JP2022118555A - 最適化装置、最適化方法、及び最適化プログラム - Google Patents

Abstract

【課題】多目的最適化問題に対して多様な解を効率的に生成できる手法を提供する。【解決手段】最適化装置は、複数の目的関数を取得し、取得された複数の目的関数を重み付け加算して単一関数を生成する処理を、複数の重み付けパターンに対して行うことにより複数個の単一関数を生成し、複数個の単一関数の各々に対して、アニーリングによる解探索処理を実行し、解探索処理により得られた第１の複数の解を取得するアニーリング計算部と、第１の複数の解に含まれる第１の解を初期状態として多点探索法を実行し、多点探索法のイタレーションのある段階において存在する第２の複数の解から、複数の目的関数に対する非劣解を少なくとも含む第２の解を選択して次のイタレーション段階に残していくことにより、パレート解又はその近似解を求める多点探索計算部を含む。【選択図】図２

Description

本願開示は、最適化装置、最適化方法、及び最適化プログラムに関する。

実社会においてユーザが遭遇する最適化問題においては、一般的に、ある特定のユーザ要望即ちある特定の評価基準のみに基づいて最適解が定まるのではなく、他の評価基準を含む複数の評価基準のトレードオフに基づいて、ユーザにとっての最良の解を求めることが必要になる。例えば、何らかの作業をする際に、作業時間を短くしたいという要望と作業にかかるコストを低く抑えたいという要望との両方の要望を同時に最適に満たすことはできず、互いに競合する要望をうまく満たすような解を求めることが望まれる。このような複数の要望をそれぞれ定式化した複数の目的関数を、何らかの制約条件の下で最小化する問題を、多目的最適化問題という。

多目的最適化問題においては、全ての目的関数を最小化する解は存在しないので、1つの最適解をユーザに出力として提示するのではなく、複数の目的関数値が全体的に満足できる程度に小さくなる複数の解をユーザに出力として提示する。ユーザは提示された複数の解の中から、複数の要望が満たされている度合いを総合的に判断することにより、自分にとって最良の解を選択することができる。

この際、ユーザに提示する複数の出力解としては、複数の要望に対して偏り無く分布した多様な解であることが好ましい。即ち、少なくとも1つの目的関数に対して満足できる値を有する解が、複数の要望即ち複数の目的関数に対して満遍なく得られていることが好ましい。またそのような複数の解を短時間で効率的に生成することが好ましい。

特開2002-302257号公報 特開平11-143938号公報

以上を鑑みると、多目的最適化問題に対して多様な解を効率的に生成できる手法が望まれる。

最適化装置は、複数の目的関数を取得し、取得された前記複数の目的関数を重み付け加算して単一関数を生成する処理を、複数の重み付けパターンに対して行うことにより複数個の単一関数を生成し、前記複数個の単一関数の各々に対して、アニーリングによる解探索処理を実行し、前記解探索処理により得られた第１の複数の解を取得するアニーリング計算部と、前記第１の複数の解に含まれる第１の解を初期状態として多点探索法を実行し、前記多点探索法のイタレーションのある段階において存在する第２の複数の解から、前記複数の目的関数に対する非劣解を少なくとも含む第２の解を選択して次のイタレーション段階に残していくことにより、パレート解又はその近似解を求める多点探索計算部を含む。

少なくとも１つの実施例によれば、多目的最適化問題に対して多様な解を効率的に生成できる。

最適化装置のハードウェア構成の一例を示す図である。 最適化装置の機能構成の一例を示す図である。 最適化方法の手順の一例を示すフローチャートである。 複数の単一目的関数を最小化するよう最適化処理を実行した場合に得られる解を模式的に示す図である。 シミュレーテッドアニーリングにおける温度変化パターンの一例を示す図である。 シミュレーテッドアニーリングにおける温度変化パターンの別の一例を示す図である。 シミュレーテッドアニーリングにおける温度変化パターンの更に別の一例を示す図である。 初期解の分布を模式的に示す図である。 多点探索法による解の分布の変化を模式的に示す図である。 図３に示されるステップＳ１０及びＳ１１において実行される処理を詳細に示すフローチャートである。 パレートランクが上位の解を次世代に残していくことにより解が最適化されていく様子を模式的に示す図である。 多点探索法の終了判定条件の一例を模式的に示す図である。 多点探索法の終了判定条件の別の一例を模式的に示す図である。

以下に、本発明の実施例を添付の図面を用いて詳細に説明する。

図１は、最適化装置のハードウェア構成の一例を示す図である。図１に示す最適化装置は、ＣＰＵ１１、表示部１２、入力部１３、ＲＯＭ１４、ＲＡＭ１５、ＨＤＤ１６、ネットワークインターフェース１７、可搬型記憶媒体用ドライブ１８、及びメタヒューリスティック計算部１９を含む。

入力部１３は、ユーザとのインターフェースを提供するものであり、最適化装置を操作するための各種コマンドや要求されたデータに対するユーザ応答等が入力される。表示部１２は、最適化装置で処理された結果等をディスプレイ画面に表示すると共に、最適化装置を操作する際にユーザとの対話を可能にするために様々なデータ表示を行う。ネットワークインターフェース１７は、周辺装置との通信又は遠隔地との通信を行なうためのものである。

図１に示される最適化装置はコンピュータであり、最適化方法は、最適化装置が実行可能なコンピュータプログラムとして提供される。このコンピュータプログラムは、可搬型記憶媒体用ドライブ１８に装着可能な記憶媒体Ｍに記憶されており、記憶媒体Ｍから可搬型記憶媒体用ドライブ１８を介して、ＲＡＭ１５或いはＨＤＤ１６にロードされる。或いは、このコンピュータプログラムは、周辺装置又は遠隔地にある記憶媒体（図示せず）に記憶されており、この記憶媒体からネットワークインターフェース１７を介して、ＲＡＭ１５或いはＨＤＤ１６にロードされる。

入力部１３を介してユーザからプログラム実行指示があると、ＣＰＵ１１は、記憶媒体Ｍ、周辺装置、遠隔地記憶媒体、或いはＨＤＤ１６からプログラムをＲＡＭ１５にロードする。ＣＰＵ１１は、ＲＡＭ１５の空き記憶空間をワークエリアとして使用して、ＲＡＭ１５にロードされたプログラムを実行し、適宜ユーザと対話しながら処理を進める。なおＲＯＭ１４は、最適化装置の基本動作を制御するための制御プログラムが格納されている。上記コンピュータプログラムを実行することにより、最適化装置が、多目的最適化問題に対して複数個の解を求める動作を実行する。

メタヒューリスティック計算部１９は、メタヒューリスティックアルゴリズムを実行するように専用に設計された専用ハードウェアである。メタヒューリスティック計算部１９は、例えばアニーリングによりイジング問題等に対する解探索を実行するイジングマシンを含んでよい。またメタヒューリスティック計算部１９は、遺伝的アルゴリズム等の多点探索法を実行する専用ハードウェアを含んでよい。メタヒューリスティック計算部１９は、アニーリングを実行するイジングマシン等のアニーリング用ハードウェアと多点探索法を実行する多点探索法用ハードウェアとの両方を備えていて良く、或いはそれらのうちの一方のみを備えていてもよい。なお専用ハードウェアであるメタヒューリスティック計算部１９を設けることなく、汎用計算用のプロセッサであるＣＰＵ１１が、メタヒューリスティック計算部として機能することにより、メタヒューリスティックアルゴリズムを実行してもよい。

図２は、最適化装置の機能構成の一例を示す図である。図２に示す最適化装置は、データ読込部２０、アニーリング計算部２１、多点探索計算部２２、及びデータ出力部２３を含む。アニーリング計算部２１は、重み付けパターン生成部３０、単一目的関数生成部３１、イジングマシン実行部３２、及び温度設定部３３を含む。多点探索計算部２２は、初期解設定部４０、上位ランク抽出部４１、パレートランク計算部４２、多点探索部４３、及び終了判定部４４を含む。

データ読込部２０及びデータ出力部２３は、図１に示すＣＰＵ１１により実現されてよい。アニーリング計算部２１及び多点探索計算部２２の各機能部は、ＣＰＵ１１又はメタヒューリスティック計算部１９により実現されてよい。

なお各ボックスで示される各機能ブロックと他の機能ブロックとの境界は、機能的な境界を示すものであり、プログラムモジュールの境界に対応したり、制御論理的な分離等に対応したりするとは限らない。また、ある１つの機能ブロックが別の機能ブロックと組み合わさり１つの機能ブロックとして動作してもよいし、ある１つの機能ブロックが複数の機能ブロックに分割されて各々が協働して動作してもよい。

データ読込部２０は、定式化された多目的最適化問題を規定するデータを、入力部１３、ネットワークインターフェース１７、又は可搬型記憶媒体用ドライブ１８等を介して外部から読み込む。データ読込部２０は、外部から読み込んだデータ又は既に外部から読み込まれてＨＤＤ１６に格納されているデータを、多目的最適化問題を解く際にＲＡＭ１５にロードしてよい。多目的最適化問題を規定するデータは、複数の目的関数の一つ一つを規定するＱＵＢＯ（Quadratic Unconstrained Binary Optimization）形式の式、及び制約条件を規定するＱＵＢＯ形式の式等を含んでよい。

問題を定式化する変数は例えば以下の列ベクトルとしてよい。
ｘ＝（ｘ_１，ｘ_２，ｘ_３，・・・，ｘ_n）^Ｔ （１）
ここでＴは転置を表す。ｘ_１，ｘ_２，ｘ_３，・・・，ｘ_nは設計変数であり、０又は１の値をとる。このとき最適化計算において最小化すべき複数Ｎ個（Ｎは正の整数）の目的関数ｆ_１（ｘ）乃至ｆ_Ｎ（ｘ）のうちでｉ番目（ｉは１以上且つＮ以下の正の整数）の目的関数ｆ_ｉ（ｘ）は以下の式により表されてよい。
ｆ_ｉ（ｘ）＝ｘ^ＴＡ_ｉｘ （２）
ここでＡはｉ番目の目的関数ｆ_ｉ（ｘ）に対応するｉ番目の行列であり、要素数がｎ×ｎの２次元行列である。この式（２）は、イジングモデルの式と等価であり、イジングモデルにおいて－１又は１の値をとる変数を０又は１の値をとる変数に置き換えたＱＵＢＯ形式の式に相当する。

制約条件はｘに関する式により規定されてよい。具体的には、ｘ_１，ｘ_２，ｘ_３，・・・，ｘ_nに関する式の値について所定の条件が規定されてよく、例えば式の値がゼロに等しいという条件や、式の値が所定値より小さいという条件等が規定されてよい。

アニーリング計算部２１は、多目的最適化問題に対してシミュレーテッドアニーリングや量子アニーリング等のアニーリングによる最適化処理を実行する。以下の実施例の説明においては、シミュレーテッドアニーリングにより最適化処理を実行する場合を例として用いて、アニーリング計算部２１による処理を説明する。

最適化処理を実行するにあたりアニーリング計算部２１は、複数の目的関数を重み付け加算して得られる単一関数を対象として、重み付けのパターンを変更することにより複数個の単一関数を生成する。単一関数とは、複数の目的関数を複合的に含む関数である。アニーリング計算部２１は、このようにして生成された複数個の単一関数の一つ一つに対して、アニーリングによる最適化処理を実行することにより１つの最適解を求めると共に、最適解への途中に存在する複数の途中解を求める。なお本願において、アニーリング計算部２１が求める最適解とは、厳密な意味の最適解ではなく、アニーリングにより見つかった最善解のことである。

単一関数は、以下のように表すことができる。
Σｗ_ｉｆ_ｉ（ｘ） （３）
ここで総和記号Σは、ｉについて１からＮ迄の総和を計算する。ｗ_ｉは目的関数ｆ_ｉ（ｘ）に対する重み付けの係数である。

複数の目的関数ｆ_１（ｘ）乃至ｆ_Ｎ（ｘ）のうちで１つ又は複数の目的関数を重視した重み付けのパターン（即ちこれら目的関数に対するｗ_ｉを相対的に大きな値としたパターン）を用いることで、特定の目的関数を重視した１つの単一関数を生成することができる。こうして生成した単一関数に対してアニーリングによる最適化処理を実行することにより、上記特定の目的関数を重視した１つの最適解を求めると共に、最適解への途中に存在する複数の途中解を求めることができる。更に重み付けのパターンを順次変化させることにより、重視する１つ又は複数の目的関数を順次変化させて、様々の異なる単一関数を複数個生成できる。アニーリング計算部２１は、これら生成した複数の単一関数の１つ１つに対して、アニーリングによる最適化処理を実行し、１つの最適解及び最適解に至る途中の複数の途中解を求める。このようにして得られた最適解は、異なる重み付けのパターンを適切に設定することにより、複数の要望に対して偏り無く分布した解、即ち少なくとも1つの目的関数に対して満足できる値を有した解が複数の目的関数に対して得られたものとすることができる。

但し、上記のようにしてアニーリングにより得られる最適解は、１つ又は複数の特定の目的関数を重視した場合の最適解であり、多様性が十分ではない。多様性を向上させるためには数多くの様々な重み付けのパターンについて最適解を求める必要があるが、重み付け係数をどのように設定するのかの設計が難しい。また目的関数の組み合わせの数に相当する数多くの重み付けのパターンについてアニーリングを実行したのでは、効率的な処理を実現することが難しい。そこで図２に示す最適化装置においては、アニーリングの最適解に至る複数の途中解に基づいて、多点探索法による解探索を実行する。

多点探索計算部２２は、上記複数の途中解の少なくとも一部を初期状態として多点探索法を実行し、多点探索法のイタレーションのある段階において存在する複数解から、複数の目的関数に対する非劣解を少なくとも含む解を選択して次の段階に残していく。これにより多点探索計算部２２は、複数の目的関数に対するパレート解又はその近似解を求める。ここでいう多点探索法とは、解を複数生成して、それらの中から好ましい解を優先的に選択し、選択した解を利用して、次の解を複数生成することを繰り返すことにより、目的解を導出する手法である。多点探索法の例としては、遺伝的アルゴリズム、散布探索法、及びアントコロニー法等が上げられる。以下の実施例の説明においては、遺伝的アルゴリズムを例として用いて、多点探索計算部２２による処理を説明する。

非劣解及びパレート解とは、多目的最適化問題における解の優越関係により定義される。実行可能領域（制約条件を満たす領域）において、ある解ｘに対してｘ'が優越しているとは、全ての目的関数においてｘ'がｘと等しいかより優れており（目的関数値が小さく）、且つ少なくとも１つの目的関数においてｘ'がｘより優れている、と定義される。非劣解とは、着目した解集合において、自らに対して優越する解が存在しない解のことである。数式で表現すると、非劣解とは、下記を満たす優越解ｘ'が存在しない解ｘ^＊である。
ｆ_ｉ（ｘ'）≦ｆ_ｉ（ｘ^＊）∀ｉ （４）
ｆ_ｉ（ｘ'）＜ｆ_ｉ（ｘ^＊）∃ｉ （５）
またパレート解とは、実行可能領域に存在する全ての解の集合における非劣解として定義される。即ち、パレート解とは多目的最適化問題における複数の最善解であり、非劣解とは着目した解集合における複数の最善解である。なお非劣解集合が形成する面のことを非劣解フロントと呼び、パレート解集合が形成する面のことをパレートフロントと呼ぶ。

多点探索計算部２２は、アニーリング計算部２１により求められた最適解に至る複数の途中解を初期状態として、例えば遺伝的アルゴリズムを実行することにより、次世代の解を生成する。多点探索計算部２２は、この次世代の解のうちで複数個の非劣解（即ち好ましい解）を優先的に選択し、選択した解を利用して、更に次の世代の解を複数個生成するとしいう動作を繰り返していく。これにより、各最適解の周囲に分布する比較的好条件の途中解を開始点として、多点探索法を実行することにより、特定の目的関数を重視することなくランダムに解を生成し、複数の目的関数に対する非劣解フロントがパレートフロントに近づいていくようにする。このようにして多点探索計算部２２により得られたパレート解又はその近似解とアニーリング計算部２１により得られた最適解とが、最終的な解として出力される。これにより、複数の要望に対して偏り無く分布した多様な解、即ち少なくとも1つの目的関数に対して満足できる値を有する解が複数の目的関数に対して満遍なく得られたものを求めることができる。

前述のようにアニーリング計算部２１が生成した最適解は、多点探索計算部２２において、各世代の解を求めていく際には用いなくてよい。これら最適解は、多点探索計算部２２において多点探索法を終了するか否かを判定する際に用いられる。即ち、多点探索計算部２２は、多点探索法により求めた解と上記最適解との比較に基づいて多点探索法の終了判定を行う。これにより、多点探索計算部２２は、非劣解フロントが最適解に十分に近づいたか否か、即ち非劣解フロントがパレートフロントに十分に近づいたか否かを判断して、解を求める動作を終了させることができる。これにより、少なくとも1つの目的関数に対して最適解に近い十分に満足できる値を有する解が複数の目的関数に対して満遍なく得られたものを求めることができる。

図３は、最適化方法の手順の一例を示すフローチャートである。図２に示す最適化装置が図３に示す最適化方法を実行する。

なお図３及び以降の図において、フローチャートに記載された各ステップの実行順序は一例にすぎず、本願の意図する技術範囲が、記載された実行順番に限定されるものではない。例えば、Ａステップの次にＢステップが実行されるように本願に説明されていたとしても、Ａステップの次にＢステップを実行することが可能なだけでなく、Ｂステップの次にＡステップを実行することが、物理的且つ論理的に可能である場合がある。この場合、どちらの順番でステップを実行しても、当該フローチャートの処理に影響する全ての結果が同一であるならば、本願に開示の技術の目的のためには、Ｂステップの次にＡステップが実行されてもよいことは自明である。Ａステップの次にＢステップが実行されるように本願に説明されていたとしても、上記のような自明な場合を本願の意図する技術範囲から除外することを意図するものではなく、そのような自明な場合は、当然に本願の意図する技術範囲内に属する。

ステップＳ１において、各種初期値が設定される。例えばアニーリング計算部２１が、空の配列として重み付けパターンリストＷｅｉｇｈｔＰａｔｔｅｒｎＬｉｓｔを初期化し、空の集合として最適解集合Ｓ_ｂｅｓｔ及び途中解集合Ｓ_{ｓａｍｐｌｅ}を用意する。また例えば多点探索計算部２２が、多点探索法の上限イタレーション回数をＬｏｏｐＮｕｍに設定すると共に、イタレーション回数を示すカウント値ＬｏｏｐＣｏｕｎｔｅｒを初期値ゼロに設定する。上限イタレーション回数は、例えばデータ読込部２０が外部から読み込んだ数でもよいし、或いは事前に決められた所定の数であってもよい。多点探索計算部２２は更に、空の集合として親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}及び子集合Ｓ_{ｃｈｉｌｄ}を用意する。

ステップＳ２において、アニーリング計算部２１の重み付けパターン生成部３０が複数の重み付けパターンを生成し、生成した複数の重み付けパターンをＷｅｉｇｈｔＰａｔｔｅｒｎＬｉｓｔに格納する。重み付けパターン生成部３０は、例えば複数の目的関数から１つの目的関数を選択し、当該１つの目的関数に対する重み付けを非ゼロ（例えば１）とし且つ当該１つの目的関数以外に対する重み付けをゼロとした重み付けパターンを生成する動作を実行してよい。重み付けパターン生成部３０は、複数Ｎ個の目的関数の全てについて上記動作を実行することにより、複数Ｎ個の重み付けパターンを生成してよい。また重み付けパターン生成部３０は、例えば複数の目的関数から２つの目的関数をペアとして選択して、当該２つの目的関数に対する重み付けを非ゼロ（例えば１）とし且つ当該２つの目的関数以外に対する重み付けをゼロとした重み付けパターンを生成してよい。重み付けパターン生成部３０は、複数の目的関数から選択可能な全てのペアについてこの動作を実行することにより、複数個（Ｎ×（Ｎ－１）／２）の重み付けパターンを生成してよい。

ステップＳ３において、アニーリング計算部２１の単一目的関数生成部３１は、ＷｅｉｇｈｔＰａｔｔｅｒｎＬｉｓｔが空であるか否かを判定する。当該リストが空でない場合、即ちアニーリングを実行すべき重み付けパターンが存在する場合、処理はステップＳ４に進む。

ステップＳ４において、単一目的関数生成部３１は、ＷｅｉｇｈｔＰａｔｔｅｒｎＬｉｓｔの先頭に格納されている重み付けパターンを取り出す。これにより当該重み付けパターンはＷｅｉｇｈｔＰａｔｔｅｒｎＬｉｓｔから削除される。単一目的関数生成部３１は、読み出した重み付けパターンをＷｅｉｇｈｔＰａｔｔｅｒｎに格納する。

ステップＳ５において、単一目的関数生成部３１は、ＷｅｉｇｈｔＰａｔｔｅｒｎに格納される重み付けパターンに従って単一目的関数を作成し、作成した単一目的関数をＦ（ｘ）に設定する。例えば重み付けパターンが、複数の目的関数から１つの目的関数ｆ_１（ｘ）を選択し、当該１つの目的関数に対する重み付けを１とし且つ当該１つの目的関数以外に対する重み付けをゼロとしたパターンであれば、作成した単一目的関数はｆ_１（ｘ）そのものとなる。また例えば重み付けパターンが、複数の目的関数から２つの目的関数ｆ_１（ｘ）及びｆ_２（ｘ）をペアとして選択して、当該２つの目的関数に対する重み付けを１とし且つ当該２つの目的関数以外に対する重み付けをゼロとしたパターンであるとする。この場合、作成した単一目的関数はｆ_１（ｘ）＋ｆ_２（ｘ）となる。

ステップＳ６において、アニーリング計算部２１のイジングマシン実行部３２が、単一目的関数Ｆ（ｘ）に対して、設定温度を変化させながらシミュレーテッドアニーリングによる最適化処理を実行する。イジングマシン実行部３２は、最適化処理により得られた１つの最適解を最適解集合Ｓ_ｂｅｓｔに追加する。またイジングマシン実行部３２は、最適解に至る途中で得られた複数の途中解を途中解集合Ｓ_{ｓａｍｐｌｅ}に追加する。なおこれらの最適解及び途中解は全て、与えられた制約条件を満たす解であるとする。

シミュレーテッドアニーリングでは、前述の変数列ベクトルｘを１つの状態として扱ってよい。現在の状態の目的関数値（Ｅとする）を計算し、更に現在の状態から僅かに変化（例えば１ビット反転）した次の状態の目的関数値Ｅ'を計算し、更に両者の差分ΔＥ（＝Ｅ'－Ｅ）を計算する。例えばｘの確率分布としてボルツマン分布を想定し、メトロポリス法を用いる場合、次の状態に遷移する確率Ｐを以下の式で定めることができる。
Ｐ＝ｍｉｎ［１，ｅｘｐ（－βΔＥ）］ （６）
ここでβは逆温度（絶対温度の逆数）である。関数ｍｉｎ［１，ｘ］は値１と値ｘとのいずれか小さい方の関数値を有する。上式によれば、ΔＥ≦０のときに確率１で次の状態に遷移し、０＜ΔＥのときに確率ｅｘｐ（－βΔＥ）で次の状態に遷移する。なお前述のように設定温度を変化させる場合には、この逆温度βを変化させればよい。

状態を遷移させながら、充分に遅い速度で温度を低くしていくことにより、理論的には最小の目的関数値を有する最適解に状態を収束させることができる。なおメトロポリス法は限定的でない一例であり、例えばギブス・サンプリング法等の他の遷移制御アルゴリズムを用いてもよい。

図４は、複数の単一目的関数を最小化するよう最適化処理を実行した場合に得られる解を模式的に示す図である。図４において、第１の目的関数ｆ_１（ｘ）の値を横軸に示し、第２の目的関数ｆ_２（ｘ）の値を縦軸に示してある。図４は、目的関数が２個しかない場合を示した図であると考えてもよいし、３個以上の目的関数が存在する多目的最適化問題において着目した２個の目的関数に関する座標軸のみを示した図であると考えてもよい。

単一目的関数がｆ_１（ｘ）である場合にアニーリングにより最適解を求めると解Ｂ１が得られる。単一目的関数がｆ_２（ｘ）である場合にアニーリングにより最適解を求めると解Ｂ３が得られる。更に単一目的関数がｆ_１（ｘ）＋ｆ_２（ｘ）である場合にアニーリングにより最適解を求めると解Ｂ２が得られる。解Ｂ１は目的関数ｆ_１（ｘ）のみに着目して最適化を行った解であり、解Ｂ３は目的関数ｆ_２（ｘ）のみに着目して最適化を行った解であり、解Ｂ２は目的関数ｆ_１（ｘ）及びｆ_２（ｘ）のみに均等に着目して最適化を行った解である。

このように複数の目的関数から１つの目的関数を選択し、当該１つの目的関数に対する重み付けのみを非ゼロとすることにより、当該１つの目的関数のみに着目した最適解を求めてよい。これを複数の目的関数の全てに対して実行することにより、与えられた複数の目的関数の各々に対して、当該１つの目的関数のみに着目した最適解を得ることができる。従って、多目的最適化問題において望まれる多様な解のうちで、各目的関数に対応する位置に存在する最適解（例えばＢ１及びＢ３）を容易に作成することができる。

また複数の目的関数から２つの目的関数をペアとして選択して、当該２つの目的関数に対する重み付けのみを非ゼロとすることにより、当該２つの目的関数の各々に個別に着目した場合に得られる最適解に対して、その中間位置に存在する最適解を求めてよい。これを複数の目的関数から選択可能な全てのペアについて実行することにより、与えられた複数の目的関数から選択可能な各々のペアに対して、当該ペアを構成する２つの目的関数に対応する位置の間に位置する最適解を得ることができる。従って、多目的最適化問題において望まれる多様な解のうちで、２つの目的関数に対応する位置の間に位置する最適解（例えばＢ２）を容易に作成することができる。

解Ｂ１、Ｂ２、及びＢ３を滑らかにつないだ曲線ＰＦは、パレートフロントに近似的に一致する線である。このようにして、パレートフロント上又はその近傍に位置する複数の最適解を得ることができるが、解Ｂ１と解Ｂ２との間及び解Ｂ２と解Ｂ３との間においても、パレートフロント上又はその近傍に位置する解を求めることが、解に多様性を与えるためには好ましい。図３に示す最適化方法では、以降のステップにおいて、途中解に基づいて多点探索法を実行することにより、多様な解を一括的に求めることができる。

なおシミュレーテッドアニーリングにより最適化処理を実行して途中解を求める際には、前述のように設定温度を適宜変化させる。具体的には、アニーリング計算部２１の温度設定部３３が温度変化パターンを設定し、イジングマシン実行部３２が当該温度変化パターンに従ってシミュレーテッドアニーリングを実行してよい。このようにシミュレーテッドアニーリングにおける設定温度を変化させながら複数の途中解を求めることにより、種々の異なる温度条件における解を途中解として得ることが可能となり、途中解の多様性を担保することができる。

図５は、シミュレーテッドアニーリングにおける温度変化パターンの一例を示す図である。図５において、横軸はシミュレーテッドアニーリングにおけるイタレーション回数であり、縦軸は設定温度である。図５に示される温度変化パターンの例では、最高温度から連続的に温度を低下させていき、所定の最低温度に達すると最高温度に戻し、再度最高温度から連続的に温度を低下させていく、という動作を複数回繰り返す。このように温度変化させる場合には、例えば複数回訪れる最低温度において求められた複数個の解のうちで、最も単一目的関数値が小さくなるものを最適解としてよい。最適解を求めるタイミングはこれに限られるものではなく、例えば最後の最低温度において得られた解を最適解としてもよい。また例えばイタレーションを所定回数（例えば１０００回）実行する毎に、その時点で得られた解を途中解としてよい。温度が比較的低い状態で得られた解を途中解とすることが好ましいが、これに限定されるものではない。

図６は、シミュレーテッドアニーリングにおける温度変化パターンの別の一例を示す図である。図６に示される温度変化パターンの例では、最高温度から段階的に温度を低下させていく。このように温度変化させる場合には、例えばイタレーションの最後において得られた解を最適解としてよい。また例えばイタレーションを所定回数（例えば１０００回）実行する毎に、その時点で得られた解を途中解としてよい。

図７は、シミュレーテッドアニーリングにおける温度変化パターンの更に別の一例を示す図である。図７に示される温度変化パターンの例では、各々がシミュレーテッドアニーリングを実行する複数のイジングマシンＭ１乃至Ｍ４を用意して、複数のイジングマシンをそれぞれ固有の設定温度で動作させる。各イジングマシンはそれぞれ固定の設定温度で動作するが、複数のイジングマシン間で異なる温度状態でのシミュレーテッドアニーリングを実現することにより、温度変化と同等の状態を実現することができる。なお複数のイジングマシンＭ１乃至Ｍ４間で、例えば所定のイタレーション回数毎に設定温度を入れ替えることにより、各イジングマシンにおいて段階的に温度変化が起こるようにしてもよい。

図７に示すように温度変化させる場合には、例えば各イジングマシンにおいて全イタレーション行程に亘り単一目的関数値が最も小さくなる解を求め、複数のイジングマシン間で単一目的関数値が最も小さくなる１つの解を最適解としてよい。また例えば各イジングマシンにおいて、イタレーションを所定回数（例えば１０００回）実行する毎に、その時点で得られた解を途中解としてよい。

図３に戻り、ステップＳ６の後に処理ステップＳ３に戻り以降の処理を繰り返す。ステップＳ３において、ＷｅｉｇｈｔＰａｔｔｅｒｎＬｉｓｔが空である場合、即ち全ての重み付けパターンに対して最適化処理が終了した場合、処理はステップＳ７に進む。

ステップＳ７において、多点探索計算部２２の初期解設定部４０が初期解集合Ｓ_ｉｎｉｔを生成する。具体的には、パレートランク計算部４２が途中解集合Ｓ_{ｓａｍｐｌｅ}の全ての途中解に対してパレートランクを計算する。本実施例において、パレートランクは以下のように定義されてよい。
ランク１：解集合における全ての非劣解
ランクｋ：解集合からランクｋ－１までの解を除いた集合における非劣解
更に上位ランク抽出部４１が、途中解のうちでパレートランクが相対的に高い途中解を抽出する。初期解設定部４０は、上位ランク抽出部４１により抽出された途中解を初期解集合Ｓ_ｉｎｉｔに格納する。以降の処理において、初期解集合Ｓ_ｉｎｉｔに格納される初期解を初期状態として多点探索法が実行される。

図８は、初期解の分布を模式的に示す図である。図８においては図４と同様に、第１の目的関数ｆ_１（ｘ）の値を横軸に示し、第２の目的関数ｆ_２（ｘ）の値を縦軸に示してある。黒丸で示す解Ｂ１乃至Ｂ３は図４に示した最適解である。斜線でハッチングした丸で示す解６１及び白丸で示す解６２（何れも１つのみに代表して参照番号を付してある）が、イジングマシン実行部３２により求められた途中解である。解６１及び６２のうちでパレートランクが相対的に高いものが解６１であり、例えばこれらの解６１が、多点探索法の対象となる初期解となる。

図９は、多点探索法による解の分布の変化を模式的に示す図である。図８に示される解６１に対して多点探索法を実行し、イタレーションのある段階において存在する複数解から、非劣解を少なくとも含む解を選択して次の段階に残していくことにより、図９に示されるような解６１が得られることになる。最適解Ｂ１、Ｂ２、及びＢ３の各々から右方向及び上方向に延びる２本の矢印が示されているが、これら２本の矢印の間に挟まれて右上側の領域に位置している解に対して、最適解Ｂ１、Ｂ２、及びＢ３は優越している（式（４）及び式（５）参照）。解６１のうちの幾つかは、これらの矢印の間に挟まれていない非劣解であり、更に最適解Ｂ１と最適解Ｂ２との間及び最適解Ｂ２と最適解Ｂ３との間においてパレートフロントＰＦ（図４参照）の近傍に位置しており、多様な好ましい解となっている。以下に、このような多様な好ましい解を求める遺伝的アルゴリズムについて説明する。

ステップＳ８において、多点探索計算部２２の例えば多点探索部４３が、初期解集合Ｓ_ｉｎｉｔに格納されている途中解を、親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}に格納する。

ステップＳ９において、多点探索部４３は、カウント値ＬｏｏｐＣｏｕｎｔｅｒがＬｏｏｐＮｕｍより小さいか否かを判定する。判定結果がＹＥＳの場合には、処理はステップＳ１０に進む。

ステップＳ１０において、多点探索部４３は、親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}に格納される要素を基にして、交叉や突然変異等の遺伝的操作を行うことにより新しい解を生成し、生成した解を暫定解集合Ｓ_ｔｅｍｐに格納する。更にステップＳ１１において、多点探索部４３は、暫定解集合Ｓ_ｔｅｍｐに格納される要素毎にその近傍にある制約充足解を取得し、当該制約充足解を子集合Ｓ_{ｃｈｉｌｄ}に格納する。これらステップＳ１０及びＳ１１において実行される処理について、以下により詳細に説明する。

図１０は、図３に示されるステップＳ１０及びＳ１１において実行される処理を詳細に示すフローチャートである。図１０において、ステップＳ２１乃至Ｓ２５がステップＳ１０における処理に相当し、ステップＳ２６乃至Ｓ３１がステップＳ１１における処理に相当する。

ステップＳ２１において、多点探索部４３は、空の集合として暫定解集合Ｓ_ｔｅｍｐを用意する。ステップＳ２２において、多点探索部４３は、親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}の要素をそのまま暫定解集合Ｓ_ｔｅｍｐに追加する。これは次世代に残る解を選択する対象（即ち次世代に残る解の候補）として、親である解も選択対象として含めるためである。

ステップＳ２３において、多点探索部４３は、親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}から１つの要素を選択し、更に当該要素に対して目的関数値が一番近い要素を親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}から１つ選択し、これら２つの選択された要素を交叉させて２つの新たな解を生成する。多点探索部４３は、生成した２つの新たな解を暫定解集合Ｓ_ｔｅｍｐに追加する。このようにして親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}から２つの要素を選択して新たな解を生成する動作を、多点探索部４３は、親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}に属する全ての要素に対して実行する。本実施例において交叉の具体的操作内容は特定のものに限定されず、一点交叉、二点交叉、多点交叉、及び一様交叉等の何れであってもよい。またある要素に対して目的関数値が一番近い要素を特定する際には、複数の目的関数値に対応する座標において定義されるユークリッド距離等を用いて、２つの着目要素間の距離を判断すればよい。

ステップＳ２４において、多点探索部４３は、親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}から１つの要素を選択し、更に当該要素に対して目的関数値が一番遠い要素を親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}から１つ選択し、これら２つの選択された要素を交叉させて２つの新たな解を生成する。多点探索部４３は、生成した２つの新たな解を暫定解集合Ｓ_ｔｅｍｐに追加する。このようにして親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}から２つの要素を選択して新たな解を生成する動作を、多点探索部４３は、親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}に属する全ての要素に対して実行する。

ステップＳ２５において、多点探索部４３は、親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}から１つの要素をランダムに選択し、当該要素の設計変数値（即ち式（１）におけるｘ_１，ｘ_２，ｘ_３，・・・，ｘ_n）を例えば反転させることにより突然変異解を生成する。多点探索部４３は、生成した突然変異解を暫定解集合Ｓ_ｔｅｍｐに追加する。突然変異を生成する操作はこの例に限られることなく、例えば一部の設計変数値を乱数で生成した０及び１の値に置き換える等の操作により突然変異を実現してもよい。

ステップＳ２６において、多点探索部４３は、空の集合として子集合Ｓ_{ｃｈｉｌｄ}を用意する。ステップＳ２７において、多点探索部４３は、暫定解集合Ｓ_ｔｅｍｐから要素を１つ取り出し、取り出した要素をｔａｒｇｅｔとする。取り出された要素は暫定解集合Ｓ_ｔｅｍｐから削除される。

ステップＳ２８において、多点探索部４３は、ｔａｒｇｅｔを初期解として近似解法により制約充足問題を解くことにより、ｔａｒｇｅｔの近傍にある制約充足解又はその近似解を求める。多点探索部４３は、求めた解をｒｅｓｕｌｔとする。なおｔａｒｇｅｔが最初から全ての制約条件を満たしている場合には、ｔａｒｇｅｔをそのままｒｅｓｕｌｔとすればよい。近似解法のアルゴリズムは特に限定されず、例えば欲張り法、局所探索法、タブーサーチ、又はアニーリング等であってよい。

ステップＳ２９において、多点探索部４３は、ｒｅｓｕｌｔが全ての制約条件を満たしているか否かを判断する。満たしていない場合、処理はステップＳ２７に戻りその後の処理を繰り返す。満たしている場合、処理はステップＳ３０に進む。

ステップＳ３０において、多点探索部４３は、ｒｅｓｕｌｔを子集合Ｓ_{ｃｈｉｌｄ}に追加する。ステップＳ３１において、多点探索部４３は、暫定解集合Ｓ_ｔｅｍｐの全ての要素に対して上記処理を完了したか否か、即ち暫定解集合Ｓ_ｔｅｍｐが空になったか否かを判定する。判定結果がＮＯであれば、処理はステップＳ２７に戻り以降の処理を実行する。判定結果がＹＥＳであれば、処理は終了する。

以上のようにして図３におけるステップＳ１０及びＳ１１の処理が終了すると、図３のステップＳ１２において、パレートランク計算部４２が、子集合Ｓ_{ｃｈｉｌｄ}に格納されている全ての要素に対してパレートランクを計算し、上位ランク抽出部４１が、計算されたパレートランクが相対的に上位である要素を解として抽出する。抽出する解は、例えばパレートランク１である要素のみであってもよいし、パレートランク１～Ｋ（Ｋは２以上の所定の整数）である要素のみであってもよい。その後多点探索部４３が、抽出された上位パレートランクである解により、親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}を上書きする。これにより、ある世代において存在する複数解から、複数の目的関数に対する非劣解を少なくとも含む解を選択して次の世代に残していく際に、解を収束させる方向に向かう適切な解を選択することが可能となる。

図１１は、パレートランクが上位の解を次世代に残していくことにより解が最適化されていく様子を模式的に示す図である。図１１において、図４と同様に、第１の目的関数ｆ_１（ｘ）の値を各グラフの横軸に示し、第２の目的関数ｆ_２（ｘ）の値を各グラフの縦軸に示してある。ある世代において求められた子集合Ｓ_{ｃｈｉｌｄ}のうちで例えばパレートランク１である解Ｐ１乃至Ｐ３を残して、次世代の親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}とする。更にこの親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}に基づいて求められた子集合Ｓ_{ｃｈｉｌｄ}のうちで例えばパレートランク１である解Ｐ４乃至Ｐ６を残して、次世代の親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}とする。また更にこの親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}に基づいて求められた子集合Ｓ_{ｃｈｉｌｄ}のうちで例えばパレートランク１である解Ｐ７乃至Ｐ９を残して、次世代の親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}とする。このような処理を繰り返していくことにより、世代を経るに従って解がパレートフロント（図４参照）に近づくように、世代毎に解が更新されていく。

図３に戻りステップＳ１３において、終了判定部４４は、親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}及び最適解集合Ｓ_ｂｅｓｔに基づいて、次世代の親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}がパレート解に収束したか否か（即ちパレート解又はその近似解として満足できるものであるか否か）を判定する。即ち、終了判定部４４は、親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}に格納される解と最適解集合Ｓ_ｂｅｓｔに格納される解との比較に基づいて、遺伝的アルゴリズムを終了させるか否かに関する終了判定を行う。

図１２は、多点探索法の終了判定条件の一例を模式的に示す図である。図１２においては図４と同様に、第１の目的関数ｆ_１（ｘ）の値を横軸に示し、第２の目的関数ｆ_２（ｘ）の値を縦軸に示してある。黒丸で示す解Ｂ１乃至Ｂ３は図４に示した最適解である。斜線でハッチングした丸で示す解は、遺伝的アルゴリズムのある世代において求められた子集合Ｓ_{ｃｈｉｌｄ}を構成する解である。図１２の上段のグラフに示すように、子集合Ｓ_{ｃｈｉｌｄ}に属する解から、上述のステップＳ１２において、例えばパレートランク１の解Ｐ１０乃至Ｐ１３を抽出して次世代の親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}とする。なお図１２の上段のグラフに示す例では、解Ｐ１０乃至Ｐ１３は、当該世代で求めた解（子集合Ｓ_{ｃｈｉｌｄ}）と最適解Ｂ１乃至Ｂ３とを含む解集合における非劣解でもある。即ち、最適解Ｂ１乃至Ｂ３は解Ｐ１０乃至Ｐ１３に対して優越していない。

上記の親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}に属する解に基づいて前述のステップＳ１０及びＳ１１の処理を実行することにより、図１２の下段のグラフに示すような子集合Ｓ_{ｃｈｉｌｄ}を構成する解（斜線でハッチングした丸）が得られる。この子集合Ｓ_{ｃｈｉｌｄ}を構成する解のうち、パレートランク１の解（即ち非劣解）はＰ１０乃至Ｐ１３であり、上段のグラフに示される直前の世代のパレートランク１の解Ｐ１０乃至Ｐ１３と同一である。即ち、ある世代で求めた解（子集合Ｓ_{ｃｈｉｌｄ}）と最適解Ｂ１乃至Ｂ３とを含む解集合における非劣解集合が、次の世代においても変化せずに同一となっている。つまり世代交代により、より適切な解が生成されることはなかったことになる。

多点探索計算部２２の終了判定部４４は、図１２に示されるように、多点探索法により求めた解と最適解とを含む解集合における非劣解集合が、イタレーションにより変化しなくなったときに多点探索法を終了させる、と判定してよい。このような終了判定をすることにより、最適解にさえ優越されない十分に満足できる値を有する解が十分に収束した段階で多点探索法を終了させることができる。

図１３は、多点探索法の終了判定条件の別の一例を模式的に示す図である。図１３における表記は図１２と同様である。図１３の上段のグラフに示すように、子集合Ｓ_{ｃｈｉｌｄ}に属する解から、前述のステップＳ１２において、例えばパレートランク１の解Ｐ２０乃至Ｐ２４を抽出して次世代の親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}とする。なお図１３の上段のグラフに示す例では、解Ｐ２０乃至Ｐ２４は、当該世代で求めた解（子集合Ｓ_{ｃｈｉｌｄ}）と最適解Ｂ１乃至Ｂ３とを含む解集合における非劣解でもある。即ち、最適解Ｂ１乃至Ｂ３は解Ｐ２０乃至Ｐ２４に対して優越していない。

上記の親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}に属する解に基づいて前述のステップＳ１０及びＳ１１の処理を実行することにより、図１３の下段のグラフに示すような子集合Ｓ_{ｃｈｉｌｄ}を構成する解（斜線でハッチングした丸）が得られる。この子集合Ｓ_{ｃｈｉｌｄ}を構成する解のうち、パレートランク１の解（即ち非劣解）はＰ２５乃至Ｐ２９である。これら非劣解Ｐ２５乃至Ｐ２９の個数は５個であり、前世代における非劣解Ｐ２０乃至Ｐ２４の個数も５個である。即ち、着目世代における解（子集合Ｓ_{ｃｈｉｌｄ}）と最適解Ｂ１乃至Ｂ３とを含む解集合における非劣解集合の個数が、ある世代と次の世代とで変化せずに同一となっている。つまり世代交代により、適切な解の個数は増加しなかったことになる。

多点探索計算部２２の終了判定部４４は、図１３に示されるように、多点探索法により求めた解と最適解とを含む解集合における非劣解の個数が、イタレーションにより変化しなくなったときに多点探索法を終了させる、と判定してよい。このような終了判定をすることにより、最適解にさえ優越されない十分に満足できる値を有する解が十分な個数生成された段階で多点探索法を終了させることができる。

図３に戻りステップＳ１４において、多点探索部４３が、パレート解（又はその近似解）に収束したか否かを示す終了判定部４４による終了判定結果に基づいて、処理を終了するか否かを判定する。パレート解（又はその近似解）に収束していない場合、処理はステップＳ９に戻り以降の処理を繰り返す。パレート解（又はその近似解）に収束した場合、処理はステップＳ１５に進む。またステップＳ９においてカウント値ＬｏｏｐＣｏｕｎｔｅｒがＬｏｏｐＮｕｍより小さいない場合も、処理はステップＳ１５に進む。

ステップＳ１５において、データ出力部２３が、親集合Ｓ_{ｐａｒｅｎｔ}及び最適解集合Ｓ_ｂｅｓｔを最適化方法が求めた解として出力する。以上で最適化方法の処理を終了する。

以上、本発明を実施例に基づいて説明したが、本発明は上記実施例に限定されるものではなく、特許請求の範囲に記載の範囲内で様々な変形が可能である。

例えば図３に示す最適化方法においては、ステップＳ１０において交叉や突然変異等の遺伝的操作を実行し、ステップＳ１１において制約条件を満たす解を見つけるようにしているが、このような方法に限定されない。例えば、ステップＳ１０における交叉や突然変異等の遺伝的操作において、制約条件が破られないような工夫をしてもよい。或いは例えば、ステップＳ１０において数多くの遺伝的操作を実行して、制約条件を満たすもののみを解として残すようにしてもよい。このような場合、ステップＳ１１における制約充足解を取得する処理は不要となる。

１１ ＣＰＵ
１２ 表示部
１３ 入力部
１４ ＲＯＭ
１５ ＲＡＭ
１６ ＨＤＤ
１７ ネットワークインターフェース
１８ 可搬型記憶媒体用ドライブ
１９ メタヒューリスティック計算部
２０ データ読込部
２１ アニーリング計算部
２２ 多点探索計算部
２３ データ出力部
３０ 重み付けパターン生成部
３１ 単一目的関数生成部
３２ イジングマシン実行部
３３ 温度設定部
４０ 初期解設定部
４１ 上位ランク抽出部
４２ パレートランク計算部
４３ 多点探索部
４４ 終了判定部

Claims (10)

1. 複数の目的関数を取得し、取得された前記複数の目的関数を重み付け加算して単一関数を生成する処理を、複数の重み付けパターンに対して行うことにより複数個の単一関数を生成し、前記複数個の単一関数の各々に対して、アニーリングによる解探索処理を実行し、前記解探索処理により得られた第１の複数の解を取得するアニーリング計算部と、
   前記第１の複数の解に含まれる第１の解を初期状態として多点探索法を実行し、前記多点探索法のイタレーションのある段階において存在する第２の複数の解から、前記複数の目的関数に対する非劣解を少なくとも含む第２の解を選択して次のイタレーション段階に残していくことにより、パレート解又はその近似解を求める多点探索計算部、
   を含む最適化装置。
2. 前記多点探索計算部は前記多点探索法により求めた解と前記解探索処理により得られた前記第１の複数の解のうちの最善解との比較に基づいて前記多点探索法の終了判定を行う、請求項１記載の最適化装置。
3. 前記アニーリング計算部は、前記複数の目的関数から１つの目的関数を選択し、当該１つの目的関数に対する重み付けを非ゼロとし且つ当該１つの目的関数以外の目的関数に対する重み付けをゼロとした単一関数を生成する動作を、前記複数の目的関数の全てについて実行することにより、前記複数個の単一関数のうちの少なくとも一部を生成する、請求項１又は２記載の最適化装置。
4. 前記アニーリング計算部は、前記複数の目的関数から２つの目的関数をペアとして選択して、当該２つの目的関数に対する重み付けを非ゼロとし且つ当該２つの目的関数以外の目的関数に対する重み付けをゼロとした単一関数を生成する動作を、前記複数の目的関数から選択可能な全てのペアについて実行することにより、前記複数個の単一関数のうちの一部を生成する、請求項３記載の最適化装置。
5. 前記アニーリング計算部は前記アニーリングにおける設定温度を変化させながら前記第１の複数の解を求める、請求項１乃至４いずれか一項記載の最適化装置。
6. 前記多点探索計算部は、イタレーションのある段階において存在する複数解からパレートランクが上位の解を選択して次のイタレーションの段階に残していく、請求項１乃至５いずれか一項記載の最適化装置。
7. 前記多点探索計算部は、前記多点探索法により求めた解と前記最善解とを含む解集合における非劣解集合が、イタレーションにより変化しなくなったときに前記多点探索法を終了させる、請求項２記載の最適化装置。
8. 前記多点探索計算部は、前記多点探索法により求めた解と前記最善解とを含む解集合における非劣解の個数が、イタレーションにより変化しなくなったときに前記多点探索法を終了させる、請求項２記載の最適化装置。
9. 複数の目的関数を取得し、取得された前記複数の目的関数を重み付け加算して単一関数を生成する処理を、複数の重み付けパターンに対して行うことにより複数個の単一関数を生成し、
   前記複数個の単一関数の各々に対して、アニーリングによる解探索処理を実行し、前記解探索処理により得られた第１の複数の解を取得し、
   前記第１の複数の解に含まれる第１の解を初期状態として多点探索法を実行し、前記多点探索法のイタレーションのある段階において存在する第２の複数の解から、前記複数の目的関数に対する非劣解を少なくとも含む第２の解を選択して次のイタレーション段階に残していくことにより、パレート解又はその近似解を求める
   処理をコンピュータにより実行する、最適化方法。
10. 複数の目的関数を取得し、取得された前記複数の目的関数を重み付け加算して単一関数を生成する処理を、複数の重み付けパターンに対して行うことにより複数個の単一関数を生成し、
    前記複数個の単一関数の各々に対して、アニーリングによる解探索処理を実行し、前記解探索処理により得られた第１の複数の解を取得し、
    前記第１の複数の解に含まれる第１の解を初期状態として多点探索法を実行し、前記多点探索法のイタレーションのある段階において存在する第２の複数の解から、前記複数の目的関数に対する非劣解を少なくとも含む第２の解を選択して次のイタレーション段階に残していくことにより、パレート解又はその近似解を求める
    処理をコンピュータに実行させる、最適化プログラム。

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