JP6604060B2 - 情報処理装置、情報処理方法及びプログラム - Google Patents

Description

本発明は、システム同定技術に関する。

自動制御などの分野において線形システムの同定という課題がある。例えば、図１に示すような線形の常微分方程式で表される物理的なシステムに対し、アナログの入力ｕ（ｔ）及び出力ｙ（ｔ）が与えられたとき、以下に示すような関係が成り立つように微分演算子Ｐ（ｄ／ｄｔ）の微分係数Ｐ₁乃至Ｐ_rを決定することが課題となる。

ところが、近年用いられる加速度センサなどのセンサ値は、アナログではなくディジタル（離散値）となっている。よって、図２に示すように、ディジタルの入力ｕ₀，ｕ₁，...，ｕ_2nと、出力ｙ₀，ｙ₁，...，ｙ_2nとが与えられたときに、常微分方程式で表される物理的なシステムの微分方程式Ｐ（ｄ／ｄｔ）ｙ（ｔ）＝ｕ（ｔ）が成り立つように、微分演算子Ｐ（ｄ／ｄｔ）の微分係数Ｐ₁乃至Ｐ_rを決定する方法を考えることになる。

そうすると、これを実現するためにはディジタルデータをアナログに変換することになるが、その手法としてフィッティング法がある。従来の有名なフィッティング法としてはスプライン法があるが、スプライン曲線は例えば微分が数回までしか可能ではないため、微分演算子の次数ｒが大きい場合に適用できない。また、別のフィッティング法を採用したとしても、微分演算をすべての時間において計算することは計算量の観点から現実的ではない。

また、システムが有するアナログ入力の数及びアナログ出力の数が２以上である場合もある（以下では、このようなシステムのことを多入出力のシステムと呼ぶ）。この場合、与えられた２以上のディジタル入力及びディジタル出力からシステム同定を行うことになるが、この際のシステム同定の方法については従来技術において検討されていない。

特開２００５−２５６５１号公報 特開２０１１−１２８６７５号公報 特開２０１５−２２４６３号公報 特開２０１４−９６０２７号公報

従って、本発明の目的は、一側面によれば、多入出力のシステムの同定をディジタルデータによって行うための技術を提供することである。

本発明に係る情報処理装置は、複数の未知の係数を含む連立微分方程式で表される物理的なシステムの複数のディジタル入力及び物理的なシステムの複数のディジタル出力を格納するデータ格納部と、データ格納部に格納された、複数のディジタル入力の各々及び複数のディジタル出力の各々について、指数関数の線型和で表されるフィッティング曲線を生成する生成部と、生成部によって生成されたフィッティング曲線を連立微分方程式に反映させることで複数の未知の係数を含む連立方程式を生成し、生成された当該連立方程式から複数の未知の係数の値を算出する算出部とを有する。

多入出力のシステムの同定をディジタルデータによって行う。

図１は、１入力１出力のシステムの一例を模式的に示す図である。 図２は、１入力１出力のシステムの一例を模式的に示す図である。 図３は、多出力のシステムの一例を模式的に示す図である。 図４は、多出力のシステムの一例を模式的に示す図である。 図５は、多入出力のシステムの一例を模式的に示す図である。 図６は、本実施の形態に係るシステムの概要を示す図である。 図７は、本実施の形態に係る情報処理装置の機能ブロック図である。 図８は、メインの処理フローを示す図である。 図９は、学習処理を実行する際の状況を説明するための図である。 図１０は、学習処理の処理フローを示す図である。 図１１は、予測処理を実行する際の状況を説明するための図である。 図１２は、予測処理の処理フローを示す図である。 図１３は、ＲＮＮの一例を示す図である。 図１４は、ＲＮＮの一例を示す図である。 図１５は、コンピュータの機能ブロック図である。

まず、図３に示すような多出力の連続系システムを考える。このシステムは、係数ｘ₁₁，・・・，ｘ_mm（ｍは２以上の自然数）を用いて以下の連立微分方程式によって表されるとする。

ここで、式（２）で表されるシステムに対して、図４に示すように時系列の離散データｙ_1,0，ｙ_1,1，・・・，ｙ_1,2n，ｙ_2,0，ｙ_2,1，・・・，ｙ_2,2n，ｙ_m,0，ｙ_m,1，・・・，ｙ_m,2nがディジタル出力として与えられた場合（ｎは自然数）に、連立微分方程式の係数ｘ₁₁，・・・，ｘ_mmの最適値を決定するというシステム同定を考える。

まず、離散データｙ_j,0，ｙ_j,1，・・・，ｙ_j,2nに対し、以下のように離散データベクトルΨ_jを定義する。

次に、離散データベクトルΨ_jに対して離散フーリエ変換（ＤＦＴ：Discrete Fourier Transform）を実行して周波数Ｙ_j,0，Ｙ_j,1，・・・，Ｙ_j,nを算出する。周波数Ｙ_j,0，Ｙ_j,1，・・・，Ｙ_j,nは以下の式によって表される。

ｊは１≦ｊ≦ｍを満たす自然数であり、ｑは１≦ｑ≦ｎを満たす自然数である。

算出された周波数を用いてｎ次のフーリエ級数ｙ_j,tを算出すると、以下のようになる。

但し、バー付きのＹ_j,qはＹ_j,qの共役複素数である。また、λは以下の値である。

このフーリエ級数は、離散データベクトルΨ_jの各点を通るフィッティング曲線に相当し、指数関数の線型和によって表される。

ここで、式（２）は以下の式と同値である。

式（７）の左辺を式（５）のフーリエ級数を使用して計算すると以下のようになる。

また、式（７）の右辺を式（５）のフーリエ級数を使用して計算すると以下のようになる。

式（８）及び式（９）について、ネイピア数の指数が同じである項の係数を比較することによって、以下の式を得ることができる。

式（７）が成り立てば式（１０）が成り立ち、逆に式（１０）が成り立てば式（７）が成り立つので、式（７）と式（１０）とは同値である。

式（１０）はｍ＊ｍ個の未知数ｘ₁₁，・・・，ｘ_mmを含む連立方程式であり、式の数がｍ＊（２ｎ＋１）である。ｍ≦２ｎ＋１が成り立てば式の数が未知数の数以上になるので、線形回帰（例えば最小二乗法）を使って未知数ｘ₁₁，・・・，ｘ_mmの最適値を求めることができる。

ここまでは連立微分方程式が非線形項を含まない線形システムの同定について説明をした。次に、連立微分方程式が非線形項を含む非線形システムの同定について説明する。ここでは、図４に示したシステムが以下の連立微分方程式によって表されるとする。

この式においては、下線が付された部分が非線形項に相当する。ｋ及びｌは１≦ｋ，ｌ≦ｍを満たす自然数である。

フーリエ級数を求めるまでの計算は線形システムの場合と同じである。そして、式（１１）の左辺を式（５）のフーリエ級数を使用して計算すると以下のようになる。

式（１１）の右辺の第１項を式（５）のフーリエ級数を使用して計算すると以下のようになる。

式（１１）の右辺の第２項（すなわち非線形項）を式（５）のフーリエ級数を使用して計算すると以下のようになる。

ここで、ｐ₁は１≦ｐ₁≦ｎを満たす整数であり、ｐ₂は１≦ｐ₂≦ｎを満たす整数である。このようなｐ₁及びｐ₂を導入することによってｅ^λqtの係数を式（１４）のように整理することができる。但し、式（１４）においてはｐ₁＋ｐ₂の値、ｐ₁−ｐ₂の値、−ｐ₁＋ｐ₂の値、及び−ｐ₁−ｐ₂の値がｎより大きくなる場合及び−ｎより小さくなる場合が発生する。その場合には、以下の変換規則に従って値を変換するものとする。

一例として、式（１４）において下線が付された項に対する計算を以下に示す。

式（１２）、式（１３）及び式（１４）について、ネイピア数の指数が同じである項の係数を比較することによって、以下の式を得ることができる。

式（１１）が成り立てば式（１７）及び式（１８）が成り立ち、逆に式（１７）及び式（１８）が成り立てば式（１１）が成り立つので、式（１１）と式（１７）及び式（１８）とは同値である。

この場合においても、条件を満たすようにｎの値を定めれば式の数が未知数の数以上になるので、線形回帰（例えば最小二乗法）を使って未知数ｘ_i,j及びｘ_i,k,lの最適値を求めることができる。

また、システムが、微分方程式を含まない以下のような式で表される場合においても、式（１１）のケースの方法と同様の方法にてシステム同定を行うことができる。

また、式（１１）の右辺に入力項ｇ_i(ｔ)を追加した場合においても、上で述べた方法と同様の方法で計算を行うことができる。すなわち、システムが以下のような式で表されてもよい。

式（２０）で表されるシステムの模式図を図５に示す。図５のシステムは多入出力のシステムであり、図５においてはディジタル入力ｇ_1,t，ｇ_2,t，・・・，ｇ_m,tと、ディジタル出力ｙ_1,t，ｙ_2,t，・・・，ｙ_m,tとが与えられている。以下では、図５のシステムのような多入出力システムについて上記計算に基づきシステム同定を行う方法をより具体的に説明する。

図６に、本実施の形態に係るシステムの一例を示す。例えば、車両１０００は、検出装置１００を有する。検出装置１００は、車両１０００の加速度を測定する加速度センサ１０１と、車両１０００の速度を測定する速度センサ１０２と、通信部１０３とを有する。加速度センサ１０１は３軸の加速度センサであり、測定される加速度は３次元の加速度である。速度センサ１０２は例えば３軸の速度センサであるが、測定された速度は或る３次元方向（Ｃ₁，Ｃ₂，Ｃ₃）にどれくらいの速度成分が含まれているかを表す値（以下、速度成分量と呼ぶ）に変換される。

車両１０００の検出装置１００の通信部１０３は、インターネットなどのネットワーク２００を介して、例えばデータセンタやクラウド内の情報処理装置３００へ加速度の時系列データ、３次元方向のデータ、及び速度成分量の時系列データを送信する。車両１０００は、連立微分方程式で表される物理的なシステムである。また、車両１０００は、１台だけではなく、複数台の場合もある。

情報処理装置３００の構成例を図７に示す。

情報処理装置３００は、通信部３１０と、入出力データ格納部３２０と、学習処理部３３０と、予測処理部３４０とを有する。

通信部３１０は、車両１０００における検出装置１００からデータを受信し、入出力データ格納部３２０に格納する。学習処理部３３０は、ディジタル入力及びディジタル出力から車両１０００を表す連立微分方程式を同定するための処理を実行する。学習処理部３３０は、第１フィッティング曲線生成部３３１と、第１データ格納部３３２と、第１演算部３３３と、第２データ格納部３３４とを有する。

第１フィッティング曲線生成部３３１は、離散フーリエ変換を行って、入出力データ格納部３２０に格納されたディジタル入力についてのフィッティング曲線と、入出力データ格納部３２０に格納されたディジタル出力についてのフィッティング曲線とを生成し、それらの曲線のデータを第１データ格納部３３２に格納する。

第１演算部３３３は、第１データ格納部３３２に格納されているフィッティング曲線のデータに基づき連立微分方程式の係数の最適値を決定し、第２データ格納部３３４に格納する。

また、予測処理部３４０は、同定された連立微分方程式及び新たなディジタル入力からディジタル出力を予測する処理を実行する。予測処理部３４０は、第２フィッティング曲線生成部３４１と、第３データ格納部３４２と、第２演算部３４３と、第４データ格納部３４４とを有する。

第２フィッティング曲線生成部３４１は、第１フィッティング曲線生成部３３１と同様の処理を行い、入出力データ格納部３２０に格納されたディジタル入力についてのフィッティング曲線を生成し、その曲線のデータを第３データ格納部３４２に格納する。

第２演算部３４３は、第２データ格納部３３４に格納されている連立微分方程式の係数の最適値と、第３データ格納部３４２に格納されているフィッティング曲線のデータとから、ディジタル出力の予測値を表す式を生成し、生成された式から算出したディジタル出力の予測値を第４データ格納部３４４に格納する。

次に、図８乃至図１２を用いて、情報処理装置３００が実行する処理について説明する。まず、情報処理装置３００の学習処理部３３０は、以下で述べる学習処理を実行する（図８：ステップＳ１）。学習処理については、図９及び図１０を用いて詳細に説明する。その後、予測処理部３４０は、学習処理部３３０の学習結果に基づき、予測処理を実行する（ステップＳ３）。予測処理については、図１１及び図１２を用いて詳細に説明する。

まず、学習処理について図９及び図１０を用いて説明する。ここでは、図９に示すような状況を考える。具体的には、ディジタル入力として、Ψ₁軸方向の加速度の時系列離散データΨ₁が与えられ、Ψ₂軸方向の加速度の時系列離散データΨ₂が与えられ、Ψ₃軸方向の加速度の時系列離散データΨ₃が与えられ、３次元方向のデータ（Ｃ₁，Ｃ₂，Ｃ₃）を時系列データに変換したデータが与えられる。ｙ１乃至ｙ７はアナログの入出力を表す。時系列離散データΨ₁乃至Ψ₃は以下のように表される。

また、ディジタル出力として、速度成分量の時系列離散データＺが与えられる。時系列離散データＺは以下のように表される。

図９においては、破線内のデータに対して離散フーリエ変換が実行される。なお、車両１０００の検出装置１００の通信部１０３は、ディジタル入力（Ψ₁，Ψ₂，Ψ₃）及び３次元方向のデータ（Ｃ₁，Ｃ₂，Ｃ₃）とディジタル出力Ｚとを任意のタイミングで情報処理装置３００に送信しており、情報処理装置３００の通信部３１０は、車両１０００からの受信データを入出力データ格納部３２０に格納しているものとする。

この場合、学習処理部３３０の第１フィッティング曲線生成部３３１は、入出力データ格納部３２０から、加速度の時系列離散データ（Ψ₁，Ψ₂，Ψ₃）を読み出す（図１０：ステップＳ１１）。

第１フィッティング曲線生成部３３１は、入出力データ格納部３２０から、３次元方向のデータ（Ｃ₁，Ｃ₂，Ｃ₃）を読み出し、３次元方向の時系列データを生成する（ステップＳ１３）。図９に示したように、各時点におけるΨ₁軸方向の値がＣ₁であり、各時点におけるΨ₂軸方向の値がＣ₂であり、各時点におけるΨ₃軸方向の値がＣ₃であるように、３次元方向の時系列データが生成される。

第１フィッティング曲線生成部３３１は、入出力データ格納部３２０から、速度成分量の時系列離散データＺを読み出す（ステップＳ１５）。

第１フィッティング曲線生成部３３１は、加速度の時系列離散データ（Ψ₁，Ψ₂，Ψ₃）及び３次元方向の時系列データを含むディジタル入力について、フィッティング曲線を表すフーリエ級数を離散フーリエ変換によって生成する（ステップＳ１７）。第１フィッティング曲線生成部３３１は、生成されたフーリエ級数のデータを第１データ格納部３３２に格納する。

第１フィッティング曲線生成部３３１は、速度成分量の時系列離散データＺを含むディジタル出力について、フィッティング曲線を表すフーリエ級数を離散フーリエ変換によって生成する（ステップＳ１９）。第１フィッティング曲線生成部３３１は、生成されたフーリエ級数のデータを第１データ格納部３３２に格納する。

第１演算部３３３は、解くべき連立微分方程式及び第１データ格納部３３２に格納されたフーリエ級数のデータから、連立方程式を生成する（ステップＳ２１）。解くべき連立微分方程式は式（２０）に相当する式であり、生成される連立方程式は式（１７）及び式（１８）に相当する式である。生成方法については上で説明したとおりである。

第１演算部３３３は、ステップＳ２１において生成された連立方程式の係数ｘ_i,j及びｘ_i,k,lの最適値を、線形回帰（例えば最小二乗法）によって算出する（ステップＳ２３）。そして、第１演算部３３３は、算出した係数ｘ_i,j及びｘ_i,k,lの最適値を第２データ格納部３３４に格納する。そして呼び出し元の処理に戻る。最小二乗法はよく知られた方法であるので、説明を省略する。

結果として、以下のような式で表されるシステムとして同定されたものとする。

式（２３）の右辺は、時系列離散データ（Ψ₁，Ψ₂，Ψ₃）と３次元方向のデータ（Ｃ₁，Ｃ₂，Ｃ₃）との内積を表すので、この内積を計算することによって（Ｃ₁，Ｃ₂，Ｃ₃）の方向に加速度センサ１０１の加速度成分がどの程度含まれているか把握できる。また、（Ｃ₁，Ｃ₂，Ｃ₃）の方向に含まれる、加速度センサ１０１の加速度成分を積分することによって（すなわち、式（２３）の微分方程式を計算することによって）、速度成分ｙ７（ｔ）を得ることができる。

以上のような処理を実行すれば、多入出力のシステムであってもディジタルデータによって同定を行うことができるようになる。

次に、予測処理について図１１及び図１２を用いて説明する。ここでは、図１１に示すような状況を考える。具体的には、ディジタル入力として、Ψ₁軸方向の加速度の時系列離散データΩ₁が与えられ、Ψ₂軸方向の加速度の時系列離散データΩ₂が与えられ、Ψ₃軸方向の加速度の時系列離散データΩ₃が与えられ、３次元方向のデータ（Ｃ₁，Ｃ₂，Ｃ₃）を時系列データに変換したデータが与えられる。ｙ１乃至ｙ７はアナログの入出力を表す。図１１においては、破線内のデータに対して離散フーリエ変換が実行される。

なお、学習処理の後、車両１０００の検出装置１００は、加速度センサ１０１の測定データ及び３次元方向のデータ（Ｃ₁，Ｃ₂，Ｃ₃）（すなわち、ディジタル入力）のみを通信部１０３から情報処理装置３００に送信する。これによって情報処理装置３００への送信データ量が削減される。ここでは、学習処理で用いた加速度の時系列離散データ（Ψ₁，Ψ₂，Ψ₃）ではなく、別のディジタル入力として新たに加速度の時系列離散データ（Ω₁，Ω₂，Ω₃）を取得する。３次元方向のデータ（Ｃ₁，Ｃ₂，Ｃ₃）は学習処理の場合と同じである。

そして、情報処理装置３００の通信部３１０は、ディジタル入力のデータを、車両１０００から受信すると、入出力データ格納部３２０に格納する。

この場合、予測処理部３４０の第２フィッティング曲線生成部３４１は、入出力データ格納部３２０から、加速度の時系列離散データ（Ω₁，Ω₂，Ω₃）を読み出す（図１２：ステップＳ３１）。

第２フィッティング曲線生成部３４１は、入出力データ格納部３２０から、３次元方向のデータ（Ｃ₁，Ｃ₂，Ｃ₃）を読み出し、３次元方向の時系列データを生成する（ステップＳ３３）。図１１に示したように、各時点におけるΨ₁軸方向の値がＣ₁であり、各時点におけるΨ₂軸方向の値がＣ₂であり、各時点におけるΨ₃軸方向の値がＣ₃であるように、３次元方向の時系列データが生成される。

第２フィッティング曲線生成部３４１は、加速度の時系列離散データ（Ω₁，Ω₂，Ω₃）及び３次元方向の時系列データを含むディジタル入力について、フィッティング曲線を表すフーリエ級数を離散フーリエ変換によって生成する（ステップＳ３５）。第２フィッティング曲線生成部３４１は、生成されたフーリエ級数のデータを第３データ格納部３４２に格納する。

第２演算部３４３は、ステップＳ３５において生成したフーリエ級数のデータ、及び、学習処理において同定されたシステムを表す式（本式は、第２データ格納部３３４に格納された係数ｘ_i,j及びｘ_i,k,lの最適値から特定される）から、ディジタル出力の予測値を表す関数に相当するｙ７(ｔ)を生成する（ステップＳ３７）。学習処理において同定されたシステムを表す式は式（２３）に相当する。

第２演算部３４３は、生成されたｙ７(ｔ)に基づきディジタル出力の予測値（例えば、ｙ(０)，ｙ(１)，・・・，ｙ(２ｎ)）を算出する（ステップＳ３９）。第２演算部３４３は、算出したディジタル出力の予測値を第４データ格納部３４４に格納する。そして呼び出し元の処理に戻る。

このようにすれば、学習処理によって得られた係数を用いて速度成分量を推定し、出力することが可能となる。

また、本実施の形態のシステム同定によれば、リカレントニューラルネットワーク（ＲＮＮ：Recurrent Neural Networks）の結線の学習を行うことができるようになる。図１３にリカレントニューラルネットワークの一例を示す。図１３において、二重丸の図形はニューロンを表し、結線に付された値は重み係数を表す。このリカレントニューラルネットワークは、図５のシステムにおけるｍが３である場合に相当する。従って、ｍ＝３である場合に図５のシステムについてシステム同定を行うことは、図１３のリカレントニューラルネットワークの結線の学習を行うことに相当する。

図１４に、リカレントニューラルネットワークの他の例を示す。図１４において、二重丸の図形はニューロンを表し、結線上の値は重み係数を表す。図１４のリカレントニューラルネットワークは、１又は複数の通常結線と、１又は複数の双一次結線とを含む。図１４のリカレントニューラルネットワークは以下の式によって表される。

式（２４）の右辺の第１項は通常結線を表し、右辺の第２項は双一次結線を表す。従って、式（２４）で表されるシステムについてシステム同定を行うことは、図１４のリカレントニューラルネットワークの結線の学習をすることに相当する。これを応用することで、あらゆるニューラルネットワークの結線学習を、式（７）、式（１９）及び式（２０）の少なくともいずれかを組み合わせることによって表現されるシステムの同定によって行うことが可能になる。

以上本発明の実施の形態を説明したが、本発明はこれに限定されるものではない。例えば、車両１０００に設けた加速度センサ１０１及び速度センサ１０２を前提にした説明を行ったが、同定を行うべきシステムの入力及び出力に応じた他のセンサによって測定されるデータであっても良い。

また、図６及び図７に示した機能ブロック図は一例であって、プログラムモジュール構成とは一致しない場合もある。さらに処理フローについても、処理結果が変わらない限り、処理順番を入れ替えたり、複数ステップを並列実行するようにしても良い。

さらに、図６及び図７では、検出装置１００と情報処理装置３００とが分けて実装されていたが、用途によっては一体化された装置を実装する場合もある。さらに、検出装置１００は、例えば携帯電話機やカーナビゲーション装置などの装置に組み込まれる場合もある。

なお、上で述べた情報処理装置３００は、コンピュータ装置であって、図１５に示すように、メモリ２５０１とＣＰＵ（Central Processing Unit）２５０３とハードディスク・ドライブ（ＨＤＤ：Hard Disk Drive）２５０５と表示装置２５０９に接続される表示制御部２５０７とリムーバブル・ディスク２５１１用のドライブ装置２５１３と入力装置２５１５とネットワークに接続するための通信制御部２５１７とがバス２５１９で接続されている。オペレーティング・システム（ＯＳ：Operating System）及び本実施例における処理を実施するためのアプリケーション・プログラムは、ＨＤＤ２５０５に格納されており、ＣＰＵ２５０３により実行される際にはＨＤＤ２５０５からメモリ２５０１に読み出される。ＣＰＵ２５０３は、アプリケーション・プログラムの処理内容に応じて表示制御部２５０７、通信制御部２５１７、ドライブ装置２５１３を制御して、所定の動作を行わせる。また、処理途中のデータについては、主としてメモリ２５０１に格納されるが、ＨＤＤ２５０５に格納されるようにしてもよい。本技術の実施例では、上で述べた処理を実施するためのアプリケーション・プログラムはコンピュータ読み取り可能なリムーバブル・ディスク２５１１に格納されて頒布され、ドライブ装置２５１３からＨＤＤ２５０５にインストールされる。インターネットなどのネットワーク及び通信制御部２５１７を経由して、ＨＤＤ２５０５にインストールされる場合もある。このようなコンピュータ装置は、上で述べたＣＰＵ２５０３、メモリ２５０１などのハードウエアとＯＳ及びアプリケーション・プログラムなどのプログラムとが有機的に協働することにより、上で述べたような各種機能を実現する。

以上述べた本実施の形態をまとめると、以下のようになる。

本実施の形態の第１の態様に係る情報処理装置は、（Ａ）複数の未知の係数を含む連立微分方程式で表される物理的なシステムの複数のディジタル入力及び物理的なシステムの複数のディジタル出力を格納するデータ格納部と、（Ｂ）データ格納部に格納された、複数のディジタル入力の各々及び複数のディジタル出力の各々について、指数関数の線型和で表されるフィッティング曲線を生成する生成部と、（Ｃ）生成部によって生成されたフィッティング曲線を連立微分方程式に反映させることで複数の未知の係数を含む連立方程式を生成し、生成された当該連立方程式から複数の未知の係数の値を算出する算出部とを有する。

このようにすれば、指数関数の性質を利用して計算を容易に行えるので、多入出力のシステムであってもディジタルデータによってシステム同定を行えるようになる。

また、上で述べた連立微分方程式が非線形項を含んでもよい。そして、上で述べた算出部は、（ｃ１）連立微分方程式にフィッティング曲線を反映させることで得られた式における、非線形項に相当する項の係数が、フーリエ級数の周波数同士の積で表される項と、フーリエ級数の周波数とフーリエ級数の周波数の共役複素数との積で表される項と、フーリエ級数の周波数の共役複素数同士の積で表される項との和で表されるように、非線形項に相当する項の指数関数の係数を算出してもよい。連立微分方程式が非線形項を含む場合であっても、連立方程式がシンプルな形になるので、後の計算を容易に行うことができるようになる。

また、上で述べた算出部は、（ｃ２）連立微分方程式にフィッティング曲線を反映させることで得られた式の左辺と右辺との間において、指数関数部分が同じである項の係数を比較することによって、複数の未知の係数を含む連立方程式を生成してもよい。このようにすれば、解くべき連立方程式を適切に生成できるようになる。

また、上で述べた算出部は、（ｃ３）線形回帰によって、生成された当該連立方程式から複数の未知の係数の値を算出してもよい。但し、他の方法を使用してもよい。

また、上で述べた生成部は、（ｂ１）離散フーリエ変換によって、指数関数の線型和で表されるフィッティング曲線を生成してもよい。但し、他の方法を使用してもよい。

また、本情報処理装置は、（Ｄ）物理的なシステムの複数の第２のディジタル入力について、指数関数の線型和で表されるフィッティング曲線を生成する第２生成部と、（Ｅ）第２生成部によって生成されたフィッティング曲線、及び、算出部によって算出された複数の未知の係数の値が反映された連立微分方程式から、複数の第２のディジタル出力の予測値を表す曲線を生成し、生成された当該曲線から、複数の第２のディジタル入力に対応する、複数の第２のディジタル出力の予測値を算出する第２算出部とをさらに有してもよい。このようにすれば、ディジタル入力しか得られない場合であってもディジタル出力を推定することができるようになる。

本実施の形態の第２の態様に係る情報処理方法は、（Ｆ）複数の未知の係数を含む連立微分方程式で表される物理的なシステムの複数のディジタル入力及び物理的なシステムの複数のディジタル出力を格納するデータ格納部に格納された、複数のディジタル入力の各々及び複数のディジタル出力の各々について、指数関数の線型和で表されるフィッティング曲線を生成し、（Ｇ）生成部によって生成されたフィッティング曲線を連立微分方程式に反映させることで複数の未知の係数を含む連立方程式を生成し、生成された当該連立方程式から複数の未知の係数の値を算出する処理を含む。

なお、上で述べたような処理をコンピュータに実行させるためのプログラムを作成することができ、当該プログラムは、例えばフレキシブル・ディスク、ＣＤ−ＲＯＭなどの光ディスク、光磁気ディスク、半導体メモリ（例えばＲＯＭ）、ハードディスク等のコンピュータ読み取り可能な記憶媒体又は記憶装置に格納される。なお、処理途中のデータについては、ＲＡＭ等の記憶装置に一時保管される。

以上の実施例を含む実施形態に関し、さらに以下の付記を開示する。

（付記１）
複数の未知の係数を含む連立微分方程式で表される物理的なシステムの複数のディジタル入力及び前記物理的なシステムの複数のディジタル出力を格納するデータ格納部と、
前記データ格納部に格納された、前記複数のディジタル入力の各々及び前記複数のディジタル出力の各々について、指数関数の線型和で表されるフィッティング曲線を生成する生成部と、
前記生成部によって生成された前記フィッティング曲線を前記連立微分方程式に反映させることで前記複数の未知の係数を含む連立方程式を生成し、生成された当該連立方程式から前記複数の未知の係数の値を算出する算出部と、
を有する情報処理装置。

（付記２）
前記連立微分方程式が非線形項を含み、
前記算出部は、
前記連立微分方程式に前記フィッティング曲線を反映させることで得られた式における、前記非線形項に相当する項の係数が、フーリエ級数の周波数同士の積で表される項と、フーリエ級数の周波数とフーリエ級数の周波数の共役複素数との積で表される項と、フーリエ級数の周波数の共役複素数同士の積で表される項との和で表されるように、前記非線形項に相当する項の指数関数の係数を算出する、
付記１記載の情報処理装置。

（付記３）
前記算出部は、
前記連立微分方程式に前記フィッティング曲線を反映させることで得られた式の左辺と右辺との間において、指数関数部分が同じである項の係数を比較することによって、前記複数の未知の係数を含む連立方程式を生成する、
付記１又は２記載の情報処理装置。

（付記４）
前記算出部は、
線形回帰によって、生成された前記連立方程式から前記複数の未知の係数の値を算出する、
付記１乃至３のいずれか１つ記載の情報処理装置。

（付記５）
前記生成部は、
離散フーリエ変換によって、前記指数関数の線型和で表されるフィッティング曲線を生成する、
付記１乃至４のいずれか１つ記載の情報処理装置。

（付記６）
前記物理的なシステムの複数の第２のディジタル入力について、指数関数の線型和で表されるフィッティング曲線を生成する第２生成部と、
前記第２生成部によって生成されたフィッティング曲線、及び、前記算出部によって算出された前記複数の未知の係数の値が反映された前記連立微分方程式から、複数の第２のディジタル出力の予測値を表す曲線を生成し、生成された当該曲線から、前記複数の第２のディジタル入力に対応する、前記複数の第２のディジタル出力の予測値を算出する第２算出部と、
をさらに有する付記１乃至５のいずれか１つ記載の情報処理装置。

（付記７）
コンピュータが、
複数の未知の係数を含む連立微分方程式で表される物理的なシステムの複数のディジタル入力及び前記物理的なシステムの複数のディジタル出力を格納するデータ格納部に格納された、前記複数のディジタル入力の各々及び前記複数のディジタル出力の各々について、指数関数の線型和で表されるフィッティング曲線を生成し、
前記生成部によって生成された前記フィッティング曲線を前記連立微分方程式に反映させることで前記複数の未知の係数を含む連立方程式を生成し、生成された当該連立方程式から前記複数の未知の係数の値を算出する、
処理を実行する情報処理方法。

（付記８）
コンピュータに、
複数の未知の係数を含む連立微分方程式で表される物理的なシステムの複数のディジタル入力及び前記物理的なシステムの複数のディジタル出力を格納するデータ格納部に格納された、前記複数のディジタル入力の各々及び前記複数のディジタル出力の各々について、指数関数の線型和で表されるフィッティング曲線を生成し、
前記生成部によって生成された前記フィッティング曲線を前記連立微分方程式に反映させることで前記複数の未知の係数を含む連立方程式を生成し、生成された当該連立方程式から前記複数の未知の係数の値を算出する、
処理を実行させるプログラム。

１００ 検出装置
１０１ 加速度センサ
１０２ 速度センサ
１０３ 通信部
２００ ネットワーク
３００ 情報処理装置
３１０ 通信部
３２０ 入出力データ格納部
３３０ 学習処理部
３４０ 予測処理部
３３１ 第１フィッティング曲線生成部
３３２ 第１データ格納部
３３３ 第１演算部
３３４ 第２データ格納部
３４１ 第２フィッティング曲線生成部
３４２ 第３データ格納部
３４３ 第２演算部
３４４ 第４データ格納部

Claims (7)

1. 複数の未知の係数を含む連立微分方程式で表される物理的なシステムの複数のディジタル入力及び前記物理的なシステムの複数のディジタル出力を格納するデータ格納部と、
   前記データ格納部に格納された、前記複数のディジタル入力の各々及び前記複数のディジタル出力の各々について、指数関数の線型和で表されるフィッティング曲線を生成する生成部と、
   前記生成部によって生成された前記フィッティング曲線を前記連立微分方程式に反映させることで前記複数の未知の係数を含む連立方程式を生成し、生成された当該連立方程式から前記複数の未知の係数の値を算出する算出部と、
   を有し、
   前記連立微分方程式が非線形項を含み、
   前記算出部は、
   前記連立微分方程式に前記フィッティング曲線を反映させることで得られた式における、前記非線形項に相当する項の係数が、フーリエ級数の周波数同士の積で表される項と、フーリエ級数の周波数とフーリエ級数の周波数の共役複素数との積で表される項と、フーリエ級数の周波数の共役複素数同士の積で表される項との和で表されるように、前記非線形項に相当する項の指数関数の係数を算出する、
   情報処理装置。
2. 前記算出部は、
   前記連立微分方程式に前記フィッティング曲線を反映させることで得られた式の左辺と右辺との間において、指数関数部分が同じである項の係数を比較することによって、前記複数の未知の係数を含む連立方程式を生成する、
   請求項１記載の情報処理装置。
3. 前記算出部は、
   線形回帰によって、生成された前記連立方程式から前記複数の未知の係数の値を算出する、
   請求項１又は２記載の情報処理装置。
4. 前記生成部は、
   離散フーリエ変換によって、前記指数関数の線型和で表されるフィッティング曲線を生成する、
   請求項１乃至３のいずれか１つ記載の情報処理装置。
5. 前記物理的なシステムの複数の第２のディジタル入力について、指数関数の線型和で表されるフィッティング曲線を生成する第２生成部と、
   前記第２生成部によって生成されたフィッティング曲線、及び、前記算出部によって算出された前記複数の未知の係数の値が反映された前記連立微分方程式から、複数の第２のディジタル出力の予測値を表す曲線を生成し、生成された当該曲線から、前記複数の第２のディジタル入力に対応する、前記複数の第２のディジタル出力の予測値を算出する第２算出部と、
   をさらに有する請求項１乃至４のいずれか１つ記載の情報処理装置。
6. コンピュータが、
   複数の未知の係数を含む連立微分方程式で表される物理的なシステムの複数のディジタル入力及び前記物理的なシステムの複数のディジタル出力を格納するデータ格納部に格納された、前記複数のディジタル入力の各々及び前記複数のディジタル出力の各々について、指数関数の線型和で表されるフィッティング曲線を生成し、
   生成された前記フィッティング曲線を前記連立微分方程式に反映させることで前記複数の未知の係数を含む連立方程式を生成し、生成された当該連立方程式から前記複数の未知の係数の値を算出する、
   処理を実行し、
   前記連立微分方程式が非線形項を含み、
   前記複数の未知の係数の値を算出する処理において、
   前記連立微分方程式に前記フィッティング曲線を反映させることで得られた式における、前記非線形項に相当する項の係数が、フーリエ級数の周波数同士の積で表される項と、フーリエ級数の周波数とフーリエ級数の周波数の共役複素数との積で表される項と、フーリエ級数の周波数の共役複素数同士の積で表される項との和で表されるように、前記非線形項に相当する項の指数関数の係数を算出する、
   情報処理方法。
7. コンピュータに、
   複数の未知の係数を含む連立微分方程式で表される物理的なシステムの複数のディジタル入力及び前記物理的なシステムの複数のディジタル出力を格納するデータ格納部に格納された、前記複数のディジタル入力の各々及び前記複数のディジタル出力の各々について、指数関数の線型和で表されるフィッティング曲線を生成し、
   生成された前記フィッティング曲線を前記連立微分方程式に反映させることで前記複数の未知の係数を含む連立方程式を生成し、生成された当該連立方程式から前記複数の未知の係数の値を算出する、
   処理を実行させ、
   前記連立微分方程式が非線形項を含み、
   前記複数の未知の係数の値を算出する処理において、
   前記連立微分方程式に前記フィッティング曲線を反映させることで得られた式における、前記非線形項に相当する項の係数が、フーリエ級数の周波数同士の積で表される項と、フーリエ級数の周波数とフーリエ級数の周波数の共役複素数との積で表される項と、フーリエ級数の周波数の共役複素数同士の積で表される項との和で表されるように、前記非線形項に相当する項の指数関数の係数を算出する、
   プログラム。

Images