JPH0785272B2

JPH0785272B2 - 有限要素メッシュ生成方法

Info

Publication number: JPH0785272B2
Application number: JP3352520A
Authority: JP
Inventors: エヌ．メシュカトシアヴァシュ; エム．ルッパートジェイムズ
Original assignee: International Business Machines Corp
Current assignee: International Business Machines Corp
Priority date: 1991-01-22
Filing date: 1991-12-13
Publication date: 1995-09-13
Anticipated expiration: 2010-09-13
Also published as: JPH04309183A; US5125038A; CA2059578A1

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、有限要素解析を使用可
能にする方法に関し、より詳細には、すべての有限要素
が全体的に解析される物体の内部、又は外部に存在する
のを確保するために、生成されたメッシュを自動的にト
リミングする方法に関する。

【０００２】

【従来の技術】自動モデル化及び設計手順には、物体の
幾何学的モデルの初期展開、及び当該モデルと様々な境
界条件、材料の特性、及び後続の構造解析における許容
誤差の指示との関連性が含まれる。この解析は、モデル
を後で個別に解析される複数の有限要素に分割するメッ
シュを生成する適応性のある方法を利用することによ
り、自動的に実行される。

【０００３】メッシュの生成は、完全に自動的に実行さ
れることが理想的であり、即ち、入力として、関連する
メッシュ制御情報と一緒にモデルの幾何学的な表示を取
り、次に自動的に有効なメッシュを生成するような方法
である。メッシュを生成させる一つのアプローチとして
は、ドローネー（Ｄｅｌａｕｎａｙ）三角形化（後で引
用されるフレイ（Ｆｒｅｙ）、及びガベンディシュ（Ｃ
ａｖｅｎｄｉｓｈ）の論文を参照のこと）に依存するも
のである。ドローネー方法は、三次元の場合に一般的に
一組の四面体要素を意味する有限要素メッシュを生成す
るために、モデル空間内に点集合を三角形化することに
基づいている。そこで、ドローネー方法は、初期におい
て、点集合を生成し、次に、四面体を含む外接球がその
体積内にメッシュ点を全く含まないという特性を満たす
ような点の三角形化を実行する。

【０００４】このようなメッシュを生成する上での問題
点の一つに、有限要素は完全にモデルの境界の内部、ま
たは外部に存在するのを確認することがあり、従って、
境界外にある有限要素は後続の解析では分離、及び無視
される可能性が出てくる。

【０００５】図１は、実質的にＣ形を有するモデルの一
例を示す斜視図である。このモデルは、複数の頂点によ
り定義され、モデルの各面を定義している頂点の集合
（例えば、頂点１０、１２、１４、１６、１８、２０、
２２、及び２４はモデルの面２６を定義している）を有
する。周知のように、各頂点は、三次元空間における位
置を定義する一組の座標として入力される。

【０００６】図１のモデル上で有限要素解析を実行する
には、有名なドローネー・メッシュ生成プログラムを用
いて、ドローネー四面体化がモデルの各頂点と各面に実
行されることが必要である。図２では、三次元において
ドローネー方法の基本出力を形成する四面体が示されて
いる。図３では、ドローネーのモデル四面体化に続い
て、面２６の平面図が示されている。ドローネー手順を
実行中は、形成された四面体がモデルの境界を交叉する
エッジを表す事象が頻繁に発生する。このような状況の
下では、「全体が内部／外部にある」の規格を満たすた
めに、そのような四面体を見つけ、細分化する必要が
る。図３に示されたような場合には、頂点１２、１４、
２０によって、及び１２、１６、２０によって定義され
た四面体は頂点１４と１６の間の境界を不明瞭にする。
この例外的な事象は、有限要素解析を実行する前に訂正
されなくてはならない。

【０００７】図４の（ａ）と（ｂ）では、ドローネー四
面体化の初期の段階で発生するかもしれない共通する
「違反」を幾つか示している。図４（ａ）では、オブジ
ェクトのエッジは、三角形の頂点以外の点においてドロ
ーネー三角形の内部を通過するように示されている。図
４（ｂ）では、ドローネー三角形のエッジは、エッジを
定義している頂点上の面Ｆの頂点以外の点において、モ
デルの面Ｆを通過するように示されている。これらの二
つの状況は，「全体が内部／外部にある」の規格に違反
する四面体を生じさせる。

【０００８】従来技術では、様々な方法で上記定義の違
反を取り扱おうとしてきた。全体が内部／外部の規格を
達成するために用いられた先の方法のうちの一つは、モ
デル上でドローネー手順を実行させ、ユーザに対して、
モデルを調べさせ、次に、違反している四面体を取り除
くために、メッシュの中に追加頂点を挿入させることで
あった。幾つかの従来技術の引用例では、初期の点メッ
シュを「もっと機敏に」生成することによって、この問
題を回避しようとしている。例えば、次のような引用例
を参照しよう。１９８４年の数値方法と工学インターナ
ショナルジャーナル（ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪ
ｏｕｒｎａｌＦｏｒＮｕｍｅｒｉｃａｌＭｅｔｈ
ｏｄｓａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ）のコラム
（Ｃｏｌｕｍｎ），第２０巻（Ｖｏｌ．２０）」の１９
６５ページから１９９０ページに発表されたエリー（Ｙ
ｅｒｒｙ）らによる「修正されたオクトリー（Ｏｃｔｒ
ｅｅ）技術を用いた自動三次元メッシュ生成」、１９８
５年の同誌第２１巻（Ｖｏｌ．２１）の３２９ページか
ら３４７ページに発表されたガベンディシュ（Ｃａｖｅ
ｎｄｉｓｈ）らによる「自動三次元有限要素メッシュ生
成へのアプローチ」、１９８３年１１月発行の磁気学Ｉ
ＥＥＥ会報（ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏ
ｎＭａｇｎｅｔｉｃｓ），第Ｍａｇ−１９巻（Ｖｏ
ｌ．Ｍａｇ−１９），Ｎｏ．６の２５５２ページから２
５５４ページに発表されたセンデス（Ｃｅｎｄｅｓ）ら
による「ドローネー三角形化及び相補有限要素方法を用
いた磁界計算」、更に、１９８７年の数値方法と工学イ
ンターナショナルジャーナル（Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎ
ａｌＪｏｕｒｎａｌＦｏｒＮｕｍｅｒｉｃａｌ
ＭｅｔｈｏｄｓａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ）の
コラム（Ｃｏｌｕｍｎ），第２４巻（Ｖｏｌ．２４）」
の２１８３ページから２２００ページに発表されたフレ
イ（Ｆｒｅｙ）による「選択的精製：段三角形メッシュ
における自動ノード配置のための新しい戦略」等の論文
がある。

【０００９】１９８８年の数値方法と工学インターナシ
ョナルジャーナル（ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏ
ｕｒｎａｌｏｆＮｕｍｅｒｉｃａｌＭｅｔｈｏｄ
ｓａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ），第２６巻（Ｖｏ
ｌ．２６）」の２５０３ページから２５１５ページにフ
ィールド（Ｆｉｅｌｄ）によって発表された「三次元に
おけるワトソン・アルゴリズムの実行」と題する論文で
は、立体の境界付近に四面体を有し、更にその境界上に
四面体の一部分が延びるという問題点が認識される。但
し、著者は、そのような四面体の細分化を可能するのに
追加点が必要であることを指示しているだけであって、
その追加される点を挿入する方法については述べていな
い。

【００１０】シュローダー（Ｓｃｈｒｏｅｄｅｒ）らに
よって工学における数値方法インターナショナルジャー
ナル（ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌ
ｆｏｒＮｕｍｅｒｉｃａｌＭｅｔｈｏｄｓｉｎ
Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ），第２６巻（Ｖｏｌ．２６）
の２５０３ページから２５１５ページに発表された「幾
何学に基づく完全自動化メッシュ生成及びドローネー三
角形化」と題する論文において、ドローネー生成四面体
のトリミングを可能にする解決法が提示されている。シ
ュローダー（Ｓｃｈｒｏｅｄｅｒ）らは、追加される点
がメッシュ要素の境界とモデルの表面との正確な交叉点
に配置されるべきあると述べている。この解決法は、
「全体が内部／外部にある」の規格を達成する一方、数
多くの点がメッシュに追加される方向に導くのを可能に
する。これは、必ずしもそのような詳細な細分化を必要
としないモデル点に多くの異なる四面体を生成させる。
その結果、分析される有限要素の数が多くなるために、
後続の有限要素分析を実行している最中の計算の速度が
実質的に遅くなる。

【００１１】メッシュ生成とその改善に多少関係がある
他の従来技術が、米国特許Ｎｏ．４，９１２，６６４、
米国特許Ｎｏ．４，８８８，７１３，米国特許Ｎｏ．
４，６９７，１７８において、更に、１９８９年６月の
ＩＢＭ技術公開公報第３２巻（Ｖｏｌ．３２），Ｎｏ．
１の３４０ページから３４２ページに記載されたコヤマ
ダ（Ｋｏｙａｍａｄａ）の記事、及び、１９７５年９月
の同報第１８巻（Ｖｏｌ．１８），Ｎｏ．１の１１６３
ページから１１７５ページに記載されたシュレイバー
（Ｓｃｈｒｅｉｂｅｒ）による記事に見つけることがで
きる。

【００１２】

【発明が解決しようとする課題】本発明の目的は、生成
された四面体に対して、「全体が内部／外部にある」の
規格が自動的に満たされるように改善された有限要素生
成システムを提供することである。

【００１３】更にもう一つの目的としては、前記規格を
満たすように生成された追加メッシュ点の数が最小化さ
れる三次元オブジェクトのための自動メッシュ生成シス
テムを提供することがある。

【００１４】

【課題を解決するための手段及び作用】解析されるべき
エッジや面を表わす物体の内部にある有限要素のメッシ
ュを生成する方法が記載されている。この方法は、物体
に対して、各々が複数の頂点とエッジを有する要素から
成る初期メッシュを生成するステップと、有限要素エッ
ジと一致しない物体エッジ・セグメントを見つけるステ
ップと、該物体エッジ・セグメント上に、必要とされる
新しい頂点の数を最小限にするように、頂点を一つ追加
するステップとを含む。次に、新しい頂点を隣接する頂
点に接続することにより、追加有限要素が作成される。
物体のエッジ・セグメントと一致するエッジと物体の一
つの面を通過する別のエッジ・セグメントとの両方を有
する有限要素が識別される。交叉している要素エッジの
付近にある物体表面上に、追加されるべき頂点の数を最
小限にするように、新しい頂点が配置され、次に、本発
明では、追加された頂点を隣接する頂点に接続すること
により、追加の有限要素を生成する。

【００１５】

【実施例】上述したように、立体のオブジェクトのため
のドローネー・メッシュ生成手順は、四面体メッシュを
生成する。このメッシュ生成の間、ドローネー手順で
は、四面体毎に外接球を計算する。生成されたメッシュ
は、「全体が内部／外部にある」の規格を満たすかもし
れないし、又、満たさないかもしれない。後で明白にな
るように、既に計算された外接球は、頂点の数を最小限
にし、更に四面体化構造を改善するために、本発明によ
って利用されている。

【００１６】さて、図５を考察すると、トリミング手順
の全体の高度なフロー図が示されている。本質的に、ト
リミング手順では、すべての四面体は、「全体が内部／
外部にある」の規格を満たすことを確保するものであ
る。記載される手順には、汎用コンピュータの操作を制
御する複数のアルゴリズムが含まれる。このようなアル
ゴリズムは、図形表示機能を備えているワークステーシ
ョン・レベルのシステム上で実行される。

【００１７】一般的なトリミング手順に対する入力は、
分析されるオブジェクトのための境界定義、及び、ドロ
ーネー四面体化アルゴリズム（ボックス３０）によって
生成された、既に完成している有限要素メッシュのため
の境界定義である。オブジェクトの面Ｆ毎に、該面のエ
ッジは、エッジ・トリミング手順（ボックス３２）を呼
び出すことによって復元、即ち四面体エッジセグメント
があてはめられて四面体エッジセグメントで埋め尽くさ
れる。このサブルーチンは、いずれかのオブジェクト・
エッジ、即ち、四面体エッジと完全には一致しないいず
れかのセグメントに対して、該オブジェクト・エッジ・
セグメントが後に四面体エッジと一致するのを可能にす
る追加された頂点が提供されることを確保する。

【００１８】境界上のすべてのエッジ・セグメントは、
一旦復元されると、更に処理を進めるためにリストＬに
配置される（ボックス３４）。この機能がすべてのオブ
ジェクト面に対して実行された後、リストＬの各エッジ
・セグメントは、それがオブジェクトの面と交叉してい
るか否かを判定するために更に先の処理を実行され、仮
に交叉する場合には、そのような交叉しているセグメン
トを一部分とする四面体を細分化するために、頂点が１
個追加される。

【００１９】前記の処理においては、リストＬ内の各セ
グメント（仮にセグメントＡＢとする）ごとに以下の処
理が行われる。先ず初めに、セグメントＡＢがリストＬ
から除去され（ボックス３６）、面トリミング手順が呼
び出される。これにより、追加頂点Ｘが見つけだされ、
三角形ＡＢＸが面の一部分として復元される（ボックス
３８）。頂点Ｘが新しい、即ち該頂点が現在得られてい
る境界定義に含まれていない場合は、エッジ・トリミン
グ手順が反復される（ボックス４０）。一方、頂点Ｘが
新しくなくて、更に、セグメントＡＸとＢＸがリストＬ
に記載されていない場合には、これらのセグメントはリ
ストＬに追加される（ボックス４２）。

【００２０】次に図６を考察すると、図７から図１１ま
での図と関連させて、エッジ・トリミング手順の詳細が
記述されている。図６の流れ図を考察する前に、エッジ
・セグメントＡＢが図示され、それがモデル境界の一部
分を構成する図７を参照することにしよう。モデルは既
にドローネー四面体化されているので、複数の四面体が
セグメントＡＢの周囲に配置されている。但し、セグメ
ントＡＢは四面体のいずれの境界とも一致しないことは
判定できる。従って、「全体が内部／外部にある」の規
格に対して違反が存在する。

【００２１】図８は、８−８線に沿って切断され、四面
体境界ＡＥを中心に置いて描かれた、図７の四面体構造
を示す図である。この図は、モデル線分セグメントＡＢ
を囲んでいる四面体がどの様にして見つけられるのかを
図示するために、図９においても利用されている。探索
手順は、図６の流れ図において図示されている。

【００２２】ボックス５０で示されるように、エッジ・
セグメントＡＢの点Ａに頂点を１個持っている四面体が
識別される。（この探索は、四面体メッシュの初期の生
成時において、各頂点毎に入射四面体が格納されていた
場合には、単純化される。）一旦入射四面体が識別され
ると、エッジ・セグメントＡＢが四面体Ｔの基底を通過
する四面体Ｔを見つけるために、頂点Ａを共有する四面
体の間で探索処理が実行される（ボックス５２）。

【００２３】この探索は、入射四面体（即ち、四面体Ａ
ＥＩＪ）の各面を平面として考えることによって、図９
に示されるように完了する。四面体平面の四面体内部側
の側面はプラス側として分類され、反対側の側面はマイ
ナス側として分類される。図９に見ることができるよう
に、平面８０は面ＡＩＪと一致し、平面８２は面ＡＩＥ
と一致し、更に、平面８４は面ＡＪＥと一致する。頂点
Ｅから開始して、左回りに処理を進めていくと、平面毎
の等式が見つけられ、頂点Ｂが個々の平面のプラスまた
はマイナス側にあるか否かが判定される。頂点Ｂが平面
のいずれかのマイナス側にある場合は、手順は、該平面
を共有する四面体に進む。図９では、上記規格を満たし
ている唯一の平面は、平面８４であり、四面体ＡＥＪＣ
が次に考察される四面体であることが判る。該四面体の
解析は、該四面体が（頂点Ｂに対応してマイナス値を有
する）四面体平面ＡＥＣと一致する平面であるので、四
面体ＡＥＣＤに導いていく。

【００２４】一つ以上の平面が頂点Ｂに対応して「負の
側に」配置されていることが判った場合には、点Ｂに対
して最小の絶対変位値を有する平面が選択される。この
探索は、頂点Ｂがすべての平面構造の正の側にある時に
終了する。これは、四面体ＡＥＣＤが見つけられた時に
発生することに注意されたい。頂点Ｂ（中心に置いて）
の優位な点から図９を眺めてみると、上述した平面関係
がはっきりと眼に見えてくる。

【００２５】図６に戻って考察すると、四面体Ｔが一旦
見つけられると、エッジ・セグメントＡＢが四面体Ｔの
基底の頂点Ｘを通過しているか否かが判定される。通過
している場合には、該エッジ・セグメント（即ち、Ａ
Ｘ）が格納される（ボックス５６）。（ＡＸは四面体の
境界であり、上記規格が少なくともこの線分セグメント
に対して満たされているので、これ以上のアクションは
必要ではない。）

【００２６】該線分セグメントが頂点Ｘを通過しないこ
とが判明すると（ボックス５４）、元のドローネー・メ
ッシュ生成時に計算されて格納された外接球Ｓが見つけ
られる（ボックス５８）。図１０に示されるように、外
接球Ｓは線分セグメントＡＢに付随する２個の点、すな
わち、頂点Ａと点Ｐを有する。外接球Ｓの等式だけでは
なく、頂点ＡとＢの座標も知られているので、線分セグ
メントＡＢがＳと交叉する点Ｐが見つけられる（図６の
ボックス６０）。次に、線分セグメントＡＢの中間点Ｍ
が見つけられ（ボックス６２）、点ＰとＭの位置は頂点
Ａに関連させて比較される（ボックス６４）。頂点Ａか
らより離れている点ＰまたはＭのいずれかが、新しい頂
点Ｘに等しく設定され（ボックス６６、６８）、更に、
その値は、新しいセグメントＡＸを含む修正された四面
体を得るために、四面体に挿入される（ボックス７
０）。Ａの値にＸが代入され（ボックス７２）、プログ
ラムは、モデルのすべてのエッジが考察されるまで、図
６に示されるように継続される。

【００２７】上記の構造は、線分セグメントＡＢ上の点
ＰとＭの相対位置を示す図１０だけではなく、図１１に
おいても見られる。図１１においては、新しい点Ｘを示
している最終的な四面体が描かれている。前記の２個の
点の内で頂点Ａからより離れている点を選択することに
より、新しい四面体の集合が生成され、更に、モデル・
エッジに沿った点の数が最小化されることが理解でき
る。

【００２８】この時点では、現行面のすべてのエッジが
四面体のエッジと一致することが知られている。但し、
四面体のいずれかのエッジがモデル面と交叉しているか
否かは判らない。これについては、判定される必要があ
り、そのような交叉が見つけられた場合には常に、「違
反している」四面体はトリミングされ、新しい三角形
が、エッジ／面の交叉を除去するモデルの面に付加され
なくてはならない。そのようなアクションを達成する手
順が、図１２と図１３のフロー図において示され、更
に、図１４から図２５に示される幾何学的構造によって
描かれている。

【００２９】図１２を考察すると、面トリミング手順
は、モデル・エッジ・セグメントＡＢを含むいずれかの
四面体を見つけることによって、開始され（ボックス１
００）、次にそのような四面体がモデルの面Ｆと交叉す
るエッジを有するか否かを調べる処理に進む。そのよう
な四面体は、モデルが面Ｆを有することを示している図
１４を調べることにより、明確になり、その四面体のエ
ッジＣＤは面Ｆと交叉している。この方法は、エッジＣ
Ｄが面Ｆを通過し、頂点Ｃが面Ｆ上にあり、更に、頂点
Ｄが面Ｆの下にある四面体ＡＢＣＤを見つけるために、
モデル・エッジ・セグメントＡＢを共有する四面体の間
を探索する。図１５では、モデル・エッジ・セグメント
ＡＢを共有するすべての四面体が斜視図で示され、図１
６では、図１５の１６−１６線に沿う断面図が表面の面
Ｆと四面体エッジＣＤとの関係を示している。

【００３０】図１２に戻って考察するとき、頂点Ｄが面
Ｆに一致している場合、新しい頂点ＸはＤに等しく設定
され（ボックス１０６）、更に、新しい三角形ＡＢＸが
面Ｆに割り当てられる。図１５と図１６に示されるよう
に、頂点Ｄが面Ｆ上にないので、プログラムはエッジＣ
Ｄを共有する四面体Ｔ１−Ｔｎを探索する処理に進む
（ボックス１１０）。図１７では、四面体エッジＣＤが
共通四面体ＡＢＣＤ、ＢＥＣＤ、ＥＦＣＤ及びＦＡＣＤ
と共に示されている。四面体Ｔ１−Ｔｎの各四面体毎に
あるすべての外接球Ｓ１−Ｓｎが識別され（図１２のボ
ックス１１２）、面Ｆを有するＳ１−Ｓｎの交点の円Ｃ
１−Ｃｎも見つけられる（ボックス１１４）。次に、交
点の円Ｃ１−Ｃｎのすべてがオーバラップする領域Ｒが
見つけられる（ボックス１１６）。

【００３１】図１８から図２２では、ボックス１１１、
１１４、１１６で参照されている幾何学的構造が示され
ている。図１８から図２２で示される構造は、通常、四
面体メッシュに見られるような事象上に実質的に単純化
されることが理解されるだろう。但し、これらの構造
は、本発明の方法を描くのには充分である。

【００３２】図１８（ａ）では、四面体ＡＢＣＤを囲む
外接球Ｓ１が図示されている。更に、面Ｆ上の４個の四
面体Ｔ１−Ｔ４すべてのフットプリントＡＢＥＦが点線
で示されている。面Ｆの各頂点と外接球Ｓ１の等式が判
っているので、交点の円Ｃ１を見つけることができる。
交点の円Ｃ１と、及び、フットプリントＡＢＥＦとＣ１
と、の関係が図１８（ｂ）に示されている。

【００３３】図１９（ａ）では、四面体ＢＥＣＤのため
の外接球Ｓ２が、面Ｆを有する交点の円Ｃ２と共に示さ
れている。図１９（ｂ）では、交点の円Ｃ２が、フット
プリントＡＢＥＦと関連させて示されている。図２０
（ａ）と図２１（ａ）では、外接球Ｓ３とＳ４が、各
々、四面体ＥＦＣＤとＡＦＣＤに対して示されている。
更に、面Ｆを有する個々の交点の円Ｃ３とＣ４が、各
々、図２０（ａ）と図２１（ｂ）に示されている。図２
２は、交点の円Ｃ１−Ｃ４のすべての複合図であり、こ
れらの交点の円がオーバラップする領域Ｒを示してい
る。

【００３４】図１３を考察するとき、領域Ｒが一旦決定
されると、最初にこの領域がモデルの面Ｆのいずれかの
境界エッジと交叉しているか否かが判定される。交叉し
ている場合は、交点はＭとＮと指定される。次に、新し
い頂点Ｘの値は、これらの点ＭとＮの間の中間点座標に
等しく設定される。図２３を参照すると、そのような領
域Ｒ’が面Ｆのエッジ２００と交叉しているように示さ
れている。そこでは、エッジ２００に沿って存在する点
ＭとＮは交叉しているＲ’によって定義されることを見
ることができる。新しい頂点Ｘ’の値は、ＭとＮのあい
だの中間点に等しく設定される。一方、（図２３の）領
域Ｒが面Ｆの対称軸と交叉してセグメントＭ’Ｎ’を生
成する場合には、ＸはＭ’Ｎ’の中間点に等しく設定さ
れる。図２３では、部分的に対称軸２０２が示されてい
るが、図２４はより良く示されている。この軸は、本質
的に面Ｆの局所対称軸である。

【００３５】この場合、領域Ｒが対称軸２０２と交叉し
ていないので、プログラムはボックス１２０から図１３
のボックス１２２に処理を進め、新しい頂点Ｘの値を、
対称軸２０２に最も近い領域Ｒの境界上の点に等しく設
定する。点Ｘが一旦決定されると、この点は四面体に挿
入され（ボックス１２４）、三角形ＡＢＸが面Ｆの一部
分として復元される。

【００３６】この段階において、プログラムは、頂点Ｘ
が新しい点であるか否かを判定するために、図５のボッ
クス４０に復帰する。この後、プログラムは、再び、エ
ッジ・トリミング手順を実行するために再循環し、すべ
てのモデル・エッジ・セグメントが考察されるまで、処
理を継続する。上記の手順に従って、（図２５に示され
てあるように）個々の新しい三角形は、見つけられ、テ
ストされた後に、リストから除去されるので、残りの四
面体は後続の考察のために残しておく。最終的に、手順
は、すべての三角形が復元された後に終了する。

【００３７】新しい頂点の配置を決定するためにオーバ
ラップ領域Ｒを利用すると、メッシュのドローネー特性
を維持しつつ、頂点をメッシュ三角形の他の２個の頂点
からできる限り離して配置することが可能になる。従っ
て、本質的には、新しい頂点の数は最小化されるのであ
る。

【００３８】

【発明の効果】上記のように構成されるので、生成され
た四面体に対して、「全体が内部／外部にある」の規格
が自動的に満たされるように改善された有限要素システ
ムが提供されるという優れた効果を有する。

【図面の簡単な説明】

【図１】この方法を説明する上で用いられるモデルの斜
視図である。

【図２】基本有限要素、即ち、四面体を示す図である。

【図３】図１のモデルの面における初期のドローネー三
角形化の結果を示す図である。

【図４】（ａ）乃至（ｂ）は、四面体のための全体が内
部／外部の規格に対する「違反」を示す図である。

【図５】この発明を具体化するトリミング手順の高度な
フロー図である。

【図６】この発明のエッジ・トリミング手順を図示する
高度なフロー図である。

【図７】隣接するいずれかのメッシュ四面体のエッジと
一致しないモデル・エッジ・セグメントＡＢの斜視図で
ある。

【図８】８−８線に沿って切断された図７を示す図であ
る。

【図９】メッシュ四面体の各平面と一致する平面を利用
することによって、線分セグメントＡＢが交叉する四面
体面がどのようにして見つけられるのかを示す図であ
る。

【図１０】外接球が作成された後の図９において見つけ
られた四面体と、外接球と見つけられた線分セグメント
ＡＢとの間の交点を示す図である。

【図１１】追加頂点が一つ線分セグメントＡＢ上に配置
された後の図１０の四面体を示す図である。

【図１２】この発明の面トリミング手順を図示する高度
な流れ図である。

【図１３】この発明の面トリミング手順を図示する高度
な流れ図である。

【図１４】面Ｆと交叉する線分セグメントＣＤを有する
四面体ＡＢＣＤを示している、モデルの面Ｆの一部分の
斜視図である。

【図１５】四面体ＡＢＣＤの他に、該セグメントを共用
する他の四面体を示している線分セグメントＡＢの斜視
図である。

【図１６】１６−１６線に沿って切断された図１５を示
す図である。

【図１７】全部が内部／外部の規格に違反する４個の四
面体を有するモデル面の斜視図である。

【図１８】（ａ）は、四面体ＡＢＣＤの周囲に描かれ
た外接球、及び、該モデル面と交叉するその円周を示す
図である。（ｂ）は、外接球ＡＢＣＤがモデル面と交叉する円を示
す平面図である。

【図１９】（ａ）は、四面体ＢＥＣＤの周囲に描かれた
外接球を示す図である。（ｂ）は、外接球ＢＥＣＤがモデル面と交叉する円を示
す図である。

【図２０】（ａ）は、四面体ＥＦＣＤの周囲に描かれた
外接球を示す図である。（ｂ）は、外接球ＥＦＣＤがモデル面と交叉する円を示
す図である。

【図２１】（ａ）は、四面体ＡＦＣＤの周囲に描かれた
外接球を示す図である。（ｂ）は、外接球ＡＦＣＤがモデル面と交叉する円を示
す図である。

【図２２】オーバラップする領域で、上記の交叉する円
のすべてを示す複合図である。

【図２３】追加された頂点の配置点を示し、その上に重
ねられたオーバラップ領域を有するモデル面を示す図で
ある。

【図２４】対象の中心線を示すモデルの斜視図である。

【図２５】後続の処理を実行する前に、追加される頂点
がモデル面上に配置され、作成された三角形が除去され
た後の該モデル面の平面図である。

【符号の説明】

Ａ点ＡＢエッジ・セグメントＦ面８４平面Ｓ外接球Ｘ頂点Ｓ１外接球Ｓ２外接球Ｓ３外接球Ｃ１交点の円Ｃ２交点の円Ｃ３交点の円２００エッジ２０２対称軸

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者ジェイムズエム．ルッパートアメリカ合衆国94705、カリフォルニア州バークレイ、ワードストリート 2310 (56)参考文献特表昭62−5000126ＪＰ，Ａ) 米国特許4697178（ＵＳ，Ａ) ＩＢＭＴＥＣＨＮＩＣＡＬＤＩＳＣＬＯＳＵＲＥＢＵＬＬＥＴＩＮＶｏｌ．32 Ｎｏ．１ＰＰ．340−342 （1989)

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】ソフトウェア・プログラムと組み合わさ
れてコンピュータ・システムによって実行される方法で
あり、エッジ及び面を有する解析対象物体の内部全体に
わたり有限要素メッシュを生成するための有限要素メッ
シュ生成方法であって、ａ．複数の頂点とエッジを有する個々の有限要素の初期
メッシュを前記物体に対して生成するステップと、ｂ．要素エッジと一致しないいずれかの物体エッジ・セ
グメントを見つけて前記セグメント上に頂点を追加する
ステップであって、前記物体エッジ・セグメント上に追
加される頂点の数が最小となるよう前記頂点が追加され
る、ステップと、ｃ．前記追加された頂点を隣接する頂点に接続すること
により、追加の有限要素を生成するステップと、ｄ．前記物体のエッジ・セグメントと一致するエッジを
有する有限要素であって、物体面が該有限要素のその他
のエッジを、前記その他のエッジを定義する頂点間にお
いて通過するような有限要素を見つけるステップと、ｅ．前記その他のエッジと前記物体面との交点付近の前
記物体面上に新しい頂点を配置し、前記新しい頂点は追
加される頂点の数が最小となるよう配置され、前記新し
く追加された頂点を近接の頂点に接続することにより追
加の有限要素を生成するステップと、から成る有限要素メッシュ生成方法。
【請求項２】ｆ．個々の有限要素が完全に前記物体の
面内、又は完全に前記物体の面外に存在するようになる
まで、ステップｅにおいて新しい頂点が配置及び接続さ
れる度に、ステップａからステップｅまでを繰り返し実
行するステップを、更に含む請求項１に記載の有限要素メッシュ生成方法。
【請求項３】個々の前記有限要素が四面体である請求
項２に記載の有限要素メッシュ生成方法。
【請求項４】前記ステップｂが、ｂ１．前記物体エッジ・セグメントの第一の端点と一致
する頂点を有する四面体であって、前記四面体の基底面
を定義する頂点以外の位置で前記物体エッジ・セグメン
トが前記四面体の基底面と交叉するような四面体を見つ
けるステップと、ｂ２．前記四面体によって定義される外接球を見つける
ステップと、ｂ３．前記物体エッジ・セグメントの前記外接球との交
点Ｐを見つけるステップと、ｂ４．前記物体エッジ・セグメントの中間点Ｍを見つけ
るステップと、ｂ５．前記物体エッジ・セグメントの両端の間で前記物
体エッジ・セグメント上に新しい頂点を挿入するステッ
プであって、前記点Ｐが前記物体エッジの第一の端点か
ら点Ｍよりも離れていないならば、前記新しい頂点は点
Ｍに配置され、前記点Ｐが前記物体エッジの第一の端点
から点Ｍよりも離れていれば、前記新しい頂点が点Ｐに
配置されるステップと、から成る請求項３に記載の有限要素メッシュ生成方法。
【請求項５】ステップｄとステップｅが、ｄ１．物体エッジと一致するエッジを有する第一の四面
体を見つけるステップと、ｄ２．前記物体面によって交叉されているエッジを有す
る四面体を見つけるために、前記エッジを共有する四面
体の間を探索するステップと、ｅ１．前記物体面が前記四面体の頂点において前記エッ
ジと交叉しているか否かを判定するステップであって、
交叉している場合には、前記頂点を、前記共有されたエ
ッジの各頂点と接続し、生成された三角形を前記面の一
部分として指定するステップと、を更に含む請求項３に記載の有限要素メッシュ生成方
法。
【請求項６】前記ステップｅが、ｅ２．前記共有されたエッジを有する四面体に対する外
接球の前記物体面と交叉する各円を見つけるステップ
と、ｅ３．前記交叉する各円のオーバラップする領域を判定
するステップと、ｅ４．前記オーバラップ領域上の前記新しい頂点を前記
物体面に配置するステップと、を更に含む請求項４に記載の有限要素メッシュ生成方
法。
【請求項７】前記オーバラップ領域が前記物体面のエ
ッジと交叉すると共に、前記エッジに沿って交叉するエ
ッジ・セグメントＭＮを生成し、前記新しい頂点は前記
エッジ・セグメントＭＮの中間点に配置される請求項６
に記載の有限要素メッシュ生成方法。
【請求項８】前記オーバラップ領域が前記物体面のエ
ッジと交叉していないが、前記物体面の対称的なアクセ
スと交叉して、前記対称的アクセス上の前記オーバラッ
プ領域内にセグメントＭＮを生成するならば、前記新し
い頂点をセグメントＭＮの中間点に配置する請求項６に
記載の有限要素メッシュ生成方法。
【請求項９】前記オーバラップ領域が前記物体面のエ
ッジとも、更に、前記物体面の対称軸おも交叉していな
いならば、前記頂点が、前記対称軸に最も近接している
前記領域上の点に配置される請求項６に記載の有限要素
メッシュ生成方法。