DE19938197A1 - Verfahren zur Schlüsselvereinbarung für eine Gruppe von mindestens drei Teilnehmern - Google Patents

Verfahren zur Schlüsselvereinbarung für eine Gruppe von mindestens drei Teilnehmern

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    • H04L9/0816—Key establishment, i.e. cryptographic processes or cryptographic protocols whereby a shared secret becomes available to two or more parties, for subsequent use
    • H04L9/0838—Key agreement, i.e. key establishment technique in which a shared key is derived by parties as a function of information contributed by, or associated with, each of these
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Abstract

Das Verfahren basiert auf einer öffentlich bekannten mathematischen Zahlengruppe (G) und einem Element der Gruppe g DOLLAR I1 G großer Ordnung. DOLLAR A Im ersten Arbeitsschritt wird von jedem Teilnehmer Ti eine erste Zufallszahl z1i erzeugt und eine Nachricht der Form Ni: = g z1i mod p an alle anderen Teilnehmer gesendet. Im zweiten Arbeitschritt wählt jeder Teilnehmer Ti eine zweite Zufallszahl z2i und berechnet für jede empfangene Nachricht (Nj) die Zahl Mji: = (Nj) z2i mod p und sendet sie teilnehmerbezogen zurück. Im dritten Arbeitsschritt ermittelt jeder Teilnehmer Ti zunächst die Werte (Lj) und (Li) gemäß Lj: = Mij z1i* mod p = g z2j mod p für j C i und Li: = g z2i mod p und danach den gemeinsamen Schlüssel k nach der Funktion k: = f(L1, L2, ..., Ln), wobei f eine Funktion ist, die in ihren Argumenten symmetrisch ist. Die Erfindung läßt sich vorteilhaft zur Erzeugung eines kryptographischen Schlüssels für eine Gruppe von mindestens drei Teilnehmern einsetzen.

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Vereinbarung eines gemeinsamen Schlüssels für eine Gruppe von mindestens drei Teilnehmern gemäß dem Oberbegriff des unab­ hängigen Anspruchs. Verschlüsselungsverfahren in vielfältiger Art gehören zum Stand der Technik und haben zunehmend kommerzielle Bedeutung. Sie werden dazu einge­ setzt, Nachrichten über allgemein zugängliche Übertragungsmedien zu übertragen, wo­ bei aber nur die Besitzer eines Krypto-Schlüssels diese Nachrichten im Klartext lesen können.
Ein bekanntes Verfahren zur Etablierung eines gemeinsamen Schlüssels über unsichere Kommunikationskanäle ist z. B. das Verfahren von W. Diffie und W. Hellmann (siehe DH-Verfahren W. Diffie und M. Hellmann, siehe New Directions in Cryptography, IEEE Transaction on Information Theory, IT-22(6): 644-654, November 1976). Grundlage des DH-Schlüsselaustauschs ist die Tatsache, daß es praktisch unmöglich ist, Logarithmen modulo einer großen Primzahl p zu berechnen. Dies machen sich Alice und Bob in dem unten abgebildeten Beispiel zunutze, indem sie jeweils eine Zahl x bzw. y kleiner als p (und teilerfremd zu p - 1) geheim wählen. Dann senden sie sich (nacheinander oder gleichzeitig) die x-te (bzw. y-te) Potenz modulo p einer öffentlich bekannten Zahl α zu. Aus den empfangenen Potenzen können sie durch erneutes Poten­ zieren modulo p mit x bzw. y einen gemeinsamen Schlüssel K: = αxy mod p berechnen. Ein Angreifer, der nur αx mod p und αy mod p sieht, kann daraus K nicht berechnen. (Die einzige heute bekannte Methode dazu bestünde darin, zunächst den Logarithmus z. B. von αx zur Basis α modulo p zu berechnen, und dann αy damit zu potenzieren.)
Beispiel für Diffie-Hellmann-Schlüsselaustausch
Das Problem beim DH-Schlüsselaustausch besteht darin, daß Alice nicht weiß, ob sie tatsächlich mit Bob kommuniziert, oder mit einem Betrüger. In den IPSec-Standards der Internet Engineering Task Force (IETF RFC 2412: The OAKLEY Key Determination Protocol) wird dieses Problem durch den Einsatz von Public-Key-Zertifikaten gelöst, in denen durch eine vertrauenswürdige Instanz die Identität eines Teilnehmers mit einem öffentlichen Schlüssel verknüpft wird. Dadurch wird die Identität eines Gesprächspart­ ners überprüfbar.
Der DH-Schlüsselaustausch kann auch mit anderen mathematischen Strukturen reali­ siert werden, z. B. mit endlichen Körpern GF (2n) oder elliptischen Kurven. Mit diesen Alternativen kann man die Performance verbessern. Dieses Verfahren ist allerdings nur zur Vereinbarung eines Schlüssels zwischen zwei Teilnehmern geeignet.
Es wurden verschiedene Versuche unternommen, das DH-Verfahren auf drei oder mehr Teilnehmer zu erweitern (Gruppen DH). Einen Überblick über den Stand der Technik bietet M. Steiner, G. Tsudik, M. Waidner in Diffie-Hellmann Key Distribution Extened to Group Communication, Proc. 3rd ACM Conference an Computer and Communica­ tions Security, März 1996, Neu Delhi, Indien.
Eine Erweiterung des DH-Verfahrens auf Teilnehmer A, B und C wird z. B. durch nachfolgende Tabelle beschrieben (Berechnung jeweils mod p):
Nach Durchführung dieser beiden Runden kann jeder der Teilnehmer den geheimen Schlüssel gabc mod p berechnen.
Weiterhin ist eine Lösung aus Burmester, Desmedt, A secure and efficient conference key distribution system, Proc. EUROCRYPT'94, Springer LNCS, Berlin 1994 bekannt, bei der zwei Runden zur Generierung des Schlüssels benötigt werden, wobei in der zweiten Runde durch die Zentrale für n Teilnehmer n Nachrichten der Länge p (= ca. 1000 Bit) gesendet werden müssen.
Bei allen diesen Erweiterungen tritt mindestens eines der folgenden Probleme auf:
  • - Die Teilnehmer müssen in einer bestimmten Art und Weise geordnet sein, im obi­ gen Beispiel z. B. als Kreis, d. h. eine Struktur der Teilnehmergruppe muß vorher bekannt sein.
  • - Die Rundenzahl ist abhängig von der Teilnehmerzahl.
Diese Verfahren sind aus den o. g. Gründen in der Regel schwer zu implementieren und sehr rechenaufwendig.
Bekannt ist auch ein als No-Key-Verfahren bezeichnetes kryptographisches Verfahren. Mit einem No-Key-Verfahren kann Teilnehmer A einem Teilnehmer B eine Nachricht vertraulich übermitteln, ohne daß beide einen gemeinsamen kryptographischen Schlüs­ sel besitzen. Zur Übermittlung einer Nachricht sind dabei drei Kommunikationsschritte nötig (vgl. Beutelspacher, Schwenk, Wolfenstetter. Moderne Verfahren der Kryptogra­ phie (2. Auflage), Vieweg Verlag, Wiesbaden 1998).
Das Verfahren muß zur Erzeugung eines gemeinsamen Schlüssels innerhalb einer Gruppe von mindestens drei Teilnehmern geeignet sein. Das Verfahren soll so ausge­ bildet sein, daß es sich gegenüber den bekannten Verfahren durch geringen Kommuni­ kationsbedarf (wenige Runden auch bei vielen Teilnehmern) auszeichnet. Es soll dabei jedoch einen vergleichbaren Sicherheitsstandard wie das DH-Verfahren aufweisen. Das Verfahren muß einfach zu implementieren sein, und Informationen über die Struktur der Gruppe sollen für die Durchführung des Verfahrens nicht benötigt werden.
Das erfindungsgemäße Verfahren, das dieser Aufgabenstellung gerecht wird, basiert auf den gleichen mathematischen Strukturen wie das DH-Verfahren und weist daher ver­ gleichbare Sicherheitsmerkmale auf. Im Vergleich zu den bisher vorgeschlagenen Gruppen-DH-Verfahren ist es wesentlich effizienter im Hinblick auf den Kommunikati­ onsbedarf und benötigt keinerlei Informationen über die Struktur der Gruppe der Teil­ nehmer.
Nachfolgend wird das Wirkprinzip des erfindungsgemäßen Verfahrens näher erläutert. Die definierten Teilnehmer am Verfahren werden mit T1-Tn bezeichnet. Jeder einzelne nicht konkret benannte Teilnehmer wird mit Ti bezeichnet. Mit Tj werden alle anderen am Verfahren beteiligten Teilnehmer, ausschließlich des jeweiligen Teilnehmers Ti, bezeichnet.
Die öffentlich bekannten Komponenten des Verfahrens sind eine öffentlich bekannte mathematische Gruppe G, vorzugsweise die multiplikative Gruppe aller ganzen Zahlen modulo einer großen Primzahl p und ein öffentlich bekanntes Element der Gruppe g, vorzugsweise eine Zahl 0 < g < p mit großer multiplikativer Ordnung. Für die Gruppe G können jedoch auch andere geeignete mathematische Strukturen verwendet werden, z. B. die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers oder die Gruppe der Punkte einer elliptischen Kurve. Das Verfahren wird im Folgenden anhand der Gruppe der Zahlen modulo einer Primzahl p beschrieben.
Das Verfahren verläuft in drei Arbeitsschritten.
Im ersten Arbeitsschritt wird von jedem Teilnehmer Ti eine Nachricht Ni aus dem be­ kannten Element der Gruppe g und einer Zufallszahl z1i nach der Funktion Ni = gz1i mod p erzeugt und an alle anderen Teilnehmer Tj gesendet. Die erste Zufallszahl z1i ist dabei eine vorzugsweise mittels eines Zufallsgenerators erzeugte zufällige Zahl aus der Menge (1, . . . p - 2), welche teilerfremd zur Zahl p - 1 ist. Dies gewährleistet, daß es eine Zahl z1i* gibt, die den Effekt der Potenzierung eines Elements der Gruppe G mit der ersten Zufallszahl z1i wieder aufhebt, wobei gilt: z1i . z1i* = 1 mod p - 1. Eine solche Zahl z1i* kann z. B. mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus berech­ net werden, der in Beutelspacher, Schwenk, Wolfenstetter: Moderne Verfahren der Kryptographie (2. Auflage), Vieweg Verlag, Wiesbaden 1998, beschrieben ist. Im Ergebnis des ersten Verfahrensschrittes verfügt jeder am Verfahren beteiligte Teil­ nehmer Ti über die von allen anderen Teilnehmern Tj gesendeten Nachrichten Nj.
Im zweiten Arbeitsschritt wählt jeder Teilnehmer Ti eine zweite Zufallszahl z2i und berechnet für jede einzelne empfangene Nachricht Nj und damit für jeden anderen Teil­ nehmer Tj eine Zahl Mji nach der Funktion Mji: = (Nj)z2i mod p. Jeder Teilnehmer Ti sendet anschließend die für jeden anderen Teilnehmer Tj einzeln berechnete Zahl Mji bestimmungsgemäß an die jeweiligen Teilnehmer Tj zurück.
Im Ergebnis ist nach dem zweiten Verfahrensschritt jeder Teilnehmer Ti im Besitz der Zahl Mji von allen anderen Teilnehmern Tj, wobei alle Zahlen Mji auf der im 1. Ver­ fahrensschritt vom Teilnehmer Tj gesendeten Nachricht Nj basieren.
Im dritten Arbeitsschritt wird von jedem Teilnehmer Ti der gemeinsame Schlüssel k berechnet, wobei
  • - Lj = Mijz1i* mod p = gz2j mod p für j von i verschieden berechnet wird,
  • - Li = gz2i mod p berechnet wird
  • - daraus der gemeinsame Schlüssel
    k: = f(L1, L2, . . ., Ln) = L1 . L2 . . . . . Ln mod p
    = gz21+z22+. . .+z2n mod p ermittelt wird.
Es ist zu bemerken, daß das Versenden der in Schritt 1 und 2 generierten Nachrichten sowohl über Punkt-zu-Punkt-Verbindungen als auch durch Broadcast oder Multicast geschehen kann. Weiterhin kann im dritten Arbeitsschritt anstelle der angegebenen Funktion f jede andere Funktion verwendet werden, die symmetrisch in allen Argu­ menten ist.
Nachfolgend wird das erfindungsgemäße Verfahren anhand eines konkreten Beispiels für drei Teilnehmer A, B und C näher erläutert. Die Anzahl der Teilnehmer ist jedoch auf beliebig viele Teilnehmer erweiterbar.
Bei diesem Beispiel beträgt die Länge der Zahl p 1024 Bit; g hat eine multiplikative Ordnung von mindestens 2160.
Das erfindungsgemäße Verfahren läuft nach folgenden Verfahrensschritten ab:
  • 1. Teilnehmer A sendet Na = gz1a mod p an Teilnehmer B und C. Teilnehmer B sendet Nb = gz1b mod p an Teilnehmer A und C und Teilnehmer C sendet Nc = gz1c mod p an Teilnehmer A und B.
  • 2. Teilnehmer A sendet Mba = Nbz2a mod p an Teilnehmer B und Mca = Ncz2a mod p an Teilnehmer C,
    Teilnehmer B sendet Mab = Naz2b mod p an Teilnehmer A und Mcb = Ncz2b mod p an Teilnehmer C und
    Teilnehmer C sendet Mac = Naz2c mod p an A und Mbc = Nbz2c mod p an Teilneh­ mer B.
  • 3. Ausgehend von dem Sachverhalt, daß es eine Zahl z1i* gibt, aus der nach Multipli­ kation mit z1i 1 mod p - 1 resultiert, berechnet der Teilnehmer A zunächst
    Lb = Mabz1a* mod p, Lc = Macz1a* mod p und La = gz2a mod p,
    und dann den gemeinsamen Schlüssel k nach der Funktion
    k = f(La, Lb, Lc) = La . Lb . Lc mod p = gz2a+z2b+z2c mod p.
Analog berechnen die Teilnehmer B und C den gemeinsamen Schlüssel k.
Das oben beschriebene Verfahren kommt mit der minimalen Anzahl von zwei Runden zwischen den Teilnehmern T1-Tn aus.
Bezugszeichenaufstellung
T1-Tn Teilnehmer 1 bis n
Ti unbestimmter Teilnehmer aus T1-Tn
Tj alle weiteren Teilnehmer des Verfahrens außer dem Teilnehmer Ti
G öffentlich bekannte mathematische Gruppe
G öffentlich bekanntes Element der Gruppe g
p große Primzahl
z1 erste Zufallszahl aus der Menge (1, . . . . . p - 2)
z1* Zahl, mit der die Potenzierung eines Elements der Gruppe g mit der ersten Zufallszahl zi wie­ der aufgehoben wird
N Nachricht
Ni Nachricht eines unbestimmten Teilnehmers
Nj Nachricht aller weiteren Teilnehmer (außer der Nachricht des Teilnehmers Ti)
z2 zweite Zufallszahl
Mij Nachricht, die aus der ersten Nachricht Ni und der zweiten Zufallszahl z2j erzeugt wird
Lj Wert, der aus Mij und z1j* gebildet wird.

Claims (3)

1. Verfahren zur Schlüsselvereinbarung für eine Gruppe von mindestens drei Teilneh­ mern T1-Tn mit einer öffentlich bekannten mathematischen Gruppe G und einem öf­ fentlich bekannten Element der Gruppe g ∈ G von großer Ordnung, dadurch gekennzeichnet, daß
  • a) jeder Teilnehmer (Ti) aus dem öffentlich bekannten Element der Gruppe g ∈ G und aus einer aus der Menge (1, . . . p - 2) gewählten bzw. erzeugten ersten Zufallszahl (z1i), welche teilerfremd zur Zahl p - 1 ist, nach der Funktion Ni = gz1i eine erste Nachricht Ni erzeugt und an alle anderen Teilnehmer (Tj) sendet, daß
  • b) jeder Teilnehmer (Ti) eine zweite Zufallszahl (z2i) wählt bzw. erzeugt und für jeden Teilnehmer (Tj) aus der von diesem Teilnehmer (Tj) empfangenen ersten Nachricht (Nj) und der zweiten Zufallszahl (z2i) nach der Beziehung Mji: = (Nj)z2i mod p eine zweite Nachricht (Mji) erzeugt und bestimmungsgemäß an die jeweili­ gen Teilnehmer (Tj) zurücksendet, und daß
  • c) jeder Teilnehmer (Ti), ausgehend von dem Sachverhalt, daß die erste Zufallszahl z1i aus der Menge (1, . . ., p - 2) resultiert und teilerfremd zur Zahl p - 1 ist, zur ersten Zufallszahl (z1i) die dazugehörige Zahl (z1i*) ermittelt, welche den Effekt der Potenzierung eines Elements der Gruppe G mit der ersten Zufallszahl (z1i) nach der Beziehung g = (gz1i)z1i* wieder aufhebt, und daß jeder Teilnehmer (Ti) zunächst die Werte (Lj) und (Li) gemäß Lj: = Mijz1i* mod p = gz2j mod p für j ≠ i und Li: = gz2i mod p berechnet und danach den zu etablierenden Schlüssel nach der Beziehung k: = f(L1, L2, . . ., Ln) ermittelt, wobei f eine Funktion ist, die symme­ trisch in ihren Argumenten ist.
2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß für die Funktion f die Funktion
f(L1, L2, . . ., Ln) := L1 . L2 . . . . . Ln mod p = gz21+z22+. . .+z2n mod p verwendet wird.
3. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die erste Zufallszahl (z1i*), welche den Effekt der Potenzierung eines Elements der Gruppe (g) mit der ersten Zufallszahl (z1i) wieder aufhebt, mittels des erweiterten euklidischen Algo­ rithmus ermittelt wird.
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