JP2010009166A

JP2010009166A - 固有値計算装置及び固有値計算プログラム

Info

Publication number: JP2010009166A
Application number: JP2008165472A
Authority: JP
Inventors: Akinobu Oguro; 昭宣大黒; Yoshiyuki Mimoto; 善行巳本; Takashi Okawa; 崇大川; Miyuki Ueno; 美由紀上野
Original assignee: Toshiba Information Systems Japan Corp
Current assignee: Toshiba Information Systems Japan Corp
Priority date: 2008-06-25
Filing date: 2008-06-25
Publication date: 2010-01-14
Anticipated expiration: 2028-06-25
Also published as: JP5311895B2

Abstract

【課題】積和演算回数を減少させ、高速に固有値を求める。
【解決手段】入力行列のＱＲ分解を行うＱＲ分解手段２１、ＱＲ分解手段２１により得られた結果によるＲＱ演算を行った結果の対角成分要素中の１要素を除く残りの対角成分要素を求める対角成分要素演算手段２２、直前の入力行列における対角成分要素の総和Ｄから上記対角成分要素の和の引き算を行う引き算手段２３、ＱＲ分解結果を用いたＲＱ演算結果における対角成分要素以外の要素を求める演算を行う残要素演算手段２４、分解済回数が入力ＱＲ分解回数に満たない場合には、残要素演算手段２４による演算の演算結果と対角成分要素演算手段２２及び引き算手段２３による演算結果を入力行列としてＱＲ分解手段２１に帰還する一方、分解済回数が入力ＱＲ分解回数と一致すると、対角成分要素演算手段２２と引き算手段２３の演算結果を固有値として出力する制御手段２５を具備する。
【選択図】図１

Description

この発明は、エルミート行列における固有値を求める固有値計算装置及び固有値計算プログラムに関するものである。

従来、エルミート行列における固有値を求めるためには、ＱＲ分解が知られており、例えば特許文献１に述べられている（特許文献１の０００２欄参照）。

このＱＲ分解では、次の式（１）により示すｎ行ｎ列の行列Ａについて、次の式（２）に示す直交行列Ｑ及び式（３）に示す行列Ｒに分解する。ここに、Ａ＝ＱＲである。ＱＲ分解には、ギブンス回転、グラム・シュミット分解などがある。

上記ＱＲ分解を用いて固有値を求める場合には、次のような処理を行う。
初期入力行列Ａ₁＝Ａとすると、Ａ₁についてＱＲ分解を行い、Ａ₁＝Ｑ₁Ｒ₁を満たすＱ₁とＲ₁を求める。次に、Ｑ₁とＲ₁を交換して、Ｒ₁Ｑ₁＝Ａ₂を求める。更に、行列Ａ₂についてＱＲ分解を行い、同様にＡ₂＝Ｑ₂ Ｒ₂を満たすＱ₂ とＲ₂を求める。次に、Ｑ₂とＲ₂を交換してＲ₂Ｑ₂＝Ａ₃を求める。以降、同様な繰り返し演算をk サイクル行い、Ａ_k（K=1,2,3,・・・の任意の整数）を求める。

上記Ａ_kについては、K が無限大（∞）のときに、対角行列または上三角行列に収束し、Ａ_kの対角要素に固有値が並ぶことになる。つまり、Ａ_kの対角要素に並んだ固有値を取り出せば良い。

しかしながら、上記のようなＱＲ分解を用いた固有値の計算手法によると、固有値を求める１サイクルについてＮ×Ｎ²回の膨大な積和演算が必要という問題点がある。更に、複素数を扱う場合には、これの４倍の４×Ｎ×Ｎ² 回の膨大な積和演算が必要である。
特願２００６−１３９５７５号公報

本発明は上記のようなＱＲ分解を用いた固有値の計算手法における問題点を解決せんとしてなされたもので、その目的は、積和演算回数を減少させ、高速に固有値を求めることが可能となる固有値計算装置及び固有値計算プログラムを提供することである。

本発明に係る固有値計算装置は、入力行列のＱＲ分解を行うＱＲ分解手段と、前記ＱＲ分解手段により得られた行列Ｑと行列Ｒを用いて、ＲＱ演算を行った結果における対角成分要素中の１要素を除く残りの対角成分要素を求める対角成分要素演算手段と、前記ＱＲ分解手段に入力された直前の入力行列における対角成分要素全ての和Ｄを求め、この和Ｄから前記対角成分要素演算手段が求めた対角成分要素の和の引き算を行う引き算手段と、前記ＱＲ分解手段により得られた行列Ｑと行列Ｒを用いて、ＲＱ演算を行った結果における対角成分要素以外の要素を求める演算を行う残要素演算手段と、ＱＲ分解回数の入力を受け、前記ＱＲ分解手段による分解済回数を監視し、分解済回数がＱＲ分解回数に満たない場合には、前記残要素演算手段による演算を実行させて、この演算結果と前記対角成分要素演算手段及び前記引き算手段による演算結果を入力行列として前記ＱＲ分解手段に帰還する一方、分解済回数がＱＲ分解回数に一致した場合には、前記残要素演算手段による演算を実行させることなく、前記対角成分要素演算手段及び前記引き算手段による演算結果を固有値として出力する制御手段とを具備することを特徴とする。

本発明に係る固有値計算装置は、精度優先の演算指示と、サイクル優先の演算指示とのいずれかを前記制御手段へ入力するための入力部を備え、前記制御手段は、前記入力部から精度優先の演算指示を受けた場合には、前記対角成分要素演算手段に対し、対角成分要素を得る場合に演算回数の多い要素から求める演算を実行させて対角成分要素中の１要素を除く残りの対角成分要素を求めさせ、前記入力部からサイクル優先の演算指示を受けた場合には、前記対角成分要素演算手段に対し、対角成分要素を得る場合に演算回数の少ない要素から求める演算を実行させて対角成分要素中の１要素を除く残りの対角成分要素を求めさせることを特徴とする。

本発明に係る固有値計算プログラムは、種々の数値演算により固有値計算を行うためにコンピュータを、入力行列のＱＲ分解を行うＱＲ分解手段、前記ＱＲ分解手段により得られた行列Ｑと行列Ｒを用いて、ＲＱ演算を行った結果における対角成分要素中の１要素を除く残りの対角成分要素を求める対角成分要素演算手段、前記ＱＲ分解手段に入力された直前の入力行列における対角成分要素全ての和Ｄを求め、この和Ｄから前記対角成分要素演算手段が求めた対角成分要素の和の引き算を行う引き算手段、前記ＱＲ分解手段により得られた行列Ｑと行列Ｒを用いて、ＲＱ演算を行った結果における対角成分要素以外の要素を求める演算を行う残要素演算手段、及びＱＲ分解回数の入力を受け、前記ＱＲ分解手段による分解済回数を監視し、分解済回数がＱＲ分解回数に満たない場合には、前記残要素演算手段による演算を実行させて、この演算結果と前記対角成分要素演算手段及び前記引き算手段による演算結果を入力行列として前記ＱＲ分解手段に帰還する一方、分解済回数がＱＲ分解回数に一致した場合には、前記残要素演算手段による演算を実行させることなく、前記対角成分要素演算手段及び前記引き算手段による演算結果を固有値として出力する制御手段、として機能させることを特徴とする。

本発明に係る固有値計算プログラムでは、制御手段は、精度優先の演算指示と、サイクル優先の演算指示とのいずれかを入力するための入力部から受け取るように機能し、前記制御手段は、前記入力部から精度優先の演算指示を受けた場合には、前記対角成分要素演算手段に対し、対角成分要素を得る場合に演算回数の多い要素から求める演算を実行させて対角成分要素中の１要素を除く残りの対角成分要素を求めさせ、前記入力部からサイクル優先の演算指示を受けた場合には、前記対角成分要素演算手段に対し、対角成分要素を得る場合に演算回数の少ない要素から求める演算を実行させて対角成分要素中の１要素を除く残りの対角成分要素を求めさせるように機能することを特徴とする。

本発明によると、入力行列のＱＲ分解を行うＱＲ分解手段、前記ＱＲ分解手段により得られた行列Ｑと行列Ｒを用いて、ＲＱ演算を行った結果における対角成分要素中の１要素を除く残りの対角成分要素を求める対角成分要素演算手段、前記ＱＲ分解手段に入力された直前の入力行列における対角成分要素全ての和Ｄを求め、この和Ｄから前記対角成分要素演算手段が求めた対角成分要素の和の引き算を行う引き算手段、前記ＱＲ分解手段により得られた行列Ｑと行列Ｒを用いて、ＲＱ演算を行った結果における対角成分要素以外の要素を求める演算を行う残要素演算手段、及び制御手段を備え、分解済回数がＱＲ分解回数に一致した場合には、前記残要素演算手段による演算を実行させることなく、前記対角成分要素演算手段及び前記引き算手段による演算結果を固有値として出力するので、演算回数を減少させて高速に固有値を得ることができる。

また、本発明では、精度優先の演算指示と、サイクル優先の演算指示とのいずれかを入力することができ、これにより、精度優先の演算指示を受けた場合には、前記対角成分要素演算手段に対し、対角成分要素を得る場合に演算回数の多い要素から求める演算を実行させて対角成分要素中の１要素を除く残りの対角成分要素を求めさせ、サイクル優先の演算指示を受けた場合には、前記対角成分要素演算手段に対し、対角成分要素を得る場合に演算回数の少ない要素から求める演算を実行させて対角成分要素中の１要素を除く残りの対角成分要素を求めさせるので、必要な演算結果を得ることができる。

以下、添付図面を参照して本発明の固有値計算装置及び固有値計算プログラムの実施例を説明する。図１に固有値計算装置の実施例のブロック図を示す。固有値計算装置は、入力部１０、計算処理部２０とを構成要素としている。

入力部１０はキーボードやマウスなどのデータ等を入力可能な一般的に入力部と称されるものの他、入力行列Ａを与える記憶媒体やデータ出力装置などを含むものである。入力部１０からは、入力行列Ａ、ＱＲ分解を行う回数であるＱＲ分解回数、精度優先の演算指示とサイクル優先の演算指示とのいずれかの指示、上記に加えて計算のスタート指示が与えられる。

計算処理部２０には、ＱＲ分解手段２１、対角成分要素演算手段２２、引き算手段２３、残要素演算手段２４、制御手段２５とが備えられている。ＱＲ分解手段２１は、入力行列のＱＲ分解を行うものである。ＱＲ分解の結果は、対角成分要素演算手段２２と残要素演算手段２４へ送出される。ＱＲ分解としては、ギブンス回転、グラム・シュミット分解、その他の公知手法のいずれかが用いられる。

ギブンス回転は、入力行列Ａが次式（４）のようである場合に、この入力行列Ａをハウスホルダー変換を用いて次式（５）のような三重対角行列Ｂを得る。

ここで、予め用意された次の式（６）に示す直交行列Ｐを、上記三重対角行列Ｂに左から掛けて対角成分以外を０とした行列Ｒを得る（式（７））。

また、次の式（８）に示すように、単位行列に上記直交行列Ｐを右から掛けて式（８）に示す行列Ｑ^Tを得る。ここに、Ｑは直交行列であり、

式（７）と式（８）により、次式（９）に示すように三重対角行列Ｂを直交行列Ｑと対角行列Ｒとに分解できている。つまり、入力行列Ａはハウスホルダー変換を介してＱＲ分解される。

複素行列について考慮する場合には、次に示すように、複素行列ｎ×ｎの固有値問題の式（１０Ａ）であるが、行列により示すことにより２ｎ×２ｎの式（１０Ｂ）となり、実数問題として処理する。

グラム・シュミット分解は、式（１）に示した行列Ａを直接分解して式（３）に示す行列Ｒと式（２）に示す行列Ｑを得る。即ち、５×５行列の場合、Ａ＝（ａ1，ａ2，ａ3，・・，ａ5）を分解する手順は、次の式（１１）から式（１３）に示すようにしてｑ、ｒを得る。虚数に対する場合には、この小文字（ｑ、ｒ）を大文字（Ｑ、Ｒ）として考えれば良い。

対角成分要素演算手段２２は、上記ＱＲ分解手段２１により得られた行列Ｑと行列Ｒを用いて、ＲＱ演算を行った結果における対角成分要素中の１要素を除く残りの対角成分要素を求めるものである。

具体的に、式（３）に示す行列Ｒと式（２）に示す行列Ｑとを用いてＲＱの演算を行った場合について説明する。説明を簡素化するために、４×４行列の場合により示すと、ＲＱは式（１４）に示されるようであり、この演算結果は、式（１５）により示される。この式（１５）における行列Ｒ中の固有値Ｒ₁₁、Ｒ₂₂、Ｒ₃₃、Ｒ₄₄が「ＲＱ演算を行った結果における対角成分要素」である。そして、対角成分要素演算手段２２は、Ｒ₁₁、Ｒ₂₂、Ｒ₃₃、Ｒ₄₄中の１要素を除く残りの対角成分要素を求めるものである。

つまり、固有値Ｒ₁₁、Ｒ₂₂、Ｒ₃₃、Ｒ₄₄は、次の式（１６）による演算により得られるものであるが、対角成分要素演算手段２２は、固有値Ｒ₁₁、Ｒ₂₂、Ｒ₃₃、Ｒ₄₄中のいずれか１要素については、これを求める演算を行わず、残り３要素について式（１６）による演算を行う。演算結果は、引き算手段２３に、必要に応じてＱＲ分解手段２１へ送出される。

引き算手段２３は、上記ＱＲ分解手段２１に入力された直前の入力行列Ａ_k における対角成分要素全ての和Ｄを求め、この和Ｄから上記対角成分要素演算手段２２が求めた対角成分要素の和の引き算を行う。

具体的には、引き算手段２３は、対角成分要素演算手段２２がＲ₁₁を求める演算を行わない場合には、次の式（１７）に示す演算を行う。式（１７）における（Ｒ₂₂＋Ｒ₃₃＋Ｒ₄₄）は、「上記対角成分要素演算手段２２が求めた対角成分要素の和」であり、和Ｄは、ＱＲ分解手段２１に入力された直前の入力行列Ａ_k（k=4 ）が次式（１８）であると、次式（１９）により表すことができる。

引き算手段２３が行う演算の一つは、一般化すると、k=1,2,3,・・・,N-1のとき、次の式（２０）により示すN-1 個の固有値を求めることである。

引き算手段２３が行う他の演算は、ＱＲ分解手段２１に入力された直前の入力行列Ａk が式（１）であると、和Ｄを次式（２１）により求め、次式（２２）により上記N-1 個の固有値の和Ｅｓｕｍを求め、次式（２３）により和Ｄから和Ｅｓｕｍを減算して残り１個の固有値を求めることである。

残要素演算手段２４は、上記ＱＲ分解手段２１により得られた行列Ｑと行列Ｒを用いて、ＲＱ演算を行った結果における対角成分要素以外の要素を求める演算を行う。つまり、ＲＱ演算中の対角成分要素演算手段２２と引き算手段２３により得られない全ての結果を求める。

制御手段２５は、入力部１０からＱＲ分解回数の入力を受け、上記ＱＲ分解手段２１による分解済回数を監視し、分解済回数がＱＲ分解回数に満たない場合には、上記残要素演算手段２４による演算を実行させて、この演算結果と上記対角成分要素演算手段２２及び上記引き算手段２３による演算結果を入力行列として上記ＱＲ分解手段２１に帰還する一方、分解済回数がＱＲ分解回数に一致した場合には、上記残要素演算手段２４による演算を実行させることなく、上記対角成分要素演算手段２２及び上記引き算手段２３による演算結果を固有値として出力する制御を行うものである。

前述の通り、入力部１０から精度優先の演算指示と、サイクル優先の演算指示とのいずれかが上記制御手段２５へ入力される。上記制御手段２５は、上記入力部１０から精度優先の演算指示を受けた場合には、上記対角成分要素演算手段２２に対し、対角成分要素を得る場合に演算回数の多い要素から求める演算を実行させて対角成分要素中の１要素を除く残りの対角成分要素を求めさせる。つまり、実際の演算では、データの量子化、正規化が行われ、ＲＱ演算の結果に係る行列の右下に位置する対角成分要素ほど、小数点以下第３位まで０のような値となる場合があり、これを防ぐために、演算回数の多い要素から求める演算を実行することにより、乗算による桁落ちを防ぐようにしたものである。

この場合、和Ｅｓｕｍと引き算手段２３による引き算は、４行４列の前述の行列においては、それぞれ次の式（２４）と式（２５）により求められる。

一方、前記入力部からサイクル優先の演算指示を受けた場合には、前記対角成分要素演算手段に対し、対角成分要素を得る場合に演算回数の少ない要素から求める演算を実行させて対角成分要素中の１要素を除く残りの対角成分要素を求めさせる。

この場合、和Ｅｓｕｍと引き算手段２３による引き算は、４行４列の前述の行列においては、それぞれ次の式（２６）と式（２７）により求められる。

以上の構成に係る固有値計算装置において、計算処理部２０は、コンピュータにより実現され、図２に示すフローチャートのプログラムに基づき各部が実現されるので、これに基づき動作を説明する。まず、処理すべき初期行列Ａを取り込む（Ｓ１１）。また、入力部１０から入力されるＱＲ分解回数Ｎを取り込み、更に、精度優先かサイクル優先かの指示を取り込み、保持する（Ｓ１２）。

次に、行列Ａについて既に説明したようにＱＲ分解を行い、行列Ｑと行列Ｒを得る（Ｓ１３）。

次に、上記ステップＳ１２において保持した精度優先かサイクル優先かの指示に基づき、いずれを実行するか検出し（Ｓ１４）、精度優先であれば、対角成分要素を得る場合に演算回数の多い要素から求める演算を実行させて対角成分要素中の１要素を除く残りの対角成分要素を求めるため、式（２６）、式（２７）を用いた演算を行って固有値を求め（Ｓ１５）、暫定的な精度優先固有値としてこれを保持しておき（Ｓ１６）、入力されたＱＲ分解回数Ｎに達したかを検出する（Ｓ１７）。

ここで入力されたＱＲ分解回数Ｎに達していなければ、ＲＱ演算を行ってステップＳ１５において求めた対角成分以外の要素を算出し、次のＱＲ分解の入力行列としてセットし（Ｓ１８）、ステップＳ１４へ戻って処理を続ける。

上記処理の繰り返しを行うことにより、入力されたＱＲ分解回数Ｎに達するので、ステップＳ１７においてＹＥＳへ分岐することになり、ステップＳ１６において保持した暫定的な精度優先固有値を他の処置装置や演算部へ出力し（Ｓ１９）、処理を終了する。

一方、ステップＳ１４において、サイクル優先の指示が出されていることを検出すると、対角成分要素を得る場合に演算回数の少ない要素から求める演算を実行させて対角成分要素中の１要素を除く残りの対角成分要素を求めるため、式（２４）、式（２５）を用いた演算を行って固有値を求め（Ｓ２１）、暫定的なサイクル優先固有値として保持しておき（Ｓ２２）、入力されたＱＲ分解回数Ｎに達したかを検出する（Ｓ１７）。

上記処理の繰り返しを行うことにより、入力されたＱＲ分解回数Ｎに達するので、ステップＳ１７においてＹＥＳへ分岐することになり、ステップＳ２２において保持した暫定的なサイクル優先固有値を他の処置装置や演算部へ出力し（Ｓ１９）、処理を終了する。

なお、本実施例の計算処理部２０は、ＱＲ分解毎に得られる行列Ｑ_K(K=1,2,3,4・・・・）を保持して、固有値ベクトルＶ＝Ｑ₁Ｑ₂Ｑ₃・・・・を得ている（Ｓ３０）。以上のようにして、本実施例では、固有値の１つを、直近の入力行列Ａ_kの対角和Ｄと当該１つの固有値を除く固有値の和とを用いて算出するようにして、演算回数を大きく減少させることができる。前述の例では、４×（Ｎ×Ｎ²)回の演算が必要であったが、これを４×（Ｎ²−Ｎ）回へ減少させている。

本発明に係る固有値計算装置の構成を示すブロック図。本発明に係る固有値計算装置の動作を示すためのフローチャート。

符号の説明

１０入力部
２０計算処理部
２１分解手段
２２対角成分要素演算手段
２３引き算手段
２４残要素演算手段
２５制御手段

Claims

入力行列のＱＲ分解を行うＱＲ分解手段と、
前記ＱＲ分解手段により得られた行列Ｑと行列Ｒを用いて、ＲＱ演算を行った結果における対角成分要素中の１要素を除く残りの対角成分要素を求める対角成分要素演算手段と、
前記ＱＲ分解手段に入力された直前の入力行列における対角成分要素全ての和Ｄを求め、この和Ｄから前記対角成分要素演算手段が求めた対角成分要素の和の引き算を行う引き算手段と、
前記ＱＲ分解手段により得られた行列Ｑと行列Ｒを用いて、ＲＱ演算を行った結果における対角成分要素以外の要素を求める演算を行う残要素演算手段と、
ＱＲ分解回数の入力を受け、前記ＱＲ分解手段による分解済回数を監視し、分解済回数がＱＲ分解回数に満たない場合には、前記残要素演算手段による演算を実行させて、この演算結果と前記対角成分要素演算手段及び前記引き算手段による演算結果を入力行列として前記ＱＲ分解手段に帰還する一方、分解済回数がＱＲ分解回数に一致した場合には、前記残要素演算手段による演算を実行させることなく、前記対角成分要素演算手段及び前記引き算手段による演算結果を固有値として出力する制御手段と
を具備することを特徴とする固有値計算装置。
精度優先の演算指示と、サイクル優先の演算指示とのいずれかを前記制御手段へ入力するための入力部を備え、
前記制御手段は、前記入力部から精度優先の演算指示を受けた場合には、前記対角成分要素演算手段に対し、対角成分要素を得る場合に演算回数の多い要素から求める演算を実行させて対角成分要素中の１要素を除く残りの対角成分要素を求めさせ、前記入力部からサイクル優先の演算指示を受けた場合には、前記対角成分要素演算手段に対し、対角成分要素を得る場合に演算回数の少ない要素から求める演算を実行させて対角成分要素中の１要素を除く残りの対角成分要素を求めさせることを特徴とする請求項１に記載の固有値計算装置。
種々の数値演算により固有値計算を行うためにコンピュータを、
入力行列のＱＲ分解を行うＱＲ分解手段、
前記ＱＲ分解手段により得られた行列Ｑと行列Ｒを用いて、ＲＱ演算を行った結果における対角成分要素中の１要素を除く残りの対角成分要素を求める対角成分要素演算手段、
前記ＱＲ分解手段に入力された直前の入力行列における対角成分要素全ての和Ｄを求め、この和Ｄから前記対角成分要素演算手段が求めた対角成分要素の和の引き算を行う引き算手段、
前記ＱＲ分解手段により得られた行列Ｑと行列Ｒを用いて、ＲＱ演算を行った結果における対角成分要素以外の要素を求める演算を行う残要素演算手段、及び
ＱＲ分解回数の入力を受け、前記ＱＲ分解手段による分解済回数を監視し、分解済回数がＱＲ分解回数に満たない場合には、前記残要素演算手段による演算を実行させて、この演算結果と前記対角成分要素演算手段及び前記引き算手段による演算結果を入力行列として前記ＱＲ分解手段に帰還する一方、分解済回数がＱＲ分解回数に一致した場合には、前記残要素演算手段による演算を実行させることなく、前記対角成分要素演算手段及び前記引き算手段による演算結果を固有値として出力する制御手段、
として機能させることを特徴とする固有値計算プログラム。
制御手段は、精度優先の演算指示と、サイクル優先の演算指示とのいずれかを入力するための入力部から受け取るように機能し、
前記制御手段は、前記入力部から精度優先の演算指示を受けた場合には、前記対角成分要素演算手段に対し、対角成分要素を得る場合に演算回数の多い要素から求める演算を実行させて対角成分要素中の１要素を除く残りの対角成分要素を求めさせ、前記入力部からサイクル優先の演算指示を受けた場合には、前記対角成分要素演算手段に対し、対角成分要素を得る場合に演算回数の少ない要素から求める演算を実行させて対角成分要素中の１要素を除く残りの対角成分要素を求めさせるように機能することを特徴とする請求項３に記載の固有値計算プログラム。