KR101830090B1 - 포트폴리오 최적화 시스템 및 그 방법, 그리고 이 방법이 구현된 계산 프로그램을 저장하는 실행 가능한 디지털 매체 - Google Patents

Abstract

본 발명은 포트폴리오 최적화 시스템 및 그 방법에 관한 것이다. 본 발명의 포트폴리오 최적화 시스템은 포트폴리오를 구성하는 개별 자산군 가치 비율들에 대하여 구분적 선형성을 띄는 조건부 손실 VaR와 같은 지표를 포트폴리오 및 포트폴리오 구성 자산군들의 손실 리스크 측정 함수로 사용할 때, 두 개 이상의 개별 자산군들의 수익 지표들 및 자산군들의 가치 변화를 표현하는 시계열 행렬을 입력 값으로 하여, 전체 자산군 조정 비용, 전체 포트폴리오 예산, 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표 또는 전체 포트폴리오 수익 지표에 대한 제약 조건들 하에서 최적화 상태 포트폴리오 상태 지표들을 2차 비선형 근사 알고리즘으로 구현하고 출력한다. 포트폴리오를 구성하는 자산군들의 총 숫자 N이 2 이상의 어떤 자연수일 때, 포트폴리오 초기 및 최적 상태들은 N차원 공간의 점들에 대응되고, N차원 공간에서 이 점들을 구분 연속적으로 연결하는 최적화 경로를 찾아가는 방향은 경로 상의 한 점을 중점으로 하여 그 주변에 생성되는 극소 크기의 N차원 타원체 경계 형태를 취하는 국부적 추적 범위 내에서 전체 자산군 조정 비용을 반드시 포함하여 최대 3개의 제약 조건들로 구성되는 매개 변수 공간으로의 저차원 비선형 투영 변환을 통하여 유일하게 결정되며, 이 저차원 비선형 투영 변환은 상기 포트폴리오 최적화에 대한 라그랑제 승수법으로부터 유도된다. 본 발명에 의하면, 현재 포트폴리오의 목적 함수가 최적화 상태로 변화해 가는 구분 연속적인 경로를 계산할 수 있다.

Description

포트폴리오 최적화 시스템 및 그 방법, 그리고 이 방법이 구현된 계산 프로그램을 저장하는 실행 가능한 디지털 매체{SYSTEM AND METHOD FOR OPTIMIZING PORTFOLIO, AND EXECUTABLE DIGITAL MEDIA STORING COMPUTATIONAL PROGRAMS IMPLEMENTING THE SAME}

본 발명은 포트폴리오 최적화 시스템에 관한 것으로써, 좀 더 구체적으로 조건부 손실 VaR(Conditional Value-at-Risk for loss: CVaR^(loss) 혹은 Expected Shortfall: ES)와 같이 규모 불변성(scale-invariance) 및 오목성(convexity)을 충족시키는 함수가 금융상품 포트폴리오의 손실 리스크 지표로 사용될 때, 주어진 제약 조건들 하에서 포트폴리오 목적 함수를 극대화 또는 극소화시키는 최적 자산군 배분 비율들을 2차 비선형 저차원 투영 변환 알고리즘을 이용하여 산출하는 시스템 및 방법, 그리고 이 방법이 구현된 계산 프로그램을 저장하는 실행 가능한 디지털 매체에 관한 것이다.

산업 공학 및 금융 공학에서 다루는 포트폴리오 최적화는 포트폴리오를 구성하는 자산군들의 개별 수익 지표가 정의되고, 개별 자산군 가치 변화들이 각각의 확률 분포 함수들이나 이산화된 시계열 행렬 등 통계적 표본량으로 표현될 때, 전체 포트폴리오의 리스크를 줄이거나 수익을 극대화 하거나 또는 리스크 대비 수익 지표를 극대화하는 문제이다. 포트폴리오 및 그 구성 자산군 가치 변화들에 대한 확률 분포 함수들이나 통계적 표본량들에 대한 리스크를 측정하는 방법으로서는 흔히 조건부 손실 VaR 즉, CVaR^(loss) (혹은 ES)가 사용된다.

VaR (Value-at-Risk)는 일반적인 확률 변수에 대한 분포 함수 혹은 통계적인 표본량에서 특정한 신뢰 수준(confidence level)을 벗어나게 되도록 하는 확률 변수의 극소 임계값이다. 예를 들면, 금융상품 포트폴리오에서 그 가치손실이 시간에 따라 확률적으로 변화할 때, 주어진 기간 안에 어떠한 임계손실 리스크를 측정하기 위한 방법으로서 손실 가치를 표현하는 확률 변수의 VaR, 즉 VaR^(loss)가 사용될 수 있다. 특히 VaR^(loss)는 포트폴리오 손실이 정상 상태에서 크게 벗어나 유의 수준(significance level) 내에 놓이게 될 때의 리스크가 중요할 경우 흔히 사용된다.

이와 비교하여, 확률 변수가 신뢰 수준을 벗어날 때의 조건부 기댓값으로 정의되는 조건부 VaR 즉, CVaR (Conditional Value-at-Risk)는 VaR가 가지지 못하는 가산성 및 오목성을 충족시킨다. 이러한 CVaR는 일반적으로 VaR가 고려하지 못하는 신뢰 수준을 벗어난 극단치, 예를 들면 발생 가능한 매우 극심한 손실을 고려할 수 있다. 최근 발표된 여러 연구에 의하면, CVaR는 VaR가 가지는 한계를 보완하는 보다 적절하고 대안적인 위험 측정 도구로 평가받고 있다.

그 밖에, 척도 불변성 및 오목성을 띄며 CVaR와 유사하게 정의되는 조건부 기대 삭감 즉, CED (Conditional Expected Drawdown)도 포트폴리오 및 그 개별 구성 자산군들에 대한 리스크 측정 함수로 사용될 수 있다. CVaR 및 CED와 같이 척도 불변성을 가지는 리스크 측정 함수들은 포트폴리오를 구성하는 개별 자산군 가치 비율에 대하여 구분적 선형성을 띄게 된다.

포트폴리오 최적화를 위하여, 구분적 선형성을 띄는 리스크 측정 함수가 전체 포트폴리오 최적화 목적 함수로 사용되고, 제약 조건들 역시 포트폴리오를 구성하는 개별 자산군 가치 비율에 대하여 구분적 선형성을 띌 때, 리스크 측정 함수를 극소화하기 위하여 선형 계획법을 사용하는 이론은 아래의 비특허 문헌에서와 같이 널리 알려져 있다. 마찬가지로, 구분적 선형성을 띄는 리스크 측정 함수가 포트폴리오 최적화 제약 조건으로 사용되고, 최적화 목적 함수 역시 구분적 선형성을 띌 때도, 포트폴리오 최적화를 위하여 동일한 선형 계획법이 사용될 수 있다.

그러나 포트폴리오 최적화에서, 개별 자산군 가치 비율들에 대하여 구분적 선형성을 띄지 않는 전체 포트폴리오 손실 리스크 대비 수익 지표(return-to-risk ratio)가 목적 함수로 사용될 때, 선형 계획법을 사용하는 기존의 방법을 직접 적용하기에는 제약이 따른다. 손실 리스크 대비 수익 지표는 전체 포트폴리오의 현재 및 과거 상태뿐만 아니라 미래성과 예측을 위하여 사용될 수 있는 가장 기본이 되는 중요한 지표이나, 일반적으로 전체 포트폴리오를 구성하는 개별 자산군들의 가치 비율에 대하여 비선형 함수이다. 포트폴리오 최적화에서 이러한 비선형 목적 함수가 사용될 때는 수치 근사법에 근거한 일반적인 비선형 방법론을 적용할 수 있지만, 일반적인 비선형 최적화 방법론은 포트폴리오를 구성하는 자산군들의 수가 커질수록, 많게는 자산군들 수의 제곱에 준하는 계산량이 요구될 수 있다.

한국 등록특허공보 제10-0746107호(공고일 2007년 08월 03일) 한국 등록특허공보 제10-0766148호(공고일 2007년 10월 10일) 한국 등록특허공보 제10-0771718호(공고일 2007년 10월 30일) 한국 공개특허공보 제10-2009-0123351호(공개일 2009년 12월 02일)

[1] Rockafellar, R. & Uryasev, S. (2000) Optimization of conditional Value-at-Risk. Journal of Risk 2, 21-41. [2] Uryasev, S. (2000) Conditional Value-at-Risk: optimization algorithms and applications. Financial Engineering News 14, February. [3] Krokhmal, P., Palmquist, J. & Uryasev, S. (2002) Portfolio optimization with conditional value-at-risk objective and constraint. Journal of Risk 4, 11-27. [4] Mansini, R. Ogryczak, W. & Speranza, M. G. (2007) Conditional value at risk and related linear programming models for portfolio optimization. Annals of Operations Research 152, 227-256. [5] Rockafellar, R. & Uryasev, S. (2002) Conditional value-at-risk for general loss distributions. Journal of Banking & Finance 26, 1443-1471. [6] Acerbi, C. & Tasche, D. (2001) Expected shortfall: a natural coherent alternative to Value at Risk. Economic Notes 31, 379-388. [7] Acerbi, C. & Tasche, D. (2002) On the coherence of expected shortfall. Journal of Banking & Finance 26, 1487-1503. [8] Tasche, D. (2000) Conditional expectation as quantile derivative. Working paper. [9] Tasche, D. (2002) Expected shortfall and beyond. Journal of Banking & Finance 26, 1519-1533. [10] Yamai, Y. & Yoshiba, T. (2002) Comparative analyses of expected shortfall and Value-at-Risk: their estimation error, decomposition, and optimization. Monetary & Economic Studies, January, 87-122. [11] Pflug, G. Ch. (2000) Some remarks on the Value-at-Risk and the Conditional Value-at-Risk. Probabilistic Constrained Optimization 49, 272-281. [12] Goldberg, L. R., Hayes, M. Y. & Mahmoud, O. (2011) Minimizing shortfall. Working paper. [13] Goldberg, L. R. & Mahmoud, O. (2014) On a convex measure of drawdown risk. Working paper.

본 발명의 목적은 수익 지표가 정의되는 자산군들의 가치 변화들이 이산화된 시계열 행렬로 표현되는 일반적 포트폴리오에 대하여, 포트폴리오 목적 함수를 특정한 제약 조건들 하에서 극대화 혹은 극소화시키는 포트폴리오 최적화 시스템 및 그 방법을 제공하는 것이다. 이를 통하여 포트폴리오 관리에 필요한 의사 결정 과정에서 주어진 기간 동안 전체 포트폴리오의 리스크를 줄이거나 전체 수익률을 높이거나 리스크 대비 수익을 높이는 포트폴리오 구성을 제시한다.

본 발명의 다른 목적은, 포트폴리오 및 구성 자산군 가치들에 대한 확률 분포 함수들을 토대로 최적화된 포트폴리오를 구성하는 포트폴리오 최적화 시스템을 제공하는 것이다.

본 발명의 또 다른 목적은, 포트폴리오 목적 함수를 최적화시키는 자산군 배분 비율들의 상태 경로를, 포트폴리오를 구성하는 자산군 가치 변수들로 구성되는 공간에서뿐만 아니라, 제약 조건들에 대한 매개 변수들로 구성되는 공간에서도 계산되도록 하는 포트폴리오 최적화 시스템 및 그 방법을 제공하는 것이다.

본 발명의 또 다른 목적은, 조건부 손실 VaR(Conditional Value-at-Risk for loss: CVaR^(loss))와 같이 구분적 선형성을 띄는 함수가 포트폴리오 리스크 측정을 위하여 사용되고 포트폴리오를 구성하는 자산군들의 수가 제약 조건들의 수보다 많을 때, 자산군 가치 변수들로부터 구성되는 공간으로부터 제약 조건들에 대한 매개 변수들로 구성되는 공간으로의 2차 비선형 투영 변환을 사용하는 포트폴리오 최적화 시스템 및 그 방법을 제공하는 것이다.

본 발명의 또 다른 목적은, 손실 리스크 대비 수익 지표가 포트폴리오 최적화 목적 함수로 사용되고 조건부 손실 VaR와 같이 구분적 선형성을 띄는 함수가 포트폴리오 리스크 측정을 위하여 사용될 때 적용할 수 있는 포트폴리오 최적화 시스템 및 그 방법을 제공하는 것이다.

본 발명의 일 실시예에 따른 컴퓨팅 디바이스에 의해 수행되는, 수익 지표들이 정의되고 가치 변화에 대한 시나리오가 이산화된 시계열 행렬로 표현되는 복수의 자산군으로 구성된 최적화 대상 포트폴리오의 최적화 방법은 최적화 대상 포트폴리오를 구성하는 개별 자산군 각각의 개별 자산군 가치 확률 변수의 초기값을 획득하는 단계, 상기 개별 자산군 각각의 가치 변화 시나리오 획득하는 단계, 상기 개별 자산군 각각의 개별 자산군 가치 확률 변수의 초기값 및 상기 개별 자산군 각각의 가치 변화 시나리오를 기반으로 상기 최적화 대상 포트폴리오의 손실 리스크 및 상기 개별 자산군 각각의 손실 리스크 공헌도 결정하는 단계, 최적화 목적 함수 및 최적화 제약 조건을 결정하는 단계, 상기 최적화 제약 조건하에서 상기 최적화 목적 함수에 부합하도록 상기 최적화 대상 포트폴리오의 손실 리스크 및 상기 개별 자산군 각각의 손실 리스크 공헌도를 기반으로 상기 최적화 대상 포트폴리오를 최적화 하는 단계, 상기 최적화 대상 포트폴리오의 최적화 결과를 출력하는 단계를 포함하고, 상기 최적화 대상 포트폴리오를 최적화하는 단계는 비선형 투영 변환에 의하여 상기 최적화 대상 포트폴리오 내에서 연속적으로 변화하는 상기 개별 자산군 각각의 비율들이 N차원 공간 내에서 차지하는 경로를 찾기 위한 국부적 추적 범위를 설정하는 단계, 상기 국부적 추적 범위 상에서 상기 포트폴리오 목적 함수를 최적화시키는 방향으로 조정된 상기 개별 자산군 각각의 조정된 상태를 결정하는 단계, 상기 개별 자산군 각각의 단위 조정 비용을 모델링하여 상기 개별 자산군 각각의 국부적 조정 비용을 결정하는 단계; 및 상기 개별 자산군 각각의 상기 국부적 조정 비용의 합으로 결정되는 상기 최적화 대상 포트폴리오의 최적화 국부적 조정 비용을 누적 저장하는 단계를 포함한다.

상기 최적화 목적 함수의 결정은 전체 포트폴리오 국부적 손실 리스크 대비 수익 지표 변화 극대화를 목적으로 하는 최적화 목적함수, 전체 포트폴리오 국부적 손실 리스크 지표 변화 최소화를 목적으로 하는 최적화 목적 함수 및 전체 포트폴리오 국부적 수익 지표 변화의 극대화를 목적으로 하는 목적 함수 중 어느 하나를 선택하여 이루어질 수 있다.

상기 최적화 목적 함수의 결정은 사용자 입력 인터페이스로부터 얻어지는 사용자 입력에 따라 설정될 수 있다.

상기 최적화 목적 함수는 상기 개별 자산군 각각의 수익 지표가 전체 포트폴리오 내에서의 차지하는 비율들에 대한 가중합을 상기 최적화 대상 포트폴리오의 조건부 손실 VaR (Conditional Value-at-Risk: CVaR)로 나눈 값으로 결정될 수 있다.

상기 국부적 최적화 제약 조건은 상기 국부적 최적화 목적 함수의 설정 값에 따라 결정될 수 있다.

상기 국부적 최적화 제약 조건은 전체 포트폴리오 국부적 예산 변화 제약 조건, 전체 포트폴리오 국부적 수익 지표 변화 제약 조건, 전체 포트폴리오 국부적 손실 리스크 지표 변화 제약 조건 중 어느 하나 및 전체 포트폴리오 국부적 조정 비용 변화 제약 조건으로 결정될 수 있다.

상기 비선형 투영 변환에서 상기 국부적 추적범위는 대응되는 상기 N차원 공간 상의 N차원 타원체로 변환될 수 있고, 상기 최적화 제약 조건은 대응되는 (N-1)차원의 초평면으로 변환될 수 있다.

상기 최적화 대상 포트폴리오의 국부적 조정 비용은 상기 개별 자산군 각각의 국부적 가치 변화의 제곱값을 상기 개별 자산군 각각의 단위 조정 비용의 제곱값과 가중합하고 그 제곱근을 취하여 얻어질 수 있다.

본 발명의 다른 양태에 있어서 수익 지표들이 정의되고 가치 변화에 대한 시나리오가 이산화된 시계열 행렬로 표현되는 복수의 자산군으로 구성된 최적화 대상 포트폴리오의 최적화 시스템은 상기 최적화 대상 포트폴리오를 구성하는 개별 자산군 각각의 수익 지표 및 가치 변화 시나리오 시계열 행렬의 초기 값을 획득하는 포트폴리오 초기화부, 상기 포트폴리오 초기화부에 의해 획득된 상기 개별 자산군 각각의 수익 지표, 상기 가치 변화 시나리오 시계열 행렬의 초기 값을 기반으로 상기 개별 자산군 각각의 수익 지표, 상기 개별 자산군 각각의 자산군 가치 비율, 상기 최적화 대상 포트폴리오의 손실 리스크 지표, 상기 개별 자산군 각각의 손실 리스크 공헌도, 상기 개별 자산군 각각의 수익 지표로부터 상기 개별 자산군 각각의 가치 비율에 따라 가중합하여 산출되는 상기 최적화 대상 포트폴리오의 수익 지표, 상기 최적화 대상 포트폴리오의 손실 리스크 대비 수익 지표, 포트폴리오 최적화 과정에서의 상기 최적화 대상 포트폴리오의 누적 조정 비용 및 적어도 하나 이상의 제약 조건을 정의하는 매개 변수들을 저장하는 데이터 저장부, 상기 최적화 대상 포트폴리오의 수익 지표, 상기 최적화 대상 포트폴리오의 손실 리스크 지표 및 최적화 대상 포트폴리오의 손실 리스크 대비 수익 지표 중 하나를 포트폴리오 최적화 목적 함수로 결정하고, 결정된 상기 포트폴리오 최적화 목적 함수에 따라 포트폴리오 예산, 상기 최적화 대상 포트폴리오의 수익 지표 또는 상기 최적화 대상 포트폴리오의 포트폴리오 손실 리스크 지표 중 적어도 어느 하나를 포트폴리오 최적화 제약 조건으로 결정하고, 결정된 상기 포트폴리오 목적 함수의 최적 상태를 만드는 상기 개별 자산군 각각의 가치비율을 근사하도록 반복 산출하는 포트폴리오 최적화 처리부 및 상기 포트폴리오 최적화 처리부에서 산출된 포트폴리오 목적 함수가 개선되는 과정, 상기 개별 자산군 각각의 분포 비율의 변화, 최적화 목적 함수 및 최적화 제약 조건별 포트폴리오 최적화 상태를 비교 출력하는 포트폴리오 최적화 상태 출력부를 포함한다.

일반적인 포트폴리오 관리의 핵심은 포트폴리오 관리의 근본 이유들에 해당하는 목적 함수들을 포트폴리오를 구성하는 자산군들 배분 비율들의 함수로 정량화하여, 그 최적 배분 비율을 찾는 의사 결정 과정에 도움을 주는 것이다. 현실에서 포트폴리오 최적화를 위한 의사 결정 과정에서 필요한 기준은 여러 가지일 수 있으나, 금전적 포트폴리오 관리에서 가장 중요한 기준들은 전체 포트폴리오 예산 변화, 전체 포트폴리오 수익 변화, 전체 포트폴리오 리스크 변화, 그리고 전체 포트폴리오 조정 비율 총 변화량이다. 이러한 기준들은 정량화된 포트폴리오 최적화 과정에서 제약 조건들로 사용될 수 있으며, 본 발명의 포트폴리오 최적화 시스템에서는 현재 포트폴리오 자산군들의 상태로부터 최적화 상태로 변화되어가는 과정을, 포트폴리오를 구성하는 개별 자산군들을 표현하는 N차원 공간뿐만 아니라, 전체 포트폴리오 조정 비용에 대하여 전체 포트폴리오 예산, 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표 또는 수익 지표로 구성되는 매개 변수 공간에서의 경로를 구하여 목적 함수에 따른 전체 포트폴리오 개선 과정을 용이하게 파악함으로써, 이들 제약 조건들 변화에 대하여 사용자에 의하여 사전에 계획된 전략에 따라서 포트폴리오 목적 함수를 최적화하는 자산군 구성 비율을 제시할 수 있다.

본 발명의 일 실시예에 따른 포트폴리오 최적화 방법에서 포트폴리오를 구성하는 자산군들의 리스크 측정 함수로 조건부 손실 VaR (CVaR^(loss))를 사용한 결과들을 제공하긴 하지만, 본 발명에 따른 포트폴리오 최적화 방법은 CVaR 함수의 오목성과 같은 특정한 수학적 특성에 의존하지 않는다. 따라서 본 발명에 따른 포트폴리오 최적화 방법에서는 포트폴리오 최적화를 위하여 정량화되는 리스크 측정 함수가 반드시 조건부 손실 VaR일 필요는 없으며, 최적화 목적 함수 역시 조건부 손실 VaR와 같이 오목성을 띄거나 구분적 선형성을 띄는 특정한 함수일 필요가 없기 때문에, 적용의 범위에서 더 넓은 범용성을 가진다고 할 수 있다.

본 발명에 따른 포트폴리오 최적화 방법은 조건부 손실 VaR를 리스크 측정 함수로 사용할 때, 정량화된 전체 포트폴리오 목적 함수 최적화를 위한 기존의 선형계획법과 비교하여 다음과 같은 장점을 가진다.

첫째, 사용되는 리스크 측정 함수의 오목성과 구분 선형성에 크게 의존하는 기존의 선형 계획법에서는 포트폴리오 최적화의 목적 함수로서 전체 포트폴리오 리스크 최소화만 가능한 반면에, 본 발명에 따른 포트폴리오 최적화 방법에서는 전체 포트폴리오 수익 극대화 및 전체 포트폴리오 리스크 대비 수익 지표 극대화를 최적화의 목적 함수로 다루는 것이 가능하다. 전체 포트폴리오 리스크 대비 수익 지표는 일반적인 포트폴리오 관리 및 이론에서 가장 중요한 단일 개념이다. 따라서 본 발명에 따른 포트폴리오 최적화 방법은 전체 포트폴리오의 리스크 관리와 더불어 전체 포트폴리오의 수익 또는 리스크 대비 수익 지표 개선이 주요 관심 목적일 수 있는 정책 포트폴리오, 스포츠 기록 포트폴리오, 또는 회사 구성원 연봉 포트폴리오 등과 같이 좀 더 일반적인 포트폴리오 경우에도 포트폴리오 관리의 의사 결정 과정에서 유의미한 정량화된 결과를 부여하기에 용이하다. 또한 인터넷 상의 회원 관리 데이터, 복잡한 부품들로 구성된 공산품의 내구성 데이터, 교통 흐름 데이터, 기상 데이터, 금융 상품 가격을 결정하는 데이터, 재난 예측 데이터 등 양적으로 비정형화된 빅데이터 영역에 있는 포트폴리오에 대하여 기계 학습을 통한 정량화를 거쳐 다양한 목적 함수에 대한 포트폴리오 최적화를 수행할 수 있다.

둘째, 전체 포트폴리오 리스크 최소화만을 비교하더라도, 선형계획법에 기초한 기존의 최적화 방법은 전체 포트폴리오 리스크 함수의 전역 최소값이 존재하지 않을 경우 무용지물이며, 전체 포트폴리오 리스크 함수의 전역 최소값이 존재하는 경우라도 포트폴리오 최적화를 위하여 변화시켜야 할 자산군 범위를 결정할 수 있는 기준을 임의로 설정해야 한다. 그러나 본 발명에 따른 포트폴리오 최적화 방법에서는 현재 포트폴리오 상태를 기점으로 하여 전체 포트폴리오 리스크 함수가 국부적 최소값이 되는 경로를 구분 연속적으로 찾아가며, CVaR와 같이 목적 함수가 오목성을 띌 경우에는 국부적 최소값이 곧 전역 최소값이 된다. 또한 본 발명에 따른 포트폴리오 최적화 방법은 전체 포트폴리오의 전역 최소값이 존재하지 않는 경우에는 전체 포트폴리오 리스크 함수를 최대한 줄여나가는 방향으로 자산군 배분 비율을 결정하므로, 더 현실적인 결과를 얻을 수 있다. 무엇보다도 본 발명에 따른 포트폴리오 최적화 방법에서는 포트폴리오 최적화를 위하여 변화시켜야 할 자산군 범위로서 전체 자산군 조정 비용이라는 정량적 기준을 두어 해당 자산군에 대한 거래 비용이나 유동성 혹은 환금성에 대한 추가 모델링을 통하여 포트폴리오 관리에 영향을 줄 수 있는 불분명한 외적 또는 내적 요인들 사이의 개연성을 고려할 수 있도록 한다. 본 발명에 따른 포트폴리오 최적화 방법은 전체 포트폴리오 최적화 과정이 국부적으로 근사된 최적화 과정들의 연속적 단계로 나누어질 수 있어 병렬 또는 분산 컴퓨팅을 통한 성능 향상을 보다 용이하게 꾀할 수 있다. 본 발명에 따른 포트폴리오 최적화 방법에 대한 병렬 또는 분산 컴퓨팅의 적용은 향후 자산군을 구성하는 자산 배분 비율의 최적화를 거친 후 전체 포트폴리오를 구성하는 자산군들 배분 비율의 최적화를 수행하는 하의 상달식 포트폴리오 관리 또는 역으로 상의 하달식 포트폴리오 관리를 수행할 경우 보다 유용할 수 있다.

도 1은 본 발명의 실시예에 따른 포트폴리오 최적화 방법이 구현될 수 있는 포트폴리오 최적화 시스템의 구성을 예시한 것이다.
도 2는 최적화 대상 포트폴리오의 구성을 예시한 것이다.
도 3은 일 실시예에서 포트폴리오 초기화부에서 이루어지는 상술한 포트폴리오 초기화 과정을 나타낸 흐름도이다.
도 4는 국부적 최적화 목적함수 설정부에 의해 최적화 목적 함수가 선택되어 결정되는 과정을 예시한 것이다.
도 5는 본 발명의 일 실시예에서 국부적 최적화 제약 조건 설정부에 의해 이루어지는 국부적 최적화 제약 조건 설정 과정을 보여주는 흐름도이다.
도 6은 본 발명의 일 실시예에서 포트폴리오 최적화 데이터 저장부에서 이루어지는 데이터 갱신, 누적 저장 과정을 예시한 것이다.
도 7은 본 발명에 따른 포트폴리오 국부적 최적화 처리부를 통하여 조정 직전의 포트폴리오 상태로부터 조정 직후의 포트폴리오 상태를 계산하는 포트폴리오 국부적 최적화에 대한 모식도이다.
도 8은 일 실시예에 따른 개별 자산군 배분 비율 변화를 구하는 예이다.
도 9는 N차원 자산군 배분 비율의 국부적 변화가 택일되는 과정을 보여주는 모식도이다.
도 10은 최적화 데이터 갱신 과정을 보여주는 흐름도이다.
도 11은 포트폴리오 최적화 상태 출력부에 의해 출력되는 포트폴리오 최적화 상태 출력 결과물의 예시이다.
도 12는 본 발명에 따른 최적화 방법의 특정한 구현에 대한 수렴성을 보여주는 예이다.
도 13a 내지 도 13f는 본 발명의 실시 예에 따른 최적화 상태 출력부에서, 포트폴리오 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 손실 리스크 대비 수익 지표일 경우, 전체 포트폴리오 조정 비용을 증가시킴에 따라 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표가 개선되는 과정을 나타내는 파형도이다.
도 14a 내지 도 14c는 본 발명의 실시 예에 따른 최적화 상태 출력부에서, 도 13a 내지 도 13f에 도시된 전체 포트폴리오 손실 리스크 대비 수익 지표가 개선되는 과정에서의 자산군 분포 비율들 변화를 나타내는 파형도로서, 포트폴리오 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표일 경우, 고정된 전체 포트폴리오 예산 제약 조건 하에서 전체 포트폴리오 조정 비용을 증가시킴에 따라 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표가 개선되는 과정을 나타내는 파형도이다.
도 15a 내지 도 15d는 본 발명의 실시 예에 따른 최적화 상태 출력부에서, 포트폴리오 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표일 경우, 고정된 전체 포트폴리오 수익 지표 제약 조건 하에서 전체 포트폴리오 조정 비용을 증가시킴에 따라 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표가 개선되는 과정을 나타내는 파형도이다.
도 16a 내지 도 16b는 본 발명의 실시 예에 따른 최적화 상태 출력부에서, 고정된 전체 포트폴리오 예산 제약 조건 하에서 도 15a 내지 도 15d에 도시된 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표가 개선되는 과정에서의 자산군 분포 비율들 변화를 나타내는 파형도이다.
도 17a 내지 도 17d는 본 발명의 실시 예에 따른 최적화 상태 출력부에서, 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표일 경우, 고정된 전체 포트폴리오 예산 제약 조건 하에서 전체 포트폴리오 조정 비용을 증가시킴에 따라 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표가 개선되는 과정을 나타내는 파형도이다.
도 18a 내지 도 18b는 본 발명의 실시 예에 따른 최적화 상태 출력부에서, 고정된 전체 포트폴리오 수익 지표 제약 조건 하에서 도 17a 내지 도 17d에 도시된 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표가 개선되는 과정에서의 자산군 분포 비율들 변화를 나타내는 파형도이다.
도 19a 내지 도 19f는 본 발명의 실시 예에 따른 최적화 상태 출력부에서, 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 손실 리스크 대비 수익 지표일 경우와 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표일 경우 서로 다른 제약 조건들 하에서의 포트폴리오 최적화 상태 지표들을 비교한 파형도들이다.
도 20a 내지 도 20f는 본 발명의 실시 예에 따른 최적화 상태 출력부에서, 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 손실 리스크일 경우와 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 수익 지표일 경우 서로 다른 제약 조건들 하에서의 포트폴리오 최적화 상태 지표들을 비교한 파형도들이다.
도 21a 내지 도 21f는 본 발명의 실시 예에 따른 최적화 상태 출력부에서, 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 손실 리스크일 경우 서로 다른 제약 조건들 하에서의 포트폴리오 최적화 상태 지표들을 비교한 파형도들이다.
도 22a 내지 도 22f는 본 발명의 실시 예에 따른 최적화 상태 출력부에서, 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 수익 지표일 경우 서로 다른 제약 조건들 하에서의 포트폴리오 최적화 상태 지표들을 비교한 파형도들이다.
도 23a 내지 도 23f는 본 발명의 실시 예에 따른 최적화 상태 출력부에서, 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 손실 리스크 대비 수익 지표일 경우 서로 다른 제약 조건들 하에서의 포트폴리오 최적화 상태 지표들을 비교한 파형도들이다.

본 발명의 실시예는 여러 가지 형태로 변형될 수 있으며, 본 발명의 범위가 아래에서 기술하는 실시예들로 인해 한정되는 것으로 해석되어서는 아니 된다. 본 실시예들은 당 업계에서 평균적인 지식을 가진 자에게 본 발명을 보다 완전하게 설명하기 위하여 제공되는 것이다. 따라서 도면 구성 요소의 형상 등은, 본 발명에서 추상적인 수학적 개념들 일부가 구현될 수 있는 실시예들로서, 보다 명확한 설명을 강조하기 위하여 극단적으로 단순화된 경우로 한정되어 표현되었을 수 있으나 결코 과장되지는 않는다.

이하 첨부된 도면을 참조하여 본 발명의 실시예들을 상세히 설명한다.

본 발명에 따른 포트폴리오 최적화 방법은 최적화 대상 포트폴리오를 초기화하는 단계, 대상 포트폴리오를 제약조건에 따라 최적화 하는 단계, 최적과 과정과 그 결과를 출력하는 단계를 포함한다. 본 발명의 포트폴리오 최적화 방법은 조건부 손실 VaR와 같이 구분적 선형성을 띄는 함수가 손실 리스크 측정 지표로서 사용되는 포트폴리오에서 제약 조건들에 따라서 포트폴리오 목적 함수를 최적화 시키는 자산군 배분 비율들의 구분 연속적 경로를 산출할 수 있다. 이를 위하여 본 발명의 일 실시예에서 라그랑제 승수법으로부터 유도되는 2차 비선형 투영 변환 알고리즘이 사용될 수 있다.

이하에서 본 발명의 실시예에 따른 포트폴리오 최적화 방법에 대한 이해를 돕기 위하여 포트폴리오 최적화 방법의 각 단계가 해당 단계를 수행하도록 설정된 기능적 모듈(예를 들어, 포트폴리오 초기화부, 포트폴리오 최적화부, 포트폴리오 출력부)에 의해 수행되는 최적화 시스템을 예시하여 설명하나, 본 발명에 따른 포트폴리오 최적화 방법은 적어도 하나 이상의 각 단계를 수행하는 기능적 모듈의 합으로 구성되거나 단일 컴퓨팅 디바이스 또는 네트워크를 통하여 기능적으로 연결된 복수의 컴퓨팅 디바이스에 의해 구현되어 사용자에게 제공될 수 있다.

도 1은 본 발명의 실시예에 따른 포트폴리오 최적화 방법이 구현될 수 있는 포트폴리오 최적화 시스템의 구성을 예시한 것이다.

포트폴리오 초기화 단계는 상술한 바와 같이 포트폴리오 초기화부에 의해 수행될 수 있으며, 이 때 포트폴리오 초기화부는 최적화 대상 포트폴리오의 초기조건을 확정하고 최적화에 필요한 데이터를 사용자 등으로부터 획득한다.

도 2는 최적화 대상 포트폴리오의 구성을 예시한 것이다. 도 2에서 예시된 포트폴리오(Level 3)는 N개의 개별 자산군(Level 2)으로 구성되고, 개별 자산군(Level 2)은 동일한 혹은 유사한 리스크 속성을 가지는 자산들(Level 1)의 모임이다. 도 2의 포트폴리오의 구성은 설명의 편의를 위하여 예시된 것으로 본 발명에 따른 포트폴리오 최적방법은 복수의 자산 또는 자산군으로 이루어진 포트폴리오라면 구성하고 있는 자산의 종류, 유형, 성질 등에 관계없이 적용가능하다. 이하에서 N개의 자산군을 갖는 포트폴리오를 가정하여 본 발명의 실시예에 따른 포트폴리오 최적화 방법을 설명한다.

개별 자산군들의 가치는 확률 변수로 표현될 수 있다. 개별 자산군 가치 확률 변수는 수학식 1과 같이 N-튜플(tuple)로 나타낼 수 있고, 이때 전체 포트폴리오 가치는 수학식 2와 같이 그 N-튜플의 합으로 정의할 수 있다. 수학식 3은 개별 자산군 가치 확률 변수의 초기 상태를 수학식 4는 전체 포트폴리오 가치의 초기 상태를 나타낸 것이다.

포트폴리오 초기화부(100)는 N개의 개별 자산군 가치 변화 시나리오를 획득한다. 개별 자산군 가치 변화 시나리오는 수학식 5와 같은 N개의 시계열 행렬로 주어질 수 있다. 전체 포트폴리오 가치 변화에 대한 시나리오는 수학식 6에서와 같이 이 시계열 행렬 각 행 원소들의 합으로 정의될 수 있으며, 시계열 행렬은 개별 자산군들과 전체 포트폴리오의 손실 확률 분포 및 개별 자산군들 간의 상관관계 정보를 내포할 수 있다. 개별 자산군 가치 변화 시나리오는 사용자 입력에 의하여 획득되거나, 사용자에 의해 기 입력되어 데이터베이스에 저장된 것을 호출하여 획득될 수 있다. 포트폴리오 초기화부는 이를 위하여 사용자 입력 인터페이스를 사용자에게 제공할 수 있다.

포트폴리오 초기화부(100)는 획득한 개별 자산군 가치 변화 시나리오로부터 전체 포트폴리오 손실 리스크 및 개별 자산군 손실 리스크 공헌도들을 산출한다. 포트폴리오 초기화부(100)는 획득한 개별 자산군 가치 변화 시나리오를 기반으로 수학식 7과 같이 정의될 수 있는 전체 포트폴리오 손실 Z 및 개별 자산군들의 손실 Z⁽ⁿ⁾를 초기화하고, 전체 포트폴리오 및 개별 자산군 손실 리스크 지표로서 전체 포트폴리오 손실 리스크 및 개별 자산군 손실 리스크 공헌도를 산출한다.

본 발명의 실시예에 따른 포트폴리오 최적화 방법에서 손실 리스크 지표로서 조건부 손실 VaR 즉, CVaR^(loss)이 사용될 수 있다. CVaR^(loss)는 주어진 신뢰 수준 β에 대하여 주어진 기간 내에 전체 포트폴리오 또는 포트폴리오를 구성하는 개별 자산군들에 대한 손실이 유의 수준 (1-β) 이내의 확률로 발생할 수 있는 모든 가능한 경우에, 그 개별 손실들을 발생 가능한 각각의 확률로 가중 평균한 값이다. CVaR^(loss)는 임의의 확률 변수 X에 대하여 수학식 8에서와 같이 정의할 수 있다. 이때, 신뢰 수준 β는 0과 1 사이의 임의의 수이며, 일례로 0.95, 0.99, 0.995, 0.999 등과 같은 값일 수 있다. 신뢰 수준 β는 사용자에 의해 설정될 수 있다.

여기서, VaR^(loss)는 전체 포트폴리오 또는 포트폴리오를 구성하는 개별 자산군들의 손실이 Y를 초과하지 않을 확률이 β 이상이 될 때, 그 Y값들 중 극소가 되는 임계값이다.

수학식 9에서와 같이 정의되는 β ^* 는 전체 포트폴리오 또는 개별 자산군의 손실이 VaR^(loss) 미만이 되는 확률이며, 일반적으로 β와 같지 않다. CVaR^(loss)+는 수학식 8에서와 같이, 손실이 VaR^(loss)+ 이상일 때의 전체 포트폴리오 손실 확률 P(·)에 대한 조건부 가중 평균값 E[·]이고, CVaR^(loss)는 수학식 9에서와 같이 정의되는 바와 같이, 개별 자산군 가치변화 시나리오를 기반으로 초기화부(100)에서 산출된다.

CVaR^(loss)는 임의의 확률 변수 X에 대하여 규모 불변성(scale-invariant)을 가지므로, 개별 자산군 가치 비율에 대하여 구분적 선형성을 띈다. 포트폴리오 초기화부(100)는 규모 불변성으로부터 수학식 11과 같이 전체 포트폴리오 내 개별 자산군 비율들의 초기 상태를 산출하고, 산출된 전체 포트폴리오 내 개별 자산군 비율들의 초기 상태를 기반으로 수학식 12와 같이 개별 자산군 손실 리스크 공헌도 DaR(Derivative-at-Risk)를 산출한다.

포트폴리오 초기화부(100)는 개별 자산군 수익 지표를 획득한다. 개별 자산군 수익 지표는 사용자 입력에 의해 획득되거나 사용자에 의해 기입력되어 데이터베이스에 저장되어 있는 파일을 호출하여 획득할 수 있다. 개별 자산군 수익 지표는 수학식 13과 같이 나타낼 수 있다.

포트폴리오 초기화부(100)는 획득한 개별 자산군 수익 지표를 기반으로 수학식 14에서와 같이 전체 포트폴리오 수익 지표를 산출한다.

전체 포트폴리오 손실 리스크 대비 수익 지표는 수학식 15에서와 같이 전체 포트폴리오 수익 지표를 전체 포트폴리오의 조건부 손실 VaR 즉, CVaR^(loss)로 나눈 값으로 얻어질 수 있다.

포트폴리오 초기화부(100)는 수학식 16과 같이 정의되는 개별 자산군 단위 조정 비용을 획득한다. 개별 자산군 단위 조정 비용은 사용자 입력 또는 사용자의 호출에 의하여 데이터베이스나 외부 파일로부터 획득될 수 있다. 일 실시예에서 포트폴리오 초기화부는 개별 자산군 단위 조정 비용 획득에 필요한 인터페이스를 제공할 수 있다.

포트폴리오 초기화부(100)는 수학식 17에서와 같이 정의되는 국부적 자산군 배분 비율 변화를 산출 및 갱신하고, 수학식 18에서와 같이 정의되는 전체 포트폴리오 누적 조정 비용 c를 0으로 초기화 한다.

포트폴리오 초기화부(100)에 의해 획득된 데이터들은 포트폴리오 최적화 과정에서 이용되며, 포트폴리오 최적화부(200)의 포트폴리오 최적화 데이터 저장부(250)에 저장될 수 있다. 이후 최적화 과정에서 국부적 최적화 처리부(230)에 의해 갱신되어 포트폴리오 최적화 데이터 저장부(250)에 누적 저장될 수 있다.

도 3은 일 실시예에서 포트폴리오 초기화부에서 이루어지는 상술한 포트폴리오 초기화 과정을 나타낸 흐름도이다.

포트폴리오 초기화부(100)에 의한 포트롤리오 최적화를 위한, 가령, 상술한 초기 데이터 및 초기 조건 설정과 같은 포트폴리오 초기화가 완료되면, 포트폴리오 최적화부(200)에 의한 포트폴리오 최적화가 시작된다.

포트폴리오 최적화는 포트폴리오의 최적화의 목적 함수, 제약 조건 등을 설정하는 과정과 설정된 목적 함수, 제약 조건에 따라 포트폴리오를 최적화 하는 과정, 포트폴리오 최적화 데이터를 갱신/저장하고 갱신된 최적화 데이터를 기반으로 포트폴리오 최적화 과정을 포함한다. 포트폴리오 최적화 과정은 사용자에 의해 설정된 기준에 부합될 때까지 반복될 수 있으며 반복되는 해당 과정에서 생산되는 데이터들은 누적 저장될 수 있다.

포트폴리오 최적화 설정은 포트폴리오 초기화부(100)에 의해 획득된 데이터를 기반으로 포트폴리오를 최적화 함에 있어 필요한 국부적 최적화 목적 함수와 국부적 최적화 제약 조건을 설정하는 과정을 포함하여 이루어진다. 국부적 최적화 목적 함수의 설정과 국부적 최적화 제약 조건의 설정은 각각 그 설정을 수행하는 별개의 기능적 모듈(가령, 국부적 최적화 목적 함수 설정부(210), 국부적 최적화 제약 조건 설정부(220))에 의해 수행될 수 있다.

일 실시예에서 포트폴리오 국부적 최적화 목적 함수 설정부(210)는 포트폴리오 최적화에 적용할 목적 함수를 설정한다. 도 4는 국부적 최적화 목적함수 설정부(210)에 의해 최적화 목적 함수가 선택되어 결정되는 것을 예시적으로 보여준다. 목적 함수의 설정은 사용자 입력에 의해 결정될 수 있다. 수학식 19 내지 수학식 21은 목적 함수의 일례로서, 각각 국부적 손실 리스크 대비 수익 지표 변화의 극대화를 목적으로 하는 경우, 전체 포트폴리오 국부적 손실 리스크 지표 변화의 극소화를 목적으로 하는 경우, 전체 포트폴리오 국부적 수익 지표 변화의 극대화를 목적으로 하는 경우에 선택될 수 있는 목적 함수를 예시한 것이다.

포트폴리오 제약 조건 설정부(220)는 포트폴리오 최적화에 적용될 제약 조건을 설정한다. 제약 조건은 수학식 18의 포트폴리오 국부적 조정비용일 수 있다. 일 실시예에서 전체 포트폴리오 국부적 예산 변화, 전체 포트폴리오 국부적 수익지표 변화, 전체 포트폴리오 국부적 손실 리스크 지표 변화 중 적어도 어느 하나가 추가 제약조건으로 설정될 수 있다.

수학식 18은 어떤 상수 δc에 대하여 전체 포트폴리오 국부적 조정 비용을, 수학식 22는 어떤 상수 δα에 대하여 전체 포트폴리오 국부적 예산 변화를, 수학식 23은 어떤 상수 δγ에 대하여 전체 포트폴리오 국부적 수익 지표 변화를, 수학식 24는 전체 포트폴리오 국부적 손실 리스크 지표 변화를 제약조건으로 하는 경우를 각각 나타낸 것이다.

보다 구체적인 제약조건 설정의 일례로서, 포트폴리오 최적화 목적 함수 설정부(210)에서 설정된 포트폴리오 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 국부적 손실 리스크 지표 변화가 아니면, 수학식 20의 전체 포트폴리오 수익 지표 변화는 제약 조건에서 배제될 수 있다. 또한, 포트폴리오 최적화 목적 함수 설정부에서 설정된 포트폴리오 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 국부적 수익 지표 변화가 아닐 경우 수학식 24의 전체 포트폴리오 국부적 손실 리스크 지표 변화는 제약 조건에서 배제될 수 있다.

도 5는 본 발명의 일 실시예에서 국부적 최적화 제약 조건 설정부(210)에 의해 이루어지는 국부적 최적화 제약 조건 설정 과정을 보여주는 흐름도이다.

포트폴리오 최적화 데이터 저장부(250)는 포트폴리오 초기화부(100)로부터 제공되는 전체 포트폴리오 내 개별 자산군 배분 비율(수학식 12), 입력된 개별 자산군 시계열 행렬(수학식 5), 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표(수학식 8) 및 개별 자산군 손실 리스크 공헌도(수학식 12), 개별 자산군 수익 지표(수학식 13), 전체 포트폴리오 수익 지표(수학식 14), 전체 포트폴리오 손실 리스크 대비 수익 지표(수학식 15)를 저장한다.

포트폴리오 최적화 데이터 저장부(250)에 저장된 데이터들은 상술한 바와 같이 국부적 최적화 처리부(230)에서 포트폴리오 최적화 과정이 종료될 때가지 반복 갱신되어 누적될 수 있다. 도 6은 본 발명의 일 실시예에서 포트폴리오 최적화 데이터 저장부에서 이루어지는 데이터 갱신, 누적 저장 과정을 예시한 것이다.

포트폴리오 최적화 엔진이 구비된 국부적 최적화 처리부(230)는 선택된 제약 조건들 하에서 택일된 포트폴리오 목적 함수를 최적 상태에 충분한 정밀도로 근사하도록 하는 개별 자산군 배분 비율(수학식 11)을 반복 산출한다.

포트폴리오 최적화는 국부적 추적 범위를 설정하는 과정과 저차원 비선형 투영변환 과정을 포함할 수 있고, 해당 과정을 거쳐 얻어진 포트폴리오 최적화 데이터는 종래의 최적화 데이터와 함께 누적될 수 있다. 이를 위하여 포트폴리오 최적화 처리부(230)는 국부적 추적 범위 설정부(232)와, 저차원 비선형 투영변환부(234)와, 포트폴리오 최적화 데이터 갱신부(236)를 포함할 수 있다.

도 7은 본 발명에 따른 포트폴리오 국부적 최적화 처리부(230)를 통하여 조정 직전의 포트폴리오 상태로부터 조정 직후의 포트폴리오 상태를 계산하는 포트폴리오 국부적 최적화에 대한 모식도이다.

포트폴리오 국부적 최적화에 대한 모식도는 조정 직전의 개별 자산군 배분 비율을 나타내는 N차원 공간 내의 한 점(710)과, 그 점을 중심으로 하여 국부적 포트폴리오 최적화 추적 범위를 나타내는 N차원 공간 내의 타원체 경계(720)와, 제약 조건들을 나타내는 초평면(730, 740)들로 구성될 수 있다. 선택된 목적 함수를 국부적으로 최적화시키는 개별 자산군 배분 비율들이 N차원 공간 내에서 구분 연속적으로 변화하는 경로(750, 760)를 찾기 위하여, 국부적 추적 범위 설정부(232)에서 N차원 공간 내의 현재 자산군 배분 비율(70) 주변에 N차원 타원체 경계 형태 국부적 추적 범위를 설정(720)하고, 저차원 비선형 투영 변환부(234)에서 (N-1)차원 초평면들로 표현되는 제약 조건들로부터 N차원 타원체 경계상으로의 저차원 비선형 투영 변환을 통하여 포트폴리오 목적 함수를 국부적으로 최적화시키는 새로운 자산군 배분 비율들을 유일하게 결정할 수 있다.

포트폴리오 최적화 데이터 갱신부(236)에서는 새롭게 결정된 자산군 배분 비율 및 전체 포트폴리오 가치를 갱신(수학식 25)한다.

포트폴리오 최적화 데이터 갱신부(236)는 갱신된 자산군 배분 비율을 기반으로 개별 자산군 가치 시나리오 시계열 행렬(수학식 5), 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표(수학식 8), 개별 자산군 손실 리스크 공헌도(수학식 12), 개별 자산군 수익 지표(수학식 13), 전체 포트폴리오 수익 지표(수학식 14), 전체 포트폴리오 손실 리스크 대비 수익 지표(수학식 15)를 재산출한다.

따라서 본 발명의 실시예에 따른 포트폴리오 최적화 시스템은 포트폴리오 목적 함수의 최적 상태를 찾아가는 경로에 대한 국부적 추적 범위로서 N차원 공간에서 한 점으로 표현되는 현재 자산군 분포 상태를 중심으로 하여 특정한 극소 크기의 N차원 타원체 모양의 가상 경계를 설정할 수 있다. 이 때, 전체 포트폴리오 최적화 목적 함수 값에 대한 오차를 임의의 값보다 적게 만들 수 있도록 하기 위하여, 현재 개별 자산군 상태 주변에 설정되는 N차원 타원체 모양의 가상 경계에 대한 특정한 극소 크기를 선택할 수 있다. 일 실시예에서, N차원 타원체 모양의 가상 경계의 극소 크기는 전체 포트폴리오의 국부적 조정 비용에 대응되도록 선택될 수 있다.

현재 포트폴리오 상태(710)를 중심으로 하여 설정되는 N차원 타원체 모양의 가상 경계로 정의되는 추적 범위 및 (N-1)차원 초평면의 조건들을 동시에 만족하는 교집한 원소들 중 포트폴리오 목적 함수를 최적화하는 방향으로 유일하게 결정되는 N차원 공간의 한 점(770 혹은 780)을 찾는 2차 비선형 투영 변환은 수학식 26에서와 같이 매개 변수 (s, t, q)에 대한 라그랑제 승수법을 통하여 표현될 수 있다.

주어진 전체 포트폴리오 조정 비용 δc에 대하여 전체 포트폴리오를 매 단계 국부적 최적화 시키는 개별 자산군 배분 비율 변화는 수학식 27에서와 같이 정의되는 상수들 U, V, W, G, H, F에 대하여 a₂가 음수인 조건에서 수학식 28에서와 같이 표현되는 2차 방정식의 서로 다른 두 개의 실수 해들로부터 구해질 수 있다(도 8).

도 9는 N차원 자산군 배분 비율의 국부적 변화가 국부적 제약 조건들에 대한 매개 변수들 및 의 함수로서 상기 라그랑제 승수법을 통하여 결정되는 2차 방정식의 2개의 서로 다른 실수 해들로부터 택일되는 과정을 보여주는 모식도이다.

포트폴리오 목적 함수를 최적화하는 방향으로 가장 빠르게 변화시키는 제약 조건 매개 변수들 δα, δγ 및 δc에 대한 상호 조건은 목적 함수 및 초기 설정된 제약 조건들에 따라서 수학식 29에서와 같이 주어진다.

매 단계 국부적 최적화 과정이 종료된 후, 전체 포트폴리오 조정 비용을 초기 설정한 임계값 c _max를 초과할 때까지 누적하고(수학식 18), 전체 포트폴리오 최적화 목적 함수 및 제약 조건들에 따라, 수학식 30에서와 같이 이산화된 제약 조건 파라미터들을 매 단계 국부적 포트폴리오 최적화 과정에서 갱신해 가면서 상술한 단일 단계 국부적 최적화 과정을 반복 처리한다. 도 10은 최적화 데이터 갱신 과정을 보여주는 흐름도이다.

상술된 바와 같이, 다음 단계 국부적 포트폴리오 최적화 과정을 시작하기 전에, 개별 자산군 자산군 배분 비율(수학식 11)을 갱신(수학식 25)하고, 개별 자산군 가치 시나리오 시계열 행렬(수학식 5), 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표(수학식 15), 개별 자산군 손실 리스크 공헌도(수학식 12), 개별 자산군 수익 지표(수학식 13), 전체 포트폴리오 수익 지표(수학식 14), 전체 포트폴리오 손실 리스크 대비 수익 지표(수학식 15)를 차례로 갱신하여 누적 저장한다.

그리고 포트폴리오 국부적 최적화 처리부(230)는, 도 10에서 도시되는 바와 같이, 포트폴리오 최적화 데이터 갱신시, 필요할 경우 개별 자산군 단위 조정 비용(수학식 16)을 모델링하고 갱신하여 전체 포트폴리오 국부적 조정 비용을 누적한다. 이 누적된 전체 포트폴리오 조정 비용이 초기 설정된 임계값 c _max 이하이면 포트폴리오 최적화 데이터 저장부(250)에 갱신된 데이터들을 전송하여 저장하고, 전체 포트폴리오 조정 비용이 초기 설정된 임계값을 초과하면 포트폴리오 최적화를 종료한다.

도 11은 포트폴리오 최적화 상태 출력부(300)에 의해 출력되는 포트폴리오 최적화 상태 출력 결과물의 예시이다. 전체 포트폴리오 누적 조정 비용 대비 최적화 지표 변화에서 도시된 바와 같이 최종적으로 포트폴리오 최적화 상태 출력부(300)는 포트폴리오 국부적 최적화 처리부(230)에서 처리된, 예를 들어, 최적화 전 과정에서 누적 계산되는 전체 포트폴리오 예산 변화 과정 및 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표 및 수익 지표 변화 과정, 수학식 31에서와 같이 산출되는 자산군 손실 리스크 분산 지표(Diversification Index: DI) 등과 같은 결과물을 확인 가능하도록 출력한다.

상술된 최적화 루틴의 처리 수순에 따라서, 본 발명에 따른 포트폴리오 최적화 시스템의 포트폴리오 최적화 과정은 양방향으로 제공되는 사용자 입출력 인터페이스를 구비한 컴퓨터 판독 가능한 프로그램으로 제공될 수 있다. 이때, 포트폴리오 초기화부(100), 포트폴리오 최적화부(200), 포트폴리오 국부적 최적화 처리부(230)를 통하여 입력되고 재산출 되는 포트폴리오 최적화의 상태 변화를 기록하는 데이터들은 저장 가능한 디지털 매체로 구비된 포트폴리오 최적화 데이터 저장부(250)에 누적 저장되고 양방향 사용자 인터페이스로 구비된 포트폴리오 최적화 상태 출력부(300)를 통하여 출력될 수 있다.

도12는 상술된 포트폴리외 최적화 과정에서 신뢰 수준 β가 0.99이고 c _max=0.01일 경우, 수학식 22에서의 고정된 전체 포트폴리오 예산 조건(δα=0) 하에서 수학식 21의 전체 포트폴리오 국부적 손실 리스크 지표를 극소화할 때, δc에 대한 초기 상태 대비 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표의 수렴성을 보여주는 예시이다.

도 13a 내지 도 13f는 본 발명의 실시 예에 따른 포트폴리오 최적화 상태 출력부에서 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 손실 리스크 대비 수익 지표일 경우 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표가 개선되는 과정을 나타내는 파형도들이고; 도 14a 내지 도 14c는 도 13a 내지 도 13f에 도시된 최적화 과정에서 자산군 분포 비율 변화를 나타내는 파형도들이고; 도 15a 내지 도 15d는 본 발명의 실시 예에 따른 포트폴리오 최적화 상태 출력부에서 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표일 경우 고정된 전체 포트폴리오 예산 제약 조건 하에서 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표가 개선되는 과정을 나타내는 파형도들이고; 도 16a 내지 도 16b는 도 15a 내지 도 15d에 도시된 최적화 과정에서 자산군 분포 비율 변화를 나타내는 파형도들이고; 도 17a 내지 도 17d는 본 발명의 실시 예에 따른 포트폴리오 최적화 상태 출력부에서 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표일 경우 고정된 전체 포트폴리오 수익 지표 제약 조건 하에서 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표가 개선되는 과정을 나타내는 파형도들이고; 도 18a 내지 도 18b는 도 17a 내지 도 17d에 도시된 최적화 과정에서 자산군 분포 비율 변화를 나타내는 파형도들이고; 도 19a 내지 도 19f는 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 손실 리스크 대비 수익 지표일 경우의 최적화 결과와 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 손실 리스크일 경우 고정된 전체 포트폴리오 예산 제약 조건 또는 고정된 전체 포트폴리오 수익 지표 제약 조건일 때 최적화 결과를 비교하는 파형도들이고; 도 20a 내지 도 20f는 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 손실 리스크 대비 수익 지표일 경우의 최적화 결과와 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 수익 지표일 경우 고정된 전체 포트폴리오 예산 제약 조건 또는 고정된 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표 제약 조건일 때 최적화 결과를 비교하는 파형도들이고; 도 21a 내지 도 21f는 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표일 경우 고정된 전체 포트폴리오 예산 제약 조건 또는 고정된 전체 포트폴리오 수익 지표 제약 조건 또는 고정되지 않은 전체 포트폴리오 예산 및 고정되지 않은 전체 포트폴리오 수익 지표 제약 조건일 때 최적화 결과를 비교하는 파형도들이고; 도 22a 내지 도 22f는 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 수익 지표일 경우 고정된 전체 포트폴리오 예산 제약 조건 또는 고정된 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표 제약 조건 또는 고정되지 않은 전체 포트폴리오 예산 및 고정되지 않은 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표 제약 조건일 때 최적화 결과를 비교하는 파형도들이고; 도 23a 내지 도 23f는 최적화 목적 함수가 전체 포트폴리오 손실 리스크 대비 수익 지표일 경우 고정된 전체 포트폴리오 예산 제약 조건일 때 최적화 결과를 비교하는 파형도들이다.

도 13a 내지 도 13f를 참조하면, 이 실시 예는 신뢰 수준 β가 0.99일 때, 수학식 18에서의 전체 포트폴리오 누적 조정 비율을 0에서 0.1까지 변화시키고, 포트폴리오 목적 함수가 전체 포트폴리오 손실 리스크 대비 수익 지표일 경우 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표가 개선되는 과정을 보여 준다. 이 때, 자산군 분포 비율들의 변화는 도 14a 내지 도 14c에 도시된 바와 같다.

도 15a 내지 도 15d를 참조하면, 이 실시 예는 신뢰 수준 β가 0.99일 때, 수학식 18에서의 전체 포트폴리오 누적 조정 비율을 0에서 0.1까지 변화시키고, 포트폴리오 목적 함수가 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표일 경우 고정된 전체 포트폴리오 예산 제약 조건 하에서 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표가 개선되는 과정을 보여 준다. 이 때, 자산군 분포 비율들의 변화는 도 16a 내지 도 16b에 도시된 바와 같다.

도 17a 내지 도 17d를 참조하면, 이 실시 예는 신뢰 수준 β가 0.99일 때, 수학식 18에서의 전체 포트폴리오 누적 조정 비율을 0에서 0.1까지 변화시키고, 포트폴리오 목적 함수가 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표일 경우 고정된 전체 포트폴리오 수익 지표 조건 하에서 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표가 개선되는 과정을 보여 준다. 이 때, 자산군 분포 비율들의 변화는 도 18a 내지 도 18b에 도시된 바와 같다.

또한, 도 19a 내지 도 19f는 서로 다른 목적 함수 및 제약 조건들 하에서 포트폴리오 최적화 상태를 비교한 실시 예로서, 신뢰 수준 β가 0.99일 때, 상기 실시 예와 동일한 전체 포트폴리오 조정 비율 변화 조건에서 초기 상태와의 상대적 비율 변화를, 수학식 19의 전체 포트폴리오 국부적 손실 리스크 대비 수익 지표를 극대화하는 경우 실선으로 표시하고, 수학식 22에서의 고정된 전체 포트폴리오 예산 조건(δα=0) 하에서 수학식 20의 전체 포트폴리오 국부적 손실 리스크 지표를 극소화하는 경우를 점실선으로 표시하며, 수학식 23에서의 고정된 전체 포트폴리오 수익 지표 조건(δγ=0) 하에서 수학식 20의 전체 포트폴리오 국부적 손실 리스크 지표 극소화 과정을 점선으로 표시하고 있다.

또한, 도 20a 내지 도 20f는 서로 다른 목적 함수 및 제약 조건들 하에서 포트폴리오 최적화 상태를 비교한 실시 예로서, 신뢰 수준 β가 0.99일 때, 상기 실시 예와 동일한 전체 포트폴리오 조정 비율 변화 조건에서 초기 상태와의 상대적 비율 변화를, 수학식 19의 전체 포트폴리오 국부적 손실 리스크 대비 수익 지표를 극대화하는 경우 실선으로 표시하고, 수학식 22에서의 고정된 전체 포트폴리오 예산 조건(δα=0) 하에서 수학식 21의 전체 포트폴리오 국부적 수익 지표를 극대화하는 경우를 점실선으로 표시하며, 수학식 24에서의 고정된 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표 조건(δγ=0) 하에서 수학식 21의 전체 포트폴리오 국부적 수익 지표 극대화 과정을 점선으로 표시하고 있다.

또한, 도 21a 내지 도 21f는 동일한 목적 함수에 대한 서로 다른 제약 조건들 하에서 포트폴리오 최적화 상태를 비교한 실시 예로서, 신뢰 수준 β가 0.99일 때, 상기 실시 예와 동일한 전체 포트폴리오 조정 비율 변화 조건에서 초기 상태와의 상대적 비율 변화를, 수학식 22에서의 고정된 전체 포트폴리오 예산 조건(δα=0) 하에서 수학식 20의 전체 포트폴리오 국부적 손실 리스크 지표를 극소화하는 경우를 실선으로 표시하고, 수학식 23에서의 고정된 전체 포트폴리오 수익 지표 조건(δγ=0) 하에서 수학식 20의 전체 포트폴리오 국부적 손실 리스크 지표를 극소화하는 경우를 점실선으로 표시하며, 수학식 22에서의 고정되지 않은 전체 포트폴리오 예산 조건 및 수학식 23에서의 고정되지 않은 전체 포트폴리오 수익 지표 조건 하에서 수학식 20의 전체 포트폴리오 국부적 손실 리스크 지표를 극소화하는 과정을 점선으로 표시하고 있다.

또한, 도 22a 내지 도 22f는 동일한 목적 함수에 대한 서로 다른 제약 조건들 하에서 포트폴리오 최적화 상태를 비교한 실시 예로서, 신뢰 수준 β가 0.99일 때, 상기 실시 예와 동일한 전체 포트폴리오 조정 비율 변화 조건에서 초기 상태와의 상대적 비율 변화를, 수학식 22에서의 고정된 전체 포트폴리오 예산 조건(δα=0) 하에서 수학식 21의 전체 포트폴리오 국부적 수익 지표를 극대화하는 경우를 실선으로 표시하고, 수학식 24에서의 고정된 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표 조건(δγ=0) 하에서 수학식 21의 전체 포트폴리오 국부적 수익 지표를 극대화하는 경우를 점실선으로 표시하며, 수학식 22에서의 고정되지 않은 전체 포트폴리오 예산 조건 및 수학식 24에서의 고정되지 않은 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표 조건 하에서 수학식 21의 전체 포트폴리오 수익 지표를 극대화하는 과정을 점선으로 표시하고 있다.

또한, 도 23a 내지 도 23f는 동일한 목적 함수에 대한 서로 다른 제약 조건들 하에서 포트폴리오 최적화 상태를 비교한 실시 예로서, 신뢰 수준 β가 0.99일 때, 상기 실시 예와 동일한 전체 포트폴리오 조정 비율 변화 조건에서 초기 상태와의 상대적 비율 변화를, 수학식 22에서의 고정된 전체 포트폴리오 예산 조건(δα=0) 하에서 수학식 19의 전체 포트폴리오 국부적 손실 리스크 대비 수익 지표를 극대화하는 경우를 실선으로 표시하고, 수학식 22에서의 고정되지 않은 전체 포트폴리오 예산 조건 및 수학식 23에서의 고정되지 않은 전체 포트폴리오 수익 지표 조건 또는 수학식 24에서의 고정되지 않은 전체 포트폴리오 손실 리스크 지표 조건 하에서 수학식 19의 전체 포트폴리오 국부적 손실 리스크 대비 수익 지표를 극대화하는 과정을 점선으로 표시하고 있다.

본 명세서에서 "하나의 실시예" 또는 "일 실시예"에 대한 언급은 특정 특징, 구조 또는 실시예와 관련하여 기술된 특성이 본 발명의 적어도 하나의 실시예에 포함된다는 것을 의미한다. 명세서의 여러 곳에서 "일 실시 예에서"라는 구절의 외양은 반드시 모두 동일한 실시 예를 지칭하는 것은 아니다.

상세한 설명의 일부는 알고리즘 및 컴퓨터 메모리 내의 데이터 비트에 대한 동작들의 심볼 표현의 측면에서 제시된다. 이들 알고리즘 설명 및 표현은 가장 효과적으로 다른 통상의 기술자에게 작업 내용을 전달하는 컴퓨팅 분야의 통상의 기술자에 의해 사용되는 수단이다. 알고리즘은 소망하는 결과에 이르는 단계들의 일관성있는 배열, 순서일 수 있으며 각 단계들은 물리적 양의 물리적 조작을 요구하는 것들이다. 일반적으로, 필수적이지 않지만, 이들 양은 저장, 전송, 결합, 비교, 및 그렇지 않으면 조작 될 수 있는 전기적 또는 자기적 시그널의 형태를 취한다. 이들 시그널은 비트, 값, 엘러먼트, 심볼, 문자, 용어, 숫자 또는 이와 같은 것들로 지칭될 수 있으나 이들은 적절한 물리량들과 연관되고 이들 양에 적용된 단지 편리한 표식(label)이라는 것을 명심해야 한다.

본 명세서에서 "프로세싱" 또는 "컴퓨팅" 또는 "연산" 또는 "결정" 또는 "디스플레잉" 또는 이와 같은 것들과 같은 용어를 사용한 논의는 컴퓨터 시스템 또는 유사한 전자 컴퓨팅 디바이스의 행위 또는 처리를 지칭하고, 컴퓨터 시스템의 레지스터 및 메모리내의 물리(전자) 량으로 표현되는 데이터를 컴퓨터 시스템 메모리 또는 레지스터 또는 다른 그런 정보 스토리지, 전송 또는 디스플레이 디바이스내의 물리량으로서 유사하게 표현되는 다른 데이터로 조작하거나 전송하는 것이다.

어느 실시예들은 또한 여기의 동작들을 수행하는 장치에 관한 것이다. 이 장치는 요구되는 목적을 위해 특별히 제작될 수 있거나, 선택적으로 활성화되거나 그 컴퓨터에 저장된 컴퓨터 프로그램에 의해 재설정된 일반용 컴퓨터를 포함할 수 있다. 그런 컴퓨터 프로그램은 플로피 디스크, 광 디스크, CD-ROM 및 자기-광학 디스크를 포함하는 임의 유형의 디스크, 판독 전용 메모리(ROM), 동적 RAM(DRAM)과 같은 랜덤 액세스 메모리(RAM), EPROM, EEPROM, 자기 또는 광학 카드, 또는 전자 명령을 저장하기에 적합하고 컴퓨터 시스템 버스에 결합된 임의의 타입의 매체와 같으나 이에 한정되지 아니하는 컴퓨터 판독 가능한 스토리지 매체에 저장될 수 있다.

여기에 제시된 알고리즘 및 디스플레이는 본질적으로 어느 특정 컴퓨터 또는 다른 장치에 관련된 것이 아니다. 다양한 일반 목적 시스템들이 여기에서 교시되는 바에 따른 프로그램과 함께 사용될 수 있고, 또는 요구되는 방법 단계들을 수행하도록 보다 특수화된 장치를 구성하는 것이 편리할 수 있다. 다양한 이들 시스템을 위한 요구되는 구조는 여기의 기술로부터 나타날 것이다. 더하여, 어느 실시예들은 어느 특정 프로그래밍 언어를 참조하여 설명되지 않는다. 다양한 프로그래밍 언어들이 여기에 기술된 바와 같은 실시예들의 교시를 구현하는데 사용될 수 있다는 것을 이해할 수 있을 것이다.

이상에서, 본 발명에 따른 포트폴리오 최적화 시스템의 구성 및 작용을 상세한 설명과 도면에 따라 도시하였으나, 이는 실시 예들을 들어 설명한 것에 불과하며, 본 발명의 기술적 사상을 벗어나지 않는 범위 내에서 다양한 변화 및 변경이 가능하다.

100: 포트폴리오 초기화부
200: 포트폴리오 최적화부
210: 국부적 최적화 목적 함수 설정부
220: 국부적 최적화 제약 조건 설정부
230: 포트폴리오 국부적 최적화 처리부
232: 국부적 추적 범위 설정부
234: 2차 비선형 투영 변환부
236: 포트폴리오 최적화 데이터 갱신부
250: 포트폴리오 최적화 데이터 저장부
300: 포트폴리오 최적화 상태 출력부

Claims (10)

1. 컴퓨팅 디바이스에 의해 수행되는, 조건부 손실 Value-at-Risk(CVaR^(loss))이 손실 리스크 지표로 사용될 때, 수익 지표들이 정의되고 가치 변화에 대한 시나리오가 이산화된 시계열 행렬로 표현되는 복수의 자산군으로 구성된 최적화 대상 포트폴리오의 최적화 방법에 있어서,
   최적화 대상 포트폴리오를 구성하는 개별 자산군 각각의 개별 자산군 가치확률 변수의 초기값을 획득하는 단계,
   상기 개별 자산군 각각의 가치 변화 시나리오를 획득하는 단계,
   상기 개별 자산군 각각의 개별 자산군 가치 확률 변수의 초기값 및 상기 개별 자산군 각각의 가치 변화 시나리오를 기반으로 상기 최적화 대상 포트폴리오의 손실 리스크 및 상기 개별 자산군 각각의 손실 리스크 공헌도 결정하는 단계;
   최적화 목적 함수 및 최적화 제약 조건을 결정하는 단계;
   상기 최적화 제약 조건하에서 상기 최적화 대상 포트폴리오의 손실 리스크 및 상기 개별 자산군 각각의 손실 리스크 공헌도를 기반으로 상기 최적화 대상 포트폴리오를 상기 최적화 목적 함수를 적용하여 최적화 하는 단계;
   상기 최적화 대상 포트폴리오의 최적화 결과를 출력하는 단계;를 포함하되,
   상기 최적화 대상 포트폴리오를 상기 최적화 목적 함수를 적용하여 최적화하는 단계는:
   2차 비선형 투영 변환에 의하여 상기 최적화 대상 포트폴리오 내에서 연속적으로 변화하는 상기 개별 자산군 각각의 비율들이 N차원 공간 내에서 차지하는 경로를 찾기 위한 국부적 추적 범위를 N 차원 타원체로 설정하고 상기 최적화 제약 조건을 (N-1)차원의 초평면으로 변환하는 단계;
   상기 국부적 추적 범위 상에서 국부적 최적화 제약조건을 적용하여 상기 최적화 목적 함수를 최적화시키는 방향으로 조정된 상기 개별 자산군 각각의 조정된 상태를 결정하는 단계;
   상기 개별 자산군 각각의 단위 조정 비용을 모델링하여 상기 개별 자산군 각각의 국부적 조정 비용을 결정하는 단계; 및
   상기 개별 자산군 각각의 상기 국부적 조정 비용의 합으로 결정되는 상기 최적화 대상 포트폴리오의 최적화 국부적 조정 비용을 누적 저장하는 단계;를 포함하고,
   상기 최적화 목적 함수의 결정은 전체 포트폴리오 국부적 손실 리스크 지표 변화 최소화를 목적으로 하는 최적화 목적 함수 또는 전체 포트폴리오 국부적 수익 지표 변화의 극대화를 목적으로 하는 목적 함수를 선택하여 이루어지는 포트폴리오 최적화 방법.
2. 삭제
3. 제1 항에 있어서,
   상기 최적화 목적 함수는 상기 개별 자산군 각각의 수익 지표가 전체 포트폴리오 내에서의 차지하는 비율들에 대한 가중합을 상기 최적화 대상 포트폴리오의 CVaR^(loss)로 나눈 값으로 결정되는 포트폴리오 최적화 방법.
4. 제1 항에 있어서,
   상기 국부적 최적화 제약 조건은 전체 포트폴리오 국부적 예산 변화 제약 조건, 전체 포트폴리오 국부적 수익 지표 변화 제약 조건, 전체 포트폴리오 국부적 손실 리스크 지표 변화 제약 조건 중 어느 하나 및 전체 포트폴리오 국부적 조정비용 변화 제약 조건으로 결정되는 포트폴리오 최적화 방법.
5. 제1 항에 있어서,
   상기 최적화 대상 포트폴리오의 국부적 조정 비용은 상기 개별 자산군 각각의 국부적 가치 변화의 제곱값을 상기 개별 자산군 각각의 단위 조정 비용의 제곱값과 가중합하고 그 제곱근을 취하여 얻어지는 포트폴리오 최적화 방법.
6. 제1 항 및 제3 항 내지 제5 항 중 어느 한 항의 방법이 구현된 프로그램을 저장하는 컴퓨터 판독 가능한 저장 매체.
7. 삭제
8. 삭제
9. 삭제
10. 삭제

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