JP6009305B2

JP6009305B2 - 解析装置、解析方法及びコンピュータプログラム

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Publication number: JP6009305B2
Application number: JP2012217645A
Authority: JP
Inventors: 公博梅村; 研介松永
Original assignee: JSOL Corp
Current assignee: JSOL Corp
Priority date: 2012-09-28
Filing date: 2012-09-28
Publication date: 2016-10-19
Anticipated expiration: 2032-09-28
Also published as: JP2014071689A

Description

本発明は、磁束密度によって生じた歪みに等価な節点力を算出することにより、磁歪を考慮した構造解析を可能にする解析装置、解析方法及びコンピュータプログラムに関する。

近年、変圧器の騒音が問題となっている。変圧器はコイルが巻回される鉄心を備えており、特に電力用変圧器では鉄心の材料としては電磁鋼板が使用されることが多い。変圧器で発生する騒音の主要因は電磁鋼板の磁歪にあるともいわれている。磁歪は、磁場の存在により物体の長さが変化する現象であり、磁束密度の大きさによって歪みの大きさが変わる特徴を有する（非特許文献１の図１）。変圧器のコイルに交流電圧が印加されると、電磁鋼板を貫く磁束密度が周期的に変化し、電磁鋼板が周期的に伸縮して振動する。この振動が騒音の原因となる。この現象は変圧器のみならず、発電機や電動機など磁気回路を有する製品では問題となる場合がある。

騒音対策としては、変圧器の固有振動数が駆動周波数の範囲に入らないようにする方策が考えられる。しかし、固有振動数は多数存在し、仮に駆動周波数の範囲に入っても、必ずしも騒音は発生しない。

このため、有限要素法による構造解析手法を用いて、磁歪による変圧器の振動解析を行い、変圧器の騒音問題を解析的に取り扱う試みがなされている（例えば、非特許文献２）。電磁鋼板は方向によって歪みの程度が異なり、同じ磁束密度を与えた場合、圧延方向の歪みが最小、圧延方向に垂直な方向の歪みが最大になる。このため、非特許文献２の解析手法においては、電磁鋼板の圧延方向をＸ方向、圧延方向に垂直な方向をＹ方向と設定している。そして、磁束密度をＸ方向及びＹ方向に成分分解し、磁束密度のＸ成分及びＹ成分を用いて、Ｘ方向及びＹ方向の歪みを算出している。また、磁束密度による歪みに等価な節点力を算出し、変圧器の構造解析を行っている。

Koen Delaere, Ward Heylen, Kay Hameyer, and Ronnie Belmans,"Local Magnetostriction Forces for Finite Element Analysis",IEEE Transactions On Magnetics, Vol.36,No.5,Sep 2000 北川亘、石原好之、戸高敏之、中坂彰、「変圧器鉄心の磁歪による変形及び振動解析」、電気学会論文誌．Ｂ，電力・エネルギー部門誌、日本国、社団法人電気学会、２００８年４月１日、１２８（４）、Ｐ６５４−６６０

しかしながら、非特許文献２に記載の解析手法においては、単純に成分分解されたＸ成分及びＹ成分を用いて２階テンソルである歪みを算出しているため、磁歪による電磁鋼板の変形及び振動を正確に算出できず、解析精度が低いという問題があった。
具体的には、磁歪に関して等方的な磁性体に生ずる歪みを、磁歪に関して異方性を有する磁性体の歪みを取り扱った非特許文献２に記載の手法で算出してみると、その不具合が明らかになる。
例えば、ＸＹ座標系において、磁束密度の大きさが√２［Ｔ］、磁束密度の方向がＸ軸に対して４５°の角度、歪みが比例定数１×ｅ−６で磁束密度に比例する場合を考える。そして、磁束密度の方向に垂直な方向の比例係数は０．５×ｅ−６となることとする（非特許文献２）。
この磁束密度のＸ成分及びＹ成分は１［Ｔ］である。該磁束密度のＸ成分によって、Ｘ方向に１×ｅ−６の歪みが発生すると同時に、磁束密度のＹ成分によってＸ方向に−０．５×ｅ−６の歪みが発生するため、結果として、Ｘ方向の歪みは０．５×ｅ−６となる。Ｙ方向の歪みも同様にして０．５×ｅ−６となる。これが、非特許文献２に記載の手法で得られる結果である。
ところが、磁束密度の方向にＸ’軸を取った場合、等方性を有する磁性体を考えているため、Ｘ’軸方向の歪みは√２×ｅ−６、Ｘ’軸に垂直なＹ’軸方向の歪みは√２／２×ｅ−６となる。この歪みをＸＹ座標系に回転変換してみると、Ｘ方向及びＹ方向の歪みは√２／４×ｅ−６となる。この結果は、非特許文献２に記載の手法で算出した歪み０．５×ｅ−６と整合していない。

本発明は斯かる事情に鑑みてなされたものであり、その目的は、磁束密度の方向に主軸を取って該磁束密度による歪みを算出し、該歪みを所定の座標系に座標変換することにより、該座標系における歪みに等価な節点力を正確に算出し、より高精度な変形及び振動解析等の構造解析を行うことを可能にする解析装置、解析方法及びコンピュータプログラムを提供することにある。

本発明に係る解析装置は、磁歪が生ずる磁性体を含む電磁部品を、有限要素法解析における複数の有限要素の組み合わせで表現した数値解析モデルに基づいて、前記電磁部品に与えられる磁束密度に応じた該有限要素の各節点の歪みと等価な節点力を算出する解析装置において、所定の第１座標系における磁束密度及び歪みの関係、並びに歪み及び該歪みに応じた応力の関係を記憶する記憶手段と、磁束密度の方向に略平行な主軸を有する第２座標系における歪みを、前記記憶手段が記憶する前記第１座標系における磁束密度及び歪みの関係に基づいて節点毎又は有限要素毎に算出する歪み算出手段と、各節点又は各有限要素の第２座標系における歪みを前記第１座標系における歪みに座標変換する座標変換手段と、座標変換された歪み、並びに前記記憶手段が記憶する第１座標系における歪み及び該歪みに応じた応力の関係に基づいて、該座標変換された歪みと同じ歪みを生じさせる節点力を算出する等価節点力算出手段とを備えることを特徴とする。

本発明に係る解析装置は、前記第１座標系及び前記第２座標系は２次元の直交座標系又は円筒座標系であり、前記歪み算出手段は、第２座標系における歪みを下記式にて算出するようにしてあることを特徴とする。

本発明に係る解析装置は、前記第１座標系及び前記第２座標系は３次元の直交座標系又は円筒座標系であり、前記歪み算出手段は、第２座標系における歪みを下記式にて算出するようにしてあることを特徴とする。

本発明に係る解析装置は、前記等価節点力算出手段にて算出された節点力に基づいて、前記電磁部品の構造解析を行う手段を備えることを特徴とする。

本発明に係る解析装置は、時間成分を有する複素数の磁束密度が与えられた場合、該磁束密度に基づいて複数の時点における磁束密度の実数成分を算出する手段を備え、前記歪み算出手段は、複数の時点における磁束密度の実数成分の値に基づいて第２座標系における歪みを算出するようにしてあり、前記等価節点力算出手段は、複数の時点における節点力を算出する手段を備え、更に、複数の時点における節点力に基づいて、該節点力の変動態様を特徴付ける周波数に関する節点力の分布を算出するフーリエ変換手段を備えることを特徴とする。

本発明に係る解析装置は、前記フーリエ変換手段にて算出された節点力の分布に基づいて、前記電磁部品の構造解析を行う手段を備えることを特徴とする。

本発明に係る解析方法は、磁歪が生ずる磁性体を含む電磁部品を、有限要素法解析における複数の有限要素の組み合わせで表現した数値解析モデルに基づいて、前記電磁部品に与えられる磁束密度に応じた該有限要素の各節点又は各有限要素の歪みと等価な節点力を、ＣＰＵが算出する解析方法において、前記ＣＰＵは、磁束密度の方向に略平行な主軸を有する第２座標系における歪みを、第１座標系における磁束密度及び歪みの関係に基づいて節点毎又は有限要素毎に算出し、前記ＣＰＵは、各節点又は各有限要素の第２座標系における歪みを前記第１座標系における歪みに座標変換し、前記ＣＰＵは、座標変換された歪み、並びに前記第１座標系における歪み及び該歪みに応じた応力の関係に基づいて、該座標変換された歪みと同じ歪みを生じさせる節点力を算出することを特徴とする。

本発明に係るコンピュータプログラムは、磁歪が生ずる磁性体を含む電磁部品を、有限要素法解析における複数の有限要素の組み合わせで表現した数値解析モデルに基づいて、前記電磁部品に与えられる磁束密度に応じた該有限要素の各節点又は各有限要素の歪みと等価な節点力をコンピュータに算出させるコンピュータプログラムにおいて、前記コンピュータを、磁束密度の方向に略平行な主軸を有する第２座標系における歪みを、第１座標系における磁束密度及び歪みの関係に基づいて節点毎又は有限要素毎に算出する歪み算出手段と、各節点又は各有限要素の第２座標系における歪みを前記第１座標系における歪みに座標変換する座標変換手段と、座標変換された歪み、並びに前記第１座標系における歪み及び該歪みに応じた応力の関係に基づいて、該座標変換された歪みと同じ歪みを生じさせる節点力を算出する等価節点力算出手段として機能させることを特徴とする。

本発明にあっては、磁束密度の方向に略平行な主軸を有する第２座標系における歪みを、所定の第１座標系における磁束密度及び歪みの関係に基づいて節点毎又は有限要素毎に算出する。各節点又は各有限要素の第２座標系における歪みは第１座標系における歪みに座標変換される。そして、座標変換された歪みは、該歪みと同じ歪みを生じさせる節点力に変換される。

本発明にあっては、２次元直交座標系又は円筒座標系等において歪みに等価な節点力が算出される。なお、円筒座標系の場合、上記式（１）及び（２）で説明したＸ軸、Ｘ’軸は径方向の歪み、Ｙ軸、Ｙ’軸は周方向の歪みである。

本発明にあっては、３次元直交座標系又は円筒座標系等において歪みに等価な節点力が算出される。なお、が円筒座標系の場合、上記式（３）及び（４）で説明したＸ軸、Ｘ’軸は径方向の歪み、Ｙ軸、Ｙ’軸は周方向の歪み、Ｚ軸、Ｚ’軸は円筒の中心軸方向の歪みである。

本発明にあっては、算出された節点力に基づいて電磁部品の構造解析を行う。

本発明にあっては、時間成分を有する複素数の磁束密度に基づいて該磁束密度の複数の時点における実数成分を算出し、該実数成分を用いて複数の時点における歪みに等価な節点力を算出する。そして、複数の時点における節点力をフーリエ変換することにより、周波数に関する節点力の分布を算出する。

本発明にあっては、フーリエ変換された節点力の分布に基づいて、電磁部品の構造解析を行う。周波数に関する節点力の分布を用いることにより、周波数応答解析などの構造解析の演算負荷が低減される。

本発明によれば、磁束密度の方向に主軸を取って該磁束密度による歪みを算出し、該歪みを所定の座標系に座標変換することにより、該座標系における歪みに等価な節点力を正確に算出し、より高精度な変形及び振動解析等の構造解析を行うことができる。

本発明の実施の形態に係る解析装置の一構成例を示すブロック図である。連成解析に係るＣＰＵの処理手順を示したフローチャートである。有限要素を概念的に示した説明図である。磁歪算出に係るＣＰＵの処理手順を示したフローチャートである。２次元の第２座標系における歪みを概念的に示した説明図である。等価節点力を概念的に示した説明図である。変形例１の磁歪算出に係るＣＰＵの処理手順を示したフローチャートである。３次元の第１座標系及び第２座標系を概念的に示した説明図である。変形例２の連成解析に係るＣＰＵの処理手順を示すフローチャートである。

以下、本発明をその実施の形態を示す図面に基づいて詳述する。
図１は、本発明の実施の形態に係る解析装置の一構成例を示すブロック図である。図中１は、本発明の実施の形態に係る解析装置である。解析装置１は、コンピュータを用いて構成されており、有限要素法を用いた電磁部品の磁界解析機能、構造解析機能等を備えている。

解析装置１は、該解析装置１の各構成部の動作を制御するＣＰＵ（Central Processing Unit）１１を備えたコンピュータである。ＣＰＵ１１にはバスを介して内部記憶装置１２、外部記憶装置１３及び通信インタフェース１６が接続されている。

内部記憶装置１２は、コンピュータの初期動作に必要な制御プログラムを記憶したマスクＲＯＭ、ＥＥＰＲＯＭ等の不揮発性メモリと、コンピュータの動作に必要な制御プログラムを記憶し、ＣＰＵ１１の演算処理を実行する際に生ずる各種データを一時記憶するＤＲＡＭ、ＳＲＡＭ等のメモリとで構成される。

外部記憶装置１３は、ハードディスクドライブ、又はソリッドステートドライブ等の読み出しが可能なディスクドライブ、可搬式の記録媒体２からのデータの読み出しが可能なＣＤ−ＲＯＭドライブ等の装置である。記録媒体２には、本実施の形態に係るコンピュータプログラム２０が読み出し可能に記録されている。本実施の形態に係るコンピュータプログラム２０は、コンピュータ読み取り可能に記録されたＣＤ（Compact Disc）−ＲＯＭ、ＤＶＤ（Digital Versatile Disc）−ＲＯＭ、ＢＤ（Blu-ray Disc）等の可搬式の記録媒体２を介すなどしてディスクドライブに記録される。ＣＰＵ１１はコンピュータプログラム２０が記録された記録媒体２又はディスクドライブなどから、コンピュータプログラム２０を読み出し、内部記憶装置１２に記憶させる。また、言うまでもなく、光ディスクは、記録媒体２の一例であり、フレキシブルディスク、磁気光ディスク、外付けハードディスク、半導体メモリ等にコンピュータプログラム２０をコンピュータ読み取り可能に記録し、外部記憶装置１３にて読み出すように構成しても良い。なお、通信インタフェース１６に接続されている外部の通信装置３から本発明に係るコンピュータプログラム２０をダウンロードするようにしても良い。

また、外部記憶装置１３は、コンピュータプログラム２０と共に、有限要素法解析を行うための数値解析モデルを記憶している。数値解析モデルは、磁歪が生ずる磁性体を含む電磁部品を複数の有限要素の組み合わせで表現したモデルである。電磁部品は、例えば磁性体の鉄心を有する変圧器や発電機、電動機等である。また、外部記憶装置１３は、数値解析モデルを特徴付ける各種材料定数、構成式等を記憶している。材料定数の詳細は後述する。

また解析装置１は、キーボード又はマウス等の入力装置１４と、液晶ディスプレイ又はＣＲＴディスプレイ等の出力装置１５とを備えており、使用者によるデータ入力等の操作を受け付ける構成となっている。

図２は、連成解析に係るＣＰＵ１１の処理手順を示したフローチャートである。ＣＰＵ１１は、外部記憶装置１３から形状モデル即ち数値解析モデルを読み出す（ステップＳ１）。数値解析モデルは、磁束密度に応じて歪みが生ずる磁性体を含む電磁部品の形状を複数の有限要素の組み合わせで表現したモデルである。
図３は、有限要素を概念的に示した説明図である。有限要素ｅは三角形、四角形等の多角形もしくは、図３Ａ、Ｂに示すような四面体、六面体等の多面体である。有限要素ｅの頂点を節点という。各節点には番号１，２，３…が付されている。数値解析モデルは、例えば、全節点数、全要素数、一つの有限要素に含まれる節点数等の基本情報、各節点の節点番号と、該節点の座標値とを含む。また、ＣＰＵ１１は、外部記憶装置１３からシミュレーション対象の電磁部品を特徴付ける各種材料定数及び境界条件を読み出す（ステップＳ２）。例えば、磁性体が電磁鋼板である場合、ＣＰＵ１１は、外部記憶装置１３から該電磁鋼板の圧延方向の磁束密度と、該圧延方向における電磁鋼板の歪みとの関係、該圧延方向及び積層方向に略垂直な非圧延方向の磁束密度と、該非圧延方向における電磁鋼板の歪みとの関係といった情報を読み出す。また、ＣＰＵ１１は、外部記憶装置１３から電磁部品の各部の透磁率、電流密度、後述するＢマトリクス、Ｄマトリクス等の構成式、又は該構成式の元になる情報を読み出す。
また、ステップＳ２では、外部記憶装置１３から磁束密度と、歪みとの関係を読み出す例を説明したが、磁歪の物性特性を入力するための入力テーブルを表示し、該入力テーブルに圧延方向の磁束密度と、該磁束密度に対応する歪みとの関係、及び非圧延方向における磁束密度と、該磁束密度に対応する歪みとの関係を受け付けて入力するように構成しても良い。もちろん、このようにして受け付けた磁束密度と、歪みとの関係をファイルとして記憶しておき、ステップＳ２で読み出すように構成しても良い。また、磁束密度と、歪みとの関係を示す情報としては、配列であっても良いし、関数であっても良く、特にデータの形式は問わない。その他の材料定数及び構成式についても同様である。

ステップＳ２の処理を終えたＣＰＵ１１は、磁界解析によって、磁界の支配方程式である下記のMaxwell方程式（５）、（６）を満たす磁気ベクトルポテンシャルを算出し、磁束密度を算出する（ステップＳ３）。なお、式（６）を満たすため、磁束密度の発散は常に０であり、磁束密度の保存則は常に満たされる。また、本実施の形態では式（５）では電束密度の時間微分項を無視しているが、言うまでもなく必要に応じて該時間微分項を加えても良い。

次いで、ＣＰＵ１１は磁歪算出に係るサブルーチンを実行し、磁束密度によって生ずる歪みと等価な節点力、つまり、該歪みと同じ歪みを生じさせる節点力を算出する（ステップＳ４）。節点力は有限要素の節点に働く力である。

図４は、磁歪算出に係るＣＰＵ１１の処理手順を示したフローチャートである。本実施の形態の解析方法に係る磁歪算出のサブルーチンを呼び出したＣＰＵ１１は、任意の節点又は有限要素に磁界解析により与えられた磁束密度の方向に略平行な主軸としてＸ’軸をとり、該Ｘ’軸方向の歪みを算出する（ステップＳ１１）。また、ステップＳ１１で算出したＸ’軸方向の歪みに基づいて、主軸であるＸ’軸に垂直なＹ’軸方向の歪みを算出する（ステップＳ１２）。なお、ここで算出される歪みは実際に生ずる歪みでは無く、着目している有限要素がいわば自由状態にある理想的な場合に生じ得る歪みである。実際に生ずる歪みは、磁歪の影響に加え、着目している有限要素に加えられるその他の電磁力、拘束状態を考慮した力の釣り合いによって決定される。

図５は、２次元の第２座標系における歪みを概念的に示した説明図である。数値解析モデルで表現された電磁鋼板の圧延方向をＸ軸、非圧延方向をＹ軸とした２次元座標系を第１座標系と呼ぶ。電磁部品が変圧器の場合、磁束密度の方向はＸＹ平面に沿った方向になることが多いため、ここでは２次元座標系を考える。第１座標系に対して、磁束密度の方向に主軸であるＸ’軸方向に取った２次元座標系を第２座標系と呼ぶ。第２座標系における歪みは下記式（７）、（８）で表される。図５に示した例では、磁束密度の方向に伸張し、磁束密度に垂直な方向に収縮している。なお、係数ｋの値は正の任意の定数、例えば０．５である。また、係数ｋの値としてポアソン比νを用いても良い。

第１座標系におけるＸ軸方向及びＹ軸方向の磁束密度と、歪みとの関係は、例えば下記式（９）、（１０）に示すように磁束密度の大きさの２次関数で表される。

次いで、ＣＰＵ１１は、第２座標系（Ｘ’Ｙ’座標系）の歪みを第１座標系（ＸＹ座標系）の歪みに回転座標変換し、第１座標系の歪みに変換する（ステップＳ１３）。第１座標系における歪みは下記式（１１）〜（１４）で表される。なお、γ_XY（Ｂ）、γ_YX（Ｂ）はせん断歪み成分である。

そして、ＣＰＵ１１は、ステップＳ１３で座標変換された第１座標系における各節点の歪みに基づいて、歪みを節点力に変換、つまり、該歪みと同じ歪みを生じさせる節点力を算出し（ステップＳ１４）、処理を終える。以下、ステップＳ１３で変換した歪みと同じ歪みを生じさせる節点力を適宜、等価節点力という。等価節点力は、下記数式（１５）及び（１６）で表される。なお、数式（１５）で使用した歪みベクトルは、上記式（１２）でテンソル表記された歪みをベクトル表記したものである。また、式（１５）の積分は、有限要素における体積積分を示している。

数式（１５）及び（１６）は、例えば、四角有限要素の４つの頂点それぞれの等価節点力を表しているが、他の有限要素の節点についても同様にして等価節点力を算出することができる。なお、数式（１５）に示したテンソル［Ｃ］は、いわゆるＢマトリクスと呼ばれるものであり、歪みと変位の関係を示しているが、磁束密度の記号との混同を防ぐために、記号［Ｃ］を用いている。

図６は、等価節点力を概念的に示した説明図である。図６Ａは、磁束密度がＸ軸方向を向いており、Ｘ軸方向の磁束密度が有限、Ｙ軸方向の磁束密度が０である場合を示している。この場合、各節点には有限要素がＸ軸方向に伸張し、Ｙ軸方向に収縮するような等価節点力が働いている。図６Ｂは、磁束密度がＹ軸方向を向いており、Ｘ軸方向の磁束密度が０、Ｙ軸方向の磁束密度が有限である場合を示している。この場合、各節点には有限要素がＹ軸方向に伸張し、Ｘ軸方向に収縮するような等価節点力が働いている。図６Ｃは、磁束密度がＸ軸に対して右斜め上方を向いており、Ｘ軸方向及びＹ軸方向の磁束密度が有限である場合を示している。この場合、各節点には有限要素が右斜め上方及び左斜め下方に伸張し、右斜め下方及び左斜め上方に収縮するような等価節点力が働いている。
以上の処理により、磁束密度によって有限要素に生じた歪みと等価な節点力を算出することができる。上述の説明は一つの有限要素に注目して等価節点力を算出する処理を説明したが、他の有限要素についても同様にして等価節点力を算出することができる。なお、一般的に磁束密度の向きは有限要素毎に異なるため、有限要素毎に異なる第１座標系のＸ’軸及びＹ’軸が設定され、歪みの算出、座標変換及び等価節点力の算出が行われる。

図２に戻り、磁歪算出に係るサブルーチンの処理を終えたＣＰＵ１１は各節点に働く節点力を構造解析シミュレータに引き渡し、構造解析を実行する（ステップＳ５）。なお、ここでは磁歪に起因する等価節点力を構造解析する例を説明するが、磁歪に基づく等価節点力に、電磁力に起因して各節点に働く力を加算し、電磁力及び等価節点力の合力を用いて構造解析を行っても良い。電磁力は、マクスウェルの応力テンソルの表面積分、節点力法、ローレンツ力法等によって算出することができる。

構造解析の支配方程式は、つりあいの式、応力と歪みとの関係を示した構成式、及び変位と歪みの関係式によって構成される。つりあいの式は下記数式（１７）又は（１８）によって表される。

応力と歪みとの関係を示した構成式は、下記式（１９）又は（２０）によって表される。

変位と歪みの関係式は、下記式（２１）又は（２２）によって表される。

ステップＳ５においては、上記支配方程式を用いて、ＣＰＵ１１は、各節点に働く節点力に基づいて、静的構造解析を行っても良いし、時間的に磁束密度が変化する場合、複数の各時点の磁束密度から各節点に基づいて、準静的構造解析を行っても良い。例えば、各節点に働く等価節点力及び剛性マトリクスを用いた下記式（２３）を用いて、各節点の変位を求めることができる。

このように構成された解析装置１、解析方法及びコンピュータプログラム２０によれば、磁束密度の方向に主軸を取って該磁束密度による歪みを算出し、該歪みを第１座標系に座標変換することにより、単に磁束密度をＸ軸成分及びＹ軸成分に分解して歪みを算出する方法に比べて、２次元ベクトルの磁束密度による歪みと等価な節点力をより正確に算出することができる。

また、上述の方法で算出された等価節点力を構造解析シミュレータに引き渡して構造解析を行うことにより、磁界解析と構造解析を連成し、磁歪の影響を正確に考慮した振動解析などの構造解析を行うことができる。

なお、本実施の形態では、磁歪に関して異方性を有する磁性体の歪み及び等価節点力を算出する例を説明したが、本発明を用いて磁歪に関して等方性を有する磁性体の歪み及び等価節点力を算出することもできる。

また、本実施の形態では、電磁鋼板の厚み方向の歪みを無視したが、第２座標系のＸ’軸方向の歪みλ’（Ｂ）に負の係数−ｋを乗算して得られる値−ｋ・λ’（Ｂ）等を積層方向の歪みとして考慮しても良い。但し、ｋは任意の正の係数であり、例えば０．５である。また、ｋの値としてポアソン比νを用いても良い。

更に、本実施の形態では、電磁部品として変圧器を例示したが、磁歪を考慮した変位及び振動の解析が必要な各種電磁部品、該電磁部品を備えた機器、例えば、電動機や発電機などの解析に本発明を適用することができる。

（変形例１）
変形例１に係る解析装置１は、３次元ベクトルの磁束密度によって生じた歪みによる等価節点力を算出するものである。
図７は、変形例１の磁歪算出に係るＣＰＵ１１の処理手順を示したフローチャートである。磁歪算出のサブルーチンが呼び出したＣＰＵ１１は、任意の節点に与えられた磁束密度の方向に略平行な主軸としてＸ’軸をとり、該Ｘ’軸方向の歪みを算出する（ステップＳ１１１）。また、ステップＳ１１１で算出したＸ’軸方向の歪みに基づいて、主軸であるＸ’軸に垂直なＹ’軸方向及びＺ’軸の歪みを算出する（ステップＳ１１２）。

図８は、３次元の第１座標系及び第２座標系を概念的に示した説明図である。変形例１では、数値解析モデルで表現された電磁鋼板の圧延方向をＸ軸、非圧延方向をＹ軸、電磁鋼板の積層方向をＺ軸とした３次元座標系を第１座標系と呼ぶ。第１座標系に対して、磁束密度の方向に主軸であるＸ’軸方向に取った３次元座標系を第２座標系と呼ぶ。第２座標系のＹ’軸は、第１座標系のＸＹ平面に含まれるように取る。このように定義された第２座標系における歪みは下記式（２４）〜（２５）で表される。

次いで、ＣＰＵ１１は、第２座標系（Ｘ’Ｙ’Ｚ’座標系）の歪みを第１座標系（ＸＹＺ座標系）の歪みに回転座標変換し、第１座標系の歪みに変換する（ステップＳ１１３）。第１座標系における歪みは下記式（２６）〜（３０）で表される。［Ｑ（φ）］は、Ｙ’軸を回転中心として、角度φだけ座標系を回転させる回転行列、［Ｑ（θ）］はＺ’軸を回転中心として、角度θだけ座標系を回転させる回転行列である。

そして、ＣＰＵ１１は、ステップＳ１１３で座標変換された第１座標系における各節点の歪みに基づいて、歪みを節点力に変換、つまり、該歪みと同じ歪みを生じさせる節点力を算出し（ステップＳ１１４）、処理を終える。等価節点力は、２次元の場合と同様にして、３次元に拡張した上記数式（１５）で表すことができる。

変形例１によれば、単に磁束密度をＸ軸成分、Ｙ軸成分及びＺ軸成分に分解して歪みを算出する方法に比べて、３次元ベクトルの磁束密度による歪みと等価な節点力をより正確に算出することができる。また、該節点力を構造解析シミュレータに引き渡して構造解析を行うことより、磁界解析と構造解析を連成し、磁歪を考慮した正確な構造解析を行うことが可能になる。

なお、変形例１では、Ｚ軸方向の磁束密度によって磁歪が生ずる例を説明しているが、Ｚ軸方向の磁歪を無視できる場合、λz （Ｂ）を０として変形例に係る処理を実行すれば良い。
また、上述の実施の形態及び変形例１では、第１及び第２座標系として直交座標系を例に説明したが、直交座標系である第２座標系から円筒座標系である第１座標系に変換しても良い。この場合、第１座標系の径方向成分の値は、上述の第２座標系のＸ’軸成分と同じ数式で表すことができる。

（変形例２）
図９は、変形例２の連成解析に係るＣＰＵ１１の処理手順を示すフローチャートである。ＣＰＵ１１は、実施の形態１と同様、外部記憶装置１３から形状モデル、即ち数値解析モデルを読み出す（ステップＳ２０１）。また、ＣＰＵ１１は、外部記憶装置１３からシミュレーション対象の電磁部品を特徴できる各種材料定数及び境界条件を読み出す（ステップＳ２０２）。そして、ＣＰＵ１１は、磁界解析によって、磁気ベクトルポテンシャルを算出し、磁束密度を算出する（ステップＳ２０３）。変形例２では、数値解析モデルで表された電磁部品の特定部分、例えばコイル部分に流れる電流が角周波数ωで変化しており、磁束密度も同様に時間的に変動しているものとする。この場合、通常、磁束密度は複素数として算出される。時間変動の成分をｅ^jωtとして分離し、磁束密度の振幅成分と位相成分を考慮した磁界解析を行うことができるためである。

次いで、ＣＰＵ１１は、ステップＳ２０３で算出された複素数の磁束密度に基づいて複数の時刻における磁束密度の実数成分を算出する（ステップＳ２０４）。複素数の磁束密度は下記式（３１）で表される。下記式（３１）の右側式の第１項が磁束密度の実成分である。

次いで、ＣＰＵ１１は、時刻を示す変数ｔに０を代入し（ステップＳ２０５）、時刻ｔにおける磁束密度に基づいて、磁歪算出を行う（ステップＳ２０６）。ステップＳ２０６の処理によって、特定の時刻ｔにおける等価節点力を算出することができる。

そして、ＣＰＵ１１は、時刻ｔが単位周期時間であるか否かを判定する（ステップＳ２０７）。単位周期時間でないと判定した場合（ステップＳ２０７：ＮＯ）、ＣＰＵ１１は、時刻ｔにΔｔを加算し（ステップＳ２０８）、処理をステップＳ２０６に戻す。Δｔは、単位周期時間を整数で除算して得られる時間である。時刻ｔをΔｔずつ加算してステップＳ２０６の処理を行うことによって、時刻ｔ＝０，Δｔ，２Δｔ，３Δｔ，・・・における等価節点力をそれぞれ算出することができる。

時刻ｔが単位周期時間であると判定した場合（ステップＳ２０７：ＹＥＳ）、ＣＰＵ１１は、節点力ｐ（ｔ）の時系列データをフーリエ変換し、角周波数ωの関数である節点力ｐ（ω）を算出する（ステップＳ２０９）。なお、節点力ｐ（ω）は必ずしも関数である必要は無く、角周波数ωに関する節点力の分布であっても良い。つまり、複数の角周波数ωと、接点力ｐ（ω）との関係を示すデータを算出できれば足りる。

そして、ＣＰＵ１１は、ステップＳ２０９で得られた節点力ｐ（ω）を用いた構造解析を行い（ステップＳ２１０）、処理を終える。例えば、ＣＰＵ１１は周波数応答解析を行う。具体的には、ＣＰＵ１１は、下記式（３２）〜（３４）を用いて各節点の変位の時間変動、つまり振動を算出することができ、数値解析モデルで表現した電磁部品に生ずる磁歪による振動の様子をシミュレートすることができる。

なお、各節点に働く節点力及び変位は各周波数ωの線形結合であるため、複数の角周波数ω毎に準静的構造解析を行って得られた結果を線形結合させるだけで、磁歪による振動解析を行うことができる。数式（３２）に数式（３３）、（３４）を代入すると、数式（３５）のような簡単な式になる。

変形例２によれば、計算時間がかかる過渡応答解析を周波数応答解析に置き換えて、磁歪による振動解析を行うことができる。

今回開示された実施の形態はすべての点で例示であって、制限的なものではないと考えられるべきである。本発明の範囲は、上記した意味ではなく、特許請求の範囲によって示され、特許請求の範囲と均等の意味及び範囲内でのすべての変更が含まれることが意図される。

１解析装置
２記録媒体
３通信装置
１１ＣＰＵ
１２内部記憶装置
１３外部記憶装置
１４入力装置
１５出力装置
１６通信インタフェース
２０コンピュータプログラム

Claims

磁歪が生ずる磁性体を含む電磁部品を、有限要素法解析における複数の有限要素の組み合わせで表現した数値解析モデルに基づいて、前記電磁部品に与えられる磁束密度に応じた該有限要素の各節点又は各有限要素の歪みと等価な節点力を算出する解析装置において、
所定の第１座標系における磁束密度及び歪みの関係、並びに歪み及び該歪みに応じた応力の関係を記憶する記憶手段と、
磁束密度の方向に略平行な主軸を有する第２座標系における歪みを、前記記憶手段が記憶する前記第１座標系における磁束密度及び歪みの関係に基づいて節点毎又は有限要素毎に算出する歪み算出手段と、
各節点又は各有限要素の第２座標系における歪みを前記第１座標系における歪みに座標変換する座標変換手段と、
座標変換された歪み、並びに前記記憶手段が記憶する第１座標系における歪み及び該歪みに応じた応力の関係に基づいて、該座標変換された歪みと同じ歪みを生じさせる節点力を算出する等価節点力算出手段と
を備えることを特徴とする解析装置。
前記第１座標系及び前記第２座標系は２次元の直交座標系又は円筒座標系であり、
前記歪み算出手段は、
第２座標系における歪みを下記式にて算出するようにしてある
ことを特徴とする請求項１に記載の解析装置。
前記第１座標系及び前記第２座標系は３次元の直交座標系又は円筒座標系であり、
前記歪み算出手段は、
第２座標系における歪みを下記式にて算出するようにしてある
ことを特徴とする請求項１に記載の解析装置。
前記等価節点力算出手段にて算出された節点力に基づいて、前記電磁部品の構造解析を行う手段を備える
ことを特徴とする請求項１乃至請求項３のいずれか一つに記載の解析装置。
時間成分を有する複素数の磁束密度が与えられた場合、該磁束密度に基づいて複数の時点における磁束密度の実数成分を算出する手段を備え、
前記歪み算出手段は、
複数の時点における磁束密度の実数成分の値に基づいて第２座標系における歪みを算出するようにしてあり、
前記等価節点力算出手段は、
複数の時点における節点力を算出する手段を備え、
更に、
複数の時点における節点力に基づいて、該節点力の変動態様を特徴付ける周波数に関する節点力の分布を算出するフーリエ変換手段を備えることを特徴とする請求項１乃至請求項４のいずれか一つに記載の解析装置。
前記フーリエ変換手段にて算出された節点力の分布に基づいて、前記電磁部品の構造解析を行う手段を備える
ことを特徴とする請求項５に記載の解析装置。
磁歪が生ずる磁性体を含む電磁部品を、有限要素法解析における複数の有限要素の組み合わせで表現した数値解析モデルに基づいて、前記電磁部品に与えられる磁束密度に応じた該有限要素の各節点又は各有限要素の歪みと等価な節点力を、ＣＰＵが算出する解析方法において、
前記ＣＰＵは、磁束密度の方向に略平行な主軸を有する第２座標系における歪みを、第１座標系における磁束密度及び歪みの関係に基づいて節点毎又は有限要素毎に算出し、
前記ＣＰＵは、各節点又は各有限要素の第２座標系における歪みを前記第１座標系における歪みに座標変換し、
前記ＣＰＵは、座標変換された歪み、並びに前記第１座標系における歪み及び該歪みに応じた応力の関係に基づいて、該座標変換された歪みと同じ歪みを生じさせる節点力を算出する
ことを特徴とする解析方法。
磁歪が生ずる磁性体を含む電磁部品を、有限要素法解析における複数の有限要素の組み合わせで表現した数値解析モデルに基づいて、前記電磁部品に与えられる磁束密度に応じた該有限要素の各節点又は各有限要素の歪みと等価な節点力をコンピュータに算出させるコンピュータプログラムにおいて、
前記コンピュータを、
磁束密度の方向に略平行な主軸を有する第２座標系における歪みを、第１座標系における磁束密度及び歪みの関係に基づいて節点毎又は有限要素毎に算出する歪み算出手段と、
各節点又は各有限要素の第２座標系における歪みを前記第１座標系における歪みに座標変換する座標変換手段と、
座標変換された歪み、並びに前記第１座標系における歪み及び該歪みに応じた応力の関係に基づいて、該座標変換された歪みと同じ歪みを生じさせる節点力を算出する等価節点力算出手段と
して機能させることを特徴とするコンピュータプログラム。