JP2024029424A - 閾値算出方法 - Google Patents

Abstract

【課題】本発明の課題は、人為に左右されずに安定に算出され、簡便な方法でありながら、かつ誤差範囲や測定範囲の妥当性に示唆を与える閾値算出方法を提供することである。【解決手段】 測定データから閾値μ０を演算設備、記憶設備、測定データを入力する入力設備および閾値を出力する出力設備を備えた解析装置を用いて算出する閾値算出方法であって、入力設備に測定データを入力するステップと、演算設備および記憶設備を介して予め指定したデータ変換式に基づいて測定データの変換を行いμを変数とする測定変換データを得る測定データ変換ステップと、測定変換データにＳｏｆｔｐｌｕｓ関数をフィッティングさせてフィッティングＳｏｆｔｐｌｕｓ関数を得るフィッティングステップと、フィッティングＳｏｆｔｐｌｕｓ関数のμ０を閾値として出力設備を介して閾値を出力する。【選択図】図１

Description

本発明は閾値算出方法に関する。

物理現象の解析において、閾値はよく用いられる指標である。例えば、光電子収量分光法（ＰＹＳ：Ｐｈｏｔｏｅｌｅｃｔｒｏｎ Ｙｉｅｌｄ Ｓｐｅｃｔｒｏｓｃｏｐｙ）では、励起光として試料に照射する紫外線の励起エネルギーを横軸にとり、試料から放出される光電子収量を測定して縦軸とした場合に、その測定データが描く曲線が急峻に立ち上がる点における励起エネルギーを閾値として求める。得られた閾値は、測定対象試料の仕事関数またはイオン化ポテンシャルと解釈される。

一般に、閾値をもつ測定データが描く曲線は、理想的な環境では閾値までが０、閾値を超えた後は横軸の値に比例、二乗に比例など、物性に則った関数にしたがって変化する。縦軸を測定値そのもの、測定値の平方根などにとって、閾値を超えた後の曲線が直線を描くように設定し、その直線を外挿して横軸との切片を閾値として求める方法が採用されている。

その作業、すなわち、直線を設定して横軸との切片を求める作業は、一般に、人為的に行われる。したがって、直線の設定の際に人為による不確実性、曖昧性が発生する。直線の設定に最小二乗法などを用いてフィッティング精度を高める試みはなされているが、その方法は、フィッティング対象範囲の設定に左右されるため、人為法と程度の差はあるものの、やはり不確実で曖昧なものであることに変わりがないという課題を抱えていた。
なお、回帰分析の工夫によりＰＹＳの閾値算出精度を高める閾値算出装置、算出方法および測定装置に関して、特許文献１に開示がある。

特開２０２０－１６００６７号公報

本発明の課題は、人為に左右されずに安定に算出され、簡便な方法でありながら、かつ誤差範囲や測定範囲の妥当性に示唆を与える閾値算出方法を提供することである。

課題を解決するための本発明の構成を下記に示す。
（構成１）
試料のおかれている環境を表す量の１つである環境変数μを変化させたときに前記試料から得られる複数の測定値をそのときの環境変数μに対応付けて構成された測定データから閾値μ_０を、演算設備、記憶設備、前記測定データを入力する入力設備、および前記閾値を出力する出力設備を備えた解析装置を用いて算出する閾値算出方法であって、
前記入力設備に前記測定データを入力するステップと、
前記演算設備および前記記憶設備を介して、予め指定したデータ変換式に基づいて前記測定データの変換を行い、μを環境変数とする測定変換データを得る測定データ変換ステップと、
前記測定変換データに式（１）で定義されるＳｏｆｔｐｌｕｓ関数をフィッティングさせてフィッティングＳｏｆｔｐｌｕｓ関数を得るフィッティングステップと、
前記フィッティングＳｏｆｔｐｌｕｓ関数のμ_０を閾値とし、前記出力設備を介して前記閾値を出力する、閾値算出方法。
ｆ＝ａ×ｌｏｇ_ｅ（１＋ｅｘｐ（(μ-μ_０)／σ））＋ｂ 式（１）
ａおよびｂは定数であり、σは実効偏差を表す。
（構成２）
前記フィッティングは絶対誤差法による、構成１記載の閾値算出方法。
（構成３）
前記データ変換式は、１／２べき乗変換式、１／３べき乗変換式、２／５べき乗変換式、１乗変換式および２べき乗変換式からなる群より選ばれる１つである、構成１または２に記載の閾値算出方法。
（構成４）
前記測定データは、電子が介在した物理現象を測定したデータである、構成１から３の何れか１記載の閾値算出方法。
（構成５）
前記測定データは、フェルミディラック分布に基づく現象の測定データである、構成１から３の何れか１記載の閾値算出方法。
（構成６）
前記測定データは、光電子収量分光法の測定データである、構成１から３の何れか１記載の閾値算出方法。

本発明によれば、人為に左右されずに安定に算出され、簡便な方法でありながら、誤差範囲や測定範囲の妥当性に示唆を与える閾値の算出方法が提供される。

本発明の処理フローを示すフローチャート図である。 本発明で使用する閾値算出解析装置の構成を示す構成図である。 各関数の関係を示した説明図である。 Ｃｕ－ＰＹＳ測定データに対して閾値を求めるときの例であり、（ａ）は測定データのみ、（ｂ）は人による測定例、（ｃ）はＳＰ関数フィッティング例を示す。 Ａｌ－ＰＹＳ測定データに対して閾値を求めるときの例であり、（ａ）は測定データのみ、（ｂ）は人による測定例、（ｃ）はＳＰ関数フィッティング例を示す。 Ａｕ－ＰＹＳ測定データに対して閾値を求めるときの例であり、（ａ）は測定データのみ、（ｂ）は人による測定例、（ｃ）はＳＰ関数フィッティング例を示す。

本発明の方法では、測定データを予め指定したデータ変換式にしたがって変換された変換データに対してＳｏｆｔｐｌｕｓ関数（以後ＳＰ関数とも称す）をフィッティングさせて、そのＳＰ関数から閾値を算出する。
ここで、ＳＰ関数とは下記式（１）で表される関数である。その関数の特性、特徴に関しては後程述べる。
ｆ＝ａ×ｌｏｇ_ｅ（１＋ｅｘｐ（(μ-μ_０)／σ））＋ｂ 式（１）
μ_０が閾値である。環境変数はμで、ＰＹＳ測定の場合は試料に照射する紫外線のエネルギーが相当する。その環境変数μのときの測定結果、すなわちＰＹＳ測定の場合の光電子収量がｆである。ａおよびｂは定数であり、σは実効偏差を表す。σは、ＳＰ関数の２次微分関数である確率密度関数の分散（σ_p ²）が（１／３）×（π×σ）^２で表されるため、実効偏差と呼ぶ。なおσ_pは偏差である。

本発明の閾値算出手順を図１のフローチャート図及び、図２の構成図を参照しながら説明する。
まず、測定装置によって取得された測定データを準備して、図２の閾値算出解析装置１０１の入力設備１１に入力する（図１の工程Ｓ１１）。ここで、データはバッチ式にため込んですべて入力してもよいし、測定装置と閾値算出解析装置１０１をオンライン接続して測定ごとに逐次入力してもよい。

閾値算出解析装置１０１は、その構成を図２に示すように、入力設備１１、演算設備１４、記憶設備１５、情報路（情報パス）１６および出力設備１７を具備し、入力設備１１への測定データ（入力データ）１２の入力とデータ変換式１３の指示を受けて出力設備１７から出力データ（閾値など）１８が出力される構成になっている。したがって、本発明の閾値算出処理は人手によるものではなく、装置によって行われるものになっている。
ここで、演算設備１４はＣＰＵ、ＭＰＵ、ＧＰＵなど主に半導体演算デバイスによって構成される演算装置であり、記憶設備１５はＤＲＡＭ、ＳＲＡＭなどの一時記憶装置、ＦＬＡＳＨメモリ、ＦＲＡＭ（登録商標）、ＥＰＲＯＭ、ハードディスク、フロッピーディスク、磁気テープなどの長期記憶装置（ストレッジ）などからなる記憶装置からなる。長期記憶装置は必ずしも備えておく必要はないが、オプションとしてデータ参照機能など閾値データの高度な解析を行う際に役立つ。また、一時記憶装置をもたず長期記憶装置のみで記憶設備１５を構成することも可能ではあるが、その場合はデータ転送に時間がかかる。よって、一時記憶装置と長期記憶装置の両者を備えておくことが好ましい。
情報路（情報パス）１６は、入力設備１４，演算設備１４、記憶設備１５および出力設備１７間を結んでデータ、情報を伝える設備で、一般には配線からなる（光インターコネクトでもよい）。

閾値算出解析装置１０１の入力設備１１にはデータ変換式を指定する指示を入力しておく（工程Ｓ１２）。ここで、データ変換式とは、閾値を超えた後は環境変数の増大に伴い比例、二乗に比例など、物性に則った関数にしたがって変化することを念頭において、測定データを変換するための式であって、好ましくは、１／２べき乗変換式、１／３べき乗変換式、２／５べき乗変換式、１乗変換式および２べき乗変換式からなる群より選ばれる１つから選ばれる。

次に、演算設備１４および記憶設備１５を使って測定データを指示されたデータ変換式に基づいてデータ変換する（工程Ｓ１３）。
一方で、式（１）に示したＳＰ関数を準備し（工程Ｓ１４）、データ変換された測定値にＳＰ関数をフィッティング処理する（工程Ｓ１５）。
フィッティング処理は、パラメータの値を様々に変化させて、幅広い環境変数μの範囲に対してＳＰ関数の値ｆとそれに対応するデータ変換された測定値との差が少なくなるようにＳＰ関数のパラメータを追い込んで求める処理である。そのフィッティングの最小化処理として最小二乗法を含め様々な処理を検討した結果、フィッティング処理には絶対誤差法を用いることがよいことがわかった。これは、絶対誤差法は、外れ値の影響をあまり受けない方法であり、特に測定点が少ない場合や測定のノイズが大きい場合（ガウス分布のようなノイズが仮定できない）に有効であるという理由による。

その後、フィッティングされたＳＰ関数のμ_０を閾値（１８）として出力設備１７から出力あるいは表示して（工程Ｓ１６）、終了する（Ｓ１７）。

次に、ＳＰ関数の特徴について図３を参照しながら述べる。
先にも述べたようにＳＰ関数１は式（１）で示された関数で、数学的にＬｏｇｉｓｔｉｃ関数と同じ系列の関数である。
なお、ＰＹＳの場合の閾値をＩ_ｐとして、式（２）として表すこともできる。
ｆ＝ａ×ｌｏｇ_ｅ（１＋ｅｘｐ（(ｘ-Ｉ_ｐ)／（κ_Ｂ×Ｔ）））＋ｂ 式（２）
ここで、κ_Ｂはボルツマン定数で、Ｔは実効温度である。
ＳＰ関数を１次微分した関数は、Ｓｉｇｍｏｉｄ関数、図３中２の分布（累積分布関数）になる。

なお、電子が介在した物理現象は、ほぼ全てフェルミディラック分布（ＦＤ分布）に帰属させて解析することができるが、ＦＤ分布もＬｏｇｉｓｔｉｃ関数と同系列の関数であるＳｉｇｍｏｉｄ関数で取り扱うことができる。したがって、本発明の閾値算出方法は、ＰＹＳのみならず、フェルミディラック分布に基づく現象の測定、言い換えれば電子が介在した現象の測定に対しても本発明の閾値算出方法を適用することが可能である。

ＳＰ関数を２次微分した関数は、確率密度分布関数図３中３（ＰＤＦ：Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｅｎｓｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ）である。
ＰＤＦの平均値（極大値でもある）は、μ_０（式２準拠の場合はＩ_ｐ）、ＰＤＦの分散（σ_ｐ ²）は（１／３）×（π×σ）^２で表される（式２準拠の場合の分散は（１／３）×（π×κ_Ｂ×Ｔ）^２）。
ＰＤＦは正規分布に似ている波形の分布で、解析的に１σ_ｐは７２．０％、２σ_ｐは９４．８％、そして３σ_ｐは９９．１％の確率を与える。すなわち、閾値（平均値）Ｉ_ｐから±１σ_ｐの範囲は７２．０％の確率範囲を示す。また、閾値Ｉ_ｐ＋３σ_ｐより測定範囲が広ければ十分な精度が得られることになる。
なお、図３には、人手によって閾値を求めるときに近い関数の形をもったＲｅＬＵ関数４も参考までに合わせて記載してある。

以上から、本方法により、人為的要因を排除して解析的に、電子が介在した物理現象、フェルミディラック分布に基づく物理現象、例えばＰＹＳの閾値を簡便かつ安定に算出することができる。
さらに、本方法により、閾値の誤差範囲（偏差）および測定範囲の妥当性も評価、示唆することが可能になる。

（実施例１）
実施例１では、図２に示した閾値算出解析装置１０１を用いて、銅（Ｃｕ）、アルミニウム（Ａｌ）および金（Ａｕ）のＰＹＳの閾値を算出した結果を述べる。なお、そこでは、参考までに、人為法の結果についても簡単に触れておく。
但し、当然ながら、本発明はこのような特定の形式に限定されるものではなく、本発明の技術的範囲は特許請求の範囲により規定されるものであることに注意されたい。

Ｃｕ、ＡｌおよびＡｕのＰＹＳの測定データは下記のようにして取得した。
Ｃｕ、ＡｌおよびＡｕは、純度９９．５％以上の多結晶試料である。測定前に各々の試料は、エタノールにて洗浄されものを用いて、清浄な表面が露出するように処理されている。なお、自然酸化膜が表面に形成されていると考えられる。
ＰＹＳ測定装置としては、ＡＣ－３（理研計器社製）を用い、大気中環境、室温の下測定を行った。その測定結果をＣｕ、ＡｌおよびＡｕについて、各々図４（ａ）、図５（ａ）および図６（ａ）に示す。

ＰＹＳ測定結果に対して人為により、すなわち人により直線を引いて閾値を求めた結果を、Ｃｕ、ＡｌおよびＡｕについて、各々図４（ｂ）、図５（ｂ）および図６（ｂ）に示す。そこでは、被験者を２人とし、被験者による差がわかるようにした。測定結果に、大きなばらつきが認められる。

本発明の方法を、Ｃｕ、ＡｌおよびＡｕのＰＹＳに適用して閾値を求めた。
適用方法を下記に詳細に述べる。
測定データに対して、理論的なモデルから光電子収量（測定強度）に対して１／２のべき乗を適用した。１／２のべき乗を適用した強度に対して、絶対誤差法を用いてＳｏｆｔｐｌｕｓ関数フィッティングを行った。ここで、Ｓｏｆｔｐｌｕｓ関数としては、式（２）の形式のものを用いた。
フィッティングの結果、Ｉｐおよび、Ｔが求まる。Ｉｐは閾値になり、Ｔから分散を求める。分散の値（σ_ｐ ²）の平方根が偏差（σ_ｐ）になる。閾値に対して±σ_ｐの領域が誤差範囲となり、±３倍の偏差が妥当最低測定範囲になる。

その結果を、各々図４（ｃ）、図５（ｃ）および図６（ｃ）に示す。
ＣｕのＰＹＳの閾値は５．５６ｅＶ、偏差σ_ｐは０．３０ｅＶ、算出された妥当最低測定範囲は４．６６～６．４６ｅＶ、ＡｌのＰＹＳの閾値は６．１４ｅＶ、偏差σ_ｐは０．２４ｅＶ、算出された妥当最低測定範囲は５．４２～６．８６ｅＶ、そしてＡｕのＰＹＳの閾値は５．３６ｅＶ、偏差σ_ｐは０．４１ｅＶ、算出された妥当最低測定範囲は４．１３～６．５９ｅＶであった。
本発明の方法により、測定値に対して良好にフィッティングされ、人為性が排除され、安定性が高く、誤差および測定範囲の示唆が得られた閾値を得ることができた。

本発明はＰＹＳの閾値算出に留まらない。透過・反射測定による吸光度によるバンドギャップや電流―電圧測定によるショットキーバリア障壁など物理状態の解析およびその状態を利用して材料やデバイスの状態、品質を管理する上で指標となる閾値を、人為に左右されずに安定に、しかも簡便な方法で算出することができる。さらに、算出された閾値は、誤差範囲や測定範囲の妥当性も同時に示唆されるものになっている。したがって、本方法は、科学技術の発展に寄与するとともに、製品の品質向上、性能向上、すなわち産業の発展に寄与するものと考える。

１：Ｓｏｆｔｐｌｕｓ関数（ＳＰ関数）
２：Ｓｉｇｍｏｉｄ関数（Ｓｏｆｔｐｌｕｓ一次微分関数、累積分布関数）
３：確率密度関数（Ｓｏｆｔｐｌｕｓ二次微分関数）
４：ＲｅＬＵ（Ｒｅｃｔｉｆｉｅｄ Ｌｉｎｅａｒ Ｕｎｉｔ）関数
１１：入力設備
１２：測定データ（入力データ）
１３：データ変換式
１４：演算設備
１５：記憶設備
１６：情報路（情報パス）
１７：出力設備
１８：出力データ（閾値）
１０１：閾値算出解析装置

Claims (6)

1. 試料のおかれている環境を表す量の１つである環境変数μを変化させたときに前記試料から得られる複数の測定値をそのときの環境変数μに対応付けて構成された測定データから閾値μ_０を、演算設備、記憶設備、前記測定データを入力する入力設備、および前記閾値を出力する出力設備を備えた解析装置を用いて算出する閾値算出方法であって、
   前記入力設備に前記測定データを入力するステップと、
   前記演算設備および前記記憶設備を介して、予め指定したデータ変換式に基づいて前記測定データの変換を行い、μを環境変数とする測定変換データを得る測定データ変換ステップと、
   前記測定変換データに式（１）で定義されるＳｏｆｔｐｌｕｓ関数をフィッティングさせてフィッティングＳｏｆｔｐｌｕｓ関数を得るフィッティングステップと、
   前記フィッティングＳｏｆｔｐｌｕｓ関数のμ_０を閾値とし、前記出力設備を介して前記閾値を出力する、閾値算出方法。
   ｆ＝ａ×ｌｏｇ_ｅ（１＋ｅｘｐ（(μ-μ_０)／σ））＋ｂ 式（１）
   ａおよびｂは定数であり、σは実効偏差を表す。
2. 前記フィッティングは絶対誤差法による、請求項１記載の閾値算出方法。
3. 前記データ変換式は、１／２べき乗変換式、１／３べき乗変換式、２／５べき乗変換式、１乗変換式および２べき乗変換式からなる群より選ばれる１つである、請求項１または２に記載の閾値算出方法。
4. 前記測定データは、電子が介在した物理現象を測定したデータである、請求項１から３の何れか１記載の閾値算出方法。
5. 前記測定データは、フェルミディラック分布に基づく現象の測定データである、請求項１から３の何れか１記載の閾値算出方法。
6. 前記測定データは、光電子収量分光法の測定データである、請求項１から３の何れか１記載の閾値算出方法。