JP7288188B2 - 在庫引当計画の立案装置、方法及びプログラム - Google Patents

Description

本発明は、中間製品に注文を引き当てる在庫引当計画を立案する在庫引当計画の立案装置、方法及びプログラムに関する。

多段の製造工程を経て最終製品を製造する製造工場では、工程と工程の間に中間製品を在庫として保管している。これらの中間製品には、基本的には形状や品質等、客先に要求されるスペックを規定する注文情報が紐付いており、この注文情報に基づいて中間製品に加工が施される。しかし、例えば中間製品の加工途中に設備トラブルによって中間製品に品質劣化が生じ、当該中間製品が現在紐付いている注文情報の要求スペックを満たせなくなる場合がある。このような場合には、一度当該中間製品と注文情報の紐付け関係を解消したのちに、当該中間製品でも要求スペックを満たせるような別の注文を引き当てなければならない。

中間製品に注文を引き当てる計画を在庫引当計画（或いは在庫充当計画）と呼ぶ。在庫引当計画を立案するときには、注文情報の要求スペックを満たす中間製品に注文を引き当てつつ、中間製品に品質ができる限り近い注文を引き当てることが求められる。これによって、形状不合による中間製品の追加加工費や、中間製品の潜在的価値と注文の値差による損失等を減らし、中間製品の価値を最大限まで高めることができる。また、中間製品が在庫として長期滞留すると在庫置き場を圧迫するため、できる限り多くの中間製品に注文を引き当てなければならない。しかし、中間製品に対する注文の引き当ての組み合わせは非常に多い。また、中間製品に求められるスペックには、形状や品質に関わる数多くの制約条件がある。このため、人手による在庫引当計画の立案では時間がかかり、中間製品の価値を最大限まで高めた在庫充当計画を立案することは難しい。さらに、過剰な在庫が置き場を圧迫し、管理コストの増加や製造停止リスクを高める可能性がある。

特許文献１には、オーダの組合せは、設備制約等の制約条件の下、種々の指標を最大或いは最小となるように組合せを決定するため、各種最適化法を用いることが開示されている。また、特許文献１には、新規製造時に設備制約等により余材が発生する場合、将来の余材引き当てを予測し、発生する余材寸法を調整する手法が開示されている。
非特許文献１には、中間製品と注文の引き当て計画最適化問題を、２部グラフマッチング問題として定式化し、メタヒューリスティクスベースの最適化技術を用いて、中間製品と注文の最適な組み合わせを求める手法が開示されている。

特開２００７－２６４６８２号公報

Jayant R. Kalagnanam, Milind W. Dawande, Mark Trumbo, Ho Soo Lee, The Surplus Inventory Matching Problem in the Process, Operations Research, Vol. 48, No. 4, 2000, pp. 505-516.

ここで、在庫引当計画における引当量を増やすためには、中間製品に注文を引き当てやすいように加工を加えることが有効である。例えば比較的サイズの大きい中間製品を分割、加工することで、加工前には引き当てることができなかった比較的サイズの小さい注文を加工後の中間製品に引き当てることが可能となる。ただし、上記例のように中間製品の加工には追加加工費がかかるほか、加工を加えたことによる損失が発生する場合がある。例えば中間製品を切断した場合は、切断部付近の一部が屑となり、歩留まり落ちの原因となる。したがって、在庫引当計画は、引当量を最大化しつつ、中間製品の加工による損失を最小化した計画であることが望ましい。
特許文献１及び非特許文献１では、上記のような中間製品の加工による損失については考慮されていない。

本発明は上記のような点に鑑みてなされたものであり、中間製品の加工による損失を考慮して在庫引当計画を立案できるようにすることを目的とする。

上記の課題を解決するための本発明の要旨は、以下のとおりである。
［１］ 中間製品に注文を引き当てる在庫引当計画を立案する在庫引当計画の立案装置であって、
前記中間製品の形状を含む中間製品の情報、及び要求する形状を含む注文の情報を取り込む入力手段と、
前記中間製品の情報と前記注文の情報とを比較して、引当可否条件に基づいて、当該中間製品と当該注文とが引当可能であるか否か判定する引当可否判定手段と、
引き当て可能な前記中間製品と前記注文との組み合わせに対して、前記中間製品を加工する場合に発生する屑の発生量である屑化量を、前記中間製品に前記注文を引き当てる引当量に応じて計算するための、単位引当量あたりの屑化量である屑化係数を用いて設定され、前記屑化量を抑えつつ、引当量を増やすように目的関数で定式化された最適化問題を求解する求解手段とを備えたことを特徴とする在庫引当計画の立案装置。
［２］ 前記屑化係数は、前記中間製品の端を切断する場合に発生する屑のための屑化係数と、前記中間製品を分割する場合に発生する屑のための屑化係数とを含むことを特徴とする［１］に記載の在庫引当計画の立案装置。
［３］ 前記中間製品は板状であって、その巾が調整可能であり、
前記屑化係数は、前記調整可能な巾に応じて定められた値であることを特徴とする［１］又は［２］に記載の在庫引当計画の立案装置。
［４］ 前記屑化係数を計算する屑化量計算手段をさらに備えることを特徴とする［１］乃至［３］のいずれか一つに記載の在庫引当計画の立案装置。
［５］ 前記目的関数は、引当量に（１－単位引当量あたりの屑化量）を乗じた値の合計を表す関数であることを特徴とする［１］乃至［４］のいずれか一つに記載の在庫引当計画の立案装置。
［６］ 前記引当量及び前記屑化量は重量であることを特徴とする［１］乃至［５］のいずれか一つに記載の在庫引当計画の立案装置。
［７］ 前記最適化問題において、前記引当量と前記屑化量との合計に対する制約条件を設定することを特徴とする［１］乃至［６］のいずれか一つに記載の在庫引当計画の立案装置。
［８］ 前記制約条件に対して妥当不等式を導入することを特徴とする［７］に記載の在庫引当計画の立案装置。
［９］ 製鋼工程で発生する中間製品である余材スラブに注文を引き当てる在庫引当計画を立案することを特徴とする［１］乃至［８］のいずれか一つに記載の在庫引当計画の立案装置。
［１０］ 中間製品に注文を引き当てる在庫引当計画を立案する在庫引当計画の立案方法であって、
前記中間製品の形状を含む中間製品の情報、及び要求する形状を含む注文の情報を取り込む入力ステップと、
前記中間製品の情報と前記注文の情報とを比較して、引当可否条件に基づいて、当該中間製品と当該注文とが引当可能であるか否か判定する引当可否判定ステップと、
引き当て可能な前記中間製品と前記注文との組み合わせに対して、前記中間製品を加工する場合に発生する屑の発生量である屑化量を、前記中間製品に前記注文を引き当てる引当量に応じて計算するための、単位引当量あたりの屑化量である屑化係数を用いて設定され、前記屑化量を抑えつつ、引当量を増やすように目的関数で定式化された最適化問題を求解する求解ステップとを有することを特徴とする在庫引当計画の立案方法。
［１１］ 中間製品に注文を引き当てる在庫引当計画を立案するためのプログラムであって、
前記中間製品の形状を含む中間製品の情報、及び要求する形状を含む注文の情報を取り込む入力手段と、
前記中間製品の情報と前記注文の情報とを比較して、引当可否条件に基づいて、当該中間製品と当該注文とが引当可能であるか否か判定する引当可否判定手段と、
引き当て可能な前記中間製品と前記注文との組み合わせに対して、前記中間製品を加工する場合に発生する屑の発生量である屑化量を、前記中間製品に前記注文を引き当てる引当量に応じて計算するための、単位引当量あたりの屑化量である屑化係数を用いて設定され、前記屑化量を抑えつつ、引当量を増やすように目的関数で定式化された最適化問題を求解する求解手段としてコンピュータを機能させるためのプログラム。

本発明によれば、中間製品の加工による損失を考慮して在庫引当計画を立案することができる。

実施形態に係る在庫引当計画の立案装置の機能構成を示す図である。 実施形態に係る在庫引当計画の立案装置による在庫引当計画の立案方法を示すフローチャートである。 屑が発生する切断を説明するための図である。 実施例における目的関数の値の収束を比較した特性図である。

以下、添付図面を参照して、本発明の好適な実施形態について説明する。
本実施形態では、製鉄業における製鋼工程で発生する中間製品である余材スラブ（以下、単にスラブとも呼ぶ）に注文を引き当てるプロセスに対して本発明を適用する例を説明する。
図１に、実施形態に係る在庫引当計画の立案装置１００の機能構成を示す。在庫引当計画の立案装置１００は、スラブに注文を引き当てる在庫引当計画を立案するものであり、以下に述べるように、最適化問題を設定、求解することにより、スラブに注文を引き当てる重量である引当量を求める。
在庫引当計画の立案装置１００は、入力部１０１と、引当可否判定部１０２と、屑化量計算部１０３と、制約条件設定部１０４と、目的関数設定部１０５と、求解部１０６と、判定部１０７と、出力部１０８とを備える。

入力部１０１は、データベース２００から、在庫引当計画を立案する上で必要となるデータを取り込む。具体的には、スラブの情報と、注文の情報とを取り込む。スラブの情報には、スラブ毎にスラブ材質、品質、形状が含まれる。また、注文の情報には、注文毎に、注文が要求する注文材質、注文が要求する品質、注文が要求する形状、引当条件に関する情報が含まれる。

引当可否判定部１０２は、スラブの情報と注文の情報を比較して、引当可否条件に基づいて、当該スラブと当該注文が引当可能であるか否か判定する。一つのスラブに対して複数の注文が引当可能な場合もあれば、スラブに引当可能な注文が存在しない場合もある。また、引当可否判定部１０２では、引当可否条件の設定を変更することもできる。

屑化量計算部１０３は、引当可否判定部１０２で引当可能と判定されたスラブと注文の組み合わせに対して、スラブを切断する場合に発生する屑の発生量である屑化量（重量）を計算する。詳細は後述するが、スラブの端を切断する場合に発生する屑と、スラブを分割する場合に発生する屑とについて、単位引当量あたりの屑化量を計算する。以下、単位引当量あたりの屑化量を、屑化係数と呼ぶ。

制約条件設定部１０４は、入力部１０１で取り込んだデータ、及び屑化量計算部１０３で計算した屑化係数を用いて、引当量を求める最適化問題の制約条件を設定する。
目的関数設定部１０５は、決定変数である引当量、及び屑化量計算部１０３で計算した屑化係数を用いて、引当量を求める最適化問題の目的関数を設定する。目的関数は、その最大化により、屑の発生を許容するが屑化量を抑えつつ、引当量を増やすように設定される。
なお、本実施形態では、制約条件設定部１０４及び目的関数設定部１０５が、本発明でいう最適化問題設定手段として機能する。

求解部１０６は、制約条件設定部１０４及び目的関数設定部１０５で設定した最適化問題（以下、在庫引当計画問題と呼ぶ）を求解する。

判定部１０７は、求解部１０６による求解結果が妥当であるか否かを判定する。求解結果が妥当である場合、当該求解結果を確定する。求解結果が妥当でない場合、入力部１０１で取り込むデータや、引当可否判定部１０２で設定する引当可否条件を変更して、屑化量計算部１０３、制約条件設定部１０４、目的関数設定部１０５及び求解部１０６による在庫引当計画問題の設定、求解を繰り返す。

出力部１０８は、判定部１０７で妥当であると判定された求解結果を出力装置１１０に送信する。

データベース２００は、在庫引当計画を立案する上で必要となるデータとして、スラブの情報と、注文の情報とを格納する。なお、本実施形態では、データベース２００からデータを取り込む例を示したが、それ以外にも、例えばネットワークを介して外部機器からデータを取り込んだり、ユーザが直接入力したデータを取り込んだりする形態であってもよい。

入力装置１０９は、ユーザが情報を入力するための手段であり、ポインティングデバイスやキーボード等である。
出力装置１１０は、出力部１０８から送信された求解結果を出力するディスプレイ等の表示装置である。なお、出力装置１１０は、音声情報を出力するスピーカ等の音声出力装置等や、出力部１０８から送信された求解結果を不図示の記憶領域に保存、登録する記憶装置等であってもよい。

次に、在庫引当計画の立案装置１００による在庫引当計画の立案方法を説明する。
図２は、実施形態に係る庫引当計画の立案装置１００による在庫引当計画の立案方法を示すフローチャートである。
ステップＳ１において、入力部１０１は、データベース２００から、スラブの情報と、注文の情報とを取り込む。表１に、スラブの情報の例を示す。スラブＩＤ毎に、スラブ材質、品質（スラブ特性値）、形状（スラブ巾、スラブ単重、スラブ長さ）が紐付けられている。また、表２に、注文の情報の例を示す。注文ＩＤ毎に、注文が要求する注文材質、注文が要求する品質（注文特性値）、注文が要求する形状（注文巾）、引当条件に関する情報（注文投入量、引当量の上下限値）が紐付けられている。なお、スラブ特性値及び注文特性値は、点数の高い方が品質として優れていることを意味する。

ステップＳ２において、引当可否判定部１０２は、スラブの情報と注文の情報を比較して、引当可否条件に基づいて、当該スラブと当該注文が引当可能であるか否か判定する。表３に、引当可否条件の例を示す。本実施形態では、例えばスラブ巾が注文巾よりも大きく、スラブ巾と注文巾の差（以下、巾差と称する）が８００［ｍｍ］以内で、スラブ特性値１、２が注文特性値１、２よりも優れていれば、引当可能であるとする。なお、引当可否条件は、表３に示す条件に限られるものではない。例えばある特定のスラブ材質に対して引当可能な注文材質の集合を定義して、その集合に含まれない注文材質は当該スラブに引き当てることができない条件を設定してもよい。

ステップＳ３において、屑化量計算部１０３は、ステップＳ２で引当可能と判定されたスラブと注文の組み合わせに対して、スラブを切断する場合に発生する屑の発生量である屑化量（重量）を計算する。
余材スラブは、注文の引当後に、スラブ巾が調整され、下工程である熱延工程において熱延コイルに加工される。熱延工程で圧延する前には、スラブ巾を注文巾に合うように調整しなければならない。この調整は、サイジングプレス機等の加工機を用いて行うのが一般的である。しかしながら、サイジングプレスで圧下可能な巾は、スラブの硬さ等の材質によって上限制約がある。このため、上限制約以上に巾差があるスラブと注文を紐付けるためには、下工程に余材スラブを投入する前に、余材スラブを長手方向に沿って切断して巾を調整しなければならない。この場合に、余材スラブを切断すると屑が発生するため、できる限り屑が発生しないようなスラブと注文の組み合わせを求める必要がある。なお、本実施形態では、サイジングプレスで圧下可能な巾の上限制約はすべてのスラブで３００［ｍｍ］と仮定した。

ここで、一般に鉄鋼業において、スラブに注文を引き当てる重量である引当量は固定されていない。例えば最終製品である冷延コイルの重量の狙い値は１２トンだが、±２トンの誤差は許す等、引当量にマージンが設けられていることが多い。上記の場合、スラブに引き当てる注文の重量は、下限を１０トン、上限を１４トンとして引当計画を立案すればよい。すなわち、表２に示すように、引当量の上下限値、つまり一定のマージンが与えられている状況下における在庫引当計画の立案しなければならない。

本実施形態では、スラブに注文を引き当てる重量である引当量にマージンが存在し、可変である場合に対しても、屑の発生を許容するが屑化量を抑えつつ、引当量を増やすように在庫引当計画を立案する。
本願発明者は、引当量が可変であるときに、スラブに注文を引き当てたときの屑化量を計算するためには、引当量に比例して屑化量が計算可能なモデルの構築が必要であると考えた。そして、このモデル構築のためには、引当可能と判定されたスラブと注文の組み合わせに対して、単位引当量あたりの屑化量、つまり屑化係数として与えることが有効であることを見出した。これにより、引当量及び屑化量を同時に最適化する最適化問題を構築することができる。

本実施形態では、屑が発生する切断として、図３（ａ）、（ｂ）に示す二通りの切断を想定する。
一つ目は、図３（ａ）に示すように、スラブ３０１の端を長手方向に沿って切断するケースである。このケースでは、切断されたスラブの端片は屑３０２となる。本実施形態において、この屑を切断屑と呼ぶ。
二つ目は、図３（ｂ）に示すように、巾が広いスラブ３０１の中央部を長手方向に沿って切断して、二枚のスラブ３０１－１、３０１－２に分割した後に、各スラブ３０１－１、３０１－２に注文を引き当てるケースである。図３（ｂ）に示すように、分割後のスラブ３０１－１、３０１－２には、異なる注文ｗ_i1、ｗ_i2が引き当てられることがある。このケースでは、中央部の切断代が屑３０３となる。本実施形態において、この屑を分割屑と呼ぶ。また、本実施形態において、切断代はすべてのスラブ一律で１０［ｍｍ］と仮定した。
なお、一枚のスラブを二枚のスラブに分割した後に、さらに、そのスラブの端を長手方向に沿って切断して、注文を引き当てるケースでは、切断屑が発生する。
また、実業務ではスラブを長手方向に沿って三分割や四分割する状況も少なからず存在するが、切断屑、分割屑の発生割合に比べて十分少ないため、解の最適性に大きな影響を及ぼすことはない。また、後述する本実施形態における定式化手法を用いれば、三分割や四分割したスラブも同様の手法で定式化可能である。

以下、屑化係数の計算について具体的に説明する。
（集合の定義）
Ｉ：注文の集合
Ｊ：スラブの集合
Ｓ：Ｓ＝｛０、１、２｝ ０：分割なし、１：分割後一本目、２：分割後二本目

注文の集合をｉ∈Ｉ、スラブの集合をｊ∈Ｊとする。また、スラブを分割しないケースと、分割するケースとそれぞれに対して、屑化係数を定義するために、スラブの分割有無を表すフラグＳ｛０、１、２｝を与える。Ｓ＝０は分割しないケースを表す。Ｓ＝１、２は分割するケースを表し、Ｓ＝１が分割後一本目のスラブを、Ｓ＝２が分割後二本目のスラブを表す。

（定数の定義）
δｗ：サイジングプレスによって調整可能な巾（本例ではδｗ＝３００［ｍｍ］）
γ：分割時の切断代
ｗ^S _j：スラブｊのスラブ巾
ｗ_i：注文ｉの注文巾
ｍ^S _ij：スラブｊに注文ｉを引き当てるときの屑化係数

サイジングプレスによって調整可能な巾をδｗ［ｍｍ］、一枚のスラブを二枚に分割したときに発生する中央部の切断代（分割屑の巾）をγ［ｍｍ］とする。この切断代γは、図３（ｂ）に示すように、分割後のそれぞれのスラブに均等に付与される。屑化係数ｍ^S _ijは、スラブを分割しないケースでは、式（１０１）で与えられる。また、屑化係数ｍ^S _ijは、分割するケースでは、式（１０２）で与えられる。

式（１０１）に示すように、スラブを分割しないケースでは、巾差に応じて、切断屑の発生有無を判定して、屑化係数ｍ^S _ijを計算する。
巾差が調整可能巾δｗ以下である場合（ｗ^S _j－ｗ_i≦δｗ）、サイジングプレスによって巾差を調整可能であるため、切断屑は発生しない。一方、巾差が調整可能巾δｗを超える場合（ｗ^S _j－ｗ_i＞δｗ）、サイジングプレスだけでは巾差を調整不能であるため、切断屑が発生する。
本実施形態において、スラブの端を切断する巾は、巾差から、調整可能巾δｗを引いた巾だけであるとする（ｗ^S _j－ｗ_i－δｗ）。例えばスラブ巾１５００［ｍｍ］の余材スラブに、注文巾１１００［ｍｍ］の注文を引き当てる場合、余材スラブは端１００［ｍｍ］を切断し、スラブ巾１４００［ｍｍ］の余材スラブとしてから下工程に搬送される。このように、巾差を、サイジングプレスによって調整可能な巾差、つまりδｗになるように調整すれば、切断屑を可能な限り抑えることができる。
単位引当量あたりの切断屑化量は、スラブの密度が均一であると仮定して、スラブの端を切断する巾（ｗ^S _j－ｗ_i－δｗ）を注文巾ｗ_iで割った値で与える。例えばスラブ巾１５００［ｍｍ］の余材スラブに、注文巾１１００［ｍｍ］の注文を引き当てする場合、余材スラブは端１００［ｍｍ］を切断しなければならない。したがって、屑化係数ｍ^S _ijは、（１５００－１１００－３００）／１１００＝１／１１となる。例えばこのスラブに１０［トン］の注文を割り当てる場合、その切断屑化量は（１／１１）×１０≒０．９［トン］となる。

式（１０２）に示すように、スラブを分割するケースでは、分割後のスラブについての巾差に応じて、分割屑だけの発生か、分割屑及び切断屑の発生かを判定して、屑化係数ｍ^S _ijを計算する。
巾差が調整可能巾δｗ以下である場合（ｗ^S _j－ｗ_i≦δｗ）、サイジングプレスによって巾差を調整可能であるため、分割屑だけが発生する。一方、巾差が調整可能巾δｗを超える場合（ｗ^S _j－ｗ_i＞δｗ）、サイジングプレスだけでは巾差を調整不能であるため、分割屑及び切断屑が発生する。
単位引当量あたりの分割屑化量は、中央部の切断代γを注文巾ｗ_iで割った値で与える。
また、単位引当量あたりの分割及び切断屑化量は、スラブの端を切断する巾（ｗ^S _j－ｗ_i－δｗ）と中央部の切断代γを足し合わせたものを注文巾ｗ_iで割った値で与える。

ステップＳ４において、制約条件設定部１０４は、ステップＳ１で取り込んだデータ、及びステップＳ３で計算した屑化係数ｍ^S _ijを用いて、在庫引当計画問題の制約条件を設定する。
本実施形態では、在庫引当計画問題として、切断屑及び分割屑を考慮した最適化問題である混合整数計画問題を定式化する。
（集合の定義）
Ｉ：注文の集合
Ｊ：スラブの集合
Ｎ^S _i：注文ｉに引き当て可能なスラブの集合
Ｎ^S _j：スラブｊに引き当て可能な注文の集合
Ｃ_j：スラブｊに引き当て可能な色（下工程製造種類）の集合
Ｓ：Ｓ＝｛０、１、２｝ ０：分割なし、１：分割後一本目、２：分割後二本目

スラブｊに引き当て可能な色（下工程製造種類）の集合Ｃ_jは、スラブの材質、巾帯等からグループを作成し、グループ毎に色を設定する。本問題では、スラブの分割は一度だけしか行われないと仮定する。また、スラブは、分割しないか、分割するかのいずれか一方しか選べない。

（決定変数の定義）
ｘ^S _ij：スラブｊに注文ｉを引き当てる重量である引当量
ｚ^S _ij：１ スラブｊに注文ｉを引き当てる
０ その他
ｙ^SC _j：１ スラブｊに色Ｃを引き当てる
０ その他
ｈ_j：１ スラブｊを分割する
０ スラブｊを分割しない
ｏ^S _ij：スラブｊへの注文ｉの引当回数

引当量ｘ^S _ijは、スラブｊに注文ｉを引き当てる重量である引当量を表す連続変数であり、フラグＳのスラブｊに注文ｉが何トン引き当てられたかを表す。ｚ^S _ijは、フラグＳのスラブｊに注文ｉを引き当てた場合は１をとり、それ以外は０をとる０－１変数である。ｙ^SC _jは、フラグＳのスラブｊに色Ｃを引き当てた場合は１をとり、それ以外は０をとる０－１変数である。ｈ_jは、スラブｊを分割するか、分割しないかを表し、スラブを分割するケースは１をとり、それ以外は０をとる。

（入力パラメータ）
ａ_i：注文ｉの投入量
ｂ^S _j：スラブｊのスラブ単重
Ｃ（ｉ）：注文ｉの色（下工程製造種類）
ｄ：１スラブに引当可能な色の上限数
ｅ：１スラブに引当可能な重量の下限値
Ｍ：大きな値
ｍ^S _ij：スラブｊに注文ｉを引き当てるときの屑化係数
Ｔ^L _i：注文ｉの引当量の下限値
Ｔ^H _i：注文ｉの引当量の上限値

注文ｉには、投入量ａ_i以上のスラブを引き当てることができない。スラブｊには、スラブ単重ｂ^S _j以上の注文を引き当てることができない。分割後のスラブ単重ｂ^S _jは、元のスラブ単重を単純に２分割してもよいし、実績にあわせて適当な割合で分割してもよい。今回の検討では、分割後の重量はすべて元の単重の１／２になるものと取り扱う。

以上の集合、決定変数、入力パラメータを用いて、切断屑及び分割屑を考慮した在庫引当計画問題の制約条件は、式（１）～式（１３）のように表される。

制約条件（１）は、引当量の合計が注文の投入量以下であるとの上限制約を規定する。
制約条件（２）は、引当量と屑化量の合計がスラブ単重以下であるとの上限制約を規定する。
制約条件（３）は、下工程負荷制約であり、下工程で切断が必要になる注文の種類はｄ個以下であることを規定する。
制約条件（４）は、最小紐付け制約であり、スラブに注文を引き当てる場合、最適ｅトン以上引き当てることを規定する。
制約条件（５）は、スラブを分割するかしないかを判定するための変数を規定する。ｚ⁰ _ijが１である場合、スラブを切断しないので、ｈ_j＝０となることを規定する。
制約条件（６）も同様に、ｚ¹ _ijが１である場合、スラブを切断するので、ｈ_j＝１となることを規定する。
制約条件（７）も同様に、ｚ² _ijが１である場合、スラブを切断するので、ｈ_j＝１となることを規定する。
制約条件（８）、（９）は、変数間の整合性を取るための制約である。
制約条件（１０）～（１２）は、各変数の取りうる範囲を規定する。
制約条件（１３）は、引当量は、引当量の上下限値の整数倍に収まっていることを規定する。

ここで、制約条件（２）は、計算を高速化するために、以下のような定式化であってもよい。
まず、ｈ_jは０－１変数であり、ｘ⁰ _ij＞０∀ｉ，ｊのとき、ｈ_j＝０が成り立つ。したがって、Ｓ＝０のとき、スラブに対する紐付け条件に対して、式（１４）の不等式が成立する。よって、スラブに対する紐付け条件は、Ｓ＝０のとき、式（１５）の不等式で置換することができる。

同様に、ｘ^1、2 _ij＞０∀ｉ，ｊのとき、ｈ_j＝１が成り立つ。したがって、Ｓ＝１、２のとき、スラブに対する紐付け条件に対して、式（１６）の不等式が成立する。よって、スラブに対する紐付け条件は、Ｓ＝１、２のとき、式（１７）不等式で置換することができる。

このような不等式は、妥当不等式と呼ばれ、元の制約条件を内包する制約条件となる。最適化問題に対して妥当不等式を導入することで、計算時間を短縮化させることができる。

ステップＳ５において、目的関数設定部１０５は、引当量ｘ^S _ij、及びステップＳ３で計算した屑化係数ｍ^S _ijを用いて、在庫引当計画問題の目的関数を設定する。
目的関数は、式（１８）のように、屑の発生を許容するが屑化量を抑えつつ、引当量を増やすように在庫引当計画を立案するために、引当量ｘ^S _ijに（１－屑化係数ｍ^S _ij）を乗じた値の合計を表す関数であり、それを最大化するものとなっている。
なお、式（１８）の目的関数は一例であり、その最大化又は最小化により、屑の発生を許容するが屑化量を抑えつつ、引当量を増やすように設定されるものであれば、限られるものではない、

ステップＳ６において、求解部１０６は、ステップＳ４及びステップＳ５で設定した在庫引当計画問題を求解する。

ステップＳ７において、判定部１０７は、ステップＳ６による求解結果が妥当であるか否かを判定する。例えば求解部１０６で得られた在庫引当計画の引当量や屑化量の合計値と、当該工程において月次や日時の目標として設定された引当量や屑化量の計画値の値を比較し、乖離の有無を判定することにより、妥当であるか否かを判定する。求解結果が妥当である場合、当該求解結果を確定する。求解結果が妥当でない場合、ステップＳ１に戻り、入力部１０１で取り込むデータや、引当可否判定部１０２で設定する引当可否条件を変更して、再立案する。

ステップＳ８において、出力部１０８は、ステップＳ７で妥当であると判定された求解結果を出力装置１１０に出力する。

以上述べたように、異なる品質や形状を持つスラブに注文を引き当てるプロセスにおいて、スラブの切断による屑発生の損失を考慮して在庫引当計画を立案することができる。具体的には、スラブの端を切断する場合に発生する屑と、スラブを分割する場合に発生する屑とを考慮して、制約条件を満たし、かつ、屑の発生を許容するが屑化量を抑えつつ、引当量を増やすように在庫引当計画を立案することができる。

［実施例１］
実施例１では、実施形態の手法（本手法と呼ぶ）と、切断屑及び分割屑の発生を許容しない比較手法とを比較した。なお、１スラブに引当可能な色の上限数ｄ＝１とした。また、１スラブに引当可能な重量の下限値ｅ＝５［トン］とした。また、切断代γを１０［ｍｍ］、サイジングプレスによって調整可能な巾δｗを３００［ｍｍ］とした。
本手法での引当可否条件は、表３に示したとおりである。
比較手法での引当可否条件を、表４に示す。スラブ巾が注文巾よりも大きく、スラブ特性値１、２が注文特性値１、２よりも優れていれば、引当可能であるとする点は本手法と同様であるが、スラブ巾と注文巾の差は３００［ｍｍ］以内として与えられているため、切断屑及び分割屑を許容した引き当ては行われない。

表５は、本手法と、比較手法とで最適化を行った結果である。表５に示すように、本手法では、切断屑及び分割屑を考慮することによって、余剰重量が減り、引当量が増えている結果が得られている。屑化量については、切断屑及び分割屑を許容しない比較手法と比べると増えることになるが、屑化量は十数トン程度に抑えられており、本手法の方が優位な結果が得られている。これは、切断屑や分割屑を許容したことにより、在庫引当計画の自由度が大きく増え、屑化量をできるだけ抑え、引当量を増やすことのできる最適化が実現できるようになったからといえる。

［実施例２］
実施例２では、制約条件（２）のまま在庫引当計画問題を求解した場合と、式（１４）～式（１７）の妥当不等式を導入して在庫引当計画問題を求解した場合とを比較した。
図４に、妥当不等式を導入した場合と、導入しない場合の目的関数の値の収束を比較した結果を示す。４０１が妥当不等式を導入した場合の特性線を、４０２が導入しない場合の特性線である。図４に示すように、妥当不等式を導入した方が解の収束が早いことがわかる。このように最適化問題に対して妥当不等式を導入することで、計算時間を短縮化させることができる。

以上、本発明を実施形態と共に説明したが、上記実施形態は本発明を実施するにあたっての具体化の例を示したものに過ぎず、これらによって本発明の技術的範囲が限定的に解釈されてはならないものである。すなわち、本発明はその技術思想、又はその主要な特徴から逸脱することなく、様々な形で実施することができる。例えば、上記実施形態では、製鋼工程で発生したスラブ（余材スラブ）を中間製品として、これに注文を引き当てる例を説明しているが、注文に引き当てる中間製品としては、スラブに限定されず、ビレット、ブルーム等の鋳片も含まれる。
また、本発明を適用した在庫引当計画の立案装置は、例えばＣＰＵ、ＲＯＭ、ＲＡＭ等を備えたコンピュータ装置により実現される。なお、本発明を適用した在庫引当計画の立案装置は、単体のコンピュータ装置で構成されることに限られず、例えば複数のコンピュータ装置が協働して在庫引当計画の立案装置として機能するような形態としてもよい。
また、本発明は、本発明の機能を実現するソフトウェア（プログラム）を、ネットワーク又は各種記憶媒体を介してシステム或いは装置に供給し、このシステム或いは装置のコンピュータがプログラムを読み出して実行することによっても実現可能である。

１００：在庫引当計画の立案装置
１０１：入力部
１０２：引当可否判定部
１０３：屑化量計算部
１０４：制約条件設定部
１０５：目的関数設定部
１０６：求解部
１０７：判定部
１０８：出力部

Claims (11)

1. 中間製品に注文を引き当てる在庫引当計画を立案する在庫引当計画の立案装置であって、
   前記中間製品の形状を含む中間製品の情報、及び要求する形状を含む注文の情報を取り込む入力手段と、
   前記中間製品の情報と前記注文の情報とを比較して、引当可否条件に基づいて、当該中間製品と当該注文とが引当可能であるか否か判定する引当可否判定手段と、
   引き当て可能な前記中間製品と前記注文との組み合わせに対して、前記中間製品を加工する場合に発生する屑の発生量である屑化量を、前記中間製品に前記注文を引き当てる引当量に応じて計算するための、単位引当量あたりの屑化量である屑化係数を用いて設定され、前記屑化量を抑えつつ、引当量を増やすように目的関数で定式化された最適化問題を求解する求解手段とを備えたことを特徴とする在庫引当計画の立案装置。
2. 前記屑化係数は、前記中間製品の端を切断する場合に発生する屑のための屑化係数と、前記中間製品を分割する場合に発生する屑のための屑化係数とを含むことを特徴とする請求項１に記載の在庫引当計画の立案装置。
3. 前記中間製品は板状であって、その巾が調整可能であり、
   前記屑化係数は、前記調整可能な巾に応じて定められた値であることを特徴とする請求項１又は２に記載の在庫引当計画の立案装置。
4. 前記屑化係数を計算する屑化量計算手段をさらに備えることを特徴とする請求項１乃至３のいずれか１項に記載の在庫引当計画の立案装置。
5. 前記目的関数は、引当量に（１－単位引当量あたりの屑化量）を乗じた値の合計を表す関数であることを特徴とする請求項１乃至４のいずれか１項に記載の在庫引当計画の立案装置。
6. 前記引当量及び前記屑化量は重量であることを特徴とする請求項１乃至５のいずれか１項に記載の在庫引当計画の立案装置。
7. 前記最適化問題において、前記引当量と前記屑化量との合計に対する制約条件を設定することを特徴とする請求項１乃至６のいずれか１項に記載の在庫引当計画の立案装置。
8. 前記制約条件に対して妥当不等式を導入することを特徴とする請求項７に記載の在庫引当計画の立案装置。
9. 製鋼工程で発生する中間製品である余材スラブに注文を引き当てる在庫引当計画を立案することを特徴とする請求項１乃至８のいずれか１項に記載の在庫引当計画の立案装置。
10. 中間製品に注文を引き当てる在庫引当計画を立案する在庫引当計画の立案方法であって、
    前記中間製品の形状を含む中間製品の情報、及び要求する形状を含む注文の情報を取り込む入力ステップと、
    前記中間製品の情報と前記注文の情報とを比較して、引当可否条件に基づいて、当該中間製品と当該注文とが引当可能であるか否か判定する引当可否判定ステップと、
    引き当て可能な前記中間製品と前記注文との組み合わせに対して、前記中間製品を加工する場合に発生する屑の発生量である屑化量を、前記中間製品に前記注文を引き当てる引当量に応じて計算するための、単位引当量あたりの屑化量である屑化係数を用いて設定され、前記屑化量を抑えつつ、引当量を増やすように目的関数で定式化された最適化問題を求解する求解ステップとを有することを特徴とする在庫引当計画の立案方法。
11. 中間製品に注文を引き当てる在庫引当計画を立案するためのプログラムであって、
    前記中間製品の形状を含む中間製品の情報、及び要求する形状を含む注文の情報を取り込む入力手段と、
    前記中間製品の情報と前記注文の情報とを比較して、引当可否条件に基づいて、当該中間製品と当該注文とが引当可能であるか否か判定する引当可否判定手段と、
    引き当て可能な前記中間製品と前記注文との組み合わせに対して、前記中間製品を加工する場合に発生する屑の発生量である屑化量を、前記中間製品に前記注文を引き当てる引当量に応じて計算するための、単位引当量あたりの屑化量である屑化係数を用いて設定され、前記屑化量を抑えつつ、引当量を増やすように目的関数で定式化された最適化問題を求解する求解手段としてコンピュータを機能させるためのプログラム。

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