DE102004031731B4

DE102004031731B4 - Verfahren und Vorrichtung zur Koordinatenbestimmung

Info

Publication number: DE102004031731B4
Application number: DE200410031731
Authority: DE
Inventors: Leif Dr. Wiebking; Mark Christmann
Original assignee: Siemens AG
Current assignee: Symeo GmbH
Priority date: 2004-06-30
Filing date: 2004-06-30
Publication date: 2006-06-14
Anticipated expiration: 2024-07-01
Also published as: DE102004031731A1; WO2006003124A1

Abstract

Verfahren zur xi, yi, h-Koordinatenbestimmung einer Anzahl i = 1, ..., p von jeweils an einer Position Bi angeordneten Transpondern mit xi, yi, h gleich Element von R, mittels
Messen von Abständen r_ik zwischen den jeweils an einer Position Bi angeordneten Transpondern und einer jeweils an einer Position, Pk = (Xk, Yk, H) mit k = 1, ..., n entlang eines Messweges angeordneten Basisstation mit Xk, Yk, H gleich Element von R,
Berechnen der Koordinaten der jeweiligen Position Bi anhand der Messergebnisse von r_ik,
dadurch gekennzeichnet, dass
das Berechnen durch eine Bestimmung eines Minimums bei folgender Formel erfolgt:
Bestimme x, y∊ R^p und X, Y∊ Rⁿ mit

wobei x = (x₁, ..., x_p), y = (y₁, ...y_p), X = (X₁, ..., X_n), Y = (Y₁, ..., Y_n),
γ ∊ R, γ > 0 sowie h = konstant und H = konstant gilt.

Description

Im Bereich der Materialverfolgung und Logistik besteht ein großer Bedarf an Systemen, die in der Lage sind, die lokale Position von Transportmitteln wie Kranen, Fahrzeugen, Trolleys, Hubwagen, Gabelstapler, AGVs (automated guided vehicles) während der Fahrt und im Stillstand zu bestimmen.

Dies kann beispielsweise mit dem in der Patentanmeldung DE 103 36 084 A1 beschriebenen Local Positioning Radar (LPR) gelöst werden. Allerdings war bisher ein zeitaufwändiges und fehlerbehaftetes Einmessen der fest installierten Transponder mit Laser und Maßband vonnöten.

Bisher war bei der Installation von LPR ein aufwändiges Einmessen der Transponderkoordinaten erforderlich, welches sich in Abhängigkeit der Einsatz-Umgebung unterschiedlich schwer gestaltete. Die einzelnen Transponder hängen oft in größerer Höhe so, dass ein gegenseitiges Anpeilen mit dem Laser-Abstandsmesser nur eingeschränkt möglich ist, des Weiteren unterliegt dieses Verfahren einem hohen Risiko von Mess- und Berechnungsfehlern. Hinzu kommt ein großer zeitlicher Aufwand; da bei mit LPR auszustattenden großen Industriehallen oft mehrere Tage für die Vermessung der Transponderorte kalkuliert werden müssen.

Als nächstliegender Stand der Technik wird der Artikel "Wireless Local Positioning" von Martin Vossiek et al., aus IEEE microwave magazine, Dezember 2003, Seiten 77-86 angenommen. Dabei werden die Messprinzipien "Angle-of-Arrival AOA" offenbart, wo RU und MU ferne und mobile Einheiten bezeichnen, und α₁ und α₂ die gemessenen Richtungswinkel sind. Es ist ein weiteres Messprinzip offenbart, und zwar das so genannte "Received Signal Strength RSS"-Verfahren, bei dem L₁ und L₂ den gemessenen Wegverlust bezeichnen. Weitere Verfahren sind "TOA" und "RTOF", wobei τ₁ und τ₂ den gemessenen einfachen Weg oder die Rundlaufsignalausbreitungszeit bezeichnen. Die örtliche Position ist gegeben durch die Schnittlinie von Kreisen, die an den RU- Stellen ihren Mittelpunkt aufweisen. Ein weiteres Verfahren ist das so genannte "TDOA"-Verfahren, bei dem Δτ₁₂ und Δτ₂₃ die gemessene Ausbreitungszeitdifferenz eines Signals bezeichnen, das von dem MU zu zwei verschiedenen RUs wandert. Die Position ist gegeben durch die Schnittlinie von Hyperbeln, deren Brennpunkte an den RUs liegen.

Es ist damit Aufgabe der vorliegenden Erfindung ein einfaches automatisches Einmessverfahren bzw. Standortbestimmungsverfahren und eine entsprechende Vorrichtung für Transponder zur kompletten Rekonstruktion der Transponderorte anzugeben.

Die vorliegende Aufgabe wird durch ein Verfahren mit den Merkmalen des Patentanspruchs 1, ein Verfahren mit den Merkmalen des Patentanspruchs 6, eine Vorrichtung mit den Merkmalen des Patentanspruchs 7 sowie eine Vorrichtung mit den Merkmalen des Patentanspruchs 10 gelöst. Vorteilhafte Ausgestaltungen finden sich in den Unteransprüchen.

Die Erfindung beschreibt eine Lösung, wie mittels Local Positioning Radar entlang eines beliebigen Messweges beziehungsweise über eine beliebige Referenzfahrt eine komplette Rekonstruktion der Transponderorte durchgeführt werden kann.

Es erfolgen Messungen entlang eines Messweges mittels einer nach Installation der Transponder durchzuführenden Referenzfahrt, bei der die Messentfernungen zwischen den einzelnen Transpondern und der bewegten Basisstation kontinuierlich aufgezeichnet werden. Es kann nach der Beendigung der Messungen über einen Optimierungsalgorithmus auf die tatsächlichen Transponderkoordinaten zurückgeschlossen werden. An die Art der Referenzfahrt bzw. des Referenzpfades bzw. des Messwegs werden hierbei nur geringe Anforderungen gestellt. Für einen Anwender ist es lediglich wichtig, dass dieser in ungefähr konstantem Abstand zu den Transpondern von wenigen Metern einmal das Messfeld abläuft sowie die Orte der Transponder sehr grob schätzt (zum Beispiel etwa alle x m bei einer Hallenbreite von y m). Hierbei gehen mögliche größere Abweichungen schwerpunktmäßig in die Rechenzeit des Algorithmus, nicht in die Genauigkeit der Berechnung ein.

Das Berechnen erfolgt durch eine Bestimmung eines Minimums bei folgender Formel:
Bestimme x, y ∊ R^p und X, Y ∊ Rⁿ mit

Das Minimum kann auf besonders vorteilhafte Weise durch das Berechnen des Gradienten gradF (x, y, X, Y) = 0 ermittelt werden.

Auf vorteilhafte Weise kann der Messweg relativ zu den Transpondern bereits vor Beginn der Messfahrt vorgegeben werden. Der Messvorgang kann auf einfache Weise vorbereitet werden.

Es ist auf vorteilhafte Weise bereits ausreichend, wenn der Messweg relativ zu den Transpondern lediglich grob, insbesondere in ganzen Metern, vorgegeben ist.

Ebenso ist es auf vorteilhafte Weise bereits ausreichend, wenn der Messweg entlang den Transpondern von der Basisstation lediglich einmal abgefahren wird.

Ebenso wie beim Verfahren wird bei einer Vorrichtung bevorzugt das Minimum anhand derselben Formeln ermittelt.

Eine Vorrichtung für eine Erfassung von Transponderkoordinaten weist vorteilhaft insbesondere eine Eingabevorrichtung zur Eingabe des Messweges, eine Speichervorrichtung zum Speichern des Messweges und eine Vorrichtung zum Bewegen der Basisstation entlang des Messweges auf. Dadurch ist auf einfache Weise eine automatische Messung möglich.

Die Erfindung wird nachstehend anhand von Ausführungsbeispielen näher beschrieben. Es zeigen
1 ein praktikables Vorgehen beim Durchführen einer Mess- bzw. Referenzfahrt gemäß einem Ausführungsbeispiel;
2 reale Messdaten der 1D-Entfernungswerte bei einer Referenzfahrt gemäß einem Ausführungsbeispiel;
3 Koordinatenvorgabe bei einer Rechteckanordnung der Transponder gemäß einem Ausführungsbeispiel;
4 praktische Eckdaten für die von einer Implementierung benötigten Rechenzeit;
5 die aufgezeichneten 1D-Medaten von acht vorhandenen Transpondern in einer Testumgebung;
6 nach einer Reinigungsprozedur der Datensätze von Multipath-Fehlern erhaltene Entfernungsverläufe;
7 das Ergebnis der rekonstruierten Transponderorte nach Auswerten der Referenzfahrt gemäß dem Ausführungsbeispiel.
1 zeigt ein praktikables Vorgehen beim Durchführen einer Referenzfahrt entlang sieben Transpondern gemäß einem Ausführungsbeispiel. Die sieben Tansponder befinden sich an beliebigen Orten insbesondere in einem x-y-Koordinatensystem. 1 zeigt beispielhaft einen Referenzpfad in Form einer Abfahrspur des Empfängers. Der Empfänger bzw. die Basisstation weist einen Datenlogger für die radialen Abstände auf.
Ein wesentlicher bei diesem Verfahren zu beachtender Punkt ist, dass die Messdaten einzelner Stationen zwischendurch abreißen (siehe 2) sowie sporadische durch Mehrwege-Ausbreitungen (Multipath) bedingte Ausreißer aufweisen können.
Nachstehend werden ein bevorzugter Optimierungs-Algorithmus sowie die damit bei Testmessungen erzielten Ergebnisse gemäß einem Ausführungsbeispiel beschrieben.
Wir nehmen an es seien p Transponder an theoretisch beliebigen Positionen Bi = (xi, yi, h), i = 1, ..., pmit x_i, y_i, h ∊ R aufgestellt. An den Koordinaten Pk = (Xk, Yk, H), k = 1, ..., nmit X_k, Y_k, H ∊ R seien durch eine Basisstation insgesamt n Abstandsmessungen erfolgt.
Für die Praxis werden metrische Koordinaten vorausgesetzt, jedoch ist dies für die nachfolgende Matrix irrelevant.
Während der Messungen konnten zu gewissen Transpondern die Entfernungen (zunächst exakt) bestimmt werden. Es ist hier M ⊆ {(i, k)| i ∊ {1, ..., p}, k ∊ {1, ..., n}}die Menge derjenigen Paare (i, k), für die ein Messwert r_ik vorliegt.
Für (i, k) ∊ M ist damit
der euklidische Abstand der Transponder B_i von der Antennenposition P_k.
Obwohl nur x- und y-Koordinaten zu rekonstruieren sind, ist zu beachten, dass das eigentliche Rekonstruktionsproblem in drei Dimensionen angesiedelt ist. Der Term (h – H)² kommt dabei insbesondere zum Tragen, wenn sich die Antenne nahe am Transponder befindet.
Wir fassen die Messdaten in einer Matrix R = (r_ik) ∊ R^p×n zusammen, wobei die unbekannten Werte r_ik für (i,k) ⊆ M zunächst beliebig sind. Für eine praktische Umsetzung bieten sich hier Werte –1 oder nan an.
Die zu lösende Aufgabe kann nun wie folgt definiert werden:
Gegeben seien R, h und H. Man bestimme daraus B_i für i = 1, ..., p und P_k für k = 1, ..., n.
Aufgrund der geometrischen Struktur der Gleichung (1) ist das Problem in dieser Form

1. translationsinvariant,
2. rotationsinvariant und
3. spiegelungsinvariant.

Folglich gibt es beliebig viele Lösungen. Um zu einer eindeutigen Lösung zu gelangen, sind also gewisse Freiheitsgrade durch die Bereitstellung von Zusatzinformationen festzulegen. Hierzu reicht es, von einem Transponder die Koordinaten zu kennen und von zwei weiteren beispielsweise jeweils die y-Koordinate. Diese drei Transponder dürfen jedoch nicht auf einer Geraden liegen.
Erfindungsgemäßes Ausführungsbeispiel zur Bestimmung von Transponderkoordinaten:
Es wird vorausgesetzt, dass die Transponder auf dem Rand eines Rechtecks angeordnet sind. Dann können Koordinaten wie folgt gemäß 3 vorgegeben werden.
Der Einfachheit halber kann man zunächst x₀ = y₀ = 0 wählen und später die Berechnungsergebnisse geeignet transformieren.
Die vorgegebenen Koordinaten der B_i bezeichnen wir mit e_ij für (i, j) ∊ N, N ⊆ {(i, j) i ∊ {1, ..., p}, j ∊ {1,2}} Dabei bedeutet (i, 1) ∊ N, dass von B_i die x-Koordinate vorgegeben ist und (i, 2)∊ N bedeutet, dass die y-Koordinate vorgegeben ist.
Da nun die gemessenen Entfernungen r_ij fehlerbehaftet sind, führt die optimale Ermittlung der Unbekannten im Sinne der Fehlerquadratmethode auf folgendes Minimierungsproblem:
Bestimmte x, y ∊ R^p und X, Y ∊ Rⁿ mit
wobei x = (x₁, ..., x_p), y = (y₁, ...y_p), X = (X₁, ..., X_n), Y = (Y₁, ..., Y_n),
γ ∊ R, γ > 0 gilt.
Anstatt die bekannten Koordinaten direkt in die Fehlerquadratsumme einzusetzen, wurden separat zu minimierende Terme angesetzt. Dieses Vorgehen entspricht der Überlegung, dass die bekannten Koordinaten nicht notwendig exakt, sondern nur im Sinne der Methode kleinster Quadrate möglichst gut gewählt werden sollten. Durch geeignete Wahl des Parameters γ kann dabei die gewünschte Genauigkeit eingestellt werden. Der Vorteil dieser „unscharfen" Herangehensweise liegt in der verbesserten nummerischen Kondition, das heißt Messfehler in den Eingangsdaten wirken sich weniger sensibel auf die Ausgangsdaten aus. Die zusätzlichen Terme wurden in der vierten Potenz anstatt im Quadrat angesetzt, um Größenordnungsgleichheit zum Fehlerquadratsummenterm herzustellen.
Durch die Hinzunahme von Gewichtstermen w_ik ist die Möglichkeit gegeben, die abstandsabhängige Messunsicherheit bereits im mathematischen Ansatz selbst zu kompensieren.
Ein für die praktische Umsetzung sinnvoller Wert liegt hier bei wik = 10r–2ik . (2)
Notwendige Bedingung für ein Minimum von F ist: gradF (x, y, X, Y) = 0. (3)
Zur Berechnung der Einträge des Gradienten setzen wir gik ≔ (r–2ik – (xi – Xk)2 – (yi – Yk)2 – (h – H)2) (4)
Dann ist
und damit
Zur numerischen Behandlung des Optimierungsproblems setze man
Dann nimmt Gleichung (3) die Form
an und beschreibt ein Nullstellenproblem im R^{2(p + n)}. Es handelt sich also um 2(p + n) nichtlineare Gleichungen mit 2(p + n) Unbekannten x, y, X, Y.
Zur Lösung eines solchen Problems greift man üblicherweise auf das mehrdimensionale Newtonverfahren zurück:
Es seien x⁽⁰⁾, y⁽⁰⁾, X⁽⁰⁾, Y⁽⁰⁾ Näherungen für die gesuchte Lösung.
Man setze
Eine Folge iterativer Verbesserungen wird berechnet durch HF(U(m))δU(m) = –gradF (U(m)) (9a) U(m + 1) = U(m) + δU(m) (9b)für m = 0, 1, 2, ...
Dabei ist HF : R^{2(p + n)} → R^{2(p + n) × 2(p +
n)} die Ableitung des Gradienten gradF.
Setzt man

die HESSE-Matrix von F an der Stelle (x, y, X,Y).
Mit Hilfe des KRONECKER-Symbols
berechnen sich die Einträge der Teilblöcke der HESSE-Matrix wie folgt:
Das Verfahren konvergiert gegen ein lokales Extremum von F, sofern die HESSE-Matrix in jedem Verfahrensschritt invertierbar ist und die Startwerte geeignet gewählt wurden. Im Falle der Konvergenz ist das NEWTON-Verfahren allgemein nur von erster Ordnung, jedoch liegt nahe am Extremum quadratische Konvergenzordnung vor, das heißt je Iteration verdoppelt sich die Anzahl der gültigen Dezimalstellen.
Die Iteration wird abgebrochen, wenn eine vorgegebene Genauigkeit erreicht ist, etwa gemäß ||U(m+1) – U(m)|| ≤ ε. (14)
Für das gestellte Problem setze man bei metrischer Rechnung beispielsweise ε = 10^–3 an.
Zur Berechnung des Inkrements δU^(m) aus Gleichung (9a) des NEWTON-Verfahrens ist ein lineares Gleichungssystem der Dimension 2(n + p) mit Koeffizientenmatrix HF(U^(m)) zu lösen.
Filterung der Eigengangsdaten aufgrund der Multipath-Fehler
Durch den Fehlerquadratansatz ist gewährleistet, dass das mathematische Modell an sich bereits in hohem Maße stochastisches Rauschen in den Eingangsdaten erlaubt. Allerdings ist die Filterung von Multipath-Fehlern der Eingangsdaten zwingend erforderlich. Dazu wurde das nachfolgend beschriebene Modell entworfen.
Man wähle einen festen Transponder B_i mit dazugehörigem Vektor r = (r_ik)_{k = 1, ..., n} sukzessiv erhaltener Abstandsmesswerte. Man betrachte den Graphen der Funktion i → r_i. Die Arbeitsweise des Filters besteht darin, für einen Abschnitt dieser Funktion ein kubisches Ausgleichspolynom zu bestimmen und diejenigen Messwerte für ungültig zu erklären, die sich vom Ausgleichspolynom mehr als einen vorgegebenen Toleranzwert entfernen.
Praktische Implementierung des Verfahrens auf reale Messdaten
Für die praktische Implementierung des Verfahrens sind folgende zweckmäßige Voraussetzungen zu treffen:

1. Die Höhenkoordination der Transponder und der Messstationen sind bekannt.
2. Die Testfahrt wurde in geeigneter Weise durchgeführt, Idealerweise auf einer einseitig (an einer kurzen Hallenseite) offenen Rechteckbahn nahe an der Hallenwand entlang.
3. Die Transponderpositionen sind initial auf ca. 10m genau bekannt. Es können die Transponderpositionen bei annähernd äquidistanter Verteilung entlang der Hallenwände einer rechteckigen Halle ausreichend genau geschätzt werden, sofern nur die Hallenmaße, die Transponderanzahl und die Nummerierung der Transponder im Umlaufsinn der Testfahrt bekannt sind.
4. Mehrdeutigkeiten durch Symmetrie sind durch ausreichend festgelegte Freiheitsgrade ausgeschlossen.

Rechenzeit- und Speicheraufwand
Wesentliche Schritte bei der numerischen Rechnung sind

1. das Aufstellen der HESSE-Matrix und
2. das Lösen des linearen Gleichungssystems.

Der Speicherbedarf des Algorithmus wird fast ausschließlich durch die Größe der HESSE-Matrix bestimmt. Hier liegt allgemein eine quadratische Abhängigkeit O((p + n)²) vor. Jedoch ist die vorliegende HESSE-Matrix selbst unter der Annahme, dass stets zu ausnahmslos allen Transpondern Entfernungsmessungen vorliegen, nur dünn besetzt. Die (p × p) - Blöcke h₁₁, h₁₂ und h₂₂ weisen ebenso wie die (n × n)- Blöcke h₃₃; h₃₄ und h₄₄ Diagonalgestalt auf, wie man den Gleichungen (13a) bis (13c) und (13h) bis ((13j) entnimmt. Die verbleibenden vier (p × n)-Blöcke können unter Umständen voll besetzt sein. Berücksichtigt man nun noch die Symmetrie der Matrix, so ergeben sich maximal 4np + 3(p + n) zu speichernde Matrixelemente statt (2(n + p))² Elemente im voll besetzten Fall.
Zur Berechnung eines allgemeinen linearen Gleichungssystems kommt als Standardverfahren der GAUSS-Algorithmus zum Einsatz. Dessen Ablauf teilt sich in zwei Phasen. Zunächst wird die Koeffizientenmatrix durch geeignete Zeilenoperationen auf obere Dreiecksform gebracht, danach findet eine Rückwärtssubstitution statt.
Tabelle 1: Speicherplatzbedarf der HESSE-Matrix mit double-Werten
Tabelle 2: Rechenzeit für ausgewählte Fälle
Als Gesamtaufwand ist hier O((p + n)³) anzusetzen, wobei die erste Phase für den Aufwand bestimmend ist.
Da die Koeffizientenmatrix symmetrisch ist, kann statt des GAUSS-Algorithmus auch eine CHOLESKY-Zerlegung Anwendung finden.
Ist m = n + p, so benötigt der GAUSS-Algorithmus ohne Pivotsuche
und die CHOLESKY-Zerlegung
elementare arithmetische Operationen. Die Verfahrensordnung nimmt also nicht ab, jedoch spart man für große Matrizen asymptotisch die Hälfte der Rechenzeit ein. Insbesondere der Gleichungslöser von Matlab erkennt und nutzt diesen Vorteil bei seinen Rechnungen automatisch.
In 4 werden praktische Eckdaten für die von der Implementierung benötigte Rechenzeit dargestellt.
Als Referenzsystem dient ein PC-System mit AMD Athlon XP 1800+ (Markenbezeichnung). Insbesondere der halblogarithmischen Darstellung ist gut zu entnehmen, dass die Rechenzeit asymptotisch in dritter Ordnung polynomial von der Problemdimension abhängt.
In Tabelle 2 sind für die in der Aufgabenstellung genannten Fälle (Referenzfall und Grenzfall mit maximal zu erwartender Anzahl Unbekannter) typische Rechenzeiten auf dem Referenzsystem aufgeführt. Dabei ist die Rechendauer des Grenzfalls aus den in 4 dargestellten Messungen extrapoliert worden.
4 zeigt Rechenzeitverläufe auf einem Referenzsystem AMD Athlon XP 1800+ (Markenbezeichnung).
Tabelle 3: Rekonstruktionsgenauigkeit der Transponder.
Erreichte Genauigkeit des Verfahrens bei verschiedenen Medatensätzen
Im Folgenden wird die Schätzgenauigkeit des Verfahrens anhand eines realen Medatensatzes demonstriert.
5 zeigt die aufgezeichneten 1D-Medaten von acht vorhandenen Transpondern in einer Testumgebung.
Nach der beschriebenen Reinigungsprozedur der Datensätze von Multipath-Fehlern erhält man die in 6 dargestellten Entfernungsverläufe, die dann in dieser aufbereiteten Form in den Optimierungsalgorithmus einfließen.
Die Abweichungen der geschätzten Transponderorte zu den tatsächlich nachgemessenen Orten sind in Tabelle 3 dargestellt.
Das Ergebnis der rekonstruierten Transponderorte nach Auswerten der Referenzfahrt ist in 7 dargestellt.
Die eingemessenen Orte können einen Fehler von bis zu 10 cm aufweisen. Die geschätzten Ergebnisse sind in Wirklichkeit also noch genauer.
Die typische Rechenzeit der Implementierung für die zu erwartenden üblichen Einsatzdimensionen des LPR-Systems beträgt auf einem handelsüblichen PC nur einige Minuten (vgl. Tabelle 2).

Claims

Verfahren zur xi, yi, h-Koordinatenbestimmung einer Anzahl i = 1, ..., p von jeweils an einer Position Bi angeordneten Transpondern mit xi, yi, h gleich Element von R, mittels Messen von Abständen r_ik zwischen den jeweils an einer Position Bi angeordneten Transpondern und einer jeweils an einer Position, Pk = (Xk, Yk, H) mit k = 1, ..., n entlang eines Messweges angeordneten Basisstation mit Xk, Yk, H gleich Element von R, Berechnen der Koordinaten der jeweiligen Position Bi anhand der Messergebnisse von r_ik, dadurch gekennzeichnet, dass das Berechnen durch eine Bestimmung eines Minimums bei folgender Formel erfolgt: Bestimme x, y∊ R^p und X, Y∊ Rⁿ mit
wobei x = (x₁, ..., x_p), y = (y₁, ...y_p), X = (X₁, ..., X_n), Y = (Y₁, ..., Y_n), γ ∊ R, γ > 0 sowie h = konstant und H = konstant gilt.
Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass das Berechnen durch gradF (x, y, X, Y) = 0erfolgt.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 2, dadurch gekennzeichnet, dass der Messweg relativ zu den Transpondern vor Beginn der Messung vorgegeben ist.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass der Messweg relativ zu den Transpondern lediglich grob, insbesondere in ganzen Meterwerten, vorgegeben ist.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, dass der Messweg entlang den Transpondern von der Basisstation einmal abgefahren wird.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 5, dadurch gekennzeichnet, dass anstelle der Basisstation ein Transponder und anstelle der Transponder Basisstationen verwendet werden.
Vorrichtung zur xi, yi, h – Koordinatenbestimmung einer Anzahl i = 1, ..., p von jeweils an einer Position Bi angeordneten Transpondern mit xi, yi, h gleich Element von R, eine aufweisend Basisstation zum Messen von Abständen r_ik zwischen den jeweils an einer Position Bi angeordneten Transpondern und der jeweils an einer Position Pk = (Xk, Yk, H) mit k = 1, ..., n entlang eines Referenzpfades angeordneten Basisstation mit Xk, Yk, H gleich Element von R, und eine Recheneinheit zum Berechnen der Koordinaten der jeweiligen Position Bi anhand der Messergebnisse von r_ik, dadurch gekennzeichnet, dass die Recheneinheit eine Bestimmung eines Minimums bei folgender Formel durchführt: Bestimme x, y ∊ R^p und X, Y ∊ Rⁿ mit

wobei x = (x₁, ..., x_p), y = (y₁, ...y_p), X = (X₁, ..., X_n), Y = (Y₁, ..., Y_n), γ ∊ R, γ > 0 sowie h = konstant und H = konstant gilt.
Vorrichtung nach Anspruch 7, dadurch gekennzeichnet, dass das Berechnen durch gradF (x, y, X, Y) = 0erfolgt.
Vorrichtung nach einem Ansprüche 7 bis 8, gekennzeichnet durch eine Eingabevorrichtung zur Eingabe des Messweges, eine Speichervorrichtung zum Speichern des Messweges und eine Vorrichtung zum Bewegen der Basisstation entlang des Messweges.
Vorrichtung nach einem der Ansprüche 7 bis 9, dadurch gekennzeichnet, dass ausstelle der Basisstation ein Transponder und ausstelle der Transponder Basisstationen verwendet werden.