表現する手段と
   、 （３）相対表現された領域自身の持つ、形状的な特性を
   、前記領域の相対表現手順を用いて表現する手段とを備
   えることを特徴とする図形処理法。 ２、前記空間上の任意の１点Ｐが領域に対して持つ相対
   位置データは、点Ｐが領域の内にあるか外にあるかを示
   す内外判定データと、点Ｐから前記領域境界への最短距
   離と、点Ｐから最短距離をとる該領域上の点Ｑとを一組
   とするデータ形式を有することを特徴とする特許請求の
   範囲第１項記載の図形処理法。 ３、前記空間上の任意の１点Ｐが領域に対して持つ相対
   位置データは、点Ｐが領域の内にあるか外にあるかを示
   す内外判定データと、点Ｐから前記領域境界への最短距
   離下界と、点Ｐから前記領域境界への最単距離上界と、
   点Ｐからの距離が最短距離上界を取る点Ｑとを一組とす
   るデータ形式を有することを特徴とする特許請求の範囲
   第１項記載の図形処理法。 ４、前記空間上の任意の１点Ｐが領域に対して持つ相対
   位置データは、さらに、該相対位置データの要素である
   点Ｑの属する境界面の識別情報が付加されたデータ形式
   を有することを特徴とする特許請求の範囲第２項または
   第３項記載の図形処理法。 ５、前記相対表現された領域に対し、１点Ｐから該領域
   境界への最短距離と、最短距離をとる該領域境界上の点
   Ｑを求めるため、点Ｐが有する該領域への相対位置デー
   タまたは他の手段により推定された前記最短距離の上界
   値を用い、点Ｐを含み、点Ｐからその領域境界までの最
   短距離が、少なくとも前記最短距離の上界値以上である
   ｎ次元立体を探索の窓として設定し、一定の分割規則に
   従つて、前記窓を複数個の部分ｎ次元立体である小窓の
   集りに分割し、次に、それぞれの小窓の内部に点Ｑが存
   在するか否かを、その小窓の中心点の前記領域に関する
   相対位置データを用いて判定し、さらに、点Ｑが存在す
   る候補となつた小窓に対して前述と同様な分割操作を行
   い、かつ、細分されてできた小窓から点Ｑが存在する候
   補を選ぶ操作を再帰的に繰返す手段をさらに備えること
   を特徴とする特許請求の範囲第１項ないし第４項のうち
   １項記載の図形処理法。 ６、領域境界の角点を滑らかに丸めるフイレット操作を
   行うため、２つのパラメータ、半径１及び半径２を用い
   、はじめに、前記領域を外側に半径２だけオフセットし
   、次に、オフセットされた領域を内側に半径１＋半径２
   だけオフセットし、最後に、このオフセットによりでき
   た領域を外側に半径１だけオフセットする手段をさらに
   備えることを特徴とする特許請求の範囲第１項ないし第
   ４項のうち１項記載の図形処理法。 ７、相対表現された領域に関して該領域を含むｎ次元立
   体を窓とし、はじめに、一定の分割規則に従つて前記窓
   を複数個の部分ｎ次元立体である小窓の集りに分割し、
   それぞれの窓について、その内部の一点が前記領域に関
   して持つ相対位置データを用いて、前記窓が、前記領域
   に含まれるか、互いに交差しないか、あるいはそれ以外
   であるかを判定し、それぞれの場合に応じて（満）、（
   空）、（半空）のフラグを窓に付与し、（半空）のフラ
   グが付与された窓について、さらに、前述と同様の分割
   、細分された小窓に対するフラグの付与を再帰的に繰返
   し行い、（半空）のフラグが付与された窓の半径がある
   値（表現精度という）以下になつたとき、前述の操作を
   終了させ、フラグが付与された全ての窓を分割操作に従
   つて構造的に記憶することにより、前記領域の概形表現
   を与える手段をさらに備えることを特徴とする特許請求
   の範囲第１項ないし第４項のうち１項記載の図形処理法
   。 ８、領域に対する概形表現の表現精度を動的に制御し、
   該領域を粗から詳細へと段階的に近似表現する手段をさ
   らに備えることを特徴とする特許請求の範囲第７項記載
   の図形処理法。 ９、領域に対する概形表現データのうち、（半空）のフ
   ラグが付与された窓に含まれる前記領域部分、すなわち
   前記窓に含まれる前記領域境界を、前記窓に含まれる１
   ないし複数個の代表点の前記領域に関する相対位置デー
   タを用いて、多面体として表現する手段をさらに備える
   ことを特徴とする特許請求の範囲第７項または第８項記
   載の図形処理法。 １０、前記多面体として表現する手段が、二次元または
   三次元空間上の領域に対して適用され、前記領域を表示
   装置上に表示する手段をさらに備えることを特徴とする
   特許請求の範囲第９項記載の図形処理法。 １１、本発明以外の何らかの図形処理法によつて創成さ
   れた領域の表現を、前記相対表現に変換する手段をさら
   に備えることを特徴とする前記特許請求の範囲第１項な
   いし第１０項のうち１項記載の図形処理法。 １２、前記特許請求の範囲第１項ないし第１１項のうち
   少なくとも１項に記載の図形処理法を用いる図形処理装
   置。 １３、前記特許請求の範囲第１２項記載の図形処理装置
   を内蔵する数値制御装置またはロボット。 １４、二次元ないし、三次元の領域の切削加工において
   、工具の切削径路を、領域に関する前記相対位置データ
   を用いて、個々の曲面要素の局所性に係わらず、大局的
   に決定し、領域の一体加工を行う手段を有することを特
   徴とする前記特許請求の範囲第１項記載の図形処理法に
   基づく数値制御法。 １５、切削加工後の形状と仕上形状に対して、前記特許
   請求の範囲第１項記載の図形処理法にて、相対表現手順
   を与え、且つこれを用いて前記２つの形状の差をとり、
   この差の形状を残切削部と見做して、別の工具を選択し
   、これを用いて前記残切削部を加工すること、さらに、
   この過程を一連の手順としてくり返し実行することによ
   り、粗加工から仕上加工を含む一連の作業を、工具の選
   択も含めて自動処理する手段として有することを特徴と
   する前記特許請求の範囲第１３項記載の数値制御法。 １６、前記特許請求の範囲第１４項または第１５項記載
   の数値制御法を用いた数値制御装置またはロボット。