WO2004032411A1 - Geschützte kryptographische berechnung - Google Patents

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WO2004032411A1
WO2004032411A1 PCT/EP2003/010015 EP0310015W WO2004032411A1 WO 2004032411 A1 WO2004032411 A1 WO 2004032411A1 EP 0310015 W EP0310015 W EP 0310015W WO 2004032411 A1 WO2004032411 A1 WO 2004032411A1
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PCT/EP2003/010015
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Markus Bockes
Hermann Drexler
Helmut Kahl
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Giesecke & Devrient Gmbh
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Definitions

  • the invention relates generally to the technical field of cryptography and, more particularly, to a procedure for improved protection of a cryptographic calculation against attacks.
  • the invention is intended for use in portable data carriers, e.g. can be designed as chip cards (smart cards) in different designs or as chip modules.
  • the calculation processes required to carry out the RSA procedure are relatively complex.
  • the data to be processed must be potentiated with parameters of the private key.
  • CRT Chinese remainder theorem
  • the computational effort required is reduced approximately by a factor of 4.
  • the RSA-CRT method provides for two considerably simpler exponentiations instead of a complex power calculation, the results of which are then combined to the decrypted data or the generated signature. Only the secret prime factor p is included in the first of these calculations, and only the secret prime factor q is included in the second calculation.
  • Attack scenarios have been proposed in which exactly one of the two RSA-CRT calculation branches mentioned is disturbed, e.g. by targeted exposure to heat or radiation or by electrical
  • the object of the invention is to provide a technique for the particularly good protection of cryptographic calculations against attacks.
  • such attacks are to be prevented which are based on principles similar to the "Bellcore attack" described above.
  • the protection according to the invention should advantageously interact with other protection methods.
  • this object is achieved in whole or in part by a method for the protected execution of a cryptographic calculation with the features of claim 1, a method for determining a key for a cryptographic calculation with the features of claim 12, a computer program product according to claim 14 and ei - A portable data carrier according to claim 15.
  • the dependent claims define preferred embodiments of the invention.
  • the enumeration order of the method steps in the claims should not be interpreted as a restriction of the scope of protection; Rather, embodiments of the invention are provided in which these method steps are entirely or partly in a different order or completely or partly parallel or completely or partly interleaved.
  • the invention is based on the fundamental knowledge that an attack similar to the "bellcore attack” described above is possible not only by disturbing the calculation processes during the cryptographic calculation, but also by supplying the cryptographic calculation with incorrect parameters. This can be done, for example, by passing an incorrect pointer address to the calculation routine, or by changing the content of memory fields in which
  • Key parameters are included, is changed from the outside.
  • the inventors have recognized that the result of a cryptographic calculation that is supplied with such falsified parameters can possibly be used to draw conclusions about key parameters to be kept secret.
  • an integrity check of the key used for the cryptographic calculation is carried out.
  • the attack can be recognized and warded off, for example by aborting the cryptographic calculation without outputting a result.
  • the integrity check cannot rule out manipulation of the key parameters with absolute certainty; however, it should offer adequate protection against the attack mentioned for practical purposes. This implies that a simple value range monitoring (ranks check) with a fixed lower limit and a fixed upper limit should not be regarded as an integrity check in the sense of the present invention.
  • the integrity check is preferably designed in such a way that manipulation in which a monitored key parameter is falsified in a random manner has a probability bordering on certainty, for example with a probability greater than 1-10 " 3 or greater than 1-10" 6 or greater than 1 - 10 ' 9 , is recognized. While the integrity check in some configurations only includes individual, particularly critical key parameters, it is preferably provided to monitor all parameters of a key to be kept secret. Different test procedures can be carried out for individual parameters or parameter groups in the course of the integrity check.
  • the methods used for checking the integrity each have the goal of recognizing a falsification of the monitored key parameter or the monitored key parameters.
  • the result of the integrity check is ascertained whether a key parameter is within an allowable, repeatedly interrupted value range. This type of check is usually available when the key parameter was generated from the value actually required for the cryptographic calculation and an additional, redundant security value, such as e.g. is the case with checksum calculations.
  • the integrity check preferably determines whether at least two key parameters are in a predetermined relationship to one another.
  • the integrity check can include a multiplicative operation, which in the wording of the present document means multiplication, division, exponentiation, a modulo calculation and a divisibility check. It is preferably checked whether a key parameter or a value derived from it can be easily divided by a security value. In this case, the key parameter during key generation is preferably obtained by multiplying the value actually required for the cryptographic calculation by the security value.
  • the security value can be part of the key or fixed.
  • the method according to the invention is suitable for all cryptographic calculations in which a cryptographic attack by falsifying at least one first key parameter enables conclusions to be drawn about at least one second key parameter.
  • the invention is provided for securing the decryption or signature generation in an RSA method, preferably in an RSA-CRT method. In these cases, the integrity check affects the RSA private key. It is to be expected that appropriate means of attack can be found for further cryptographic calculations, which can then also be secured in the manner according to the invention.
  • the integrity check determines whether an exponent used in an exponentiation operation can be divided smoothly by a security value.
  • Such a computer program product can be a physical medium, for example a semiconductor memory or a floppy disk or a CD-ROM, on which a program for executing a method according to the invention is stored.
  • the computer program product can also be a non-physical medium, for example a signal transmitted over a computer network.
  • the computer program product can in particular be provided for use in connection with the production and / or initialization and / or personalization of chip cards or other data carriers.
  • the computer program product and / or the portable data carrier are further developed with features that correspond to the features described above and / or to the features mentioned in the dependent method claims.
  • FIG. 1 shows an exemplary flowchart of a method for key calculation with representation of a public and a private key
  • FIG. 2 shows an exemplary flow chart of a cryptographic calculation method
  • 3 shows an exemplary flow diagram of a section of the method from FIG. 2 in a modified embodiment
  • FIG. 4 shows an exemplary flow diagram of a further exemplary embodiment of the cryptographic calculation method.
  • the method shown in FIG. 1 is used to calculate a public key 10 and a private key 12, which are designed for use in an RSA method.
  • the dashed arrows indicate which key parameter is generated by which process step.
  • the method can e.g. in the course of the initialization or personalization of the data carrier in a secure environment.
  • the externally calculated key pair is then transferred to the data carrier as part of the initialization or personalization data.
  • the method of FIG. 1 it is also possible for the method of FIG. 1 to be carried out by the data carrier itself in order to determine the key pair.
  • the public key 10 has a modulus n and a public exponent e as key parameters.
  • CRT Chinese remainder theorem
  • the private key 12 has a first and a second prime factor p, q, a CRT coefficient pinv, a first and a second security value sp, sq as well as a secured first and a secured second CRT exponent dp, dq.
  • step 14 begins in a known manner in step 14 with the random selection of two prime numbers with a length of, for example, 1024 or 2048 bits each, which are stored in the private key 12 as the first and second prime factors p, q.
  • the modulus n of the public key 10 is calculated as the product of the two prime factors p, q.
  • the public exponent e is determined in step 18 as a random number that is not prime to the value (pl) - (ql). Since in the present exemplary embodiment the private key 12 is tailored to RSA-CRT calculations, the modular inverse of p modulo q is calculated in step 20 and included in the private key 12 as a CRT coefficient pinv.
  • step 22 the value d is calculated as the modular inverse of the public exponent e modulo (p-l) - (q-l). In RSA processes that do not use the Chinese residual class theorem, d would be the private exponent
  • the private key 12 contains values which are derived from the aforementioned CRT exponents d mod (p-1) and d mod (q-1) by an additional security measure.
  • This security measure is, for example, the multiplication with one security value each. Manipulation of the saved values can then be determined by a divisibility check.
  • Other security measures are provided in alternative versions, e.g. a checksum or the multiple transfer of at least the important transfer parameters.
  • step 24 two random numbers with a length of, for example, 64 bits (8 bytes) are generated as security values sp, sq.
  • the values mentioned are all stored as parameters of the private key 12. The determination of a private key 12 protected against manipulation is thus ended.
  • the private key 12 is essentially in the form of a data structure RSAPrivateCRTKey in accordance with the conventions of the Java Card application programming interface. These conventions are currently available in the "Java Card TM 2.1.1 Application Programming Interface", revision 1.0, May 18, 2000, issued by Sun Microsystems, Inc., USA, at http://java.sun.com/ products / javacard / javacard21.html.
  • the data structure provided there has fields DPI and DQ1 for the unsecured CRT exponents d mod (p-1) and d mod (q-1).
  • the values sp and dp are stored together in the field DPI of the RSAPrivateCRTKey, and accordingly the values sq and dq together in the field DQl get saved. In Fig. 1 this is indicated by dotted lines. In execution variants, the values sq and dq can also be stored in other fields of the RSAPrivateCRTKey or outside of this data structure.
  • the exemplary embodiments described here deviate slightly from the above-mentioned Java card specification in that in the present case the modular inverse of p modulo q is contained in the private key 12 as a CRT coefficient pinv.
  • a CRT coefficient PQ which is the modular inverse of q modulo p.
  • Modifications of the methods described here are provided in which the CRT coefficient PQ is a component of the private key 12 in accordance with the Java Card specification.
  • the ideas according to the invention can also be used for such configurations without significant changes.
  • FIG. 2 shows a first embodiment of a secured RSA-CRT method, which is used for decryption or signature generation.
  • the method is intended to be carried out by a processor of a portable data carrier, in particular a chip card (smart card) or a chip module.
  • the method is implemented in the form of program instructions for this processor, which are stored in a ROM or EEPROM of the data carrier.
  • the private key 12 required for decryption or signature generation is also stored in the EEPROM of the data carrier.
  • a pointer to the private key 12 is passed to the decryption or signature generation routine called.
  • the inventors have recognized that a cryptographic attack can be carried out by manipulating individual parameters of the private key 12 before decryption or signature generation begins. This can be done, for example, by targeted action on the EEPROM containing the private key 12 or by transferring an incorrect address to the RSA-CRT routine. Such an attack would have the extremely disadvantageous consequence that the calculation result - z. B. the decrypted data or the generated signature - draw conclusions about the values of the secret key parameters. This would compromise the key pair 10, 12 for all previous and future calculations.
  • an integrity check of the private key 12 is provided in the method of FIG. 2, which includes a sequence of several partial checks. In Fig. 2, the dashed arrows indicate which key parameters are included in the respective partial tests.
  • a first auxiliary value y1 is determined as the result of the first of the two CRT calculation branches.
  • the data to be decrypted or signed goes into this calculation.
  • the first prime factor p and the first CRT exponent d mod p-1 the latter value not being immediately available, but having to be derived from the saved first CRT exponent dp and the first saving value sp.
  • a divisibility test is first carried out in step 34. If the saved first CRT exponent dp is not evenly divisible by the first saved value sp, an error jump and procedural cancellation. If, on the other hand, the division works without a remainder, it can be assumed with almost certainty that at least no accidental falsification of one of the two key parameters sp and dp has taken place. This divisibility check represents only a small additional computational effort since the security value sp has only a relatively small bit length.
  • a second calculation module 38 corresponds to the second CRT calculation branch.
  • the method runs in the same way as in the first calculation module 32, but using the second prime factor q, the second security value sq and the secured second CRT exponent dq.
  • step 40 follows the integrity check with regard to the Key parameters sq and dq
  • the overall result y that is to say the decrypted data or the calculated signature, is determined in a manner known per se by combining the two CRT auxiliary values y1 and y2.
  • Different evaluation sequences can of course be selected for the calculation steps carried out by the processor of the data carrier.
  • different variants of the RSA-CRT calculations of steps 36, 42 and 44 are known from the literature, which differ in particular in the way in which intermediate results are reduced to the respective modulo ranges.
  • the inventive idea of the integrity check and the multiplicative securing of the CRT exponents dp and dq proposed in the present exemplary embodiment can be combined with all of these variants.
  • the integrity check according to the present invention is directed in particular against a cryptographic attack which is carried out before the RSA calculations - at the latest during the parameter transfer to the RSA routine.
  • the check during the parameter transfer can also be carried out in a simple manner in that, in addition to the transfer parameters, redundant information associated therewith, for example in the form of checksums, is also stored, and after the parameter transfer, a stored checksum is compared with a checksum newly calculated via the transferred parameters.
  • at least important transfer parameters can be transferred several times and checked for identity after the transfer.
  • Further attack methods are known which are aimed at spying out the individual calculation steps in order to enable conclusions to be drawn about key parameters to be kept secret.
  • exponent formation in steps 36 and 42 is exposed to such attacks because, in conventional implementations of the exponentiation operation, the processor activity during the calculation process depends significantly on the bit sequence of the exponent.
  • FIG. 3 shows the method steps of a calculation module 32 ', which is modified compared to the calculation module 32 from FIG. 2 in such a way that it additionally uses the technique of exposing the obfuscation known from WO 01/48974 A1.
  • a random number r with a length of, for example, 64 bits (8 bytes) is first selected in step 46.
  • the divisor used in step 48 is not the random number r, but the value r-sp.
  • steps 50 and 52 the first two potentiation operations are now carried out, in that the base value x mod p is first potentiated with the random number r and the intermediate result obtained in this way then with the integer quotient dpi.
  • the security value sp was not included in steps 50 and 52, since the multiplication used to secure the CRT exponent dp has already been canceled in connection with division 48.
  • step 54 a divisibility check is now carried out - analogous to step 34 in FIG. 2 - in order to ensure the integrity of the key parameters sp and dp.
  • step 34 in FIG. 2 it is not the saved CRT exponent dp that is divided by the division remainder dp2 by sp. Since dp2 differs from dp only by a multiple of r-sp - and thus by a multiple of sp -, the two checks are equivalent.
  • the computational effort involved in executing step 54 is considerable because of the considerably shorter dividend dp2 less than when calculating step 34 in FIG. 2.
  • the integer division result dp2 / sp is required in the following step 56.
  • the division and divisibility check in step 54 represents the only additional computational effort compared to the known method according to WO 01/48974 AI.
  • the entire RSA-CRT method in the particularly protected embodiment variant described here begins with an integrity check of the parameters p, q and pinv by step 30 shown in FIG. 2. This is followed by the steps of the calculation module 32 ′ as the first CRT calculation branch Fig. 3 to determine the first auxiliary value yl.
  • the method shown in FIG. 3 is also used to calculate the second auxiliary value y2, with the key parameters p, sp and dp of course being replaced by q, sq and dq.
  • the random number r can either be taken from the first run of the calculation module 32 'or be newly determined.
  • the final result y is finally calculated by a combination of the two auxiliary values yl and y2 as in step 44 of FIG. 2.
  • a first calculation block 60 corresponds approximately to step 30 in FIG. 2.
  • the obfuscation parameter j is chosen as a random prime number with a length of, for example, 32 bits (4 bytes).
  • the prime factors p and q are multiplied by the obfuscation parameter j in steps 64 and 66 in order to obtain obscured prime factors p 1 and q 1, respectively.
  • the first auxiliary value yl essentially corresponds to the first auxiliary value of the exemplary embodiments in FIGS. 2 and 3, but using p 1 instead of p for the modulo calculation.
  • the calculation is carried out in different design variants either as in the calculation module 32 of FIG. 2 or as in the calculation module 32 'of FIG. 3. In both cases, a divisibility check is carried out to ensure the integrity of the key parameters sp and dp.
  • a third calculation block 72 corresponds to the second calculation block 70 with the difference that instead of dp, sp and p 'the values dq, sq and q 1 are used to calculate a second auxiliary value y2.
  • the third calculation block 72 can either be configured like the calculation module 38 in FIG. 2 or analogously to the illustration in FIG. 3.
  • the integrity of the key parameters sq and dq is checked by a divisibility test in the third calculation block 72.
  • step 76 there is a further test which relates the previous calculations to one another and has disturbed them

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Abstract

Bei einem Verfahren zum geschützten Ausführen einer kryptographischen Berechnung, bei der ein Schlüssel (12) mit mindestens zwei Schlüsselparametern (p, q, pinv, sp, dp, sq, dq) herangezogen wird, wird eine Integritätsüberprüfung (30, 34, 40, 54) des Schlüssels (12) durchgeführt, um einen kryptographischen Angriff zu verhindern, bei dem durch eine Verfälschung mindestens eines ersten Schlüsselparameters (p, q, pinv, sp, dp, sq, dq) Rückschlüsse auf mindestens einen zweiten Schlüsselparameter (p, q, pinv, sp, dp, sq, dq) gezogen werden. Ein weiteres Verfahren dient zum Bestimmen eines Schlüssels für eine kryptographische Berechnung mit mindestens zwei Schlüsselparametern (p, q, pinv, sp, dp, sq, dq), der zur Verwendung in dem erstgenannten Verfahren vorgesehen ist. Ein Computerprogrammprodukt und ein tragbarer Datenträger weisen entsprechende Merkmale auf. Die Erfindung ermöglicht einen besonders guten Schutz kryptographischer Berechnungen gegen Angriffe.

Description

Geschützte kryptographische Berechnung
Die Erfindung betrifft allgemein das technische Gebiet der Kryptographie und spezieller eine Vorgehensweise zum verbesserten Schutz einer kryptographischen Berechnung gegen Angriffe. Insbesondere ist die Erfindung zum Einsatz in tragbaren Datenträgern vorgesehen, die z.B. als Chipkarten (smart cards) in unterschiedlichen Bauformen oder als Chipmodule ausgestaltet sein können.
Für den Austausch von verschlüsselten und/ oder signierten Daten ist das z.B. im US-Patent 4,405,829 beschriebene RSA- Verfahren gut bekannt. Gemäß dem RSA- Verfahren wird ein öffentlicher Schlüssel zur Verschlüsselung oder Signaturverifikation und ein geheimer privater Schlüssel zur Entschlüs- seiung oder Signaturerzeugung eingesetzt. Die Sicherheit des RSA- Verfahrens beruht auf der Tatsache, daß gegenwärtig kein effizienter Weg bekannt ist, um die Primfaktoren p und q einer großen Zahl n mit n = p-q zu bestimmen. Während der sogenannte Modulus n als Teil des öffentlichen Schlüssels veröffentlicht wird, müssen die Werte p und q geheim gehalten werden.
Die zur Ausführung des RSA- Verfahrens erforderlichen Berechnungsvorgänge sind relativ aufwendig. So müssen z.B. bei der Entschlüsselung oder Signaturerzeugung die zu verarbeitenden Daten mit Parametern des privaten Schlüssels potenziert werden. Insbesondere für tragbare Datenträger mit ihrer beschränkten Rechenleistung wird daher häufig eine Implementierung des RSA- Verfahrens zur Entschlüsselung oder Signaturerzeugung eingesetzt, die den Chinesischen Restklassensatz (CRT = Chinese remainder theorem) verwendet und daher auch als RSA-CRT- Verfahren bezeichnet wird. Durch Verwendung des RSA-CRT- Verfahrens wird der erforderliche Rechenaufwand ungefähr um den Faktor 4 reduziert. Das RSA-CRT- Verfahren sieht vor, statt einer aufwendigen Potenzberechnung zwei erheblich einfachere Potenzierungen durchzuführen, deren Ergebnisse dann zu den entschlüsselten Daten oder der erzeugten Signatur kombiniert werden. In die erste dieser Berechnungen geht nur der geheime Primfaktor p ein, und in die zweite Berechnung geht nur der geheime Primfaktor q ein.
Es sind Angiff sszenarien vorgeschlagen worden, bei denen genau einer der beiden genannten RSA-CRT-Berechnungszweige gestört wird, z.B. durch gezielte Einwirkung von Wärme oder Strahlung oder durch elektrische
Impulse. Wenn dies gelingt, läßt sich aus dem Ergebnis der Gesamtberechnung ein Vielfaches desjenigen Primfaktors p, q ableiten, dessen Berechnungszweig nicht gestört wurde. Mit anderen Worten lassen sich durch den beschriebenen Angriff Rückschlüsse auf den privaten Schlüssel ziehen. Dies hat potentiell katastrophale Konsequenzen, weil nicht nur die gerade durchgeführte Entschlüsselung oder Signaturerzeugung, sondern alle unter Verwendung des privaten Schlüssels ausgeführten kryptographischen Operationen kompromittiert werden.
Der gerade erwähnte Angriff ist unter den Namen "fault attack" oder
"Bellcore attack" bekannt und z.B. in Spalte 4 des US-Patents 5,991,415 beschrieben. Ebenfalls im US-Patent 5,991,415 wird ein Verfahren offenbart, bei dem zum Schutz gegen diesen während der kryptographischen Berechnung erfolgenden Angriff ein zusätzlicher Faktor j in die Berechnung eingeht. Es bestehen jedoch, wie im folgenden gezeigt werden wird, weiterhin Angriffsmöglichkeiten, denen mit dem aus dem US-Patent 5,991,415 bekannten Verfahren nicht entgegengetreten werden kann. Besonders kritisch ist die genannte Angriffsmöglichkeit dann, wenn die kryptographische Berechnung von einem Prozessor eines tragbaren Datenträgers, beispielsweise einer Chipkarte (smart card) oder eines Chipmoduls, ausgeführt wird. Ein erster Grund dafür ist, daß solche tragbaren Daten- träger oft für sicherheitskritische Anwendungen verwendet werden, z.B. im Zusammenhang mit Finanztransaktionen, der Zugangskontrolle oder der Signatur von rechtlich bindenden Dokumenten. Zweitens befinden sich tragbare Datenträger, während die kryptographische Berechnung ausgeführt wird, typischerweise im Besitz des Angreifers, so daß dieser alle Möglichkei- ten zum Beeinflussen der Berechnung und zum Ausspähen der Berechnungsergebnisse hat.
Die Erfindung hat die Aufgabe, eine Technik zum besonders guten Schutz kryptographischer Berechnungen gegen Angriffe bereitzustellen. Insbeson- dere sollen solche Angriffe verhindert werden, die auf ähnlichen Prinzipien wie der oben beschriebene "Bellcore attack" beruhen. In bevorzugten Ausgestaltungen soll der erfindungsgemäße Schutz vorteilhaft mit anderen Schutzverfahren zusammenwirken.
Erfindungsgemäß wird diese Aufgabe ganz oder zum Teil gelöst durch ein Verfahren zum geschützten Ausführen einer kryptographischen Berechnung mit den Merkmalen des Anspruchs 1, ein Verfahren zum Bestimmen eines Schlüssels für eine, kryptographische Berechnung mit den Merkmalen des Anspruchs 12, ein Computerprogrammprodukt gemäß Anspruch 14 und ei- nen tragbaren Datenträger gemäß Anspruch 15. Die abhängigen Ansprüche definieren bevorzugte Ausgestaltungen der Erfindung. Die Aufzählungsrei- henfolge der Verfahrensschritte in den Ansprüchen soll nicht als Einschränkung des Schutzbereichs aufgefaßt werden; es sind vielmehr Ausgestaltungen der Erfindung vorgesehen, bei denen diese Verfahrensschritte ganz oder teilweise in anderer Reihenfolge oder ganz oder teilweise parallel oder ganz oder teilweise ineinander verzahnt (interleaved) ausgeführt werden.
Die Erfindung geht von der grundlegenden Erkenntnis aus, daß ein Angriff ähnlich dem oben beschriebenen "Bellcore attack" nicht nur durch Störung der Berechnungsvorgänge während der kryptographischen Berechnung möglich ist, sondern auch dadurch, daß die kryptographische Berechnung mit fehlerhaften Parametern versorgt wird. Dies kann beispielsweise durch die Übergabe einer falschen Zeigeradresse an die Berechnungsroutine erfolgen, oder dadurch, daß der Inhalt von Speicherfeldern, in denen
Schlüsselparameter enthalten sind, von außen geändert wird. Die Erfinder haben erkannt, daß aus dem Ergebnis einer kryptographischen Berechnung, die mit derartig verfälschten Parametern versorgt wird, möglicherweise Rückschlüsse auf geheimzuhaltende Schlüsselparameter gezogen werden können.
Erfindungsgemäß ist vorgesehen, zum Schutz gegen einen solchen Angriff eine Integritätsüberprüfung des für die kryptographische Berechnung herangezogenen Schlüssels auszuführen. Durch diese Maßnahme kann der An- griff erkannt und abgewehrt werden, indem z.B. die kryptographische Berechnung ohne Ausgabe eines Ergebnisses abgebrochen wird. Die Integritätsüberprüfung kann eine Manipulation der Schlüsselparameter in der Regel nicht mit absoluter Sicherheit ausschließen; sie soll jedoch einen für praktische Zwecke ausreichenden Schutz gegen den genannten Angriff bieten. Dies impliziert, daß eine einfache Wertebereichsüberwachung (ränge check) mit einer festen unteren Grenze und einer festen oberen Grenze nicht als Integritätsprüfung im Sinne der vorliegenden Erfindung anzusehen wäre. Vorzugsweise ist die Integritätsprüfung so gestaltet, daß eine Manipulation, bei der ein überwachter Schlüsselparameter in zufälliger Weise verfälscht wird, mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit, z.B. mit einer Wahrscheinlichkeit größer als 1 - 10"3 oder größer als 1 - 10"6 oder größer als 1 - 10'9, erkannt wird. Während die Integritätsüberprüfung in manchen Ausgestaltungen nur einzelne, besonders kritische Schlüsselparameter umfaßt, ist vorzugsweise vorgesehen, sämtliche Parameter eines geheimzuhaltenden Schlüssels zu überwachen. Für einzelne Parameter oder Parametergruppen können hierbei im Zuge der Integritätsüberprüfung unterschiedliche Prü- fungsverfahren ausgeführt werden.
Die zur Integritätsüberprüfung eingesetzten Verfahren haben jeweils das Ziel, eine Verfälschung des überwachten Schlüsselparameters oder der überwachten Schlüsselparameter zu erkennen. In einer bevorzugten Ausgestal- tung wird bei der Integritätsüberprüfung im Ergebnis ermittelt, ob sich ein Schlüsselparameter innerhalb eines zulässigen, mehrfach unterbrochenen Wertebereichs befindet. Diese Prüfungsart liegt in der Regel dann vor, wenn der Schlüsselparameter bei der Schlüsselerzeugung aus dem eigentlich für die kryptographische Berechnung benötigten Wert und einem zusätzlichen, an sich redundanten Sicherungswert berechnet wurde, wie dies z.B. bei Prüfsummenberechnungen der Fall ist.
Während es vorgesehen sein kann, manche oder alle Schlüsselparameter jeweils einzeln zu überprüfen, wird vorzugsweise bei der Integritätsüberprü- fung ermittelt, ob mindestens zwei Schlüsselparameter in einer vorbestimmten Beziehung zueinander stehen. Die Integritätsüberprüfung kann eine multiplikative Operation beinhalten, worunter in der Wortwahl des vorliegenden Dokuments eine Multiplikation, eine Division, eine Potenzierung, eine Modulo-Berechnung und eine Teilbarkeitsprüfung zu verstehen sind. Vorzugsweise wird überprüft, ob ein Schlüsselparameter oder ein davon abgeleiteter Wert glatt durch einen Sicherungswert teilbar ist. In diesem Fall wird der Schlüsselparameter bei der Schlüsselgenerierung vorzugsweise durch eine Multiplikation des eigentlich für die kryptographische Berech- nung benötigten Wertes mit dem Sicherungswert gewonnen. Der Sicherungswert kann Bestandteil des Schlüssels oder fest vorgegeben sein.
Das erfindungsgemäße Verfahren ist für alle kryptographischen Berechnungen geeignet, bei denen ein kryptographischer Angriff durch Verfälschung mindestens eines ersten Schlüsselparameters Rückschlüsse auf mindestens einen zweiten Schlüsselparameter ermöglicht. Insbesondere ist die Erfindung für die Sicherung der Entschlüsselung oder Signaturerzeugung bei einem RSA- Verfahren, vorzugsweise bei einem RSA-CRT- Verfahren, vorgesehen. In diesen Fällen betrifft die Integritätsüberprüfung den privaten RSA-Schlüssel. Es ist zu erwarten, daß entsprechende Angriffsmöglichkeiten für weitere kryptographische Berechnungen gefunden werden, die dann ebenfalls auf die erfindungsgemäße Weise gesichert werden können.
In bevorzugten Ausgestaltungen wird bei der Integritätsprüfung ermittelt, ob ein bei einer Potenzierungsoperation verwendeter Exponent glatt durch einen Sicherungswert teilbar ist. Diese Ausführungsformen der Erfindung lassen sich besonders vorteilhaft mit einem Exponenten- Verschleierungs- verfahren kombinieren, wie es aus der internationalen Off enlegungsschrift WO 01/48974 AI bekannt ist. In weiteren vorteilhaften Ausgestaltungen werden - alternativ oder zusätzlich zu der gerade genannten Exponentenverschleierung - die Primfaktoren des RSA- Verfahrens mit einem Verschleierungsparameter multipliziert, so daß das Berechnungsergebnis mittels einer Gleichheitsüberprüfung modulo des Verschleierungsparameters auf seine Korrektheit überprüft werden kann. Das erfindungsgemäße Computerprogrammprodukt weist Programm- befehle auf, um das erfindungsgemäße Verfahren zu implementieren. Ein derartiges Computerprogrammprodukt kann ein körperliches Medium sein, beispielsweise ein Halbleiterspeicher oder eine Diskette oder eine CD-ROM, auf dem ein Programm zur Ausführung eines erfindungsgemäßen Verfahrens gespeichert ist. Das Computerprogrammprodukt kann jedoch auch ein nicht-körperliches Medium sein, beispielsweise ein über ein Computernetzwerk übermitteltes Signal. Das Computerprogrammprodukt kann insbeson- dere zur Verwendung im Zusammenhang mit der Herstellung und/ oder Initialisierung und/ oder Personalisierung von Chipkarten oder sonstigen Datenträgern vorgesehen sein.
In bevorzugten Ausgestaltungen sind das Computerprogrammprodukt und/ oder der tragbare Datenträger mit Merkmalen weitergebildet, die den oben beschriebenen und/ oder den in den abhängigen Verfahrensansprüchen genannten Merkmalen entsprechen.
Weitere Merkmale, Vorteile und Aufgaben der Erfindung gehen aus der fol- genden genauen Beschreibung mehrerer Ausführungsbeispiele und Ausführungsalternativen hervor. Es wird auf die schematischen Zeichnungen verwiesen, in denen zeigen:
Fig. 1 ein beispielhaftes Flußdiagramm eines Verfahrens zur Schlüsselberech- nung mit Darstellung eines öffentlichen und eines privaten Schlüssels,
Fig. 2 ein beispielhaftes Flußdiagramm eines kryptographischen Berechnungsverfahrens, Fig. 3 ein beispielhaftes Flußdiagramm eines Ausschnitts des Verfahrens von Fig. 2 in einer abgewandelten Ausgestaltung, und
Fig. 4 ein beispielhaftes Flußdiagramm eines weiteren Ausführungsbeispiels des kryptographischen Berechnungsverfahrens.
Das in Fig. 1 dargestellte Verfahren dient zur Berechnung eines öffentlichen Schlüssels 10 und eines privaten Schlüssels 12, die zur Verwendung in einem RSA- Verfahren ausgestaltet sind. Die gestrichelten Pfeile geben jeweils an, welcher Schlüsselparameter durch welchen Verfahrensschritt erzeugt wird. Im Zusammenhang mit einer Verwendung des Schlüsselpaares 10, 12 durch tragbare Datenträger (z.B. Chipkarten) kann das Verfahren z.B. im Zuge der Initialisierung oder Personalisierung des Datenträgers in einer gesicherten Umgebung ausgeführt werden. Das extern berechnete Schlüsselpaar wird dann als Teil der Initialisierungs- oder Personalisierungsdaten in den Datenträger übertragen. Alternativ ist es auch möglich, daß das Verfahren von Fig. 1 durch den Datenträger selbst ausgeführt wird, um das Schlüsselpaar zu bestimmen.
Der öffentliche Schlüssel 10 weist als Schlüsselparameter einen Modulus n und einen öffentlichen Exponenten e auf. Der private Schlüssel 12 ist für RSA-Berechnungen unter Verwendung des Chinesischen Restklassensatzes vorgesehen, die hier auch als RSA-CRT-Berechnungen (CRT = Chinese remainder theorem) bezeichnet werden. Als Schlüsselparameter weist der private Schlüssel 12 einen ersten und einen zweiten Primfaktor p, q, einen CRT-Koeffizienten pinv, einen ersten und einen zweiten Sicherungswert sp, sq sowie einen gesicherten ersten und einen gesicherten zweiten CRT-Expo- nenten dp, dq auf. Das in Fig. 1 dargestellte Verfahren beginnt in an sich bekannter Weise in Schritt 14 mit der zufälligen Auswahl zweier Primzahlen mit einer Länge von z.B. je 1024 oder 2048 Bit, die als erster und zweiter Primfaktor p, q im privaten Schlüssel 12 gespeichert werden. Im darauffolgenden Schritt 16 wird der Modulus n des öffentlichen Schlüssels 10 als Produkt der beiden Primfaktoren p, q berechnet. Der öffentliche Exponent e wird in Schritt 18 als Zufallszahl bestimmt, die teilerfremd zum Wert (p-l)-(q-l) ist. Da im vorliegenden Ausführungsbeispiel der private Schlüssel 12 auf RSA-CRT-Berech- nungen zugeschnitten ist, wird in Schritt 20 das modulare Inverse von p modulo q berechnet und als CRT-Koefizient pinv in den privaten Schlüssel 12 aufgenommen.
In Schritt 22 wird der Wert d als modulares Inverses des öffentlichen Exponenten e modulo (p-l)-(q-l) berechnet. In RSA- Verfahren, die den Chinesi- sehen Restklassensatz nicht einsetzen, wäre d als privater Exponent der
Hauptbestandteil des privaten Schlüssels. In bekannten RSA-CRT-Verfahren würden statt d die beiden CRT-Exponenten d mod (p-1) und d mod (q-1) verwendet werden. Im vorliegenden Ausführungsbeispiel enthält der private Schlüssel 12 dagegen Werte, die aus den genannten CRT-Exponenten d mod (p-1) und d mod (q-1) durch eine zusätzliche Sicherungsmaßnahme abgeleitet sind. Diese Sicherungsmaßnahme ist hier beispielhaft die Multiplikation mit je einem Sicherungswert. Eine Manipulation der gesicherten Werte kann dann durch eine Teilbarkeitsüberprüfung festgestellt werden. In Ausführungsalternativen sind andere Sicherungsmaßnahmen vorgesehen, z.B. eine Prüfsummenbildung oder die mehrfache Übergabe von zumindest den wichtigen Übergabeparametern.
Als Sicherungswerte sp, sq werden in Schritt 24 zwei Zufallszahlen mit einer Länge von beispielsweise je 64 Bit (8 Byte) erzeugt. Der gesicherte erste CRT-Exponent dp wird in Schritt 26 gemäß dp := (d mod (p-1)) • sp berechnet. Entsprechend wird der gesicherte zweite CRT-Exponent dq in Schritt 28 durch die Berechnung dq := (d mod (q-1)) • sq bestimmt. Die genannten Werte werden sämtlich als Parameter des privaten Schlüssels 12 abgespeichert. Damit ist die Bestimmung eines gegen Manipulationen geschützten privaten Schlüssels 12 beendet.
Im vorliegenden Ausführungsbeispiel liegt der private Schlüssel 12 im wesentlichen in Form einer Datenstruktur RSAPrivateCRTKey gemäß den Konventionen der Java-Card- Anwendungsprogrammierungsschnittstelle vor. Diese Konventionen sind im Dokument "Java Card™ 2.1.1 Application Programining Interface", Revision 1.0, 18. Mai 2000, herausgegeben von Sun Microsystems, Inc., USA, gegenwärtig verfügbar unter http://java.sun.com/ products/javacard/ javacard21.html, beschrieben. Die dort vorgesehene Da- tenstruktur weist Felder DPI und DQl für die ungesicherten CRT-Exponenten d mod (p-1) und d mod (q-1) auf. Um den privaten Schlüssel 12 gemäß dem vorliegenden Ausführungsbeispiel in einer derartigen Datenstruktur unterzubringen, ist im vorliegenden Ausführungsbeispiel vorgesehen, daß die Werte sp und dp zusammen in dem Feld DPI des RSAPrivateCRTKey gespeichert werden, und daß entsprechend die Werte sq und dq zusammen in dem Feld DQl gespeichert werden. In Fig. 1 ist dies durch gepunktete Linien angedeutet. In Ausführungsvarianten können die Werte sq und dq auch in anderen Feldern des RSAPrivateCRTKey oder außerhalb dieser Datenstruktur abgelegt werden.
Die hier beschriebenen Ausführungsbeispiele weichen insofern geringfügig von der oben genannten Java-Card-Spezifikation ab, als vorliegend das modulare Inverse von p modulo q als CRT-Koefizient pinv im privaten Schlüssel 12 enthalten ist. Gemäß der Java-Card-Spezifikation wird dagegen ein CRT-Koeffizient PQ verwendet, der das modulare Inverse von q modulo p ist. Es sind Abwandlungen der hier beschriebenen Verfahren vorgesehen, bei denen der CRT-Koeffizient PQ entsprechend der Java-Card-Spezifikation Bestandteil des privaten Schlüssels 12 ist. Die erfindungsgemäßen Ideen sind auch für derartige Ausgestaltungen ohne wesentliche Veränderung einsetzbar.
Fig. 2 zeigt eine erste Ausgestaltung eines gesicherten RSA-CRT- Verfahrens, das zur Entschlüsselung oder Signaturerzeugung dient. Das Verfahren ist dazu vorgesehen, von einem Prozessor eines tragbaren Datenträgers, insbesondere einer Chipkarte (smart card) oder eines Chipmoduls, ausgeführt zu werden. Das Verfahren ist dazu in Form von Programmbefehlen für diesen Prozessor implementiert, die in einem ROM oder EEPROM des Datenträgers gespeichert sind. Der zur Entschlüsselung oder Signaturerzeugung benötigte private Schlüssel 12 ist ebenfalls im EEPROM des Datenträgers gespeichert.
Beim Verfahrensaufruf wird ein Zeiger auf den privaten Schlüssel 12 an die aufgerufene Entschlüsselungs- oder Signaturerzeugungsroutine übergeben. Die Erfinder haben erkannt, daß ein kryptographischer Angriff dadurch aus- geführt werden kann, daß einzelne Parameter des privaten Schlüssels 12 vor Beginn der Entschlüsselung oder Signaturerzeugung manipuliert werden. Dies kann z.B. durch gezielte Einwirkung auf das den privaten Schlüssel 12 enthaltende EEPROM oder durch Übergabe einer fehlerhaften Adresse an die RSA-CRT-Routine geschehen. Ein derartiger Angriff hätte die äußerst nachteilige Konsequenz, daß sich aus dem Berechnungsergebnis - z. B. den entschlüsselten Daten oder der erzeugten Signatur - Rückschlüsse auf die Werte der geheimen Schlüsselparameter ziehen ließen. Dadurch wäre das Schlüsselpaar 10, 12 für alle bisherigen und zukünftigen Berechnungen kompromittiert. Um einen derartigen kryptographischen Angriff zu verhindern, ist bei dem Verfahren von Fig. 2 eine Integritätsüberprüfung des privaten Schlüssels 12 vorgesehen, die eine Folge von mehreren Teilprüfungen beinhaltet. In Fig. 2 ist durch die gestrichelten Pfeile angedeutet, welche Schlüsselparameter in die jeweiligen Teilprüfungen eingehen.
Das Verfahren beginnt in Schritt 30 mit der Teilprüfung, ob der im privaten Schlüssel 12 enthaltene CRT-Koeffizient pinv tatsächlich das modulare Inverse zum ersten Primfaktor p modulo des zweiten Primfaktors q darstellt. Mit anderen Worten wird überprüft, ob die vorgegebene Beziehung p-pinv = 1 mod q erfüllt ist. Ist dies nicht der Fall, so erfolgt ein Fehleraussprung, und das Verfahren wird abgebrochen. Ist die Überprüfung erfolgreich, so kann davon ausgegangen werden, daß die Schlüsselparameter p, q und pinv nicht manipuliert worden sind, und das Verfahren wird fortgesetzt.
Im nun folgenden Berechnungsmodul 32 wird als Ergebnis des ersten der beiden CRT-Berechnungszweige ein erster Hilfswert yl bestimmt. In diese Berechnung gehen die zu entschlüsselnden oder zu signierenden Daten x,. der erste Primfaktor p und der erste CRT-Exponent d mod p-1 ein, wobei der letztgenannte Wert nicht unmittelbar zur Verfügung steht, sondern aus dem gesicherten ersten CRT-Exponenten dp und dem ersten Sicherungswert sp abgeleitet werden muß.
Zur Überprüfung, ob einer der beiden Werte sp, dp manipuliert worden ist, wird zunächst in Schritt 34 eine Teilbarkeitsprüfung vorgenommen. Falls der gesicherte erste CRT-Exponent dp nicht glatt durch den ersten Sicherungswert sp teilbar ist, erfolgt wiederum ein Fehleraussprung und Verfahrens- abbruch. Wenn dagegen die Division ohne Rest aufgeht, kann mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit angenommen werden, daß zumindest keine zufällige Verfälschung eines der beiden Schlüsselparameter sp und dp stattgefunden hat. Diese Teilbarkeitsprüfung stellt nur einen geringen zu- sätzlichen Rechenaufwand dar, da der Sicherungswert sp nur eine relativ geringe Bitlänge aufweist. Eine gezielte Manipulation der beiden Parameter sp und dp unter Kenntnis des vorgesehenen Sicherungsmechanismus könnte durch das hier beschriebene Verfahren natürlich nicht entdeckt werden; es ist aber gegenwärtig nicht vorstellbar, wie ein Angreifer ein derartiges ge- zieltes Einschreiben neuer Werte in einzelne EEPROM-Zellen des Datenträgers bewerkstelligen könnte.
Wenn die Integritätsüberprüfung hinsichtlich der Parameter sp und dp in Schritt 34 erfolgreich war, wird in Schritt 36 die eigentliche Berechnung des ersten Hilfswerts yl gemäß yl := (x mod p)Λ(dp/sp) ausgeführt. Hierbei kann hinsichtlich des Exponenten dp/sp natürlich in der Regel auf das bereits in Schritt 34 berechnete Divisionsergeb is zurückgegriffen werden. Da das Sicherungsverfahren im vorliegenden Ausführungsbeispiel einfach aus einer Multiplikation mit dem ersten Sicherungswert sp bestand - siehe Schritt 26 in Fig. 1 -, gilt dp/sp = d mod (p-1) und somit yl = (x mod p)Λ(d mod (ρ-1)). Dies ist das gewünschte Ergebnis des ersten CRT- Berechnungszweigs.
Ein zweites Berechnungsmodul 38 entspricht dem zweiten CRT-Berech- nungszweig. Das Verfahren läuft ebenso wie im ersten Berechnungsmodul 32 ab, wobei jedoch der zweite Primfaktor q, der zweite Sicherungswert sq und der gesicherte zweite CRT-Exponent dq herangezogen werden. In Schritt 40 folgt wiederum die Integritätsüberprüfung hinsichtlich der Schlüsselparameter sq und dq, und in Schritt 42 wird der zweite Hilfswert y2 gemäß der Formel y2 := (x mod q)Λ(dq/sq) berechnet.
In dem das Verfahren abschließenden Berechnungsschritt 44 wird das Ge- samtergebnis y, also die entschlüsselten Daten oder die berechnete Signatur, auf an sich bekannte Weise durch Kombination der beiden CRT-Hilf swerte yl und y2 bestimmt. Die hier durchgeführte Berechnung läßt sich formelmäßig als y := (((y2 - yl) • pinv) mod q) • p + yl ausdrücken. Für die vom Prozessor des Datenträgers vorgenommenen Berechnungsschritte können natürlich unterschiedliche Auswertungsreihenfolgen gewählt werden. Generell sind aus der Literatur unterschiedliche Varianten der RSA-CRT- Berechnungen der Schritte 36, 42 und 44 bekannt, die sich insbesondere dahingehend unterscheiden, auf welche Weise Zwischenergebnisse auf die jeweiligen Modulo-Bereiche reduziert werden. Die erfindungsgemäße Idee der Integritätsüberprüfung und die im vorliegenden Ausführungsbeispiel vorgeschlagene multiplikative Sicherung der CRT-Exponenten dp und dq können mit allen diesen Varianten kombiniert werden.
Die Integritätsprüfung gemäß der vorliegenden Erfindung richtet sich insbesondere gegen einen kryptographischen Angriff, der zeitlich vor den RSA-Berechnungen - spätestens während der Parameterübergabe an die RSA-Routine - ausgeführt wird. Die Prüfung bei der Parameterübergabe kann in einfacher Weise auch erfolgen, indem neben den Übergabeparametern auch noch damit verbundene redundante Information, beispielsweise in Form von Prüfsummen abgespeichert ist, und nach der Parameterübergabe eine abgespeicherte Prüfsumme mit einer neu über die übergebenen Parameter errechneten Prüfsumme verglichen wird. Alternativ können zumindest wichtige Übergabeparameter mehrfach übergeben und nach der Übergabe auf Identität geprüft werden. Es sind weitere Angriffsverfahren bekannt, die auf eine Ausspähung der einzelnen Berechnungsschritte abzielen, um Rückschlüsse auf geheimzuhaltende Schlüsselparameter zu ermöglichen. Insbesondere die Exponentenbildung in den Schritten 36 und 42 ist solchen Angriffen ausgesetzt, weil bei üblichen Implementierungen der Potenzierungsoperation die Prozessoraktivität während des Berechnungsablaufs erheblich von der Bitfolge des Exponenten abhängt. Diese Prozessoraktivität kann durch Messung des Stromverbrauchs (SPA = simple power analysis oder DPA = differential power analysis) oder anderer Signale wie z.B. elektrischer Feldstärken ausgespäht werden.
Zum Schutz gegen derartige Angriffe ist in der internationalen Patentveröffentlichung WO 01/48974 AI vorgeschlagen worden, den Exponenten mit Rest durch eine Zufallszahl zu teilen und statt einer einzigen Potenzierungsoperation drei getrennte Potenzierungen vorzunehmen, wobei als Exponenten der ganzzahlige Quotient, die Zufallszahl sowie der bei der Teilung ermittelte Rest verwendet werden. Dieses Verfahren ist im Detail in der genannten Patentveröffentlichung beschrieben, deren Inhalt hiermit voll- ständig in das vorliegende Dokument aufgenommen wird.
Es ist ein besonderer Vorteil des Sicherungsverfahrens gemäß der vorliegenden Erfindung, daß sich dieses leicht mit dem auch als "exponent blinding" bezeichneten Verschleierungsverfahren gemäß der WO 01/48974 AI kombinieren läßt, wobei sich insbesondere die für das Verschleierungsverfahren sowieso benötigte Division auch für das Sicherungsverfahren gemäß der vorliegenden Erfindung nutzen läßt. Das erfindungsgemäße Verfahren kann dadurch mit sehr geringem Mehraufwand implementiert werden. Fig. 3 zeigt die Verfahrensschritte eines Berechnungsmoduls 32', das gegenüber dem Berechnungsmodul 32 von Fig. 2 so abgewandelt ist, daß es zusätzlich die aus der WO 01/48974 AI an sich bekannte Technik der Expone - ten- Verschleierung anwendet. Hierzu wird zunächst in Schritt 46 eine Zufallszahl r mit einer Länge von beispielsweise 64 Bit (8 Byte) gewählt. In Schritt 48 wird eine Division mit Rest durchgeführt, um den gesicherten CRT-Exponenten dp in die Faktoren dpi und r-sp sowie den Rest dp2 aufzuteilen; es gilt dp = dpi -r-sp + dp2. Im Gegensatz zu dem aus WO 01/48974 AI bekannten Verfahren wird in Schritt 48 also als Divisor nicht die Zufallszahl r, sondern der Wert r-sp verwendet.
In den Schritten 50 und 52 werden nun die ersten beiden Potenzierungs- operationen vorgenommen, indem der Basiswert x mod p zunächst mit der Zufallszahl r und das so erhaltene Zwischenergebnis yll dann mit dem ganzzahligen Quotienten dpi potenziert werden. Für das Ergebnis yl2 gilt somit yl2 = ((x mod p)Λr)Λdpl = (x mod p)Λ(r-dpl). Der Sicherungswert sp ist in die Schritte 50 und 52 nicht eingeflossen, da insoweit die zur Sicherung des CRT-Exponenten dp dienende Multiplikation bereits im Zusammenhang mit der Division 48 rückgängig gemacht wurde.
In Schritt 54 erfolgt nun - analog zu Schritt 34 in Fig. 2 - eine Teilbarkeitsprüfung, um die Integrität der Schlüsselparameter sp und dp sicherzustellen. Im Gegensatz zu Schritt 34 in Fig. 2 wird hierbei jedoch nicht der gesicherte CRT-Exponent dp, sondern der Divisionsrest dp2 durch sp geteilt. Da sich dp2 von dp nur durch ein Vielfaches von r-sp - und somit durch ein Vielfaches von sp - unterscheidet, sind die beiden Überprüfungen gleichwertig. Der durch die Ausführung von Schritt 54 entstehende Berechnungsaufwand ist jedoch wegen des erheblich kürzeren Dividenden dp2 erheblich geringer als bei der Berechnung von Schritt 34 in Fig. 2. Überdies wird das ganzzahlige Divisionsergebnis dp2/sp im folgenden Schritt 56 benötigt. Die Division und Teilbarkeitsprüfung in Schritt 54 stellt im Vergleich zu dem bekannten Verfahren gemäß WO 01/48974 AI den einzigen zusätzlichen Rechenaufwand dar.
Falls dp2 kein glattes Vielfaches von sp ist, wird das Verfahren in Schritt 54 mit einem Fehleraussprung abgebrochen. Andernfalls wird in Schritt 56 ein weiterer Zwischenwert yl3 gemäß yl3 := (x mod p)Λ(dp2/sp) berechnet. Als Ergebnis yl des Berechnungsmoduls 32' wird in Schritt 58 das Produkt yl2-yl3 bestimmt. Dieses Ergebnis ist identisch mit dem ersten Hilfswert yl gemäß Schritt 36 von Fig. 2, weil gilt:
yl = yl2-yl3 = ((x mod p)Λ(r-dpl)) • ((x mod p)Λ(dp2/sρ))
= (x mod ρ)Λ((r-dpl)+(dρ2/sp))
= (x mod p)Λ(dp/sp)
Das gesamte RSA-CRT- Verfahren in der hier beschriebenen, besonders geschützten Ausführungsvariante beginnt mit einer Integritätsüberprüfung der Parameter p, q und pinv durch den in Fig. 2 gezeigten Schritt 30. Darauf folgen als erster CRT-Berechnungszweig die Schritte des Berechnungsmoduls 32' gemäß Fig. 3, um den ersten Hilfswert yl zu ermitteln. Zur Berechnung des zweiten Hilfswerts y2 wird ebenfalls das in Fig. 3 gezeigte Verfahren eingesetzt, wobei natürlich die Schlüsselparameter p, sp und dp durch q, sq und dq ersetzt werden. Die Zufallszahl r kann entweder aus dem ersten Ablauf des Berechnungsmoduls 32' übernommen oder neu bestimmt werden. Das Endergebnis y wird schließlich durch eine Kombination der beiden Hilfswerte yl und y2 wie in Schritt 44 von Fig. 2 berechnet. Das in Fig. 4 gezeigte Verfahren sieht einen zusätzlichen Überprüfungsschritt vor, in dem ein weiterer Verschleierungsparameter j herangezogen wird. Ein erster Berechnungsblock 60 entspricht ungefähr Schritt 30 in Fig. 2. In Schritt 62 wird der Verschleierungsparameter j als zufällige Primzahl mit einer Länge von beispielsweise 32 Bit (4 Byte) gewählt. Die Primfaktoren p und q werden in den Schritten 64 und 66 mit dem Verschleierungsparameter j multipliziert, um verschleierte Primfaktoren p1 bzw. q1 zu erhalten. In Schritt 68 erfolgt ein Test, um die Integrität der Schlüsselparameter p, q und pinv zu überprüfen. Falls p'-pinv = j mod q' gilt, wird das Verfahren fortgesetzt; andernfalls erfolgt ein Fehleraussprung.
In einem zweiten Berechnungsblock 70 wird ein erster Hilfswert yl gemäß der Formel yl := (xΛ(dp/sp)) mod p1 bestimmt. Der erste Hilfswert yl ent- spricht im wesentlichen dem ersten Hilfswert der Ausführungsbeispiele von Fig. 2 und Fig.3, wobei jedoch p1 statt p für die Modulo-Berechnung herangezogen wird. Im Detail erfolgt die Berechnung in unterschiedlichen Ausführungsvarianten entweder wie im Berechnungsmodul 32 von Fig. 2 oder wie im Berechnungsmodul 32' von Fig. 3. In beiden Fällen wird eine Teilbarkeitsprüfung durchgeführt, um die Integrität der Schlüsselparameter sp und dp sicherzustellen.
Ein dritter Berechnungsblock 72 entspricht dem zweiten Berechnungsblock 70 mit dem Unterschied, daß statt dp, sp und p' die Werte dq, sq und q1 herangezogen werden, um einen zweiten Hilfswert y2 zu berechnen. Wiederum kann der dritte Berechnungsblock 72 entweder wie das Berechnungsmodul 38 in Fig. 2 oder analog der Darstellung von Fig. 3 ausgestaltet sein. Durch einen Teilbarkeitstest im dritten Berechnungsblock 72 wird die Integrität der Schlüsselparameter sq und dq überprüft. Schritt 74 betrifft die Berechnung eines Zwischenergebnisses y1 vermöge der Formel y' := [((y2 - yl) • pinv) mod q1] • p + yl. Dies entspricht ungefähr Schritt 44 in Fig. 2. In Schritt 76 erfolgt ein weiterer Test, der die bisherigen Berechnungen miteinander in Beziehung setzt und gestörte
Berechnungsabläufe erkennt. Es wird überprüft, ob die folgende Gleichheitsbeziehung modulo j gilt:
y' mod j = [ ((xΛ(dq/sq)) mod j - (xA (dp/sp)) mod j) • pinv • p + (xΛ(dp/sp)) mod j ] mod j
Falls diese Gleichung nicht erfüllt ist, erfolgt ein Fehlerabbruch. Andernfalls wird das Verfahren in Schritt 78 mit der Berechnung des Endergebnisses y gemäß y := y' mod n abgeschlossen, wobei n der Modulus mit n = p-q ist. Durch die weitere Überprüfung des Berechnungsverlaufs in Schritt 76 wird bei dem Verfahren gemäß Fig.4 ein nochmals verbesserter Schutz gegen kryptographische Angriffe erreicht.

Claims

P a t e n t a n s p r ü c h e
1. Verfahren zum geschützten Ausführen einer kryptographischen Berechnung, bei der ein Schlüssel (12) mit mindestens zwei Schlüsselparametern (p, q, pinv, sp, dp, sq, dq) herangezogen wird, dadurch gekennzeichnet, daß eine Integritätsüberprüfung (30, 34, 40, 54) des Schlüssels (12) durchgeführt wird, um einen kryptographischen Angriff zu verhindern, bei dem durch eine Verfälschung mindestens eines ersten Schlüsselparameters (p, q, pinv, sp, dp, sq, dq) Rückschlüsse auf mindestens einen zweiten
Schlüsselparameter (p, q, pinv, sp, dp, sq, dq) gezogen werden.
2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß bei der Integritätsüberprüfung (30, 34, 40, 54) ermittelt wird, ob sich der Wert mindestens eines Schlüsselparameters (p, q, pinv, sp, dp, sq, dq) in einem mehrfach unterbrochenen Bereich zulässiger Werte befindet.
3. Verfahren nach Anspruch 1 oder Anspruch 2, dadurch gekenn- zeichnet, daß bei der Integritätsüberprüfung (30, 34, 40, 54) ermittelt wird, ob mindestens zwei Schlüsselparameter (p, q, pinv, sp, dp, sq, dq) in einer vorbestimmten Beziehung zueinander stehen.
4. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekenn- zeichnet, daß die Integritätsüberprüfung (30, 34, 40, 54) eine multiplikative Operation, insbesondere eine Teilbarkeitsprüfung, beinhaltet.
5. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, daß bei der Integritätsprüfung (30, 34, 40, 54) geprüft wird, ob ein Schlüsselparameter (p, q, pinv, sp, dp, sq, dq) oder ein Wert, der sich von dem Schlüsselparameter (p, q, pinv, sp, dp, sq, dq) durch ein Vielfaches eines Sicherungswertes (sp, sq) unterscheidet, glatt durch den Sicherungswert (sp, sq) teilbar ist.
6. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 5, dadurch gekennzeichnet, daß bei der Integritätsprüfung eine mit den Schlüsselparametern (p, q, pinv, sp, dp, sq, dq) abgespeicherte
Prüfsumme mit einer nach der Übergabe der Schlüsselparameter (p, q, pinv, sp, dp, sq, dq) neu berechneten Prüsumme verglichen wird.
7. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 6, dadurch gekennzeichnet, daß zur Prüfung der Integrität wichtige Übergabeparameter mehrfach übergeben und nach der Übergabe auf Identität geprüft werden.
8. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 7, dadurch gekennzeichnet, daß die kryptographische Berechnung eine Entschlüsselung oder Signaturerzeugung bei einem RSA- Verfahren, insbesondere einem RSA-CRT- Verfahren, ist.
9. Verfahren nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, daß bei der kryptographischen Berechnung mindestens eine Potenzierungsoperation durchgeführt wird, und daß bei der Integritätsprüfung (30, 34, 40, 54) geprüft wird, ob der bei der Potenzierungsopera- tion verwendete Exponent glatt durch einen Sicherungswert (sp, sq) teilbar ist.
10. Verfahren nach Anspruch 9, dadurch gekennzeichnet, daß bei der kryptographischen Berechnung ein Exponenten- Verschleierungsverfahren zum Ausspähungsschutz angewendet wird.
11. Verfahren nach einem der Ansprüche 8 bis 10, dadurch gekennzeichnet, daß die Primfaktoren (p, q) des RSA- Verfahrens mit einem Verschleierungsparameter (j) multipliziert werden, und daß die Fehlerfreiheit des Berechnungsverlaufs durch eine Gleichheitsüberprüfung modulo des Verschleierungsparameters (j) überprüft wird.
12. Verfahren zum Bestimmen eines Schlüssels für eine kryptographische Berechnung mit mindestens zwei Schlüsselparametern (p, q, pinv, sp, dp, sq, dq), der zur Verwendung in einem Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 9 vorgesehen ist.
13. Verfahren nach Anspruch 12, dadurch gekennzeichnet, daß mindestens ein Schlüsselparameter (p, q, pinv, sp, dp, sq, dq) durch eine Multiplikation eines für die kryptographischen Berechnung benötigten Wertes mit einem Sicherungswert (sp, sq) erhalten wird.
14. Computerprogrammprodukt, das Programmbefehle aufweist, um einen Prozessor zu veranlassen, ein Verfahren mit den Merkmalen eines der Ansprüche 1 bis 13 auszuführen.
5. Tragbarer Datenträger, insbesondere Chipkarte oder Chipmodul, der zur Ausführung eines Verfahrens mit den Merkmalen eines der Ansprüche 1 bis 13 eingerichtet ist.
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