EP1344125A2 - Method for conducting the need-oriented generation of individual random numbers of a series of random numbers of a 1/f noise - Google Patents

Method for conducting the need-oriented generation of individual random numbers of a series of random numbers of a 1/f noise

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Publication number
EP1344125A2
EP1344125A2 EP01271960A EP01271960A EP1344125A2 EP 1344125 A2 EP1344125 A2 EP 1344125A2 EP 01271960 A EP01271960 A EP 01271960A EP 01271960 A EP01271960 A EP 01271960A EP 1344125 A2 EP1344125 A2 EP 1344125A2
Authority
EP
European Patent Office
Prior art keywords
random numbers
noise
vector
covariance matrix
denotes
Prior art date
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Withdrawn
Application number
EP01271960A
Other languages
German (de)
French (fr)
Inventor
Georg Denk
Claus Hillermeier
Stefan SCHÄFFLER
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
Infineon Technologies AG
Original Assignee
Infineon Technologies AG
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Infineon Technologies AG filed Critical Infineon Technologies AG
Publication of EP1344125A2 publication Critical patent/EP1344125A2/en
Withdrawn legal-status Critical Current

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Classifications

    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F7/00—Methods or arrangements for processing data by operating upon the order or content of the data handled
    • G06F7/58—Random or pseudo-random number generators

Definitions

  • the invention relates to a method for generating sequences of random numbers of a 1 / f noise.
  • Random numbers of a 1 / f noise can be used, for example, in a transient circuit simulation that takes into account noise influences.
  • 1 / f noise is understood to mean a stochastic process with a specific frequency spectrum, that with the equation
  • 1 / f noise sources are suitable for modeling noise influences in a variety of technical and physical systems as well as for systems for the assessment and prediction of events in the financial markets.
  • many electronic components such as pn diodes and MOS field effect transistors have 1 / f noise sources.
  • the problem of noise simulation when modeling the system to be simulated is converted into the problem of generating a random number sequence.
  • the correlations of these random numbers are determined, which is used for a simple and accurate generation of the corresponding random number sequences.
  • the method according to the invention for generating at least one sequence of random numbers of 1 / f noise initially provides the following steps: - Determining a desired spectral value ⁇ , determining an intensity constant const. This determines the characteristics of the 1 / f noise to be simulated.
  • the number of the random numbers of a 1 / f noise to be generated and a starting value for a run variable n used for the simulation are then defined.
  • the invention provides for the loop-like repetition of the following steps until the desired number of elements y (n) of one or more vectors y_ of length n is calculated from 1 / f-distributed random numbers: increasing the current value of the run ariable by n 1, setting a simulation time step [t n _ ⁇ ; t n ], - Determine the elements .
  • Ci j of a covariance matrix £ of dimension (nxn) according to the following rule:
  • ⁇ n - ⁇ denotes the first (n - 1) components of the vector y_
  • variable increments can also be used to adapt to current system dynamics, which increases the accuracy of the simulations.
  • the present invention specifies a method for successively generating sequences of 1 / f-distributed random numbers, that is to say element by element.
  • the method ensures that each newly generated random number is correctly and stochastically dependent on the previously generated 1 / f distributed random numbers. This makes it possible to generate the random numbers required in the course of the • numerical simulation of a circuit.
  • the invention uses the theory of conditional probability densities to generate a 1 / f-distributed random number, which correctly ensures the stochastic relationship of this random number with the random numbers already generated and required for previous simulation steps.
  • q are sequences of random numbers of a 1 / f noise can be calculated simultaneously, whereby instead of the steps to be repeated in a loop:
  • the concept for simulating 1 / f noise is based on the following train of thought.
  • the dynamics of a system that is exposed to stochastic influences is adequately modeled by a stochastic process.
  • individual random implementations (so-called paths) of the underlying stochastic process are generally calculated numerically.
  • paths from stochastic ones are required to calculate integrals of the form JY (s) ⁇ l (s) ds numerically.
  • the integral on the right side is to be understood as the Riemann-Stieltjes integral of the stochastic process Y (s) with the process B FBM (S) as an integrator.
  • a process B FBM (S) whose generalized derivative has a 1 / f spectrum is known in the literature under the name 'Fractional Brownian Motion'.
  • B FBM (S) is a Gaussian stochastic process and as such is fully characterized by its expected value
  • the method according to the invention for the need-based generation of suitable random numbers leads the simulation of 1 / f noise influences essentially to the generation of implementations of the random variables [B FBM (ti) - B FBM (t ⁇ - x)], that is to say increases in the fractional brownian motion, back.
  • the present invention allows the required implementations of the random variables AB FBM (i) online, ie in
  • Step size of the next integration step can be determined from the current system dynamics - i.e. adaptively.
  • the invention meets both requirements by specifying a regulation of how a realization of ⁇ AB FBM (l), ..., AB FBM (n) ⁇ , that is a sequence of random numbers, can be generated successively, ie element by element ,
  • the step size ⁇ t i : t ( - t ⁇ _ x is freely selectable for each new random number.
  • the distribution of the random variable vector AB FBM ⁇ ), ..., AB FBM (n)) is considered first.
  • the random variable vector ( ⁇ B FBM (1), ..., ⁇ B FBM (n)) is an n-dimensional Gaussian-distributed random variable and thus by its (n-dimensional) expected value E and its
  • REPLACEMENT SHEET (RULE 26) 12 Given an n-dimensional mean-free Gaussian random variable Z with the covariance matrix C.
  • the first n-1 elements of an implementation of Z are in the form of a random number vector v,, already diced and
  • conditional density / is the probability density of a Gaussian normal distribution with mean
  • the matrix C ⁇ is symmetrical and positive definite. By renaming the coordinate axes, this matrix can be changed from the form (3.8) to the following form:
  • the inverted covariance matrix C ⁇ (an n X n matrix) is required. Strictly speaking, only knowledge of the nth row of this matrix is required, i.e. knowledge of ⁇ I).
  • the covariance matrix C depends on the decomposition of the simulation interval [0, t into disjoint subintervals (step sizes) [, -_ !
  • the upper left (rc-lj x (nl) sub-matrix C of the n X n covariance matrix C is exactly the covariance matrix for a random number sequence of length n -1.
  • This covariance matrix had to be used to calculate y ⁇ n - ⁇ (or can be determined and inverted for the calculation of the last element ⁇ y n X.
  • 16 thus incremental methods for matrix inversion can be used, for example by means of the Schur complement.
  • the invention is also implemented in a method for simulating a technical system which is subject to 1 / f noise.
  • random numbers are used in the modeling and / or in the determination of the variables applied to the input channels of the system, which numbers have been determined using a method according to the invention.
  • a computer system and / or a computer program for determining sequences of random numbers of a 1 / f noise or for executing the other methods according to the invention is also provided.
  • the invention is also implemented in a data carrier with such a computer program.
  • the invention is implemented in a method in which a computer program according to the invention is downloaded from an electronic data network, such as from the Internet, to a computer connected to the data network.
  • FIG. 1 shows a schematic representation of a technical system to be simulated
  • FIG. 2 shows a structure diagram for determining sequences of random numbers of a 1 / f noise
  • FIG. 3 shows a calculation example for a first simulation time step on the basis of its sub-figures 3a to 3f,
  • FIG. 4 shows a calculation example for a second simulation time step using its sub-figures 4a to 4f
  • FIG. 5 shows a calculation example for a third simulation time step on the basis of its sub-figures 5a to 5f.
  • Figure 1 shows a schematic representation of a noisy system to be simulated.
  • system model 1 which describes the system behavior.
  • the system behavior results from the input channels 2, which are also referred to as vector INPUT, and from the output channels 3, which are also referred to as OUTPUT.
  • system-related noise is provided, which is present at noise input channels 4 and which is also referred to as vector or matrix NOISE.
  • a matrix NOISE is present when the noise with multiple channels is taken into account, each column of the matrix NOISE containing a vector of noise values which are present on a noise input channel.
  • the noise at the noise input channels 4 is preferably interpreted as a noise-related change in the system model 1.
  • the behavior of the input channels 2 and the output channels 3 can be determined by a system of differential equations or by a system of algebro differential equations. be written so that reliable predictions of the system behavior are possible.
  • a vector OUTPUT of the output channels 3 is calculated for a vector INPUT present on the input channels 2 and for a vector NOISE present on the noise input channels 4.
  • the vectors INPUT, OUTPUT, NOISE are expediently given as a matrix for the simulation over a longer period of time, each column k of the matrix in question containing the values of the corresponding time series of the INPUT, OUTPUT, NOISE in question.
  • FIG. 2 illustrates how each vector _ k is obtained , which forms a column k of the NOISE matrix for the noise input channels 4 of the system model 1.
  • Each vector ⁇ k is used to simulate a noise source.
  • a desired spectral value ⁇ and the intensity constant const are determined. Furthermore, the counter n of the current simulation time interval is set to 0.
  • the counter n of the current simulation time step is then incremented by one.
  • step of inverting the matrix C for example by means of a Cholesky decomposition.
  • the inverse matrix of the previous step can also be accessed, for example when using shear complement techniques.
  • a value of a (0, 1) -normally distributed random variable X is drawn, thus supplementing the vector x k of the normally distributed random numbers.
  • the random number drawn has the expected value 0 and the variance 1. This step is done for each noise source to be simulated.
  • a size ⁇ k is also formed. It is formed from the first (n - 1) components of the nth row of the inverted covariance matrix C 1 and from the sequence of (n-1) 1 / f-distributed random numbers that are necessary for the preceding (n-1) Simulation time steps were calculated.
  • the currently calculated element r (k, n) of the NOISE matrix represents a random number which, together with the above (n-1) elements of the same column k of NOISE, forms a vector ⁇ k of length n from 1 / f-distributed random numbers.
  • This vector y k is used to simulate one of the noise sources for the first n simulation time steps.
  • Each element y k of the nth line of NOISE is then determined on the basis of equations (3.7) - (3.9) from the last random number x k of the vector x and the quantities ⁇ ⁇ and ⁇ , according to the following rule:
  • the value of the spectral value ⁇ is always assumed to be 0.5.
  • the value of the intensity const is arbitrarily assumed to be 1.0.
  • Three random numbers are processed simultaneously, corresponding to the simulation of three noise sources acting simultaneously on separate channels on the system to be simulated, which are each arranged in a vector y k , where k is an integer value from 1 to 3. 21
  • FIG. 3a shows the covariance matrix C of dimension lxl for generating a 1 / f-distributed random number in the simulation step size.
  • FIG. 3b shows the inverse of the covariance matrix C from FIG. 3a, which was done here by means of a Cholesky decomposition, not shown in any more detail.
  • a check of (£ C "1 ) (0.707106 ... 0.707106 .. A) gives the correct value 1, which illustrates the correctness of the value for £ (1,1).
  • FIG. 3d shows three values Xi, x 2 , x 3 of a (0,1) - normally distributed random variable X for each noise source to be simulated. These values form the first elements 22 each of a vector x k of the normally distributed random numbers. The random numbers drawn have the expected value 0 and the variance 1.
  • FIG. 3e shows three variables ⁇ k for each of the three noise sources to be simulated.
  • the matrix NOISE results from the three vectors ⁇ k .
  • the value k is an integer value from 1 to 3.
  • Each element y k of the first line of NOISE is based on equations (3.7) - (3.9) according to the following rule from the last random number x k of the associated vector x and the quantities ⁇ ⁇ and ⁇ ⁇ determined.
  • the value n for the second simulation time step is always 2.
  • the newly generated random number together with the result according to FIG. 3f forms a vector k of length 2 from 1 / f-distributed random numbers.
  • a vector k is generated for each noise source.
  • the covariance matrix C is determined according to equation (3.6).
  • FIG. 4b shows the inverse of the covariance matrix Q from FIG. 4a.
  • a check of the condition ⁇ QC_1 not shown here, yields a matrix of dimension 2x2, in which the elements indexed with (1,1) and (2,2) are equal to 1. The other elements have the value 0.
  • FIG. 4c shows a quantity ⁇ which is calculated from the inverted covariance matrix C -1 from step 4b.
  • the size ⁇ results as
  • FIG. 4d shows three vectors x k of independent (0.1) - normally distributed random numbers, the vectors x k each having a length of 2.
  • One (0, 1) -normally distributed random variable x k is drawn for each noise source to be simulated.
  • the random number drawn has the expected value 0 and the variance 1.
  • the vectors x k of the normally distributed random numbers from FIG. 3d are thus supplemented, so that the vectors x k of the normally distributed random numbers from FIG. 4d result.
  • FIG. 4e shows three variables ⁇ k which have been calculated from the inverted covariance matrix C -1 according to step 4b and from the three random numbers according to step 3f.
  • the size ⁇ k is calculated from the (n - 1) first components of the nth row of the inverted covariance matrix ⁇ T 1 and from the sequence of (n-1) pieces of 1 / f-distributed random numbers, which according to Formula (3.9) for the previous (n - 1) simulation time steps were calculated.
  • the size ⁇ k is thus calculated from the first component of the second line of f 1 and from the first component of the vector y k . This is carried out using the value ⁇ i as an example:
  • the matrix NOISE results from the three vectors ⁇ k .
  • the value k is an integer value from 1 to 3.
  • Each element y k of the second line of NOISE is based on equations (3.7) - (3.9) according to the following rule from the last random number x k of the associated vector x and the quantities ⁇ k and ⁇ are determined.
  • the value n during the third simulation time step is always 3.
  • the newly generated random number together with the result according to FIG. 4f forms a vector y k of length 3 from 1 / f-distributed random numbers.
  • a vector ⁇ k is generated for each noise source.
  • the covariance matrix £ is determined according to equation (3.6).
  • FIG. 5b shows the inverse X 1 of the covariance matrix C from FIG. 5a.
  • FIG. 5c shows a quantity ⁇ which is calculated from the inverted covariance matrix C_1 from step 5b.
  • the size ⁇ results as
  • sqrt denotes the square root and e (3,3) the element of the inverted covariance matrix C 1 from FIG. 5b indexed by (3,3).
  • FIG. 5d shows three vectors x k of independent (0.1) - normally distributed random numbers, the vectors X k each having a length of 3.
  • One (0, 1) -normally distributed random variable x k is drawn for each noise source to be simulated.
  • the random number drawn has the expected value 0 and the variance 1.
  • the vector 27 ren x k of the normally distributed random numbers from FIG. 4d supplemented, so that the vectors x k of the normally distributed random numbers from FIG. 5d result.
  • FIG. 5e shows three variables ⁇ k which have been calculated from the inverted covariance matrix C 1 according to step 5b and from the three random numbers according to step 4f.
  • the quantity ⁇ k is calculated from the (n-1) first components of the nth line of the inverted covariance matrix C _1 and from the sequence of (n-1) pieces of 1 / f-distributed random numbers, which were calculated according to formula (3.9) for the previous (n - 1) simulation time steps.
  • ⁇ k is thus from the first two com- ponents of the third row of C. -1 and calculated from the first two components of the vector y k . This is carried out using the value ⁇ i as an example:
  • the matrix NOISE results from the three vectors y k .
  • the value k is an integer value from 1 to 3.
  • FIGS. 3, 4 and 5 show intermediate and final results of the calculation steps described with reference to FIG. 2 for a first, for a second and for a third simulation interval. After a precise numerical calculation, all values were canceled after the second decimal place in order to be able to reproduce this better.
  • the exemplary embodiments are mathematically reproduced, it is therefore not necessary to continue calculating with the intermediate values shown in the figures, but with the exact intermediate values in order to arrive at the specified y vectors from the specified x vectors.
  • 3c, 4c and 5c each show vectors of (0, 1) -normally distributed random variables.
  • a random variable represents a noise source.
  • it is not shown here how to arrive at such random numbers with the expected value 0 and the variance 1. This is familiar to the person skilled in the art. 29

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Abstract

A method for adaptively generating a series of random numbers of a 1/f noise is based on the use of (0,1) normally distributed random numbers. The invention enables a need-oriented generation of random numbers of a 1/f noise, whereby additional random numbers of a 1/f noise are also possible during a simulation calculation.

Description

wo 02/052402 A2 where 02/052402 A2
(84) Bestimmungsstaaten (regional): europaisches Patent (AT, Zur Erklärung der Zweibuchstaben-Codes und der anderen BE, CH, CY, DE, DK, ES, FI, FR, GB, GR, IE, IT, LU, MC, Abkürzungen wird auf die Erklärungen ("Guidance Notes on(84) States of destination (regional): European patent (AT, to explain the two-letter codes and the other BE, CH, CY, DE, DK, ES, FI, FR, GB, GR, IE, IT, LU, MC, Abbreviations are used on the explanations ("Guidance Notes on
NL, PT, SE, TR) Codes and Abbreviations") am Anfang jeder regulären Ausgabe der PCT-Gazette verwiesenNL, PT, SE, TR) Codes and Abbreviations ") at the beginning of every regular edition of the PCT Gazette
Veröffentlicht:Released:
— ohne internationalen Recherchenbericht und erneut zu veröffentlichen nach Erhalt des Berichts - Without an international search report and to be published again after receipt of the report
Beschreibungdescription
Verfahren zum bedarfsorientierten Erzeugen einzelner Zufallszahlen einer Folge von Zufallszahlen eines 1/f- RauschensMethod for the needs-based generation of individual random numbers of a sequence of random numbers of a 1 / f noise
Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Erzeugen von Folgen von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens .The invention relates to a method for generating sequences of random numbers of a 1 / f noise.
Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens können beispielsweise bei einer transienten Schaltkreissimulation eingesetzt werden, die Rauscheinflüsse berücksichtigt. Unter einem 1/f-Rauschen wird ein stochastischer Prozess mit einem bestimmten Frequenzspektrum verstanden, das mit der Glei- chungRandom numbers of a 1 / f noise can be used, for example, in a transient circuit simulation that takes into account noise influences. 1 / f noise is understood to mean a stochastic process with a specific frequency spectrum, that with the equation
beschrieben werden kann. can be described.
1/f-Rauschquellen eignen sich zur Modellierung von Rauscheinflüssen in einer Vielzahl technischer und physikalischer Systeme sowie für Systeme zur Einschätzung und Vorhersage von Geschehnissen auf den Finanzmärkten. Insbesondere weisen viele elektronische Bauelemente wie beispiels- weise pn-Dioden und MOS-Feldeffekttransistoren 1/f- Rauschquellen auf.1 / f noise sources are suitable for modeling noise influences in a variety of technical and physical systems as well as for systems for the assessment and prediction of events in the financial markets. In particular, many electronic components such as pn diodes and MOS field effect transistors have 1 / f noise sources.
Es ist möglich, 1/f-Rauschquellen dadurch zu approximieren, daß eine Summation der Effekte vieler Rauschquellen durchgeführt wird, die als Frequenzspektrum jeweils ein Lorentz-Spektrum aufweisen. Solche Rauschquellen können beispielsweise durch die Systemantwort eines linearen zei- tinvarianten Systems, das auch als LTI-System bezeichnet werden kann, modelliert werden, an dessen Systemeingang ein weisses Rauschen angelegt wird. Bei dieser Vorgehensweise ist von Nachteil, daß die Dimension des numerisch zu lösenden Differentialgleichungssystems über die Maßen aufgebläht wird. Dadurch ergeben sich lange Rechenzeiten und ein hoher Speicherbedarf eines ComputerSystems, das zur Simulation eines Systems verwendet wird, das dem Einfluß eines 1/f-Rauschens unterliegt.It is possible to approximate 1 / f noise sources by carrying out a summation of the effects of many noise sources, each of which has a Lorentz spectrum as the frequency spectrum. Such sources of noise can be caused, for example, by the system response of a linear tin variant system, which can also be called an LTI system, are modeled, at the system input of which a white noise is applied. A disadvantage of this procedure is that the dimension of the system of differential equations to be solved numerically is inflated beyond measure. This results in long computing times and a high memory requirement of a computer system which is used to simulate a system which is subject to the influence of 1 / f noise.
Es ist Aufgabe der Erfindung, ein Verfahren zum Erzeugen einer Folge von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens anzugeben, das schnell und mit geringem Rechenaufwand durchgeführt werden kann. Es ist weiterhin Aufgabe der Erfindung, ein verbessertes Verfahren zur Simulation eines technischen Systems anzugeben, das einem 1/f-Rauschen unterliegt. Schließlich soll auch ein Computersystem mit einem Computerprogramm zur Bestimmung von Folgen von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens angegeben werden, das schnell aus- geführt werden kann und das nur wenig Ressourcen eines Computersystems beansprucht.It is the object of the invention to provide a method for generating a sequence of random numbers of a 1 / f noise, which can be carried out quickly and with little computation effort. It is a further object of the invention to provide an improved method for simulating a technical system which is subject to 1 / f noise. Finally, a computer system with a computer program for determining sequences of random numbers of a 1 / f noise is also to be specified, which can be executed quickly and which requires only a few resources of a computer system.
Diese Aufgabe wird durch die Gegenstände der unabhängigen Patentansprüche gelöst. Verbesserungen ergeben sich aus den jeweiligen Unteransprüchen.This object is achieved by the subject matter of the independent claims. Improvements result from the respective subclaims.
Gemäß der Erfindung wird das Problem der Rauschsimulation bei der Modellierung des zu simulierenden Systems in das Problem der Generierung einer Zufallszahlen-Sequenz über- führt. Gemäß der Erfindung werden die Korrelationen dieser Zufallszahlen bestimmt, was zu einer einfachen und genauen Generierung der entsprechenden Zufallszahlen-Sequenzen verwendet wird. Das erfindungsgemäße Verfahren zum Erzeugen wenigstens einer Folge von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens, sieht dabei zunächst die folgenden Schritte vor: - Bestimmen eines gewünschten Spektralwerts ß, Bestimmen einer Intensitätskonstante const. Dadurch werden die Charakteristika des zu simulierenden 1/f-Rauschens festgelegt.According to the invention, the problem of noise simulation when modeling the system to be simulated is converted into the problem of generating a random number sequence. According to the invention, the correlations of these random numbers are determined, which is used for a simple and accurate generation of the corresponding random number sequences. The method according to the invention for generating at least one sequence of random numbers of 1 / f noise initially provides the following steps: - Determining a desired spectral value β, determining an intensity constant const. This determines the characteristics of the 1 / f noise to be simulated.
Danach wird die Anzahl der zu erzeugenden Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens und ein Startwert für eine zur Simulation benutzten Laufvariable n festgelegt.The number of the random numbers of a 1 / f noise to be generated and a starting value for a run variable n used for the simulation are then defined.
Die Erfindung sieht solange, bis die gewünschte Anzahl von Elementen y(n) eines oder mehrerer Vektoren y_ der Länge n aus 1/f-verteilten Zufallszahlen berechnet ist, das schleifenartige Wiederholen der folgenden Schritte vor: Erhöhen des aktuellen Werts der Lauf ariable n um 1, Festlegen eines Simulationszeitschritts [tn_ι; tn] , - Bestimmen der Elemente .Cij einer Covarianzmatrix £ der Dimension (n x n) nach der folgenden Vorschrift:The invention provides for the loop-like repetition of the following steps until the desired number of elements y (n) of one or more vectors y_ of length n is calculated from 1 / f-distributed random numbers: increasing the current value of the run ariable by n 1, setting a simulation time step [t n _ι; t n ], - Determine the elements . Ci j of a covariance matrix £ of dimension (nxn) according to the following rule:
C :j j : i, j = 1,..., nC: j j : i, j = 1, ..., n
Bestimmen einer Matrix C_1 durch Invertieren der Covarianzmatrix £, - Bestimmen einer Größe σ gemäß der Vorschrift σ = sqrt(l / e(n,n) ), wobei sqrt die Funktion "Quadratwurzel" und wobei e(n,n) das durch (n,n) indizierte Element der invertierten Covarianzmatrix C"1 bezeichnet, - Bestimmen einer (0, 1) -normalverteilten Zufallszahl, die die n-te Komponente eines Vektors x der Länge n bildet, 4 • Bilden einer Größe μ aus den ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix CX 1 und den (n-1) Elementen des Vektors y, die für einen vorausgehenden (n-1) Si ulations-Zeitschritt berechnet wurden, und zwar gemäß der folgenden Vorschrift:Determine a matrix C _1 by inverting the covariance matrix £, - Determine a size σ according to the specification σ = sqrt (l / e (n, n)), where sqrt has the function "square root" and where e (n, n) does this (n, n) indexed element of the inverted covariance matrix C "1 , - determining a (0, 1) -normally distributed random number, which forms the nth component of a vector x of length n, 4 • Form a quantity μ from the first (n - 1) components of the nth row of the inverted covariance matrix CX 1 and the (n-1) elements of the vector y, for a preceding (n-1) simulation time step were calculated according to the following rule:
wobei <n-ι) die ersten (n - 1) Komponenten des Vektors y_ bezeichnet, wobei C die ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix C_1 bezeichnet und wobei = Cn, n das mit (n,n) indizierte Ele- ment der invertierten Covarianzmatrix C"1 bezeichnet, Berechnen eines Element y(n) eines Vektor y_ der Länge n aus 1/f-verteilten Zufallszahlen nach folgender Vorschrift: Y(n) = x(n) * σ + μ where <n - ι) denotes the first (n - 1) components of the vector y_, where C denotes the first (n - 1) components of the nth line of the inverted covariance matrix C _1 and where = Cn, n denotes the (n , n) denotes the indexed element of the inverted covariance matrix C "1 , calculating an element y (n) of a vector y_ of length n from 1 / f-distributed random numbers according to the following rule: Y (n) = x (n) * σ + μ
Mit dem erfindungsge äßen Verfahren können Simulationen von technischen Systemen beliebig verlängert werden. Hierzu können auf einfache Weise zusätzliche 1/f-verteilte Zu- fallszahlen generiert werden, wenn bereits generierte 1/f- verteilte Zufallszahlen vorliegen. Außerdem kann eine Simulation auf den Ergebnissen von zuvor simulierten Zeitintervallen aufgesetzt werden. Diese sogenannte Restart- Fähigkeit stellt eine für die Simulationspraxis sehr wich- tige Eigenschaft dar. Gerade für 1/f-Rauschquellen ist dies nur schwierig zu erreichen, weil Zufallszahlen, die eine 1/f-Rauschquelle für ein gewisses Zeitintervall simulieren, von bereits numerisch bestimmten Zufallszahlen für frühere Zeitintervalle abhängen. Die vorliegende Erfindung gestattet auch die Verwendung einer adaptiven Schrittwei- 5 tensteuerung, ohne daß hierdurch die Rechenzeiten zur Simulation eines technischen Systems signifikant erhöht werden. Eine solche adaptive Schrittweitensteuerung steigert die Präzision und die Rechenzeiteffizienz bei der numeri- sehen Bestimmung der Dynamik eines simulierten technischen Systems erheblich.With the method according to the invention, simulations of technical systems can be extended as desired. For this purpose, additional 1 / f-distributed random numbers can be generated in a simple manner if 1 / f-distributed random numbers have already been generated. A simulation can also be based on the results of previously simulated time intervals. This so-called restart ability is a very important property for simulation practice. Especially for 1 / f noise sources this is difficult to achieve because random numbers that simulate a 1 / f noise source for a certain time interval are already numerical depend on certain random numbers for previous time intervals. The present invention also allows the use of an adaptive step by step 5 control, without this significantly increasing the computing times for simulating a technical system. Such an adaptive step size control increases the precision and the computing time efficiency in the numerical determination of the dynamics of a simulated technical system considerably.
Es ist beim erfindungsgemäßen Verfahren nicht mehr notwendig, das zu simulierende Zeitintervall vorzugeben. Gerade durch das Vorsehen von variablen Schrittweiten kann auch eine Adaption an aktuelle Systemdynamiken erfolgen, was die Genauigkeit der Simulationen erhöht.In the method according to the invention, it is no longer necessary to specify the time interval to be simulated. The provision of variable increments can also be used to adapt to current system dynamics, which increases the accuracy of the simulations.
Die vorliegende Erfindung gibt ein Verfahren an, um Se- quenzen von 1/f-verteilten Zufallszahlen sukzessive, also Element für Element, zu generieren. Dabei stellt das Verfahren sicher, daß jede neu generierte Zufallszahl auf korrekte Weise im stochastischen Sinne von den zuvor generierten 1/f-verteilten Zufallszahlen abhängt. Dadurch ist es möglich, im Verlauf der numerischen Simulation eines • Schaltkreises die jeweils benötigten Zufallszahlen zu erzeugen.The present invention specifies a method for successively generating sequences of 1 / f-distributed random numbers, that is to say element by element. The method ensures that each newly generated random number is correctly and stochastically dependent on the previously generated 1 / f distributed random numbers. This makes it possible to generate the random numbers required in the course of the • numerical simulation of a circuit.
Die Erfindung verwendet die Theorie bedingter Wahrschein- lichkeitsdichten, um eine 1/f-verteilte Zufallszahl zu erzeugen, die korrekt den stochastischen Zusammenhang dieser Zufallszahl mit dem bereits erzeugten und für vorangegangene Simulationsschritte benötigten Zufallszahlen sicherstellt.The invention uses the theory of conditional probability densities to generate a 1 / f-distributed random number, which correctly ensures the stochastic relationship of this random number with the random numbers already generated and required for previous simulation steps.
In einer besonders vorteilhaften Ausgestaltung des erfindungsgemäßen Verfahrens werden q Folgen von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens gleichzeitig berechnet werden, wobei anstelle der schleifenartig zu wiederholenden Schritte:In a particularly advantageous embodiment of the method according to the invention, q are sequences of random numbers of a 1 / f noise can be calculated simultaneously, whereby instead of the steps to be repeated in a loop:
Bestimmen einer (0, 1) -normalverteilten Zufallszahl, die die n-te Komponente eines Vektors x der Länge n bildet, 5 - Bilden einer Größe μ aus den ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix CX 1 und den (n-1) Elementen des Vektors _, die für einen vorausgehenden (n-1) Si ulations-Zeitschritt berechnet wurden, und zwar gemäß der folgenden Vorschrift:Determining a (0, 1) -normally distributed random number, which forms the nth component of a vector x of length n, 5 - forming a size μ from the first (n - 1) components of the nth row of the inverted covariance matrix CX 1 and the (n-1) elements of the vector _ calculated for a previous (n-1) isolation time step, according to the following rule:
wobei y(n die ersten (n - 1) Komponenten des Vektors y bezeichnet, wobei C~ die ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix X1 bezeichnet und wobei — C~n, n das mit (n,n) indizierte Ele- where y (n denotes the first (n - 1) components of the vector y, where C ~ denotes the first (n - 1) components of the nth row of the inverted covariance matrix X 1 and where - C ~ n, n denotes the ( n, n) indexed elements
15 ment der invertierten Covarianzmatrix C"1 bezeichnet,15 ment of the inverted covariance matrix C "1 ,
Berechnen eines Element y(n) eines Vektor y_ der Länge n aus 1/f-verteilten Zufallszahlen nach folgender Vorschrift:Calculate an element y (n) of a vector y_ of length n from 1 / f-distributed random numbers according to the following rule:
Y (n) = x(n) * σ + μY (n) = x (n) * σ + μ
20 die folgenden Schritte vorgesehen sind:20 the following steps are provided:
Bestimmen von q Stück (0, 1) -normalverteilte Zufallszahlen Xk,nr die die jeweils letzte Komponente der Vektoren xk der Länge n bilden, wobei k = 1, ..., q. Hierbei ist zu beachten, dass die jeweils ersten (n - 1) Ko ponen-Determination of q pieces (0, 1) -normally distributed random numbers Xk, n r which form the last component of the vectors x k of length n, where k = 1, ..., q. Please note that the first (n - 1) copon
25 ten der Vektoren xk bereits im Schritt zuvor berechnet wurden. Bilden von q Größen μ k gemäß der folgenden Vorschrift:25 th of the vectors x k had already been calculated in the previous step. Formation of q sizes μ k according to the following rule:
wobei )>t„-ι) k die ersten (n - 1) Komponenten des Vektors k bezeichnet, die für einen vorausgehenden Simu- lations-Zeitschritt berechnet wurden. C~ bezeichnet die ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der in- vertierten Covarianzmatrix —C"1 und = C~n, n bezeichnet das mit (n,n) indizierte Element der invertierten Covarianzmatrix C"1. Dies wird für k = 1,..., q durchgeführt, Berechnen von q Elementen y^nr die die jeweils n-te Komponente des Vektors k der Länge n aus 1/f- verteilten Zufallszahlen bilden, und zwar nach folgender Vorschrift: where)> t "- ι) k denotes the first (n - 1) components of the vector k , which were calculated for a preceding simulation time step. C ~ denotes the first (n - 1) components of the nth row of the inverted covariance matrix —C "1 and = C ~ n, n denotes the element of the inverted covariance matrix C " 1 indicated with (n, n). This is carried out for k = 1, ..., q, calculating q elements y ^ n r which form the nth component of the vector k of length n from 1 / f-distributed random numbers, according to the following rule:
yk,n = Xk,n * σ + μk yk, n = Xk, n * σ + μ k
wobei k = 1,..., q.where k = 1, ..., q.
Die q Vektoren yk (k = l,...,q) der Länge n aus 1/f- verteilten Zufallszahlen werden besonders vorteilhaft in einer Matrix NOISE angeordnet, die in einer Simulation die 1/f-Rauscheinflüsse eines zu simulierenden Systems angeben.The q vectors y k (k = 1, ..., q) of length n from 1 / f distributed random numbers are particularly advantageously arranged in a NOISE matrix, which in a simulation indicate the 1 / f noise influences of a system to be simulated ,
Dem Konzept zur Simulation von 1/f-Rauschen liegt gemäß der Erfindung der folgende Gedankengang zugrunde. Die Dy- namik eines Systems, das stochastischen Einflüssen ausgesetzt ist, wird adäquat durch einen stochastischen Prozeß modelliert. Zur Simulation einer solchen Systemdynamik werden im allgemeinen einzelne Zufalls-Realisierungen (sogenannte Pfade) des zugrundeliegenden stochastischen Pro- zesses numerisch berechnet. Zur Simulation von Systemen mit 1/f-Rauschquellen gilt es, Pfade von stochastischen Integralen der Form J Y(s) η l (s) ds numerisch zu berechnen.According to the invention, the concept for simulating 1 / f noise is based on the following train of thought. The dynamics of a system that is exposed to stochastic influences is adequately modeled by a stochastic process. To simulate such a system dynamics, individual random implementations (so-called paths) of the underlying stochastic process are generally calculated numerically. In order to simulate systems with 1 / f noise sources, paths from stochastic ones are required To calculate integrals of the form JY (s) η l (s) ds numerically.
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Hierbei bezeichnen s (Integrationsvariable) und t (obereHere s denote (integration variable) and t (upper
Integrationsgrenze) die Zeit, η l (s)ds eine 1/f-RauschquelleIntegration limit) the time, η l (s) ds a 1 / f noise source
7 und Y(s) einen stochastischen Prozess, der die zeitliche Dynamik einer Größe, z.B. der elektrischen Spannung in der7 and Y (s) a stochastic process, which takes the temporal dynamics of a quantity, e.g. the electrical voltage in the
Schaltkreissimulation, beschreibt .Circuit simulation, describes.
Wenn man mit BFBM(s) denjenigen stochastischen Prozess bezeichnet, dessen Ableitung (mathematisch: Ableitung im Di- stributionssinn) den 1/f-Rauschprozess η j (s) ergibt, soIf B FBM (s) is used to denote the stochastic process whose derivative (mathematically: derivative in the sense of distribution) gives the 1 / f noise process η j (s), then
7 lässt sich das zu berechnende stochastische Integral schreiben als7, the stochastic integral to be calculated can be written as
I'Y{S) η λ (S)ds (s) dBFBM(s) ( i . ι :I'Y { S ) η λ ( S ) ds (s) dB FBM (s) (i. ι:
Das Integral der rechten Seite ist als Riemann-Stieltjes- Integral des stochastischen Prozesses Y(s) mit dem Prozess BFBM(S) als Integrator aufzufassen. Dieses Integral lässt sich durch eine Summe approximieren, indem das Integrati- onsintervall [0,t] gemäß 0 ≡ t0<tχ< ... <t ≡ t in n dis- junkte Teil-intervalle [ti, i_ι] , i=l, ... n, zerlegt wird:The integral on the right side is to be understood as the Riemann-Stieltjes integral of the stochastic process Y (s) with the process B FBM (S) as an integrator. This integral can be approximated by a sum, in that the integration interval [0, t] according to 0 ≡ t 0 <tχ <... <t ≡ t in n disjoint sub-intervals [ti, i_ι], i = l, ... n, is broken down:
Diese Summe ist eine Zufallsvariable. Die Abhängigkeit vom Ergebnis ω des Zufallsexperiments wurde konsistent weggelassen. 9This sum is a random variable. The dependence on the outcome ω of the random experiment was consistently omitted. 9
Ein Prozess BFBM(S), dessen verallgemeinerte Ableitung ein 1/f-Spektrum aufweist, ist in der Literatur unter dem Namen ' Fractional Brownian Motion' bekannt. BFBM(S) ist ein Gaußscher stochastischer Prozess und als solcher vollstän- dig charakterisiert durch seinen ErwartungswertA process B FBM (S) whose generalized derivative has a 1 / f spectrum is known in the literature under the name 'Fractional Brownian Motion'. B FBM (S) is a Gaussian stochastic process and as such is fully characterized by its expected value
E{BFBM(s)) = 0 V s e R (1.3)E {B FBM (s)) = 0 V se R (1.3)
und durch seine Covarianzfunktionand by its covariance function
Cov(BFm (s),BFm (tj) +\t\ß+ -\t-s\ß+ ) ( 1 . 4Cov (B Fm (s), B Fm (tj) + \ t \ ß + - \ ts \ ß + ) (1.4
Das erfindungsgemäße Verfahren zur bedarfsorientierten Generierung geeigneter Zufallszahlen führt die Simulation von 1/f-Rauscheinflüssen im wesentlichen auf die Erzeugung von Realisierungen der Zufallsvariablen [BFBM(ti) - BFBM(tι- x) ] , also von Zuwächsen der Fractional Brownian Motion, zurück.The method according to the invention for the need-based generation of suitable random numbers leads the simulation of 1 / f noise influences essentially to the generation of implementations of the random variables [B FBM (ti) - B FBM (tι- x)], that is to say increases in the fractional brownian motion, back.
Die vorliegende Erfindung erlaubt es, die benötigten Realisierungen der Zufallsvariablen A BFBM ( i ) online, d.h. imThe present invention allows the required implementations of the random variables AB FBM (i) online, ie in
Verlauf der sukzessiven Integration der Systemgleichungen, zu erzeugen. Daraus resultieren zwei Anforderungen an das Verfahren:Course of the successive integration of the system equations. This results in two requirements for the process:
(a) Die Länge n der Sequenz von Zufallszahlen A BFBM ( \ ),..., A BFBM (n )} muß während eines Simulationslaufs variabel bleiben. Insbesondere muß es jederzeit möglich sein, die Simulation zu verlängern (Restart- Fähigkeit) . Dies impliziert die Fähigkeit des Verfahrens, die hierfür benötigten zusätzlichen Zufallszah- 10 len so zu generieren, daß sie auf korrekte Weise mit der bereits generierten Teilsequenz korrelieren.(a) The length n of the sequence of random numbers AB FBM (\), ..., AB FBM (n)} must remain variable during a simulation run. In particular, it must be possible to extend the simulation at any time (restart ability). This implies the ability of the method to generate the additional random numbers required for this. 10 len to be generated so that they correlate correctly with the generated partial sequence.
(b) Sei ti die im Laufe einer Simulation aktuell erreichte Zeit. Dann muß das Zeitintervall [ ti, tM ], also die(b) Let t i be the time currently reached in the course of a simulation. Then the time interval [t i , t M ], ie the
Schrittweite des nächsten Integrationsschritts aus der momentanen Systemdynamik heraus - also adaptiv - bestimmbar sein.Step size of the next integration step can be determined from the current system dynamics - i.e. adaptively.
Die Erfindung wird beiden Anforderungen gerecht, indem sie eine Vorschrift angibt, wie eine Realisierung von {A BFBM ( l ),..., A BFBM (n )} , also eine Sequenz von Zufallszahlen, sukzessive, d.h. Element für Element generiert werden kann. Hierbei ist die Schrittweite Δ ti := t( — t{_x für jede neue Zufallszahl frei wählbar.The invention meets both requirements by specifying a regulation of how a realization of {AB FBM (l), ..., AB FBM (n)}, that is a sequence of random numbers, can be generated successively, ie element by element , The step size Δ t i : = t ( - t { _ x is freely selectable for each new random number.
Zunächst wird der Ansatz für sogenannte "bedingte Dichten" untersucht.First, the approach for so-called "conditional densities" is examined.
Es wird zunächst die Verteilung des Zufallsvariablen- Vektors A B FBM \ ) ,..., A B FBM ( n )) betrachtet.The distribution of the random variable vector AB FBM \), ..., AB FBM (n)) is considered first.
Da die einzelnen Zufallsvariablen A BFBM ( i ) Zuwächse eines Gaußschen stochastischen Prozesses darstellen, ist der Zu- fallsvariablen-Vektor (Δ BFBM ( 1 ),..., Δ BFBM ( n )) eine n - dimensionale Gauß-verteilte Zufallsvariable und somit durch seinen ( n-dimensionalen) Erwartungswert E und seineSince the individual random variables AB FBM (i) represent increases in a Gaussian stochastic process, the random variable vector (ΔB FBM (1), ..., ΔB FBM (n)) is an n-dimensional Gaussian-distributed random variable and thus by its (n-dimensional) expected value E and its
Covarianzmatrix C vollständig bestimmt. Die beiden Größen lassen sich aus den Formeln (1.3) und (1.4) berechnen zu 11Covariance matrix C completely determined. The two quantities can be calculated from the formulas (1.3) and (1.4) 11
E{AB FBM(i)) = 0,1=1, ,nE {AB FBM (i)) = 0.1 = 1 ,, n
(3.5;(3.5;
ß+l ß+lß + l ß + l
Ctj : = Cov(AB Fm ( i),AB FBM (j)) = const ■ - t .. - 1, + t -t,C tj : = Cov (AB Fm (i), AB FBM (j)) = const ■ - t .. - 1, + t -t,
i,j = l,...,n i, j = l, ..., n
(3.6)(3.6)
Das erfindungsgemäße Online-Verfahren soll nun in Form einer vollständigen Induktion angegeben werden.The online method according to the invention is now to be specified in the form of a complete induction.
Induktionsanfang — und somit Startpunkt des Verfahrens — ist die Realisierung einer reellwertigen Gaußverteilung mit Εrwartungswert 0 und Varianz At JThe beginning of the induction - and thus the starting point of the process - is the realization of a real Gaussian distribution with expected value 0 and variance At J
Im Sinne eines Induktionsschlusses müssen wir angeben, wie wir eine Realisierung von ABFBM (l) ,...,ABFBM (n-l)) erweitern um eine Realisierung von ABFBM (n) r so daß sich insgesamt eine Realisierung von (Δ BFBM ( 1 ),..., Δ BFBM (n )) ergibt. Zur Vereinfachung der Schreibweise sei die bereits "gewür- feite" Teilsequenz von Zufallszahlen mit ι,—,ya-ι)—- tn-ι) T und die noch zu würfelnde Realisierung von ABFBM(n) mit yn bezeichnet.In the sense of an induction conclusion, we have to indicate how we are extending a realization of AB FBM (l), ..., AB FBM (nl)) by a realization of AB FBM (n) r so that a realization of (Δ B FBM (1), ..., Δ B FBM (n)) results. In order to simplify the spelling, the already "thrown" partial sequence of random numbers is denoted by ι , -, y a -ι) —- t n - ι) T and the implementation of AB FBM (n) still to be diced is denoted by y n .
Das Problem kann nun folgendermaßen formuliert werden:The problem can now be formulated as follows:
ΕRSATZBLATT (REGEL 26) 12 Gegeben sei eine n-dimensionale mittelwertfreie Gaußsche Zufallsvariable Z mit der Covarianzmatrix C . Die ersten n-1 Elemente einer Realisierung von Z seien in Form eines Zufallszahlen-Vektors v, , bereits gewürfelt und be-REPLACEMENT SHEET (RULE 26) 12 Given an n-dimensional mean-free Gaussian random variable Z with the covariance matrix C. The first n-1 elements of an implementation of Z are in the form of a random number vector v,, already diced and
-(»-i) kannt .- (»- i) knows.
Gesucht ist nun die Verteilung, aus der das n -te Elementyn gezogen werden muß, um y . zu einer Realisierung y = [ y, , , y J von Z zu vervollständigen.We are now looking for the distribution from which the nth elementy n must be drawn in order to get y. to complete a realization y = [y,,, y J of Z.
Eine Lösung dieser Aufgabe kann gefunden werden, wenn man die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte / [yn .ι)) für yn — unter der Bedingung, daß yι„_ι) bereits festliegt — betrachtet. Diese Größe läßt sich im vorliegenden Fall einer Gaußschen Normalverteilung berechnen zuA solution to this problem can be found if one considers the conditional probability density / [y n .ι ) ) for y n - under the condition that yι "_ι ) is already established. In the present case, this quantity can be calculated using a Gaussian normal distribution
( 3 . 7 :(3. 7:
Hierbei ergibt sich die Größe aus folgender Schreib-This results in the size from the following writing
weise der invertierten Covarianzmatrix C~ :of the inverted covariance matrix C ~ :
C~A C ~ A
( 3 . 8 : 13(3. 8: 13
wobei = C~(λn-l) eÄ wobei eR where = C ~ ( λ nl) eÄ where at he
14 Die Größe μ steht für14 The size μ stands for
Die bedingte Dichte / ist also die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Gaußschen Normalverteilung mit Mittel¬The conditional density / is the probability density of a Gaussian normal distribution with mean
wert μ und Varianz . worth μ and variance.
Damit obige Varianz existiert, muß gelten = C~n, « ≠O. Dies ist aufgrund folgender Argumentation sichergestellt:For the above variance to exist, the following must hold = C ~ n, «≠ O. This is ensured on the basis of the following reasoning:
C und C ~ haben die selben Eigenrichtungen und inverseC and C ~ have the same directions and inverse
Eigenwerte. Ein Eigenwert 0 der Matrix C ~ hätte also eine unendliche Varianz des Zufallsvariablen-VektorsEigenvalues. An eigenvalue 0 of the matrix C ~ would therefore have an infinite variance of the random variable vector
(Δ BFBM (l),..., Δ BFBM («)) zur Folge. Es kann daher vorausgesetzt werden, daß alle Eigenwerte von C ~ ungleich Null sind. Da(Δ B FBM (l), ..., Δ B FBM («)). It can therefore be assumed that all eigenvalues of C ~ are not equal to zero. There
die Eigenwerte von C ~ in jedem Fall nicht negativ sind,the eigenvalues of C ~ are not negative in any case,
gilt somit: Die Matrix C ~ ist symmetrisch und positiv de- finit. Durch Umbenennung der Koordinatenachsen kann diese Matrix von der Form (3.8) auf folgende Form gebracht wer- den:the following applies: The matrix C ~ is symmetrical and positive definite. By renaming the coordinate axes, this matrix can be changed from the form (3.8) to the following form:
15 15
Diese Matrix ist per constructionem ebenfalls symmetrisch und positiv definit. Gemäß des Sylvester-Kriteriums für symmetrische und positiv definite Matrizen folgt daraus, daß Ic ) u = Cf >0, und die Behauptung ist gezeigt. Durch das erfindungsgemäße Verfahren wird die SimulationThis matrix is also symmetrical by construction and positive definite. According to the Sylvester criterion for symmetric and positively definite matrices, it follows that Ic) u = Cf> 0, and the claim is shown. The simulation according to the invention
von Rauschquellen zurückgeführt auf die Generierung vonof noise sources attributed to the generation of
Gauß-verteilten Zufallszahlen.Gaussian-distributed random numbers.
Um eine Zufallszahl yn zu erzeugen, die mit einer bereits erzeugten Sequenz auf die geforderte Weise korre- liert, wird die invertierte Covarianzmatrix C ~ (eine n X n -Matrix) benötigt. Streng genommen ist nur die Kenntnis der n-ten Zeile dieser Matrix von nöten, also die Kenntnis von \\ I ) . Wie an Formel (3.6) abzulesen ist, hängt die Covarianzmatrix C von der Zerlegung des Simulationsintervalls [0, t in disjunkte Teilintervalle (Schrittweiten) [,-_! AJ ak- Insbesondere hängt die letzte Spalte von C (wegen der Symmetrie von C identisch mit der letzten Zeile ) ab von tn und damit von der aktuellen Schritt- weite Δ tn = tn — tn_λ .To generate a random number y n with a sequence that has already been generated Corrected as required, the inverted covariance matrix C ~ (an n X n matrix) is required. Strictly speaking, only knowledge of the nth row of this matrix is required, i.e. knowledge of \\ I). As can be seen from formula (3.6), the covariance matrix C depends on the decomposition of the simulation interval [0, t into disjoint subintervals (step sizes) [, -_ ! AJ a k- In particular, the last column of C (due to the symmetry of C identical to the last line) depends on t n and thus on the current step width Δ t n = t n - t n _ λ .
Die linke obere (rc-lj x(n-l)-Teilmatrix C der n X n - Covarianzmatrix C ist genau die Covarianzmatrix für eine Zufallszahlen-Sequenz der Länge n -1. Diese Covarianzma- trix mußte bereits für die Berechnung von yιn-Λ (bzw. für die Berechnung des letzten Elements { ynX bestimmt und invertiert werden. Zur Beschleunigung des Verfahrens kann 16 somit auf inkrementelle Verfahren zur Matrixinversion, z.B. mittels des Schur-Komplements, zurückgegriffen werden.The upper left (rc-lj x (nl) sub-matrix C of the n X n covariance matrix C is exactly the covariance matrix for a random number sequence of length n -1. This covariance matrix had to be used to calculate yι n -Λ (or can be determined and inverted for the calculation of the last element {y n X. To accelerate the method, 16 thus incremental methods for matrix inversion can be used, for example by means of the Schur complement.
Die Erfindung ist auch in einem Verfahren zur Simulation eines technisches Systems verwirklicht, das einem 1/f- Rauschen unterliegt. Dabei werden bei der Modellierung und/oder bei der Festlegung der an Eingangskanälen des Systems anliegenden Größen Zufallszahlen verwendet werden, die mit einem erfindungsgemäßen Verfahren bestimmt worden sind.The invention is also implemented in a method for simulating a technical system which is subject to 1 / f noise. In this case, random numbers are used in the modeling and / or in the determination of the variables applied to the input channels of the system, which numbers have been determined using a method according to the invention.
Ebenso ist ein Computersystem und/oder ein Computerprogramm zur Bestimmung von Folgen von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens oder zur Ausführung der anderen erfindungsgemäßen Verfahren vorgesehen. Die Erfindung ist auch in einem Datenträger mit einem solchen Computerprogramm verwirklicht. Weiterhin ist die Erfindung in einem Verfahren verwirklicht, bei dem ein erfindungsgemäßes Computerpro- gramm aus einem elektronischen Datennetz wie beispielsweise aus dem Internet auf einen an das Datennetz angeschlossenen Computer heruntergeladen wird.A computer system and / or a computer program for determining sequences of random numbers of a 1 / f noise or for executing the other methods according to the invention is also provided. The invention is also implemented in a data carrier with such a computer program. Furthermore, the invention is implemented in a method in which a computer program according to the invention is downloaded from an electronic data network, such as from the Internet, to a computer connected to the data network.
Die Erfindung ist in der Zeichnung anhand eines Ausfüh- rungsbeispiels erläutert.The invention is explained in the drawing using an exemplary embodiment.
Die Erfindung ist in der Zeichnung anhand mehrerer Ausführungsbeispiele erläutert.The invention is explained in the drawing using several exemplary embodiments.
Figur 1 zeigt eine schematische Darstellung eines zu simulierenden technischen Systems, Figur 2 zeigt ein Struktogramm zur Bestimmung von Folgen von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens, 17FIG. 1 shows a schematic representation of a technical system to be simulated, FIG. 2 shows a structure diagram for determining sequences of random numbers of a 1 / f noise, 17
Figur 3 zeigt anhand seiner Unterfiguren 3a bis 3f ein Berechnungsbeispiel für einen ersten Simulations-Zeitschritt,FIG. 3 shows a calculation example for a first simulation time step on the basis of its sub-figures 3a to 3f,
Figur 4 zeigt anhand seiner Unterfiguren 4a bis 4f ein Berechnungsbeispiel für einen zweiten Simulations-Zeitschritt,FIG. 4 shows a calculation example for a second simulation time step using its sub-figures 4a to 4f,
Figur 5 zeigt anhand seiner Unterfiguren 5a bis 5f ein Berechnungsbeispiel für einen dritten Si ula- tions-Zeitschritt .FIG. 5 shows a calculation example for a third simulation time step on the basis of its sub-figures 5a to 5f.
Figur 1 zeigt eine schematische Darstellung eines rauschbehafteten Systems, das simuliert werden soll.Figure 1 shows a schematic representation of a noisy system to be simulated.
Das System wird durch ein als Kasten angedeutetes System- modell 1 beschrieben, das das Systemverhalten beschreibt. Das Systemverhalten ergibt sich aus den Eingangskanälen 2, die auch als Vektor INPUT bezeichnet werden, und aus den Ausgangskanälen 3, die auch als OUTPUT bezeichnet werden. Weiterhin ist ein systembedingtes Rauschen vorgesehen, das an Rauscheingangskanälen 4 anliegt und das auch als Vektor bzw. Matrix NOISE bezeichnet wird. Eine Matrix NOISE liegt dann wor, wenn das Rauschen mit mehreren Kanälen berücksichtigt wird, wobei jede Spalte der Matrix NOISE einen Vektor von Rauschwerten enthält, die an einem Rauschein- gangskanal anliegen.The system is described by a system model 1, indicated as a box, which describes the system behavior. The system behavior results from the input channels 2, which are also referred to as vector INPUT, and from the output channels 3, which are also referred to as OUTPUT. Furthermore, system-related noise is provided, which is present at noise input channels 4 and which is also referred to as vector or matrix NOISE. A matrix NOISE is present when the noise with multiple channels is taken into account, each column of the matrix NOISE containing a vector of noise values which are present on a noise input channel.
Das Rauschen an den Rauscheingangskanälen 4 wird vorzugsweise als rauschbedingte Veränderung des Systemmodells 1 aufgefaßt .The noise at the noise input channels 4 is preferably interpreted as a noise-related change in the system model 1.
Das Verhalten der Eingangskanäle 2 und der Ausgangskanäle 3 kann durch ein System von Differentialgleichungen oder durch ein System von Algebro-Differentialgleichungen be- schrieben werden, so daß zuverlässige Vorhersagen des Systemverhaltens möglich sind.The behavior of the input channels 2 and the output channels 3 can be determined by a system of differential equations or by a system of algebro differential equations. be written so that reliable predictions of the system behavior are possible.
Zu jedem Zeitschritt der Simulation des in Figur 1 gezeig- ten Systems wird für einen an den Eingangskanälen 2 anliegenden Vektor INPUT und für einen an den Rauscheingangskanälen 4 anliegenden Vektor NOISE ein Vektor OUTPUT der Ausgangskanäle 3 berechnet.At each time step of the simulation of the system shown in FIG. 1, a vector OUTPUT of the output channels 3 is calculated for a vector INPUT present on the input channels 2 and for a vector NOISE present on the noise input channels 4.
Sinnvollerweise werden zur Simulation über einen längeren Zeitraum die Vektoren INPUT, OUTPUT, NOISE als Matrix angegeben, wobei je eine Spalte k der betreffenden Matrix die Werte der entsprechenden Zeitreihe des betreffenden INPUT, OUTPUT, NOISE enthält.The vectors INPUT, OUTPUT, NOISE are expediently given as a matrix for the simulation over a longer period of time, each column k of the matrix in question containing the values of the corresponding time series of the INPUT, OUTPUT, NOISE in question.
Figur 2 veranschaulicht, wie man zu je einem Vektor _k gelangt, der eine Spalte k der Matrix NOISE für die Rauscheingangskanäle 4 des Systemmodells 1 bildet. Jeder Vektor γk dient zur Simulation einer Rauschquelle.FIG. 2 illustrates how each vector _ k is obtained , which forms a column k of the NOISE matrix for the noise input channels 4 of the system model 1. Each vector γ k is used to simulate a noise source.
In einem ersten Schritt wird ein gewünschter Spektralwert ß sowie die Intensitätskonstante const festgelegt. Weiterhin wird der Zähler n des aktuellen Simulations- Zeitintervalls auf 0 gesetzt.In a first step, a desired spectral value β and the intensity constant const are determined. Furthermore, the counter n of the current simulation time interval is set to 0.
Nun wird sukzessive für jeden Simulations-Zeitschritt die folgende Abfolge von Rechenschritten durchgeführt.Now the following sequence of calculation steps is carried out successively for each simulation time step.
Zunächst wird der aktuelle Simulations-Zeitschritt festge- legt. Äquivalent hierzu kann auch das Ende des aktuellen Simulationszeitschritts festgelegt werden, wodurch sich der nächste BetrachtungsZeitpunkt ergibt. 19First the current simulation time step is defined. Equivalently, the end of the current simulation time step can also be specified, which results in the next observation time. 19
Danach wird der Zähler n des aktuellen Simulationszeitschritts um eins hochgezählt.The counter n of the current simulation time step is then incremented by one.
Anschließend wird die Covarianzmatrix der Dimension (n x n) nach Gleichung (3.6) bestimmt.The covariance matrix of dimension (n x n) is then determined according to equation (3.6).
Hierauf folgt der Schritt des Invertierens der Matrix C, beispielsweise mittels einer Cholesky-Zerlegung. Zur Steigerung der Effizienz kann dabei auch auf die inverse Ma- trix des vorherigen Schrittes zugegriffen werden, beispielsweise bei Verwendung von Schurkomplement-Techniken.This is followed by the step of inverting the matrix C, for example by means of a Cholesky decomposition. To increase efficiency, the inverse matrix of the previous step can also be accessed, for example when using shear complement techniques.
Als nächstes wird die Größe σ aus der FormelNext, the size σ from the formula
σ = sqrt(l / e(n,n) )σ = sqrt (l / e (n, n))
berechnet, wobei sqrt die Funktion "Quadratwurzel" und wobei e(n,n) das durch (n,n) indizierte Element der invertierten Covarianzmatrix C 1 bezeichnetcalculated, where sqrt denotes the function "square root" and where e (n, n) denotes the element of the inverted covariance matrix C 1 indexed by (n, n)
Außerdem wird ein Wert einer (0, 1) -normalverteilte Zufallsvariable X gezogen und damit der Vektor xk der normalverteilten Zufallszahlen ergänzt. Die gezogene Zufallszahl weist den Erwartungswert 0 und die Varianz 1 auf. Dieser Schritt wird für jede zu simulierende Rauschquelle durchgeführt.In addition, a value of a (0, 1) -normally distributed random variable X is drawn, thus supplementing the vector x k of the normally distributed random numbers. The random number drawn has the expected value 0 and the variance 1. This step is done for each noise source to be simulated.
Des weiteren wird eine Größe μk gebildet. Sie wird aus den ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der inver- tierten Covarianzmatrix C1 und aus der Sequenz von (n-1) 1/f-verteilten Zufallszahlen gebildet, die für die vorausgehenden (n-1) Simulations-Zeitschritte berechnet wurden. 20A size μ k is also formed. It is formed from the first (n - 1) components of the nth row of the inverted covariance matrix C 1 and from the sequence of (n-1) 1 / f-distributed random numbers that are necessary for the preceding (n-1) Simulation time steps were calculated. 20
Hierzu wird gemäß Formel (3.9) vorgegangen. Dieser Schritt wird für jede zu simulierende Rauschquelle k durchgeführt.This is done according to formula (3.9). This step is carried out for each noise source k to be simulated.
Schließlich wird dasjenige Element der Matrix NOISE be- rechnet, dessen Spaltenindex k die zu simulierendeFinally, the element of the NOISE matrix is calculated whose column index k is the one to be simulated
Rauschquelle angibt und dessen Zeilenindex gleich n ist. Hierdurch wird der aktuelle Simulations-Zeitschritt bezeichnet. Das aktuell berechnete Element r(k,n) der Matrix NOISE stellt eine Zufallszahl dar, die zusammen mit den darüberstehenden (n-1) Elementen derselben Spalte k von NOISE einen Vektor γk der Länge n aus 1/f-verteilten Zufallszahlen bildet. Dieser Vektor yk dient zur Simulation einer der Rauschquellen für die ersten n Simulationszeitschritte.Indicates noise source and whose row index is n. This indicates the current simulation time step. The currently calculated element r (k, n) of the NOISE matrix represents a random number which, together with the above (n-1) elements of the same column k of NOISE, forms a vector γ k of length n from 1 / f-distributed random numbers. This vector y k is used to simulate one of the noise sources for the first n simulation time steps.
Jedes Element yk der n-ten Zeile von NOISE wird dann aufgrund der Gleichungen (3.7) -(3.9) aus der letzten Zufallszahl xk des Vektors x und den Größen μ κ und σ bestimmt, und zwar nach folgender Vorschrift:Each element y k of the nth line of NOISE is then determined on the basis of equations (3.7) - (3.9) from the last random number x k of the vector x and the quantities μ κ and σ, according to the following rule:
yk = xk * σ + μ κ.y k = x k * σ + μ κ .
In den Figuren 3 bis 5 sind Ausführungsbeispiele wiedergegeben, die konkrete Berechnungsergebnisse wiedergeben.In the figures 3 to 5 exemplary embodiments are shown, which reflect concrete calculation results.
Der Wert des Spektralwerts ß wird dabei stets als 0.5 angenommen. Der Wert der Intensität const wird willkürlich als 1.0 angenommen. Es werden jeweils drei Zufallszahlen gleichzeitig verarbeitet, entsprechend der Simulation von drei gleichzeitig an separaten Kanälen auf das zu simulierende System einwirkenden Rauschquellen, die jeweils in einem Vektor yk angeordnet sind, wobei k ein ganzzahliger Wert von 1 bis 3 ist. 21The value of the spectral value β is always assumed to be 0.5. The value of the intensity const is arbitrarily assumed to be 1.0. Three random numbers are processed simultaneously, corresponding to the simulation of three noise sources acting simultaneously on separate channels on the system to be simulated, which are each arranged in a vector y k , where k is an integer value from 1 to 3. 21
Figur 3 zeigt anhand ihrer Teilfiguren 3a bis 3f ein Berechnungsbeispiel für einen ersten Simulations-Zeitschritt [t0,tι] = [0,0.5] .FIG. 3 shows a calculation example for a first simulation time step [t 0 , tι] = [0.0.5] on the basis of its partial figures 3a to 3f.
Figur 3a zeigt die Covarianzmatrix C der Dimension lxl zur Erzeugung einer 1/f-verteilten Zufallszahl bei der Simulations-Schrittweite. Q stellt hier nur einen Skalar mit dem Wert 0.70 dar, denn (1,1) - also mit i=j=l - ergibt sich unter Anwendung von Gleichung (3.6) zuFIG. 3a shows the covariance matrix C of dimension lxl for generating a 1 / f-distributed random number in the simulation step size. Q here only represents a scalar with the value 0.70, because (1,1) - i.e. with i = j = l - results from using equation (3.6)
0.5 +1 |0.5 +1 10.5 + 1 10.5 + 10.5 +1 | 0.5 +1 10.5 + 1 10.5 + 1
1.0 - - 'ι -' ι| + tj_! tj + tj tw ^1-1 ^1-11.0 - - 'ι -' ι | + tj_ ! t j + t j t w ^ 1-1 ^ 1-1
+ 0.5''3 + 0.5' 3 - 0 = 0.707106 ...+ 0.5 '' 3 + 0.5 ' 3 - 0 = 0.707106 ...
Figur 3b zeigt die Inverse der Covarianzmatrix C aus Figur 3a, was hier mittels einer nicht näher dargestellten Cho- lesky-Zerlegung erfolgte. Eine Überprüfung von (£ C"1) = (0.707106... 0.707106.. A) ergibt den richtigen Wert 1, was die Richtigkeit des Werts für £(1,1) veranschaulicht.FIG. 3b shows the inverse of the covariance matrix C from FIG. 3a, which was done here by means of a Cholesky decomposition, not shown in any more detail. A check of (£ C "1 ) = (0.707106 ... 0.707106 .. A) gives the correct value 1, which illustrates the correctness of the value for £ (1,1).
Figur 3c zeigt eine Größe σ für den ersten Simulationsschritt n=l . Sie ergibt sich aus der GleichungFIG. 3c shows a quantity σ for the first simulation step n = 1. It results from the equation
σ = sqrt(l / 0.707106... ) ,σ = sqrt (l / 0.707106 ...),
wobei sqrt die Quadratwurzel und e(l,l) das durch (1,1) indizierte Element 0.707106... der invertierten Covarianzmatrix CX1 bezeichnet.where sqrt denotes the square root and e (l, l) the element 0.707106 ... of the inverted covariance matrix CX 1 indexed by (1,1).
Figur 3d zeigt drei Werte Xi, x2, x3 einer (0,1)- normalverteilte Zufallsvariable X für je eine zu simulierende Rauschquelle. Diese Werte bilden die ersten Elemente 22 je eines Vektors xk der normalverteilten Zufallszahlen. Die gezogenen Zufallszahlen weisen den Erwartungswert 0 und die Varianz 1 auf.FIG. 3d shows three values Xi, x 2 , x 3 of a (0,1) - normally distributed random variable X for each noise source to be simulated. These values form the first elements 22 each of a vector x k of the normally distributed random numbers. The random numbers drawn have the expected value 0 and the variance 1.
Figur 3e zeigt drei Größen μk für jede der drei zu simulierenden Rauschquellen. Die Größe μk ergibt sich gemäß Formel (3.9) aus den ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix C= ~1 sowie aus der Sequenz von (n - 1) Stück 1/f-verteilten Zufallszahlen, die für die vorausgehenden (n - 1) Simulations-FIG. 3e shows three variables μ k for each of the three noise sources to be simulated. The size μ k results according to formula (3.9) from the first (n - 1) components of the nth row of the inverted covariance matrix C = ~ 1 and from the sequence of (n - 1) pieces of 1 / f-distributed random numbers, for the previous (n - 1) simulation
Zeitschritte berechnet wurden. Im ersten Simulationsschritt haben diese beiden Vektoren jeweils die Länge 0. Somit ergibt sich für alle Größen μk im ersten Simulationsschritt: μk = 0;Time steps were calculated. In the first simulation step, these two vectors each have a length of 0. This means that for all variables μ k in the first simulation step: μ k = 0;
Figur 3f zeigt drei Vektoren ^k der Länge 1 von 1/f- verteilte Zufallszahlen, die das Verhalten von drei 1/f- verteilten Rauschquellen für den ersten Simulations- Zeitschritt [0, tι]=[0, 0.5] simulieren. Die Matrix NOISE ergibt sich aus den drei Vektoren γk. Der Wert k ist dabei ein ganzzahliger Wert von 1 bis 3. Jedes Element yk der ersten Zeile von NOISE wird aufgrund von Gleichungen (3.7) -(3.9) nach folgender Vorschrift aus der letzten Zufallszahl xk des zugehörigen Vektors x und den Größen μκ und σ \ bestimmt. Beispielhaft wird nachfolgend das erste Element yι(n=l) des ersten Vektors yi berechnet:FIG. 3f shows three vectors ^ k of length 1 of 1 / f distributed random numbers which simulate the behavior of three 1 / f distributed noise sources for the first simulation time step [0, tι] = [0, 0.5]. The matrix NOISE results from the three vectors γ k . The value k is an integer value from 1 to 3. Each element y k of the first line of NOISE is based on equations (3.7) - (3.9) according to the following rule from the last random number x k of the associated vector x and the quantities μ κ and σ \ determined. The first element yι (n = l) of the first vector yi is calculated as an example:
ι(n=l) = xι(n=l) * σ + μ i =ι (n = l) = xι (n = l) * σ + μ i =
= -0.35... * 0.84... + 0.00... = = -0.30...;= -0.35 ... * 0.84 ... + 0.00 ... = = -0.30 ...;
y2(n=l) und y3(n=l) werden analog hierzu berechnet. 23y 2 (n = l) and y 3 (n = l) are calculated analogously. 23
Figur 4 zeigt anhand ihrer Teilfiguren 4a bis 4f ein Berechnungsbeispiel für einen zweiten Simulations- Zeitschritt [tι,t2] = [0.5,0.75]. Der Wert n für den zweiten Simulations-Zeitschritt ist stets gleich 2.FIG. 4 shows a calculation example for a second simulation time step [tι, t 2 ] = [0.5,0.75] on the basis of its sub-figures 4a to 4f. The value n for the second simulation time step is always 2.
Figur 4a zeigt die Covarianzmatrix Q der Dimension (n x n) = 2x2, die zur Erzeugung je einer weiteren Zufallszahl pro Rauschquelle benötigt wird. Die so neu erzeugte Zufallszahl bildet zusammen mit dem Resultat gemäß Figur 3f einen Vektor k der Länge 2 aus 1/f-verteilten Zufallszahlen. Je Rauschquelle wird dabei ein Vektor k erzeugt. Die Covarianzmatrix C wird dabei nach Gleichung (3.6) bestimmt.FIG. 4a shows the covariance matrix Q of dimension (nxn) = 2x2, which is required to generate a further random number per noise source. The newly generated random number together with the result according to FIG. 3f forms a vector k of length 2 from 1 / f-distributed random numbers. A vector k is generated for each noise source. The covariance matrix C is determined according to equation (3.6).
Beispielhaft wird dies am Element £(2,1) - also mit i=2 und j=l - durchgeführt. Unter Anwendung von Gleichung (3.6) ergibt sich C(2,l) zuAs an example, this is carried out on the element £ (2,1) - ie with i = 2 and j = l. Using equation (3.6) we get C (2, l)
0.5 +1 | j o.5 +ι | 10.5 + 1 | 10.5 +10.5 +1 | j o.5 + ι | 10.5 + 1 | 10.5 +1
1.0- - ~r "•" \ -ι ~^2\ "*" | *ι — Ai I — I n-i ~A-ι |1.0- - ~ r " • " \ -ι ~ ^ 2 \ " * " | * ι - Ai I - I ni ~ A-ι |
= ( - |0.5 - 0.75 |°-5 +1 + |0- 0.75 |α5 +1 + | 0.5 -0.5 | 5 +1 - | 0 - 0.5 |°'5 +1) == (- | 0.5 - 0.75 | ° - 5 +1 + | 0- 0.75 | α5 +1 + | 0.5 -0.5 | 5 +1 - | 0 - 0.5 | ° '5 +1 ) =
- 0.125 + 0.6495.. + 0 - 0.3535... = 0.1709.- 0.125 + 0.6495 .. + 0 - 0.3535 ... = 0.1709.
Figur 4b zeigt die Inverse der Covarianzmatrix Q aus Figur 4a. Eine hier nicht dargestellte Überprüfung der Bedingung {Q C_1) ergibt eine Matrix der Dimension 2x2, bei der die mit (1,1) und (2,2) indizierten Elemente gleich 1 sind. Die anderen Elemente haben den Wert 0.FIG. 4b shows the inverse of the covariance matrix Q from FIG. 4a. A check of the condition { QC_1 ), not shown here, yields a matrix of dimension 2x2, in which the elements indexed with (1,1) and (2,2) are equal to 1. The other elements have the value 0.
Figur 4c zeigt eine Größe σ , die aus der invertierten Covarianzmatrix C-1 von Schritt 4b berechnet wird. Die Größe σ ergibt sich alsFIG. 4c shows a quantity σ which is calculated from the inverted covariance matrix C -1 from step 4b. The size σ results as
σ = sqrt(l / e(n,n)) = sqrt(l / e(2,2)) =σ = sqrt (l / e (n, n)) = sqrt (l / e (2,2)) =
= sqrt(l / 4.79...) = 0.45...; 24= sqrt (l / 4.79 ...) = 0.45 ...; 24
wobei sqrt die Quadratwurzel und e(2,2) das durch (2,2) indizierte Element der invertierten Covarianzmatrix X1 aus Figur 4b bezeichnen.where sqrt denote the square root and e (2.2) the element of the inverted covariance matrix X 1 from FIG. 4b indexed by (2.2).
Figur 4d zeigt drei Vektoren xk von unabhängigen (0,1)- normalverteilte Zufallszahlen, wobei die Vektoren xk jeweils die Länge 2 haben. Pro zu simulierender Rauschquelle wird eine (0, 1) -normalverteilte Zufallsvariable xk gezo- gen. Die gezogene Zufallszahl weist jeweils den Erwartungswert 0 und die Varianz 1 auf. Damit werden die Vektoren xk der normalverteilten Zufallszahlen aus Figur 3d ergänzt, so daß sich die Vektoren xk der normalverteilten Zufallszahlen aus Figur 4d ergeben.FIG. 4d shows three vectors x k of independent (0.1) - normally distributed random numbers, the vectors x k each having a length of 2. One (0, 1) -normally distributed random variable x k is drawn for each noise source to be simulated. The random number drawn has the expected value 0 and the variance 1. The vectors x k of the normally distributed random numbers from FIG. 3d are thus supplemented, so that the vectors x k of the normally distributed random numbers from FIG. 4d result.
Figur 4e zeigt drei Größen μk, die aus der invertierten Covarianzmatrix C-1 gemäß Schritt 4b und aus den drei Zufallszahlen gemäß Schritt 3f berechnet worden sind. Für jede zu simulierende Rauschquelle wird die Größe μk aus den (n - 1) ersten Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix ζT1 und aus der Sequenz von (n-1) Stück 1/f-verteilten Zufallszahlen berechnet, die gemäß Formel (3.9) für die vorausgegangenen (n - 1) Simulations- Zeitschritte berechnet wurden. Im zweiten Simulations Schritt wird die Größe μk also aus der ersten Komponente der zweiten Zeile von f1 sowie aus der ersten Komponente des Vektors yk berechnet. Beispielhaft wird dies anhand des Werts μi durchgeführt:FIG. 4e shows three variables μ k which have been calculated from the inverted covariance matrix C -1 according to step 4b and from the three random numbers according to step 3f. For each noise source to be simulated, the size μ k is calculated from the (n - 1) first components of the nth row of the inverted covariance matrix ζT 1 and from the sequence of (n-1) pieces of 1 / f-distributed random numbers, which according to Formula (3.9) for the previous (n - 1) simulation time steps were calculated. In the second simulation step, the size μ k is thus calculated from the first component of the second line of f 1 and from the first component of the vector y k . This is carried out using the value μi as an example:
25 25
- 0.30... • - -1.15...- 0.30 ... • - -1.15 ...
4.79...4.79 ...
= -0 . 07 . . . ;= -0. 07. , , ;
Figur 4f zeigt drei Vektoren yk der Länge 2 mit 1/f-verteilten Zufallszahlen, die das Verhalten von drei 1/f-verteilten Rauschquellen für den zweiten Simulations- Zeitschritt [ti, t2] = [0.5, 0.75] simulieren. Die Matrix NOISE ergibt sich aus den drei Vektoren γk. Der Wert k ist dabei ein ganzzahliger Wert von 1 bis 3. Jedes Element yk der zweiten Zeile von NOISE wird aufgrund der Gleichungen (3.7) -(3.9) nach folgender Vorschrift aus der letzten Zufallszahl xk des zugehörigen Vektors x und den Größen μk und σ bestimmt. Beispielhaft wird nachfolgend das zweite Element ^x(n=2) des ersten Vektors yi berechnet:FIG. 4f shows three vectors y k of length 2 with 1 / f-distributed random numbers which simulate the behavior of three 1 / f-distributed noise sources for the second simulation time step [ti, t 2 ] = [0.5, 0.75]. The matrix NOISE results from the three vectors γ k . The value k is an integer value from 1 to 3. Each element y k of the second line of NOISE is based on equations (3.7) - (3.9) according to the following rule from the last random number x k of the associated vector x and the quantities μ k and σ are determined. The second element ^ x (n = 2) of the first vector yi is calculated as an example:
^ι(n=2) = xι(n=2) * σ + μ i = = 0.39... * 0. 45. . . - 0.07... = = 0.10... ;^ ι (n = 2) = xι (n = 2) * σ + μ i = = 0.39 ... * 0. 45.. , - 0.07 ... = = 0.10 ...;
Figur 5 zeigt anhand ihrer Teilfiguren 5a bis 5f ein Berechnungsbeispiel für einen dritten Simulations- Zeitschritt [t2, t3] = [0.75, 1.25] . Der Wert n während des dritten Simulations-Zeitschritts ist stets gleich 3.FIG. 5 shows a calculation example for a third simulation time step [t 2 , t 3 ] = [0.75, 1.25] on the basis of its sub-figures 5a to 5f. The value n during the third simulation time step is always 3.
Figur 5a zeigt die Covarianzmatrix Q der Dimension (n x n) = 3x3, die zur Erzeugung je einer weiteren Zufallszahl pro Rauschquelle benötigt wird. Die so neu erzeugte Zufallszahl bildet zusammen mit dem Resultat gemäß Figur 4f einen Vektor yk der Länge 3 aus 1/f-verteilten Zufallszah- len. Je Rauschquelle wird dabei ein Vektor γk erzeugt. Die Covarianzmatrix £ wird dabei nach Gleichung (3.6) bestimmt . 26FIG. 5a shows the covariance matrix Q of dimension (nxn) = 3x3, which is required to generate a further random number per noise source. The newly generated random number together with the result according to FIG. 4f forms a vector y k of length 3 from 1 / f-distributed random numbers. A vector γ k is generated for each noise source. The covariance matrix £ is determined according to equation (3.6). 26
Beispielhaft wird dies am Element C(3,l) - also mit i=3 und j=l - durchgeführt. Unter Anwendung von Gleichung (3.6) ergibt sich C(3,l) zuFor example, this is carried out on element C (3, l) - that is, with i = 3 and j = l. Using equation (3.6) we get C (3, l)
0.5 +1 10.5 +1 10.5 + 1 10.5 +10.5 +1 10.5 +1 10.5 + 1 10.5 +1
1.0 t! - t ; + t 1-1 -t + t- 1 ^3-l ^1-1 ^3-l1.0 t ! - t ; + t 1-1 -t + t- 1 ^ 3 -l ^ 1-1 ^ 3 -l
|0.5 - 1.25 lα5+1 + 10-1.25 |°-5+1 + I 0.5 -0.75 | 5+1 - I 0 - 0.75 |°'5+1 | 0.5 - 1.25 l α5 + 1 + 10-1.25 | ° - 5 + 1 + I 0.5 -0.75 | 5 + 1 - I 0 - 0.75 | ° '5 + 1
- 0,6495... + 1.3975.. + 0.125 0.6495... = 0.22 ..- 0.6495 ... + 1.3975 .. + 0.125 0.6495 ... = 0.22 ..
Figur 5b zeigt die Inverse X1 der Covarianzmatrix C aus Figur 5a. Eine hier nicht dargestellte Überprüfung der Bedingung (£ C""1) ergibt eine Matrix der Dimension 3x3, bei der die mit (1,1), (2,2) und (3,3) indizierten Elemente gleich 1 sind. Die anderen elemente haben den Wert 0.FIG. 5b shows the inverse X 1 of the covariance matrix C from FIG. 5a. A check of the condition (£ C "" 1 ), not shown here, yields a matrix of the dimension 3x3, in which the elements indexed with (1,1), (2,2) and (3,3) are equal to 1. The other elements have the value 0.
Figur 5c zeigt eine Größe σ , die aus der invertierten Covarianzmatrix C_1 von Schritt 5b berechnet wird. Die Größe σ ergibt sich alsFIG. 5c shows a quantity σ which is calculated from the inverted covariance matrix C_1 from step 5b. The size σ results as
σ = sqrt(l / e(n,n)) = sqrt(l / e(3,3)) = = sqrt(l / 1.75...) = 0.75...;σ = sqrt (l / e (n, n)) = sqrt (l / e (3,3)) = = sqrt (l / 1.75 ...) = 0.75 ...;
wobei sqrt die Quadratwurzel und e(3,3) das durch (3,3) indizierte Element der invertierten Covarianzmatrix C1 aus Figur 5b bezeichnen.where sqrt denotes the square root and e (3,3) the element of the inverted covariance matrix C 1 from FIG. 5b indexed by (3,3).
Figur 5d zeigt drei Vektoren xk von unabhängigen (0,1)- normalverteilte Zufallszahlen, wobei die Vektoren Xk jeweils die Länge 3 haben. Pro zu simulierender Rauschquelle wird eine (0, 1) -normalverteilte Zufallsvariable xk gezo- gen. Die gezogene Zufallszahl weist jeweils den Erwartungswert 0 und die Varianz 1 auf. Damit werden die Vekto- 27 ren xk der normalverteilten Zufauszahlen aus Figur 4d ergänzt, so daß sich die Vektoren xk der normalverteilten Zufallszahlen aus Figur 5d ergeben.FIG. 5d shows three vectors x k of independent (0.1) - normally distributed random numbers, the vectors X k each having a length of 3. One (0, 1) -normally distributed random variable x k is drawn for each noise source to be simulated. The random number drawn has the expected value 0 and the variance 1. The vector 27 ren x k of the normally distributed random numbers from FIG. 4d supplemented, so that the vectors x k of the normally distributed random numbers from FIG. 5d result.
Figur 5e zeigt drei Größen μk, die aus der invertierten Covarianzmatrix C1 gemäß Schritt 5b und aus den drei Zufallszahlen gemäß Schritt 4f berechnet worden sind. Für jede zu simulierende Rauschquelle wird die Größe μk aus den (n-1) ersten Komponenten der n-ten Zeile der inver- tierten Covarianzmatrix C_1 und aus der Sequenz von (n-1) Stück 1/f-verteilten Zufallszahlen berechnet, die gemäß Formel (3.9) für die vorausgegangenen (n - 1) Simulations- Zeitschritte berechnet wurden. Im zweiten Simulationsschritt wird die Größe μk also aus der ersten beiden Kom- ponenten der dritten Zeile von C. -1 sowie aus den ersten beiden Komponenten des Vektors yk berechnet. Beispielhaft wird dies anhand des Werts μi durchgeführt:FIG. 5e shows three variables μ k which have been calculated from the inverted covariance matrix C 1 according to step 5b and from the three random numbers according to step 4f. For each noise source to be simulated, the quantity μ k is calculated from the (n-1) first components of the nth line of the inverted covariance matrix C _1 and from the sequence of (n-1) pieces of 1 / f-distributed random numbers, which were calculated according to formula (3.9) for the previous (n - 1) simulation time steps. In the second simulation step size μ k is thus from the first two com- ponents of the third row of C. -1 and calculated from the first two components of the vector y k . This is carried out using the value μi as an example:
-0.30... • -0.31... + 0.10... • -0.98-0.30 ... • -0.31 ... + 0.10 ... • -0.98
1.75....1.75 ....
= - 0.00... ;= - 0.00 ...;
Figur 5f zeigt drei Vektoren y der Länge 3 mit 1/f-verteilten Zufallszahlen, die das Verhalten von drei 1/f-verteilten Rauschquellen für den dritten Simulations- Zeitschritt [t2, t3] = [0.75, 1.25] simulieren. Die Matrix NOISE ergibt sich aus den drei Vektoren yk. Der Wert k ist dabei ein ganzzahliger Wert von 1 bis 3. Jedes Element yk(n=3) der dritten Zeile von NOISE wird aufgrund der Gleichungen (3.7) -(3.9) nach folgender Vorschrift aus der 28 letzten Zufallszahl xk(n=3) des zugehörigen Vektors x und den Größen μk und σ bestimmt. Beispielhaft wird nachfolgend das dritte Element yχ(n=3) des ersten Vektors ι berechnet:FIG. 5f shows three vectors y of length 3 with 1 / f-distributed random numbers, which simulate the behavior of three 1 / f-distributed noise sources for the third simulation time step [t 2 , t 3 ] = [0.75, 1.25]. The matrix NOISE results from the three vectors y k . The value k is an integer value from 1 to 3. Each element y k (n = 3) of the third line of NOISE is based on the equation (3.7) - (3.9) from the following 28 last random number x k (n = 3) of the associated vector x and the quantities μ k and σ. As an example, the third element yχ (n = 3) of the first vector ι is calculated below:
yι(n=3) = xι(n=3) * σ + μ \ =yι (n = 3) = xι (n = 3) * σ + μ \ =
= -0.90... * 0.75... + 0.00... = = 0.67... ;= -0.90 ... * 0.75 ... + 0.00 ... = = 0.67 ...;
Zur konkreten Ausführung der gezeigten Berechnungsbeispiele sind noch folgende Bedingungen zu beachten.The following conditions must also be observed for the specific execution of the calculation examples shown.
Die in den Figuren 3, 4 und 5 gezeigten Zahlenwerte geben Zwischen- und Endergebnisse der mit Bezug auf Figur 2 beschriebenen Rechenschritte für ein erstes, für ein zweites und für ein drittes Simulationsintervall wieder. Dabei wurden alle Werte nach genauer numerischer Berechnung nach der zweiten Kommastelle abgebrochen, um diese besser wie- dergeben zu können. Bei einem rechnerischen Nachvollziehen der Ausführungsbeispiele muß daher nicht mit den in den Figuren gezeigten Zwischenwerten, sondern mit den exakten Zwischenwerten weitergerechnet werden, um ausgehend von den angegebenen x-Vektoren zu den angegebenen y-Vektoren zu gelangen.The numerical values shown in FIGS. 3, 4 and 5 show intermediate and final results of the calculation steps described with reference to FIG. 2 for a first, for a second and for a third simulation interval. After a precise numerical calculation, all values were canceled after the second decimal place in order to be able to reproduce this better. When the exemplary embodiments are mathematically reproduced, it is therefore not necessary to continue calculating with the intermediate values shown in the figures, but with the exact intermediate values in order to arrive at the specified y vectors from the specified x vectors.
In den Figuren 3c, 4c und 5c sind jeweils Vektoren von (0, 1) -normalverteilten Zufallsvariablen gezeigt. Dabei stellt jeweils eine Zufallsvariable eine Rauschquelle dar. Hier wird der Einfachheit halber nicht dargestellt, wie man zu solchen Zufallszahlen mit dem Erwartungswert 0 und der Varianz 1 gelangt. Dies ist dem Fachmann geläufig. 29 3c, 4c and 5c each show vectors of (0, 1) -normally distributed random variables. A random variable represents a noise source. For the sake of simplicity, it is not shown here how to arrive at such random numbers with the expected value 0 and the variance 1. This is familiar to the person skilled in the art. 29

Claims

30 Patentansprüche 30 claims
1. Verfahren zum Erzeugen wenigstens einer Folge von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens, das die folgenden Schritte aufweist:1. A method for generating at least one sequence of random numbers of a 1 / f noise, which comprises the following steps:
Bestimmen eines gewünschten Spektralwerts ß, Bestimmen der Anzahl der zu erzeugenden Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens,Determining a desired spectral value β, determining the number of random numbers of a 1 / f noise to be generated,
Bestimmen einer Intensitätskonstante const, - Festlegen eines Startwerts für eine Laufvariable n, wobei solange, bis die gewünschte Anzahl von Elementen y(n) eines Vektor y der Länge n aus 1/f-verteilten Zufallszahlen berechnet ist, das schleifenartige Wiederholen der folgenden Schritte vorgesehen ist: - Erhöhen des aktuellen Werts der Laufvariable n umDetermination of an intensity constant const, - Definition of a start value for a run variable n, whereby until the desired number of elements y (n) of a vector y of length n is calculated from 1 / f-distributed random numbers, the loop-like repetition of the following steps is provided is: - Increase the current value of the run variable n by
1,1,
Festlegen eines Simulationszeitschritts [tn-ι; tn] , Bestimmen der Elemente Cj.j einer Covarianzmatrix £ der Dimension (n x n) nach der folgenden Vor- schrift:Specifying a simulation time step [t n -ι; t n ], determining the elements Cj .j of a covariance matrix £ of dimension (nxn) according to the following rule:
C : = const • i, / = !,..., nC: = const • i, / =!, ..., n
Bestimmen einer Matrix (T1 durch Invertieren der Covarianzmatrix £, - Bestimmen einer Größe σ gemäß der Vorschrift σ = sqrt(l / e(n,n) ), wobei sqrt die Funktion "Quadratwurzel" und wobei e(n,n) das durch (n,n) indizierte Element der invertierten Covarianzmatrix Cf1 bezeichnet, - Bestimmen einer (0, 1) -normalverteilten Zufallszahl, die die n-te Komponente eines Vektors x der Länge n bildet, 31 Bilden einer Größe μ aus den ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix C= ~1 und den (n-1) Elementen des Vektors y, die für einen vorausgehenden (n-1) Simula- tions-Zeitschritt berechnet wurden, und zwar gemäß der folgenden Vorschrift:Determine a matrix (T 1 by inverting the covariance matrix £, - Determine a size σ according to the specification σ = sqrt (l / e (n, n)), where sqrt is the function "square root" and where e (n, n) is denoted by (n, n) indexed element of the inverted covariance matrix Cf 1 , - determining a (0, 1) -normally distributed random number which forms the nth component of a vector x of length n, 31 Form a quantity μ from the first (n - 1) components of the nth row of the inverted covariance matrix C = ~ 1 and the (n-1) elements of the vector y, for a preceding (n-1) simulation -Time step were calculated according to the following rule:
wobei y -ύ die ersten (n - 1) Komponenten des Vektors y bezeichnet, wobei C die ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Cova- rianzmatrix C bezeichnet und wobei = Cn, n das mit where y -ύ denotes the first (n - 1) components of the vector y, where C denotes the first (n - 1) components of the nth row of the inverted covariance matrix C and where = Cn, n denotes the
(n,n) indizierte Element der invertierten Covarianzmatrix C_1 bezeichnet,(n, n) denotes the indexed element of the inverted covariance matrix C _1 ,
Berechnen eines Element y(n) eines Vektor y_ der Länge n aus 1/f-verteilten Zufallszahlen nach folgender Vorschrift:Calculate an element y (n) of a vector y_ of length n from 1 / f-distributed random numbers according to the following rule:
Y(n) = x(n) * σ + μY (n) = x (n) * σ + μ
2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß q Folgen von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens gleichzeitig berechnet werden, wobei anstelle der folgenden gemäß Anspruch 1 schleifenartig zu wiederholenden Schritte: - Bestimmen einer (0, 1) -normalverteilten Zufallszahl, die die n-te Komponente eines Vektors x der Länge n bildet,2. The method according to claim 1, characterized in that q sequences of random numbers of a 1 / f noise are calculated simultaneously, wherein instead of the following steps to be repeated according to claim 1: - Determining a (0, 1) -normally distributed random number, the forms the nth component of a vector x of length n,
Bilden einer Größe μ aus den ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianz- matrix C_1 und den (n-1) Elementen des Vektors y;, 32 die für einen vorausgehenden (n-1) Simulations- Zeitschritt berechnet wurden, und zwar gemäß der folgenden Vorschrift:Form a quantity μ from the first (n - 1) components of the nth line of the inverted covariance matrix C _1 and the (n-1) elements of the vector y ;, 32 which were calculated for a preceding (n-1) simulation time step, in accordance with the following rule:
wobei y> _ή die ersten (n - 1) Komponenten des Vektors y bezeichnet, wobei C~ die ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Cova- rianzmatrix —C~ 1 bezeichnet und wobei das mit where y> _ ή denotes the first (n - 1) components of the vector y, where C ~ denotes the first (n - 1) components of the nth row of the inverted covariance matrix —C ~ 1 and where that with
(n,n) indizierte Element der invertierten Covari- anzmatrix (X1 bezeichnet,(n, n) indexed element of the inverted covariance matrix (X 1 denotes
Berechnen eines Element y(n) eines Vektor y der Länge n aus 1/f-verteilten Zufallszahlen nach folgender Vorschrift:Calculate an element y (n) of a vector y of length n from 1 / f-distributed random numbers according to the following rule:
Y(n) = x(n) * σ + μY (n) = x (n) * σ + μ
folgenden Schritte vorgesehen sind:the following steps are provided:
Bestimmen von q Stück (0, 1) -normalverteilte Zufallszahlen xit(I1, die die jeweils letzte Komponente der Vektoren xk der Länge n bilden, wobei k = 1, ... , q,Determination of q pieces (0, 1) -normally distributed random numbers xit (I1 , which form the last component of the vectors x k of length n, where k = 1, ..., q,
Bilden von q Größen μk gemäß der folgenden Vorschrift:Formation of q sizes μ k according to the following rule:
wobei y -ι),k ^Le ersten (n - 1) Komponenten des where y -ι ), k ^ Le first (n - 1) components of the
Vektors y bezeichnet, die für einen vorausgehenden Simulations-Zeitschritt berechnet wurden. C~ be- zeichnet die ersten (n - 1) Komponenten n-ten Zeile 33 der invertierten Covarianzmatrix C"1 und = CB, B be- zeichnet das mit (n,n) indizierte Element der invertierten Covarianzmatrix X1. Dies wird für k = 1, ... , q durchgeführt. - Berechnen von q Elementen yk,n die die jeweils n-te Komponente des Vektors k der Länge n aus 1/f- verteilten Zufallszahlen bilden, und zwar nach folgender Vorschrift:Designates vector y, which were calculated for a preceding simulation time step. C ~ denotes the first (n - 1) components nth line 33 of the inverted covariance matrix C "1 and = CB, B denotes the element of the inverted covariance matrix X 1 indicated with (n, n). This is carried out for k = 1, ..., q. - Calculate q elements y k , n, which form the nth component of the vector k of length n from 1 / f distributed random numbers, according to the following rule:
yk,n = X,n * σ + μy k , n = X, n * σ + μ
wobei k = 1, ... , q.where k = 1, ..., q.
3. Verfahren zur Simulation eines technischen Systems, das einem 1/f-Rauschen unterliegt, bei dem bei der Modellierung und/oder bei der Festlegung der an Eingangskanälen des Systems anliegenden Größen Zufallszahlen verwendet werden, die nach einem Verfahren gemäß den vorhergehenden Ansprüchen bestimmt worden sind.3. A method for simulating a technical system which is subject to a 1 / f noise, in which random numbers are used in the modeling and / or in the determination of the variables present on input channels of the system, which numbers have been determined by a method according to the preceding claims are.
4. Computerprogramm zur Bestimmung von Folgen von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens, das so ausgebildet ist, daß ein Verfahren gemäß einem der vorhergehenden Ansprüche ausführbar ist.4. Computer program for determining sequences of random numbers of a 1 / f noise, which is designed such that a method according to one of the preceding claims can be carried out.
5. Datenträger mit einem Computerprogramm nach Anspruch 4.5. Data carrier with a computer program according to claim 4.
6. Verfahren, bei dem ein Computerprogramm nach Anspruch 4 aus einem elektronischen Datennetz wie beispielsweise aus dem Internet auf einen an das Datennetz angeschlossenen Computer heruntergeladen wird. 346. The method in which a computer program according to claim 4 is downloaded from an electronic data network, such as from the Internet, to a computer connected to the data network. 34
7. Computersystem, auf dem ein Verfahren zur Bestimmung von Folgen von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens nach einem der Ansprüche 1 bis 3 ausführbar ist. 7. Computer system on which a method for determining sequences of random numbers of a 1 / f noise according to one of claims 1 to 3 can be carried out.
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