JP6806034B2 - 非線形計画問題の求解方法、配合計画の作成方法、およびこれらのコンピュータプログラム、記録媒体、装置、ならびに配合操業方法 - Google Patents
非線形計画問題の求解方法、配合計画の作成方法、およびこれらのコンピュータプログラム、記録媒体、装置、ならびに配合操業方法 Download PDFInfo
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Description
本発明は、非線形性を持つ変数を一つ以上含む非線形計画問題の求解を行う非線形計画問題の求解方法およびそのコンピュータプログラム、記録媒体、求解装置に関するものである。
また、本発明は、制約条件を満たした上で目的関数が最適となる原料の配合割合を計画する、配合計画の作成方法およびそのコンピュータプログラム、記録媒体、配合操業方法、作成装置に関するものである。
また、本発明は、制約条件を満たした上で目的関数が最適となる原料の配合割合を計画する、配合計画の作成方法およびそのコンピュータプログラム、記録媒体、配合操業方法、作成装置に関するものである。
数理最適化は、最適化問題とも呼ばれ、制約条件の下で得られる特定の集合上で定義された目的関数について、その値が最大或いは最小となる状態を解析する問題である。鉄鋼を初めとする多くの産業において、例えば商品の製造コストを目的関数として最小化することは極めて重要である。
最適化問題は、線形計画問題（以下、LPとも略記）と非線形計画問題（以下、NLPとも略記）に２分でき、前者は制約条件および目的関数ともに線形関数であり、後者は制約条件あるいは目的関数の少なくともいずれかが非線形関数（例えば、２次以上の項を持つ関数）を含むものである。
線形計画問題は、1963年のDanzigによるシンプレックス法の提案に始まり、その問題に適した高速解法が提案されており、多数の汎用ソルバの適用が可能である。
しかしながら、非線形計画問題を厳密に解くことは非常に困難であり、線形近似処理を行ったり、近似解法を用いて解くことが主流である。例えば、特許文献１では、制約式及び目的関数が非線形式で与えられる場合でも、それをベクトル変数として探索を実施した。
しかしながら、特許文献１は、ベクトル変数の探索を粒子群最適化などの多点探索法を適用して行っており、無駄な計算を多数実行していたため、計算速度に課題があった。
本発明は、このような従来の問題に鑑みてなされたものであり、計算に用いるベクトル変数の解を取捨選択し、高速計算を可能にした非線形計画問題の求解方法、そのコンピュータプログラム、記録媒体、求解装置を提供することを目的とする。
また、近年、製鉄プロセスでは、各工程における生産計画、物流計画の最適化・立案自動化が進められている。原料工程には、原料を積載した船舶から荷役した原料をどのヤードに積み付けるかを決めるヤード配置問題、ヤードやパイル上の原料をどのベルトコンベア系列を用いていつ払い出すかを決める原料搬送問題、高炉に装入する原料配合問題などの計画問題がある。
かかる原料配合問題の一つに鉱石配合問題がある。この鉱石配合問題は、高炉の要求する性状制約などの制約条件を満たした上でコスト最小となるような各銘柄の配合割合を考える問題である。
これに対して、特許文献１では、生産物の性状と製造設備の能力とに関する制約を守り、原材料の購買並びに製造に掛るコストを最小化する原材料の購買及び使用計画を作成する際に、制約式及び目的関数が非線形式で与えられる場合でも、それをベクトル変数として探索を実施した。
しかしながら、特許文献１は、ベクトル変数の探索を粒子群最適化などの多点探索法を適用して行っており、無駄な計算を多数実行していたため、計算速度に課題があった。
そこで、本発明は、計算に用いるベクトル変数の解を取捨選択し、高速計算を可能にした配合計画の作成方法、そのコンピュータプログラム、記録媒体、配合操業方法、作成装置を提供することを目的とする。
上記課題は、以下に示す本発明によって解決できる。
［１］非線形項を一つ以上含む非線形計画問題を解く非線形計画問題の求解方法であって、
前記非線形項に含まれる一部の項または数式を新たな変数として定め、前記非線形計画問題の記述を変更し、前記新たな変数を一次元以上のベクトル変数として定義する変数のベクトル化ステップと、
前記ベクトル変数の初期解を複数個作成するベクトル変数の初期解作成ステップと、
前記新たな変数として定めた前記非線形項に含まれる一部の項または数式と前記複数の初期解から前記非線形計画問題を線形変数を用いた複数の線形計画問題として定式化する線形計画問題の定式化ステップと、
該線形計画問題の定式化ステップで定式化された複数の線形計画問題の解をそれぞれ求める線形計画問題の求解ステップと、
該線形計画問題の求解ステップで求められた、複数個の前記ベクトル変数の解それぞれに対する目的関数を評価し、前記ベクトル変数の解を改変する、ベクトル変数の解改変ステップと、
ベクトル変数の解を複数のグループに分け、各グループ内でその後の計算に用いるベクトル変数の解を取捨選択する、計算高速化のためのベクトル変数の解の取捨選択ステップと、を有し、
前記ベクトル変数の解改変ステップで改変されたそれぞれの前記ベクトル変数の解を用いて、前記線形計画問題の定式化ステップ、前記線形計画問題の求解ステップ、および前記ベクトル変数の解改変ステップを繰り返して、前記非線形計画問題を求解し、
前記繰り返しの途中で、ベクトル変数の解改変ステップの後に、適宜にベクトル変数の解の取捨選択ステップを行ってから前記線形計画問題の定式化ステップを行うことで前記非線形計画問題の求解を高速化することを特徴とする非線形計画問題の求解方法。
［２］上記［１］に記載の非線形計画問題の求解方法において、
前記ベクトル変数の解改変ステップは、前記目的関数の最小化または最大化を志向しつつ実行可能な前記ベクトル変数を探索することを特徴とする非線形計画問題の求解方法。
［３］上記［１］または［２］に記載の非線形計画問題の求解方法を実行することを特徴としたコンピュータプログラム。
［４］上記［３］に記載のコンピュータプログラムを記録し読み取り可能としたことを特徴とする記録媒体。
［５］非線形項を一つ以上含む非線形計画問題を解く非線形計画問題の求解装置であって、
対象とする変数、目的関数、制約条件、計画期間、終了条件、ベクトル変数の初期解の個数といった入力データを取り込む入力データの取り込み手段と、
該入力データの取り込み手段で取り込んだ入力データをもとに、前記非線形計画問題の最適解を得る非線形計画問題の求解手段と、
前記最適解を計画結果として出力する計画の出力手段とを具備し、
前記非線形計画問題の求解手段では、
前記非線形項に含まれる一部の項または数式を新たな変数として定め、前記非線形計画問題の記述を変更し、前記新たな変数を一次元以上のベクトル変数として定義する変数のベクトル化処理と、
前記ベクトル変数の初期解を複数個作成するベクトル変数の初期解作成処理と、
前記新たな変数として定めた前記非線形項に含まれる一部の項または数式と前記複数の初期解から前記非線形計画問題を線形変数を用いた複数の線形計画問題として定式化する線形計画問題の定式化処理と、
該線形計画問題の定式化処理で定式化された複数の線形計画問題の解をそれぞれ求める線形計画問題の求解処理と、
該線形計画問題の求解処理で求められた、複数個の前記ベクトル変数の解それぞれに対する目的関数を評価し、前記ベクトル変数の解を改変する、ベクトル変数の解改変処理と、を行い、
該ベクトル変数の解改変処理で改変されたそれぞれの前記ベクトル変数の解を用いて、前記線形計画問題の定式化処理、前記線形計画問題の求解処理、および前記ベクトル変数の解改変処理を繰り返して、前記非線形計画問題の最適解を求解し、
前記繰り返しの途中で、ベクトル変数の解改変処理の後に、
適宜に、ベクトル変数の解を複数のグループに分け、各グループ内でその後の計算に用いるベクトル変数の解を取捨選択する、計算高速化のためのベクトル変数の解の取捨選択処理を行ってから、前記線形計画問題の定式化処理を行うことで前記非線形計画問題の最適解の求解を高速化することを特徴とする非線形計画問題の求解装置。
［６］上記［５］に記載の非線形計画問題の求解装置において、
前記ベクトル変数の解改変処理は、前記目的関数の最小化または最大化を志向しつつ実行可能な前記ベクトル変数を探索することを特徴とする非線形計画問題の求解装置。
前記非線形項に含まれる一部の項または数式を新たな変数として定め、前記非線形計画問題の記述を変更し、前記新たな変数を一次元以上のベクトル変数として定義する変数のベクトル化ステップと、
前記ベクトル変数の初期解を複数個作成するベクトル変数の初期解作成ステップと、
前記新たな変数として定めた前記非線形項に含まれる一部の項または数式と前記複数の初期解から前記非線形計画問題を線形変数を用いた複数の線形計画問題として定式化する線形計画問題の定式化ステップと、
該線形計画問題の定式化ステップで定式化された複数の線形計画問題の解をそれぞれ求める線形計画問題の求解ステップと、
該線形計画問題の求解ステップで求められた、複数個の前記ベクトル変数の解それぞれに対する目的関数を評価し、前記ベクトル変数の解を改変する、ベクトル変数の解改変ステップと、
ベクトル変数の解を複数のグループに分け、各グループ内でその後の計算に用いるベクトル変数の解を取捨選択する、計算高速化のためのベクトル変数の解の取捨選択ステップと、を有し、
前記ベクトル変数の解改変ステップで改変されたそれぞれの前記ベクトル変数の解を用いて、前記線形計画問題の定式化ステップ、前記線形計画問題の求解ステップ、および前記ベクトル変数の解改変ステップを繰り返して、前記非線形計画問題を求解し、
前記繰り返しの途中で、ベクトル変数の解改変ステップの後に、適宜にベクトル変数の解の取捨選択ステップを行ってから前記線形計画問題の定式化ステップを行うことで前記非線形計画問題の求解を高速化することを特徴とする非線形計画問題の求解方法。
［２］上記［１］に記載の非線形計画問題の求解方法において、
前記ベクトル変数の解改変ステップは、前記目的関数の最小化または最大化を志向しつつ実行可能な前記ベクトル変数を探索することを特徴とする非線形計画問題の求解方法。
［３］上記［１］または［２］に記載の非線形計画問題の求解方法を実行することを特徴としたコンピュータプログラム。
［４］上記［３］に記載のコンピュータプログラムを記録し読み取り可能としたことを特徴とする記録媒体。
［５］非線形項を一つ以上含む非線形計画問題を解く非線形計画問題の求解装置であって、
対象とする変数、目的関数、制約条件、計画期間、終了条件、ベクトル変数の初期解の個数といった入力データを取り込む入力データの取り込み手段と、
該入力データの取り込み手段で取り込んだ入力データをもとに、前記非線形計画問題の最適解を得る非線形計画問題の求解手段と、
前記最適解を計画結果として出力する計画の出力手段とを具備し、
前記非線形計画問題の求解手段では、
前記非線形項に含まれる一部の項または数式を新たな変数として定め、前記非線形計画問題の記述を変更し、前記新たな変数を一次元以上のベクトル変数として定義する変数のベクトル化処理と、
前記ベクトル変数の初期解を複数個作成するベクトル変数の初期解作成処理と、
前記新たな変数として定めた前記非線形項に含まれる一部の項または数式と前記複数の初期解から前記非線形計画問題を線形変数を用いた複数の線形計画問題として定式化する線形計画問題の定式化処理と、
該線形計画問題の定式化処理で定式化された複数の線形計画問題の解をそれぞれ求める線形計画問題の求解処理と、
該線形計画問題の求解処理で求められた、複数個の前記ベクトル変数の解それぞれに対する目的関数を評価し、前記ベクトル変数の解を改変する、ベクトル変数の解改変処理と、を行い、
該ベクトル変数の解改変処理で改変されたそれぞれの前記ベクトル変数の解を用いて、前記線形計画問題の定式化処理、前記線形計画問題の求解処理、および前記ベクトル変数の解改変処理を繰り返して、前記非線形計画問題の最適解を求解し、
前記繰り返しの途中で、ベクトル変数の解改変処理の後に、
適宜に、ベクトル変数の解を複数のグループに分け、各グループ内でその後の計算に用いるベクトル変数の解を取捨選択する、計算高速化のためのベクトル変数の解の取捨選択処理を行ってから、前記線形計画問題の定式化処理を行うことで前記非線形計画問題の最適解の求解を高速化することを特徴とする非線形計画問題の求解装置。
［６］上記［５］に記載の非線形計画問題の求解装置において、
前記ベクトル変数の解改変処理は、前記目的関数の最小化または最大化を志向しつつ実行可能な前記ベクトル変数を探索することを特徴とする非線形計画問題の求解装置。
［７］制約条件を満たした上で目的関数が最適となる原材料の配合割合を計画する配合計画の作成方法であって、
前記配合計画は、非線形項を一つ以上含む非線形計画問題で表されるものであり、
配合計画の作成に必要な入力データを取り込む入力データの取り込みステップと、
該入力データの取り込みステップで取り込んだ前記非線形項に含まれる一部の項または数式を新たな変数として定め、前記非線形計画問題の記述を変更し、前記新たな変数を一次元以上のベクトル変数として定義する変数のベクトル化ステップと、
前記ベクトル変数の初期解を複数個作成するベクトル変数の初期解作成ステップと、
前記新たな変数として定めた前記非線形項に含まれる一部の項または数式と前記複数の初期解から前記非線形計画問題を線形変数を用いた複数の線形計画問題として定式化する線形計画問題の定式化ステップと、
該線形計画問題の定式化ステップで定式化された複数の線形計画問題の解をそれぞれ求める線形計画問題の求解ステップと、
該線形計画問題の求解ステップで求められた、複数個の前記ベクトル変数の解それぞれに対する目的関数を評価し、前記ベクトル変数の解を改変する、ベクトル変数の解改変ステップと、
ベクトル変数の解を複数のグループに分け、各グループ内でその後の計算に用いるベクトル変数の解を取捨選択する、計算高速化のためのベクトル変数の解の取捨選択ステップと、を有し、
前記ベクトル変数の解改変ステップで改変されたそれぞれの前記ベクトル変数の解を用いて、前記線形計画問題の定式化ステップ、前記線形計画問題の求解ステップ、および前記ベクトル変数の解改変ステップを繰り返して、前記非線形計画問題を求解し、
前記繰り返しの途中で、ベクトル変数の解改変ステップの後に、適宜にベクトル変数の解の取捨選択ステップを行ってから前記線形計画問題の定式化ステップを行うことで前記非線形計画問題の求解を高速化することを特徴とする配合計画の作成方法。
［８］上記［７］に記載の配合計画の作成方法において、
前記ベクトル変数の解改変ステップは、前記目的関数の最小化または最大化を志向しつつ実行可能な前記ベクトル変数を探索することを特徴とする配合計画の作成方法。
［９］上記［７］または［８］に記載の配合計画の作成方法を実行することを特徴としたコンピュータプログラム。
［１０］上記［９］に記載のコンピュータプログラムを記録し読み取り可能としたことを特徴とする記録媒体。
［１１］上記［７］または［８］に記載の配合計画の作成方法によって作成された配合計画に基づいて、配合操業を行うことを特徴とする配合操業方法。
［１２］制約条件を満たした上で目的関数が最適となる原材料の配合割合を計画する配合計画の作成装置であって、
前記配合計画は、非線形項を一つ以上含む非線形計画問題で表されるものであり、
配合計画の作成に必要な入力データを取り込む入力データの取り込み部と、
該入力データの取り込み部で取り込んだ入力データをもとに、前記非線形計画問題の最適解を得る非線形計画問題の求解部と、
前記最適解を計画結果として出力する計画の出力部とを具備し、
前記非線形計画問題の求解部では、
非線形項に含まれる一部の項または数式を新たな変数として定め、前記非線形計画問題の記述を変更し、前記新たな変数を一次元以上のベクトル変数として定義する変数のベクトル化処理と、
前記ベクトル変数の初期解を複数個作成するベクトル変数の初期解作成処理と、
前記新たな変数として定めた前記非線形項に含まれる一部の項または数式と前記複数の初期解から前記非線形計画問題を線形変数を用いた複数の線形計画問題として定式化する線形計画問題の定式化処理と、
該線形計画問題の定式化処理で定式化された複数の線形計画問題の解をそれぞれ求める線形計画問題の求解処理と、
該線形計画問題の求解処理で求められた、複数個の前記ベクトル変数の解それぞれに対する目的関数を評価し、前記ベクトル変数の解を改変する、ベクトル変数の解改変処理と、を行い、
該ベクトル変数の解改変処理で改変されたそれぞれの前記ベクトル変数の解を用いて、前記線形計画問題の定式化処理、前記線形計画問題の求解処理、および前記ベクトル変数の解改変処理を繰り返して、前記非線形計画問題を求解し、
前記繰り返しの途中で、ベクトル変数の解改変処理の後に、
適宜に、ベクトル変数の解を複数のグループに分け、各グループ内でその後の計算に用いるベクトル変数の解を取捨選択する、計算高速化のためのベクトル変数の解の取捨選択処理を行ってから、前記線形計画問題の定式化処理を行うことで前記非線形計画問題の求解を高速化することを特徴とする配合計画の作成装置。
［１３］上記［１２］に記載の配合計画の作成装置において、
前記ベクトル変数の解改変処理は、前記目的関数の最小化または最大化を志向しつつ実行可能な前記ベクトル変数を探索することを特徴とする配合計画の作成装置。
前記配合計画は、非線形項を一つ以上含む非線形計画問題で表されるものであり、
配合計画の作成に必要な入力データを取り込む入力データの取り込みステップと、
該入力データの取り込みステップで取り込んだ前記非線形項に含まれる一部の項または数式を新たな変数として定め、前記非線形計画問題の記述を変更し、前記新たな変数を一次元以上のベクトル変数として定義する変数のベクトル化ステップと、
前記ベクトル変数の初期解を複数個作成するベクトル変数の初期解作成ステップと、
前記新たな変数として定めた前記非線形項に含まれる一部の項または数式と前記複数の初期解から前記非線形計画問題を線形変数を用いた複数の線形計画問題として定式化する線形計画問題の定式化ステップと、
該線形計画問題の定式化ステップで定式化された複数の線形計画問題の解をそれぞれ求める線形計画問題の求解ステップと、
該線形計画問題の求解ステップで求められた、複数個の前記ベクトル変数の解それぞれに対する目的関数を評価し、前記ベクトル変数の解を改変する、ベクトル変数の解改変ステップと、
ベクトル変数の解を複数のグループに分け、各グループ内でその後の計算に用いるベクトル変数の解を取捨選択する、計算高速化のためのベクトル変数の解の取捨選択ステップと、を有し、
前記ベクトル変数の解改変ステップで改変されたそれぞれの前記ベクトル変数の解を用いて、前記線形計画問題の定式化ステップ、前記線形計画問題の求解ステップ、および前記ベクトル変数の解改変ステップを繰り返して、前記非線形計画問題を求解し、
前記繰り返しの途中で、ベクトル変数の解改変ステップの後に、適宜にベクトル変数の解の取捨選択ステップを行ってから前記線形計画問題の定式化ステップを行うことで前記非線形計画問題の求解を高速化することを特徴とする配合計画の作成方法。
［８］上記［７］に記載の配合計画の作成方法において、
前記ベクトル変数の解改変ステップは、前記目的関数の最小化または最大化を志向しつつ実行可能な前記ベクトル変数を探索することを特徴とする配合計画の作成方法。
［９］上記［７］または［８］に記載の配合計画の作成方法を実行することを特徴としたコンピュータプログラム。
［１０］上記［９］に記載のコンピュータプログラムを記録し読み取り可能としたことを特徴とする記録媒体。
［１１］上記［７］または［８］に記載の配合計画の作成方法によって作成された配合計画に基づいて、配合操業を行うことを特徴とする配合操業方法。
［１２］制約条件を満たした上で目的関数が最適となる原材料の配合割合を計画する配合計画の作成装置であって、
前記配合計画は、非線形項を一つ以上含む非線形計画問題で表されるものであり、
配合計画の作成に必要な入力データを取り込む入力データの取り込み部と、
該入力データの取り込み部で取り込んだ入力データをもとに、前記非線形計画問題の最適解を得る非線形計画問題の求解部と、
前記最適解を計画結果として出力する計画の出力部とを具備し、
前記非線形計画問題の求解部では、
非線形項に含まれる一部の項または数式を新たな変数として定め、前記非線形計画問題の記述を変更し、前記新たな変数を一次元以上のベクトル変数として定義する変数のベクトル化処理と、
前記ベクトル変数の初期解を複数個作成するベクトル変数の初期解作成処理と、
前記新たな変数として定めた前記非線形項に含まれる一部の項または数式と前記複数の初期解から前記非線形計画問題を線形変数を用いた複数の線形計画問題として定式化する線形計画問題の定式化処理と、
該線形計画問題の定式化処理で定式化された複数の線形計画問題の解をそれぞれ求める線形計画問題の求解処理と、
該線形計画問題の求解処理で求められた、複数個の前記ベクトル変数の解それぞれに対する目的関数を評価し、前記ベクトル変数の解を改変する、ベクトル変数の解改変処理と、を行い、
該ベクトル変数の解改変処理で改変されたそれぞれの前記ベクトル変数の解を用いて、前記線形計画問題の定式化処理、前記線形計画問題の求解処理、および前記ベクトル変数の解改変処理を繰り返して、前記非線形計画問題を求解し、
前記繰り返しの途中で、ベクトル変数の解改変処理の後に、
適宜に、ベクトル変数の解を複数のグループに分け、各グループ内でその後の計算に用いるベクトル変数の解を取捨選択する、計算高速化のためのベクトル変数の解の取捨選択処理を行ってから、前記線形計画問題の定式化処理を行うことで前記非線形計画問題の求解を高速化することを特徴とする配合計画の作成装置。
［１３］上記［１２］に記載の配合計画の作成装置において、
前記ベクトル変数の解改変処理は、前記目的関数の最小化または最大化を志向しつつ実行可能な前記ベクトル変数を探索することを特徴とする配合計画の作成装置。
また、上記［１］に記載の非線形計画問題の求解方法は、好適には以下の態様を有する。
非線形項を制約条件および／または目的関数に一つ以上含む非線形計画問題を解く非線形計画問題の求解方法であって、
前記非線形項に含まれる一部の項または数式を一つ以上の新たな変数として定めるとともに、前記非線形計画問題の記述式を該新たな変数により変更し、前記一つ以上の新たな変数を一次元以上のベクトル変数として定義する変数のベクトル化ステップと、
前記ベクトル変数の初期解を複数個作成するベクトル変数の初期解作成ステップと、
前記非線形項に含まれる一部の項または数式の新たな変数への置き換えを制約式として追加し、前記ベクトル変数の複数の解それぞれを前記変更された非線形計画問題の記述式に代入して、線形変数を用いた複数の線形計画問題として定式化する線形計画問題の定式化ステップと、
該線形計画問題の定式化ステップで定式化された複数の線形計画問題の解をそれぞれ求める線形計画問題の求解ステップと、
該線形計画問題の求解ステップで求められた、複数個の前記ベクトル変数の解それぞれに対する目的関数を評価し、前記ベクトル変数の解を改変する、ベクトル変数の解改変ステップと、
ベクトル変数の解を複数のグループに分け、各グループ内でその後の計算に用いるベクトル変数の解を取捨選択する、計算高速化のためのベクトル変数の解の選択ステップと、を有し、
前記ベクトル変数の解改変ステップで改変されたそれぞれの前記ベクトル変数の解を用いて、前記線形計画問題の定式化ステップ、前記線形計画問題の求解ステップ、および前記ベクトル変数の解改変ステップを繰り返して、前記非線形計画問題を求解し、
前記繰り返しの途中で、ベクトル変数の解改変ステップの後に、適宜にベクトル変数の解の取捨選択ステップを行ってから前記線形計画問題の定式化ステップを行うことで前記非線形計画問題の求解を高速化することを特徴とする非線形計画問題の求解方法。
非線形項を制約条件および／または目的関数に一つ以上含む非線形計画問題を解く非線形計画問題の求解方法であって、
前記非線形項に含まれる一部の項または数式を一つ以上の新たな変数として定めるとともに、前記非線形計画問題の記述式を該新たな変数により変更し、前記一つ以上の新たな変数を一次元以上のベクトル変数として定義する変数のベクトル化ステップと、
前記ベクトル変数の初期解を複数個作成するベクトル変数の初期解作成ステップと、
前記非線形項に含まれる一部の項または数式の新たな変数への置き換えを制約式として追加し、前記ベクトル変数の複数の解それぞれを前記変更された非線形計画問題の記述式に代入して、線形変数を用いた複数の線形計画問題として定式化する線形計画問題の定式化ステップと、
該線形計画問題の定式化ステップで定式化された複数の線形計画問題の解をそれぞれ求める線形計画問題の求解ステップと、
該線形計画問題の求解ステップで求められた、複数個の前記ベクトル変数の解それぞれに対する目的関数を評価し、前記ベクトル変数の解を改変する、ベクトル変数の解改変ステップと、
ベクトル変数の解を複数のグループに分け、各グループ内でその後の計算に用いるベクトル変数の解を取捨選択する、計算高速化のためのベクトル変数の解の選択ステップと、を有し、
前記ベクトル変数の解改変ステップで改変されたそれぞれの前記ベクトル変数の解を用いて、前記線形計画問題の定式化ステップ、前記線形計画問題の求解ステップ、および前記ベクトル変数の解改変ステップを繰り返して、前記非線形計画問題を求解し、
前記繰り返しの途中で、ベクトル変数の解改変ステップの後に、適宜にベクトル変数の解の取捨選択ステップを行ってから前記線形計画問題の定式化ステップを行うことで前記非線形計画問題の求解を高速化することを特徴とする非線形計画問題の求解方法。
本発明によれば、ベクトル変数の探索を効率化することによる高速計算を可能にした非線形計画問題の求解方法、そのコンピュータプログラム、記録媒体、求解装置を提供することができる。
また、本発明によれば、ベクトル変数の探索を効率化することによる高速計算を可能にした配合計画の配合計画の作成方法、そのコンピュータプログラム、記録媒体、配合操業方法、作成装置を提供することができる。
以下、図面および数式を参照して、本発明の実施形態を説明する。先ず、本発明が対象とする非線形計画問題は、以下のように表すことができる。
図１は、線形計画問題の解空間および実行可能領域を示す模式図である。上記目的関数および制約条件が線形であり、図１中の多角形は線形計画問題(LP)の実行可能領域を示している。LPを適用する際は、多角形の頂点のみを探索すればよいので高速計算が可能となる。目的関数を右下がりの直線とすると、この例におけるLPの最適解は黒円で囲まれた頂点である。
図２は、非線形計画問題の解空間および実行可能領域を示す模式図である。そして、図３は、非線形計画問題における探索過程を示す模式図である。
非線形計画問題(NLP)は、LPと比べて非常に複雑であり、実行可能領域が凸多角形となる図１のLP の場合と異なり、図２のように曲線で囲まれた複雑な凸凹となっている。そして、NLP を解く際には、この領域の境界線上の点を探索する必要がある。
図２の例では、大域的最適解は黒円で囲まれた点である。しかし、探索過程において、図３の破線円で囲まれた局所最適解と呼ばれる凹部の点に解が収束することがたびたび起こる。解がひとたび局所最適解に収束すると、局所最適解を脱して解を更新することが困難であり、大域的最適解を導出することが難しい。また、問題自身が複雑なので、計算時間が長くなる。
目的関数の値は、最適化問題に応じて所定の数値とすることができる。たとえば、最小値や最大値、あるいはあらかじめ設定された所定の値とすることができる。ここでは例として、以下のような最適化問題を考える。
上記（５）式は、左辺にｘｉの２次の項を含むことになるため、そのまま扱うと煩雑な問題になる。そこで、本発明では、（５）式の左辺の一項目を以下の（６）式のように定数化する。
（５）式の左辺の一項目を（６）式のように定数化することによって、（５）式の制約条件を一次式で記述することができ、（６）式を等式制約とすれば、上記非線形計画問題は単純な線形計画問題となり、容易に解くことができる。ただし、定数化する非線形項は、上記の例では１個であるが、目的関数の性質や制約条件を考慮して、複数選択することができる。
この場合、選択された変数はベクトルとして扱われるので、この操作を以降ベクトル化と称する。またベクトル化された非線形項に含まれる一部の項または数式をベクトル変数または線形化変数と称する。
ただし、定数化にともなって制約条件を変更したことにより、元の最適化問題の探索範囲が狭くなっており、局所解に収束してしまうことが考えられる。そこで、本発明では、（６）式右辺の定数項を多数（問題に応じて適宜定める所定のｊ個）用意し、線形計画問題を多数定式化して、同問題を解くことで得られる評価関数値（目的関数の値）を比較することで、より評価関数値が小さくなる定数項の与え方を探索するようにしている。
なお、上記問題例は２次の項を含む式が１つだけである非常に単純な例であるが、本発明を用いれば、上述したように複数の変数を定数化することによって、より複雑な非線形計画問題を単純な線形計画問題に置き換えることが可能である。たとえば、制約条件に２次以上の非線形項を含む数式が複数ある場合、定数化する変数を数式ごとに選び、それぞれ線形化することができる。また、一つの数式中に２次以上の項が複数ある場合であっても、当該項を適宜選択して線形化することで、単純な線形計画問題に置き換えることができる。
図４は、本発明に係る非線形計画問題の求解装置の構成例を示す図である。図中、０１は入力データの取り込み手段、０２は非線形計画問題の求解手段、および０３は計画の出力手段をそれぞれ表す。
入力データの取り込み手段０１では、対象とする変数、目的関数、制約条件、計画期間、終了条件、ベクトル変数の初期解の個数などが入力データとして取り込まれる。
そして、非線形計画問題の求解手段０２では、上記入力データ取り込み手段０１から取り込まれた入力データと、後述する粒子群最適化法と線形計画法を組み合わせた数理計画問題を多数定式化し、線形計画問題の求解を繰り返して最適解を得る。
計画の出力手段０３では、非線形計画法の求解手段０２で求解された目的関数を最小とする最良解を計画として出力する。
計画の出力手段０３では、非線形計画法の求解手段０２で求解された目的関数を最小とする最良解を計画として出力する。
上述の装置は、コンピュータで構成され、一つのコンピュータで構成しても、それぞれ別のコンピュータで構成して情報の授受をさせるように構成してもよい。そして、後述する求解方法の処理については、コンピュータに実装するコンピュータプログラムにて実行する。さらに、コンピュータプログラムは、ＣＤ、磁気テープなどの記録媒体に記録し読み取り可能とするようにするとよい。
図５は、本発明に係る非線形計画問題の求解方法の処理例を示す図である。なお、ここでは全体の最初と最後の処理である入力データの取り込みおよび計画の出力のステップは省略し、非線形計画問題の求解手段０２の処理を示している。非線形計画問題の求解手段０２は、変数のベクトル化手段と、ベクトル変数の初期解作成手段と、線形計画問題の定式化手段と、線形計画問題の求解手段と、ベクトル変数の解改変手段と、ベクトル変数の解の取捨選択手段を備える。
変数のベクトル化ステップStep101では、変数のベクトル化手段が、非線形項に含まれる一部の項または数式を適宜選択して新たな変数として定め、非線形問題の記述を変更し、前記新たな変数を一次元以上のベクトル変数として定義する変数のベクトル化処理を行う。すなわち、ベクトル化する非線形項に含まれる一部の項または数式を決める。ベクトル化する項または数式が複数ある場合、前記項または数式の数に応じて、多次元ベクトル化される。非線形項を含む数式が複数ある場合は、非線形項を適宜選択してそれぞれベクトル化される。
ベクトル変数の初期解作成ステップStep102では、ベクトル変数の初期解作成手段が、変数のベクトル化ステップStep101で定義したベクトル化された変数の組み合わせを作成するベクトル変数の初期解作成処理を行う。ここでは、ベクトル変数とその組み合わせを初期解と称する。組み合わせの個数は、入力データの取り込み手段０１で設定された個数とする。つまり、初期解は組み合わせの個数の分だけ存在する。
線形計画問題の定式化ステップStep103では、線形計画問題の定式化手段が、変数のベクトル化ステップStep101で定義したベクトル変数を、線形計画問題の制約とする線形計画問題の定式化処理を行う。そして、目的関数、前記制約を制約式とする最適化問題を、予め入力データの取り込み手段０１で設定された個数分の線形計画問題として定式化する。
線形計画問題の求解ステップStep104では、線形計画問題の求解手段が、線形計画問題の定式化ステップStep103で作成された複数個の線形計画問題について、各線形計画問題を解いて目的関数をそれぞれ求める線形計画問題の求解処理を行う。そして、目的関数が最小となる線形変数の組み合わせを決める。
ベクトル変数の解改変ステップStep105では、ベクトル変数の解改変手段が、線形計画問題の求解ステップStep104で得た解に基づいてベクトル変数を更新するベクトル変数の解改変処理を行う。このときの処理には、前記目的関数の最小化または最大化を志向しつつ実行可能な前記ベクトル変数を探索するメタヒューリスティック法が用いられる。好適には、粒子群最適化法（PSO：Particle Swarm Optimization）、遺伝的アルゴリズム（GA：Genetic Algorithm）、タブーサーチなどの手法が用いられる。これらは多数の候補から優良な候補を適宜選択しながら効率的に解を探索する方法である。粒子群最適化法を適用した例を以下に述べるが、この限りではない。
線形計画問題の求解ステップStep104とベクトル変数の解改変ステップStep105では、最小となる目的関数の値（目的関数の最小化を志向するメタヒューリスティック法が適用される場合）と、その値が得られる線形変数の組み合わせが求められる。ここで求められた目的関数の値は、与えられたベクトル変数の組み合わせの中では最小であるが、当初の非線形計画問題としての最小値であるとは限らない。そこで、目的関数の値を最小とするベクトル変数の組み合わせを出発点として、さらにベクトル変数の組み合わせを作成し、計算を行う。
たとえば、目的関数の値が最小になる線形化変数の組み合わせと、目的関数の値が２番目に小さくなる線形化変数の組み合わせの間で、新たに線形変数の組み合わせを作成し、これらの線形変数の組み合わせなどによって再度線形計画問題の求解計算を行う。
なお、ここでの線形化変数の組み合わせの数は、入力データの取り込み手段０１で設定された個数に含まれる。
なお、ここでの線形化変数の組み合わせの数は、入力データの取り込み手段０１で設定された個数に含まれる。
ベクトル変数の解の取捨選択ステップStep106では、ベクトル変数の解の取捨選択手段が、ベクトル変数の解を複数のグループに分け、各グループ内でその後の計算に用いるベクトル変数の解を取捨選択するベクトル変数の解の取捨選択処理を行う。このStep106でのベクトル変数の解の取捨選択処理は、適宜の方法で実施することができ、例えばベクトル変数の解を複数のグループに分け、各グループ内で評価関数値に応じて解を取捨選択することができる。例えば、評価関数値の良いもの（例えば、目的関数が最小値を求めるものであれば評価関数値が小さいもの、目的関数が最大値を求めるものであれば評価関数値が大きいもの）から順番に所定個数の解を選択し、それ以外の解を選択しないようにすることができる。また、このStep106でのグループ分けにはクラスタリングを用いることが好ましい。ここでは、K-means法を適用した例を記載するが、最短距離法（Nearest Neighbor（NN法））、K-NN法、Ward法、最長距離法など、いずれのクラスタリング手法も適用可能である。
繰返し判断ステップStep107では、繰返し判断手段が、目的関数の計算が入力データの取り込み手段０１で予め設定された終了条件を満たしているか否かの判定を行う。終了条件を満たしていれば計画の出力手段０３へ、終了条件を満たしていなければ線形計画問題の定式化ステップStep103へ戻り、以後の処理ステップを繰り返す。終了条件として、たとえば、計算時間、ループ回数や更新回数の上限等をあげることができる。
なお、前記ベクトル変数の解の取捨選択ステップStep106は、適宜のタイミングで実施すればよい。例えば、前記線形計画問題の定式化ステップStep103、線形計画問題の求解ステップStep104、ベクトル変数の解改変ステップStep105のループを任意の回数実施した後に、ベクトル変数の解の取捨選択ステップStep106を実施してもよいし、ベクトル変数の解改変ステップStep105を実施した結果で、評価関数値が一定程度収束したタイミング（例えば、後述のパーソナルベストが一定程度同じ位置に留まっているタイミング）でベクトル変数の解の取捨選択ステップStep106を実施してもよい。ベクトル変数の解の取捨選択ステップStep106が実施されることで、ベクトル変数の解が取捨選択され、その後の計算に用いるベクトル変数の解の数が減少し計算が高速化される。
次に、本発明の適用例（原材料の配合計画の作成方法）について説明する。
鉄鋼業界では、購入した種々の性状を有する多種類の鉄鉱石や石炭などの原材料を混合するが、高炉操業上の理由から、原材料混合後の品質・性状を一定範囲内に収めることが求められている。また、この時、コストが重要な指標として判断されるため、購入コスト、製造コスト等の最小化が求められる。更に、原材料の在庫が切れないように、配合割合を変化させながら複数日に亘って、配合を計画することが求められる。配合計画はすべての原材料を変数として作成されるが、ここでは鉄鉱石の最適な配合計画の作成を例に、本発明について以下に説明する。
鉄鋼業界では、購入した種々の性状を有する多種類の鉄鉱石や石炭などの原材料を混合するが、高炉操業上の理由から、原材料混合後の品質・性状を一定範囲内に収めることが求められている。また、この時、コストが重要な指標として判断されるため、購入コスト、製造コスト等の最小化が求められる。更に、原材料の在庫が切れないように、配合割合を変化させながら複数日に亘って、配合を計画することが求められる。配合計画はすべての原材料を変数として作成されるが、ここでは鉄鉱石の最適な配合計画の作成を例に、本発明について以下に説明する。
図６は、鉄鉱石が高炉に装入されるまでの処理フローを示す概略図である。図中、２０１はバース、２０２は鉱石ヤード、２０３は鉱石パイル、２０４は焼結機、および２０５は高炉をそれぞれ表す。
バース２０１に入船した船舶に積載された高炉の原材料である鉄鉱石は、アンローダと呼ばれる荷役機器で荷役され、鉱石ヤード２０２に積み付けられる。産出される鉱山によって含有成分が大きく異なる鉄鉱石は、その後、焼結鉱の硬度等の品質、高炉に投入される全鉄鉱石の性状指標を考慮して所望とする成分になるように配合され、鉱石パイル２０３に払い出される。
払い出される鉄鉱石の内、高炉の通気性に悪影響を及ぼす粉鉱石は、焼結機２０４に払い出され、焼き固められて焼結鉱となり、高炉２０５に払い出される。また、塊鉱石・処理鉱はそのまま高炉２０５に払い出される。鉱石ヤード２０２から鉱石パイル２０３に払い出す際の配合計画作成に、本発明を適用する。
図７は、配合計画作成装置および上位システムの構成例を示す図である。図中、３０１は入力データの取り込み部、３０２は非線形計画問題の求解部、３０３は計画の出力部、３０４は各プロセスのデータ出力部、３０５はプロセスコンピュータ、３０６はビジネスコンピュータをそれぞれ表す。
本発明に係る配合計画作成装置は、主に、入力データの取り込み部３０１、非線形計画問題の求解部３０２、および計画の出力部３０３から構成される。
入力データの取り込み部３０１には、鉄鉱石の入荷予定日および入荷予定量、成分、コスト、鉱石ヤード上の在庫量、装入する副原料として配合する原材料の成分、コスト、高炉の出銑予定量、塊鉱石の払出可能量、焼結鉱の生産予定量、計画期間、終了条件、ベクトル変数（焼成歩留など）の初期解の個数といった各種の入力データが取り込まれる。
各種の入力データは、図６で示したバース２０１、鉱石ヤード２０２、鉱石パイル２０３、焼結機２０４、高炉２０５といった各プロセスのデータ出力部３０４から、さらにビジネスコンピュータ３０６からプロセスコンピュータ３０５を経由して、入力データの取り込み部３０１に送られる。
非線形計画問題の求解部３０２では、入力データの取り込み部３０１から取り込まれた入力データと、粒子群最適化法と線形計画法を組み合わせた数理計画問題を多数定式化し、線形計画問題の求解（例えば、コストを最小とするなど）を繰り返して最適解を得る。
計画の出力部３０３では、非線形計画問題の求解部３０２で求めた最適解を計画結果としてプロセスコンピュータ３０５に送る。
上述の装置は、コンピュータで構成され、一つのコンピュータで構成しても、それぞれ別のコンピュータで構成して情報の授受をさせるように構成してもよい。そして、後述する求解方法の処理については、コンピュータに実装するコンピュータプログラムにて実行する。さらに、コンピュータプログラムは、ＣＤ、磁気テープなどの記録媒体に記録し読み取り可能とするようにするとよい。
図８は、本発明に係る配合計画の作成方法の処理例を示した図である。この図には、処理全体の最初と最後の処理である入力データの取り込みおよび計画の出力についての処理ステップは省略し、非線形計画問題の求解部３０２での処理を示している。非線形計画問題の求解部３０２は、変数のベクトル化手段と、ベクトル変数の初期解作成手段と、線形計画問題の定式化手段と、線形計画問題の求解手段と、ベクトル変数の解改変手段と、ベクトル変数の解の取捨選択手段を備える。
なお、入力データの取り込みでは、上述した鉄鉱石の入荷予定日および入荷予定量などといった各種の入力データを上位システムから取り込み、計画の出力処理部３０３では、配合の最良解を上位システムに出力する。
なお、入力データの取り込みでは、上述した鉄鉱石の入荷予定日および入荷予定量などといった各種の入力データを上位システムから取り込み、計画の出力処理部３０３では、配合の最良解を上位システムに出力する。
先ず、変数のベクトル化ステップStep401では、変数のベクトル化手段が、非線形項に含まれる一部の項または数式を適宜選択して新たな変数として定め、非線形計画問題の記述を変更し、前記新たな変数を一次元以上のベクトル変数として定義する変数のベクトル化処理を行う。すなわち、ベクトル化する非線形項に含まれる一部の項または数式を決める。ベクトル化する項または数式が複数ある場合、前記項または数式の数に応じて、多次元ベクトル化される。非線形項を含む数式が複数ある場合は、非線形項を適宜選択してそれぞれベクトル化される。
ベクトル変数の初期解作成ステップStep402では、ベクトル変数の初期解作成手段が、変数のベクトル化ステップStep401で定義したベクトル変数の初期解を予め入力データの取り込み部３０１で設定された個数だけ複数作成するベクトル変数の初期解作成処理を行う。なお、前記個数については、自由に増減させることができるようにする。ここで、初期解の個数は、以下で説明する初期解改変ステップと繰返し判断ステップStep407での計算時間と、求められる解の精度などを考慮して適宜決められる。具体的には、計算条件によっても異なるが、ベクトル変数の1000倍程度を上限とすることが適当である。
線形計画問題の定式化ステップStep403では、線形計画問題の定式化手段が、各原材料の在庫量切れ回避の制約、配合後主原料の成分・性状の制約、スラグの流動性を維持するためのスラグ成分制約、変数のベクトル化ステップStep401で定義した変数を線形計画問題の制約として作成する線形計画問題の定式化処理を行う。そして、配合計画のコストを表す関数を目的関数とし、前記制約を制約式とする最適化問題が、予め設定されたベクトル変数の個数分の線形計画問題として定式化される。
線形計画問題の求解ステップStep404では、線形計画問題の求解手段が、線形計画問題の定式化ステップStep403で作成された複数個の線形計画問題について、各線形計画問題を解いて目的関数をそれぞれ求める線形計画問題の求解処理を行う。そして、目的関数が最小となる線形変数の組み合わせを決めていく。
ベクトル変数の解改変ステップStep405では、ベクトル変数の解改変手段が、線形計画問題の求解ステップStep404で得た解に基づいてベクトル変数を更新するベクトル変数の解改変処理を行う。このときの処理には、前記目的関数の最小化または最大化を志向しつつ実行可能な前記ベクトル変数を探索するメタヒューリスティック法が用いられる。好適には、粒子群最適化法（PSO：Particle Swarm Optimizers）、遺伝的アルゴリズム（GA：Genetic Algorithm）、タブーサーチなどの方法が用いられる。これらは多数の候補から優良な候補を適宜選択しながら効率的に解を探索する方法である。粒子群最適化法を適用した例を以下に述べるが、この限りではない。
線形計画問題の求解ステップStep404とベクトル変数の解改変ステップStep405では、最小となる目的関数の値（目的関数の最小化を志向するメタヒューリスティック法が適用される場合）と、その値が得られる線形変数の組み合わせが求められる。ここで求められた目的関数の値は、与えられたベクトル変数の組み合わせの中では最小であるが、当初の非線形計画問題としての最小値であるとは限らない。そこで、目的関数の値を最小とするベクトル変数の組み合わせを出発点として、さらにベクトル変数の組み合わせを作成し、計算を行う。
たとえば、目的関数の値が最小になる線形化変数の組み合わせと、目的関数の値が２番目に小さくなる線形化変数の組み合わせの間で、新たに線形変数の組み合わせを作成し、これらの線形変数の組み合わせなどによって再度線形計画問題の求解計算を行う。
なお、ここでの線形化変数の組み合わせの数は、入力データの取り込み部３０１で設定された個数に含まれる。
なお、ここでの線形化変数の組み合わせの数は、入力データの取り込み部３０１で設定された個数に含まれる。
ベクトル変数の解の取捨選択ステップStep406では、ベクトル変数の解の取捨選択手段が、ベクトル変数の解を複数のグループにわけ、各グループ内でその後の計算に用いるベクトル変数の解を取捨選択するベクトル変数の解の取捨選択処理を行う。このStep406でのベクトル変数の解の取捨選択処理は、適宜の方法で実施することができ、例えばベクトル変数の解を複数のグループに分け、各グループ内で評価関数値に応じて解を取捨選択することができる。例えば、評価関数値の良いもの（例えば、目的関数が最小値を求めるものであれば評価関数値が小さいもの、目的関数が最大値を求めるものであれば評価関数値が大きいもの）から順番に所定個数の解を選択し、それ以外の解を選択しないようにすることができる。また、このStep406でのグループ分けにはクラスタリングを用いることが好ましい。ここでは、K-means法を適用した例を記載するが、最短距離法（Nearest Neighbor（NN法））、K-NN法、Ward法、最長距離法など、いずれのクラスタリング手法も適用可能である。
繰返し判断ステップStep407では、繰返し判断手段が、目的関数の計算が、入力データの取り込み部３０１で予め設定された終了条件を満たしているか否かの判定を行う。終了条件を満たしていれば計画の出力部３０３へ、終了条件を満たしていなければ線形計画問題の定式化ステップStep403へ戻り、以後の処理ステップを繰り返す。終了条件として、たとえば、計算時間、ループ回数や更新回数の上限等をあげることができる。
なお、前記ベクトル変数の解の取捨選択ステップStep406は、適宜のタイミングで実施すればよい。例えば、前記線形計画問題の定式化ステップStep403、線形計画問題の求解ステップStep404、ベクトル変数の解改変ステップStep405のループを任意の回数実施した後に、ベクトル変数の解の取捨選択ステップStep406を実施してもよいし、ベクトル変数の解改変ステップStep405を実施した結果で、評価関数値が一定程度収束したタイミング（例えば、後述のパーソナルベストが一定程度同じ位置に留まっているタイミング）でベクトル変数の解の取捨選択ステップStep406を実施してもよい。ベクトル変数の解の取捨選択ステップStep406が実施されることで、ベクトル変数の解が取捨選択され、その後の計算に用いるベクトル変数の解の数が減少し計算が高速化される。
ここで、粒子群最適化法について、さらに説明する。
粒子群最適化法のアルゴリズムは、生物の集団行動にヒントを得たメタヒューリスティックスで、探索の対象となる目的関数が与えられたとき、複数の粒子が互いに情報を共有しながら最適解を求めて探索空間内を動き回る。この概念とアルゴリズムの簡素さ、動作の柔軟さ、改良の可能性などを特徴としている。
粒子群最適化法のアルゴリズムでは、次式に従って各ベクトル変数の成分を更新する。
また、ｐｋで表されるパーソナルベスト(Pbest)は、k番目のベクトル変数の現在の世代までの目的関数の最良値を与える位置ベクトルであり、さらに、ｇで表されるグローバルベスト(Gbest)は、全てのベクトル変数のパーソナルベストの最良値であり、以下に示す（９）と（１０）式ようにそれぞれ定義される。ここで、F(・)は目的関数を示しており、ここでは、目的関数の最良値として、例えば最小値を求める場合を示している。すなわち、（９）式では、粒子ｋのすべての現在までの世代で取った目的関数の値はパーソナルベスト以上であることが示されており、（１０）式では、グローバルベストｇの目的関数値は任意の粒子ｋのパーソナルベストｐｋ目的関数値以下となることを示している。
ここで、位置ベクトルｚはStep401（Step101）でベクトル化された変数に相当し、速度ベクトルｖはベクトル変数の解改変ステップStep405（Step105）で行う新たな線形化変数の組み合わせを作成する方向に相当する。そして、ｐｋは、任意のベクトル変数ｋが世代ｌまでに取った組み合わせ中で最小の目的関数値を得る線形化変数の組み合わせであり、ｇはすべてのｐｋの中で最小の目的関数の値が得られる組み合わせである。ｐｋ，ｇは、以下に示す（１１）と（１２）式のように目的関数の計算が行われ、目的関数の値が得られるたびに更新される。（１１）式はパーソナルベスト更新式であり、（１２）式はグローバルベスト更新式である。
F(z)は、前述の例の（３）〜（６）式でいえば、βｊをzとしたときのLP解の目的関数である。Fが最小となるように、位置ベクトルzを変えて逐次計算を行う。そしてFが最小となるzをpとし、F(p)する。そしてさらに計算を行い、Fが最小となる度に、pを入れ替える。
F(g)は、すべてのF(p)の中で最小となるFである。最小となるpが得られると、gがpに置き換えられ、F(g)が得られる。
F(g)は、すべてのF(p)（複数の粒子に対応して複数のパーソナルベストがある）の中で最小となるFである。最小となるpが得られると、gがpに置き換えられ、F(g)が得られる。
F(z)はzの組み合わせで求まるが、しかしながら、どの方向にF(z)が最小となるzの組み合わせがあるのか不明である。そこで、ある時点での最小のF(p)をF(g)として、F(p)の最小値が求められる度にF(g)を更新する。つまり、F(g)が小さくなれば、その方向に最適解がある可能性が高く、F(g)を更新していくことで、最適解に到達できる可能性が高くなる。
すなわち、本発明においては、ベクトル変数を、より目的関数値が小さくなるように粒子群最適化法のアルゴリズムを用いて探索を行う。ある粒子がGbestに対応する“優良粒子”となると、粒子群がその“優良粒子”に引きずられて最適解に近づいていく。
以上では、目的関数を最小化する例を示したが、目的関数を最大化する場合も、同様の手順で実現できる。この場合は、目的関数が最大になる変数の組み合わせを求めるようにすればよい。また、目的関数の値の最小化または最大化だけではなく、目的関数をあらかじめ決められた所定の値とすることも可能である。この場合も同様に、目的関数を所定の値とするベクトル変数の組み合わせを求めるようにすればよい。
鉄鋼業界では、購入した種々の性状を有する多種類の鉄鉱石や石炭などの原材料を混合して、混合後の品質・性状を一定範囲内に収めることが求められている。また、この際にはコストが重要な指標として判断されるため、購入コスト、製造コスト等の最小化が求められる。更に、原材料の在庫が切れないように、配合割合を変化させながら複数日に亘って、配合を計画することが求められる。ここでは特に、鉄鉱石の最適な配合計画を作成するための本発明の適用例を示す。
以下、実施例について説明を行う。まず、制約式の詳細例を述べる。本実施例では、予め設定した配合計画作成期間を更に複数の計画単位にわけて取り扱う。例えば、計画期間を６ヶ月に設定すれば、１ヶ月を計画単位とするなどである。以下の説明では、この設定で行うものとする。
制約条件（制約式）について、具体的に説明を行う。在庫制約は、以下に示す式で与えられる。
非線形項に含まれる一部の項または数式を定数化する際、上記計算式が制約となる。焼成歩留を例にして説明する。焼成歩留は、粉状の鉄鉱石である粉鉱石を焼き固めて焼結鉱を作るときの歩留を意味している。
焼結鉱を高炉に装入した時、焼結鉱の強度が低いと粉化してしまい、高炉の通気性が悪化する。このため、焼結鉱の強度を高くすることは、操業上非常に重要である。
そこで、焼結鉱を作る時に、粉鉱石に石灰類の副原料を加えて焼結し、焼結鉱の強度を高くする。以下に焼成歩留の導出の式を示す。
すなわち、粉鉱石の量ｘｉ,mに副原料配合量を加えた原材料投入量に焼成歩留まりを乗じたものが焼結鉱生産量になる。
配合する粉鉱石の量ｘが変数であるので、上の２式より焼成歩留は非線形性を持っている。ここで、副原料配合量と焼成歩留の値を、変数のベクトル化ステップStep401で定数化すれば、上の２式は粉鉱石の配合量和の線形な制約式として取り扱うことができる。同様の操作を、他の非線形項に含まれる一部の項または数式に行うことで、制約の線形化を行うことができる。
次に、目的関数の詳細例を以下に示す。
上の１項目は、鉱石のコストを、２項目は、計画単位期間毎の払出量の変化をそれぞれ表している。製鉄業では日々の払出量が大きく変動すると操業トラブルの元になるため、日々の配合量の乖離が少ないことが望ましい。そこで、この例では、鉱石のコストに加えて、操業上の制約として、計画単位期間毎の払出量の変化を加えて目的関数としている。
１ヶ月を計画単位として計画期間を６ヶ月に設定し、上記２つの項の和が最小化となる解を求めるものである。
ここで、K-means法を用いたクラスタリングについて述べる。
図９はK-means法のアルゴリズムを示した図である。ここでは例として３グループに分けた場合について述べるが、その限りでは無い。各ベクトル変数はランダムに３グループ（３クラスター）に分けられる。次に、クラスター毎の重心のベクトル座標を計算する。計算方法は、クラスター要素の座標の各方向の単なる平均である。続いて、該重心の位置に近いグループにクラスターを変更する。各ベクトル変数のクラスター移行が終了後、新たなクラスターに対して重心の位置を更新し、以降クラスターの変更と重心の更新を繰り返し、クラスター間のベクトル変数の移動が無くなれば終了となる。なお、２点間の距離はユークリッド距離で算出するものとした。
図９はK-means法のアルゴリズムを示した図である。ここでは例として３グループに分けた場合について述べるが、その限りでは無い。各ベクトル変数はランダムに３グループ（３クラスター）に分けられる。次に、クラスター毎の重心のベクトル座標を計算する。計算方法は、クラスター要素の座標の各方向の単なる平均である。続いて、該重心の位置に近いグループにクラスターを変更する。各ベクトル変数のクラスター移行が終了後、新たなクラスターに対して重心の位置を更新し、以降クラスターの変更と重心の更新を繰り返し、クラスター間のベクトル変数の移動が無くなれば終了となる。なお、２点間の距離はユークリッド距離で算出するものとした。
本実施例において、上述のベクトル変数の解の取捨選択ステップStep406では、ベクトル変数の解の取捨選択手段が、クラスタリングによりベクトル変数を複数のクラスターに分け、各クラスターの評価値が良い変数のみの計算を続行するよう処理を行う。図９では、各クラスター内で評価値が良い上位半分の変数を保持し、残りの計算を停止した例を示しているが、計算を停止する粒子の選択方法はこの限りでは無い。
図１０は、本実施例における解の収束過程を示す図である。市販のソルバーを用いて計算したものであり、縦軸にコンピューターの総計算時間（分）または無次元化したコストメリット（評価値）を、横軸にループ(Step403〜Step406)の繰返し数を示しており、計画期間を６ヶ月、計画単位期間を１ヶ月、粒子数を2,000個として計算を実行した結果である。図１０に示すように、従来（特許文献１）の手法よりも計算速度が向上しており、評価値も同程度となっていることが分かる。
０１ 入力データの取り込み手段
０２ 非線形計画問題の求解手段
０３ 計画の出力手段
２０１ バース
２０２ 鉱石ヤード
２０３ 鉱石パイル
２０４ 焼結機
２０５ 高炉
３０１ 入力データの取り込み部
３０２ 非線形計画問題の求解部
３０３ 計画の出力部
３０４ 各プロセスのデータ出力部
３０５ プロセスコンピュータ
３０６ ビジネスコンピュータ
０２ 非線形計画問題の求解手段
０３ 計画の出力手段
２０１ バース
２０２ 鉱石ヤード
２０３ 鉱石パイル
２０４ 焼結機
２０５ 高炉
３０１ 入力データの取り込み部
３０２ 非線形計画問題の求解部
３０３ 計画の出力部
３０４ 各プロセスのデータ出力部
３０５ プロセスコンピュータ
３０６ ビジネスコンピュータ
Claims (13)
- 非線形項を一つ以上含む非線形計画問題を解く非線形計画問題の求解方法であって、
前記非線形項に含まれる一部の項または数式を新たな変数として定め、前記非線形計画問題の記述を変更し、前記新たな変数を要素とする一次元以上のベクトル変数として定義する変数のベクトル化ステップと、
前記ベクトル変数の初期解を複数個作成するベクトル変数の初期解作成ステップと、
前記新たな変数として定めた前記非線形項に含まれる一部の項または数式と前記複数の初期解から前記非線形計画問題を線形変数を用いた複数の線形計画問題として定式化する線形計画問題の定式化ステップと、
該線形計画問題の定式化ステップで定式化された複数の線形計画問題の解をそれぞれ求める線形計画問題の求解ステップと、
該線形計画問題の求解ステップで求められた、複数個の前記解それぞれに対する目的関数を評価し、前記ベクトル変数の解を改変する、ベクトル変数の解改変ステップと、
ベクトル変数の解を複数のグループに分け、各グループ内でその後の計算に用いるベクトル変数の解を取捨選択する、ベクトル変数の解の取捨選択ステップと、を有し、
前記線形計画問題の定式化ステップ、前記線形計画問題の求解ステップ、および前記ベクトル変数の解改変ステップを行った後、
ベクトル変数の解改変ステップで改変されたベクトル変数の解を用いて２回目以降の線形計画問題の定式化ステップ、線形計画問題の求解ステップ、およびベクトル変数の解改変ステップを繰り返して、前記非線形計画問題を求解し、
前記繰り返しの途中で、ベクトル変数の解改変ステップの後に、適宜にベクトル変数の解の取捨選択ステップを行ってから線形計画問題の定式化ステップを行うことで前記非線形計画問題の求解を行うことを特徴とする非線形計画問題の求解方法。 - 請求項１に記載の非線形計画問題の求解方法において、
前記ベクトル変数の解改変ステップは、前記目的関数の最小化または最大化を志向しつつ実行可能な前記ベクトル変数を探索することを特徴とする非線形計画問題の求解方法。 - 請求項１または２に記載の非線形計画問題の求解方法を実行することを特徴としたコンピュータプログラム。
- 請求項３に記載のコンピュータプログラムを記録し読み取り可能としたことを特徴とする記録媒体。
- 非線形項を一つ以上含む非線形計画問題を解く非線形計画問題の求解装置であって、
対象とする変数、目的関数、制約条件、計画期間、終了条件、ベクトル変数の初期解の個数といった入力データを取り込む入力データの取り込み手段と、
該入力データの取り込み手段で取り込んだ入力データをもとに、前記非線形計画問題の最適解を得る非線形計画問題の求解手段と、
前記最適解を計画結果として出力する計画の出力手段とを具備し、
前記非線形計画問題の求解手段では、
前記非線形項に含まれる一部の項または数式を新たな変数として定め、前記非線形計画問題の記述を変更し、前記新たな変数を要素とする一次元以上のベクトル変数として定義する変数のベクトル化処理と、
前記ベクトル変数の初期解を複数個作成するベクトル変数の初期解作成処理と、
前記新たな変数として定めた前記非線形項に含まれる一部の項または数式と前記複数の初期解から前記非線形計画問題を線形変数を用いた複数の線形計画問題として定式化する線形計画問題の定式化処理と、
該線形計画問題の定式化処理で定式化された複数の線形計画問題の解をそれぞれ求める線形計画問題の求解処理と、
該線形計画問題の求解処理で求められた、複数個の前記解それぞれに対する目的関数を評価し、前記ベクトル変数の解を改変する、ベクトル変数の解改変処理と、を行い、
前記線形計画問題の定式化処理、前記線形計画問題の求解処理、および前記ベクトル変数の解改変処理を行った後、
ベクトル変数の解改変処理で改変されたベクトル変数の解を用いて２回目以降の線形計画問題の定式化処理、線形計画問題の求解処理、およびベクトル変数の解改変処理を繰り返して、前記非線形計画問題の最適解を求解し、
前記繰り返しの途中で、ベクトル変数の解改変処理の後に、
適宜に、ベクトル変数の解を複数のグループに分け、各グループ内でその後の計算に用いるベクトル変数の解を取捨選択する、ベクトル変数の解の取捨選択処理を行ってから線形計画問題の定式化処理を行うことで前記非線形計画問題の最適解の求解を行うことを特徴とする非線形計画問題の求解装置。 - 請求項５に記載の非線形計画問題の求解装置において、
前記ベクトル変数の解改変処理は、前記目的関数の最小化または最大化を志向しつつ実行可能な前記ベクトル変数を探索することを特徴とする非線形計画問題の求解装置。 - 制約条件を満たした上で目的関数が最適となる原材料の配合割合を計画する配合計画の作成方法であって、
前記配合計画は、非線形項を一つ以上含む非線形計画問題で表されるものであり、
配合計画の作成に必要な入力データを取り込む入力データの取り込みステップと、
該入力データの取り込みステップで取り込んだ前記非線形項に含まれる一部の項または数式を新たな変数として定め、前記非線形計画問題の記述を変更し、前記新たな変数を要素とする一次元以上のベクトル変数として定義する変数のベクトル化ステップと、
前記ベクトル変数の初期解を複数個作成するベクトル変数の初期解作成ステップと、
前記新たな変数として定めた前記非線形項に含まれる一部の項または数式と前記複数の初期解から前記非線形計画問題を線形変数を用いた複数の線形計画問題として定式化する線形計画問題の定式化ステップと、
該線形計画問題の定式化ステップで定式化された複数の線形計画問題の解をそれぞれ求める線形計画問題の求解ステップと、
該線形計画問題の求解ステップで求められた、複数個の前記解それぞれに対する目的関数を評価し、前記ベクトル変数の解を改変する、ベクトル変数の解改変ステップと、
ベクトル変数の解を複数のグループに分け、各グループ内でその後の計算に用いるベクトル変数の解を取捨選択する、ベクトル変数の解の取捨選択ステップと、を有し、
前記線形計画問題の定式化ステップ、前記線形計画問題の求解ステップ、および前記ベクトル変数の解改変ステップを行った後、
ベクトル変数の解改変ステップで改変されたベクトル変数の解を用いて２回目以降の線形計画問題の定式化ステップ、線形計画問題の求解ステップ、およびベクトル変数の解改変ステップを繰り返して、前記非線形計画問題を求解し、
前記繰り返しの途中で、ベクトル変数の解改変ステップの後に、適宜にベクトル変数の解の取捨選択ステップを行ってから線形計画問題の定式化ステップを行うことで前記非線形計画問題の求解を行うことを特徴とする配合計画の作成方法。 - 請求項７に記載の配合計画の作成方法において、
前記ベクトル変数の解改変ステップは、前記目的関数の最小化または最大化を志向しつつ実行可能な前記ベクトル変数を探索することを特徴とする配合計画の作成方法。 - 請求項７または８に記載の配合計画の作成方法を実行することを特徴としたコンピュータプログラム。
- 請求項９に記載のコンピュータプログラムを記録し読み取り可能としたことを特徴とする記録媒体。
- 請求項７または８に記載の配合計画の作成方法によって作成された配合計画に基づいて、配合操業を行うことを特徴とする配合操業方法。
- 制約条件を満たした上で目的関数が最適となる原材料の配合割合を計画する配合計画の作成装置であって、
前記配合計画は、非線形項を一つ以上含む非線形計画問題で表されるものであり、
配合計画の作成に必要な入力データを取り込む入力データの取り込み部と、
該入力データの取り込み部で取り込んだ入力データをもとに、前記非線形計画問題の最適解を得る非線形計画問題の求解部と、
前記最適解を計画結果として出力する計画の出力部とを具備し、
前記非線形計画問題の求解部では、
非線形項に含まれる一部の項または数式を新たな変数として定め、前記非線形計画問題の記述を変更し、前記新たな変数を要素とする一次元以上のベクトル変数として定義する変数のベクトル化処理と、
前記ベクトル変数の初期解を複数個作成するベクトル変数の初期解作成処理と、
前記新たな変数として定めた前記非線形項に含まれる一部の項または数式と前記複数の初期解から前記非線形計画問題を線形変数を用いた複数の線形計画問題として定式化する線形計画問題の定式化処理と、
該線形計画問題の定式化処理で定式化された複数の線形計画問題の解をそれぞれ求める線形計画問題の求解処理と、
該線形計画問題の求解処理で求められた、複数個の前記解それぞれに対する目的関数を評価し、前記ベクトル変数の解を改変する、ベクトル変数の解改変処理と、を行い、
前記線形計画問題の定式化処理、前記線形計画問題の求解処理、および前記ベクトル変数の解改変処理を行った後、
ベクトル変数の解改変処理で改変されたベクトル変数の解を用いて２回目以降の線形計画問題の定式化処理、線形計画問題の求解処理、およびベクトル変数の解改変処理を繰り返して、前記非線形計画問題を求解し、
前記繰り返しの途中で、ベクトル変数の解改変処理の後に、
適宜に、ベクトル変数の解を複数のグループに分け、各グループ内でその後の計算に用いるベクトル変数の解を取捨選択する、ベクトル変数の解の取捨選択処理を行ってから線形計画問題の定式化処理を行うことで前記非線形計画問題の求解を行うことを特徴とする配合計画の作成装置。 - 請求項１２に記載の配合計画の作成装置において、
前記ベクトル変数の解改変処理は、前記目的関数の最小化または最大化を志向しつつ実行可能な前記ベクトル変数を探索することを特徴とする配合計画の作成装置。
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| JP2017209020A JP6806034B2 (ja) | 2017-10-30 | 2017-10-30 | 非線形計画問題の求解方法、配合計画の作成方法、およびこれらのコンピュータプログラム、記録媒体、装置、ならびに配合操業方法 |
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