WO2021130867A1 - 均衡状態計算装置、均衡状態計算方法及びプログラム - Google Patents

均衡状態計算装置、均衡状態計算方法及びプログラム Download PDF

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strategy
equilibrium state
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calculation device
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中村　健吾
晋作 坂上
宜仁 安田
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NTT Inc
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Nippon Telegraph and Telephone Corp
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    • A63F13/80—Special adaptations for executing a specific game genre or game mode
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    • A63F2300/80—Features of games using an electronically generated display having two or more dimensions, e.g. on a television screen, showing representations related to the game specially adapted for executing a specific type of game
    • A63F2300/807—Role playing or strategy games

Definitions

  • the present invention relates to an equilibrium state calculation device, an equilibrium state calculation method, and a program.
  • Congestion game is known as one of the non-cooperative games in game theory.
  • a crowded game is a model of a situation in which players who do not cooperate with each other compete for some resources or allocate resources to players who do not cooperate with each other.
  • Selfish Routing which is a type of congestion game, for example, in a communication network consisting of communication paths where the delay increases as the amount of communication increases, many people (players) try to communicate between two points with a small delay, or traffic. In a road network consisting of roads that take longer as the amount increases, it is possible to model a situation in which each player tries to move between two points in a short time.
  • Congested games are a more generalized version of Selfish Routing that can handle a wide range of strategic sets, for example, in situations where many people are trying to communicate between points with little delay, or even when communicating between two points.
  • the billing amount is set separately from the delay of the communication path, and it becomes possible to handle the situation where communication is performed by limiting the communication route to the communication route of the billing amount below the budget.
  • the set of such combinations is a strategy set, and each element of the contents of the strategy set (that is, the combination of items) is called a strategy.
  • Each item is set so that the higher the percentage of selected players, the higher the cost, and the cost received by the player is the sum of the costs of the items in the selected strategy. At this time, each player does not cooperate with each other and tries to select a strategy with the lowest cost as much as possible.
  • each side of the graph structure is represented by an item, a path from a certain vertex to a certain vertex on the graph structure. It is a crowded game with a set of combinations of items as a strategic set.
  • the above-mentioned situation of performing multipoint communication can be modeled as a congestion game in which a Steiner tree with a certain vertex set on the graph structure as a terminal is used as a strategic set, and the charge amount is limited to a certain amount or less.
  • the situation of communicating with each other can be modeled as a congestion game in which a set of combinations of items represented by a path that satisfies the charge amount in a path from a certain vertex to a certain vertex on the graph structure is used as a strategic set.
  • An important state in a crowded game is a state called an equilibrium state.
  • An equilibrium state is a state in which players are not dissatisfied, and is a state in which players who do not cooperate with each other end up aiming for a state of minimum cost on their own. If the equilibrium state in a congestion game can be calculated, for example, when designing a communication network or a road network, how much congestion will occur in each communication path or road due to the design, and how much the player's actual cost will be. It becomes possible to simulate whether or not it becomes.
  • Non-Patent Document 1 a technique for approximately obtaining the equilibrium state in Selfish Routing has been proposed.
  • a technique has been proposed in which the equilibrium state in Selfish Routing is theoretically obtained in polynomial time by repeatedly using a flow algorithm on a graph structure.
  • an optimization algorithm called the Frank-Wolfe algorithm is well known (Non-Patent Documents 2 and 3).
  • the number of elements of a set of combinations such as a strategic set is 2 n at the maximum with respect to the size n of the original set [n], and is often exponentially large in general. Therefore, holding all the elements of the strategy set requires a great deal of cost in terms of both calculation time and memory, and for example, it is often impossible to obtain an equilibrium state in practice even if n is about several tens.
  • One embodiment of the present invention has been made in view of the above points, and an object of the present invention is to calculate the equilibrium state of a crowded game.
  • the balance state calculation device is a balance state calculation device that calculates the balance state of the congestion game, and is a strategy used by the player of the congestion game, and is a combination of items.
  • the input means for inputting the graph information in which the set of strategies represented by is represented by the zero-suppress type dichotomy diagram and the graph information input by the input means, and the variation of the Frank-Wolfe algorithm the above-mentioned in the balanced state. It is characterized by a calculation means for calculating equilibrium state information including the percentage of players who have selected a strategy.
  • the equilibrium state of the crowded game can be calculated.
  • the equilibrium state calculation device 10 capable of calculating the equilibrium state of the congestion game will be described.
  • the equilibrium state calculation device 10 does not depend on the strategy set by incorporating the zero-suppressed Binary Decision Diagram (hereinafter referred to as “ZDD”) into the Frank-Wolfe algorithm. It enables the equilibrium state of a general congestion game to be calculated at high speed.
  • ZDD zero-suppressed Binary Decision Diagram
  • the fully-corrective Frank-Wolfe algorithm and the Away-step Frank-Wolfe algorithm, which are variants thereof, are used as the Frank-Wolfe algorithm.
  • the equilibrium state calculation device 10 according to the present embodiment can obtain an equilibrium state whose approximation accuracy is guaranteed.
  • ZDD is a structure that can compactly express a combination set such as a strategy set. For example, a set of paths from a certain vertex to a certain vertex on a graph structure, a set of Steiner trees, a set of paths satisfying a charge amount constraint, and the like can all be expressed by ZDD.
  • the ZDD representing the combination set can be constructed by, for example, the Frontier-based method. Further, Graphillion and the like are known as a library using the frontier method, and it is possible to efficiently construct ZDD by using such a library.
  • the frontier method for example, Reference 1 “Jun Kawahara, Takeru Inoue, Hiroaki Iwashita, and Shin-ichi Minato.
  • each player selects the item combination S ⁇ [n] for the item set [n].
  • what kind of item combination can be selected is decided in advance, and the set of such combinations is the strategic set.
  • each element of the contents of the strategy set (that is, the combination of items) is called a strategy.
  • a strategy In the crowded game dealt with in this embodiment, there are innumerable players, and the ratio z S of the player who chose the strategy to each strategy S is considered. In addition, it should be noted.
  • the usage rate y i of item i is the sum of the percentage of players who chose the strategy that includes item i, that is,
  • Wardrop equilibrium is the state where the cost is the lowest of all strategies for strategies with a player percentage greater than 0, that is,
  • the above-mentioned congestion game will be more generalized, and a case where different strategy sets are used depending on the player will be described.
  • the set of r player groups is expressed as [r]
  • the strategy set is not one, but a plurality of types of r strategy sets.
  • a player group is a set of 0 or more players. In addition, it should be noted.
  • the Wardrop equilibrium state at this time is a state in which the cost is the minimum in the strategy of the corresponding strategy set for the strategy in which the ratio of players is greater than 0, that is,
  • An ⁇ -approximate Wardrop equilibrium state is a state in which the cost for a strategy with a player ratio greater than 0 is not greater than the minimum cost in the strategy of the corresponding strategy set, that is, the tolerance ⁇ or more.
  • the i-th element is 1, otherwise the i-th element.
  • the i-th element is 1, otherwise the i-th element.
  • it be an n-dimensional vector in which the element of is 0.
  • n-dimensional vector x p for the i-th element of x i p above,
  • the n-dimensional vector y having the above usage rate y i as the i-th element can be obtained.
  • the ⁇ -approximate Wardrop equilibrium state is obtained by solving the minimization problem related to this potential function ⁇ by using the strategy set expressed by ZDD and the variant of the Frank-Wolfe algorithm. In addition, it should be noted.
  • ⁇ (y) i represents the i-th element of ⁇ (y) (that is, the partial differential of ⁇ with respect to y i).
  • FIG. 1 is a diagram showing an example of the overall configuration of the equilibrium state calculation device 10 according to the present embodiment.
  • the equilibrium state calculation device 10 includes an input unit 101, an optimization unit 102, an output unit 103, and a storage unit 104.
  • the storage unit 104 stores various information necessary for calculating the ⁇ -approximate Wardrop equilibrium state in the congestion game.
  • the information in the storage unit 104 are stored, for example, item set [n], the cost function c i of each item (y i), the set information, the group player representation of one or more of each of the strategy set by ZDD [R], the ratio of players using each strategy set m 1 , ..., mr , tolerance ⁇ , etc.
  • the strategy set expressed in ZDD will be used.
  • the storage unit 104 may store information such as the calculation process of the ⁇ -approximate Wardrop equilibrium state.
  • the ZDD representing the strategy set is a directed acyclic graph (DAG) composed of a node set and an edge set of directed edges connecting the nodes.
  • DAG directed acyclic graph
  • each node v is also referred to as a node r.
  • each node v is given an integer value l v ⁇ ⁇ 1, ..., N ⁇ called a label, and the item and the node are associated with each other by this label.
  • the label value may be set to n + 1 or the like.
  • ZDD ensures that the 0-branch and 1-branch of each node go from the node with the smaller label to the node with the larger label. That is, (label of node v) ⁇ (label of node v 0 ) and (label of node v) ⁇ (label of node v 1 ) are established for any node v.
  • the ZDD is layered by the label value. For example, the node included in the first layer (that is, the node r) corresponds to the item 1, and the node v included in the second layer corresponds to the item 2. To do. In this way, the node v included in the i-th layer of the ZDD corresponds to the item i.
  • each path from the root node r to the terminal node can represent a combination of items (that is, a strategy). That is, if the path includes an edge from node v to node v 1 , the item corresponding to the label of the node v is included in the strategy, and if the edge from node v to node v 0 is included in the path, the relevant item is included.
  • the combination can be expressed by the path.
  • Input unit 101 the item set [n], the cost function c i of each item (y i), 1 or more strategies set expressed in ZDD, a set of group players [r], the percentage of players using the strategy set Enter various information such as m 1 , ..., mr , and margin of error ⁇ .
  • the optimization unit 102 obtains various information in the ⁇ -approximate Wardrop equilibrium state by processing based on the Fully-corrective Frank-Wolfe algorithm. More specifically, the optimization unit 102 obtains various information in the ⁇ -approximate Wardrop equilibrium state by solving the minimization problem related to the potential function ⁇ using various information input by the input unit 101. As a result, the ratio z S p of player that chose each strategy S in ⁇ - approximate Wardrop equilibrium state is obtained.
  • the output unit 103 outputs various information obtained by the optimization unit 102 (e.g., .epsilon. approximate Wardrop percentage of players chose the strategy S at equilibrium z S p, etc.).
  • the output destination of the output unit 103 is not limited, and may be any output destination.
  • the output destination of the output unit 103 may be a storage unit 104, a display device such as a display, or a database server connected via a communication network.
  • the optimization unit 102 includes an initial setting unit 111, a shortest path calculation unit 112, and an update unit 113.
  • the initialization unit 111 initializes various variables (parameters) to be updated by a variant of the Frank-Wolfe algorithm.
  • Parameter is the ratio z S p of the active set, and the player chose the strategy S representing a set of strategies S of n-dimensional vector x p as described above, each player is currently selected.
  • the shortest path calculation unit 112 calculates the strategy that minimizes the cost in the strategy set by calculating the shortest path on the ZDD representing the strategy set by dynamic programming.
  • the update unit 113 updates various parameters by the correction process based on the Away-step Frank-Wolfe algorithm.
  • FIG. 2 is a flowchart showing an example of the equilibrium state calculation process according to the present embodiment.
  • step S1100 the input unit 101, various kinds of information (item set [n], the cost function c i of each item (y i), 1 or more strategies set expressed in ZDD, a set of group players [r], the Enter the percentage of players who use the strategy set m 1 , ..., mr , margin of error ⁇ , etc.).
  • item set [n] the cost function c i of each item (y i)
  • strategy set expressed in ZDD a set of group players [r]
  • step S1200 the optimization unit 102 uses the initialization unit 111 to perform a strategy for each p ⁇ [r].
  • step S1300 the optimization unit 102, the initial setting unit 111, various parameters initialized as follows respective (n-dimensional vector x 0 p, the Active Set, the ratio z S p players chose the strategy S) To be.
  • steps S1410 to S1450 the case where the number of repetitions is the kth time will be described, and the subscript at the lower right of each symbol except z indicates the number of repetitions.
  • the n-dimensional vector y k represents the n-dimensional vector y when the number of repetitions is k.
  • step S1410 the optimization unit 102 sets the n-dimensional vector y k having the utilization rate y i as the i-th element.
  • step S1420 the optimization unit 102 repeatedly executes steps S1421 to S1422 for each p ⁇ [r]. In the subsequent steps S1421 to S1422, steps S1421 to S1422 relating to a certain p will be described.
  • step S1421 the optimization unit 102 is ZDD by the shortest path calculation unit 112.
  • the strategy sk p that minimizes the cost in the strategy set corresponding to p is calculated. That is, the shortest path calculation unit 112 calculates the shortest path on the ZDD that represents the strategy set corresponding to p.
  • the shortest path calculation unit 112 calculates the strategy sk p as follows.
  • the shortest path calculation unit 112 sets the distance of 0-branch to 0 and the distance of 1-branch to each node v of ZDD.
  • the distance of the 1-branch of the node v is set as the cost of the item corresponding to the label of the node v.
  • the shortest path calculation unit 112 calculates a path (shortest path) that is a path from the root node r to the terminal node and that minimizes the total distance, by dynamic programming.
  • a path shortest path
  • the combination of items represented by the path that minimizes the distance on ZDD is obtained as the strategy sk p that minimizes the cost in the strategy set corresponding to p.
  • the method of calculating the shortest path on a directed acyclic graph such as ZDD is widely known. For example, reference 5 "Tetsuro Shibuya," Information Engineering Algorithm ", Maruzen Publishing, November 2016", etc. Please refer.
  • step S1422 the optimization unit 102 determines the average cost of the player using the strategy set corresponding to p in the current state and the strategy with the lowest cost in this strategy set (that is, the strategy sk p ). Calculate the difference g k p from the cost. That is, the optimization unit 102
  • ⁇ - ⁇ (y k) , d k p> ⁇ (y k), x k p> - ⁇ (y k), s k p> a, ⁇ (y k ), x k p> represents the average cost of the player you are using a strategy set corresponding to p, ⁇ (y k) , s k p> represents the cost of the strategy s k p ..
  • step S1430 the optimization unit 102 determines for all p ⁇ [r] whether or not the difference g k p between the average cost and the cost of the strategy with the lowest cost is less than or equal to the margin of error ⁇ . That is, the optimization unit 102
  • step S1440 is executed, otherwise (NO in step S1430) step S1440. Is not executed.
  • step S1440 the output unit 103 has the current parameters.
  • Is output are the n-dimensional vector x in the ⁇ -approximate Wardrop equilibrium, the active set, and the percentage of players who chose each strategy, respectively. The reason why these parameters satisfy the ⁇ -approximate Wardrop equilibrium state will be described later.
  • step S1450 the optimization unit 102 executes the correction process by the update unit 113 to update various parameters. That is, the optimization unit 102 is a subroutine.
  • FIG. 3 is a flowchart showing an example of the Correction process according to the present embodiment.
  • the index k in step S1400 of FIG. 2 is omitted and the subroutine is omitted.
  • step S2100 the update unit 113 repeatedly executes step S2110 for each p ⁇ [r].
  • step S2110 relating to a certain p will be described.
  • step S2110 the update unit 113
  • steps S2210 to S2280 the case where the number of repetitions is the lth time will be described, and the subscript at the lower right of each symbol except z indicates the number of repetitions.
  • the n-dimensional vector y l represents the n-dimensional vector y when the number of repetitions is the first.
  • step S2210 the update unit 113 sets an n-dimensional vector y l having the usage rate y i as the i-th element.
  • step S2220 the update unit 113 repeatedly executes step S2221 for each p ⁇ [r]. However, when step S2240 is executed, the correction process is terminated and the process returns to the caller of the subroutine. In the subsequent step S2221, step S2221 relating to a certain p will be described.
  • step S2221 the update unit 113, at the present time, strategy cost in new strategies set corresponding to p is minimized s l p and strategy cost is largest of the active set corresponding to the p v Calculate l p. Specifically, the update unit 113
  • d l p and FW represent the direction from x p to the strategy with the lowest cost s l p
  • d l p and A represent the direction opposite to the direction from x p to the strategy v l p with the highest cost.
  • the update unit 113 to calculate a cost for each strategy may be calculated and a strategy s l p and strategies v l p. This is because the size of the new strategic set or active set corresponding to p is very small (at most, about O (n)) as compared with the strategic set corresponding to p.
  • step S2230 the update unit 113 determines whether or not the difference between the cost of the strategy v l p and the cost of the strategy l p is equal to or less than the margin of error ⁇ for all p ⁇ [r]. That is, the update unit 113
  • step S2240 is executed. Otherwise (NO in step S2230), steps S2250 to S2280 are executed.
  • step S2240 the update unit 113 has a parameter.
  • the update unit 113 ends the correction process and returns to the caller of the subroutine.
  • step S2250 the update unit 113
  • step S2260 the update unit 113 calculates dl and ⁇ max according to the magnitude relationship between gl FW and gl A. That is, when the update unit 113 has gl FW ⁇ g l A ,
  • step S2270 the update unit 113
  • the update unit 113 finds the point ⁇ l at which the value of the function F becomes the minimum when traveling in the direction from x l to d l. This may be obtained by, for example, a line search.
  • step S2280 the update unit 113 updates the parameters.
  • the update unit 113 updates the parameters as follows.
  • Update by. For the method of updating the ratio z of the players who have selected each strategy, refer to, for example, Reference 4 above.
  • FIG. 4 is a diagram showing an example of the hardware configuration of the equilibrium state calculation device 10 according to the present embodiment.
  • the equilibrium state calculation device 10 is realized by a general computer or computer system, and includes an input device 201, a display device 202, an external I / F 203, and a communication I / F 204. , The processor 205 and the memory device 206. Each of these hardware is communicably connected via bus 207.
  • the input device 201 is, for example, a keyboard, a mouse, a touch panel, or the like.
  • the display device 202 is, for example, a display or the like.
  • the equilibrium state calculation device 10 does not have to have at least one of the input device 201 and the display device 202.
  • the external I / F 203 is an interface with an external device.
  • the external device includes, for example, a recording medium 203a and the like.
  • the equilibrium state calculation device 10 can read or write the recording medium 203a via the external I / F 203.
  • the recording medium 203a may store, for example, one or more programs that realize each functional unit (input unit 101, optimization unit 102, and output unit 103) of the equilibrium state calculation device 10.
  • the recording medium 203a includes, for example, a CD (Compact Disc), a DVD (Digital Versatile Disk), an SD memory card (Secure Digital memory card), a USB (Universal Serial Bus) memory card, and the like.
  • a CD Compact Disc
  • DVD Digital Versatile Disk
  • SD memory card Secure Digital memory card
  • USB Universal Serial Bus
  • the communication I / F 204 is an interface for connecting the equilibrium state calculation device 10 to the communication network.
  • One or more programs that realize each functional unit of the equilibrium state calculation device 10 may be acquired (downloaded) from a predetermined server device or the like via the communication I / F 204.
  • the processor 205 is, for example, various arithmetic units such as a CPU (Central Processing Unit) and a GPU (Graphics Processing Unit). Each functional unit included in the equilibrium state calculation device 10 is realized by, for example, a process of causing the processor 205 to execute one or more programs stored in the memory device 206 or the like.
  • a CPU Central Processing Unit
  • GPU Graphics Processing Unit
  • the memory device 206 is, for example, various storage devices such as HDD (Hard Disk Drive), SSD (Solid State Drive), RAM (Random Access Memory), ROM (Read Only Memory), and flash memory.
  • the storage unit 104 included in the equilibrium state calculation device 10 can be realized by using, for example, the memory device 206.
  • the storage unit 104 may be realized by using a storage device or the like connected to the equilibrium state calculation device 10 via a communication network.
  • the equilibrium state calculation device 10 can realize the above-mentioned equilibrium state calculation process by having the hardware configuration shown in FIG.
  • the hardware configuration shown in FIG. 4 is an example, and the equilibrium state calculation device 10 may have another hardware configuration.
  • the equilibrium state calculation device 10 may have a plurality of processors 205 or a plurality of memory devices 206.
  • the equilibrium state calculation device 10 practically provides an equilibrium state ( ⁇ -approximate Wardrop equilibrium state) in which the accuracy of approximation is guaranteed even for a congestion game composed of a general strategy set. It can be obtained at high speed. This makes it possible to calculate the equilibrium state at a practically high speed even for a crowded game that models a complicated situation such as multi-point communication or two-point communication with budget constraints.
  • the present inventor may use the equilibrium state calculation device 10 according to the present embodiment to obtain a case where the calculation of the equilibrium state is about 1000 times faster than the case where all the contents of the strategy set are listed, or the contents of the strategy set. We have confirmed that there are cases where the calculation of the equilibrium state is completed in a few seconds even if it is not possible to list all of them due to memory and time constraints.

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Abstract

一実施形態に係る均衡状態計算装置は、混雑ゲームの均衡状態を計算する均衡状態計算装置であって、前記混雑ゲームのプレイヤーが使用する戦略であって、アイテムの組合せで表される戦略の集合をゼロサプレス型二分決定図で表現したグラフ情報を入力する入力手段と、前記入力手段により入力されたグラフ情報を用いて、Frank-Wolfeアルゴリズムの変種により前記均衡状態において前記戦略を選んだプレイヤーの割合を含む均衡状態情報を計算する計算手段と、ことを特徴とする。

Description

均衡状態計算装置、均衡状態計算方法及びプログラム
　本発明は、均衡状態計算装置、均衡状態計算方法及びプログラムに関する。
　ゲーム理論における非協力ゲームの１つとして混雑ゲーム（congestion game）が知られている。混雑ゲームとは、互いに協力しないプレイヤーたちがいくつかの資源を奪い合う状況又は互いに協力しないプレイヤーたちに資源を割り当てる状況をモデル化したものである。混雑ゲームの一種であるSelfish Routingでは、例えば通信量が多いほど遅延が増大する通信路からなる通信ネットワークにおいて多くの人（プレイヤー）が各々少ない遅延で２点間通信を行おうとする状況や、交通量が多いほど時間が掛かる道からなる道路ネットワークにおいてプレイヤーが各々短い時間で２点間を移動しようとする状況をモデル化できる。混雑ゲームはSelfish Routingをより一般化して、広範な戦略集合を扱えるようにしたもので、例えば、多くの人が各々少ない遅延で多点間通信を行おうとする状況や、２点間の通信でも通信路の遅延とは別に課金額が定められ、予算以下の課金額の通信ルートに制限して通信を行う状況も扱えるようになる。
　ここで、混雑ゲームでは、アイテム集合［ｎ］：＝｛１，・・・，ｎ｝に対して、各プレイヤーはアイテムの組合せＳ⊆［ｎ］を選ぶことになる。ただし、どのようなアイテムの組合せを選べるかは予め決められていて、そのような組合せの集合が戦略集合であり、戦略集合の中身の各要素（つまり、アイテムの組合せ）は戦略と呼ばれる。各アイテムは選んだプレイヤーの割合が多いほどコストが高くなるように設定されており、プレイヤーが受けるコストは、選択した戦略中のアイテムのコストの和となる。このとき、各プレイヤーは互いに協力せず、各自勝手になるべくコストが小さい戦略を選ぼうとする。
　例えば、Selfish Routingは、通信ネットワークや道路ネットワーク等を抽象化したグラフ構造が与えられたときに、そのグラフ構造の各辺をアイテム、グラフ構造上の或る頂点から或る頂点までのパスが表すアイテムの組合せの集合を戦略集合とした混雑ゲームとなる。同様に、上述した多点間通信を各々行う状況は、グラフ構造上の或る頂点集合をターミナルとしたシュタイナー木を戦略集合とする混雑ゲームとしてモデル化できるし、一定以下の課金額に制限して通信を行う状況は、グラフ構造上の或る頂点から或る頂点までのパスの中で課金額を満たしたパスが表すアイテムの組合せの集合を戦略集合とする混雑ゲームとしてモデル化できる。
　混雑ゲームにおいて重要な状態として、均衡状態と呼ばれる状態がある。均衡状態とは、プレイヤーたちが不満に思わない状態のことであり、互いに協力しないプレイヤーたちが各自でコスト最小の状態に目指した結果として行き着く状態のことである。混雑ゲームにおける均衡状態を計算することができれば、例えば、通信ネットワークや道路ネットワークの設計時に、その設計により各通信路や道路にどの程度の混雑が発生するか、またプレイヤーの実際のコストがどの程度になるかをシミュレーションすることが可能となる。
　これまでに、Selfish Routingにおける均衡状態を近似的に求める手法が提案されている。例えば、グラフ構造上のフローのアルゴリズムを繰り返し用いることで、Selfish Routingにおける均衡状態を理論上多項式時間で求める技術が提案されている（非特許文献１）。また、実用的な均衡状態の計算手法としては、Frank-Wolfeアルゴリズムと呼ばれる最適化アルゴリズムがよく知られている（非特許文献２及び３）。
　また、戦略集合の各要素を全て保持した上でFrank-Wolfeアルゴリズムを用いることで、一般的な混雑ゲームにおける均衡状態を計算できることも知られている。
Alex Fabrikant, Christos Papadimitriou, and Kunal Talwar. The complexity of pure Nash equilibria. In Proceedings of the 36th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, pp. 604-612, 2004. Marguerite Frank and Philip Wolfe. An algorithm for quadratic programming. Naval Research Logistics Quarterly, Vol. 3, pp. 95-110. Jose R. Correa and Nicolas Stier-Moses. Wardrop Equilibria. In Wiley Encyclopedia of Operations Research and Management Science.
　しかしながら、戦略集合のような組合せの集合の要素数は、もとのアイテムの集合［ｎ］のサイズｎに対して最大で２ｎとなり、一般にも指数的に大きくなることが多い。したがって、戦略集合の要素を全て保持するのは計算時間・メモリともに多大なコストを要し、例えば、ｎが数十程度でも実用上均衡状態を求めることが不可能になることが多い。
　本発明の一実施形態は、上記の点に鑑みてなされたもので、混雑ゲームの均衡状態を計算することを目的とする。
　上記目的を達成するため、一実施形態に係る均衡状態計算装置は、混雑ゲームの均衡状態を計算する均衡状態計算装置であって、前記混雑ゲームのプレイヤーが使用する戦略であって、アイテムの組合せで表される戦略の集合をゼロサプレス型二分決定図で表現したグラフ情報を入力する入力手段と、前記入力手段により入力されたグラフ情報を用いて、Frank-Wolfeアルゴリズムの変種により前記均衡状態において前記戦略を選んだプレイヤーの割合を含む均衡状態情報を計算する計算手段と、ことを特徴とする。
　混雑ゲームの均衡状態を計算することができる。
本実施形態に係る均衡状態計算装置の全体構成の一例を示す図である。 本実施形態に係る均衡状態計算処理の一例を示すフローチャートである。 本実施形態に係るCorrection処理の一例を示すフローチャートである。 本実施形態に係る均衡状態計算装置のハードウェア構成の一例を示す図である。
　以下、本発明の一実施形態について説明する。本実施形態では、混雑ゲームの均衡状態を計算することが可能な均衡状態計算装置１０について説明する。
　本実施形態に係る均衡状態計算装置１０は、ゼロサプレス型二分決定図（Zero-suppressed Binary Decision Diagram, 以降、「ＺＤＤ」と表記する。）をFrank-Wolfeアルゴリズムに組み入れることで、戦略集合に依存しない一般的な混雑ゲームの均衡状態を高速に計算可能にする。
　特に、本実施形態では、Frank-Wolfeアルゴリズムとして、その変種であるFully-corrective Frank-Wolfeアルゴリズム及びAway-step Frank-Wolfeアルゴリズムを用いる。これにより、本実施形態に係る均衡状態計算装置１０は、その近似精度に保証がある均衡状態を求めることができる。
　なお、ＺＤＤは、戦略集合のような組合せ集合をコンパクトに表現できる構造である。例えば、グラフ構造上の或る頂点から或る頂点までのパスの集合、シュタイナー木の集合、課金額の制約を満たすパスの集合等はいずれもＺＤＤで表現することが可能である。組合せ集合を表現するＺＤＤは、例えば、フロンティア法（Frontier-based method）等で構築することが可能である。また、フロンティア法を用いたライブラリとしてGraphillion等が知られており、このようなライブラリを利用することで効率的にＺＤＤを構築することが可能である。フロンティア法については、例えば、参考文献１「Jun Kawahara, Takeru Inoue, Hiroaki Iwashita, and Shin-ichi Minato. Frontier-based search for enumerating all constrained subgraphs with compressed representation. IEICE TRANSACTIONS on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences, Vol. E100-A, pp. 1773-1784, 2017.」等を参照されたい。Graphillionについては、例えば、参考文献２「GitHub - takemaru-graphillion Fast, lightweight graphset operation library, インターネット＜ＵＲＬ：https://github.com/takemaru/graphillion/＞」等を参照されたい。
　また、ＺＤＤについては、例えば、参考文献３「Shin-ichi Minato. Zero-suppressed BDDs for set manipulation in combinatorial problems. In Proceedings of the 30th ACM/IEEE Design Automation Conference, pp. 272-277, 1993.」等を参照されたい。Fully-corrective Frank-Wolfeアルゴリズム及びAway-step Frank-Wolfeアルゴリズムについては、例えば、参考文献４「Simon Lacoste-Julien and Martin Jaggi. On the global linear convergence of Frank-Wolfe optimization variants. In Proceedings of the 28th International Conference on Neural Information Processing Systems, Vol. 1, pp. 496-504, 2015.」等を参照されたい。
　＜混雑ゲーム＞
　まず、混雑ゲームについて説明する。混雑ゲームでは、アイテム集合［ｎ］：＝｛１，・・・，ｎ｝の各アイテムに対して、その使用率ｙｉに関して単調非減少なコスト関数ｃｉ（ｙｉ）が与えられる。また、アイテム集合［ｎ］に対して、各プレイヤーはアイテムの組合せＳ⊆［ｎ］を選ぶことになる。ただし、どのようなアイテムの組合せを選べるかは予め決められていて、そのような組合せの集合が戦略集合
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000001
 である。また、戦略集合の中身の各要素（つまり、アイテムの組合せ）は戦略と呼ばれる。本実施形態で扱う混雑ゲームでは、プレイヤーは無数に多くいて、各戦略Ｓに対してその戦略を選んだプレイヤーの割合ｚＳを考えることとする。なお、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000002
 である。
　各戦略に対してその戦略を選択したプレイヤーの割合が決まると、アイテムｉの使用率ｙｉは、アイテムｉを含む戦略を選んだプレイヤーの割合の和、すなわち、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000003
 で求まる。そして、戦略ＳのコストをｃＳと表すことにすると、これは戦略Ｓに含まれるアイテムのコストの和、すなわち、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000004
 により求まる。このとき、各プレイヤーは互いに協力せず、各自勝手になるべくコストが小さい戦略を選ぼうとする。すると、もし或るプレイヤーについて、今選んでいる戦略よりもコストが小さい戦略があれば、その戦略を選び直すことでよりコストを小さくすることができるため、当該プレイヤーは戦略を変えることになる。このような戦略の変更が起こらない状態がWardrop均衡状態と呼ばれる均衡状態である。Wardrop均衡状態は、プレイヤーの割合が０より大きい戦略についてはコストが全戦略中で最小になっている状態、すなわち、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000005
 が成立している状態と定義される。
　上述した混雑ゲームをより一般化して、プレイヤーによって違った戦略集合を使う場合について説明する。この場合、ｒ個のプレイヤー群の集合を［ｒ］と表記すれば、戦略集合は１つではなく、複数種類のｒ個の戦略集合
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000006
 が与えられ、各々の戦略集合を使うプレイヤーの割合ｍ１，・・・，ｍｒも同時に与えられるものとする。プレイヤー群とは０以上のプレイヤーの集合である。なお、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000007
 である。
　この状況では、各プレイヤー群ｐ∈［ｒ］に対して、各戦略
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000008
 についてその戦略を選んだプレイヤーの割合ｚＳ ｐを考えることになる。なお、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000009
 である。
　上記の割合ｚＳ ｐが決まれば、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000010
 とおくことで、各アイテムの使用率は
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000011
 と計算することができる。したがって、戦略Ｓのコストは、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000012
 と計算することができる。このときのWardrop均衡状態とは、プレイヤーの割合が０より大きい戦略についてはコストが該当の戦略集合の戦略中で最小になっている状態、すなわち、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000013
 が成立している状態と定義される。
　本実施形態では、プレイヤーによって違った戦略集合を使う混雑ゲームを想定して、その均衡状態としてε-近似Wardrop均衡状態を求めるものとする。ε-近似Wardrop均衡状態とは、プレイヤーの割合が０より大きい戦略についてはコストが、該当の戦略集合の戦略中で最小のコストよりも許容誤差ε以上大きいことはない状態、すなわち、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000014
 が成立している状態と定義される。これは、Wardrop均衡状態に対してその近似誤差がε以内であることを保証していることを意味する。
　また、１Ｓ∈｛０，１｝ｎをアイテムｉ∈［ｎ］が戦略Ｓに含まれていれば（つまり、ｉ∈Ｓであれば）ｉ番目の要素が１、そうでなければｉ番目の要素が０であるｎ次元ベクトルとする。このｎ次元ベクトル１Ｓを用いれば、上記のｘｉ ｐをｉ番目の要素するｎ次元ベクトルｘｐは、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000015
 と表すことができる。また、このｎ次元ベクトルｘｐを用いれば、上記の使用率ｙｉをｉ番目の要素とするｎ次元ベクトルｙは、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000016
 と表すことができる。したがって、戦略ＳのコストｃＳをベクトルｙの関数と見做した場合、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000017
 と表すことができる。また、このコスト関数コストｃＳ（・）を用いれば、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000018
 として、Ｒｒｎ上のコスト関数ＣＳを
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000019
 と定義することができる。
　また、ポテンシャル関数Φ：Ｒｎ→Ｒを
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000020
 と定義する。本実施形態では、ＺＤＤで表現した戦略集合とFrank-Wolfeアルゴリズムの変種とを用いて、このポテンシャル関数Φに関する最小化問題を解くことで、ε-近似Wardrop均衡状態を求める。なお、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000021
 である。ただし、∇Φ（ｙ）ｉは∇Φ（ｙ）のｉ番目の要素（つまり、Φのｙｉに関する偏微分）を表す。
　＜全体構成＞
　次に、本実施形態に係る均衡状態計算装置１０の全体構成について、図１を参照しながら説明する。図１は、本実施形態に係る均衡状態計算装置１０の全体構成の一例を示す図である。
　図１に示すように、本実施形態に係る均衡状態計算装置１０は、入力部１０１と、最適化部１０２と、出力部１０３と、記憶部１０４とを有する。
　記憶部１０４には、混雑ゲームにおけるε-近似Wardrop均衡状態の計算に必要な各種情報が記憶されている。記憶部１０４に記憶されている情報としては、例えば、アイテム集合［ｎ］、各アイテムのコスト関数ｃｉ（ｙｉ）、１以上の戦略集合の各々をＺＤＤで表現した情報、プレイヤー群の集合［ｒ］、各戦略集合を使うプレイヤーの割合ｍ１，・・・，ｍｒ、許容誤差ε等がある。以降では、ＺＤＤで表現された戦略集合を
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000022
 と表す。なお、上記の情報以外にも、記憶部１０４には、ε-近似Wardrop均衡状態の計算過程等の情報が記憶されてもよい。
　ここで、戦略集合を表すＺＤＤは、ノード集合とノード間を接続する有向エッジのエッジ集合とで構成される有向非巡回グラフ（ＤＡＧ：Directed Acyclic Graph））である。ノード集合の中には、アイテムを表すノードｖの他に、終端ノード⊥と終端ノード
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000023
 とが含まれる。また、各ノードｖからは「０－枝」及び「１－枝」と呼ばれる２つのエッジが出る。本実施形態では、ノードｖから出る１－枝が指す先のノードを１－子ノードと呼び、ｖ１で表す。同様に、ノードｖから出る０－枝が指す先のノードを０－子ノードと呼び、ｖ０で表す。また、各ノードｖのうちの根ノードをノードｒとも表す。
　更に、各ノードｖには、ラベルと呼ばれる整数値ｌｖ∈｛１，・・・，ｎ｝が付与されており、このラベルによってアイテムとノードとが対応付けられている。なお、終端ノードについては、例えば、ラベルの値をｎ＋１等としておけばよい。
　このとき、ＺＤＤは、各ノードの０－枝と１－枝が、必ずラベルが小さい方のノードから大きい方のノードに向かうようにする。すなわち、任意のノードｖに対して、（ノードｖのラベル）＜（ノードｖ０のラベル）かつ（ノードｖのラベル）＜（ノードｖ１のラベル）が成立するようにする。これにより、ＺＤＤはラベルの値で階層化され、例えば、第１層目に含まれるノード（つまり、ノードｒ）はアイテム１に対応し、第２層目に含まれるノードｖはアイテム２に対応する。このように、ＺＤＤの第ｉ層目に含まれるノードｖは、アイテムｉに対応することになる。
　したがって、根ノードｒから終端ノードへの各パス（経路）でアイテムの組合せ（つまり、戦略）を表現することができる。すなわち、ノードｖからノードｖ１へのエッジがパスに含まれる場合は当該ノードｖのラベルに対応するアイテムが戦略に含まれ、ノードｖからノードｖ０へのエッジがパスに含まれる場合は当該ノードｖのラベルに対応するアイテムは戦略に含まれないとすることで、パスで組合せ（戦略）を表現することができる。
　入力部１０１は、アイテム集合［ｎ］、各アイテムのコスト関数ｃｉ（ｙｉ）、ＺＤＤで表現された１以上の戦略集合、プレイヤー群の集合［ｒ］、各戦略集合を使うプレイヤーの割合ｍ１，・・・，ｍｒ、許容誤差ε等の各種情報を入力する。
　最適化部１０２は、Fully-corrective Frank-Wolfeアルゴリズムに基づく処理によりε-近似Wardrop均衡状態における各種情報を求める。より具体的には、最適化部１０２は、入力部１０１により入力された各種情報を用いてポテンシャル関数Φに関する最小化問題を解くことで、ε-近似Wardrop均衡状態における各種情報を求める。これにより、ε-近似Wardrop均衡状態において各戦略Ｓを選んだプレイヤーの割合ｚＳ ｐが得られる。
　出力部１０３は、最適化部１０２により求めた各種情報（例えば、ε-近似Wardrop均衡状態において各戦略Ｓを選んだプレイヤーの割合ｚＳ ｐ等）を出力する。なお、出力部１０３の出力先は限定されず、任意の出力先としてよい。例えば、出力部１０３の出力先は、記憶部１０４であってもよいし、ディスプレイ等の表示装置であってもよいし、通信ネットワークを介して接続されるデータベースサーバ等であってもよい。
　ここで、最適化部１０２には、初期設定部１１１と、最短経路計算部１１２と、更新部１１３とが含まれる。
　初期設定部１１１は、Frank-Wolfeアルゴリズムの変種で更新対象となる各種変数（パラメータ）の初期化等を行う。パラメータは、上述したｎ次元ベクトルｘｐ、各プレイヤーが現在選択している戦略Ｓの集合を表すアクティブ集合、及び各戦略Ｓを選んだプレイヤーの割合ｚＳ ｐである。
　最短経路計算部１１２は、戦略集合を表すＺＤＤ上の最短経路を動的計画法により計算することで、戦略集合の中でコストが最小になる戦略を計算する。
　更新部１１３は、Away-step Frank-Wolfeアルゴリズムに基づくCorrection処理により、各種パラメータの更新を行う。
　＜均衡状態計算処理＞
　次に、本実施形態に係る均衡状態計算装置１０によって混雑ゲームのε-近似Wardrop均衡状態を計算する均衡状態処理について、図２を参照しながら説明する。図２は、本実施形態に係る均衡状態計算処理の一例を示すフローチャートである。
　ステップＳ１１００では、入力部１０１は、各種情報（アイテム集合［ｎ］、各アイテムのコスト関数ｃｉ（ｙｉ）、ＺＤＤで表現された１以上の戦略集合、プレイヤー群の集合［ｒ］、各戦略集合を使うプレイヤーの割合ｍ１，・・・，ｍｒ、許容誤差ε等）を入力する。
　ステップＳ１２００では、最適化部１０２は、初期設定部１１１により、各ｐ∈［ｒ］に対して、戦略
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000024
 を選択する。これらの戦略Ｓｐが、プレイヤー群ｐが最初に選択した戦略となる。
　ステップＳ１３００では、最適化部１０２は、初期設定部１１１により、各種パラメータ（ｎ次元ベクトルｘ０ ｐ、アクティブ集合、各戦略Ｓを選んだプレイヤーの割合ｚＳ ｐ）のそれぞれを以下のように初期化する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000025
 　また、簡単のため、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000026
 と表記する。
　ステップＳ１４００では、最適化部１０２は、繰り返し回数を表すインデックスをｋとして、ｋ＝０，１，・・・，Ｋに対してステップＳ１４１０～ステップＳ１４５０を繰り返し実行する。Ｋは予め設定されたハイパーパラメータである。なお、以降のステップＳ１４１０～ステップＳ１４５０では、繰り返し回数がｋ回目である場合について説明し、ｚを除く各種記号の右下の添え字は繰り返し回数を表すものとする。例えば、ｎ次元ベクトルｙｋは、繰り返し回数がｋ回目のときのｎ次元ベクトルｙを表す。
　ステップＳ１４１０では、最適化部１０２は、使用率ｙｉをｉ番目の要素とするｎ次元ベクトルｙｋを
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000027
 により計算する。
　ステップＳ１４２０では、最適化部１０２は、各ｐ∈［ｒ］に対して、ステップＳ１４２１～ステップＳ１４２２を繰り返し実行する。なお、以降のステップＳ１４２１～ステップＳ１４２２では、或るｐに関するステップＳ１４２１～ステップＳ１４２２について説明する。
　ステップＳ１４２１では、最適化部１０２は、最短経路計算部１１２により、ＺＤＤ
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000028
 上の最短経路を動的計画法により計算することで、ｐに対応する戦略集合の中でコストが最小となる戦略ｓｋ ｐを計算する。すなわち、最短経路計算部１１２は、ｐに対応する戦略集合を表現するＺＤＤ上の最短経路を計算することで、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000029
 を計算する。なお、＜・，・＞は内積を表す。
　具体的には、最短経路計算部１１２は、次のようにして戦略ｓｋ ｐを計算する。
　まず、最短経路計算部１１２は、ＺＤＤの各ノードｖに対して、０－枝の距離を０、１－枝の距離を
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000030
 とする。つまり、ノードｖの１－枝の距離を、当該ノードｖのラベルに対応するアイテムのコストとする。
　そして、最短経路計算部１１２は、根ノードｒから終端ノードへのパスであって、その距離の合計が最小となるパス（最短経路）を動的計画法により計算する。これにより、ＺＤＤ上で距離が最小となるパスで表されるアイテムの組合せが、ｐに対応する戦略集合の中でコストが最小となる戦略ｓｋ ｐとして得られる。なお、ＺＤＤ等の有向非巡回グラフ上の最短経路を計算する方法は広く知られており、例えば、参考文献５「渋谷哲朗， "情報工学 アルゴリズム", 丸善出版, 2016年11月」等を参照されたい。
　ステップＳ１４２２では、最適化部１０２は、現在の状態においてｐに対応する戦略集合を使用しているプレイヤーの平均コストと、この戦略集合の中でコスト最小の戦略（つまり、戦略ｓｋ ｐ）のコストとの差ｇｋ ｐを計算する。すなわち、最適化部１０２は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000031
 として、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000032
 を計算する。
　なお、＜－∇Φ（ｙｋ），ｄｋ ｐ＞＝＜∇Φ（ｙｋ），ｘｋ ｐ＞－＜∇Φ（ｙｋ），ｓｋ ｐ＞であり、＜∇Φ（ｙｋ），ｘｋ ｐ＞はｐに対応する戦略集合を使用しているプレイヤーの平均コストを表しており、＜∇Φ（ｙｋ），ｓｋ ｐ＞は戦略ｓｋ ｐのコストを表している。
　ステップＳ１４３０では、最適化部１０２は、全てのｐ∈［ｒ］に対して、平均コストとコスト最小の戦略のコストとの差ｇｋ ｐが許容誤差ε以下であるか否かを判定する。すなわち、最適化部１０２は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000033
 を満たすか否かを判定する。
　全てのｐ∈［ｒ］に対してｇｋ ｐが許容誤差ε以下であると判定された場合（ステップＳ１４３０でＹＥＳ）はステップＳ１４４０が実行され、そうでなければ（ステップＳ１４３０でＮＯ）ステップＳ１４４０は実行されない。
　ステップＳ１４４０では、出力部１０３は、現時点のパラメータ
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000034
 を出力する。これらのパラメータは、それぞれ、ε-近似Wardrop均衡状態におけるｎ次元ベクトルｘ、アクティブ集合及び各戦略を選んだプレイヤーの割合である。なお、これらのパラメータがε-近似Wardrop均衡状態を満たす理由については後述する。
　ステップＳ１４５０では、最適化部１０２は、更新部１１３によりCorrection処理を実行して各種パラメータの更新を行う。すなわち、最適化部１０２は、サブルーチン
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000035
 を呼び出して、更新後のパラメータ
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000036
 を得る。
　＜Correction処理＞
　ここで、上記のステップＳ１４５０のCorrection処理の詳細について、図３を参照しながら説明する。図３は、本実施形態に係るCorrection処理の一例を示すフローチャートである。なお、以降では、簡単のため、図２のステップＳ１４００におけるインデックスｋを省略して、サブルーチン
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000037
 が呼び出されたものとして説明をする。なお、ｘ０＝ｘ＝（ｘ１，・・・，ｘｒ）とする。
　ステップＳ２１００では、更新部１１３は、各ｐ∈［ｒ］に対して、ステップＳ２１１０を繰り返し実行する。なお、以降のステップＳ２１１０では、或るｐに関するステップＳ２１１０について説明する。
　ステップＳ２１１０では、更新部１１３は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000038
 として、新たな戦略集合
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000039
 を作成する。
　ステップＳ２２００では、更新部１１３は、繰り返し回数を表すインデックスをｌとして、ｌ＝０，１，・・・，Ｌに対してステップＳ２２１０～ステップＳ２２８０を繰り返し実行する。Ｌは予め設定されたハイパーパラメータである。なお、以降のステップＳ２２１０～ステップＳ２２８０では、繰り返し回数がｌ回目である場合について説明し、ｚを除く各種記号の右下の添え字は繰り返し回数を表すものとする。例えば、ｎ次元ベクトルｙｌは、繰り返し回数がｌ回目のときのｎ次元ベクトルｙを表す。
　ステップＳ２２１０では、更新部１１３は、使用率ｙｉをｉ番目の要素とするｎ次元ベクトルｙｌを
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000040
 により計算する。
　ステップＳ２２２０では、更新部１１３は、各ｐ∈［ｒ］に対して、ステップＳ２２２１を繰り返し実行する。ただし、ステップＳ２２４０が実行された場合は、Correction処理を終了し、サブルーチンの呼び出し元に戻る。なお、以降のステップＳ２２２１では、或るｐに関するステップＳ２２２１について説明する。
　ステップＳ２２２１では、更新部１１３は、現時点において、ｐに対応する新たな戦略集合の中でコストが最小になる戦略ｓｌ ｐと、ｐに対応するアクティブ集合の中でコストが最大になる戦略ｖｌ ｐとを計算する。具体的には、更新部１１３は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000041
 を計算する。また、このとき、更新部１１３は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000042
 も計算する。ここで、ｄｌ ｐ，ＦＷはｘｐからコスト最小の戦略ｓｌ ｐに向かう方向を表し、ｄｌ ｐ，Ａはｘｐからコスト最大の戦略ｖｌ ｐに向かう方向と逆方向を表す。
　なお、上記のステップＳ２２２１において、更新部１１３は、各戦略に対するコストを計算することで、戦略ｓｌ ｐと戦略ｖｌ ｐとを計算すればよい。これは、ｐに対応する戦略集合と比較して、ｐに対応する新たな戦略集合やアクティブ集合の大きさは非常に小さい（せいぜいＯ（ｎ）程度）ためである。
　ステップＳ２２３０では、更新部１１３は、全てのｐ∈［ｒ］に対して、戦略ｖｌ ｐのコストと戦略ｓｌ ｐのコストとの差が許容誤差ε以下であるか否かを判定する。すなわち、更新部１１３は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000043
 を満たすか否かを判定する。なお、上記の内積部分は＜∇Φ（ｙｌ），ｖｌ ｐ＞－＜∇Φ（ｙｌ），ｓｌ ｐ＞であり、＜∇Φ（ｙｌ），ｖｌ ｐ＞は戦略ｖｌ ｐのコスト、＜∇Φ（ｙｌ），ｓｌ ｐ＞は戦略ｓｌ ｐのコストをそれぞれ表している。
　全てのｐ∈［ｒ］に対して戦略ｖｌ ｐのコストと戦略ｓｌ ｐのコストとの差が許容誤差ε以下であると判定された場合（ステップＳ２２３０でＹＥＳ）はステップＳ２２４０が実行され、そうでなければ（ステップＳ２２３０でＮＯ）ステップＳ２２５０～ステップＳ２２８０が実行される。
　ステップＳ２２４０では、更新部１１３は、パラメータ
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000044
 をそれぞれ
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000045
 として、現時点のパラメータ
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000046
 を出力（つまり、サブルーチンの呼び出し元に出力）する。そして、更新部１１３は、Correction処理を終了し、サブルーチンの呼び出し元に戻る。
　ステップＳ２２５０では、更新部１１３は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000047
 によりｇｌ ＦＷ及びｇｌ Ａを計算する。
　ステップＳ２２６０では、更新部１１３は、ｇｌ ＦＷ及びｇｌ Ａの大小関係に応じて、ｄｌ及びγｍａｘを計算する。すなわち、更新部１１３は、ｇｌ ＦＷ≧ｇｌ Ａである場合は
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000048
 によりｄｌ及びγｍａｘを計算し、ｇｌ ＦＷ＜ｇｌ Ａである場合は
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000049
 によりｄｌ及びγｍａｘを計算する。このことは、ｘｌを更新する際に、ｇｌ ＦＷ≧ｇｌ Ａであればｘｐをｄｌ ｐ，ＦＷの方向に進めることとし、そうでなければｘｐをｄｌ ｐ，Ａの方向に進めることを意味する。
　ステップＳ２２７０では、更新部１１３は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000050
 によりγｌを計算する。ここで、関数Ｆは、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000051
 である。すなわち、更新部１１３は、ｘｌからｄｌの方向に進んだときに関数Ｆの値が最小になる点γｌを求める。これは、例えば、ラインサーチにより求めればよい。
　ステップＳ２２８０では、更新部１１３は、パラメータを更新する。ここで、更新部１１３は、以下のようにパラメータを更新する。
　まず、ｘｌについては、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000052
 と更新する。これは、現時点で関数Ｆの値が最小となるｘをｘｌ＋１とすることを意味する。
　また、各戦略を選んだプレイヤーの割合ｚについては、ｇｌ ＦＷ≧ｇｌ Ａである場合は、各ｐ∈［ｒ］に対して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000053
 により更新する。一方で、ｇｌ ＦＷ＜ｇｌ Ａである場合は、各ｐ∈［ｒ］に対して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000054
 により更新する。なお、各戦略を選んだプレイヤーの割合ｚの更新方法については、例えば、上記の参考文献４等を参照されたい。
　また、アクティブ集合については、各ｐ∈［ｒ］に対して、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000055
 により更新する。つまり、ｚＳ ｐ＞０となる戦略Ｓだけを集めて、新たなアクティブ集合としている。
　＜パラメータがε-近似Wardrop均衡状態を満たす理由＞
　次に、均衡状態計算処理で出力されたパラメータがε-近似Wardrop均衡状態を満たす理由について説明する。コスト関数ＣＳを用いた場合、ε-近似Wardrop均衡状態は、任意のｐ∈［ｒ］を１つ固定したときに、任意の
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000056
 に対して、均衡状態計算処理で出力されたパラメータｘが
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000057
 を満たすことと言い換えることができる。
　図２のステップＳ１４３０により、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000058
 が成り立つことが保証される。一方で、図３のステップＳ２２３０により、
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000059
 が成り立つことが保証される。
　したがって、上記の２つの不等式により、ＣＳ（ｘ）－ε≦ＣＳ´（ｘ）＋εが成り立つ。これにより、均衡状態計算処理で出力されたパラメータはε-近似Wardrop均衡状態を満たす。
　＜ハードウェア構成＞
　次に、本実施形態に係る均衡状態計算装置１０のハードウェア構成について、図４を参照しながら説明する。図４は、本実施形態に係る均衡状態計算装置１０のハードウェア構成の一例を示す図である。
　図４に示すように、本実施形態に係る均衡状態計算装置１０は一般的なコンピュータ又はコンピュータシステムで実現され、入力装置２０１と、表示装置２０２と、外部Ｉ／Ｆ２０３と、通信Ｉ／Ｆ２０４と、プロセッサ２０５と、メモリ装置２０６とを有する。これら各ハードウェアは、それぞれがバス２０７を介して通信可能に接続されている。
　入力装置２０１は、例えば、キーボードやマウス、タッチパネル等である。表示装置２０２は、例えば、ディスプレイ等である。なお、均衡状態計算装置１０は、入力装置２０１及び表示装置２０２のうちの少なくとも一方を有していなくてもよい。
　外部Ｉ／Ｆ２０３は、外部装置とのインタフェースである。外部装置には、例えば、記録媒体２０３ａ等がある。均衡状態計算装置１０は、外部Ｉ／Ｆ２０３を介して、記録媒体２０３ａの読み取りや書き込み等を行うことができる。記録媒体２０３ａには、例えば、均衡状態計算装置１０が有する各機能部（入力部１０１、最適化部１０２及び出力部１０３）を実現する１以上のプログラムが格納されていてもよい。
　なお、記録媒体２０３ａには、例えば、ＣＤ（Compact Disc）、ＤＶＤ（Digital Versatile Disk）、ＳＤメモリカード（Secure Digital memory card）、ＵＳＢ（Universal Serial Bus）メモリカード等がある。
　通信Ｉ／Ｆ２０４は、均衡状態計算装置１０を通信ネットワークに接続するためのインタフェースである。なお、均衡状態計算装置１０が有する各機能部を実現する１以上のプログラムは、通信Ｉ／Ｆ２０４を介して、所定のサーバ装置等から取得（ダウンロード）されてもよい。
　プロセッサ２０５は、例えば、ＣＰＵ（Central Processing Unit）やＧＰＵ（Graphics Processing Unit）等の各種演算装置である。均衡状態計算装置１０が有する各機能部は、例えば、メモリ装置２０６等に格納されている１以上のプログラムがプロセッサ２０５に実行させる処理により実現される。
　メモリ装置２０６は、例えば、ＨＤＤ（Hard Disk Drive）やＳＳＤ（Solid State Drive）、ＲＡＭ（Random Access Memory）、ＲＯＭ（Read Only Memory）、フラッシュメモリ等の各種記憶装置である。均衡状態計算装置１０が有する記憶部１０４は、例えば、メモリ装置２０６を用いて実現可能である。なお、例えば、記憶部１０４は、均衡状態計算装置１０と通信ネットワークを介して接続される記憶装置等を用いて実現されていてもよい。
　本実施形態に係る均衡状態計算装置１０は、図４に示すハードウェア構成を有することにより、上述した均衡状態計算処理を実現することができる。なお、図４に示すハードウェア構成は一例であって、均衡状態計算装置１０は、他のハードウェア構成を有していてもよい。例えば、均衡状態計算装置１０は、複数のプロセッサ２０５を有していてもよいし、複数のメモリ装置２０６を有していてもよい。
　＜まとめ＞
　以上のように、本実施形態に係る均衡状態計算装置１０は、一般の戦略集合からなる混雑ゲームに対しても、近似の精度に保証がある均衡状態（ε-近似Wardrop均衡状態）を実用上高速に求めることができる。これにより、例えば、多点間通信や予算制約付きの２点間通信等の複雑な状況をモデル化した混雑ゲームに対しても、実用上高速に均衡状態を計算することができる。
　したがって、例えば、通信ネットワークや高速ネットワークの設計時に、その設計により各通信路や道路にどの程度の混雑が発生するか、またプレイヤーの実際のコストがどの程度になるかをシミュレーションすることが可能となる。このため、例えば、設計に複数の案が存在する場合等に、そのシミュレーションによる性能を比較することが可能になる。
　なお、本件発明者は、本実施形態に係る均衡状態計算装置１０により、戦略集合の中身を全て列挙する場合と比べて均衡状態の計算が１０００倍程度高速になるケースや、戦略集合の中身を全て列挙することがメモリや時間の制約上叶わない場合でも均衡状態の計算が数秒で終わるケースがあることを確認している。
　本発明は、具体的に開示された上記の実施形態に限定されるものではなく、請求の範囲の記載から逸脱することなく、種々の変形や変更、既知の技術との組み合わせ等が可能である。
　１０　　　　均衡状態計算装置
　１０１　　　入力部
　１０２　　　最適化部
　１０３　　　出力部
　１０４　　　記憶部
　１１１　　　初期設定部
　１１２　　　最短経路計算部
　１１３　　　更新部

Claims (8)

  1. 　混雑ゲームの均衡状態を計算する均衡状態計算装置であって、
    　前記混雑ゲームのプレイヤーが使用する戦略であって、アイテムの組合せで表される戦略の集合をゼロサプレス型二分決定図で表現したグラフ情報を入力する入力手段と、
    　前記入力手段により入力されたグラフ情報を用いて、Frank-Wolfeアルゴリズムの変種により前記均衡状態において前記戦略を選んだプレイヤーの割合を含む均衡状態情報を計算する計算手段と、
    　ことを特徴とする均衡状態計算装置。
  2. 　前記計算手段は、
    　前記グラフ情報が表すゼロサプレス型二分決定図の各ノードに対して、前記ノードの０－枝の距離を０、前記ノードの１－枝の距離を、前記ノードに対応するアイテムのコストとして、前記ゼロサプレス型二分決定図の根ノードから終端ノードまでの最短経路を動的計画法により探索することで、前記コストが最小となる戦略を表す第１のコスト最小戦略を計算し、
    　前記第１のコスト最小戦略を用いて、前記均衡状態情報を更新する、ことを特徴とする請求項１に記載の均衡状態計算装置。
  3. 　前記計算手段は、
    　前記第１のコスト最小戦略の計算と前記均衡状態情報の更新とを、前記戦略の集合を使用するプレイヤーの平均コストと前記第１のコスト最小戦略のコストとの差が所定の誤差以下となるまで繰り返し実行する、ことを特徴とする請求項２に記載の均衡状態計算装置。
  4. 　前記計算手段は、
    　前記第１のコスト最小戦略を用いて、Away-step Frank-Wolfeアルゴリズムに基づくアルゴリズムにより前記均衡状態情報を更新する、ことを特徴とする請求項２又は３に記載の均衡状態計算装置。
  5. 　前記計算手段は、
    　前記第１のコスト最小戦略と前記プレイヤーが現在選択している戦略の集合を表すアクティブ集合とから作成された新たな戦略集合を用いて、前記新たな戦略集合の中でコストが最小となる戦略を表す第２のコスト最小戦略を計算し、
    　前記アクティブ集合の中でコストが最大となる戦略を表すコスト最大戦略を計算し、
    　前記コスト最大戦略と前記第２のコスト最小戦略とを用いて前記均衡状態情報を更新する、ことを特徴とする請求項２乃至４の何れか一項に記載の均衡状態計算装置。
  6. 　前記計算手段は、
    　前記コスト最大戦略と前記第２のコスト最小戦略との差が所定の誤差以下となるまで、前記均衡状態情報の更新を繰り返し実行する、請求項５に記載の均衡状態計算装置。
  7. 　混雑ゲームの均衡状態を計算する均衡状態計算装置が、
    　前記混雑ゲームのプレイヤーが使用する戦略であって、アイテムの組合せで表される戦略の集合をゼロサプレス型二分決定図で表現したグラフ情報を入力する入力手順と、
    　前記入力手順により入力された情報を用いて、Frank-Wolfeアルゴリズムの変種により前記均衡状態において前記戦略を選んだプレイヤーの割合を含む均衡状態情報を計算する計算手順と、
    　を実行することを特徴とする均衡状態計算方法。
  8. 　コンピュータを、請求項１乃至６の何れか一項に記載の均衡状態計算装置における各手段として機能させるためのプログラム。
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