CN102891686B - 一种非规则准循环低密度奇偶校验码构造方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种非规则准循环低密度奇偶校验码构造方法，包括以下步骤：确定待设计的校验矩阵的基矩阵的行参数和列参数；按行遍历所有列，利用汉诺塔数列构造生成矩阵H1；由公式p_j，l=f(j+l)+j得到该位置的循环置换矩阵偏移值，将循环置换矩阵偏移值放在构造的基矩阵的第j行第l列的位置；由所有的循环置换矩阵偏移值p_j，l构成矩阵H1；采用PEG算法，构造一个非规则的校验矩阵H2；生成全1矩阵I，并对矩阵H2做减法运算，得到矩阵H3；对矩阵H2做循环移位参数替换操作得到基矩阵；选取单位矩阵作为循环移位矩阵，将单位矩阵参照基矩阵元素进行循环移位操作，扩展基矩阵得到校验矩阵。本发明有效的降低了LDPC码构造过程中的存储复杂度。

Description

一种非规则准循环低密度奇偶校验码构造方法

技术领域

本发明涉及通信领域，特别是涉及一种非规则准循环低密度奇偶校验（简称“QC-LDPC”）码构造方法。

背景技术

LDPC码即低密度奇偶校验码（Low Density Parity Check Code，LDPC），是由RobertG.Gallager提出的一类具有稀疏校验矩阵的线性分组码。后经MacKay和Neal等人对LDPC码重新进行研究，提出了针对LDPC码得可行性译码算法，从而进一步发现了LDPC码所具有的良好性能。

目前，LDPC码已广泛应用于深空通信、光纤通信、卫星数字视频和音频广播等领域。LDPC码已成为第四代移动通信系统（4G）强有力的竞争者，而基于LDPC码的编码方案已经被下一代卫星数字视频广播标准DVB-S2采纳。

随机LDPC码因为其接近香农限的性能，被广泛的关注研究。随机LDPC码校验矩阵的高实现复杂度成为阻碍其实际应用的一个障碍。随后，人们研究发现准循环结构的校验矩阵可以在复杂度和性能之间取得一个很好的折中，因此，QC-LDPC码的校验矩阵的构造成为了LDPC码构造的一个重要研究方向。

QC-LDPC码的构造思路是首先构造校验矩阵H的基矩阵B，然后用尺寸为p×p的单位矩阵I(0)及其p_j，l次循环右移矩阵I(p_j，l)填充基矩阵构成校验矩阵，式中：0≤j≤J-1；0≤l≤L-1。基矩阵的每一个位置给出了该位置对应的循环置换矩阵的循环右移次数。校验矩阵H和基矩阵B分别定义为：

基于阵列构造的准循环LDPC码给出了一种构造基矩阵的思路。对于尺寸为J×L的基矩阵，采取的构造方法是对1到JL的整数进行随机交织，交织的参数为J行L列，得到的矩阵正好构成阵列LDPC码的基矩阵。

分析发现，它的校验矩阵存储复杂度为JL，是随机构造LDPC码的仍然具有很高的存储复杂度，同时，该方案没有很好体现LDPC码的接近香农限性能，主要原因是没有有效的对长度为4的短环的控制。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种非规则准循环低密度奇偶校验码构造方法，有效的降低了LDPC码构造过程中的存储复杂度。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：提供一种非规则准循环低密度奇偶校验码构造方法，包括以下步骤：

（1）确定待设计的校验矩阵的基矩阵B的行参数J和列参数L；

（2）按行遍历所有列，利用汉诺塔数列构造生成矩阵H1；对于给定的矩阵H1的第j行第l列的位置，由汉诺塔数列的定义：当n为1时，f(1)=1；当n大于1时，f(n+1)=2×f(n)+1，依次得到每一个汉诺塔数列的项。

（3）由公式p_j，l=f(j+l)+j得到该位置的循环置换矩阵偏移值p_j，l；将循环置换矩阵偏移值p_j，l放在构造的基矩阵的第j行第l列的位置；

（4）由所有的循环置换矩阵偏移值p_j，l构成矩阵H1；

（5）采用PEG算法，构造一个非规则的校验矩阵H2；

（6）生成全1矩阵I，并对矩阵H2做减法运算，得到矩阵H3；

（7）对矩阵H2做循环移位参数替换操作，得到非规则QC-LDPC码校验矩阵基矩阵B，替换算法可用公式B=H2×H1+H3完成，其中“×”表示矩阵的按位相乘操作；

（8）选取单位矩阵E作为循环移位矩阵，将矩阵E参照基矩阵元素进行循环移位操作，扩展基矩阵B即可得到非规则LDPC码校验矩阵H。

所述步骤（5）中度数分布函数选取λ(x)=0.38354x+0.04237x²+0.57409x³。

有益效果

由于采用了上述的技术方案，本发明与现有技术相比，具有以下的优点和积极效果：本发明只要存储汉诺塔数列的生成多项式和计算循环置换矩阵偏移值的通项公式，在实际系统应用的时候，可以通过简单的代数运算即可生成对应的校验矩阵的基矩阵，而不需要向基于阵列构造的LDPC码那样，存储基矩阵的每一个位置的循环移位次数，本发明的存储复杂度为2，与现有的构造方法的复杂度之比为因此，随着基矩阵尺寸的增大，本发明所带来的复杂度降低效果将逐渐增加。

具体实施方式

下面结合具体实施例，进一步阐述本发明。应理解，这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围。此外应理解，在阅读了本发明讲授的内容之后，本领域技术人员可以对本发明作各种改动或修改，这些等价形式同样落于本申请所附权利要求书所限定的范围。

本发明的实施方式涉及一种非规则准循环低密度奇偶校验码构造方法，包括以下步骤：

（1）确定待设计的校验矩阵的基矩阵B的行参数J和列参数L，假设J=12，L=12，那么构造的基矩阵记为B(12,12)。

（2）按行遍历所有列，利用汉诺塔数列构造生成矩阵H1；对于给定的矩阵H1的第j行第l列的位置，由汉诺塔数列的定义：当n为1时，f(1)=1；当n大于1时，f(n+1)=2×f(n)+1，依次得到每一个汉诺塔数列的项，例如：f(2)=2×f(1)+1=3，f(3)=2×f(2)+1=7，…。

（3）由公式p_j，l=f(j+l)+j得到该位置的循环置换矩阵偏移值p_j，l，将循环置换矩阵偏移值p_j，l放在构造的基矩阵的第j行第l列的位置。例如，对于第一行第一列，p_1,1=f(2)+1=3+1=4；对于第二行第一列，p_2,1=f(3)+2=7+2=9；以此类推，可以得到所有的J行L列的p_j，l数值。

（4）由所有的循环置换矩阵偏移值p_j，l构成矩阵H1。

（5）采用PEG算法，构造一个非规则的校验矩阵H2，度数分布函数选取λ(x)=0.38354x+0.04237x²+0.57409x³，其中，函数变量x结合它的幂指数n，构成xⁿ统一表示的意思是度数为n的变量，xⁿ的系数表示的意思是它在所有变量中占到的比重。对应λ(x)=0.38354x+0.04237x²+0.57409x³表示的意思是度数为1的变量的比重为0.38354，度数为2的变量的比重为0.04237，度数为3的变量的比重为0.57409。H2(i，j)∈{0,1}，i∈[0,m)，j∈[0,n)，m表示矩阵H2的总行数，n表示矩阵H2的总列数。

（6）生成全1矩阵I，并对矩阵H2做减法运算，得到矩阵H3，其中，H3=H2-I，H3(i，j)∈{0,-1},i∈[0,m)，j∈[0,n)，m表示矩阵H3的总行数，n表示矩阵H3的总列数。

（7）对矩阵H2做循环移位参数替换操作，得到非规则QC-LDPC码校验矩阵基矩阵B，替换算法可用公式B=H2×H1+H3完成，其中“×”表示矩阵的按位相乘操作。得到

$B\left(\mathrm{12,12}\right)=\left[\begin{array}{cccccccccccc}4& -1& -1& 32& -1& -1& -1& 512& -1& 431& -1& -1\\ -1& 17& -1& -1& 129& -1& -1& 486& -1& -1& 108& -1\\ -1& -1& 66& -1& 258& -1& -1& 433& -1& -1& 216& 430\\ -1& -1& -1& 259& 515& -1& 434& -1& -1& -1& 431& -1\\ -1& -1& -1& 516& -1& 435& -1& -1& 218& -1& -1& 99\\ -1& -1& 517& -1& -1& 328& -1& 219& -1& -1& -1& 195\\ -1& 518& -1& -1& -1& 113& -1& -1& 323& -1& -1& -1\\ -1& -1& 438& -1& -1& -1& 435& -1& 102& -1& 387& -1\\ -1& 439& -1& -1& -1& -1& 325& -1& 198& -1& -1& -1\\ -1& -1& 116& -1& -1& 326& -1& -1& -1& 230& -1& -1\\ -1& -1& -1& 438& 327& -1& -1& -1& -1& 452& -1& -1\\ 118& -1& -1& -1& -1& -1& 391& -1& -1& 356& -1& 313\end{array}\right].$

（8）选取单位矩阵E作为循环移位矩阵，将矩阵E参照基矩阵元素进行循环移位操作，扩展基矩阵B即可得到非规则LDPC码校验矩阵H。

经过本发明构造得到的校验矩阵的环长至少为6，以下是论证过程。

对于一个数列f(n)，n为非负整数，若当n为1时，f(1)=1，当n大于1时，f(n+1)=2×f(n)+1，则满足这个递推关系的数列称为汉诺塔数列，它的项就叫做汉诺塔数列数。一个典型的汉诺塔数列如下：1、3、7、15、31、63、127、255、511，…。

对于一个汉诺塔数列，若n>m且n，m，k∈z+，则有f(n+k)-f(n)>f(m+k)-f(m)。

证明：采用数学归纳法证明。

根据汉诺塔数列的定义可知，汉诺塔数列是一个单调递增数列，即，对于n>m，有f(n)>f(m)。

当k=1时，f(n+k)-f(n)＝(n+1)-f(n)＝f(n)+1，

f(m+k)-f(m)＝f(m+1)-f(m)=f(m)+1，

因为f(n)>f(m)，

所以f(n+k)-f(n)>f(m+k)-f(m)；

当k=2时，

f(n+k)-f(n)=f(n+2)-f(n)=f(n+2)-f(n+1)+f(n+1)-f(n)=f(n+1)+1+f(n)+1=f(n+1)+f(n)+2，

f(m+k)-f(m)=f(m+2)-fm)=f(m+2)-f(m+1)+fm+1)-f(m)=f(m+1)+1+f(m)+1=f(m+1)+f(m)+2，

因为f(n)>f(m)，f(n+1)>f(m+1)，

所以f(n+k)-f(n)>f(m+k)-f(m)；

以此类推，

$f(n+k)-f\left(n\right)$

$=f(n+k)-f(n+k-1)+f(n+k-1)-f(n+k-2)+f(n+k-2)-\·\·\·+f(n+1)-f\left(n\right)$

$=k+\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}f(n+k-i)$

$f(m+k)-f\left(m\right)$

$=f(m+k)-f(m+k-1)+f(m+k-1)-f(m+k-2)+f(m+k-2)-\·\·\·+f(m+1)-f\left(m\right)$

$=k+\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}f(m+k-i)$

因为f(n)>f(m)，f(n+1)>f(m+1)，…，f(n+k-1)>f(m+k-1)

所以f(n+k)-f(n)>f(m+k)-f(m)。

至此，命题f(n+k)-f(n)>f(m+k)-f(m)得证。

由此可见，汉诺塔数列中项序号差相等的汉诺塔数列数组成的新序列是单调递增的。

LDPC码的环长定义为其校验矩阵所含的最短环的长度。其中，长度为4的环对LDPC码性能的影响最大。较短的环会导致译码的时候，迭代信息在2次迭代以后互相关，影响译码的收敛。因此，设计性能优良的LDPC码，至少要消除四环。矩阵H包含长度为4的环可以表示为(j₀,l₀),(j₀,l₀)，(j₁,l₁),(j₁,l₀)，根据校验矩阵不含四环的充要条件，对任意的(j₀,l₀)和(j₁,l₁)，其中，mod表示取模运算，p表示模的大小，一般选取矩阵中最大的那个数。

令校验矩阵H的基矩阵B中第j行第l列的循环置换矩阵的偏移值为p_j，l=f(j+l)+j。p取任意比基矩阵B中最大的数值大的值。不失一般性，令j₀<j₁，l₀<l₁，则：

$(p_{j_0,l_1}-p_{j_0,l_0})=[f(j_0+l_1)+j_0]-[f(j_0+l_0)+j_0]=f(j_0+l_1)-f(j_0+l_0),$

$(p_{j_1,l_1}-p_{j_1,l_0})=[f(j_1+l_1)+j_1]-[f(j_1+l_0)+j_1]=f(j_1+l_1)-f(j_1+l_0).$

利用上述的汉诺塔数列的性质可知:

[f(j₁+l₁)-f(j₁+l₀)]>[f(j₀+l₁)-f(j₀+l₀)]，

进一步可得:

$(p_{j_1,l_1}-p_{j_1,l_0})>(p_{j_0,l_1}-p_{j_0,l_0}),$

即

$(p_{j_1,l_1}-p_{j_1,l_0})+(p_{j_0,l_0}-p_{j_0,l_1})>0,$

满足校验矩阵不含长度为4的环的条件。因此，设计的校验矩阵的环长至少为6。

分析上述构造过程可以发现，系统只要存储汉诺塔数列的生成多项式和计算循环置换矩阵偏移值的通项公式，在实际系统应用的时候，可以通过简单的代数运算即可生成对应的校验矩阵的基矩阵，而不需要向基于阵列构造的LDPC码那样，存储基矩阵的每一个位置的循环移位次数。下边具体分析二者的存储复杂度差别。

很显然，对于尺寸为J×L的基矩阵，基于阵列构造的方法的存储复杂度为J×L=JL。

基于本发明方法构造的存储复杂度可以从公式p_j，l=f(j+l)+j的计算复杂度考虑。首先，计算f(j+l)需要一个加法器，然后，计算p_j，l=f(j+l)+j需要一个加法器，因此，整个偏移值p_j，l的计算需要两个加法器。综合考虑，需要的寄存器数目为2，因此，本发明的存储复杂度为2。

对比两种方法的复杂度之比为因此，随着基矩阵尺寸的增大，本发明所带来的复杂度降低效果将逐渐增加。

同时，仿真结果表明，本发明所构造的准循环LDPC码比阵列LDPC码有4dB左右的性能提升，与IEEE802.16e码性能接近。综合上述结论表明，相比与阵列结构LDPC码，本发明在降低了存储复杂度的同时，还提升准循环LDPC码的性能。

Claims (2)

1.一种非规则准循环低密度奇偶校验码构造方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)确定待设计的校验矩阵的基矩阵B的行参数J和列参数L；

(2)按行遍历所有列，利用汉诺塔数列构造生成矩阵H1；对于给定的矩阵H1的第j行第l列的位置，由汉诺塔数列的定义：当n为1时，f(1)＝1；当n大于1时，f(n+1)＝2×f(n)+1，依次得到每一个汉诺塔数列的项；

(3)由公式p_j,l＝f(j+l)+j得到该位置的循环置换矩阵偏移值p_j,l；将循环置换矩阵偏移值p_j,l放在构造的基矩阵的第j行第l列的位置；

(4)由所有的循环置换矩阵偏移值p_j,l构成矩阵H1；

(5)采用PEG算法，构造一个非规则的校验矩阵H2；

(6)生成全1矩阵I，并用矩阵H2减去全1矩阵I，得到矩阵H3；

(7)对矩阵H2做循环移位参数替换操作，得到非规则QC-LDPC码校验矩阵基矩阵B，替换算法用公式B＝H2×H1+H3完成，其中“×”表示矩阵的按位相乘操作；

(8)选取单位矩阵E作为循环移位矩阵，将矩阵E参照基矩阵元素进行循环移位操作，扩展基矩阵B即可得到非规则LDPC码校验矩阵H。

2.根据权利要求1所述的非规则准循环低密度奇偶校验码构造方法，其特征在于，所述步骤(5)中PEG算法的度数分布函数选取λ(x)＝0.38354x+0.04237x²+0.57409x³。