CN113791541B - 一种理论预测耦合非全同振子系统中同步包络的参数的方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种理论预测耦合非全同振子系统中同步包络的参数的方法。通过对具有频率失配的耦合振子系统的同步包络进行理论分析，利用条件李雅谱诺夫指数确定包络同步的参数区间。并通过将同步流形代入耦合振子系统方程，利用变量代换，将耦合振子系统的振幅演化方程转换成伯努利方程，将两个振子相位差演化方程简化成可积微分方程。通过对方程求解，确定耦合振子振幅随相位差的变化关系，并确定两个振子的相位差随时间的变化函数关系。进而确定耦合振子系统在包络同步条件下的特征，理论预测出同步包络的主要参数，如振幅、平均值和周期等参量与耦合振子系统参量如耦合强度、频率差的关系。结果表明，同步包络的平均值随耦合强度的增大而单调减小，而同步包络的振幅随耦合强度的增大先增大后减小。

Description

一种理论预测耦合非全同振子系统中同步包络的参数的方法
技术领域
本发明属于非线性动力学中同步控制技术领域，通过分析耦合非全同振子系统中，振子的相位不同步，但包络完全同步时的主要特征和影响因素,理论预测同步包络的参数与耦合振子系统参数之间的关系。
背景技术
近年来，耦合振子系统的同步动力学行为在物理、生物和工程领域都引起了强烈的关注。系统的许多功能和自组织行为均与各种各样的同步现象密切相关.在电子电路和生物学等实际应用中，耦合系统的同步动力学已经被广泛研究。早期，人们主要关注耦合振子系统间出现完全同步和相位同步的条件和稳定性问题。然而，在达到相同步之前，耦合振子系统的振幅可能出现相关性，即两个耦合振子的振幅包络可能达到同步现象。Gonzalez-Miranda等人在耦合范德玻振子中观察到包络同步现象。近来占萌等人在耦合朗道振子中可以在小耦合强度下得到包络同步。与此同时，在许多生物系统的相变过程中出现了多稳态的特征，另外还观察到一种新的振荡淬灭状态为非普通振幅死亡(NTAD)，与振幅死亡(AD)相比，NTAD是一种振幅不为零的均匀稳定状态。此外，人们还发现语音的包络与神经元振子的包络之间存在同步现象。因此，对包络同步的特性研究具有重要意义。
发明内容
1、发明目的
为了能够更好地理解包络同步的本质和特性，本发明提出一种理论预测耦合非全同振子系统中同步包络的参数的方法。从而分析耦合振子系统包络同步的产生条件和主要特性。
2、技术方案
一种理论预测耦合非全同振子系统中同步包络的参数的方法，包括以下步骤:
第一步：构建扩散耦合振子系统(以两个耦合金兹堡－朗道振子为例)
(1)式中，状态变量Zi＝xi+jyi，j为纯虚数，ω1,2是振子的固有频率，使耦合振子之间存在参数失配Δω＝ω2-ω1，∈是耦合强度,参数a决定振子的振幅。利用四阶龙格库塔法求解方程(1)，并计算两个振子的相位差Δθ(t)＝θ2(t)-θ1(t)，若limt→∞|Δθ(t)|≤2π,则系统处于相同步，若limt→∞|Δθ(t)|≥2π则系统处于非锁相区，由此确定耦合系统在参数区Δω～ε的非锁相参数区为∈<a,∈<0.5Δω.,
第二步：选取处于非锁相区的参数，此时耦合振子系统(1)处于包络同步态。令i＝1,2,将(1)式转化为极坐标形式，
令耦合振子系统的同步包络流行为ρ2(t)＝ρ1(t)＝ρ(t)，则其动力学方程可写成
其中，Δθ(t)＝θ2(t)-θ1(t)的演化方程为，
第三步：求解同步包络的均值由式(3)可知，当∈＝0时，令/>可得包络的均值为：
第四步：求解相位差Δθ(t)的演化方程(4)的解为
其中，[]表示对其内的数取整。此相位差的正弦函数的周期
第五步，求解同步包络的流行方程(3)，作变换代换，令U(t)＝ρ-2(t),则有：
ρ(t)＝U(t)-0.5， (7)
则(3)式可以写成伯努利方程形式：
第六步，对伯努利方程(8)式求解得通解为
其中常数C可由初始条件t＝0时包络的值确定为包络的平均值。
第七步，将相位差方程(6)式代入(9)式，并通过数值计算得到U(t)的值，再由(7)式可以得到同步包络ρ(t)随时间变化的演化关系。
第八步，特别地，当Δω＞＞2∈时，(6)式可以近似地写成Δθ≈Δωt,此时(9)式中的U(t)可以写成，
同步包络近似为正弦形式，即：
同步包络的振荡角频率约为Δω，其局域最大值和最小值分别为：
可以求出正弦模式的同步包络的振幅为，
第九步，当不满足条件Δω＞＞2∈时，同步包络可以通过对式(9)进行数值方法求积分结果得到非正弦波同步包络波形。求出同步包络的局域最大值Amax和局域最小值Amin，从而确定同步包络的振幅参数。
3.有益效果：
本发明将耦合周期振子系统转换成极坐标形式，然后在包络同步流行稳定时得到同步包络的演化方程和相位差的演化方程，进而通过求解微分方程得到同步包络的理论表达式。从而可以得到所有参数空间下的同步包络的主要参数特征如振幅周期T，平均振幅/>等。
附图说明
图1.a＝5，ω1＝100，Δω＝|ω2-ω1|时Δω～ε参数空间中两个耦合不相同的朗道-斯图亚特振荡器的相图，其中存在三种不同类型的动力学行为：区域I(非锁相区)、II(锁相区)和III(振幅死亡区)。图2.a＝5,(a)∈＝4和Δω＝8.5的Δθ(t)时间序列。(b)∈＝4和Δω＝30时，Δθ(t)的时间序列。(c)(d)分别对应于(a)(b)的cos(Δθ(t))的时间序列。(e)(f)对应(a)(b)的参数分别具有非正弦模式的包络和正弦模式的包络及所对应的时间序列x1,2。其中图2(e)中的为同步包络的平均值，/>为同步包络的振幅，T为同步包络的振荡周期。图3.(a)a＝5,两个振子的频率差Δω＝5,10,20,30时,包络平均值与耦合强度∈的关系，实线为理论值，点为数值计算值。(b)为a＝5,Δω＝5,10,20,30时同步包络的振幅/>与耦合强度∈的关系。(c)∈＝1,2,3,4时包络振幅/>与两个振子的频率差Δω的变化关系图，坐标轴为双对数坐标。(d)耦合强度∈＝1,2,3,4时同步包络的周期T与两个振子的频率差Δω的关系图，坐标轴为双对数坐标，在Δω>10时，曲线斜率为-1.0。
具体实施方式
下面结合实施实例和附图对本发明作进一步说明。
实施例1：非正弦同步包络
对于公式(1)所给的耦合非全同朗道振子系统，当取其中振子1的振荡频率为ω＝100,a＝5,另一个振子的频率与振子1频率之差Δω和耦合强度∈为耦合系统的参数。通过四阶龙格库塔法可以得到参数空间Δω～∈的相图如图1所示。其中包含非锁相区(I),锁相区(II)和振幅死亡区(III)，而包络同步只能在非锁相区中产生。其中利用振幅死亡稳定性分析可得振幅死亡的左边界(即非锁相区的右边界)为∈<a,由相同步稳定性边界可以确定非锁区的下边界为∈<0.5Δω.
取非锁相区(I)中的参数Δω＝8.5，∈＝4时，由式(6)可以得到两耦合振子相位差随时间演化如图(2)(a)所示，对相位差取余弦后得到曲线如图(2)(c)所示。由式(9)，(7)可以得到此时对应的同步包络随时间演化曲线如图(2)(e)所示。该包络为非正弦形式的包络。
实施例2：正弦同步包络
取非锁相区(I)中的参数Δω＝30，∈＝4时，由式(6)可以得到两耦合振子相位差随时间演化如图(2)(b)所示，对相位差取余弦后得到曲线如图(2)(d)所示。由式(11)可以得到此时对应的同步包络随时间演化曲线如图(2)(f)所示。该同步包络为正弦形式的包络。
由式(6)(7)(9)可以确定同步包络的均值随参数的变化关系曲线如图(3)(a)所示。可知随着耦合强度增加，包络均值逐渐减小，而基本不受两个振子的频率差Δω的影响。同样地，可以确定同步包络的振幅随参数变化的曲线如图(3)(b)(c)所示。可知在非锁相区域内(∈<0.5Δω)，随着耦合强度的增加，同步包络的幅度先增加后减小。而当两个振子的频率差Δω较大时，同步包络的幅度与Δω成反比。同步包络的周期T随Δω的增加而减小，在Δω较大时，近似与Δω成反比，如图(3)(d)。

Claims (1)

1.一种理论预测耦合非全同振子系统中同步包络的参数的方法，其特征在于：在式(1)中所示的两个耦合非全同金兹堡－朗道振子中，通过确定非锁相参数区间，保证耦合振子系统处于包络同步态，利用极坐标变换和包络同步流行，求解出相位差的理论表达式，同时将耦合振子系统的幅度变量的演化方程变换成伯努利方程，通过求解该方程可以得到耦合振子系统的幅度演化方程表达式，从而理论上确定同步包络的振幅、频率、均值等参量；
具体通过以下步骤实现：
(S1)、在扩散耦合金兹堡－朗道振子系统如式(1)中，状态变量Zi＝xi+jyi，j为纯虚数，ω1,2是振子的固有频率，使耦合振子之间存在参数失配Δω＝ω2-ω1，∈是耦合强度,参数a决定单个振子的振幅，利用四阶龙格库塔法求解方程(1)，并计算两个振子的相位差Δθ(t)＝θ2(t)-θ1(t)，若limt→∞|Δθ(t|≤2π,则系统处于相同步，若limt→∞|Δθ(t)|≥2π则系统处于非锁相区，由此确定耦合系统在参数区Δω～ε的非锁相参数区为
(S2)对(S1)中的耦合系统式(1)，选取处于非锁相区的参数，此时耦合振子系统处于包络同步态，令i＝1,2,将(1)式转化为极坐标形式，
令耦合振子系统的同步包络的流行ρ2(t)＝ρ1(t)＝ρ(t)，则同步流行的动力学方程可写成
其中，Δθ(t)＝θ2(t)-θ1(t)的演化方程为，
(S3)、对(S2)中的(3)式求解同步包络的均值当∈＝0时，令/>可得同步包络的均值为：
(S4)、对(S2)中的相位差Δθ(t)的演化方程(4)进行求解得
此相位差的正弦函数的周期
(S5)、对(S2)中的同步包络流行方程(3)式进行求解，作变换代换，令U(t)＝ρ-2(t)，则有
则(3)式可以写成伯努利方程形式：
(S6)、对(S5)中的伯努利方程(8)式求解得通解为
其中常数C可由初始条件t＝0时包络的值确定 为包络的平均值；
(S7)、将(S4)中的(6)式代入(S6)中的(9)式，并通过数值计算得到U(t)的值，再由(S5)中的(7)式，可以得到同步包络ρ(t)随时间的变化关系；
(S8)、特别地，当Δω＞＞2∈时，(S4)中的(6)式可以近似地写成Δθ≈Δωt,此时(9)式中的U(t)可以写成，
同步包络近似为正弦形式，即：
同步包络的振荡角频率约为Δω，其局域最大值和最小值分别为：
可以求出正弦模式的同步包络的振幅为，
S(9)、当不满足条件Δω＞＞2∈时，同步包络可以通过对式(9)进行数值方法求积分结果得到非正弦波包络波形，求出同步包络的局域最大值Amax和局域最小值Amin，从而确定同步包络的振幅 参数。
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