CN105005197A - 基于切比雪夫多项式展开的时变神经动力学系统辨识方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种基于切比雪夫多项式展开的时变神经动力学系统辨识方法。该方法首先用Volterra级数表征由仿真输入输出锋电位序列组成的时变神经系统，将前馈、反馈核函数用不同的Volterra核表示出来；接着，用Laguerre基函数对时变Volterra核进行展开，得到时变广义Laguerre–Volterra模型；然后，用切比雪夫多项式对时变广义Laguerre–Volterra模型的时变参数进行展开，将时变模型转化为时不变模型；最后，利用向前正交回归算法选出有意义的模型项，并利用广义线性拟合算法对时不变参数进行估计，进而通过反向求解得到时变参数及原始时变核函数。与现有的自适应滤波技术相比较，本方法对较强非平稳神经系统信号有更好的跟踪能力，可以实现对时变系统核函数的准确跟踪，为神经系统建模，特别是海量高维数据的系统建模提供新的研究方法，对揭示大脑完成信息处理的复杂神经动力学机制有重要的意义。

Description

基于切比雪夫多项式展开的时变神经动力学系统辨识方法

技术领域

本发明提供一种基于切比雪夫多项式展开的时变神经动力学系统辨识算法，它为面向锋电位序列信号的时变系统辨识提供新的分析方法，属于系统辨识领域。

背景技术

神经系统是一个动力学系统，神经元锋电位活动的潜在机制均呈现出时变特性，这种时变可能极其缓慢，但随着时间的累积，其改变亦不能被忽视。因而，用一个时不变模型对神经元锋电位发放活动的潜在机理进行分析，显然不能得到长期稳定可靠的结果。分析神经元潜在的时变规律，开展神经元锋电位序列的时变系统建模与辨识应用逐渐受到了研究者们的重视。

对神经元锋电位的时变系统建模与辨识方法，大多都是在自适应滤波算法的框架下进行。常用的滤波算法有递归最小二乘算法、梯度算法、卡尔曼滤波算法及新型的随机状态点过程滤波器(stochastic state point process filter，SSPPF)算法等。递归最小二乘算法的原理简单，收敛速度快，但由于要计算协方差矩阵，因此计算量较大。随机梯度算法能够根据输入能量的估计值来调整每个时间点的学习速率，随机梯度算法的计算量比递归最小二乘法要小得多，但是它的收敛速度很慢，卡尔曼滤波算法也已经被应用到线性系统辨识中，同时各种卡尔曼滤波算法的变种也已经被广泛使用。SSPPF不断记录到新的神经元变化特征(U.Eden,L.Frank,R.Barbieri,V.Solo,and E.Brown.Dynamic analysis of neuralencoding by point process adaptive filtering.Neural Computation.vol.16.pp.971-998.2004)，并逐步丢失旧的神经元信息，使得算法能初步跟踪核函数变化。Song等人通过大量理论与实验分析证明在面向锋电位序列的时变参数识别方面(Dong Song,Rosa H.M.Chan,Brian S.Robinson,Vasilis Z.Marmarelis,Ioan Opris,Robert E.Hampson,Sam A.Deadwyler,Theodore W.Berger.Identification offunctional synaptic plasticity from spiking activities using nonlinear dynamicalmodeling.Journal of Neuroscience Methods.vol.244.pp.123-135.2014)，SSPPF算法比其它的自适应滤波算法具有显著的时变参数估计优势。但SSPPF算法在估计时变模型参数过程中，需要大量的迭代过程才能跟踪到较为准确的时变参数，而对于参数变化较快的时变非线性系统，该算法在锋电位序列的时变核估计方面性能较差。

总结现有自适应滤波算法的特点，其核心思想是用不断获得的新样本来修正模型参数的估计。然而，由于自适应算法本身的收敛速度问题，模型参数估计结果始终带有误差，如果用带有误差的预测结果来修正模型参数，误差将得以继承和累积，估计效果亦将变得越来越差。另外，如果时变系统参数变化较慢，或信号具有弱平稳特性时，自适应算法可以对时变系统参数进行较为准确的辨识。但如果时变系统参数变化太快，由于自适应算法的收敛性缺陷，将导致时变系统参数的结果估计产生延迟。

针对上述滤波算法的不足，本发明引入基函数展开算法，对时变参数进行展开求解。该方法时变系统参数表示为一组已知基函数的线性加权组合。将时变系统建模问题转化为关于基函数的时不变参数辨识问题，通过对时不变参数的辨识进而得到时变参数。尤其当信号具有较强非平稳特性时，基函数扩展法可以对时变参数进行有效估计。从而使时变系统的瞬时特征能够被快速、准确地提取与识别。这对模拟、应用大脑完成信息处理的复杂神经动力学机制有重要的实际意义。

发明内容

根据本发明的一个方面，提供了一种基于多项式展开的时变神经动力学系统辨识方法。在本发明中，时变神经动力学系统通常都是非线性的，用Voletrra核可以完全表征时变线性或非线性系统，但也面临是大量系统参数的确定问题。本发明仅通过将时变参数用切比雪夫多项式展开，将时变参数的辨识问题转化成由已知的正交函数和系统输入、输出来估计线性组合中的时不变参数估计问题，大大减少了待求参数的数目，且本发明的方法计算速度快，参数估计准确且适应性好。

为实现上述目的，本发明提供了一种基于切比雪夫多项式展开的时变神经动力学系统辨识方法，包括如下步骤：

1.广义Volterra模型：用Volterra级数完全表征时变神经动力学系统模型，构建时变广义Volterra模型；

2.广义Laguerre–Volterra(L-V)模型：用Laguerre基函数对时变Volterra核进行展开，得到时变L–V广义模型；

3.时变参数展开：用切比雪夫多项式对时变广义L–V模型的时变参数进行展开，得到时不变模型展开参数；

4.模型项选择：利用向前正交回归算法选出有意义的模型项，排除冗余项；

5.参数估计：利用广义线性拟合算法对时不变参数进行估计；

6.模型重构：通过反向求解得到时变参数，并重构时变核函数。

其中，在所述步骤1中，Voeltrra级数被认为是具有存储(记忆)能力的Taylor级数。Voletrra核可以完全表征非线性系统，系统的二阶以上Volterra核为零时,非线性系统就退化为线性系统。

所述步骤2中，用Laguerre基函数对时变Voletrra核进行展开可以大大减少待求参数的数目。

所述步骤3中，利用切比雪夫多项式对时变参数进行展开可以将时变参数辨识转化成关于多项式的时不变参数辨识问题。

所述步骤4中，利用向前正交回归算法可以大大减少待求参数的数目，同时避免辨识模型的过度拟合。

本发明所提供的基于切比雪夫多项式展开的时变神经动力学系统辨识方法的优点包括：

1.将时变参数辨识转化成关于多项式的时不变参数辨识问题，便于使用大量常规的时不变系统辨识方法求解；

2.方法简单，仅涉及多项式展开操作，计算速度快；

3.收敛速度快，不会出现有偏估计。

附图说明

图1为根据本发明的一个基于神经放电序列实例的时变模型辨识的流程示意图；

图2为一个多输入多输出(multi-input multi-output,MIMO)神经动力学系统被分解为一系列面向不同输出神经元的多输入单输出(multi-input single-output,MISO)模型示意图；

图3(a)和3(b)为根据本发明实施例的时变系统辨识方法与现有的SSPPF算法在时变核函数跟踪上的实验结果对比图；其中，图3(a)为两种算法对前馈核函数变化的跟踪效果图，图3(b)为两种算法对反馈核函数变化的跟踪效果图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步的详细说明。

本发明目的在于提供一种新的基于多项式展开方式的时变辨识方法，以解决面向神经动力学系统的时变系统辨识问题，以能够准确、快速跟踪核函数变化。

根据本发明的一个实施例，提出了基于切比雪夫多项式展开的时变神经动力学系统辨识方法。将时变参数在一组正交基上展开，把时变参数的辨识问题转化成由已知的正交函数和系统输入、输出来估计线性组合中的时不变参数估计问题，然后利用时不变参数辨识的方法求出展开式中的系数，从而求得时变参数值。图1展示了根据本发明的一个实施案例方法的流程图，包括：

首先用Volterra级数表征由仿真输入输出锋电位序列组成的时变神经系统，构造时变广义Volterra模型(generalized Volterra model,GVM)(步骤1)；接着，用Laguerre基函数对时变Volterra核进行展开，得到时变广义Laguerre–Volterra模型(广义L–V模型)(步骤2)；然后，用切比雪夫多项式对时变广义Laguerre–Volterra模型的时变参数进行展开，得到时不变模型展开参数(步骤3)；最后，利用向前正交回归算法选出有意义的模型项，并利用广义线性拟合算法对时不变参数进行估计，通过反向求解得到时变参数，并重构时变核函数(步骤4-6)。

下面具体介绍根据本发明所提供的基于切比雪夫多项式展开的时变神经动力学系统辨识方法，其步骤包括：

1.广义Volterra模型：用Volterra级数完全表征时变神经动力学系统模型，构建时变广义Volterra模型；

在神经集群活动中，一个MIMO动力学系统可以被分解为一系列面向不同输出神经元的MISO模型，如图2所示。每个MISO系统都有一个对应的符合生理结构的模型，可用下式表示：

w＝u(K,x)+a(H,y)+ε(σ)   (1)

$y=\left\{\begin{array}{ccc}0& when& w<\mathrm{\&theta;}\\ 1& when& w\&GreaterEqual;\mathrm{\&theta;}\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，x与y分别表示输入、输出锋电位序列，w表示输出神经元的阈前膜电位，w由输入锋电位序列引起的突触后电位u、输出锋电位序列触发的后电位a及偏差为σ的高斯白噪声ε的总和表示。阈值θ决定了输出锋电位序列y以及相关联的反馈后电位a的产生。

从x到u的前馈传递及从y到a的反馈传递，分别采用一阶沃尔泰拉模型K和一阶沃尔泰拉模型H的形式表示，得到时变广义沃尔泰拉模型(time-varyinggeneralized Volterra model,TVGVM)。

$u\left(t\right)=k_0+\underset{n=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}\underset{\mathrm{\&tau;}=0}{\overset{M_k}{\&Sigma;}}{k}_1^{\left(n\right)}(t,\mathrm{\&tau;})x_n(t-\mathrm{\&tau;})---\left(3\right)$

$a\left(t\right)=\underset{\mathrm{\&tau;}=1}{\overset{M_h}{\&Sigma;}}h(t,\mathrm{\&tau;})y(t-\mathrm{\&tau;})---\left(4\right)$

其中，在K中，k₀表示当输入为0时对应的输出值，一阶核函数描述了第n个输入锋电位序列x_n与输出u之间的线性关系。在H中，h表示反馈核函数，描述了输出锋电位序列y与a之间的线性关系。N为输入锋电位序列个数，M_K和M_h分别表示前馈和反馈过程的记忆长度，为时变沃尔泰拉核函数。本发明的一个目的就是准确辨识并跟踪时变沃尔泰拉核函数。

2.广义L-V模型：用Laguerre基函数对时变广义Volterra核进行展开，得到时变广义Laguerre–Volterra模型；

近年来，Volterra级数模型在线性或非线性系统建模当中被广泛应用，但是Volterra级数模型存在维数灾难问题，也就是说若是系统的记忆长度较长，则需要辨识的时域核呈指数增长，计算量也将相应增加，有时候可能还会出现数据饱和的情况。一种有效的方法就是将Volterra核用一组正交基(orthogonal basis,OB)来表示。考虑到Laguerre基函数只涉及两个参数：α和L，并且在具有时延、估计参数灵敏度低的情况下仍能够优良的逼近系统的真实值，在本发明中，采用Laguerre基函数{b_j(m),j＝1,2,…,L}作为正交基对神经放电序列的时变Volterra核进行初步展开。具体地，首先将输入和输出锋电位序列x和y与{b_j(m),j＝1,2,…,L}卷积，可得：

$v_j^{\left(n\right)}\left(t\right)=\underset{\mathrm{\&tau;}=0}{\overset{M_k}{\&Sigma;}}{b}_j\left(\mathrm{\&tau;}\right)x_n(t-\mathrm{\&tau;})---\left(5\right)$

$v_j^h\left(t\right)=\underset{\mathrm{\&tau;}=1}{\overset{M_h}{\&Sigma;}}{b}_j\left(\mathrm{\&tau;}\right)y(t-\mathrm{\&tau;})---\left(6\right)$

将式(5)、(6)分别代入到式(3)、(4)，可得突触后电位u、触发后电位a分别表示如下：

$u\left(t\right)=c_0+\underset{n=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}\underset{j=1}{\overset{L}{\&Sigma;}}{c}_1^{\left(n\right)}(t,j)v_j^{\left(n\right)}\left(t\right)---\left(7\right)$

$a\left(t\right)=\underset{j=1}{\overset{L}{\&Sigma;}}{c}^h(t,j)v_j^h\left(t\right)---\left(8\right)$

其中，c₀与k₀相等，和c^h分别为和h的Laguerre展开系数。

利用Laguerre基函数对TVGVM核函数,进行展开，得到时变广义Laguerre–Volterra模型(time-varying generalized Laguerre–Volterr model,TVGLVM)，减少了待求参数个数、对模型进行稀疏，同时避免过拟合现象。其中，为时变广义线性系统展开系数。

3.时变参数展开：用切比雪夫多项式对时变广义Laguerre–Volterra模型的时变参数进行展开，得到时不变模型展开参数；

为准确辨识时变广义Laguerre–Volterra模型系统参数，将式(7)、(8)中的时变参数和c^h分别用切比雪夫多项式展开，将时变参数估计问题转化为关于多项式的时不变参数辨识问题，通过对时不变参数的辨识进而求得时变参数，定义如下：

$c^{\left(n\right)}(t,j)=\underset{\mathrm{\&omega;}=0}{\overset{W-1}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&alpha;}}_1^{\left(n\right)}(j,\mathrm{\&omega;}){\mathrm{\&pi;}}_{\mathrm{\&omega;}}\left(t\right)---\left(9\right)$

$c^h(t,j_1,j_2)=\underset{\mathrm{\&omega;}=0}{\overset{W-1}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&alpha;}}^h(j_1,j_2,\mathrm{\&omega;}){\mathrm{\&pi;}}_{\mathrm{\&omega;}}\left(t\right)---\left(10\right)$

其中，为展开式系数，W为切比雪夫多项式的维数。将式(9)、(10)带入式(7)、(8)中可得：

$u\left(t\right)=c_0+\underset{n=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}\underset{j=1}{\overset{L}{\&Sigma;}}\underset{\mathrm{\&omega;}=0}{\overset{W-1}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&alpha;}}_1^{\left(n\right)}(j,\mathrm{\&omega;}){\mathrm{\&pi;}}_{\mathrm{\&omega;}}\left(t\right)v_j^{\left(n\right)}\left(t\right)---\left(11\right)$

$a\left(t\right)=\underset{j=1}{\overset{L}{\&Sigma;}}\underset{\mathrm{\&omega;}=0}{\overset{W-1}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&alpha;}}^h(\mathrm{\&omega;},j){\mathrm{\&pi;}}_{\mathrm{\&omega;}}\left(t\right)v_j^h\left(t\right)---\left(12\right)$

令

$V^{\left(n\right)}(t,j,\mathrm{\&omega;})={\mathrm{\&pi;}}_{\mathrm{\&omega;}}\left(t\right)v_j^{\left(n\right)}\left(t\right)---\left(13\right)$

$V^h(t,j,\mathrm{\&omega;})={\mathrm{\&pi;}}_{\mathrm{\&omega;}}\left(t\right)v_j^h\left(t\right)---\left(14\right)$

将式(13)、(14)分别代入式(11)、(12)可得：

$u\left(t\right)=c_0+\underset{n=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}\underset{j=1}{\overset{L}{\&Sigma;}}\underset{\mathrm{\&omega;}=0}{\overset{W-1}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&alpha;}}_1^{\left(n\right)}(j,\mathrm{\&omega;})V^{\left(n\right)}(t,j,\mathrm{\&omega;})---\left(15\right)$

$a\left(t\right)=\underset{j=1}{\overset{L}{\&Sigma;}}\underset{\mathrm{\&omega;}=0}{\overset{W-1}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&alpha;}}^h(\mathrm{\&omega;},j)V^h(t,j,\mathrm{\&omega;})---\left(16\right)$

由式(15)、(16)可以看出，原来的时变广义Laguerre–Volterra模型(见式(7)、(8))已经转换为时不变回归模型，对应的时不变参数为通过将时变参数用切比雪夫多项式展开，将最初的时变参数辨识问题转化为确定性回归选择与参数估计问题，其中，未知的时变参数包含在切比雪夫多项式展开式中。

4.模型项选择：利用向前正交回归算法选出有意义的模型项，排除冗余项；

模型结构选择在系统辨识过程中是非常重要的步骤。有意义的模型项或回归量从冗余的模型项集合中选出来，以得到一个更为即简单又有效的模型。例如，当W、L和N比较大时，式(15)、(16)描述的切比雪夫多项式展开模型可能包含大量候选模型项(M)。然而，在这些候选模型项中，存在大量的冗余项，将会导致模型过度拟合或出现病态情况。因此，确定有意义的模型项是系统辨识与建模中非常重要的步骤。在本发明中，采用向前正交回归算法对模型结构进行检测，最终得到一个仅包含n(n＜＜M)个有意义的模型项及未知参数的简单有效模型结构。

5.参数估计：利用广义线性拟合算法对时不变参数进行估计。

根据记录的输出锋电位序列y和选出的有意义的模型项{η₁,η₂,...,η_n}，用广义线性拟合算法估计出时不变参数结合选出的有意义模型项以及相关的模型参数估计值，得到精简的模型表达式。

6.模型重构：通过反向求解得到估计出的时变参数，并重构时变核函数。

根据估计出的时不变展开系数利用公式(9)、(10)，可以得到估计出的拉盖尔展开系数。最终的系数和可以分别通过一个标准化过程求得 ${\hat{c}}^{\left(n\right)}={\tilde{c}}^{\left(n\right)}/(\mathrm{\&theta;}-{\tilde{c}}_0),{\hat{c}}_h={\tilde{c}}_h/(\mathrm{\&theta;}-{\tilde{c}}_0),\widehat{\mathrm{\&sigma;}}=\mathrm{\&sigma;}/(\mathrm{\&theta;}-{\tilde{c}}_0).$

前馈核函数可以通过如下过程重构：

${\hat{k}}_0=0$

${\hat{k}}_1^{\left(n\right)}\left(\mathrm{\&tau;}\right)=\underset{j=1}{\overset{L}{\&Sigma;}}{\hat{c}}_1^{\left(n\right)}\left(j\right)b_j^{\left(n\right)}\left(\mathrm{\&tau;}\right)---\left(17\right)$

类似地，反馈核函数可以通过如下过程重构：

$\hat{h}\left(\mathrm{\&tau;}\right)=\underset{j=1}{\overset{L}{\&Sigma;}}{\hat{c}}_h\left(j\right)b_j^{\left(h\right)}\left(\mathrm{\&tau;}\right)---\left(18\right)$

本发明的上述实施例与现有主流自适应滤波算法中跟踪效果较好的算法，即随机状态点过程滤波器算法进行了实验对比。结合图1，构造单输入单输出，前馈与反馈核函数均为一阶的时变模型。令输入锋电位序列为放电率为6Hz的泊松分布，阈值θ为0，噪声偏差σ为1，相邻两次仿真时间间隔为2ms，仿真数据总时间为200s。前馈与反馈核函数在100s发生阶跃变化，其中，前馈核函数幅值变为初始值的2倍，反馈核函数的幅值变为初始值的1/2，如图3(a)、3(b)中虚线所示。实验中得到的仿真输入输出数据用于后续的模型估计。两种方法对核函数跟踪变化结果如图3所示。

图3(a)和图3(b)分别展示了SSPPF算法与切比雪夫多项式展开算法在整个实验过程中，对真实核函数幅值变化估计的对比实验结果。由图可知，随着时间的演变，两种算法最终都能够较好地跟踪核函数的变化。SSPPS算法能够平稳得到准确的核函数估计，但跟踪速度较慢，估计效果较差。在对核函数幅值的跟踪速度上，本发明提出的切比雪夫多项式展开算法明显优于SSPPF算法。

作为定量分析，本发明人引入平均绝对误差(mean absolute error,MAE)和标准化平方根误差(normalized root mean squared error,NRMSE)来衡量辨识精度，见表1，MAE和NRMSE越小，表明辨识精度越高，效果越好。MAE与NRMSE的定义式分别为：

$MAE=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{s}\underset{t=1}{\overset{s}{\&Sigma;}}\left|{\hat{K}}_1\right(t)-K_1(t\left)\right|\\ \frac{1}{s}\underset{t=1}{\overset{s}{\&Sigma;}}\left|{\hat{H}}_1\right(t)-H_1(t\left)\right|\end{array}\right.---\left(19\right)$

$NRMSE=\left\{\begin{array}{c}\sqrt{\frac{1}{s}\underset{t=1}{\overset{s}{\&Sigma;}}\frac{\left|\right|{\hat{K}}_1\left(t\right)-K_1\left(t\right)|{|}^2}{\left|\right|K_1\left(t\right)|{|}^2}}\\ \sqrt{\frac{1}{s}\underset{t=1}{\overset{s}{\&Sigma;}}\frac{\left|\right|{\hat{H}}_1\left(t\right)-H_1\left(t\right)|{|}^2}{\left|\right|H_1\left(t\right)|{|}^2}}\end{array}\right.---\left(20\right)$

其中，K₁(t)和H₁(t)分别表示真实前馈、反馈核函数幅值；和分别表示估计出的前馈反馈核函数幅值；s表示输入输出锋电位序列的总长度。

由表1容易看出，切比雪夫多项式展开算法比SSPPF算法具有更小的MAE和NRMSE值，从统计的角度证明了本发明提出的方法比SSPPF算法具有更好的估计效果。实验结果表明，本发明提出的辨识方法可以为探索神经动力系统的非平稳特性以及建模更为复杂的时变参数提供新的计算框架。

表5-1 两种时变参数估计算法的MAE与NRMSE对比

本发明提出的基于切比雪夫多项式展开的时变神经动力学系统辨识方法的目的是提高神经放电序列的时变系统辨识的速度与准确度。而且，本发明提出的辨识方法也适用于普通时变信号的辨识操作，所取得的有益效果也是相似的。

以上对本发明所提供的基于切比雪夫多项式展开的时变神经动力学系统辨识方法进行了详细的说明，但显然本发明的范围并不局限于此。在不脱离所附权利要求书所限定的保护范围的情况下，对上述实施例的各种改变都在本发明的范围之内。

Claims (4)

1.基于切比雪夫多项式展开的时变神经动力学系统辨识方法，其特征在于包括：

步骤1.广义Volterra模型：用Volterra级数完全表征时变神经动力学系统模型，构建时变广义Volterra模型；

步骤2.广义L-V模型：用Laguerre基函数对时变Volterra核进行展开，得到时变广义Laguerre–Volterra模型；

步骤3.时变参数展开：用切比雪夫多项式对时变广义Laguerre–Volterra模型的时变参数进行展开，得到时不变模型展开参数；

步骤4.模型项选择：利用向前正交回归算法选出有意义的模型项，排除冗余项；

步骤5.参数估计：利用广义线性拟合算法对时不变参数进行估计；

步骤6.模型重构：通过反向求解得到时变参数，并重构时变核函数。

2.如权利要求1所述的基于切比雪夫多项式展开的时变神经动力学系统辨识方法，其特征在于：

所述步骤3包括：利用切比雪夫多项式对时变广义Laguerre–Volterra模型参数进行展开，其中切比雪夫多项式的控制参量为多项式维数W。与时间相关的时变Laguerre展开参数转化为与多项式相关的时不变的展开系数设展开系数共M项。

3.如权利要求1所述的基于切比雪夫多项式展开的时变神经动力学系统辨识方法，其特征在于：

所述步骤4包括：利用向前正交最小二乘算法选出有意义的模型项，即从M项{α₁,α₂,...,α_M}中选出有意义的n项{η₁,η₂,...,η_n},n＜＜M。所述向前正交最小二乘算法选用误差减小率(error reduction ratio,ERR)准则及误差减小率总和(sumof error reduction ratio,SERR)准则作为模型结构选择标准。

4.如权利要求1所述的基于切比雪夫多项式展开的时变神经动力学系统辨识方法，其特征在于：

所述步骤5包括：利用利用广义线性拟合算法(generalized linear model fitalgorithm,GLMFIT)对时不变参数进行估计，得出时不变展开系数的估计值，并用于重构时变核函数。