JP3733990B2

JP3733990B2 - 線状体の解析方法および装置ならびに線状体の解析プログラムが格納された記録媒体

Info

Publication number: JP3733990B2
Application number: JP14704797A
Authority: JP
Inventors: 龍彦相澤; 桂蘭王; 諄二木原; 新次蔵重; 卓也村上
Original assignee: Tokyo Rope Manufacturing Co Ltd
Current assignee: Tokyo Rope Manufacturing Co Ltd
Priority date: 1997-05-22
Filing date: 1997-05-22
Publication date: 2006-01-11
Anticipated expiration: 2017-05-22
Also published as: US6163757A; JPH10320452A

Description

【０００１】
【技術分野】
この発明は、ワイヤ・ロープを構成する素線に代表されるような長手方向にほぼ一様な断面形状を有し、かつ長さが径に比べて長い線状体を変形させる場合に生じる線状体の各部分の変位および荷重のうち少なくとも一方を算出する方法ならびに装置ならびにこの変位を算出するためのプログラムが格納された記録媒体に関する。
【０００２】
【発明の背景】
ワイヤ・ロープは、柔軟性が高くかつ強度が強いのでクレーン等の建設機械、エレベータ、索道などさまざまな分野で利用されている。単純な７本よりのほか複雑に素線が組み合わされるシール形、フィラー形、ウォーリントン・シール形など多くの種類のワイヤ・ロープが利用分野に応じて選択されている。
【０００３】
このように利用分野の拡大に伴いワイヤ・ロープに要求される特性が、高強度、耐疲労特性、回転性など細分化されるようになってきた。これらの要求される特性を満足するために従来は、主として経験によりワイヤ・ロープの仕様および製造方法を決定し、さらに仕様現場でのテストを繰り返してきた。
【０００４】
しかしながら、このような方法ではワイヤ・ロープでの開発、改良などに時間がかかり、かつコスト・アップとなってしまう。
【０００５】
【発明の開示】
この発明は、ワイヤ・ロープを構成する素線に代表されるような長手方向にほぼ一様な断面形状を有し、かつ長さが径に比べて長い線状体が変形する場合のその線状体の特性（変位，荷重，応力，歪みなど）を算出することを目的とする。
【０００６】
この発明は、有限要素法を利用している。
【０００７】
しかしながら、ワイヤ・ロープに代表される線状体を芯線に巻き付けるような線状体の変形の場合において有限要素法を利用するときには次に示す点を考慮しなければならない。
【０００８】
第１に高強度線材など線状体の単線から多本線のより線線形過程であること、第２に線状体の断面内が部分的に塑性域となるので弾塑性変形応答により成形が行われることから有限変形弾塑性有限要素法解析を行う必要があること、第３により線成形過程で部材の大きな回転を伴って幾何学形状が変化することから線状体の変形を伴わない剛体の回転を考慮する必要があること、第４により線成形過程で線状体が伸び、曲げおよびねじり変形を受けることから線状体の引張−圧縮（伸び）変形だけでなく線状体の曲げ変形、ねじり変形についても考慮し、評価すること。
【０００９】
一方、従来の有限変形を考慮した有限変形弾塑性有限要素法解析では、適当な時間増分を設定し、その時間当りで線形化した仮想仕事式を解いて増分歪および増分応力を算出し、算出された増分歪および増分応力を決定している。この解析では時間当りの剛体回転量が十分小さい変形過程では近似解を得ることができる。ところが、ワイヤ・ロープに代表される線状体のより線成形過程では変形によって線状体の形状および位置が大きく変わるので、単位時間当りの剛体回転量が変形による時間当りの歪に比べ十分大きくなる。剛体回転に起因する変形速度成分が歪量に混入し、誤差がきわめて大きくなる。
【００１０】
このために従来の有限変形弾塑性有限要素法を用いて長さが径に比べて長い線状体の変形後の解析を行うことは困難な場合がある。
【００１１】
この発明は、上述した点を考慮してなされたものである。
【００１２】
この発明による線状体の解析方法は、長手方向にほぼ一様な断面形状を有し、かつ長さが径に比べて長い線状体をその長さ方向に一定間隔の複数の要素に分け、上記線状体を変形するときの変形後の形状を決定し、決定された形状において上記要素を基準とした局所座標系での接線剛性方程式を上記各要素についてそれぞれ導出し、導出された局所座標系での各要素のそれぞれの接線剛性方程式を、上記線状体を基準とした全体座標系での各要素の接線剛性方程式にそれぞれ変換し、変換された上記全体座標系での各要素のそれぞれの接線剛性方程式から、上記線状体全体の総体剛性方程式を導出し、導出された上記線状体全体の総体剛性方程式と変形後の上記形状とにもとづいて上記各要素の変位および上記各要素に生じる荷重のうち少なくとも一方を算出することを特徴とする。
【００１３】
この発明は上記方法を実施するのに適した装置も提供している。すなわち、長手方向にほぼ一様な断面形状を有し、かつ長さが径に比べて長い線状体を、その長さ方向に一定間隔の複数の要素に分けるように設定する設定手段、上記線状体を変形するときの変形後の形状を決定する形状決定手段、上記形状決定手段によって決定された形状において、上記設定手段によって設定された上記要素を基準とした局所座標系での各要素の接線剛性方程式を上記各要素についてそれぞれ導出する剛性方程式導出手段、上記剛性方程式導出手段によって導出された局所座標系での各要素のそれぞれの接線剛性方程式を、上記線状体を基準とした全体座標系での各要素の接線剛性方程式にそれぞれ変換する剛性方程式変換手段、上記剛性方程式変換手段によって変換された上記全体座標系での各要素のそれぞれの接線剛性方程式から、上記線状体全体の総体剛性方程式を導出する総体剛性方程式導出手段、ならびに上記総体剛性方程式導出手段によって表された上記線状体全体の総体剛性方程式と上記形状決定手段によって決定された形状とにもとづいて上記各要素の変位および上記各要素に生じる荷重のうち少なくとも一方を算出する算出手段を備えた線状体の解析装置である。
【００１４】
さらにこの発明は、上記方法を実施するためのプログラムが格納された記録媒体も提供している。
【００１５】
この発明によると上記線状体を複数の上記要素に分けている。また上記各要素を基準とした局所座標系および上記線状体を基準とした全体座標系を導入している。そして上記局所座標系での各要素の接線剛性方程式を導出し、導出された局所座標系での接線剛性方程式を全体座標系での各要素の接線剛性方程式に変換し、上記線状体全体の総体剛性方程式を導出している。導出された総体剛性方程式から上記要素の変位および荷重のうち少なくとも一方を算出している。このようにして線状体が変形したときの線状体の特性が算出できる。
【００１６】
上記局所座標系での各要素の接線剛性方程式を、上記全体座標系での各要素の接線剛性方程式に変換する際には、上記要素の剛体回転と上記各要素の伸び変形、曲げ変形およびねじり変形とを区別することにより、比較的正確な変換が可能となる。
【００１７】
上記線状体が徐々に変形する場合には、上記局所座標系での各要素の接線剛性方程式の導出、上記全体座標系での各要素の接線剛性方程式への変換、上記線状体全体の総体剛性方程式の導出および上記各要素の変位の算出処理を、上記線状体が目的形状となるまで繰り返すこととなろう。
【００１８】
上記各要素の変位が算出されると算出された各要素の変位にもとづいて上記各要素の応力、歪などを算出することができる。
【００１９】
上記局所座標系の原点は、たとえば上記要素の中心にとる。これにより上記変換処理が比較的容易となる。
【００２０】
また、要素の中心軸上における両端部および中心部に上記要素の節点を規定することができる。
【００２１】
【実施例の説明】
Ｉこの実施例による素線の解析の概要
【００２２】
この実施例は図１に示すように１本の素線１が用意され、この素線１に荷重が加えられ芯線（図示略）に巻き付けられることによりワイヤ・ロープ（ストランド）が作成される場合に、素線１の各部分に生じる荷重または変位を解析するものである。荷重が加えられたあとの素線１の目的形状は公知の形状解析手法によりあらかじめ分かっている。
【００２３】
素線１は、その長手方向にほぼ一様な断面を有し、かつ長さが径に比べて長い線状体である。
【００２４】
素線１に荷重が徐々に印加されることにより、素線１が徐々に変形し、目的形状となる。
【００２５】
図２は、素線１に荷重が加えられたときの様子を示している。図２においては荷重印加後の素線１が実線で示され、荷重印加前の初期形状の素線１が鎖線で示されている。素線１はその長手方向に一定間隔に複数の要素２に分けられる。図２においては代表的に１つの要素が示されている。
【００２６】
ここで、素線１全体を基準とした座標系を全体座標系ＸＹＺとし、要素２を基準とした座標系を局所座標系ｘｙｚとする。また全体座標系ＸＹＺでの要素２の位置を表すベクトルを座標基底ベクトルという。
【００２７】
図３は、素線１に荷重が加えられ要素２がよれた状態を示している。
【００２８】
要素２は、節点１、節点２および節点３の３つの節点が規定されている。節点１および節点２は要素２の両端面の中央の位置に規定され、節点２は要素２の中央端面の中央に規定される。節点２が局所座標系ｘｙｚの原点と一致する。
【００２９】
素線１に荷重が加わると素線１がよれるので素線１を構成する要素２もよれる。要素２のよりには、局所座標系ｘｙｚでの各軸方向での変位と各軸回りでのねじり角度変位とにもとづくものがある。図３に示す例では、要素２がよれることにより節点２が局所座標系ｘｙｚのｘ方向にｕ₂ だけ変位し、ｙ方向にｖ₂ だけ変位し、ｚ方向にｗ₂ だけ変位している。また、要素２の節点２が局所座標系ｘｙｚのｘ軸の回りにθ_x2角度変位し、ｙ軸回りにθ_y2角度変位し、ｚ軸回りにθ_z2角度変位している。
【００３０】
この実施例による素線１の荷重または変位の解析においては有限要素法が利用される。
【００３１】
素線１のような線状体の変形を有限要素法を利用して解析する場合には、上述したように有限要素弾塑性解析を行う必要があり、素線１の変形を伴わない剛体回転を考慮する必要があり、かつ素線１の曲げ変形およびねじり変形を考慮する必要がある。
【００３２】
剛体回転を考慮した解析をするために、時間増分間当りで大きく変化する幾何学形状を写像の形で表現し、精度よく空間回転運動を取り扱うこととする。これはある座標基底ベクトルを回転変換マトリクスＴを用いて、回転変換マトリクスＴと増分前の座標基底ベクトルＥ０の積で表現するものである。この座標表現により任意の増分間で座標基底ベクトル同士の剛体回転を比較的厳密に取り扱うことができる。増分後の座標基底ベクトルをＥ、増分前の座標基底ベクトルをＥ０とすると
Ｅ＝Ｔ・Ｅ０ …式１
となる。
【００３３】
ここで、回転変換ベクトルＴは、軸性ベクトルをθ、軸性ベクトルθに付随するスピン・マトリクスをＳとすると
Ｔ＝Ｉ＋（Ｓinθ／θ）Ｓ＋（１−Ｃosθ）／θ² ・Ｓ² …式２
である。
【００３４】
さらに素線１の曲げ変形および伸び変形を考慮するために上述のように要素２ごとに局所座標系ｘｙｚを挿入し、素線１の長手方向の伸びとなる変位とねじりを２次式でエルミート補間し、曲げとなる軸方向の変位をそれぞれ５次式でエルミート補間する。
【００３５】
要素２の変位のすべてから要素２の曲げおよび伸びの変位と剛体回転による変位とを区別して取り扱うので、比較的正確に局所座標系ｘｙｚから全体座標系ＸＹＺへの変換を行うことができる。
【００３６】
この実施例では、全体座標系ＸＹＺおよび局所座標系ｘｙｚを規定した上で第１番目に、局所座標系ｘｙｚでの要素２ごとの接線剛性方程式を導出する。第２番目に、導出された要素２ごとの接線剛性方程式を全体座標系ＸＹＺでの要素２ごとの接線剛性方程式に変換する。第３番目に、変換された全体座標系ＸＹＺでの要素２ごとの接線剛性方程式から全体座標系ＸＹＺでの総体剛性方程式を算出する。算出された全体座標系ＸＹＺでの総体剛性方程式から要素２内に生じる応力および歪みが求められる。
【００３７】
第２番目に行われる局所座標系での接線剛性方程式から全体座標系での接線剛性方程式への変換において、素線１の変形を伴わない剛性回転と素線１の曲げ変形および素線１の伸び変形とが後述のように区別されている。この実施例よる解析により有限要素法解析を利用して素線１が変形した場合の解析を比較的正確に実現できることとなる。
【００３８】
（１）局所座標系での要素ごとの接線剛性方程式の導出
【００３９】
まず、局所座標系ｘｙｚでの要素２ごとの接線剛性方程式を導出する過程について説明する。
【００４０】
素線１に荷重が加えられたときには最小ポテンシャル・エネルギーの定理（境界表面上における条件と同時に、物体内でのつりあいの微分方程式もまた満足する変位から導かれるポテンシャル・エネルギーは、境界表面上で同じ条件を満足する他のどのような変位によるポテンシャル・エネルギーよりも小さくなる）から式３を最小化させることとなる。
【００４１】
【数３】

【００４２】
式３において左辺はポテンシャル・エネルギー、右辺の第１項はひずみエネルギー、右辺の第２項は物体力による仕事量、右辺の第３項は表面力による仕事量である。また右肩のｔは転置マトリクスを表す。
【００４３】
この実施例による要素２のポテンシャル・エネルギーは、一般の構成方程式が、応力速度が剛性マトリクスと歪み速度の積に等しいとして表されること、要素２の定義から要素２の外力速率ベクトルが３軸の各軸力、３軸の各モーメントの６成分であり、要素２の変位速率ベクトルが３軸の各軸変位、３軸回りの各ねじれ角の６成分であること、要素２のＢマトリクスを使用することを考慮して、式３は、式４のように変形できる。
【００４４】
【数４】

【００４５】
右肩のｅは要素２に関するものであることを表す。
式４においてＶ^*et は，
【００４６】
【数５】

【００４７】
である。
【００４８】
またＦは、
【００４９】
【数６】

【００５０】
である。ここで、ｍｘ，ｍｙおよび，ｍｚはそれぞれｘ方向、ｙ方向およびｚ方向の節点モーメント・ベクトル、ｎｘ，ｎｙおよびｎｚはそれぞれｘ方向、ｙ方向およびｚ方向での節点力（モーメントを除く）ベクトルである。
【００５１】
要素２のポテンシャル・エネルギーが最小化する条件は、このポテンシャル・エネルギーの歪み速度ベクトルに関しての変分関数が０の値をとることで表されるので、式４は式７のように変形することができる。
【００５２】
【数７】

【００５３】
ＢはＢマトリクスと呼ばれるもので、ＤはＤマトリクス（弾性状態の要素剛性マトリクスＤｅまたは塑性状態の要素剛性マトリクスＤｐ）と呼ばれるものである。
【００５４】
Ｋｅは要素２の剛性マトリクス、δｄ^e は要素２の変位ベクトル、δＦ^e は要素２の力を表すベクトルである。
【００５５】
この式７は式８のように表すことができる。
【００５６】
【数８】

【００５７】
この式７（式８）が第１番目に求めるべき局所座標系ｘｙｚでの要素２ごとの接線剛性方程式である。
【００５８】
（２）局所座標系から全体座標系への変換
【００５９】
局所座標系ｘｙｚでの要素２ごとの接線剛性方程式が導出されると、この接線剛性方程式が全体座標系ＸＹＺでの要素２ごとの接線剛性方程式に変換される。
【００６０】
つづいてこの変換について述べる。
【００６１】
まず節点と要素２内部の関係づけをし、次に各要素の節点と素線１全体とを関係づけることにより局所座標系ｘｙｚでの要素２ごとの接線剛性方程式を全体座標系での要素２ごとの接線剛性方程式に変換する。
【００６２】
▲１▼節点と要素内部との関連づけ
【００６３】
Ｂマトリクスならびに弾性状態の要素剛性マトリクスＤｅおよび塑性状態の要素剛性マトリクスＤｐを算出する。
【００６４】
Ｂマトリクスの算出は次にようにして行われる。
【００６５】
まず要素２の長手方向の伸びとなる変位とねじりを２次式で補間するための内挿関数を式９で定義する。
【００６６】
【数９】

【００６７】
また、要素２の曲げとなる軸方向に垂直する２方向の変位を５次式で補間するための内挿関数を式１０で定義する。
【００６８】
【数１０】

【００６９】
式９および式１０においてξは、式１１で表される。ただし、ｘは要素２内部の任意の位置座標、Ｌは要素２の長さである。
【００７０】
【数１１】

【００７１】
つづいて、要素２内部の任意の座標におけるｘ方向の変位ｕおよびねじり角が式９および式１０を参照して式１２によって算出される。
【数１２】

【００７２】
ただし、μ₁ ^eは節点１におけるｘ方向の変位であり、θ_x1 ^e 節点１におけるねじり角、θ_ex ² は節点２におけるねじり角、θ_x3 ^e は節点３におけるねじり角である。
【００７３】
また、要素２内部の任意の座標におけるｙ方向の変位およびｚ方向の変位が式９および式１０を参照して式１３および式１４によって算出される。
【００７４】
【数１３】

【００７５】
【数１４】

【００７６】
図３からわかるように要素２内部の任意の座標におけるｙ方向のねじり角θ_y およびｚ方向のねじり角θ_z は微少であるため、それらについては省略している。
【００７７】
式１０から式１２において、伸び変形および曲げ変形（μ₁ ^e，μ₂ ^e，μ₃ ^e，υ1^e，υ₂ ^e，υ₃ ^e，ω₁ ^e，ω₂ ^e，ω₃ ^e）ならびにねじり変形（θ_x1 ^e ，θ_x2 ^e ，θ_x3 ^e ，θ_y1 ^e ，θ_y2 ^e ，θ_y3 ^e ，θ_z1 ^e ，θ_z2 ^e ，θ_z3 ^e ）を考慮してｘ方向の変位μ^e およびｙ方向の変位υ^e ならびにｚ方向の変位をω^e 算出するので比較的正確に、局所座標系ｘｙｚにおける接線剛性方程式から全体座標系ＸＹＺにおける接線剛性方程式への変換ができる。
【００７８】
一方、局所座標系における歪みと変位との関係は次のように関係づけられる。
【００７９】
軸方向の引っ張り変形による歪みε_xtは、式１５によって表される。
【００８０】
【数１５】

【００８１】
軸方向のねじり変形による歪みＫ_x は、式１６によって表される。
【００８２】
【数１６】

【００８３】
軸を含んだ平面内の曲げ変形曲率Ｋ_y およびＫ_z は、ｘｏｚ平面では式１７によって表され、ｘｏｙ平面では式１８によって表される。
【００８４】
【数１７】

【００８５】
【数１８】

【００８６】
ここで、
【００８７】
【数１９】

【００８８】
【数２０】

とおく。
【００８９】
また、次式を算出する。
【００９０】
【数２１】

【００９１】
【数２２】

【００９２】
【数２３】

【００９３】
【数２４】

【００９４】
【数２５】

【００９５】
ところで、軸方向の引っ張り歪みε_x は、式２６によって表される。
【００９６】
【数２６】

【００９７】
また軸方向のねじり変形によるせん断歪みγは、式２７によって表される。
【００９８】
【数２７】

【００９９】
式２６と式２７に式１２から式２５の各式を代入して整理すると、式２８を得る。
【０１００】
【数２８】

【０１０１】
この式２８は式２９のように表すことができる。
【０１０２】
【数２９】

【０１０３】
式２８および式２９を参照してＢマトリクスは式３０のように表されることとなる。
【０１０４】
【数３０】

【０１０５】
つぎに弾性状態の要素剛性マトリクスＤｅおよび塑性状態の要素剛性マトリクスＤｐを算出する。
【０１０６】
まず伸び変位による剛性マトリクスＫ_t を算出する。
【０１０７】
応力は、軸方向歪みと縦弾性マトリクスとの積に等しいので、要素２の断面積をＳ_o とすると剛性マトリクスＫｔは式３１によって表される。
【０１０８】
【数３１】

【０１０９】
次にｘｏｙ平面の曲げ変位による剛性マトリクスＫ_bzを算出する。
【０１１０】
要素２のｚ軸に関する断面２次モーメントをＪｚ、縦弾性係数をＥとすると剛性マトリクスＫｂｚは式３２によって表される。
【０１１１】
【数３２】

【０１１２】
次にｘｏｚ平面の曲げ変位による剛性マトリクスＫ_byを算出する。
【０１１３】
要素２のｙ軸に関する断面２次モーメントをＪｙとすると剛性マトリクスＫｂｙは式３３によって表される。
【０１１４】
【数３３】

【０１１５】
さらにねじり変位による剛性マトリクスＫ_tor を算出する。
【０１１６】
せん断応力は、せん断歪みと横弾性係数の内積によって求められるので式３４によって剛性マトリクスＫｔｏｒが表される。ただし、ＫはＳａｎｔ−Ｖｅｎａｎｔのねじり定数、Ｇは横弾性係数である。
【０１１７】
【数３４】

【０１１８】
式３１から式３４において積分は数値積分によって行われ、この結果定数係数となる。さらに数値積分により得られた定数係数は、省略されるのが一般的であることを考慮すると、弾性状態の要素剛性マトリクスＤｅは、式３１、式３２、式３３および式３４の剛性マトリクスＫ_t ，Ｋ_bz，Ｋ_byおよびＫ_tor を用いて式３５のように得られる。
【０１１９】
【数３５】

【０１２０】
また塑性の要素剛性マトリクスＤｐは、式３６から得られる。ただし、ｆは塑性ポテンシャルである。
【０１２１】
【数３６】

【０１２２】
ここで、塑性ポテンシャルｆはＬｅｖｙ−Ｍｉｓｅｓの条件にもとづき一般化応力｛Ｎ₁ ，Ｍ_x ，Ｍ_y ，Ｍ_z ｝と一般化歪み｛ε_x ，θ_x ，Ｋ_y ，Ｋ_z によって表すと式３７のようになる。ただし、Ｗco,ｉ（ｉはｘ，ｙまたはｚ）が単純荷重の降伏条件から求められる弾塑性断面係数、Ｅはヤング率（縦弾性係数）、Ｈは加工硬化率、γは弾性区域と塑性区域の面積の割合を示している。
【０１２３】
【数３７】

【０１２４】
▲２▼各要素の節点と素線全体との関係づけ
【０１２５】
上述のようにして節点と要素内部について関係づけられると次に各要素の節点と素線全体との関係づけが行われる。
【０１２６】
応力による仕事量は座標系に依存しないから、この実施例においても局所座標系ｘｙｚおよび全体座標系ＸＹＺにかかわらず要素２に対する仕事量は同じである。このことから式３８が成立する。ここで、右肩のｇは全体座標系を示している。
【０１２７】
【数３８】

【０１２８】
式３８においてＦは、一般化応力であり、式３９に示すようにｘ方向，ｙ方向およびｚ方向の軸力とｘ軸、ｙ軸およびｚ軸まわりのモーメントの６つの成分から構成されている。
【０１２９】
【数３９】

【０１３０】
素線１がよれる場合には、素線１がよれたことにより要素２に荷重が加わり要素２自体が変形することにより要素２が変形するだけでなく、要素２の変形を伴わずに要素２の回転および並進（剛性変位）が行われる。
【０１３１】
したがって、局所座標系ｘｙｚでの要素ごとの接線剛性方程式を全体座標系ＸＹＺでの要素２ごとの接線剛性方程式に変換する場合には、要素２の剛性変位を考慮する必要がある。
【０１３２】
この剛性変位を考慮すると、局所座標系ｘｙｚでの要素２ごとの接線剛性方程式の変位ベクトルと全体座標系ＸＹＺでの要素２ごとの接線剛性方程式の変位ベクトルとの関係は、式４０によって表すことができる。
【０１３３】
【数４０】

【０１３４】
式４０から局所座標系ｘｙｚでの要素２ごとの接線剛性マトリクスＫ^e と全体座標系ＸＹＺでの要素２ごとの接線剛性マトリクスＫ_T とは式４１によって関係づけられる。
【０１３５】
【数４１】

【０１３６】
式４１において、Ａは式４２によって、Ｈは式４３によって、Ｍは式４４によって、Ｇは式４５によって、Ｑは式４６から式４８によってそれぞれ表される。
【０１３７】
【数４２】

【０１３８】
ただし，Ｉは恒等変換マトリクス，Ｅは基底座標ベクトル，Ｘ₁ ^e，Ｘ₂ ^eおよびＸ₃ ^eは局所座標系における節点１，２および３のｘ座標、Ｓpin は行回転ベクトルである。
【０１３９】
【数４３】

【０１４０】
ただし，Ｔ₁ ^e，Ｔ₂ ^eおよびＴ₃ ^eは要素２についての節点１，２および３の回転変換マトリクスである。
【０１４１】
【数４４】

【０１４２】
【数４５】

【０１４３】
【数４６】

【０１４４】
【数４７】

【０１４５】
【数４８】

【０１４６】
以上のようにして得られた式３８、式４０および式４１を式８に代入し、整理すると式４９に示すように全体座標系ＸＹＺでの要素２ごとの接線剛性方程式が得られる。
【０１４７】
【数４９】

【０１４８】
（３）総体剛性方程式の算出
【０１４９】
式４９に示すように全体座標系ＸＹＺでの要素２ごとの接線剛性方程式が得られると素線１のすべての要素２について節点ごとに重ね合わされ、荷重が加えられた後の素線１についての総体剛性方程式が算出される。この総体剛性方程式を式５０に示す。
【０１５０】
【数５０】

【０１５１】
式５０において、変位増分ベクトルδＰまたは総体節点荷重ベクトルδＱのうち一方は、荷重が加えられた後の素線１の形状解析によってあらかじめ分かるので、この総体剛性方程式から変位増分ベクトルδＰまたは総体節点荷重ベクトルδＱのうち未知のものを算出できる。
【０１５２】
上述した方法を，１回から数100 回以上繰り返すことにより初期形状から目的形状となるまでの素線の解析を行なうことができる。
【０１５３】
ＩＩ素線１のより工程での処理
【０１５４】
（１）線状体の解析装置
【０１５５】
図４は、線状体の解析装置の外観を、図５は、その電気的構成の概要をそれぞれ示している。
【０１５６】
線状体の解析装置のはコンピュータ１０を含む。コンピュータ１０はＣＲＴ表示装置（または液晶（ＬＣ）ディスプレイ・パネル）１１、プリンタ１２および入力装置（キーボード１３Ａやマウス１３Ｂ）が接続されている。コンピュータ１０の内部にはＦＤドライブ１４、ＣＤ−ＲＯＭドライブ１５およびＨＤユニット１６が設けられている。ＦＤドライブ１４はＦＤ１９へのデータの書込みおよびＦＤ１９からのデータの読出しを行う。ＣＤ−ＲＯＭドライブ１５はＣＤ−ＲＯＭ１８からのデータの読出しを行う。ＨＤユニット１６はハードディスク（図示略）へのデータの書込みおよびハードディスクからのデータの読出しを行う。コンピュータ１０はさらに内部メモリ（半導体メモリなど）１７を含む。
【０１５７】
キーボード１３Ａには素線１の解析のためのデータを入力するためのキー群が設けられている。
【０１５８】
ＣＤ−ＲＯＭ１８には素線１の解析のためのプログラムおよびデータが格納されている。
【０１５９】
（２）線状体の解析処理
【０１６０】
図６は、より線機の一部を示す概略図である。
【０１６１】
素線１はフライヤー２０に巻かれている。素線１の一端が鏡板２１に形成されている開口２２を通してフォーミング・ダイ２３に固定されている。
【０１６２】
鏡板２１が回転することにより、フライヤー２０に巻かれている素線１はフライヤー２０から押し出され、素線１はフォーミング・ダイ２３に巻取られ徐々にワイヤ・ロープが生成されていく。
【０１６３】
図７および図８は１ピッチ分のワイヤ・ロープの生成過程をグラフに表したものである。図７は三次元的に表したもので、図８は図７の投影図である。
【０１６４】
これらの図においては素線１の１区画が上述した要素２に対応する。
【０１６５】
またこれらの図においてはＡ点で示すフォーミング・ダイ２３の下端部の素線１の部分がＡ点に該当し、Ｂ点で示す鏡板２１の開口２２の素線１の部分がＢ点に該当する。
【０１６６】
上述のように，鏡板２１が所定角度回転すると、開口２２の位置にある素線１の部分はＢ１点に移動する。さらに鏡板２１が所定角度回転すると、開口２２の位置にある素線１の部分はＢ２点に移動する。鏡板２１の所定角度ごとの回転が繰り返されることにより、上述ように素線１はフォーミング・ダイ２３に１ピッチ巻取られる。フォーミング・ダイ２３に素線１が１ピッチ巻取られたときには、開口２２の位置にある素線１の部分はＢｎ点に移動している。
【０１６７】
図９および図１０は、３ピッチ分のワイヤ・ロープの生成過程をグラフに表したものである。図９は３次元的に表したもので、図１０は図９の投影図である。
【０１６８】
図６から図８において説明したように１ピッチ分のワイヤ・ロープの生成過程が繰り返されることによりワイヤ・ロープが生成されていく。
【０１６９】
ピッチごとに素線１に加わる荷重が変化する場合には、数ピッチ分解析する必要がある。ピッチごとに素線１に加わる荷重が変化しなければ１ピッチ分の解析を行えば十分である。
【０１７０】
図１１から図１３はワイヤ・ロープの解析処理の手順を示すフローチャートである。図１１は素線の各部分における変位または荷重を算出する前に行われるプリ処理を示し、図１２は素線の各部分における変位または荷重を実際に算出する処理を示し、図１３は変位または荷重が算出された後の処理を示している。
【０１７１】
図１１を参照して、まず計算制御パラメータの読み取りとその計算が行われる（ステップ３１）。この処理には、素線１をいくつの要素２に分けるかを表す要素数の設定（要素数はオペレータによって決められる）、要素２の節点数、自由度数、繰り返し計算回数などの算出がある。
【０１７２】
つぎに素線１の幾何学上のデータが読み取られる（ステップ３２）。幾何学上のデータには素線１をよることによりワイヤ・ロープを生成するときにはそのワイヤ・ロープおよびストランドの径、素線１の径、素線１の本数、よりピッチ、より方向、ワイヤ・ロープの長さなどがある。
【０１７３】
つづいて、素線１の材料定数が読み取られる（ステップ３３）。この材料定数には、縦弾性定数、横弾性定数、ポアソン比、降伏応力、降伏荷重が印加されたときの張力、硬化勾配などがある。
【０１７４】
さらに、要素２の分割および節点のナンバリングが行われる（ステップ３４）。この処理により素線１に通しの節点が付加される。またこの処理において、要素座標の設定および初期局所座標系の設定も行われる。
【０１７５】
そして、変形荷重、変位、応力および歪みが初期化され（ステップ３５）、何度の計算ステップで計算を終了するかが設定される（ステップ３６）。例えば図７に示す例ではｎ回の計算ステップで素線１が目的形状となり計算が終了する。
【０１７６】
以上でプリ処理については終了する。このプリ処理が終了するとメイン処理に移行する。
【０１７７】
図１２に示す１回のメイン処理によって図７に示す素線１の先端部Ｂ０がＢ１の位置に移動し、２回目のメイン処理によってＢ１の位置に移動した素線１の先端部がＢ２の位置に移動する。メイン処理がｎ回繰り返されることにより素線１は目的形状となり、メイン処理が終了する。
【０１７８】
まず第１回目の変形による素線１の目的形状が定められる（例えば図７に示す例では素線１の先端部Ｂ０がＢ１の位置になるように素線１の各要素２の節点の変位、荷重が計算される）（ステップ４１，素線１の変位制御／荷重制御による境界条件の設定）。
【０１７９】
つづいて、局所座標系における要素２ごとの接線剛性マトリクスＫ_e が，すべての要素２について、上述の通り算出される（ステップ４２）。
【０１８０】
局所座標系における要素２ごとの接線剛性マトリクスＫ_e が算出されると、上述のように全体座標系における要素２ごとの接線剛性マトリクスＫ_T に変換される（ステップ４３）。
【０１８１】
全体座標系における要素２ごとの接線剛性マトリクスＫ_T に変換されると、上述したように素線１についての総体剛性方程式が算出され、この総体剛性方程式にもとづいて変位増分および荷重増分が計算される（ステップ４４，４５）。
【０１８２】
ステップ４４および４５において計算された変位増分および荷重増分の値は、理論上吊り合わないのでそれらが吊り合うように、残余力（節点力と実際の外力との差）による変位増分の補正計算が行われる（ステップ４６）。
【０１８３】
この補正計算の値が収束するかどうかが判断される（ステップ４７）。補正の計算値が収束しなければプリ処理（図１１）からやり直され、要素数などが変更される。
【０１８４】
補正の計算値が収束すると、要素２の弾塑性状態の判別が行なわれる（ステップ４８）。降伏荷重から弾塑性状態を判別し、塑性域に入る要素２が多すぎる場合は変位増分を少なくしてステップ４１からやり直される。
【０１８５】
つづいて、素線１の初期の形状からどれだけ変位したかが累積変位として算出され、かつ変形後の節点座標が計算される（ステップ４９）。
【０１８６】
節点２の位置から節点１および３の位置を計算し、その間の位置については補間することにより、変形後の局所座標系の計算が行われる（ステップ５０）。この計算値を用いて、次回のメイン処理において全体座標系における要素２ごとの接線剛性方程式を算出するために回転テンソルＴが計算される（ステップ５１）。
【０１８７】
さらにステップ４４および４５で算出された変位増分および荷重増分にもとづいて要素２の任意の部分における応力と歪みが計算される（ステップ５２）。
【０１８８】
素線１が最終的な目標の形状になったか（荷重過程が終了したか）が判断され（ステップ５３）、素線１が目的形状となっていなければ（ステップ５３でＮＯ）、節点変位と節点荷重が更新され（ステップ５４）、ステップ４１から処理が繰り返される。
【０１８９】
素線１が目的形状となっていると（ステップ５３でＹＥＳ）、ポスト処理に移行する（ステップ５５）。
【０１９０】
図１３を参照して、ポスト処理では計算データの結果がファイルとして内部メモリ１７に記憶され、かつプリンタ１２によって印刷される（ステップ６１）。
【０１９１】
また得られた画像データにもとづいてよられた素線１の内部応力状態を表す画像が表示装置１１に表示される（ステップ６２）。オペレータがこの表示を見ることにより素線１の内部の荷重の状態が視覚で認識できるようになる。
【０１９２】
図１４は上述した線状体の解析方法によって、素線１をよることにより得られたワイヤ・ロープの特性を得る場合の入力データ示している。
【０１９３】
図１５は、図１４に示すような入力データにより得られる素線１の各要素の全体座標系での節点での座標位置を表し、図１６はワイヤ・ロープに生じる残留応力を表している。図１５および図１６に示すデータがプリントされることとなる（図１３ステップ６１）。
【０１９４】
図１７（Ａ）から図２１（Ｃ）はこの実施例による線状体の解析方法を用いて得られるデータにもとづいてワイヤ・ロープの残留応力の状態を示すものである。これらの図においてすべて（Ａ）は、より戻し係数が０の状態を示すものであり、（Ｂ）はより戻し係数が０．８３の場合であり、（Ｃ）はより戻し係数が１．０の場合である。
【０１９５】
図１７（Ａ），（Ｂ）および（Ｃ）は荷重が加えられている状態でのワイヤ・ロープをその長手方向に見たときの残留軸応力を示している。
【０１９６】
また、図１８（Ａ），（Ｂ）および（Ｃ）は荷重が加えられている状態でのワイヤ・ロープをその長手方向に見たときの残留せん断応力を示している
【０１９７】
さらに、図１９（Ａ），（Ｂ）および（Ｃ）は荷重が加えらている状態でのワイヤ・ロープをその長手方向に見たときの残留相当応力を示している。
【０１９８】
また、図２０（Ａ），（Ｂ）および（Ｃ）はワイヤ・ロープに加えられた荷重が除荷された場合の残留軸応力を示している。
【０１９９】
さらに図２１（Ａ），（Ｂ）および（Ｃ）はワイヤ・ロープに加えられた荷重が除荷された場合の残留せん断応力を示している。
【０２００】
図２０（Ａ）から図２１（Ｃ）においてはそれぞれ、（Ａ）および（Ｂ）はワイヤ・ロープをその長手方向から見ている状態を示しているが、（Ｃ）は残留応力の状態を分かりやすくするためにあえて（Ａ）および（Ｂ）の方向とは異なる方向から見ている状態を示している。
【０２０１】
図２０（Ａ）および（Ｂ）に示す図が図１４から図１６に示すデータにもとづいて得られる。図２０（Ａ）および（Ｂ）を除く図１７（Ａ）から図２１（Ｃ）に示す図も同様にして容易に得ることができる。ここでは、図２０（Ａ）およひ（Ｂ）を除く図１７（Ａ）から図２１（Ｃ）に示す図を得るためのデータは煩雑となるのを回避するため省略している。
【図面の簡単な説明】
【図１】素線が変形する様子を示している。
【図２】局所座標系と全体座標系との関係を示している。
【図３】要素を取り出して示している。
【図４】素線の解析装置の外観を示している。
【図５】素線の解析装置の電気的構成を示すブロック図である。
【図６】ワイヤ・ロープの生成過程を示している。
【図７】素線が変形する様子を示している。
【図８】図７の投影図である。
【図９】素線が変形する様子を示している。
【図１０】図９の投影図である。
【図１１】素線の解析処理手順を示すフローチャートである。
【図１２】素線の解析処理手順を示すフローチャートである。
【図１３】素線の解析処理手順を示すフローチャートである。
【図１４】ワイヤ・ロープ解析の入力データを示している。
【図１５】ワイヤ・ロープ解析の出力データを表している。
【図１６】ワイヤ・ロープ解析の出力データを表している。
【図１７】（Ａ）から（Ｃ）はワイヤ・ロープに荷重を加えた場合にワイヤ・ロープの各部分に生じる残留軸応力を示している。
【図１８】（Ａ）から（Ｃ）はワイヤ・ロープに荷重を加えた場合にワイヤ・ロープの各部分に生じる残留せん断応力を表している。
【図１９】（Ａ）から（Ｃ）はワイヤ・ロープに加えられた荷重を除荷した場合の残留相当応力を示している。
【図２０】（Ａ）から（Ｃ）はワイヤ・ロープに加えられた荷重を除荷した場合の残留軸応力を表している。
【図２１】（Ａ）から（Ｃ）はワイヤ・ロープに加えられた荷重を除荷した場合の残留せん断応力を表している。
【符号の説明】
１素線
２要素
１０コンピュータ
１１表示装置
１５ＣＤ−ＲＯＭドライブ
１７内部メモリ
１８ＣＤ−ＲＯＭ

Claims

長手方向にほぼ一様な断面形状を有し，かつ長さが径に比べて長い線状体を，その長さ方向に一定間隔の複数の要素に分けるように設定する設定手段，
上記線状体を変形するときの変形後の形状を決定する形状決定手段，
上記形状決定手段によって決定された形状において，上記設定手段によって設定された上記要素を基準とした局所座標系での各要素の接線剛性方程式を上記各要素についてそれぞれ導出する剛性方程式導出手段，
上記剛性方程式導出手段によって導出された局所座標系での各要素のそれぞれの接線剛性方程式を，上記線状体を基準とした全体座標系での各要素の接線剛性方程式にそれぞれ変換する剛性方程式変換手段，
上記剛性方程式変換手段によって変換された上記全体座標系での各要素のそれぞれの接線剛性方程式から，上記線状体全体の総体剛性方程式を導出する総体剛性方程式導出手段，ならびに
上記総体剛性方程式導出手段によって表された上記線状体全体の総体剛性方程式と上記形状決定手段によって決定された形状とにもとづいて上記各要素の変位および上記各要素に生じる荷重のうち少なくとも一方を算出する算出手段を備え，
上記剛性方程式変換手段が，上記局所座標系での各要素のそれぞれの接線剛性方程式から上記全体座標系での各要素の接線剛性方程式への変換を，上記要素の剛体回転と上記要素のねじり変形および曲げ変形とをそれぞれ区別して行なうものであり，
上記算出手段が，算出した上記変位および上記荷重の少なくとも一方にもとづいてさらに上記各要素の応力および歪の少なくとも一方を算出するものである，
線状体の解析装置。
上記剛性方程式導出手段による上記局所座標系での各要素の接線剛性方程式の導出，上記剛性方程式変換手段による上記全体座標系での各要素の接線剛性方程式への変換，上記総体剛性方程式導出手段による上記線状体全体の総体剛性方程式の導出ならびに上記算出手段による上記変位および上記荷重の少なくとも一方の算出処理を，上記線状体が目的形状となるまで繰り返すように制御する手段をさらに備えた請求項１に記載の線状体の解析装置。
上記要素の中心が上記局所座標系の原点である，請求項１に記載の線状体の解析装置。
上記要素の節点は，要素の中心軸上における両端部および中心部である，請求項１に記載の線状体の解析装置。