RU2108612C1 - Адаптивная система управления с идентификатором и неявной эталонной моделью - Google Patents

Abstract

Изобретение относится к системам автоматического управления динамическими объектами широкого класса с неизвестными переменными параметрами и неконтролируемыми возмущениями. Технический результат заключается в упрощении условий и сокращении времени для достижения цели адаптации замкнутой системы управления, а также в расширении области применения системы на класс существенно нестационарных (нелинейных с текущей линеаризацией) объектов управления с неконтролируемыми внешними возмущениями. Технический результат достигается за счет того, что система содержит сумматор, первый и второй регуляторы, фильтр низких частот, объект управления, блок текущей идентификации, блок априорной информации о матрице эффективности управления и блок настройки регуляторов. 1 ил.

Description

Изобретение относится к системам автоматического управления динамическими объектами широкого класса с неизвестными переменными параметрами и неконтролируемыми возмущениями.

Прототипом изобретения является беспоисковая адаптивная система управления с непрямым адаптивным управлением и неявной эталонной моделью, описанная в работе [1, с. 492]. Структурная схема адаптивной системы управления для объектов с неконтролируемыми возмущениями включает в себя сумматор, два регулятора (один в прямой и один в обратной связи), объект управления и контур адаптации. Последний в свою очередь состоит из блока текущей идентификации, блока настройки регуляторов и логического блока, осуществляющего переключение работы контура адаптации с цикла идентификации на цикл настройки регуляторов и наоборот.

Рассмотрим построение такой системы управления для следующей задачи. Пусть объект управления (ОУ) описывается следующим матричным дифференциальным уравнением

,
где
x∈Rⁿ - непосредственно измеряемый вектор состояния ОУ;
x∈R^m - вектор управления (в дальнейшем - закон управления); f - вектор неконтролируемых внешних возмущений, ограниченный по норме; A, B и D - матрицы неизвестных параметров ОУ с соответствующими размерностями, в общем случае переменные;

- непосредственно измеряется или аналитически вычисляется по x.

Адаптивная система должна формировать такой закон управления, чтобы ОУ вел себя подобно эталонной модели, которая задана неявным образом в виде следующего дифференциального уравнения:

где
x_м - вектор состояния модели;
u_м - ограниченное по норме входное воздействие модели; размерности соответствуют уравнению (1); A_м и B_м - матрицы параметров модели в общем случае переменные, причем A_м - гурвицева матрица (вещественные части собственных ее чисел строго отрицательны).

Точный закон управления можно найти только тогда, когда выполнено условие полного соответствия моделей [2].

rankB = rank(B, A_м - A) = rank(B, B_м) = rank(B, D)
или, что тождественно
BB⁺(A_м - A) = A_м - A; BB⁺B_м = B_м; BB⁺D = D, (3)
где
B⁺ - псевдообратная матрица к B. В дальнейшем будем считать, что условие (3) выполнено, тогда управление, которое назовем точным
u^* = B⁺[(A_м - A)x + B_мu_м - Df],
обеспечит асимптотические свойства ошибки адаптации:

. Действительно, подставляя (4) в уравнение (1), учитывая (3) и (2), получим уравнение ошибки адаптации

Однако по условию матрицы A, B и D неизвестны и внешние возмущения неизмеряемы, поэтому вместо (4) используется закон управления

,
где

- оценки матриц A и B, доставляемые блоком текущей идентификации. Обновление параметров в законе управления производится циклически по управлению с логического блока. Блок текущей идентификации может быть построен на основе одного из известных алгоритмов идентификации.

Таким образом, замкнутая адаптивная система управления описывается уравнениями (1), (2), (5) при условии (3), а также включает алгоритм текущей идентификации и алгоритм переключения режимов работы контура адаптации.

В работах [1, 3, 4] указывается, что для достижения цели адаптации: с течением времени e _→ 0 - требуется отсутствие неизвестных возмущений, а также необходимо иметь асимптотические оценки

в конце цикла идентификации. Такое достаточно жесткое требование порождает ряд недостатков системы [3, 4]:
- необходимость обеспечения процесса управления стойким возбуждающим входным сигналом порядка не менее n;
- невозможность точной оценки параметров ОУ в замкнутой системе управления на некоторых режимах, например, на режиме стабилизации, когда u_м = 0, что объясняется линейной зависимостью компонент вектор-функций x(t) и u(t), где t - текущее время;
- большое влияние на качество идентификации и управления неконтролируемых внешних возмущений;
- невысокая скорость адаптации, поскольку параметры закона управления корректируются только в конце цикла идентификации.

Следует также отметить, что затянутость по времени процесса оценивания неизвестных параметров ОУ обусловливает известное мнение о том, что указанная система на практике может обеспечить приемлемое качество управления только для линейных стационарных или квазистационарных ОУ.

Целью изобретения является упрощение условий и сокращение времени для достижения цели адаптации замкнутой системы управления, а также расширение области применения системы на класс существенно нестационарных (нелинейных с текущей линеаризацией) объектов управления с неконтролируемыми внешними возмущениями.

Для теоретического обоснования достижения цели рассмотрим вопрос адаптации в непрерывной постановке при отсутствии возмущений (Df ≡ O). В качестве алгоритма текущей идентификации будем использовать алгоритм типа стохастической апроксимации, который в непрерывной постановке описывается следующим образом [5]:

,
где
C = [A, B];

- ошибка идентификации; x $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{т}}{\text{р}}$ = [x^т,u^т] - расширенный вектор состояния ОУ; Г - в общем случае переменная положительно определенная квадратная матрица размерностью (n + m), или скаляр; норма матрицы

- ограничена. Из теории идентификации известно, что алгоритм (6) обладает более простыми и лучшими свойствами сходимости к нулю ε по сравнению со сходимостью оценок параметров. Действительно, если назначить функцию Ляпунова вида V = ε^тε , то ее производная на уравнении (6) имеет вид

Уравнение (7) показывает, что при ограниченных нормах

(это справедливо для подавляющего большинства прикладных задач) и при достаточно большой норме матрицы Г с течением времени ε _→ 0 , причем без каких-либо дополнительных условий. Также можно указать, что уравнение (6) описывает динамическую систему с матрицей собственного движения x_px $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{т}}{\text{p}}$ Г , которая имеет единственное ненулевое собственное число x $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{Т}}{\text{p}}$ Гx_p , равное собственной частоте системы, или собственной частоте алгоритма идентификации (ω_a) .

В связи с указанным найдем зависимость ошибки адаптации от ошибки идентификации. Для этого вычтем из уравнения (1) уравнение (2), получим

Прибавляя и вычитая из правой части полученного A_мx, комбинируя слагаемые и учитывая (3), (4), найдем

Для поиска зависимости невязки B(u - u^*) от ε уравнение (5) с учетом равенств (3), (4), (6) и (1) запишем в виде

Последнее слагаемое вынесено за скобки в силу очевидного равенства

. Отсюда следует, что

Уравнение (9) показывает, что его выражение в квадратных скобках всегда ортогонально строкам матрицы

, или, согласно свойствам псевдообратной матрицы, - столбцам матрицы

[6]. В связи с этим общее решение уравнения (9) будет иметь вид
B(u-u^*)-ε = Ψξ, (10), ,
где
Ψ - матрица такая, что

; ξ - произвольный вектор соответствующей размерности. Уравнения (8) и (10) описывают искомый результат.

Очевидно, наиболее важным является случай, когда в уравнении (10) невязка B(u - u^*) не зависит от неопределенного член Ψξ . Одним из возможных вариантов этого является случай, когда выполняется условие [7]

Для того чтобы доказать это утверждение, предположим, что rankB = k ≤ min (n, m). Тогда матрицу B можно представить через скелетное разложение в виде [6]

,
где
F и L - матрицы размерностью n • k и k • m соответственно такие, что rankF = rankL = k. В этом случае равенство (11) влечет за собой выполнения условия

, или, согласно свойствам псевдообратной матрицы,

. Последнее обуславливает то, что

, где E_k - единичная k • k матрица [6]. Следовательно, умножение уравнения (10) слева на матрицу

ограниченной нормы дает

.

В свою очередь, частным к условию (11) является случай, когда столбцы матрицы B линейно зависимы со столбцами

, т.е.

Действительно, в этом случае строки матрицы B⁺ линейно зависимы со строками матрицы

, и на основании (10) B⁺Ψ = 0 . В результате умножение уравнения (10) слева на матрицу BB⁺

дает вместо (12)
B(u-u^*) = BB⁺ε. .

Таким образом, если выполнено хотя бы одно из условий: (11) или (13), то уравнение ошибки адаптации описывается простым линейным дифференциальным уравнением

,
где
матрица K имеет ограниченную норму, т.е. при ε _→ 0 достигается цель адаптации.

Следует однако отметить, что для выполнения условия ε _→ 0 требуется

, но последнее согласно свойствам уравнений (6) и (7) приводит к увеличению скорости изменения оценок, возрастанию норм

, что препятствует сходимости ошибки идентификации и может привести к возникновению высокочастотных резонансных явлений. Для устранения этого неблагоприятного факта примем во внимание, что, как правило, рабочие частоты ОУ находятся в низкочастотной области. Поэтому достаточно управление (5) пропускать через фильтр низких частот с частотой среза (ω_ф) меньшей, чем ω_a , но превышающей диапазон рабочих частот ОУ. Действительно, фильтрация управления соответствует устранению высокочастотной составляющей оценки

с сохранением ее низкочастотной части

. Последняя образует низкочастотную составляющую ошибки идентификации:

. Поскольку выбором матрицы Г обеспечено стремление к нулю ошибки идентификации, то стремится к нулю и указанная ее низкочастотная часть. Следовательно, в области рабочих частот ОУ будут наблюдаться асимптотические свойства ошибки адаптации.

Из изложенного следует ряд выводов:
- требование асимптотической точности оценок параметров ОУ является лишь частным случаем достижения цели адаптации;
- цель адаптации можно достигнуть, если наложить довольно слабые ограничения (11) или (13) на оценку матрицы эффективности управления объекта (если B - скаляр, то достаточно

; эти ограничения не основаны на собственных динамических свойствах ОУ и могут быть получены из небольшой априорной информации об управляемом объекте; для выполнения условия (11) или (13) в структурную схему системы целесообразно ввести блок априорной информации о матрице эффективности управления объекта; по сигналам с этого блока будет производиться коррекция текущей оценки

;
- выбором матрицы Г алгоритма идентификации (6) можно всегда добиться требуемой скорости сходимости ошибки идентификации ε , что дает, во-первых, увеличение скорости адаптации замкнутой системы, а, во-вторых, - возможность: организации непрерывной подстройки закона управления по текущим оценкам параметров ОУ, устранения цикличности работы контура адаптации, а следовательно, и устранения логического блока;
- нет никаких дополнительных требований к входному сигналу ОУ, кроме u ≢ 0 , и поэтому адаптивная система управления может функционировать на фоне естественных управляющих сигналов;
- возможно расширение области применения адаптивной системы на класс существенно нестационарных (нелинейных с текущей линеаризацией) ОУ, у которых скорость изменения параметров ограничена;
- в связи с тем, что качество адаптации явно не зависит от качества оценок, доставляемых идентификатором, возможно использование системы при воздействии на ОУ неконтролируемых внешних возмущений, ограниченных по норме; действительно, в этом случае ошибка идентификации будет иметь вид

, а уравнение (7) - соответственно

,
остальные уравнения останутся прежними; в области рабочих частот ОУ норма матрицы

ограничена, и поэтому выбором матрицы Г всегда возможно в указанной области частот добиться сходимости ε и e .

Следует отметить, что если алгоритм идентификации дискретный, то требованиями сходимости ε являются: во-первых, все собственные числа матрицы Г_i должны находится в пределах

, а, во-вторых, период дискретизации алгоритма должен быть достаточно малым (i - текущий момент времени). Это следует из рассмотрения уравнения (6) в разностном виде

,
где

- определяется дискретным алгоритмом идентификации. Умножим последнее равенство справа на x_pi, получим

При достаточно малом шаге дискретизации

,
и поэтому можно записать ε_i+1≈ ε_i(1-x $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{T}}{\text{pi}}$ Г_ix_pi). . Сходимость дискретной ошибки ε будет иметь место, если выражение в круглых скобках последнего равенства будет по модулю меньше единицы, или 0 < x $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{T}}{\text{pi}}$ Г_ix_pi< 2. . Поделив это неравенство на x $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{T}}{\text{pi}}$ x_pi и используя отношение Релея [6], найдем указанные требования к матрице Г_i. Для дискретной формы алгоритма ω_a= x $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{T}}{\text{pi}}$ Г_ix_pi/H , где H - шаг дискретизации.

Полученные выводы, в частности, подтверждаются численными исследованиями, результаты которых приведены в работе [7].

На чертеже представлена структурная схема дискретной адаптивной системы управления с идентификатором и неявной эталонной моделью.

Структурная схема содержит сумматор 1, первый 2 и второй 3 регуляторы, фильтр 4 низких частот, объект 5 управления, блок 6 текущей идентификации, блок 7 априорной информации о матрице эффективности управления объект, блок 8 настройки регуляторов.

Адаптивная система работает следующим образом.

Задающее воздействие в виде [B_мU_м]_t подается на первый вход сумматора 1. На второй вход сумматора поступает сигнал с выхода второго регулятора 3. Выход сумматора связан с первым входом первого регулятора 2, этот регулятор окончательно формирует управление в соответствии с зависимостью

Выход первого регулятора связан со входом фильтра 4 низких частот, пропускающего рабочие частоты ОУ. Выход фильтра связан со входом объекта 5 управления и с первым входом блока 6 текущей идентификации. Выход объекта управления связан с первым входом второго регулятора 3, преобразующего входной сигнал x_i в виде

,
и со вторым входом блока текущей идентификации. Выход блока 7 априорной информации о матрице эффективности управления объекта подключен к третьему входу блока текущей идентификации. Блок текущей идентификации по входным сигналам с объекта управления:

- формирует текущие оценки параметров ОУ. Вектор

может либо непосредственно измеряться, либо аналитически вычисляться в блоке текущей идентификации по текущим значениям x, например, на основе полиномиальной или тригономтрической аппроксимации на скользящем интервале /8/. Алгоритм текущей идентификации блока 6 относится к классу алгоритмов типа стохастической аппроксимации, в качестве которого можно использовать алгоритм, описанный в работе /9/

Здесь ω_a= H^-1 - выбирается из условия ω_a> ω_ф . Для выполнения требований (11) или (13) на каждом шаге идентификации в блоке 6 производится коррекция оценки

. Такая коррекция должна быть с "минимальным" изменением исходной матрицы и может быть организована следующим образом. Блок 7 выдает в блок текущей идентификации информацию о матрице B₀ размерностью n • m. Эта матрица учитывает априорную информацию о матрице эффективности управления объекта в виде соблюдения равенства
rank(B $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{T}}{\text{o}}$ B) = rankB, (14) ,
Предположим, что

,
где
G_i - какая-то матрица размерностью m • m. Оценку

определим как

,
где
Δ_i - минимальная по норме добавка до невырожденности матрицы

. Эта добавка может быть получена, например, на основе разложения квадратной матрицы

на треугольные сомножители [6] с минимальной коррекцией последовательной процедуры разложения с целью устранения нулевых диагональных элементов сомножителей. Полученные сомножители в дальнейшем перемножаются, формируя

. Скорректированная оценка будет иметь вид

. Тогда

,
что следует из равенства (14) и утверждения о том, что умножение любой матрицы на невырожденную соответствующей размерности не изменяет ранга исходной матрицы /6/. Оценка

используется при формировании управления и заменяет оценку

для следующего шага алгоритма идентификации.

Выход блока текущей идентификации, через который выдаются оценки

, связан с блоком 8 настройки регуляторов. Этот блок вычисляет

. Для реализации псевдообращения матриц можно использовать последовательный метод Гревилля [6]. Первый выход блока 8 связан со вторым входом первого регулятора, по нему передается информация о

. Второй выход блока 8 связан со вторым входом второго регулятора, по нему передается информация о матрице

.

Литература:
1. Справочник по теории автоматического управления./Под ред. А.А.Красовского. - М.: Наука, Гл. ред. физ. - мат. лит., 1987. - 712 с. (прототип).

2. Уткин В.Н. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. - М. : Наука, 1981.

3. Изерман Р. Цифровые системы управления: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984, 541 с.

4. Острем К.И. Адаптивное управление с обратной связью//ТИИЭР - 1987, N 2, т. 75, с. 4 - 45.

5. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. - М.: Наука. Гл. ред. фиг.-мат. лит., 1984. 320 с.

6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988, с. 552.

7. Буков В.Н., Круглов С.П., Решетняк Е.П. Адаптируемость линейной динамической системы с идентификатором и эталонной моделью//Автоматика и телемеханика - 1994, N 3, с. 99 - 107.

8. Пашковский И.М., Леонов В.А., Поплавский Б.К. Летные испытания самолетов и обработка результатов испытаний. - М.: Машиностроение, с. 416, 1985.

9. Гроп Д. Методы идентификации систем: Пер. с англ. - М.: Мир, 1979, с. 302.

Claims (1)

1. Адаптивная система управления с идентификатором и неявной эталонной моделью, содержащая объект управления и сумматор, первый вход которого подключен к задающему воздействию, а выход - к первому входу первого регулятора, выход объекта управления подключен к первому входу второго регулятора и к первому входу блока текущей идентификации, выход второго регулятора подключен к второму входу сумматора, выход блока текущей идентификации подключен к входу блока настройки регуляторов, первый выход которого подключен к второму входу первого регулятора, а второй выход - к второму входу второго регулятора, отличающаяся тем, что она дополнительно содержит фильтр низких частот, вход которого подключен к выходу первого регулятора, а выход подключен к входу объекта управления и к второму входу блока текущей идентификации, блок априорной информации о матрице эффективности управления объекта, выход которого подключен к третьему входу блока текущей идентификации.