JP2010010522A - イオン注入分布発生方法 - Google Patents

Abstract

【課題】 イオン注入分布発生方法に関し、２次の拡張ＬＳＳ理論における摂動計算のモデル式を近似して簡便なＲ_ｐ、ΔＲ_ｐ及びΔＲ_ｐｔを求める。
【解決手段】 ２次の拡張ＬＳＳ理論における摂動計算のモデル式を求める際に、全阻止能（Ｓ_ｎ＋Ｓ_ｅ）に対する核阻止能Ｓ_ｎの比ｒ＝Ｓ_ｎ／（Ｓ_ｎ＋Ｓ_ｅ）を複数のエネルギー領域で区分し、前記区分した各エネルギー領域で前記ｒを定数ｒ_ｓとして扱う。
【選択図】 図２

Description

本発明はイオン注入分布発生方法に関し、２次の拡張ＬＳＳ理論におけるモーメントを簡単な解析式で表現し、計算速度を向上するとともにモデル式の組み込みを容易にするための手法に関するものである。

シリコン集積回路装置において、シリコン基板への不純物の導入はイオン注入で行われるのが一般的である。
このようなシリコン集積回路装置のプロセス構築に際しては、必要な素子構造を得るためのイオン注入条件を決定する必要があるが、このようなイオン注入条件をシミュレーションにより決定することが行われている。
非晶質層へのイオン注入分布を理論的に予想する手段としてＭｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ がある。これは、入射イオンと基板との相互作用を、核阻止能及び電子阻止能の物理に基づいて、入射イオンの軌跡を追跡していくものである。

この理論は、任意のイオンを任意の基板にイオン注入した場合の一般的な場合にも有効であり、電子阻止能をチューニングすればその精度をさらに向上させることができる。図１４は、計算モデルであり、質量数Ｍ_１，原子番号Ｚ_１，エネルギーＴ_１ｉ（速度ｖ_１ｉ）のイオンが、基板を構成する質量数Ｍ_２，原子番号Ｚ_２の原子と相互作用して伝達するエネルギーＴ_２ｆは、散乱角度をΦ、相互作用後のイオンの速度をν_１ｉ、基板原子の速度をν_２ｉとすると、
Ｔ_２ｆ／Ｔ_１ｉ＝２Ｍ_２ν_２ｉ ² ｓｉｎ² （Φ／２）／〔（１／２）Ｍ_１ν_１ｉ ² 〕
＝（４Ｍ_２／Ｍ_１）｛〔Ｍ_１ｖ_１ｉ／（Ｍ_１＋Ｍ_２）〕² ／ν_１ｉ ² ｝×ｓｉｎ² （Φ／２）＝〔４Ｍ_２Ｍ_１／（Ｍ_１＋Ｍ_２）² 〕ｓｉｎ² （Φ／２）・・・（１）
と表現される。

ここで、イオンと基板原子の距離をｒ、衝突パラメータをｂ、ポテンシャルエネルギーをＶ（ｒ）とすると、伝達エネルギーＴ_２ｆは、下記の式（２）として求まる。

つまり、注入されたイオンは、核との相互作用により、
ΔＥ_ｎ＝Ｔ_２ｆ
のエネルギーを失う。

また、相互作用に伴う散乱角度Φは、下記の式（３）で表される。

ここで、半径ｂの円周上の位置、即ち角度θは、Ｒａｎｄ（ｎ）をｎが０から１の間の乱数とすると、
θ＝２πＲａｎｄ（ｎ）
の関係から求まる。

これにより、衝突後のエネルギーと方向が決まる。次に、新たに注入エネルギーで同様の計算を繰り返し、イオンの軌跡をトレースしていけば良い。しかし、実際の衝突のたびに、上記の式（３）で表される積分を毎回実行するのは計算コストが膨大になるため、ＺｉｅｇｌｅｒはＭａｇｉｃ ｆｏｒｍｕｌａを提案し、この積分を簡単なプロトコルで解いている。また、シミュレータＴＳＵＰＲＭでは、計算結果をテーブル化しその内挿でこの値を評価している。

なお、上記の式（３）における各パラメータを規格化したユニバーサルな変数で表すと、下記の式（４）で表される。

但し、ａ_Ｂをボーア径とすると、
ρ＝ｒ／ａ_Ｕ，
η＝ｂ／ａ_Ｕ，
ａ_Ｕ＝０．８８５４ａ_Ｂ／（Ｚ_１ ^0.23 ＋Ｚ_２ ^0.23 ）
である。また、エネルギーは、
ε＝Ｅ_ｃ／（Ｚ_１Ｚ_２ｅ² ／ａ_Ｕ）
Ｅ_ｃ＝（１／２）Ｍc ｖ_１ｉ ²
１／Ｍ_ｃ＝１／Ｍ_１＋１／Ｍ_２
である。
また、ポテンシャルエネルギーＶ（ｒ）として、下記のＺｉｅｇｌｅｒ−Ｌｉｔｍａｒｋ−Ｂｉｅｒｓａｋ（ＺＬＢ）のポテンシャルエネルギーを用いる（例えば、非特許文献１参照）。
Ｖ（ｒ）＝（ｅ² Ｚ_１Ｚ_２／ｒ）ｆ（ρ）
但し、

しかしながら、上述の計算コスト低減の手法を導入しても、Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏシミュレーションは、粒子の各軌跡を追うため、統計誤差を減らすためには数万個以上の計算をする必要があり、時間がかかるという問題がある。

そこで、電子阻止能Ｓ_ｅ、核阻止能Ｓ_ｎが与えられた時、イオン注入分布が従うべき積分方程式が、Ｌｉｎｄｈａｒｔ，Ｓｃｈａｒｆ，Ｓｃｈｉｏｔｔによって提案され（例えば、非特許文献２参照）、このモデルはＬＳＳ理論と呼ばれている。

この理論では、粒子の軌跡を追跡することなしに注入条件が決まれば、積分方程式を解くことによって分布の任意の次数の分布モーメントのエネルギー依存性までを即座に計算できる。

この場合、積分方程式を展開し、微分方程式に還元し、それを解いていく必要があり、そのステップで近似が入る。
即ち、伝達エネルギーが初期エネルギーに比べて小さいと仮定してモーメントをエネルギーに関してＴａｙｌｏｒ展開するが、この展開する次数が解くべき微分方程式の階数となる。

また、散乱角度もエネルギーに関してＴａｙｌｏｒ展開するが、これは解くべき方程式の係数と関連し階数とは無関係である。解析モデルは一階の線形微分方程式の場合のみ任意の係数で一般的に得られる。
このＬＳＳ理論ではモーメントに関しては１次、散乱角度に関しては２次までＴａｙｌｏｒ展開し、線形１階の微分方程式を解き飛程Ｒの射影Ｒ_ｐ及びそのストラッグリングΔＲ_ｐの解析モデル式を導出している。

ここで、図１５を参照して、ＬＳＳ理論における注入イオンの飛程Ｒに関する積分方程式を説明する。
図１５はイオンの飛程Ｒの模式図であり、エネルギーＥで注入されたイオンは基板原子と相互作用しながらエネルギーを失い方向を変えながら図に示すように進んでいき、全エネルギーを失い基板中で静止する。

この時、イオンが進んだ軌跡の線積分を飛程Ｒとし、飛程Ｒの注入方向への射影をＲ_ｐ、横方向への広がりをＲ_Ｔとする。
また、横方向への広がりのｘ成分をΔｘ、ｙ成分をΔｙとする。
なお、横方向への広がりは、図面及び以降の積分方程式或いは微分方程式においてはＲに「垂直記号」のサフィックスを付けた記号で表すが、明細書本文中では、明細書作成の都合上、「Ｒ_Ｔ」で表す。

表面に垂直にエネルギーＥでイオン注入されたイオンがＲとＲ＋ｄＲの間で止まる確率をＰ（Ｅ，Ｒ）とする。この場合、

である。
また、Ｒに関してｍ次のモーメントを

と定義する。

イオンが表面からｄＲ進む間に原子および電子と相互作用する確率は、
ＮｄＲ∫ｄσ_ｎ＋ＮｄＲ∫ｄσ_ｅ ・・・（８）
であり、そのそれぞれの相互作用でイオンのエネルギーは、
Ｅ−Ｔ_ｎ，Ｅ−Ｔ_ｅ
に減少すると仮定する。
ここで、ｄσ_ｎ，ｄσ_ｅは核阻止能及び電子阻止能と関連する微分断面積である。

よって、このイオンが原子および電子と相互作用し、エネルギーを失って飛程Ｒに止まる確率は、

で与えられる。
また、ｄＲ進む間に衝突しない確率は、
１−（ＮｄＲ∫ｄσ_ｎ＋ＮｄＲ∫ｄσ_ｅ） ・・・（１０）
である。この間にエネルギーは失われないから、イオンがＲに止まる確率は、
［１−（ＮｄＲ∫ｄσ_ｎ＋ＮｄＲ∫ｄσ_ｅ）］Ｐ（Ｅ，Ｒ−ｄＲ） ・・・（１１）
となる。よって、

となる。

ここで、ｄＲを無限小に持っていく極限を考えると、

となる。両辺にＲ^m をかけてＲについて０から∞まで積分すると、

となる。

式（１４）の左辺を部分積分し、また右辺の積分の順序を入れ換えると、

式（１５）における左辺の第１項は０である。また

と表現するが、これはＲ^m の期待値に相当する。

ここで、式（１６）を用いると、式（１５）は、

となり、これが飛程Ｒに関するｍ次の積分方程式である。
ここで、飛程Ｒに関しては１次に関してのみ解析する。式（１７）においてｍ＝１とおいて

を得る。これが、飛程Ｒの従うべき積分方程式である。

次に、式１７をＴ_ｎ，Ｔ_ｅ≪Ｅの近似のもとで１次の項までを残し解いていく。この近似は伝達エネルギーが小さいということを仮定をしている。
この場合、核との相互作用に関しては広角散乱を無視する近似に相当し、電子との相互作用に関しては、エネルギーが高いほどＴ_ｅは大きくなる。このため、比較的エネルギーの低い場合に近似の精度は良くなってくる。
この解を１次のものであることを意識して〈Ｒ（Ｅ）〉⁽¹⁾ と表現する。

次に、式（１８）の両辺をＮで割るとともにＴａｙｌｏｒ展開することにより、

となる。ここで、
Ｓ_ｎ＝∫Ｔ_ｎｄσ_ｎ，Ｓ_ｅ＝∫Ｔ_ｅｄσ_ｅ ・・・（２０）
を利用している。式（１９）より、良く知られている、

が導出される。

次に、図１６を参照して、Ｒ_ｐ（Ｅ，ｃｏｓφ），Ｒ_Ｔ（Ｅ，ｃｏｓφ），Ｒ_ｐ（Ｅ），Ｒ_Ｔ（Ｅ）の幾何学的関係を説明する。
図１６は、Ｒ_ｐ（Ｅ，ｃｏｓφ），Ｒ_Ｔ（Ｅ，ｃｏｓφ），Ｒ_ｐ（Ｅ），Ｒ_Ｔ（Ｅ）の幾何学的関係の説明図であり、エネルギーＥ、角度φで入射したイオンが基板内のＡ点に静止した状況を模式図的に示している。
入射角度０の軸に垂直な面上での横方向の広がりをＲ_Ｔ（Ｅ，ｃｏｓφ）とすると、入射方向に垂直な軸に対する射影Ｒ_ｐ（Ｅ）が、入射方向に垂直な面に対する横方向広がりがＲ_Ｔ（Ｅ）と考えることができる。よって、

以上の幾何学的関係を基にして、次に、Ｒ_ｐ，Ｒ_Ｔ，Ｒ_ｐＲ_Ｔの従うべき積分方程式を導出していく。
エネルギーＥで、角φで散乱されたイオンの射影飛程がＲ_ｐとＲ_ｐ＋ｄＲ_ｐの間で止まる確率をＰ_ｐ（Ｅ，Ｒ_ｐ，ｃｏｓφ）とする。
φ＝０の場合の確率をＰ_ｐ（Ｅ，Ｒ_ｐ）とする。また、Ｒ_ｐに関してｍ次のモーメントを、

と定義する。

入射イオンがｄＲ_ｐ進む間に原子および電子と相互作用する確率は、飛程Ｒの場合と同様に、
ＮｄＲ_ｐ∫ｄσ_ｎ＋ＮｄＲ_ｐ∫ｄσ_ｅ ・・・（２５）
であり、この相互作用でのエネルギーは、
Ｅ−Ｔ_ｎ，Ｅ−Ｔ_ｅ
に減少する。

この場合、電子との相互作用による散乱角は０とみなすので、このイオンが原子および電子と相互作用し、エネルギーＴ_ｎ，Ｔ_ｅを失ってＲ_ｐに止まる確率は、

で与えられる。
また、ｄＲ進む間に衝突しない確率は、
１−（ＮｄＲ_ｐ∫ｄσ_ｎ＋ＮｄＲ_ｐ∫ｄσ_ｅ） ・・・（２７）
である。この間にエネルギーは失われないから、イオンがＲ_ｐに止まる確率は、
［１−（ＮｄＲ_ｐ∫ｄσ_ｎ＋ＮｄＲ_ｐ∫ｄσ_ｅ）］Ｐ（Ｅ，Ｒ_ｐ−ｄＲ_ｐ）
・・・（２８）
となる。よって、

となる。

ここで、ｄＲ_ｐを無限小にもっていく極限を考えると、

となり、両辺にＲ^ｍ _ｐをかけてＲ_ｐについて０から∞まで積分すると、

とｍ次の〈Ｒ^ｍ _ｐ（Ｅ）〉に関する積分方程式が導出される。

次に、分布の横方向への広がりを表すＲ_Ｔについて考える。
エネルギーＥ、入射角φで注入されたイオンがＲ_ＴとＲ_Ｔ＋ｄＲ_Ｔの間に止まる確率をＰ_Ｔ（Ｅ，Ｒ_Ｔ，ｃｏｓφ）とする。
この時、入射角φのイオンがｄＲ_Ｔ進む間に原子および電子と相互作用する確率は、

である。よって、このイオンが相互作用しエネルギーＴ_ｎ，Ｔ_ｅを失ってＲ_Ｔに止まる確率は、

で与えられる。

この場合も電子との相互作用では角度の変化はなく、さらにこの場合はＲ_Ｔも変化しないことを仮定している。また、ｄＲ_Ｔ進む間に衝突しない確率は、

である。この間にエネルギーは失われず、角度も変化しないためＲ_Ｔも変化しない。よって、イオンがＲ_Ｔに止まる確率は、

となる。

以上より、

となる。

ここで、ｄＲ_Ｔを無限小にもっていく極限を考えると、

となり、両辺にＲ^m _ＴをかけてＲ_Ｔについて０から∞まで積分すると、

と〈Ｒ^m _Ｔ（Ｅ）〉に関する積分方程式が導出される。

まず、飛程の射影Ｒ_ｐを求めるために、式（３１）においてｍ＝１とすると下記の式（３９）となる。

ここで、１次のテーラー展開した解を〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ とおくと、下記の式（４０）となる。

これから、下記の式（４１）が得られる。

但し、α（Ｅ）及びα（Ｅ′）は、下記の式（４２）で表される。

次に、２次のモーメントΔＲ_ｐ及びΔＲ_ｐｔを求めるために、式（３１）及び式（３８）においてｍ＝２とすると下記の式（４３）及び式（４４）となる。

ここで、Ｌｉｎｄｈａｒｔは下記の式（４５）及び式（４６）で定義される変数〈Ｒ² _ｃ（Ｅ）〉及び〈Ｒ² _ｒ（Ｅ）〉を導入した。

〈ΔＲ² _ｐ（Ｅ）〉と〈Ｒ² _Ｔ（Ｅ）〉は、変数〈Ｒ² _ｃ（Ｅ）〉及び〈Ｒ² _ｒ（Ｅ）〉と下記の式（４７）及び式（４８）で関連づけられる。

また、横方向の偏差〈ΔＲ² _ｐｔ（Ｅ）〉は〈ΔＸ² 〉と関連し、〈Ｒ² _Ｔ（Ｅ）〉そのものではない。したがって、
〈Ｒ² _Ｔ（Ｅ）〉＝〈ΔＸ² 〉＋〈ΔＸ² 〉＝２〈ΔＲ² _ｐｔ（Ｅ）〉・・・（４９）
となり、これより、
〈ΔＲ² _ｐｔ（Ｅ）〉＝〈Ｒ² _Ｔ（Ｅ）〉／２ ・・・（５０）
となる。

Ｌｉｎｄｈａｒｔはこれらの変数を導入することにより、下記の式（５１）及び式（５２）の独立な微分方程式を得ることに成功した。

また、深さ方向のイオン注入分布はＲ_ｐとΔＲ_ｐを用いてＧａｕｓｓ分布で大まかに評価できるが、Ｌｉｎｄｈａｒｔは、核阻止能Ｓ_ｎが支配的であるとして微分断面積を解析的に近似して、下記の式（５３）及び式（５４）で表される近似解を得ている。

なお、μは、μ＝Ｍ_１／Ｍ_２である。
Ｊ．Ｆ．Ｚｉｅｇｌｅｒ，Ｊ．Ｐ．Ｂｉｅｒｓａｃｋ，ａｎｄ Ｕ．Ｌｉｔｔｍａｒｋ，Ｔｈｅ ｓｔｏｐｐｉｎｇ ａｎｄ ｒａｎｇｅ ｏｆ ｉｏｎｓ ｉｎ ｓｏｌｉｄ，Ｐｅｒｇａｍｏｎ，１８８５ Ｊ．Ｌｉｎｄｈａｒｔ，Ｍ．Ｓｃｈａｒｆｆ，Ｈ．Ｓｃｈｉｏｔｔ，Ｍａｔ．Ｆｔｓ．Ｍｅｄｄ．Ｖｉｄ．Ｓｃｌｓｋ，ｖｏｌ．３３，ｐｐ．１−３９，１９６３

しかし、ＬＳＳ理論では、積分方程式を解く際に近似が必要で、これまでに提案されているモデルではＲ_ｐは問題ないが、ΔＲ_ｐは格段に精度が落ちるか、計算できないという問題がある。

そこで、本発明者は、ＬＳＳ積分方程式の３次の摂動近似計算によりＭｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏシミュレーション結果と同程度の精度の解析モデルを得ることに成功している（必要ならば、特願２００８−０６９５０９参照）。

この高精度のモデルから、Ｒ_ｐ及びΔＲ_ｐについては、２次のオーダーのモデルで充分精度が高いことが示された。しかしながら、この解析モデル式は微分項や積分項を含む複雑なものであり、誰もが簡便に扱えるものではなかった。

したがって、２次の拡張ＬＳＳ理論における摂動計算のモデル式を近似して簡便なＲ_ｐ、ΔＲ_ｐ及びΔＲ_ｐｔを求めることを目的とする。

本発明の一観点によると、エネルギーＥで半導体に注入するイオンの飛程Ｒの射影Ｒ_ｐの２次の項まで考慮した射影〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ を、１次の項まで考慮した既知の射影を〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ とした時に、摂動項Δ_ｐ ⁽²⁾ （Ｅ）を用いて、
〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ ＝〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ ＋Δ_ｐ ⁽²⁾ （Ｅ）
とした近似式を用いた２次の摂動モデルを用いて求める際に、全阻止能（Ｓ_ｎ＋Ｓ_ｅ）に対する核阻止能Ｓ_ｎの比ｒ＝Ｓ_ｎ／（Ｓ_ｎ＋Ｓ_ｅ）を複数のエネルギー領域で区分し、前記区分した各エネルギー領域で前記ｒを定数ｒ_ｓとして扱うイオン注入分布発生方法が提供される。

また、別の観点によると、上述のイオン注入分布発生方法により求めた〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ 及び〈ΔＲ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ を用いてイオン注入分布をガウス分布として発生させるシミュレータが提供される。

さらに、別の観点によると、上述イオン注入分布発生方法により〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ 、ΔＲ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ 及び〈ΔＲ_ｐｔ（Ｅ）〉⁽²⁾ を用いて二次元濃度分布を発生させるシミュレータが提供される。

開示のイオン注入分布発生方法によれば、複雑なモデル式を格段に簡便化しているので、計算速度が向上するとともに、計算式の組み込みが簡単になり、さらに、維持も容易になる。

ここで、本発明の前提となる２次の拡張ＬＳＳ理論（Ｅ２ＬＳＳ）について、予め説明する。まず、１次及び２次の核阻止能について計算しておく。１次の核阻止能Ｓ_ｎ（Ｅ）は、下記の式（５５）で与えられる。

また、ユニバーサルな核阻止能Ｓ_ｎ（ε）は、下記の式（５６）で与えられる。

ここで、上述のＺＬＢポテンシャルを利用すると、ユニバーサルな核阻止能Ｓ_ｎ（ε）は、下記の式（５７）で近似される。

この阻止能は高次のものにも拡張され、２次のモーメントに対応する拡張された核阻止能、即ち、エネルギーストラッグリングΩ_ｎ ² は、下記の式（５８）で表される。

但し、ユニバーサルな拡張された核阻止能Ω_ｎ ² （ε）は下記の式（５９）で表される。

これも、下記の式（６０）で近似的に表現される。

ここで、上記式（２２）及び式（２３）に基づいて、以下の計算で利用する各パラメータＲ_ｐ ² （Ｅ，ｃｏｓφ），Ｒ_ｐ ³ （Ｅ，ｃｏｓφ）、Ｒ_ｐＲ_Ｔ ² （Ｅ，ｃｏｓφ）を予め下記の通り計算しておく。

ここで、上記の図１６に示したように、空間の対称性から点Ｃの存在する平面上でＣを中心とする半径Ｒ_Ｔ（Ｅ）の円上の点はＡと等価と考えることができる。
よって、βは０から２πの値を同じ確率で取ると仮定できる。
そこで、式（６１）乃至式（６３）をβに関して０から２πまで積分したものを２πで割りその平均値を評価する。

を参考にしてこれらの平均値は、

となる。

次に、飛程の射影Ｒ_ｐについて、上記の式（３９）を２次まで展開した解を〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ とおくと、

となる。
但し、Ω_ｎ ² ＝∫Ｔ_ｎ ² ｄσ_ｎ，Ω_ｅ ² ＝∫Ｔ_ｅ ² ｄσ_ｅ
を利用している。なお、一般に、Ω_ｅ ² ≪Ω_ｎ ² であるので、実際の計算ではΩ_ｅ ² は無視する。

上記の式（６９）は２階の微分方程式になり、解析的に解くことはできない。そこで摂動近似で２次の近似式〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ を、計算可能な既知の〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ と摂動項Δ_ｐ ⁽²⁾ を用いて、
〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ ＝〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ ＋Δ_ｐ ⁽²⁾ （Ｅ） ・・・（７０）
と表現する。

この式（７０）を上記の式（６９）に代入し、Ω² とΔ_ｐ ⁽²⁾ の積は３次の微小項と見なして落としたのち、上記の１次展開に関する式（４０）を利用することによって、

が得られ、これより、摂動項Δ_ｐ ⁽²⁾ は、下記の式（７２）で表される。

但し、式（７２）におけるζ_ｐ ⁽²⁾ （Ｅ）は下記の式（７３）で表される。

このように、未知の〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ を、計算可能な既知の〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ と摂動項Δ_ｐ ⁽²⁾ により近似することによって、飛程の射影Ｒ_ｐの２次の摂動モデルによる値〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ を数値的に計算することが可能になる。

次に、ΔＲ_ｐとΔＲ_ｐｔについて検討する。
まず、式（５１）の積分方程式を２次まで展開した解を〈Ｒ_ｃ ² （Ｅ）〉⁽²⁾ とおくと、下記の式（７４）が得られる。

ここで、未知の〈Ｒ_ｃ ² （Ｅ）〉⁽²⁾ を、計算可能な既知の〈Ｒ_ｃ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ と摂動項Δ_ｃ ²⁽²⁾を用いて、
〈Ｒ_ｃ ² （Ｅ）〉⁽²⁾ ＝〈Ｒ_ｃ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ ＋Δ_ｃ ²⁽²⁾ ・・・（７５）
とおいて、上記の式（７４）を整理すると、左辺は、
２〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ ／Ｎ＝２｛〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ ＋Δ_ｐ ⁽²⁾ （Ｅ）｝／Ｎ であるので、下記の式（７６）となる。

したがって、摂動項Δ_ｃ ²⁽²⁾は、下記の式（７７）となる。

但し、式（７７）におけるζ_ｃ ⁽²⁾ （Ｅ）は下記の式（７８）で表される。

次に、式（５２）の積分方程式を２次まで展開した解を〈Ｒ_ｒ ² （Ｅ）〉⁽²⁾ とおくと、下記の式（７９）が得られる。

ここでも、未知の〈Ｒ_ｒ ² （Ｅ）〉⁽²⁾ を、計算可能な既知の〈Ｒ_ｒ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ と摂動項Δ_ｒ ²⁽²⁾を用いて、
〈Ｒ_ｒ ² （Ｅ）〉⁽²⁾ ＝〈Ｒ_ｒ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ ＋Δ_ｒ ²⁽²⁾ ・・・（８０）
とおいて、上記の式（７９）を整理すると、左辺は、
２〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ ／Ｎ＝２｛〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ ＋Δ_ｐ ⁽²⁾ （Ｅ）｝／Ｎ
であるので、下記の式（８１）となる。

したがって、摂動項Δ_ｒ ²⁽²⁾は、下記の式（８２）となる。

但し、式（８２）におけるζ_ｒ ⁽²⁾ （Ｅ）は下記の式（８３）で表される。

以上のパラメータを用いて、２次の摂動モデルによるΔＲｐ⁽²⁾ ，ΔＲ_ｐｔ ⁽²⁾ を、Ｌｉｎｄｈａｒｔが１次の摂動モデルで利用したように、
〈ΔＲ_ｐ ² （Ｅ）〉＝〈Ｒ_ｐ ² （Ｅ）〉＋〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉²
＝｛〈Ｒ_ｃ ² （Ｅ）〉＋〈Ｒ_ｒ ²（Ｅ）〉｝／３−〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉²
・・・（８４）
〈Ｒ_Ｔ ² （Ｅ）〉 ＝２｛〈Ｒ_ｃ ² （Ｅ）〉−〈Ｒ_ｒ ² （Ｅ）〉｝／３
・・・（８５）
〈ΔＲ_ｐｔ ² （Ｅ）〉＝〈Ｒ_Ｔ ² （Ｅ）〉／２ ・・・（８６）
で評価する。但し、２次の場合には、１次と異なり、２次摂動モデルであることを意識して表記すると、上記の式（８４）の第１式は、
〔〈ΔＲ_ｐ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ ＋Δ_ｐ ^{2 (2)} 〕
＝〔〈Ｒ_ｐ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ ＋Δ_ｐ ^{2 (2)} （Ｅ）〕
−〔〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ ＋Δ_ｐ ⁽²⁾ （Ｅ）〕² ・・・（８７）
となる。
また、式（８５）及び式（８６）も同様である。

以上の結果を纏めると、〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ 及びΔ_ｐ ⁽²⁾ は、下記の式（８８）で与えられる。

ここで、ζ_ｐ ⁽¹⁾ 及びζ_ｐ ⁽²⁾ に関しては、下記の式（８９）及び式（９０）であり、ζ_ｐ ⁽¹⁾ の場合が〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ を表し、ζ_ｐ ⁽²⁾ の場合がΔ_ｐ ⁽²⁾ を表す。

また、〈Ｒ_ｃ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ 及びΔ_ｃ ²⁽²⁾は、下記の式（９１）で与えられる。

ここで、ζ_ｃ ²⁽¹⁾及びζ_ｃ ²⁽²⁾に関しては、下記の式（９２）及び式（９３）であり、ζ_ｃ ²⁽¹⁾の場合が〈Ｒ_ｃ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ を表し、ζ_ｃ ²⁽²⁾の場合がΔ_ｃ ²⁽²⁾を表す。

また、〈Ｒ_ｒ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ 及びΔ_ｒ ²⁽²⁾は、下記の式（９４）で与えられる。

ここで、ζ_ｒ ²⁽¹⁾及びζ_ｒ ²⁽²⁾に関しては、下記の式（９５）及び式（９６）であり、ζ_ｒ ²⁽¹⁾の場合が〈Ｒ_ｒ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ を表し、ζ_ｒ ²⁽²⁾の場合がΔ_ｒ ²⁽²⁾を表す。

以上の２次の拡張ＬＳＳ理論を基にして、各モーメントを飛程Ｒに関連づけていく。ＬＳＩプロセスで利用されるエネルギー領域は通常は数１０ｋｅＶ以下であるがであるが、ウェル形成には１ＭｅＶ程度のＢ，Ｐイオン注入が利用される。そこで、ここでは、Ｂ，Ａｓ，Ｐで１ＭｅＶまでのエネルギー領域の近似モデルを導出していく。

図１（ａ）は注入されたイオンの飛程Ｒの入射エネルギーＥ依存性の説明図であり、Ａｓの飛程Ｒは単調にエネルギーに比例している。Ｐの飛程Ｒもほぼ同様であるが、Ｂの飛程Ｒは１００ｋｅＶ以下とそれ以上では明らかに傾きが異なる。これらの不純物による依存性の違いは電子阻止能Ｓ_ｅと核阻止能Ｓ_ｎの比に依存すると思われる。そこで、両阻止能が同じになるエネルギーＥ_１で規格化した状態で依存性をみてみる。

図１（ｂ）は、飛程Ｒの規格化エネルギー依存性の説明図であり、ここでは、飛程ＲもＥ／Ｅ_１＝１００における飛程Ｒ（Ｅ／Ｅ_１＝１００）で規格化している。図から明らかなように、各不純物におけるＥ_１は、Ｂで７ｋｅＶ、Ｐで９８ｅＶ、Ａｓで６９７ｅＶである。よってカバーするエネルギー領域はＢで１５０Ｅ_１、Ｐで１０Ｅ_１、Ａｓで２Ｅ_１程度である。

このような規格化により、Ｂ，Ｐ，ＡｓのＲのエネルギー依存性はほぼユニバーサルな依存性を示す。Ｅ／Ｅ_１が１０以下では飛程ＲはエネルギーＥにほぼ比例し、それ以上ではＥ^1/2 に比例することが読み取れる。この依存性を後の近似で利用していく。

上記の式（８８）、式（９１）及び式（９４）から分かるように、各モデルは一般形として、下記の式（９７）の項を含む。

ここで、係数νはＲ_ｐでは１、Ｒ_ｃ ² （Ｅ）では０、Ｒ_ｒ ² （Ｅ）では３である。

ここで、積分するエネルギー領域をＳ_ｎ／（Ｓ_ｎ＋Ｓ_ｅ）が一定と近似できるように小さくとり、その値をｒ_ｓとおくと、式（９７）においてＳ_ｎ／（Ｓ_ｎ＋Ｓ_ｅ）＝ｒ_ｓとすると１／Ｅ′の積分になるので、下記の式（９８）と簡単化される。

後述するように、最終的に導出されるモデル式は任意の領域および領域数を扱うことができるが、ここでは、図２に示すように、Ｅ／Ｅ_１＝１，５，１０を区切りの領域とする。１０以上の場合はＲのエネルギー依存性から電子阻止能Ｓ_ｅが支配的、即ち、ｒ_ｓ＝０とする。

上記の式（９７）の結果はＥ′の関数となる。それが、式（９８）の中でＥ′が０からＥまでの範囲で積分される。したがって、式（９７）が式（９８）の中でどのようになっていくかをエネルギーＥとＥ′の領域の場合分けを解析していく。表記の簡単化を図るために、
Ｅ_２＝５Ｅ_１，Ｅ_ｈ＝１０Ｅ_１
とする。Ｅ_ｈはこのエネルギー以降は電子阻止能Ｓ_ｅが支配的として扱う区切りのエネルギーである。

次に、入射エネルギーＥを場合分けして、上記の式（９７）の計算結果を示す。
（ａ）Ｅ≦Ｅ_１の場合、下記の式（９９）となる。

（ｂ）Ｅ_１＜Ｅ≦Ｅ_２の場合はさらに場合分けして、
（ｂ−１）Ｅ′≦Ｅ_１の場合には、下記の式（１００）となり、

（ｂ−２）Ｅ_１＜Ｅ′≦Ｅ_２の場合には、下記の式（１０１）となる。

（ｃ）Ｅ_２＜Ｅ≦Ｅ_１の場合にも場合分けして、
（ｃ−１）Ｅ′≦Ｅ_１の場合には、下記の式（１０２）となり、

（ｃ−２）Ｅ_１＜Ｅ′≦Ｅ_２の場合には、下記の式（１０３）となり、さらに、

（ｃ−３）Ｅ_２＜Ｅ′≦Ｅ_ｈの場合には、下記の式（１０４）となる。

（ｄ）Ｅ3 ＜Ｅの場合にも場合分けして、
（ｄ−１）Ｅ′≦Ｅ_１の場合には、下記の式（１０５）となり、

（ｄ−２）Ｅ_１＜Ｅ′≦Ｅ_２の場合には、下記の式（１０６）となり、さらに、

（ｄ−３）Ｅ_２＜Ｅ′≦Ｅ_ｈの場合には、下記の式（１０７）となる。

なお、
（ｅ）Ｅ′＞Ｅ_ｈの場合には、電子阻止能Ｓ_ｅが支配的になり、Ｓ_ｎ／（Ｓ_ｎ＋Ｓ_ｅ）はほぼ０にかるので、下記の式（１０８）で近似される。

次に、二次の核阻止能（エネルギーストラッグリング）Ω_ｎ ² について検討する。２次の摂動項の中には二次の核阻止能Ω_ｎ ² が含まれるが、これを１次の核阻止能Ｓ_ｎと近似的に関連づける。

１次の核阻止能Ｓ_ｎ及び二次の核阻止能Ω_ｎ ² はそれぞれユニバーサルな核阻止能Ｓ_ｎ（ε）とユニバーサルなエネルギーストラッグリングΩ_ｎ ² （ε）と、下記の式（１０９）及び式（１１０）で関連づけられる。ここでａ_Ｕは上記の式（４）の関連で説明した遮蔽距離、εは換算エネルギーである。

なお、Ｓ_ｎ（ε）、Ω_ｎ ² （ε）はそれぞれ上記の式（５６）及び式（５９）で与えられ、式中における係数γは、γ＝4Ｍ_１Ｍ_２／(Ｍ_１＋Ｍ_２)^２である。ここで、ｆ（ρ）はポテンシャルの遮蔽関数であり、拡張ＬＳＳ理論ではＺＢＬのモデル式を利用していた。ここでは、Ω_ｎ ² をＳ_ｎに関連づけるために、より簡単な遮蔽関数を利用する。

図１（ａ）に示したように、エネルギーの低いところで、飛程ＲがエネルギーＥにほぼ比例するということは、この領域では核阻止能Ｓ_ｎが支配的と考えられるから、〈Ｒ（Ｅ）〉は、下記の式（１１１）で近似される。

つまり、Ｓ_ｎに関していうと、Ｓ_ｎがエネルギーに依存しないということに相当する。Ｓ_ｎがエネルギーに依存しないことはＳ_ｎ（ε）がεに依存しないことと等価である。そのようなＳ_ｎ（ε）を与えるポテンシャルは、
ｆ（ρ）＝κ／ρ ・・・（１１２）
である。

ここでκは適当な正の係数であり、これは以下のように示すことができる。
Ｓ_ｎのｃｏｓ² の引数の積分をＱとおくと、下記の式（１１３）で表される。

但し、
ｃ² ＝κ／ε＋η² ・・・（１１４）
である。

ここで、ρを変数変換して、
ｘ＝１／ρ，ｄｘ＝−ｄρ／ρ² ・・・（１１５）
とするとの、変域は、
ρ：ρ_ｍｉｎ→∞
ｘ：ｘ_０（＝１／ρ_ｍｉｎ）→０
となる。

よって、式（１１３）の積分は、下記の式（１１６）となる。

これより、ユニバーサルな核阻止能Ｓ_ｎ（ε）は、下記の式（１１７）となる。

ここで、下記の式（１１８）の変数変換を行うと、下記の式（１１９）となる。
ｙ＝εη² ／κ ・・・（１１８）

但し、式（１１９）におけるＩ_２は、下記の式（１２０）である。

一方、エネルギーストラッグリングΩ_ｎ ² （ε）は、同じポテンシャルを用いて下記の式（１２１）となる。

但し、式（１２１）におけるＩ_４は、下記の式（１２２）である。

したがって、エネルギーストラッグリングΩ_ｎ ² （Ｅ）と核阻止能Ｓ_ｎ（Ｅ）の比Ω_ｎ ² （Ｅ）／Ｓ_ｎ（Ｅ）は、下記の式（１２３）で表される。

これはκに依存しない一般的な形式になっている。しかしながらＩ_２及びＩ_４はポテンシャルに依存する。したがって拡張ＬＳＳ理論で利用するＺＢＬポテンシャルではこの値と異なる可能性があるので、これを下記の式（１２４）で表されるＺＢＬポテンシャルの場合の値から評価する。

図３（ａ）は、Ｉ_４／Ｉ_２のユニバーサルエネルギーε依存性の説明図であり、図３（ｂ）は、各不純物のユニバーサルエネルギーεと規格化エネルギーＥ／Ｅ_１との相関図である。この解析でカバーしようとしている１ＭｅＶ以下のエネルギー領域はεで１０^-1＜ε＜１０³ に相当する。したがって、その比は１〜０．２程度である。

これを近似的に扱うためにパラメータχを導入する。即ち、上記の式（１２３）にフィッティングパラメータχを加えることによって、下記の式（１２５）が得られる。

また、全阻止能に対する核阻止能の比Ｓ_ｎ（Ｅ）／（Ｓ_ｎ（Ｅ）＋Ｓ_ｅ（Ｅ））を下記の式（１２６）のように、ｒ_ｓで置き換えると、下記の式（１２７）が得られる。

この式（１２７）によりエネルギーストラッグリングΩ_ｎ ² はフィッティングパラメータχにより飛程〈Ｒ（Ｅ）〉と関連付けられる。
なお、ここで表記を簡単化するために、下記の式（１２８）で表されるξ_ｉを導入する。

以上の近似を利用して、次に、２次の拡張ＬＳＳ理論（Ｅ２ＬＳＳ）を簡単化していく。まず、〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉について、上記の式（８８）を上記の式（９７）で示したように、エネルギー領域を規格化したエネルギーで区分して各入射エネルギーに場合分けして計算する。
（Ａ−１）：Ｅ≦Ｅ_１の場合、１次の項〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ は、
∫ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝［Ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）］−∫Ｆ（ｘ）（ｄｇ（ｘ）／ｄｘ）ｄｘの公式を用いて解くことにより、下記の式（１２９）として得られる。

ここでは、飛程〈Ｒ（Ｅ）〉がＥに比例することを利用している。この式（１２９）から、〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ もＥに比例すると近似される。

次に、２次の摂動項Δ_ｐ ⁽²⁾ は、下記の式（１３０）となる。

但し、式（１３０）におけるＮζ_ｐ ⁽²⁾ （Ｅ）は、下記の式（１３１）である。

つまり、〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ ／〈Ｒ（Ｅ）〉はＥについてキャンセルされるので、Ｎζ_ｐ ⁽²⁾ （Ｅ）は、エネルギーＥに依存しないと近似することができる。

この式（１３１）を式（１３０）に代入して計算すると、下記の式（１３２）となり、したがって、２次の摂動項Δ_ｐ ⁽²⁾ もエネルギーＥに比例していると近似できる。最初の式における右辺はＥに比例する関数であり、したがって、２回微分で０になる。

（Ａ−２）：Ｅ_１＜Ｅ≦Ｅ_２の場合、１次の項〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ は下記の式（１３３）となる。

また、２次の摂動項Δ_ｐ ⁽²⁾ は、下記の式（１３４）となる。

この積分を実行する際に、〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ ／〈Ｒ（Ｅ）〉はＥについてキャンセルされるのでエネルギーＥに依存しないと近似している。厳密には、〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ には（Ｅ_ｐ／Ｅ）の（ｒ_ｓ２μ／２）乗の項が含まれるため正しくない。

しかしながら、もし、ｒ_ｓ１とｒ_ｓ２が等しければこの項は消失する。即ち、（Ｅ_１／Ｅ）の（ｒ_ｓ２μ／２）乗の項は微小項であると考えられる。実際は、ｒ_ｓ１とｒ_ｓ２は異なるため、無視はできないが、ここでは簡単化のこの近似を用いて積分している。このため、ｒ_ｓの値はこの近似を救う役割も担っていると考えられる。以後も同様な近似を利用していく。

（Ａ−３）：Ｅ_２＜Ｅ≦Ｅ_ｈの場合、１次の項〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ は下記の式（１３５）となる。

また、２次の摂動項Δ_ｐ ⁽²⁾ は、同様にして下記の式（１３６）となる。

（Ａ−４）：Ｅ＞Ｅ_ｈの場合、１次の項〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ は下記の式（１３７）となる。

ここで、式（１３７）における最後の積分の項を検討する。このエネルギー領域では近似的に電子阻止能Ｓ_ｅのみを考慮するので、電子阻止能Ｓ_ｅと関連する飛程Ｒ_ｍａｘを下記の式（１３８）で定義し、

電子阻止能を下記の式（１３９）とする。

上記の式（１３９）を式（１３８）に代入すると、下記の式（１４０）が得られ、これは、Ｅ＞Ｅ_ｈのエネルギー領域では飛程Ｒ_ｍａｘがエネルギーの平方根に比例することを表している。

したがって、最後の積分は、下記の式（１４１）となる。

また、２次の摂動項Δ_ｐ ⁽²⁾ は、
Δ_ｐ ⁽²⁾ ＝Δ_ｐ ⁽²⁾ （Ｅ_ｈ） ・・・（１４２）
となる。

次に、〈Ｒ_ｃ ² （Ｅ）〉について、上記の式（９１）を上記の式（９７）で示したように、エネルギー領域を規格化したエネルギーで区分して各入射エネルギーに場合分けして計算する。
（Ｂ−１）：Ｅ≦Ｅ_１の場合、１次の項〈Ｒ_ｃ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ は、下記の式（１４３）として得られる。

ここでは、飛程〈Ｒ（Ｅ）〉及び〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ がＥに比例することを利用している。また、この式（１４３）から、〈Ｒ_ｃ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ がＥ² に比例すると近似できることがわかる。

次に、２次の摂動項Δ_ｃ ^{2 (2)} は、下記の式（１４４）となる。

但し、式（１４４）におけるＮζ_ｃ ²⁽²⁾（Ｅ）は、下記の式（１４５）である。

つまり、Ｎζ_ｃ ²⁽²⁾（Ｅ）は、エネルギーＥに比例すると近似することができる。

この式（１４５）を式（１４４）に代入して計算すると、下記の式（１４６）となり、したがって、２次の摂動項Δ_ｃ ^{2 (2)} もエネルギーＥ² に比例する。

（Ｂ−２）：Ｅ_１＜Ｅ≦Ｅ_２の場合、１次の項〈Ｒ_ｃ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ は下記の式（１４７）となる。

また、２次の摂動項Δ_ｃ ^{2 (2)} は、下記の式（１４８）となる。

この積分を実行する際に、ζ_ｃ ²⁽²⁾（Ｅ）はエネルギーＥに比例すると近似している。

（Ｂ−３）：Ｅ_２＜Ｅ≦Ｅ_ｈの場合、１次の項〈Ｒ_ｃ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ は下記の式（１４９）となる。

また、２次の摂動項Δ_ｃ ^{2 (2)} は、下記の式（１５０）となる。

（Ｂ−４）：Ｅ＞Ｅ_ｈの場合、１次の項〈Ｒ_ｃ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ は下記の式（１５１）となる。

ここで、式（１５１）における最後の積分の項を検討する。このエネルギー領域では近似的に電子阻止能Ｓ_ｅのみを考慮するので、上述の式（１４１）と同様に、下記の式（１５２）となる。

上記の式（１５２）を式（１５１）に代入すると、下記の式（１５３）が得られる。

また、２次の摂動項Δ_ｃ ^{2 (2)} は、
Δ_ｃ ^{2 (2)} ＝Δ_ｃ ^{2 (2)} （Ｅ_ｈ） ・・・（１５４）
となる。

次に、〈Ｒ_ｒ ² （Ｅ）〉について、上記の式（９４）を上記の式（９７）で示したように、エネルギー領域を規格化したエネルギーで区分して各入射エネルギーに場合分けして計算する。
（Ｃ−１）：Ｅ≦Ｅ_１の場合、１次の項〈Ｒ_ｒ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ は、下記の式（１５５）として得られる。

また、２次の摂動項Δ_ｒ ^{2 (2)} は、下記の式（１５６）となる。

但し、式（１５６）におけるζ_ｒ ²⁽²⁾（Ｅ）は、下記の式（１５７）である。

つまり、ζ_ｒ ²⁽²⁾（Ｅ）は、エネルギーＥに比例する。

この式（１５７）を式（１５６）に代入して計算すると、下記の式（１５８）となる。

（Ｃ−２）：Ｅ_１＜Ｅ≦Ｅ_２の場合、１次の項〈Ｒ_ｒ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ は下記の式（１５９）となる。

また、２次の摂動項Δ_ｒ ^{2 (2)} は、下記の式（１６０）となる。

（Ｃ−３）：Ｅ_２＜Ｅ≦Ｅ_ｈの場合、１次の項〈Ｒ_ｒ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ は下記の式（１６１）となる。

また、２次の摂動項Δ_ｒ ^{2 (2)} は、下記の式（１６２）となる。

（Ｃ−４）：Ｅ＞Ｅ_ｈの場合、１次の項〈Ｒ_ｒ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ は下記の式（１６３）となる。

また、２次の摂動項Δ_ｒ ^{2 (2)} は、
Δ_ｒ ^{2 (2)} ＝Δ_ｒ ^{2 (2)} （Ｅ_ｈ） ・・・（１６４）
となる。

以上の説明では、説明を簡単にするために、エネルギー領域をＥ_１，Ｅ_２＝５Ｅ_１，Ｅ_ｈ＝１０Ｅ_１と４つに区切ってモデルを導出し、それで充分な精度のモデル式になっていることをみてきた。モデルの導出過程をみると、更に細かく領域を分割して精度を上げることも、荒く分割しておおまかな情報を得ることもできるように一般化しておく。

図４は、モデル式を一般化する場合のエネルギー区分の概念的説明図であり、エネルギー領域は、
Ｅ_1，ｊ＝ｆ_ｊ×Ｅ_１ ・・・（１６５）
で分離する。ｆ_ｊは自然数である必要はないが、j に関して単調増加する数であるとする。ここで
Ｅ_１，０＝ｆ_０×Ｅ_１＝０ ・・・（１６６）
つまり、ｆ_０＝０とし、また、電子阻止能が支配的になるとする境界のエネルギーＥ_１h はここでは
Ｅ_１，ｈ＝ｆ_ｈ×Ｅ_１ ・・・（１６７）
と表現しなおす。

モデルの導出の際にはｆ_ｈ＝１０としていたが、これは任意の値を設定できる。この電子阻止能が支配的な領域では、
ｒ_ｓ＝χ＝０ ・・・（１６８）
とする。すると上述の各モーメントパラメータは以下のように全エネルギー領域で一般的な表現で記述できる。

以上を前提として、ここで、図５乃至図９を参照して、本発明の実施例１のイオン注入分布発生方法を説明する。図５は、本発明の実施例１のイオン注入分布発生方法のフローチャートであり、まず、
ａ．基板種、注入不純物種、注入エネルギー、及び、ドーズ量からなる注入条件を入力する。次いで、上記の式（１２９）乃至式（１６４）で説明したように、
ｂ．簡略化した２次の摂動モデルを用いて１次のモーメントである飛程の射影Ｒ_ｐと、２次のモーメントである射影Ｒ_ｐのストラッグルΔＲ_ｐ及び横方向のストラッグルΔＲ_ｐｔを求める。次いで、
ｃ．求めたＲ_ｐとΔＲ_ｐから１次元分布のガウス分布を発生させるとともに、Ｒ_ｐ、ΔＲ_ｐ及びΔＲ_ｐｔから２次元のガウス分布を発生させる。

図６は、本発明の実施例１のイオン注入分布発生方法により求めたアモルファスＳｉ中のＰ濃度分布図であり、ＳＩＭＳ及び他のモデルと比較したものである。図から明らかなように、２次の拡張ＬＳＳ理論（Ｅ２ＬＳＳ）は実験データであるＳＩＭＳを良く再現している。また、本発明のモデルもＳＩＭＳをほぼ再現できている。

但し、本発明のモデルでは、３次のモーメントγをγ＝０としているので、分布の非対象性が表現できない。本発明のモデルと２次の拡張ＬＳＳ理論（Ｅ２ＬＳＳ）の違いはこのγの違いに起因し、ここで扱っているＲ_ｐとΔＲ_ｐに関しては両モデルの一致が良いことが後で示される。なお、Ｌｉｎｄｈａｒｄのモデルはピーク位置は合っているが、幅、即ち、ΔＲ_ｐが大分大きくなっている。

以上の結果から、Ｅ２ＬＳＳは実験データを良く再現していることが分かる。より、広汎なデータに対しても良く一致することが示されているので、そこで、Ｅ２ＬＳＳの各パラメータとの比較で本発明のモデルの精度を評価する。なお、ここでは、５０ｋｅＶ以下の比較的エネルギーの低い領域と、カバーしようとしている最大値１ＭｅＶまでの高エネルギー領域の２つの場合について見ていく。

図７は、Ｂのイオン注入パラメータとＥ２ＬＳＳの結果との比較図であり、図７（ａ）は５０ｋｅＶ以下の場合を示し、図７（ｂ）は１ＭｅＶまでの広いエネルギー範囲についての結果を示している。なお、区分した各エネルギー領域におけるｒ_ｓ及びχの値は図に示しており、後述するＰ及びＡｓの場合も同様である。なお、ここでは、ｒ_ｓ１＝０．９，ｒ_ｓ２＝０．４，ｒ_ｓ３＝０．２，χ_１＝０．６５，χ_２＝０．３０，χ_３＝０．０５としている。

図７（ａ）に示すように、５０ｋｅＶ以下で本発明のモデルは、Ｒ_ｐ, ΔＲ_ｐ，ΔＲ_ｐｔともにＥ２ＬＳＳの結果とよく一致している。なお、図７に併せて表示しているＬｉｎｄｈａｒｄのモデル式はＲ_ｐは小さめ、ΔＲ_ｐは大きめになっている。このモデルは核阻止能が支配的と仮定しているため、Ｂの場合のＥ_１＝７Ｖ以下では比較的精度が高い。

また、本発明のモデルは、図７（ｂ）に示すように、１ＭｅＶまでほぼＥ２ＬＳＳの結果を再現できている。一方、Ｌｉｎｄｈａｒｄのモデルは、核阻止能が支配的でないこのような領域では大分精度が落ちることが分かる。

図８は、Ｐのイオン注入パラメータとＥ２ＬＳＳの結果との比較図であり、図８（ａ）は５０ｋｅＶ以下の場合を示し、図８（ｂ）は１ＭｅＶまでの広いエネルギー範囲についての結果を示している。図８（ａ）に示すように、５０ｋｅＶ以下で本発明のモデルは、Ｒ_ｐ, ΔＲ_ｐ，ΔＲ_ｐｔともにＥ２ＬＳＳの結果とよく一致している。なお、ΔＲ_ｐは大きめになっているが、Ｂの場合より良い。

また、本発明のモデルは、図８（ｂ）に示すように、１ＭｅＶまでほぼＥ２ＬＳＳの結果を再現できている。一方、Ｌｉｎｄｈａｒｄのモデルは、Ｂの場合と同様に、低エネルギー領域より大分精度が落ちることが分かる。

図９は、Ａｓのイオン注入パラメータとＥ２ＬＳＳの結果との比較図であり、図９（ａ）は５０ｋｅＶ以下の場合を示し、図９（ｂ）は１ＭｅＶまでの広いエネルギー範囲についての結果を示している。図９（ａ）に示すように、Ｒ_ｐに関しては本発明のモデルは、ＬｉｎｄｈａｒｄのモデルともほぼＥ２ＬＳＳのデータを再現しているが、全体的に大きめに予想している。ΔＲ_ｐ，ΔＲ_ｐｔともにＥ２ＬＳＳの結果をほぼ再現しているが全体に小さめである。Ｌｉｎｄｈａｒｄのモデル式ΔＲ_ｐは大きめになっている。

また、本発明のモデルは、図９（ｂ）に示すように、１ＭｅＶまでほぼＥ２ＬＳＳの結果を再現できている。一方、ＬｉｎｄｈａｒｄのモデルのＲ_ｐモデルはこの場合は精度が高い。Ａｓの場合はＥ_１が６００ｋｅＶ程度のため、核阻止能が支配的という近似が有効なためである。ＬｉｎｄｈａｒｄのΔＲ_ｐに対するモデルはこの場合でも大き目となっている。

次に、図１０乃至図１３を参照して、さらなる簡易モデルに関する本発明の実施例２のイオン注入分布発生方法を説明する。ここでは、２次の拡張モデルを簡単化してモデルを導出した。１次のモデルでは精度がΔＲ_ｐの精度が悪いことが指摘されているからである。ここでは、簡易モデルでその精度とオーダーの関係を解析をしていく。

図１０乃至図１２に２次の拡張ＬＳＳ理論と１次の簡易ＬＳＳ理論の比較を示す。図１０は、ＢのＲ_ｐ, ΔＲ_ｐ，ΔＲ_ｐｔのエネルギー依存性の説明図であり、図１０（ａ）は５０ｋｅＶ以下の場合を示し、図１０（ｂ）は１ＭｅＶまでの広いエネルギー範囲についての結果を示している。図１０（ａ）及び（ｂ）に示すようにＢの場合はＲ_ｐ, ΔＲ_ｐ，ΔＲ_ｐｔともに精度が高い。なお、ここでも、ｒ_ｓ１＝０．９，ｒ_ｓ２＝０．４，ｒ_ｓ３＝０．２としている。

図１１は、ＰのＲ_ｐ, ΔＲ_ｐ，ΔＲ_ｐｔのエネルギー依存性の説明図であり、図１１（ａ）は５０ｋｅＶ以下の場合を示し、図１１（ｂ）は１ＭｅＶまでの広いエネルギー範囲についての結果を示している。図１１（ａ）及び（ｂ）に示すようにＰの場合はＲ_ｐ, ΔＲ_ｐｔの精度は高いが、ΔＲ_ｐは大分小さくなる。

図１２は、ＡｓのＲ_ｐ, ΔＲ_ｐ，ΔＲ_ｐｔのエネルギー依存性の説明図であり、図１２（ａ）は５０ｋｅＶ以下の場合を示し、図１２（ｂ）は１ＭｅＶまでの広いエネルギー範囲についての結果を示している。図１２（ａ）及び（ｂ）に示すようにＡｓの場合もＲ_ｐ, ΔＲ_ｐｔの精度は高いが、ΔＲ_ｐは大分小さくなり、Ｐの場合より精度が悪くなる傾向を示している。

ここで、Ｅ＜Ｅ_１の低エネルギー領域における１次簡易モデルの各モーメントを具体的に書き下すと、下記の式（１７５）乃至式（１７７）で表される。

上記の式（１７５）乃至式（１７７）はさらに簡単に下記の（１７８）乃至式（１８０）で表現される。

ここで、各係数ｆ（μ）は対応する式から容易にわかる。

式（１７６）に示すように、〈ΔＲ_ｐ ² （Ｅ）〉の１次の項の分母にμ² があるため、μが小さい場合はこれが２次の微少量に実効的になり、２次の項と大きさが同程度になることがわかる。このため、μの大きなＢでは精度が高く、小さなＡｓでは精度が悪くなることが理解される。

これに比較し、式（１７７）に示すように、〈ΔＲ_ｐｔ ² （Ｅ）〉では１次の分母はμであり、この場合は実効的に１次の微少量であり、２次の項よりは大きさを保っていることが理解される。

以上をより詳しく解析するため、これらの係数の依存性の１次と２次近似の比較を図１３に示す。図１３は、各係数のμ依存性の説明図であり、図１３（ａ）はＲ_ｐに関する係数のμ依存性の説明図であり、図１３（ｂ）はΔＲ_ｐ及びΔＲ_ｐｔに関する係数のμ依存性の説明図である。なお、μは上述のようにμ＝Ｍ_１／Ｍ_２である。

図１３（ａ）に示すように、Ｒ_ｐにおいては、式（１７５）から分かるように１次の項が常に支配的であるため、Ｒ_ｐは１次近似で充分いい精度が期待できる。

また、図１３（ｂ）に示すように、ΔＲ_ｐでは、１次近似は大きなμで精度がよくなっていくが、小さなでμは半分程度になってしまうことがわかる。これは、前に指摘したように１次の項のμの最低次数がμ² であることに起因する。また、同じく図１３（ｂ）に示すように、ΔＲ_ｐｔ（Ｅ）では、ΔＲ_ｐと異なり、μの最低次数がμであることに起因して、全てのμにおいて１次近似の精度が高い。

この図１３（ｂ）から明らかなように、ΔＲ_ｐとΔＲ_ｐｔはμ〜１．５を境に大小が逆転する。しかしながら、両者はほぼ等しいと見做して良い。これはＲ_ｐの周りで全方散乱が起きていると近似できることを意味する。したがって、
ΔＲ_ｐ≒ΔＲ_ｐｔ
と近似すれば、１次の項のみでモーメントが記述できる。

即ち、Ｅ＜Ｅ_１のエネルギー範囲では、各モーメントは、下記の式（１８１）及び式（１８２）となる。この扱いは、低エネルギー領域のみならず、高エネルギー領域でも良い近似になっている。

次に、イオン濃度分布に関する本発明の実施例３を説明する。本発明者等は、ｘを基板の深さ方向、Φを注入するイオンのドーズ量、Φ_ｃｈａｎをチャネルドーズ量、ｎ_ａ（ｘ）を非晶質パートの分布関数、ｎ_ｃ（ｘ）をチャンネリングパートの分布関数とすると、下記の式で表されるテール関数Ｎ（ｘ）からイオン注入分布を発生させる際に、非晶質層中のイオン分布から抽出したモーメントパラメータ、イオンの飛程の注入方向の射影を表すパラメータＲ_ｐ、Ｒ_ｐのストラッグリングΔＲ_ｐ、注入イオン分布の左右非対称性を表すパラメータγ、注入イオン分布のピークの鋭さを表すパラメータβを前記テール関数のＲ_ｐ、ΔＲ_ｐ、γ、βとして用いるイオン注入分布発生方法を提案している（必要ならば、特願２００８−０５９０７０参照）。
Ｎ（ｘ）＝（Φ＋Φ_ｃｈａｎ）ｎ_ａ（ｘ）＋Φ_ｃｈａｎｎ_ｃ（ｘ）
但し、ｎ_ａ（ｘ）及びｎ_ｃ（ｘ）は、ｈ_ｍａ（ｘ），ｈ_ｍｃ（ｘ）を前記の同じモーメントパラメータＲ_ｐ、ΔＲ_ｐ、γ、βを持つピアソン関数、ｘ_Ｔ＝Ｒ_ｐ＋ΔＲ_ｐ、κを比例係数とした場合に、
ｎ_ｐ（ｘ）＝ｈ_ｍａ（ｘ）
ｎ_ｃ（ｘ）＝ｈ_ｍｃ（ｘ）：ｘ＜ｘ_Ｔ
ｎ_ｃ （ｘ）＝κ〔ｈ_ｍｃ（ｘ）＋ｈ_Ｔｃ（ｘ）〕：ｘ＞ｘ_Ｔ
で表され、且つ、ピーク濃度位置をｘ_ｐｃ、Ｌをイオン注入分布のテールの広がりを表すパラメータ、α（なお、ｈ_Ｔｃ（ｘ）においては便宜的にａを用いる）をイオン注入分布のテールの広がりの形状を表すパラメータ、ηを係数とすると、
ｈ_Ｔｃ（ｘ）＝ｈ_ｍｃ（ｘ_ｐｃ）ｅｘｐ｛−（ｌｎη）〔（ｘ−ｘ_ｐｃ）^a ／Ｌ〕｝

ここで、３次のモーメントγ及び４次のモーメントβを０として、２次のモーメントまでを用いたテール関数Ｎ（ｘ）において、テール関数Ｎ（ｘ）のアモルファスパートの分布関数ｎ_ａ（ｘ）を、上記の実施例２で求めた１次の項のみのモーメントで記述される〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉、〈ΔＲ_ｐ（Ｅ）〉及び〈ΔＲ_ｐｔ（Ｅ）〉を用いて表すことによって、容易に不純物濃度分布をＧａｕｓｓ分布として表すことができる。

ここで、実施例１乃至実施例３を含む本発明の実施の形態に関して、以下の付記を開示する。
（付記１） エネルギーＥで半導体に注入するイオンの飛程Ｒの射影Ｒ_ｐの２次の項まで考慮した射影〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ を、１次の項まで考慮した既知の射影を〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ とした時に、摂動項Δ_ｐ ⁽²⁾ （Ｅ）を用いて、
〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ ＝〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ ＋Δ_ｐ ⁽²⁾ （Ｅ）
とした近似式を用いた２次の摂動モデルを用いて求める際に、全阻止能（Ｓ_ｎ＋Ｓ_ｅ）に対する核阻止能Ｓ_ｎの比ｒ＝Ｓ_ｎ／（Ｓ_ｎ＋Ｓ_ｅ）を複数のエネルギー領域で区分し、前記区分した各エネルギー領域で前記ｒを定数ｒ_ｓとして扱うことを特徴とするイオン注入分布発生方法。
（付記２） 前記半導体に注入するイオンの飛程Ｒの射影Ｒ_ｐの２次の項まで考慮した偏差ΔＲ_ｐ（Ｅ）⁽²⁾ を、２次の項まで考慮した既知の飛程Ｒ_ｐの横方向広がりを〈Ｒ_Ｔ ² （Ｅ）〉⁽²⁾ とした時、
〈Ｒ_ｃ ² （Ｅ）〉≡〈Ｒ_ｐ ² （Ｅ）〉＋〈Ｒ_Ｔ ² （Ｅ）〉、及び、
〈Ｒ_ｒ ² （Ｅ）〉≡〈Ｒ_ｐ ² （Ｅ）〉−〈Ｒ_Ｔ ² （Ｅ）〉／２
で定義される、〈Ｒ_ｃ ² （Ｅ）〉及び〈Ｒ_ｒ ² （Ｅ）〉を用い、それぞれ、１次の項まで考慮した既知の〈Ｒ_ｃ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ 、〈Ｒ_ｒ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ 、摂動項Δ_ｃ ²⁽²⁾（Ｅ）及び摂動項Δ_ｒ ²⁽²⁾（Ｅ）を用いて、
〈Ｒ_ｃ ² （Ｅ）〉⁽²⁾ ＝〈Ｒ_ｃ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ ＋Δ_ｃ ²⁽²⁾（Ｅ）、及び、
〈Ｒ_ｒ ² （Ｅ）〉⁽²⁾ ＝〈Ｒ_ｒ ² （Ｅ）〉⁽¹⁾ ＋Δ_ｒ ²⁽²⁾（Ｅ）
と近似した〈Ｒ_ｃ ² （Ｅ）〉⁽²⁾ 、〈Ｒ_ｒ ² （Ｅ）〉⁽²⁾ と前記〈Ｒ_ｐ ² （Ｅ）〉⁽²⁾ を用いて
〈ΔＲ_ｐ ² （Ｅ）〉⁽²⁾ ＝｛〈Ｒ_ｃ ² （Ｅ）〉⁽²⁾ ＋２〈Ｒ_ｒ ² （Ｅ）〉⁽²⁾ ｝／３
−〈Ｒ_ｐ ² （Ｅ）〉⁽²⁾
とした近似式を用いた２次の摂動モデルを用いて求める際に、全阻止能（Ｓ_ｎ＋Ｓ_ｅ ）に対する核阻止能Ｓ_ｎの比ｒ＝Ｓ_ｎ／（Ｓ_ｎ＋Ｓ_ｅ）を複数のエネルギー領域で区分し、前記区分した各エネルギー領域で前記ｒを定数ｒ_ｓとして扱うことを特徴とする請求項１記載のイオン注入分布発生方法。
（付記３） 前記区分するエネルギー領域を、電子阻止能Ｓ_ｅと核阻止能Ｓ_ｎとが一致するエネルギーで規格化することを特徴とする請求項１または２に記載のイオン注入分布発生方法。
（付記４） エネルギーストラッグリングΩ_ｎ ² （Ｅ）を、飛程〈Ｒ（Ｅ）〉で結び付けることを特徴とする請求項１乃至３のいずれか１に記載のイオン注入分布発生方法。
（付記５） 前記エネルギーストラッグリングΩ_ｎ ² （Ｅ）を、飛程Ｒ（Ｅ）で結び付ける際のフィッテクングパラメータχも前記エネルギー領域で区分し、前記区分した各エネルギー領域で前記χを定数χ_ｓとして扱うことを特徴とする請求項１乃至４のいずれか１に記載のイオン注入分布発生方法。
（付記６） 前記飛程Ｒ（Ｅ）が、エネルギーＥに比例する領域と、エネルギーの平方根に比例する領域に区分して計算を行うことを特徴とする請求項１乃至５のいずれか１に記載のイオン注入分布発生方法。
（付記７） 前記〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ として、〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ の近似式を用いることを特徴とする請求項１乃至６のいずれか１に記載のイオン注入分布発生方法。
（付記８） 前記射影Ｒ_ｐのストラッグリング〈ΔＲ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ 及び横方向のストラッグリング〈ΔＲ_ｐｔ（Ｅ）〉⁽²⁾ として、〈Ｒ_ｐｔ（Ｅ）〉⁽¹⁾ の近似式を用いることを特徴とする請求項７記載のイオン注入分布発生方法。
（付記９） 請求項１乃至８のいずれか１に記載のイオン注入分布発生方法により求めた〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ 及び〈ΔＲ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ を用いてイオン注入分布をガウス分布として発生させることを特徴とするシミュレータ。
（付記１０） 請求項１乃至８のいずれか１に記載のイオン注入分布発生方法により求めた〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ 、ΔＲ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ 及び〈ΔＲ_ｐｔ（Ｅ）〉⁽²⁾ を用いて二次元濃度分布を発生させることを特徴とするシミュレータ。

注入されたイオンの飛程Ｒの入射エネルギーＥ依存性の説明図である。 エネルギー領域区分の説明図である。 Ｉ_４／Ｉ_２のユニバーサルエネルギーε依存性の説明図及び各不純物のユニバーサルエネルギーεと規格化エネルギーＥ／Ｅ_１との相関図である。 モデル式を一般化する場合のエネルギー区分の概念的説明図である。 本発明の実施例１のイオン注入分布発生方法のフローチャートである。 本発明の実施例１のイオン注入分布発生方法により求めたアモルファスＳｉ中のＰ濃度分布図である。 Ｂのイオン注入パラメータとＥ２ＬＳＳの結果との比較図である。 Ｐのイオン注入パラメータとＥ２ＬＳＳの結果との比較図である。 Ａｓのイオン注入パラメータとＥ２ＬＳＳの結果との比較図である。 １次簡易近似のＢのＲ_ｐ, ΔＲ_ｐ，ΔＲ_ｐｔのエネルギー依存性の説明図である。 １次簡易近似のＰのＲ_ｐ, ΔＲ_ｐ，ΔＲ_ｐｔのエネルギー依存性の説明図である。 １次簡易近似のＡｓのＲ_ｐ, ΔＲ_ｐ，ΔＲ_ｐｔのエネルギー依存性の説明図である。 各係数のμ依存性の説明図である。 計算モデルである。 イオンの飛程Ｒの模式図である。 Ｒ_ｐ（Ｅ，ｃｏｓφ），Ｒ_Ｔ（Ｅ，ｃｏｓφ），Ｒ_ｐ（Ｅ），Ｒ_Ｔ（Ｅ）の幾何学的関係の説明図である。

Claims (5)

1. エネルギーＥで半導体に注入するイオンの飛程Ｒの射影Ｒ_ｐの２次の項まで考慮した射影〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ を、１次の項まで考慮した既知の射影を〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ とした時に、摂動項Δp ⁽²⁾ （Ｅ）を用いて、
   〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽²⁾ ＝〈Ｒ_ｐ（Ｅ）〉⁽¹⁾ ＋Δ_ｐ ⁽²⁾ （Ｅ）
   とした近似式を用いた２次の摂動モデルを用いて求める際に、全阻止能（Ｓ_ｎ＋Ｓ_ｅ）に対する核阻止能Ｓ_ｎの比ｒ＝Ｓ_ｎ／（Ｓ_ｎ＋Ｓ_ｅ）を複数のエネルギー領域で区分し、前記区分した各エネルギー領域で前記比ｒを定数ｒ_ｓとして扱うことを特徴とするイオン注入分布発生方法。
2. 前記区分するエネルギー領域を、電子阻止能Ｓ_ｅと核阻止能Ｓ_ｎとが一致するエネルギーで規格化することを特徴とする請求項１記載のイオン注入分布発生方法。
3. エネルギーストラッグリングΩ_ｎ ² を、飛程〈Ｒ（Ｅ）〉で結び付けることを特徴とする請求項１または２に記載のイオン注入分布発生方法。
4. 前記エネルギーストラッグリングΩ_ｎ ² を、飛程Ｒ（Ｅ）で結び付ける際のフィッテクングパラメータχも前記エネルギー領域で区分し、前記区分した各エネルギー領域で前記χを定数χ_ｓとして扱うことを特徴とする請求項１乃至３のいずれか１項に記載のイオン注入分布発生方法。
5. 前記飛程Ｒ（Ｅ）が、エネルギーＥに比例する領域と、エネルギーの平方根に比例する領域に区分して計算を行うことを特徴とする請求項１乃至４のいずれか１項に記載のイオン注入分布発生方法。

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