ES2345227A1 - Procedimiento y aparato para el control de un sistema dinamico maestro. - Google Patents
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Abstract
Procedimiento y aparato para el control de un sistema dinámico maestro. Procedimiento de control de un sistema dinámico maestro que comprende modelar la conducta del sistema dinámico maestro mediante un sistema discípulo que contiene una línea de retraso; construir una señal correctiva C(t) y enviar la señal correctiva C(t) al sistema dinámico maestro.
Description
Procedimiento y aparato para el control de un
sistema dinámico maestro.
El objeto principal de la presente invención es
un procedimiento y un aparato para controlar un sistema dinámico
maestro, en el que se modela la conducta del sistema dinámico
maestro mediante un sistema discípulo que contiene una línea de
retraso, y se envía una señal correctiva al sistema dinámico
maestro.
La presente invención se enmarca dentro del
campo del control de sistemas dinámicos en los que se desea corregir
la aparición de conductas impredecibles y no deseadas. La conducta
impredecible de dichos sistemas dinámicos puede ser debida bien a
que el sistema dinámico es intrínsecamente caótico (y sea, por tanto
muy sensible a las condiciones iniciales, de forma que un cambio
ínfimo en las mismas provoca cambios drásticos en la conducta final)
o bien a que está forzado mediante una perturbación externa
desconocida. Ejemplos de sistemas que son susceptible de comportarse
de modo impredecible incluyen, pero no se limitan a, neuronas,
tejidos cardíacos, la corteza cerebral, mesas antivibración,
circuitos electrónicos, la red eléctrica, etc.
La predicción del comportamiento de sistemas
dinámicos, caóticos o no, es un campo que se ha estudiado
extensamente con relación a una gran variedad de sistemas de interés
físico y biológico. Sin embargo, aunque la observación de la
sincronización de osciladores se remonta a experimentos ya clásicos
por Huygens varios siglos atrás, es recientemente cuando se han
producidos grandes avances, especialmente durante la última década,
en el estudio de la sincronización de sistemas dinámicos caóticos.
Decimos que "sincronizar" dos sistemas significa conseguir que
funcionen de manera unísona. El caso extremo se produce cuando los
dos sistemas evolucionan de manera idéntica, aunque otro ejemplo
intermedio sería que ambos tuviesen sus máximos y mínimos al mismo
tiempo. Un tipo de sincronización relevante para la presente
invención se produce cuando uno de los sistemas anticipa el
comportamiento del otro, y a él nos referimos en lo que sigue.
Recientemente, el Dr. Henning Voss (H.U. Voss,
Phys. Rev. E 61, 5115 (2000); Phys. Rev. E 64, 039904 (E) (2001);
Phys. Rev. Lett. 87, 014102 (2001)) ha descubierto un nuevo esquema
de sincronización llamado "sincronización anticipada",
demostrando que utilizando las líneas de retardo adecuado es posible
sincronizar dos sistemas acoplados unidireccionalmente de modo que
uno de ellos (el denominado "sistema discípulo") anticipa (en
otras palabras: predice) el comportamiento del otro (el "sistema
maestro"). El esquema considerado fue el siguiente:
donde,
- x(t)
- es el conjunto de variables que describe al sistema maestro;
- y(t)
- es el conjunto de variables que describe al sistema discípulo;
- f[x]
- es la función que define el sistema dinámico autónomo;
- K
- es la constante que representa la intensidad del acoplamiento;
- \tau
- es el tiempo de retardo en el bucle de retroalimentación del discípulo.
\vskip1.000000\baselineskip
Se demuestra que este sistema de ecuaciones
admite una solución estructuralmente estable de la forma:
y(t) =
x(t +
\tau),
en la que el sistema discípulo
adelanta en un tiempo \tau la conducta del maestro. Esto es
sorprendente si consideramos el caso en que la dinámica del sistema
maestro x sea aperiódica o incluso caótica, y por lo tanto
"intrínsecamente
impredecible".
Posteriormente, los autores del presente
documento profundizaron en el estudio numérico y experimental del
régimen de sincronización anticipada en sistemas excitables
(Anticipated synchronization in neuron models, ESANN'2003
proceedings, European Symposium on Artificial Neural Networks,
Bruges (Beigium), 23-25 Abril 2003, ISBN
2-930307-03-X, págs.
373-378). Los sistemas excitables son aquellos
que reaccionan con una gran respuesta (llamada "pulso") cuando
la fuerza externa sobrepasa un valor umbral pequeño. La
impredictabilidad intrínseca del comportamiento del sistema dinámico
x, en este caso, no es debida necesariamente a una dinámica
caótica sino a la existencia de fuerzas externas aperiódicas, que
incluso pueden ser aleatorias. Por tanto, el sistema estudiado en
este caso es:
donde I(t) representa
una perturbación externa no
periódica.
Es importante remarcar que ahora
y(t)=x(t+\tau) ya no es una solución
exacta a las ecuaciones. Se descubrió que, a pesar de todo y bajo
condiciones de acoplamiento adecuadas, puede producirse una
correlación entre y(t) y x(t + \tau)
que, en la práctica, permite predecir el comportamiento futuro de
x(t) con gran precisión.
Como ejemplos del anterior esquema, se consideró
específicamente que los sistemas x(t) e y(t)
representaran modelos de neuronas sensoriales. Las neuronas
sensoriales transforman señales de estímulo externas, como presión,
temperatura, pulsos eléctricos, etc., en pulsos que activan
funciones corporales. Su comportamiento es típico de sistemas
excitables: si el estímulo externo está por encima de un cierto
valor umbral, la neurona emite un pulso. Después del pulso, se
produce un proceso de recuperación, llamado período refractario,
durante el cual no se puede producir un segundo pulso. En general,
las neuronas sensoriales funcionan en un entorno ruidoso, y como
consecuencia, los intervalos de tiempo entre pulsos contienen una
componente aleatoria significativa, e incluso se pueden producir
pulsos en ausencia de estímulos.
Los autores de la presente invención han
descubierto que un sistema discípulo es capaz de anticipar la
conducta de un sistema dinámico maestro incluso si en la ecuación
que modela el comportamiento del discípulo no se incluye la señal
externa y si se consideran funciones de acoplamiento no lineales,
más generales que los acoplamientos lineales considerados en los
ejemplos anteriores. Las ecuaciones que modelan al maestro y al
discípulo son, por lo tanto:
donde, como
antes:
- x(t)
- es el conjunto de variables que describe al sistema maestro;
- y(t)
- es el conjunto de variables que describe al sistema discípulo;
- f[x]
- define el sistema dinámico bajo consideración;
- I(t)
- es una señal externa que actúa solamente sobre la dinámica del maestro;
- K
- es una función general de acoplamiento que satisface K[0] = 0;
- \tau
- es el tiempo de retraso en el bucle de retroalimentación del discípulo.
Los inventores han demostrado que, incluso en
presencia de la señal externa I(t) el sistema admite
la solución aproximada y(t)=x(t +
\tau), en la que el discípulo adelanta un tiempo \tau la
conducta del maestro. La ventaja de este esquema respecto a los
anteriores radica en que el sistema discípulo no está expuesto a la
señal externa. Esto es especialmente importante en aquellos casos en
los que, por el motivo que sea, no se tenga acceso directo a dicha
señal.
A partir de este esquema predictivo, se ha
desarrollado un esquema correctivo que consiste en enviar al sistema
maestro una señal correctiva cada vez que la variable dinámica del
sistema discípulo cruza un cierto valor umbral. En concreto, cuando
y(t) cruza el valor umbral x_{R}, se envía
una señal correctiva C(t) al maestro
x(t). Se podría pensar que un esquema análogo
funcionaría si se enviara la señal correctiva tomando como
referencia el momento en que la variable x(t) maestro
cruza el umbral x_{R}. El nuevo procedimiento de control de
sistemas dinámicos basado en la supervisión de un sistema discípulo
tiene la ventaja principal de que, debido a la anticipación del
sistema discípulo, la acción correctiva se puede tomar en un tiempo
anterior al que lo haríamos si utilizáramos al maestro como
indicador. El poder adelantar la aplicación de la señal correctiva
permite que sea suficiente que ésta tenga una amplitud menor que
utilizando otros sistemas de control. Es plausible, incluso, que sin
el adelantamiento que ofrece nuestro método no fuera posible enviar
una señal correctiva que actuara de una manera efectiva. Hay que
pensar que, además, el envío de la señal correctiva no es inmediato,
sino que requiere de un tiempo de respuesta, de manera que una
acción correctiva basada en el maestro puede llegar demasiado
tarde.
Por tanto, un aspecto de la presente invención
se refiere a un procedimiento de control de un sistema dinámico
maestro que comprende los siguientes pasos:
a) Modelar la conducta x(t) del
sistema dinámico maestro mediante un sistema y(t)
discípulo de acuerdo con las ecuaciones:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
donde:
- x(t)
- describe el comportamiento sistema dinámico maestro;
- y(t)
- describe el comportamiento del sistema discípulo;
- f[x]
- define el sistema dinámico bajo consideración;
- I(t)
- es una señal externa que actúa sobre la dinámica del sistema maestro;
- K
- es una función general de acoplamiento que satisface K[0] = 0;
- \tau
- es el tiempo de retraso en el bucle de retroalimentación del sistema discípulo.
Para simular el sistema dinámico maestro se
puede utilizar un circuito electrónico, un DSP, una FPGA, un
microcontrolador, un PC, etc.
b) Construir una señal correctiva C(t).
En los ejemplos concretos que explicamos más adelante, la señal
correctiva C(t) está formada por pulsos rectangulares de
amplitud constante. En otros casos, puede ser necesario calcular la
forma más efectiva de esta señal correctiva. Esta operación puede
ser realizada también mediante un circuito electrónico, un DSP, una
FPGA, un microcontrolador, un PC, etc.
c) Enviar la señal correctiva C(t) al
sistema dinámico maestro cuando el sistema discípulo sobrepasa un
valor umbral, de manera que su dinámica se modifica temporalmente
a:
De acuerdo con otro aspecto de la presente
invención, se proporciona un aparato para el control de un sistema
dinámico maestro que comprende los siguientes elementos:
a) Un medio de entrada, que recibe la señal que
caracteriza el comportamiento del sistema dinámico caótico maestro
x(t);
Por ejemplo, en el caso de tejido cardíaco, el
medio de entrada podría consistir en unos electrodos que reciben
los impulsos eléctricos (electrocardiograma) emitidos por el
corazón; en el caso de la corteza cerebral podrían ser las señales
recogidas por los electrodos de un equipo de electroencefalografía o
un magnetoencefalografía.
b) Un medio de cálculo, que recibe la señal que
caracteriza el comportamiento del sistema dinámico maestro
x(t) del medio de entrada y simula su comportamiento de
acuerdo con la ecuación:
El sistema discípulo debe contar con una línea
de retroalimentación con un cierto tiempo de retraso \tau. A
continuación, el medio de cálculo construye una señal correctiva
C(t) cuando el sistema discípulo sobrepasa un valor umbral y
la envía al medio de salida.
c) Un medio de salida, que envía la señal
correctiva C(t) al sistema maestro. De modo similar al
descrito anteriormente, se podría tratar de un par de electrodos
capaces de aplicar, por ejemplo a un tejido cardíaco, la señal
correctiva C(t), que frecuentemente es un tren de pulsos de
amplitud y duración constantes.
Es obvio para un experto en la materia que un
aparato como el descrito debe comprender además medios de
alimentación y/o medios de almacenamiento.
Por otro lado, y de acuerdo con otro aspecto de
la invención, ésta se extiende también a programas de ordenador, en
particular programas de ordenador contenidos en una portadora,
adaptados para llevar a cabo las operaciones del procedimiento
descrito. El programa puede estar en forma de código fuente, código
objeto o un código intermedio entre el código fuente y el código
objeto, como una forma parcialmente compilada, o de cualquier otra
forma adecuada para implementar las operaciones de la invención.
La portadora puede ser cualquier dispositivo o
entidad capaz de transportar el programa. Por ejemplo, la portadora
puede comprender un medio de almacenamiento, como una ROM, un CD ROM
o cualquier otro medio de almacenamiento magnético, por ejemplo un
disquete o un disco duro. Además, la portadora puede ser una
portadora de transmisión, como una señal eléctrica u óptica que se
pueda comunicar a través de cable eléctrico, óptico, por radio o de
cualquier otro modo.
\vskip1.000000\baselineskip
Para complementar la descripción que se está
realizando y con objeto de ayudar a una mejor comprensión de las
características de la invención, de acuerdo con un ejemplo
preferente de realización práctica de la misma, se acompaña como
parte integrante de dicha descripción, un juego de figuras en donde
con carácter ilustrativo y no limitativo, se ha representado lo
siguiente:
Figura 1.- Muestra el esquema simplificado del
procedimiento para el control de un sistema dinámico de acuerdo con
la presente invención.
Figura 2.- Muestra una gráfica que representa
los comportamientos del sistema maestro x(t) y del
dispositivo discípulo y(t) de acuerdo con un ejemplo de la
presente invención, donde se aplican dos perturbaciones a un sistema
dinámico caótico maestro. El procedimiento de control de acuerdo con
la invención se aplica sólo en la segunda perturbación.
Figura 3.- Muestra una gráfica que representa
los comportamientos de los sistemas maestro y discípulo de acuerdo
con un ejemplo de la presente invención, donde se aplican un gran
número de perturbaciones (indicadas por las cortas líneas verticales
en la parte inferior de la figura) a un sistema dinámico maestro
controlado de acuerdo con el procedimiento de control de acuerdo con
la presente invención.
Figura 4.- Muestra un esquema de un ejemplo de
un aparato para el control de sistemas dinámicos de acuerdo con la
presente invención.
Figura 5.- Muestra un ejemplo de realización de
un aparato electrónico de control de sistemas dinámicos de acuerdo
con la presente invención.
Figura 6.- Muestra los resultados obtenidos
cuando el sistema maestro de la Figura 5 no está controlado por el
aparato de la invención.
Figura 7.- Muestra los resultados obtenidos
cuando el sistema maestro de la Figura 5 está controlado por el
aparato de la invención.
\vskip1.000000\baselineskip
La Figura 1 muestra un esquema general del
procedimiento de control de acuerdo con la invención. En la figura 1
se describen los acoplamientos entre el sistema maestro (2) y el
sistema discípulo (3) y la línea de retroalimentación de este
último. El sistema discípulo (3) anticipa un tiempo \tau igual al
tiempo de retraso en la línea de retroalimentación y cuando supera
un valor umbral, se envía una señal de control al maestro (2). A
continuación se describen dos ejemplos de utilización del
procedimiento propuesto.
\vskip1.000000\baselineskip
Ejemplo
1
En primer lugar se describe un sencillo modelo
comúnmente empleado (sistema de Adler) de una variable con
f[x] = \mu - cos[x] y la función de
acoplamiento K[z] =
K_{0}sen[z]. La señal externa I(t)
consiste en una serie de pulsos instantáneos de intensidad
I_{0} = 0,64 que actúan en tiempos aleatorios
t_{i} y representado por los pequeños trazos verticales en
la parte inferior de la Figura 2. En esa figura se observa (pulsos
de la izquierda en la Figura 2) cómo el sistema discípulo (3) (línea
punteada, y(t)) anticipa un tiempo \tau el comportamiento
del sistema maestro (2) (línea continua,
x(t)). Dicho comportamiento consiste en la emisión de un pulso debido a la acción de la perturbación I(t) que actúa en el tiempo t=200. Se han tomado los parámetros para el sistema de Adler \mu = 0,95, \tau = 1,5 y K_{0} = 0,6.
x(t)). Dicho comportamiento consiste en la emisión de un pulso debido a la acción de la perturbación I(t) que actúa en el tiempo t=200. Se han tomado los parámetros para el sistema de Adler \mu = 0,95, \tau = 1,5 y K_{0} = 0,6.
En la parte derecha de la Figura 2 se implementa
el procedimiento de control para evitar la aparición de pulsos en la
dinámica del sistema maestro (2) como respuesta a una perturbación
que actúa en el tiempo t=250. La señal correctora
C(t) es también un pulso instantáneo de intensidad
-\varepsilon con \varepsilon = 0,004 que se envía cuando la
variable y(t) del sistema discípulo (3) sobrepasa el valor
umbral x_{R} = \pi/4, o sea cuando y(t)>
x_{R}. Enviando una señal correctora C(t) (que es un
pulso instantáneo de intensidad \varepsilon = 0,004) se observa
que el pulso del sistema maestro (2) (línea continua, x(t))
es completamente eliminado. Se necesitaría un valor mucho mayor,
\varepsilon = 0,47, más de diez veces superior, para evitar los
pulsos si la decisión se tomara en base a que sea la variable del
sistema maestro (3) la que cruza el valor umbral.
En la Figura 3 se ha aplicado al sistema maestro
(2) una serie de 69 perturbaciones (indicadas por las líneas
verticales en la parte inferior). Sólo se dibuja la dinámica del
sistema maestro (2). En este caso y para reproducir mejor
condiciones reales, se ha añadido términos de ruido de intensidad
D = 0,01 y un retraso t_{R} = 1 en la activación del
mecanismo de control. Cuando tomamos \varepsilon = 0,3, el
procedimiento de control de la invención permite la corrección de
todos los pulsos excepto cuatro, una tasa de éxito del 94%.
\vskip1.000000\baselineskip
Ejemplo
2
En segundo lugar, la Figura 4 muestra un esquema
simplificado de un ejemplo del aparato (1) de la invención que
controla un sistema maestro (2), cuyo comportamiento está definido
por la ecuación \mathit{\dot{x}}(t) =
f[x(t)] + I(t). De acuerdo con
realizaciones preferidas de la invención, el sistema maestro (2)
puede ser una neurona, un circuito electrónico, una mesa
antivibración, la red eléctrica, etc. El aparato (1) comprende los
siguientes componentes:
- Un medio de entrada (4), que recibe la señal
x(t) del sistema dinámico maestro (2) y la transmite al medio
de control (5).
- Un medio de cálculo (5), que emula el
comportamiento del maestro (2) de acuerdo con la ecuación
\mathit{\dot{y}}(t)
=f[y(t)]+K
[x(t)-y(t-\tau)], que corresponde al comportamiento del sistema discípulo (3).
[x(t)-y(t-\tau)], que corresponde al comportamiento del sistema discípulo (3).
El medio de cálculo (5) monitoriza además la
conducta y(t) del sistema discípulo (3). Cuando la señal
y(t) supera un valor umbral X_{R} previamente determinado,
el medio de cálculo (5) construye una señal correctora C(t)
que envía al medio de salida (6). El medio de cálculo (5) puede ser,
por ejemplo, un circuito electrónico, un DSP, una FPGA, un
microcontrolador o estar implementado en un programa de
ordenador.
- Un medio de salida (6), que recibe la señal
correctiva C(t) del medio de cálculo (5) y la envía al
sistema maestro (2).
Además de los medios mencionados, es obvio para
un experto en la materia que el aparato de la invención debe incluir
un medio de alimentación y/o medios de almacenamiento.
Así, como se muestra en la Figura 5, un circuito
electrónico maestro (2) simula, mediante las ecuaciones dinámicas
del modelo de FitzHugh-Nagumo, el comportamiento de
un sistema excitable biológico como una neurona o tejido cardíaco.
Para controlar los impulsos eléctricos emitidos por el circuito
maestro-neurona (2), se emplea un aparato (1) de
acuerdo con la presente invención, dispuesto en la parte inferior de
la figura y también implementado como un circuito electrónico. El
aparato (1) integra el medio de entrada (4), el medio de cálculo (5)
y el medio de salida (6). En la Figura 6 se muestra la respuesta
x(t) del circuito maestro-neurona (2) (pulsos
eléctricos grandes en la parte inferior de la Figura 6) a
perturbaciones I(t) aleatorias (pulsos eléctricos pequeños en
la parte superior de la Figura 6) cuando no se emplea ningún
mecanismo de control. En la Figura 7 se muestra cómo se controlan
los pulsos eléctricos al enviar al circuito
maestro-neurona (2) una señal correctora C(t)
cuando el discípulo (que no se enseña en estas figuras) ha cruzado
un valor umbral X_{R}.
Claims (15)
1. Procedimiento de control de un sistema
dinámico maestro, caracterizado porque comprende los
siguientes pasos:
(a) modelar la conducta del sistema dinámico
maestro mediante un sistema discípulo, de acuerdo con las
ecuaciones:
donde:
- x(t)
- describe el comportamiento sistema maestro;
- y(t)
- describe el comportamiento sistema discípulo;
- f(x)
- define el sistema dinámico bajo consideración;
- I(t)
- es una señal externa que actúa sobre la dinámica del sistema dinámico maestro;
- K
- es una función general de acoplamiento que satisface K[0] = 0;
- \tau
- es el tiempo de retraso en el bucle de retroalimentación del sistema discípulo.
\vskip1.000000\baselineskip
(b) construir una señal correctiva
C(t);
(c) enviar la señal correctiva C(t) al
sistema dinámico maestro, de manera que su dinámica se modifique
temporalmente a:
2. Procedimiento de control de un sistema
dinámico maestro de acuerdo con la reivindicación 1,
caracterizado porque el sistema dinámico maestro es un
sistema dinámico caótico.
3. Procedimiento de control de un sistema
dinámico maestro de acuerdo con la reivindicación 1,
caracterizado porque el sistema dinámico maestro es tejido
biológico.
4. Procedimiento de control de un sistema
dinámico maestro de acuerdo con la reivindicación 3,
caracterizado porque el tejido biológico es uno de entre los
siguientes: una neurona y tejido cardíaco.
5. Procedimiento de control de un sistema
dinámico caótico maestro de acuerdo con la reivindicación 1,
caracterizado porque el sistema dinámico es un uno de entre
los siguientes: circuito electrónico, una mesa antivibración y la
red eléctrica.
6. Procedimiento de control de un sistema
dinámico maestro de acuerdo con una cualquiera de las
reivindicaciones anteriores, caracterizado porque la señal
C(t) está formada por pulsos.
7. Procedimiento de control de un sistema
dinámico maestro de acuerdo con la reivindicación 6,
caracterizado porque los pulsos son de amplitud
constante.
8. Procedimiento de control de un sistema
dinámico caótico maestro de acuerdo con una cualquiera de las
reivindicaciones anteriores, caracterizado porque la
operación de modelar la conducta del sistema dinámico caótico
maestro se realiza mediante uno de los siguientes dispositivos: un
PC, un circuito electrónico, un DSP, una FPGA y un
microcontrolador.
9. Programa de ordenador que comprende
instrucciones de programa que provocan que un ordenador lleve a cabo
las operaciones de los procedimientos de acuerdo con cualquiera de
las reivindicaciones anteriores.
10. Programa de ordenador de acuerdo con la
reivindicación 9, caracterizado porque está almacenado en
unos medios de almacenamiento.
11. Programa de ordenador de acuerdo con la
reivindicación 9, caracterizado porque se transmite a través
de una señal portadora.
12. Aparato (1) de control de un sistema
dinámico maestro (2), caracterizado porque comprende los
siguientes elementos:
un medio de entrada (4), que recibe una
x(t) señal que caracteriza el comportamiento del
sistema dinámico maestro (2);
un medio de cálculo (5), que recibe
la señal x(t) del medio de entrada (4) y simula el
comportamiento del dispositivo dinámico maestro (2) de acuerdo con
la
ecuación:
y construye una señal correctiva
C(t);
un medio de salida (6), que envía la señal
correctiva C(t) al sistema dinámico maestro (2).
13. Aparato (1) de control de un sistema
dinámico maestro (2) de acuerdo con la reivindicación 12,
caracterizado porque el medio de cálculo (5) es uno de los
siguientes dispositivos: un PC, un microcontrolador, un DSP, una
FPGA y un circuito electrónico.
14. Aparato (1) de control de un sistema
dinámico maestro (2) de acuerdo con una cualquiera de las
reivindicaciones 12 y 13, caracterizado porque el medio de
entrada (4) comprende un par de electrodos.
15. Aparato (1) de control de un sistema
dinámico maestro (2) de acuerdo con una cualquiera de las
reivindicaciones 12, 13 y 14, caracterizado porque el medio
de salida (6) comprende un par de electrodos.
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| ES200800727A ES2345227B1 (es) | 2008-03-12 | 2008-03-12 | Procedimiento y aparato para el control de un sistema dinamico maestro. |
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| AGUILAR-LÓPEZ et al. "{}Synchronization of a coupled Hodgkin- Huxley neurons via high order sliding-mode feedback"{} en Chaos, Solitons and Fractals, Oxford,GB, 10 marzo 2008, vol. 37, n$^{o}$ 2 páginas 539-546. * |
| AGUILAR-LÓPEZ et al. "Synchronization of a coupled Hodgkin- Huxley neurons via high order sliding-mode feedback" en Chaos, Solitons and Fractals, Oxford,GB, 10 marzo 2008, vol. 37, nº 2, páginas 539-546. * |
| CISZAK M. et al. "{}Anticipating the response of excitable systems driven by random forces"{} en Physical review letters, USA, 23 mayo 2003, vol. 90, n$^{o}$ 20, páginas 204102. * |
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| CISZAK M. et al. "{}Coupling and feedback effects in excitable systems: anticipated synchronization"{} en Modern Physiscs Letters B, Singapur, 10 octubre 2004, vol. 18, n$^{o}$ 23, páginas 1135-115 . * |
| CISZAK M. et al. "Anticipating the response of excitable systems driven by random forces" en Physical review letters, USA, 23 mayo 2003, vol. 90, nº 20, páginas 204102. * |
| CISZAK M. et al. "Approach to predictability via anticipated synchronization" en Physical review, USA, octubre 2005, vol. 72, nº 4 Pt 2, páginas 46218. * |
| CISZAK M. et al. "Coupling and feedback effects in excitable systems: anticipated synchronization" en Modern Physiscs Letters B, Singapur, 10 octubre 2004, vol. 18, nº 23, páginas 1135-1155. * |
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| TORAL R. et al. "{}Anticipated synchronization in neuronal systems subject to noise"{} en Proceedings of the SPIE, USA, 2003, vol. 5114, páginas 261-267. * |
| TORAL R. et al. "Anticipated synchronization in neuronal systems subject to noise" en Proceedings of the SPIE, USA, 2003, vol. 5114, páginas 261-267. * |
| TORIKAI H et al. "{}Master-slave synchronization of pulse-coupled bifurcating neurons"{}, IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences, Japón, marzo 2004, vol. E87-A, n$^{o}$ 3, páginas 740-747. * |
| TORIKAI H et al. "Master-slave synchronization of pulse-coupled bifurcating neurons", IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences, Japón, marzo 2004, vol. E87-A, nº 3, páginas 740-747. * |
| ZHENYA YAN, "{}A new scheme to generalized (lag, anticipated and complete) synchronization in chaotic and hyperchaotic systems"{} en Chaos, AIP,USA, marzo 2005, vol. 15, n$^{o}$ 1, páginas 13101-10 * |
| ZHENYA YAN, "A new scheme to generalized (lag, anticipated and complete) synchronization in chaotic and hyperchaotic systems" en Chaos, AIP,USA, marzo 2005, vol. 15, nº 1, páginas 13101-10. * |
Also Published As
| Publication number | Publication date |
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