CN102811063A - 一种低密度奇偶校验码的构造方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种低密度奇偶校验码的构造方法，该低密度奇偶校验码的校验矩阵包含变量节点和校验节点，其特征在于包括以下步骤：根据无标度网络幂律分布给出变量节点的度分布序列，同时限制校验节点的度数为2个常数值；控制变量节点按照度的大小，按照升序从矩阵的左至右排列；使用渐进边增长算法在步骤2的约束下构造校验矩阵；检验步骤3得到的校验矩阵中是否含有四环，如有则找出，并利用四环搜索算法删除一定数量1达到无四环矩阵，得到最终的校验矩阵。采用上述方法得到的低密度奇偶校验码，其性能与已有好码无明显差距，但码复杂度有明显降低，缩短了迭代译码时间。

Description

一种低密度奇偶校验码的构造方法

技术领域

本发明涉及通信领域，更具体的说，涉及通讯中的信道编码技术领域。

背景技术

在通信领域，通常采用信道编码技术来保证在噪声信道中通信的可靠性。比如，在卫星通信系统中，由于地理和环境因素的影响，存在大量的噪声源。这些通信信道有其理论上的最大通信容量(也就是著名的香农限)，该容量可以使用特定信噪比(SNR)条件下的比特速率(bps)来表示，其中一种接近香农限的编码就是低密度奇偶校验(LDPC)码。目前，LDPC码由于其逼近香农极限的纠错性能，得到了众多研究人员的重视和广泛的研究。LDPC码的研究主要集中在三个方面，一是优秀的LDPC码的构造研究；二是优秀译码算法的研究；三是LDPC码的应用研究。其中，LDPC码的构造研究是提升LDPC码性能的最根本的途径。优秀性能的LDPC码的构造，也称为好码构造倾注了研究人员的众多很有成效的努力，也取得了一系列优秀的技术方案。

例如，申请号为CN200810060323.4的专利申请，其涉及一种基于欧氏几何的可分解的LDPC码编码方法，其将原始的LDPC码分解成q个LDPC子码，使得在译码中可以采用多级译码，实现q次二进制迭代译码算法得到LDPC短码的译码结果，根据调制方式和交织方式，经过简单的组合就可以得到最终的原始LDPC码的译码结果，降低了译码复杂度，从译码复杂度角度考虑进行了码字的构造；申请号为CN200810030062的专利申请，其涉及一种多元LDPC码的构造方法及编码方法，其通过矩阵的扩展及结合单位矩阵的循环移位，得到了一种多元的LDPC码；申请号为CN200810150389的专利申请，其涉及一种准循环LDPC码的逐块构造方法，其采用准循环的方法，构造出了块矩阵之间不存在长度为4和6的环，最终构造出了环长为8的准循环LDPC码。

虽然上述多种LDPC码的构造方案均能构造出好码，但均有不足，它们在迭代译码时，迭代路径可能较长，增加了译码的时间。

另一方面，从20世纪末开始，人们对于复杂网络的研究已经渗透到了数理学科、生命学科和工程学科等众多不同的领域，对复杂网络进行定量与定性的科学理解成为网络科学研究领域的新课题。复杂网络有很多生活实例代表，如发展速度日益迅猛的Internet网络、电力网络、通信网络、交通网络等等，它们正在成为复杂网络在各自领域的热门研究对象。对实际各类网络进行抽象，研究复杂网络的共性，以期定量和定性地科学解释实际中的各类网络。

复杂网络由节点和连接节点的边所构成的。在复杂网络中，某一节点的度代表本节点与其他节点相连的边的数量，并用一个分数来表示某一节点具有度为k＝1，2，3，…的概率。网络中的两个节点若存在一个由单个或多个边组成的连接路径则称两个节点是相连的。节点之间的距离定义为最短路径上的边的数目。由此，可以定义网络的平均路径长度(average path length APL)，它是网络之间节点之间的平均距离的量度。

目前已从各种角度建立了多种网络结构的模型，较清晰的分类方法从是网络连接的规则度与随机度这一指标出发，例如随机网络、lattice网络、小世界网络和无标度网络。随机网络节点之间完全按照一定的概率随机连接，规则网络节点之间的连接数是固定的。然而，现实世界的网络并不是完全随机的，也不是完全规则的。于是，介于两者之间的小世界网络模型被提出。基于小世界模型的研究发现，现实中的好多网络，例如因特网，万维网具有幂律分布的特点，主要特征是大部分节点具有很小的连接数，只有一小部分节点具有很大的连接数，这样的网络成为无标度网络无标度网络，也是目前最接近现实的网络的模型，其节点的度分布满足幂律分布：

P_r(k)＝Ak^r    (1)

其中，r是特征指数，A是校正因子。与其他网络相比，无标度网络具有最小数目的连接数，被发现能够达到最短的平均路径。同样，在平均路径长度一样的情形下，无标度网络与其他网络相比具有最小的连接数目。因此，若使LDPC码的消息迭代图模型具有无标度的性质，其迭代平均路径会变短，则能加速其消息的传播和收敛。

发明内容

为了克服上述问题，本发明设计一种基于无标度网络的LDPC码的构造方法，其结合图论的角度来对校验矩阵对应的Tanner图进行研究，在LDPC码的校验矩阵构造过程中同时关注了迭代译码的路径长度。

本发明提出了一种低密度奇偶校验码的构造方法，该低密度奇偶校验码的校验矩阵包含变量节点和校验节点，其特征在于包括以下步骤：

步骤1，根据无标度网络幂律分布给出变量节点的度分布序列，同时限制校验节点的度数为2个常数值；

步骤2，控制变量节点按照度的大小，按照升序从矩阵的左至右排列；

步骤3，使用渐进边增长算法在步骤2的约束下构造校验矩阵；

步骤4，检验步骤3得到的校验矩阵中是否含有四环，如有则找出，并利用四环搜索算法删除一定数量1达到无四环矩阵，得到最终的校验矩阵。

通过本发明提出的方案利用幂律分布，构造基于无标度网络的LDPC码，利用其最短平均路径的特性，使得构造的LDPC码的迭代译码时间比一般构造的LDPC码有所降低，并且其性能与已有的采用密度进化构造的较复杂的LDPC码无明显差异。

附图说明

图1为LDPC码的二分图。

图2为LDPC码的二分图移除了校验节点后的复杂网络结构。

图3为本发明提出的构造LDPC码的校验矩阵的方法流程图。

图4为根据本发明的构造方法得到的一种校验矩阵示例。

图5为采用本发明的LPDC码进行的误比特率性能实验结果。

图6为将本发明的LDPC码与现有的采用密度进化构造的好码的对比实验结果。

具体实施方式

以下结合附图对本发明的原理和特征进行描述，所举实例只用于解释本发明，并非用于限定本发明的范围。

LDPC码可由其校验矩阵唯一表示，校验矩阵包含变量节点和校验节点，其对应于Tanner二部图的两类节点。已知一个LDPC码的校验矩阵如下：

$H=\left[\begin{array}{cccccccccc}1& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 1& 0& 1\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0& 1& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0& 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 1& 1& 0\end{array}\right]$

图1示出了具有如上式所示的校验矩阵的LDPC码的二分图表示，其中方形表示校验节点，圆形表示变量节点。LDPC码的校验矩阵的行和列分别对应于二分图中的校验节点和变量节点，当且仅当行和列交叉位置元素为1时，校验节点和变量节点之间存在一条边。

为了形象描述消息在变量节点之间的传递，把校验节点从二分图中移除，将存在连接路径的变量节点直接连接起来，形成只含有变量节点的网络图。图2示出了LDPC码的二分图移除了校验节点后的复杂网络结构。LDPC码的迭代译码的过程可以视为是变量节点接收到的外部消息后，消息通过连接边在节点之间的传递，每次到达一个节点时，对节点接收到的消息进行软信息的计算，并检验其收敛条件。迭代译码的路径由校验矩阵定义的变量节点之间的连接关系决定。LDPC码的迭代译码过程是变量节点之间的消息通过校验节点相互传递更新的过程。变量节点之间互相连接当且仅当二分图中通过校验节点，两个变量节点之间至少存在一条路径。

复杂网络中的无标度网络具有平均路径长度最短的特点，其中消息从一个变量节点传递到另一个变量节点所要经历的平均迭代数目对应着无标度网络的平均路径长度。减小平均路径长度APL会加速消息在变量节点之间的传递。在高信噪比区域，这一点更能加速译码器的收敛。无标度网络的节点度分布符合幂律分布，同时，已有理论研究表明，当网络中某类节点的连接满足幂律分布时，移除另一类节点后，剩余的这部分节点仍然满足同一幂律指数的分布。据此，通过移除校验节点，只需构造变量节点符合幂律分布的校验矩阵即可，此时的LDPC码具有迭代路径短，收敛速度快的优点。

因此，本发明提出了一种LDPC码校验矩阵的构造方法，其根据幂律分布公式，结合密度进化算法，给出变量节点的度分布序列，同时根据已有好码的特点，将校验节点的连接度设定为两个固定的值，再利用渐进边增长算法(PEG)构造出校验矩阵，然后利用四环检验和删除算法，对存在四环的回路进行修改以去除矩阵中存在的四环，从而构造出最终的LDPC码的校验矩阵。

图3示出了本发明提出的构造LDPC码的校验矩阵的方法。步骤如下：

步骤1，根据无标度网络幂律分布，给出变量节点的度分布序列，限制校验节点的度数为2个常数值。

构造变量节点连接满足无标度特性也称幂律特性的LDPC码是工作的第一步。某个变量节点含有k个连接的概率表示为Pr_λ(k)。当LDPC码的变量节点服从幂律分布时，Pr_λ(k)∝K^-r，r表示变量节点分布的特征指数。根据∑_KPr_λ(k)＝1，则与度为k的变量节点相连接的边的概率为

${\mathrm{\λ}}_k=\frac{k^{1-r}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=2}^{d_{\mathrm{\ν}}}{i}^{1-r}}---\left(2\right)$

d_ν为变量节点最大的度数，i表示节点的度数，r是特征指数。对应地，用边连接的概率表示的变量节点的度分布可以表示为

$\mathrm{\λ}\left(x\right)=\underset{k=2}{\overset{d_{\mathrm{\ν}}}{\mathrm{\Σ}}}\frac{k^{1-r}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=2}^{d_{\mathrm{\ν}}}{i}^{1-r}}{x}^{k-1}---\left(3\right)$

定义变量节点的平均连接度为

$<k_v>=\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{k=2}^{d_{\mathrm{\&nu;}}}{k}^{1-r}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=2}^{d_{\mathrm{\&nu;}}}{i}^{-r}}---\left(4\right)$

对于校验节点，已有的好码设计显示，校验节点的度数基本保持相同。则可假设校验节点的度数为d_c-2，d_c-1，d_c三个值。同时，校验节点的度分布服从参数为υ的泊松分布。则用Pr_ρ(k)表示校验节点度分布，则

${\mathrm{Pr}}_{\mathrm{\&rho;}}\left(k\right)=\frac{\mathrm{\&upsi;exp}(-\mathrm{\&upsi;})}{k!}---\left(5\right)$

则相应的与度为k的校验节点相连的边的概率为

${\mathrm{\&rho;}}_k=\frac{\frac{{\mathrm{\&upsi;}}^k\exp (-\mathrm{\&upsi;})}{(k-1)!}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=d_c-1}^{d_c}\frac{{\mathrm{\&upsi;}}^j\exp (-\mathrm{\&upsi;})}{(j-1)!}},k\&Element;\{d_c-2,d_c-1,d_c\}---\left(6\right)$

校验节点的度分布可以写为

$\mathrm{\&rho;}\left(x\right)=\underset{k=d_c-2}{\overset{d_c}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{\frac{{\mathrm{\&upsi;}}^k\exp (-\mathrm{\&upsi;})}{(k-1)!}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=d_c-2}^{d_c}\frac{{\mathrm{\&upsi;}}^j\exp (-\mathrm{\&upsi;})}{(j-1)!}}{x}^{k-1}---\left(7\right)$

对于给定的码率R，

$\frac{<k_v>}{1-R}=\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{k=d_c-2}^{d_c}\frac{{\mathrm{\&upsi;}}^k\exp (-\mathrm{\&upsi;})}{(k-1)!}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=d_c-2}^{d_c}\frac{{\mathrm{\&upsi;}}^j\exp (-\mathrm{\&upsi;})}{j!}}---\left(8\right)$

$=\frac{(d_c-2)(d_c-1)d_c+(d_c-1)d_c\mathrm{\&upsi;}+d_c{\mathrm{\&upsi;}}^2}{(d_c-1)d_c+d_c\mathrm{\&upsi;}+{\mathrm{\&upsi;}}^2}$

d_c是大于2的整数，可以确定有

$d_c-2<\frac{<k_{\mathrm{\&nu;}}>}{1-R}<d_c---\left(9\right)$

且

当d_c确定之后，通过(8)即可确定相应的υ。例如可以限制校验节点的度数为两个常数值7和8，则分别得到对应的变量节点度分布。

由于随机构造的LDPC码在很大概率上将会含有短环，这些短环含有大量度为2的变量节点，这些短环的近似环外信息度数为0，对于译码器是非常致命的缺陷。因此，在实际的LDPC码构造中，常见的优化度分布都限制度为2的节点的比例不超过M/N＝1-R，其中所要构造的LDPC码的码长为N，校验位长为M，码率为R。因此，在构造LDPC码时，对度为2的变量节点个数加以限制，则在受限制的LDPC构造中度为2的变量节点的比例为

$\mathrm{Fr}\left(2\right)=\frac{N_{v2}}{N}$

其中，N_V2表示度为2的变量节点的个数。变量节点的度分布重新表示为

${\mathrm{\&lambda;}}_k=\left\{\begin{array}{cc}\frac{2F_r\left(2\right)}{2F_r\left(2\right)+\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=3}^{d_{\mathrm{\&nu;}}}{i}^{1-r}(1-F_r\left(2\right))}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=3}^{d_{\mathrm{\&nu;}}}{i}^{-r}}}& \mathrm{ifk}=2\\ \frac{k^{1-r}(1-F_r\left(2\right))/{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=3}^{d_{\mathrm{\&nu;}}}{i}^{-r}}{2F_r\left(2\right)+\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=3}^{d_{\mathrm{\&nu;}}}{i}^{1-r}(1-F_r\left(2\right))}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=3}^{d_{\mathrm{\&nu;}}}{i}^{-r}}}& \mathrm{otherwise}\end{array}\right.---\left(11\right)$

较佳的，r＝-2.35，其性能最好。

步骤2，控制变量节点按照度的大小，按照升序在矩阵中从左至右排列。从变量节点度分布以及矩阵的列长度N出发，确定矩阵的行列重量。根据列重分布和边度数分布的转换关系计算出列重的分布。重量为i的列的个数为di个，将矩阵列分布按照列重由小到大进行排列。

步骤3，使用渐进边增长PEG算法在步骤2的约束下，构造矩阵H。

LDPC码的迭代译码算法建立在节点间互相传递信息统计独立的假设上。当Tanner图中存在环时，某一节点发出的信息经过一个环长的传递后会被传回到出发节点，造成出发节点信息的叠加，破坏了信息统计独立性，从而影响译码的准确性。但另一方面，有限长度的LDPC码，其Tanner图中环的存在是不可避免的。因此，设计具有大围长的LDPC码是提高译码性能的一个重要指导思想。现有技术已经提出采用PEG算法来构造LDPC码，PEG算法是准循环LDPC码的一种重要构造方法，其基本思想就是通过展开Tanner图，找到距离变量节点最远的校验节点，然后在他们之间添加所需要的边，这样，得到的Tanner图具有最大的周长，从而可以得到性能较好的LDPC码。

具体地，已知码长N、校验位长为M以及变量节点度的分布，PEG算法的步骤如下：

3.1对于任一变量节点s_j，加第一条边时，在当前展开子图中找出连接边最少的校验节点c_i，连接这两个节点作为该变量节点的第一条边

3.2加该变量节点sj的其他边时，把以该节点s_j为根节点将当前Tanner图展开到深度l，如果集合

而

或者集合

包含节点的数目不再继续增加但仍然小于M，则在集合

中选择最少连接边的校验节点进行连接。

3.3重复步骤3.2使当前的变量节点所连接的边添加完毕。

3.4重复3.1-3.3使所有的变量节点的边都添加完毕。

步骤4，检索矩阵H中是否含有四环，如有则找出，并利用四环搜索算法删除一定数量1达到无四环矩阵，也即删除Tanner图中的边来达到除去四环的效果。

其依据以下规则，式(12)给出了M×N校验矩阵H，式(13)为辅助矩阵O，当且仅当辅助矩阵O除了主对角线上元素以外的其他元素全为1或0时，校验矩阵没有四环。

H＝[h(I)…h(N)]    (12)

O＝H^TH＝[h(I)…h(N)]^T[h(I)…h(N)]    (13)

四环搜索方法如下：从矩阵第一行开始，按照式(13)锁定四环位置，将其中某个1标记为3，再进入下一行，将标记为3的元素置为0同时锁定另一个四环位置，并标记其中某个1为3，如此循环。直到整个矩阵不含有四环，则停止检索。

这时，将得到最终的LDPC校验矩阵，其具有迭代路径短，收敛速度快等优点。

图4示出了根据本发明的构造方法得到的一种校验矩阵，其参数如下：码长为1008，校验位长度为504。

在得到了校验矩阵后，进行仿真实验。采用AWGN信道，BPSK调制，仿真结果如图5、6所示。其中，图5示出了采用本发明的LPDC码在上述实验条件的误比特率性能，在信噪比为3dB时，误比特率已接近10^-7。图6示出了将本发明的LDPC码与现有的采用密度进化构造的好码进行对比的实验结果。由图6可以看出，本发明构造的LDPC码在误比特率上与采用密度进化构造的好码性能十分接近。

表1进一步示出了本发明的LDPC码与现有的采用密度进化构造的好码在平均连接数以及最优阈值上的比较。由表1可以看到，本发明的LDPC码连接数更少，减少幅度在20％左右，迭代译码的时间更短。也就是说，本发明的LDPC码在性能与现有好码性能无明显差距，但其平均连接数得到了降低，节省了所需要的迭代译码的时间，并且由于其变量节点度按照升序排列，其复杂度更低，更利于硬件实现。

表1

以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种低密度奇偶校验码的构造方法，该低密度奇偶校验码的校验矩阵包含变量节点和校验节点，其特征在于包括以下步骤：

步骤1，根据无标度网络幂律分布给出变量节点的度分布序列，同时限制校验节点的度数为2个常数值；

步骤2，控制变量节点按照度的大小，按照升序从矩阵的左至右排列；

步骤3，使用渐进边增长算法在步骤2的约束下构造校验矩阵；

步骤4，检验步骤3得到的校验矩阵中是否含有四环，如有则找出，并利用四环搜索算法删除一定数量1达到无四环矩阵，得到最终的校验矩阵。

2.根据权利要求1所述的一种低密度奇偶校验码的构造方法，其中低密度奇偶校验码的变量节点服从幂律分布，与度为k的变量节点相连接的边的概率为

${\mathrm{\&lambda;}}_k=\frac{k^{1-r}}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=2}^{d_{\mathrm{\&nu;}}}{i}^{1-r}}$

其中d_ν为变量节点最大的度数根据1，i、k表示节点的度数，r是特征指数。

3.根据权利要求1所述的一种低密度奇偶校验码的构造方法，其中校验节点的度分布服从参数为υ的泊松分布

${\mathrm{Pr}}_{\mathrm{\&rho;}}\left(k\right)=\frac{\mathrm{\&upsi;exp}(-\mathrm{\&upsi;})}{k!}$

其中k表示节点的度数，υ表示分布参数。

4.根据权利要求2所述的一种低密度奇偶校验码的构造方法，特征指数r为2.35。

5.根据权利要求1所述的一种低密度奇偶校验码的构造方法，步骤3中的所述渐进边增长算法具体为：

3.1对于任一变量节点s_j，加第一条边时，在当前展开子图中找出连接边最少的校验节点c_i，连接这两个节点作为该变量节点的第一条边

3.2加该变量节点s_j的其他边时，把以该节点s_j为根节点将当前Tanner图展开到深度l，如果集合而

或者集合包含节点的数目不再继续增加但仍然小于M，则在集合

中选择最少连接边的校验节点进行连接；

3.3重复步骤3.2使当前的变量节点所连接的边添加完毕；

3.4重复3.1-3.3使所有的变量节点的边都添加完毕；

其中所要构造的低密度奇偶校验码的校验位长为M。

6.根据权利要求1所述的一种低密度奇偶校验码的构造方法，在步骤1中进一步限制度为2的节点的比例不超过M/N＝1-R，其中所要构造的低密度奇偶校验码的码长为N，校验位长为M，码率为R。

7.根据权利要求1所述的一种低密度奇偶校验码的构造方法，步骤4中所述的四环搜索算法如下：M×N校验矩阵H＝[h(I)…h(N)]，辅助矩阵O＝H^TH，从校验矩阵第一行开始，锁定四环位置，将其中某个1标记为3，再进入下一行，将标记为3的元素置为0同时锁定另一个四环位置，并标记其中某个1为3，如此循环，直到整个矩阵不含有四环，则停止检索。

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