EP4740182A1 - Procédé de reconstruction d'un objet par tomographie à rayons x comprenant un calcul de termes de régularisation - Google Patents

Abstract

L'invention concerne un procédé de reconstruction d'un objet par tomographie à rayons X au moyen de sources et de détecteurs de rayons X. Le procédé comprend les étapes suivantes : obtention (EO) des positions des sources et des détecteurs de rayons X; pré-calcul (E1 ) d'un ensemble de directions; calcul (E2) d'une carte vectorielle d'incomplétude tomographique; calcul (E3) d'une carte d'incomplétude tomographique des métriques IM(x); calcul (E4) de termes de régularisation à partir de la carte vectorielle d'incomplétude tomographique et de la carte d'incomplétude tomographique des métriques; et résolution (E5), de manière itérative, d'un problème de reconstruction tomographique régularisé au moyen des termes de régularisation calculés.

Description

DESCRIPTION Titre de l’invention : Procédé de reconstruction d’un objet par tomographie à rayons X comprenant un calcul de termes de régularisation. [0001] L’invention s’inscrit dans le domaine de l’imagerie par rayons, et plus particulièrement dans le domaine de la reconstruction tomographique à rayons X. Elle concerne un procédé de reconstruction d’un objet par tomographie à rayons X comprenant un calcul de termes de régularisation. [0002] L’invention trouve son application dans le domaine de la sécurité, notamment pour la fouille de bagages ayant lieu dans des sites sensibles (aéroports, gares, etc.), lors d’évènements ou à toute occasion d’inspection de bagages. Elle trouve également son application dans le domaine médical, par exemple lors de l’utilisation d’équipement d’imagerie médicale à rayons X. De manière plus générale, l’invention trouve son application lorsqu’il est souhaité de reconstruire un objet par tomographie. [0003] La tomographie à rayons X fournit une image bidimensionnelle ou tridimensionnelle à partir d’une série de projections tomographiques via un algorithme de reconstruction. Les algorithmes de reconstruction utilisés en tomographie présentent des faiblesses lorsque les données mesurées sont fortement bruitées et/ou sont manquantes. L’algorithme de reconstruction fait alors face au manque de données et peut alors conduire à des solutions très incohérentes. [0004] Afin de pouvoir reconstruire un objet, l’algorithme de reconstruction nécessite alors d’introduire, en plus de données d’entrée, des a priori sur l’objet à reconstruire. Les a priori sur l’objet sont introduits via une régularisation donnant ainsi lieu à un algorithme de reconstruction régularisé. [0005] Les algorithmes de reconstructions régularisées résolvent ainsi un problème inverse à partir des données de projections. Cette famille d’algorithme nécessite de régler des termes de régularisation. Ces termes de régularisation ont pour but de donner un compromis entre l’information des données et l’a priori sur l’objet à reconstruire. La régularisation permet d’introduire un a priori sur la distribution statistique de l’objet imagé et/ou prendre en compte la géométrie d’acquisition. Cette régularisation dépend de paramètres appelés ici hyper-paramètres. Les hyper- paramètres sont calculés avant le processus de reconstruction de l’objet, comme détaillé plus loin. [0006] La plupart du temps, les termes de régularisation sont construits pour limiter le nombre d’hyper-paramètres à régler. En effet, plus le nombre d’hyper-paramètres est important, plus il est difficile de les régler manuellement. [0007] Pour régler automatiquement les hyper-paramètres, certaines approches s’appuient sur des méthodes de validation croisée [Kohavi, 1995], ou plus récemment sur des méthodes d’apprentissage automatique [Shen, 2018], [Ding, 2021]. En 2021, les travaux [Zhang, 2021] ont montré qu’une régularisation de type Variation Totale Directionnelle est bien adaptée pour les problèmes de reconstruction à angles limités. Cette régularisation demande néanmoins de régler plus d’hyper- paramètres qu’une Variation Totale conventionnelle [Rudin, 1992]. [0008] Les méthodes actuellement utilisées pour régler les termes de régularisation demandent d’avoir des images de références, et/ou d’avoir un nombre important de données diversifiées. S’il est possible d’obtenir les images de références par des simulations, ces méthodes restent difficiles à obtenir en conditions expérimentales. [0009] De plus, dans l’idéal, le choix des termes de régularisation devrait intégrer la géométrie du scanner, c’est-à-dire de la position de la (des) source(s) et du (des) détecteur(s). [0010] La théorie 3D de la tomographie assistée par ordinateur dispose de quelques outils pour donner des informations locales de l’objet à reconstruire selon la géométrie du scanner. En supposant des projections non tronquées, [Tuy, 1983] donne une condition afin de vérifier si une trajectoire continue de sources à rayons X est suffisante pour reconstruire l’objet. La condition peut s’écrire comme suit : « chaque plan qui coupe l’objet imagé doit couper la trajectoire source au moins une fois ». En pratique, tous les scanners sont limités par un nombre fini de positions de sources et donc la condition de Tuy n’est jamais respectée. On parle d’incomplétude tomographique lorsque la condition de Tuy n’est pas respectée. [0011] La figure 1 représente des exemples de trajectoires source-détecteur T d’un scanner utilisé pour la reconstruction d’un objet. L’exemple a) montre une trajectoire de la source-détecteur circulaire. Une telle trajectoire ne permet pas une reconstruction exacte de l’objet en dehors du plan de la trajectoire. En effet, un plan coupant l’objet et qui est parallèle par exemple au cercle de la trajectoire T n’intersecte pas ladite trajectoire source-détecteur. Une géométrie hélicoïdale de la trajectoire T, telle que représentée à l’exemple b), permet quant à elle d’obtenir une reconstruction exacte. En effet, quel que soit le plan pris, celui-ci coupe nécessairement l’hélice de la trajectoire T. [0012] Plusieurs mesures ont été étudiées pour quantifier l’impact de l’incomplétude tomographique. [Metzler, Bowsher, & Jaszczak, 2003], [Lin & Meikle, 2010] et [Liu, et al., 2012] évaluent numériquement le pourcentage des plans qui sont coupés par la trajectoire de la source en échantillonnant la sphère unitaire. Seulement, ce type de mesure est possible uniquement pour une trajectoire de source continue. Or, en pratique, les acquisitions sont réalisées à des points discrets de la trajectoire de source. Ainsi, des plans passent nécessairement entre les sources. En outre, les auteurs de ces publications indiquent qu’il est difficile de prédire la qualité de la reconstruction à partir de cette métrique. [0013] [Stopp, Winne, Jank, & Keeve, 2010] ont proposé de mesurer localement la moyenne des angles minimaux, c’est-à-dire les angles définis par les plans passant par le voxel étudié et la source optimale associée. [Clackdoyle & Noo, 2020] quantifient également l’incomplétude tomographique pour mesurer à quel point un voxel est loin de respecter la condition de Tuy dans une direction donnée. Ces méthodes peuvent s’appliquer à des trajectoires discrètes de sources. [0014] Les méthodes d’art antérieur n’exploitent pas les conditions de reconstruction locale théorique de la tomographie. Le réglage obtenu est identique pour tout objet à reconstruire, sans tenir compte des différences d’échantillonnage locales. En effet, dans le cas d’une régularisation qui serait adaptée localement, le nombre de paramètres ou termes à régler serait trop important. Par exemple, une régularisation non locale type Variation Totale Directionnelle a trois hyper-paramètres à régler, alors qu’une variation totale directionnelle locale appliquée à un volume d’un million de voxels nécessiterait de régler trois millions d’hyper-paramètres. Cela rend la sélection des hyper-paramètres impossible avec les méthodes actuelles. [0015] Il est à noter que dans le présent document, on entend par voxel, soit un pixel ou un voxel selon que l’on considère une reconstruction bidimensionnelle ou tridimensionnelle. [0016] L’invention vise à proposer pour la reconstruction d’un objet par tomographie à rayons X, une régularisation voxel par voxel s’adaptant à chaque système d’acquisition ou scanner auquel elle est appliquée tout en étant peu coûteuse en données. [0017] L’invention propose à cet effet un procédé de reconstruction d’un objet par tomographie à rayons X au moyen de sources et de détecteurs de rayons X, ledit objet appartenant à un espace imagé défini par un ensemble de voxels. Le procédé comprend les étapes suivantes : - obtention des positions des sources et des détecteurs de rayons X ; - pré-calcul d’un ensemble de directions ; - calcul d’une carte vectorielle d’incomplétude tomographique comprenant pour chaque voxel un vecteur selon une direction ^ ∗ parmi ledit ensemble de directions ; - calcul d’une carte d’incomplétude tomographique des métriques définissant pour chaque voxel une perte d’information selon la direction ^ ∗ ; - calcul de termes de régularisation à partir de la carte vectorielle d’incomplétude tomographique et de la carte d’incomplétude tomographique des métriques ; et - résolution, de manière itérative, d’un problème de reconstruction tomographique régularisé au moyen des termes de régularisation calculés. [0018] La solution apportée par l’invention permet ainsi d’exploiter les informations de l’incomplétude tomographique pour régler les termes d’une régularisation par exemple en réglant les hyper-paramètres d’une régularisation de type Variation Totale locale. L’objectif est d’introduire une régularisation spécifique voxel par voxel qui exploitera l’information directionnelle ainsi que la force de régularisation (i.e. le poids accordé à la régularisation) estimées par l’incomplétude tomographique. [0019] L’information d’incomplétude étant locale et spécifique à chaque système d’acquisition ou scanner, cela mène à une régularisation qui s’adapte à chaque système d’acquisition. Les avantages obtenus par la présente invention sont : - prise en compte de la géométrie du scanner ; - introduction d’une régularisation locale permettant une reconstruction plus précise ; - possibilité de reconstruire une image de meilleure qualité notamment pour toutes géométries d’acquisitions qui mènent à des problèmes de reconstruction d’image avec données manquantes (problèmes d’angles limités, problèmes inverses mal posés, problèmes inverses mal conditionnés) ; - possibilité de lever le verrou du réglage des hyper-paramètres pour la régularisation Variation Totale Directionnelle locale en utilisant un critère analytique exploitant la géométrie du système d’acquisition sans le moindre besoin de générer des données expérimentales, de simulations ou de reconstructions, ni d’intervention humaine ou d’une intelligence artificielle ; - invention applicable à des géométries connues comme des géométries nouvelles (stationnaire multi-sources, etc.) ; - invention applicable pour tous les systèmes de tomographie à rayons X, dans les domaines de l’imagerie médicale, du contrôle non-destructif ou encore du contrôle de bagages dans les aéroports ; - invention ouvrant de nouvelles perspectives pour de nouvelles méthodes de reconstruction en tomographie à rayons X (reconstruction dynamique avec Variation Totale Directionnelle 3D+temps locale). [0020] Des caractéristiques préférées particulièrement commodes du procédé de reconstruction selon l’invention sont présentées ci-dessous. [0021] Le calcul de la carte vectorielle d’incomplétude tomographique comprend pour chaque voxel de l’espace imagé les sous-étapes de : - sélection parmi lesdites sources d’une source pour chaque direction parmi ledit ensemble de directions ; et - choix pour chaque source sélectionnée de la direction ^ ∗, la perte d’information définie par la carte d’incomplétude tomographique des métriques correspondant à la perte d’information selon la direction choisie ^ ∗ par ledit détecteur associé à ladite source sélectionnée. [0022] L’étape de calcul de la carte vectorielle d’incomplétude tomographique comprend une sous-étape préalable de sélection, parmi lesdites sources, des sources projetant le voxel de l’objet sur leurs détecteurs associés, la source étant sélectionnée parmi les sources projetant le voxel de l’objet sur leurs détecteurs associés. [0023] La sélection de ladite source est réalisée par le calcul d’une incomplétude tomographique locale directionnelle ^^^, ^^ ∈ ℝ^{^} selon l’expression ^^^, ^^ = où ^ ^ ∈ ℝ^!, est la projection d’une source sur le plan défini par le point ^ du voxel et la direction normale ^. [0024] La direction choisie est choisie en fonction de l’incomplétude tomographique locale directionnelle ^^^, ^^. [0025] La direction choisie ^ ∗ est choisie à partir du calcul d’une norme de plusieurs directions pour lesquelles l’incomplétude tomographique locale directionnelle ^^^, ^^ est calculée. [0026] La norme est la norme Lp pour p ∈ [1 ;+∞]. De préférence, p est égal à +∞. [0027] La direction choisie ^ ∗ est choisie à partir du calcul d’une moyenne pondérée de plusieurs directions pour lesquelles l’incomplétude tomographique locale directionnelle ^^^, ^^ est calculée. [0028] Les termes de régularisation sont calculés pour une fonction de régularisation ‖%^‖ _&é()*+,-*. suivante : où ^u₈^_1,2,3 correspond aux différences finies dans différentes directions, j, k, l correspondant à l’indexation pour chaque voxel, et d à la direction de la différence finie. [0029] La fonction de régularisation ‖%‖_&é()*+,-*. est de type variation totale directionnelle. [0030] D’autres particularités et avantages de l’invention apparaîtront encore dans la description ci-après en référence aux dessins annexés, donnés à titre d’exemples non limitatifs : - la figure 1 représente des exemples de trajectoires source-détecteur d’un scanner utilisé pour la reconstruction d’un objet ; - la figure 2 représente un diagramme d’un procédé de de reconstruction d’un objet par tomographie à rayons X selon un mode de réalisation de l’invention ; - la figure 3 représente un exemple de calcul d’un ensemble de direction ; - la figure 4 représente un exemple de calcul de l’incomplétude tomographique locale directionnelle ; et - la figure 5 représente des exemples de cartes 3D de l’incomplétude tomographique. [0031] La figure 2 représente un procédé de reconstruction d’un objet imagé par tomographie à rayons X selon un mode de réalisation. L’algorithme de reconstruction utilisé dans l’invention pour la reconstruction de l’objet est un algorithme de reconstruction régularisée. Ce procédé implique dans un premier temps un calcul de termes de régularisation dont les étapes sont représentées, selon un exemple de réalisation, sur la figure 2. [0032] La tomographie à rayons X est réalisée au moyen d’un scanner. Le scanner comprend des sources et des détecteurs de rayons X. On note {"_;, "₉, … , "_=} ∈ ℝ^!×@ et {A_;, A₉, … , A_=} ∈ ℝ^!×@ l’ensemble des positions de couples source-détecteur de la géométrie du scanner. Il y a N couples source-détecteur. Chaque source a un détecteur associé. [0033] Le calcul de termes de régularisation et la reconstruction de l’objet sont mis en œuvre par ordinateur. [0034] Le procédé de reconstruction comprend une étape d’obtention E0 des positions des sources et des détecteurs de rayons X et de définition d’un espace imagé Ω contenant l’objet à reconstruire. L’objet à reconstruire n’entre pas en compte dans le procédé. En particulier, quelle que soit la forme de l’objet, celle-ci n’influe pas dans le calcul de l’incomplétude et donc dans la régularisation. Seules les dimensions de l’espace imagé Ω contenant l’objet à reconstruire entrent en compte dans le procédé. [0035] L’espace imagé Ω est maillé en plusieurs voxels. L’espace imagé Ω peut présenter tout type de forme et de dimensions. L’espace imagé Ω est par exemple un cube de dimensions 256DD × 256DD × 256DD. [0036] Le procédé de reconstruction comprend également une étape de pré-calcul d’un ensemble de directions. L’étape de pré-calcul permet de discrétiser les directions dans l’espace. Un nombre fini de directions dans l’espace est ainsi prédéfini. Plus le nombre de directions pré-calculées ou prédéfinies est grand, plus la direction d’incomplétude calcule est précise. Néanmoins, plus le nombre de directions pré-calculées est grand, plus le nombre de calculs est grand. Le nombre de directions est choisi de manière à bien décrire tout l’espace tout en limitant les calculs à un nombre raisonnable. [0037] L’étape de pré-calcul consiste par exemple en le calcul d’un ensemble de vecteur unitaire homogène sur la sphère E⁹ , comme illustré sur la figure 3. Par exemple, la méthode du réseau de Fibonacci [Gonzalez, 2009] qui place les points sur une spirale sphérique uniformément est utilisée. De manière itérative, chaque nouveau point est placé entre le plus grand écart des points précédents. [0038] Le procédé de reconstruction comprend ensuite des étapes de calcul E2, E3 de cartes d’incomplétude tomographique. En particulier, le procédé comprend une étape de calcul E2 d’une carte vectorielle d’incomplétude tomographique et une étape de calcul E3 d’une carte d’incomplétude tomographique des métriques. [0039] Selon un exemple de réalisation, l’étape de calcul E2 de la carte vectorielle d’incomplétude tomographique comprend pour chaque voxel de l’espace imagé ou point ^ ∈ Ω, une première sous-étape de sélection E20 des sources projetant le voxel de l’espace imagé sur leurs détecteurs associés. Autrement dit, les sources telles que la direction ^"_G, ^^ intersecte le détecteur A_G sont sélectionnées. L’ensemble des sources projetant le voxel de l’espace imagé Ω sur leurs détecteurs associés est noté [0040] Le nombre de sources est ainsi réduit. Pour chaque voxel de l’espace imagé Ω, seules les sources arrivant à voir ledit voxel sont sélectionnées. [0041] L’étape de calcul E2 de la carte vectorielle d’incomplétude tomographique comprend pour chaque voxel de l’espace imagé ou point ^ ∈ Ω, une deuxième sous- étape de sélection E21 de la source, dite meilleure source, voyant le mieux le voxel. [0042] La sélection de la meilleure source est réalisée par le calcul d’une incomplétude tomographique locale directionnelle ^^^, ^^ ∈ ℝ^{^} pour un point ^ ∈ Ω et une direction pré-calculée ^ ∈ E⁹. L’incomplétude tomographique locale directionnelle est calculée selon est la projection d’une source " ^ sur le plan défini par le point ^ du voxel et la direction normale ^ : ^ ^ = " ^ ^^ ⋅ ^M^. Cette expression est définie par [Clackdoyle & Noo, 2020]. [0043] Le calcul ci-avant de l’incomplétude tomographique locale directionnelle ^^^, ^^ évalue la tangente minimum des angles définis par le plan ^^, ^^ et les droites rayons X, i.e. les droites passant par ^ et les points sources le long de la trajectoire. L’incomplétude tomographique locale directionnelle ^^^, ^^ évalue ainsi à quel point un voxel ou point ^ est reconstructible dans la direction ^. [0044] Plus la valeur ^^{^}^, ^^{^} est grande, plus le point ^ est loin de satisfaire la condition de Tuy locale et manque d’information tomographique dans la direction ^. En effet, plus le ratio est petit, plus cela signifie que la source “s’approche” du plan normal. ^^{^}^, ^^{^} vaut 0 lorsque la source est dans le plan normal. A l’inverse, plus la direction ^ est alignée avec les droites sources voyant le point ^, plus le ratio ^^{^} tend vers l’infini. Ainsi, plus le ratio est grand, plus cela est difficile de satisfaire la condition de Tuy locale et moins bien on arrive à voir le point ^ dans le plan défini par la codirection ^ (ou plan normal). [0045] En calculant le minimum du ratio |_|^^^^^^^||, la direction qui est la plus orthogonale au vecteur source-point est recherchée. La meilleure source est ainsi obtenue. [0046] La meilleure source est ici sélectionnée parmi les sources projetant le voxel de l’espace imagé Ω sur leurs détecteurs associés. La première sous-étape de sélection E20 des sources projetant le voxel de l’espace imagé Ω sur leurs détecteurs associés est facultative. Selon un exemple de réalisation, l’ensemble des sources {"_;, "₉, … , "_^} est considéré. La sélection de la meilleure source est réalisée parmi l’ensemble des sources {"_;, "₉, … , "_^}. [0047] La figure 4 représente une illustration du calcul de l’incomplétude tomographique locale directionnelle ^^{^}^, ^^{^} pour la sélection de la meilleure source pour la reconstruction d’un point x. Par souci de simplification, seules deux sources s1, s2 sont représentées. On note l’angle entre la droite passant par la source s1 et le point x, et le plan orthogonal à ^ . L’incomplétude tomographique locale directionnelle ^^^, ^^ est égale à tan(ψ_G^. Le calcul de la tangente tan(ψ_;^ pour la source s1 donne 0,28 tandis que le calcul de la tangente tan(ψ₉^ pour la source s2 donne 0,65. L’incomplétude tomographique locale directionnelle ^^^, ^^ vaut donc ici 0,28. [0048] Selon un autre exemple de réalisation, la source sélectionnée dans l’étape E21 peut être une source différente de la meilleure source. Par exemple, la seconde meilleure source peut être sélectionnée. [0049] L’étape de calcul E2 de la carte vectorielle d’incomplétude tomographique comprend pour chaque voxel de l’espace imagé ou point ^ ∈ Ω, une troisième sous- étape de choix E22 pour les meilleures sources sélectionnées d’une direction ^ ∗. [0050] La direction choisie ^ ∗ peut être choisie ou calculée de différentes manières. La direction choisie ^ ∗ est choisie ou calculée en fonction de l’incomplétude tomographique locale directionnelle ^^^, ^^. [0051] La direction choisie ^ ∗ peut être choisie à partir du calcul d’une norme. La direction choisie ^ ∗ est par exemple choisie à partir du calcul de la norme de plusieurs directions (v1, …., vn), lesdites directions (appelées directions considérées) correspondant à l’ensemble des directions pré-calculées ou à un sous-ensemble dudit ensemble des directions pré-calculées. La norme est par exemple la norme Lp des directions considérées, avec p ∈ [1 ;+∞]. [0052] Un exemple préféré consiste à choisir la moins bonne direction ^ ∗. La moins bonne direction ^ ∗ correspond à la direction selon laquelle chaque voxel est le moins bien vu par le détecteur associé à la meilleure source sélectionnée. [0053] La moins bonne direction ^ ∗ ∈ E⁹ au point ^ ∈ Ω est calculée par l’expression : ^^∗^^^ = argmax_S∈TU{^^^, ^^}. Autrement dit, moins bonne direction ^ ∗ correspond à la norme Lp des directions considérées pour laquelle p tend vers +∞. [0054] La moins bonne direction ^ ∗ est ainsi celle qui maximise l’incomplétude tomographique locale directionnelle ^^{^}^, ^^{^}. Il s’agit de la direction selon laquelle, même en choisissant la meilleure source, on obtient le moins bon résultat possible, i.e. on voit le moins bien le point ^. [0055] Dans un exemple simplifié pour l’explication dans lequel l’ensemble de directions comprend trois directions { ^1 , ^2, ^3} , l’incomplétude tomographique locale directionnelle ^^^, ^^ est calculée pour chacune des trois directions. On obtient ainsi trois valeurs ^^^, ^1^, ^^^, ^2^, ^^^, ^3^. La moins bonne direction ^ ∗ correspond à la direction parmi les trois directions { ^1 , ^2, ^3} ayant la plus grande valeur d’incomplétude tomographique locale directionnelle. [0056] Selon un autre exemple de réalisation, la direction choisie ^ ∗ peut être choisie en calculant une moyenne pondérée des directions considérées. L’incomplétude tomographique locale directionnelle est calculée pour chacune des directions considérées. Un poids est associé à chacune des directions considérées, le poids étant fonction de l’incomplétude locale de la direction considérée. Le poids est d’autant plus important que la valeur de l’incomplétude locale de la direction considérée est grande. [0057] Ainsi, dans le même exemple simplifié selon lequel il est considéré un ensemble de directions comprenant trois directions { ^1 , ^2, ^3} , l’incomplétude tomographique locale directionnelle ^^^, ^^ est calculée pour chacune des trois directions. On obtient ainsi trois valeurs ^^^, ^1^, ^^^, ^2^, ^^^, ^3^. En fonction des valeurs obtenues ^^{^}^, ^1^{^}, ^^{^}^, ^2^{^}, ^^{^}^, ^3^{^}, des poids p1, p2, p3 sont respectivement associés à chacune des trois directions { ^1 , ^2, ^3} (le poids p1 est associé à ^^{^}^, ^1^{^} , le poids p2 à ^^{^}^, ^2^{^} , et le poids p3 ^^{^}^, ^3^{^} ). La direction choisie est calculée en calculant la moyenne pondérée des trois directions { ^1, ^2, ^3}. [0058] Des exemples non limitatifs de calcul de la direction choisie ^^∗, parmi lesquels certains sont mentionnés ci-avant, sont listés ci-après : - moyenne pondérée : ^^{∗^}^^{^} , avec N le nombre de directions pré- calculées ; [^{^ moyenne pondérée sur les =^ pires directions ∗^ ^ ∑Y\]} - : ^ ^ = , ^{avec _} _` la i^ème plus grande valeur d’incomplétude (ou plus petite valeur d’incomplétude ) et =^ choisi inférieur ou égal à N le nombre de directions pré- calculées ; - moyenne - la meilleure direction [0059] Quelle que soit la manière de calculer ou choisir la direction ^^∗ , à chaque point ^ de l’espace imagé Ω, on obtient un vecteur donnant ^^∗ la direction choisie. On obtient ainsi la carte vectorielle 3D de l’incomplétude tomographique des directions ^^∗: ℝ^! → E⁹ , i.e. la distribution spatiale 3D de l’incomplétude tomographique dans l’espace imagé Ω. [0060] L’étape de calcul E3 de la carte d’incomplétude tomographique des métriques est réalisée après ce choix de la direction ^^∗. L’incomplétude tomographique des métriques est fonction de l’incomplétude tomographique locale directionnelle ^^^, ^^. Autrement dit, la carte 3D de l’incomplétude tomographique des métriques ^0: ℝ^! → ℝ^{^} est définie par ^0^^^ = ℎ^^^^, ^^^, où h est une fonction. [0061] La carte 3D de l’incomplétude tomographique des métriques ^0: ℝ^! → ℝ^{^} est par exemple définie par : ^0^{^}^^{^} = ^^^, ^^{∗^}^^{^}^ . Autrement dit, l’incomplétude tomographique des métriques IM pour un voxel donné correspond à la fonction d’incomplétude appliquée à la direction choisie ^^∗. [0062] La carte d’incomplétude tomographique des métriques définit pour chaque voxel une perte d’information selon la direction choisie ^^∗ par le détecteur associé à la meilleure source sélectionnée. L’incomplétude tomographique des métriques renseigne à quel point on ne voit pas bien le point ^ de l’espace imagé Ω dans la direction choisie ^^∗. Plus la valeur de ^0^^^ est grande, plus le point ^ est incomplet au sens des conditions de reconstruction tomographique. [0063] La carte 3D de l’incomplétude tomographique des métriques ^0 peut être définie par une autre fonction. Par exemple, la carte 3D de l’incomplétude tomographique des métriques ^0: ℝ^! → ℝ^{^} peut être définie par : ^0^^^ = ^²^^, ^^∗^^^^, ou par [0064] Une fois calculée comme expliqué ci-avant, la carte 3D de l’incomplétude tomographique des métriques ^0 peut être en outre ramenée dans un segment [a,b] avec a et b ∈ ℝ^{^}. On obtient ainsi : ^0^^^ = f + ^{h^i} j_i^kZl^^^ . ^0^^^. [0065] On obtient ainsi deux cartes 3D de l’incomplétude tomographique directement liées à la géométrie intrinsèque du scanner : - la carte vectorielle d’incomplétude tomographique indique à chaque point ^ ∈ Ω, une direction ^^∗^^^ selon laquelle il y a un manque d’information (par exemple la moins bonne direction ^^∗^^^ dans laquelle on a le moins d’information sur ce point en terme de projection) ; et - la carte d’incomplétude tomographique des métriques quantifie ce manque [0066] La figure 5 représente des exemples de cartes 3D de l’incomplétude tomographique où l’espace imagé Ω est un cube. Pour chaque point ^ ∈ Ω, les cartes affichent un cône avec : la direction choisie ^^∗^^^ et une valeur correspondant au manque d’information ^0^{^}^^{^}. Par souci de lisibilité de la représentation, le maillage de l’espace imagé Ω est ici de 3^3 (soit 27 cônes). Un maillage plus fin, par exemple 9^9 est préféré. [0067] La variation du manque d’information ^0^{^}^^{^} est représentée au moyen de nuages de points, lesdits points étant disposés sur les cônes. Plus la valeur de ^0^{^}^^{^} est élevée, plus la densité de points est grande. [0068] En a) de la figure 5, est représenté un cas où la trajectoire source-détecteur T est circulaire. La figure montre que seuls les points sur le plan du cercle de la trajectoire respectent la condition de Tuy. La valeur de l’incomplétude tomographique augmente à mesure que l’on s’éloigne du plan du cercle. Autrement dit, le voxel est de moins en moins reconstructible tomographiquement à mesure que l’on s’éloigne du plan du cercle. [0069] En b) de la figure 5, est représenté un cas où la trajectoire source-détecteur T est hélicoïdale. La figure montre que l’incomplétude tomographique est plus homogène et très faible sur tous les points. Toutes les directions (même la moins bonne direction) restent satisfaisantes pour la reconstruction tomographique. [0070] Le procédé de reconstruction comprend une étape de calcul E4 des termes de régularisation à partir de la carte vectorielle d’incomplétude tomographique et de la carte d’incomplétude tomographique des métriques. Les informations ^^∗^^^ et ^0^{^}^^{^} sont utilisées pour régler les termes de régularisation de la fonction de régularisation. [0071] La régularisation permet de donner un a priori statistique sur l’objet imagé et/ou prendre en compte la géométrie d’acquisition du scanner. [0072] La régularisation est réalisée ici par une approche itérative. Dans cette approche, un problème de minimisation en grandes dimensions est résolu, de manière itérative, pour la reconstruction tomographique. Le problème est ici celui de trouver une approximation %^m de f tel que : où A est la matrice de projection tomographique qui permet de passer du domaine objet au domaine projections. Autrement dit, la matrice A est la transformation permettant de passer de l’espace image à l’espace des données de projections. b sont les données acquises (également appelées sinogramme). ^‖p% − q^‖ est appelée terme d’attache aux données. Le terme d’attache aux données permet de s’assurer que la solution reste proche des mesures effectuées. ^‖f^‖ _&é()*+,-*. est appelé terme de régularisation dont r est un paramètre permettant d’ajuster l’importance de la régularisation vis-à-vis du terme d’attache aux données. La régularisation utilisée est dans l’exemple présenté de type variation totale locale. Le terme de régularisation peut être notée dans ce cas [0073] L’équation ci-dessus impose une condition de régularité permettant de contrôler les divergences de l’algorithme de reconstruction dues aux incohérences des données d’entrée. La condition de régularité constitue une information a priori. [0074] Le terme d’attache aux données peut être par exemple ^‖p% − q^‖. Il s’agit d’une attache aux données faisant l’a priori que le bruit d’acquisition est gaussien. L’attache aux données peut bien entendu être différent. [0075] La fonction de régularisation ‖%‖_&é()*+,-*. peut être notamment la suivante : où ^u^_w,x,y correspond aux différences finies dans différentes directions (par exemple les trois directions (x, y, z)) et j, k, l correspondent à l’indexation pour chaque voxel. g est une fonction qui peut par exemple être 4^^^∗ ^ = z. Les différences sont par exemple calculées de la manière suivante (soustraction de deux voxels voisins) : Bien entendu, des différences finies exploitant un nombre de différent de voxels voisins sont envisageables. [0076] D’autres exemples non limitatifs de la fonction g différents de la norme susmentionnée sont envisageables et listés ci-après : ^_^^₅ ^∗ ,_1,2^;,3 + ^_^^₅ ^∗ ,_1^;,2,3 avec {^_;, ^₉, … }des poids choisis, par exemple selon une distribution gaussienne. [0077] Les termes ^∗ et ^_5,1,2,3 permettent d’introduire des poids dans la régularisation. Ces poids sont adaptés dans les directions de l’espace (indice d) ainsi que pour chaque voxel (indices j, k, l). ^₅ ^∗ ,_1,2,3 donne dans quelle direction on veut plus ou moins régulariser. donne la force de régularisation souhaitée. [0078] Prenons l’exemple d’un voxel pour lequel il existe une différence entre les termes ^_^ ^∗ , ^_^ ^∗ , ^_^ ^∗ selon chacune des trois directions x, y, z. Si l’incomplétude tomographique locale directionnelle ^^^, ^^ du voxel est faible, bien qu’il y ait un effet directionnelle (les termes ^_^ ^∗, ^_^ ^∗, ^_^ ^∗ étant différents), la force globale de régularisation ^0_1,2,3 est fixée de sorte à être faible puisque l’incomplétude ^^{^}^, ^^{^} du voxel est faible. A l’inverse, pour un voxel très peu reconstructible (i.e. pour lequel l’incomplétude tomographique locale directionnelle ^^^, ^^ est forte), la force globale de régularisation est fixée de sorte à être forte et l ^∗ e terme ^_5,1,2,3 permet de mettre une pondération dans les différentes directions. [0079] La régularisation réalisée ici est donc non seulement directionnelle mais en outre locale, c’est-à-dire spécifique à chaque voxel. [0080] La fonction de régularisation ‖%‖_&é()*+,-*.définie ci-avant est donnée à titre d’exemple non limitatif. La fonction de régularisation peut être définie autrement. Par exemple, la fonction de régularisation peut être une adaptation de [Bayram, 2012] à la régularisation locale de l’invention. La fonction de régularisation ‖%‖_&é()*+,-*. peut être notamment la suivante : avec ^ = 4^^₅ ^∗ ,_1,2,3 ^ étant la direction de la régularisation (par exemple 4^^₅ ^∗ ,_1,2,3 ^ = et r étant le facteur d’étirement à [0081] Le procédé de reconstruction selon l’invention comprend en outre une étape de résolution E5 du problème de minimisation exploitant des termes de régularisation calculés. [0082] Le procédé de reconstruction selon l’invention est mis en œuvre par ordinateur. L'ordinateur peut comprendre diverses unités de calcul, de stockage et de communications configurées pour interagir les unes avec les autres. L’ordinateur peut comprendre un processeur, un ou plusieurs périphériques de stockage, une interface d'entrée/sortie et une interface Homme-Machine. L’ordinateur désigne ici tout dispositif ou système informatique pouvant mettre en œuvre le procédé de reconstruction selon l’invention. [0083] L’invention propose un critère de réglage automatique ou semi-automatique des termes de régularisation locaux. Ce critère est basé sur les incomplétudes tomographiques calculées à partir de la géométrie du scanner. La régularisation selon l’invention est particulièrement adaptée dans le cas d’une régularisation de type variation totale directionnelle. Cependant, tout algorithme de reconstruction avec un terme (ou des termes) de régularisation pouvant s’adapter localement est envisageable. [0084] Le principal bénéfice est une meilleure qualité de reconstruction d’image à la fois visuellement et quantitativement. [0085] L’invention permet en outre à la fois de prendre en compte la géométrie du scanner et de construire une régularisation de manière analytique. De plus, cette régularisation fonctionne pour toutes les géométries de scanner. Enfin, l’a priori sur l’objet utilisé dans l’algorithme de reconstruction tomographique est ajusté localement, ce qui le rend plus précis. [0086] L’invention permet d’introduire une régularisation spécifique voxel par voxel qui exploitera l’information directionnelle ainsi que la force de régularisation. La force de régularisation permet de définir le poids de la régularisation par rapport à l’attache aux données qui elle est guidée par les données. Pour une forte incomplétude, un fort poids est donné à la régularisation et un plus faible poids aux données. A l’inverse, pour une faible incomplétude (signifiant que l’objet est fortement reconstructible uniquement avec les données acquises), un fort poids est mis à l’attache aux données tandis qu’un plus faible poids est mis à la régularisation. [0087] Bibliographie [Bayram, 2012] : Bayram and Kamasak 2012, « Directional Total Variation » , IEEE Signal Processing Letters, Vol.19, No.12 [Clackdoyle & Noo, 2020] : Clackdoyle, R., & Noo, F. (2020, January). Quantification of Tomographic Incompleteness in Cone-Beam Reconstruction.4, 63– 80. doi:10.1109/trpms.2019.2918222. [Ding, 2021] : Ding, Q. N. (2021). Deep learning with adaptive hyper- parameters for low-dose CT image reconstruction. IEEE Transactions on Computational Imaging, 7, 648-660. [Gonzalez, 2009] : Gonzalez, A. (2009, November). Measurement of Areas on a Sphere Using Fibonacci and Latitude–Longitude Lattices. Mathematical Geosciences, 42, 49–64. doi:10.1007/s11004-009-9257-x. [Kohavi, 1995] : Kohavi, R. (1995). A study of cross-validation and bootstrap for accuracy estimation and model selection.14, 1137-1145. [Lin & Meikle, 2010] : Lin, J., & Meikle, S. R. (2010, October). Truncated pinhole SPECT: Sufficient sampling criteria and applications. IEEE Nuclear Science Symposuim: Medical Imaging Conference. IEEE. doi:10.1109/nssmic.2010.5874140. [Liu, et al., 2012] : Liu, B., Bennett, J., Wang, G., Man, B. D., Zeng, K., Yin, Z., . . . Yu, H. (2012, April). Completeness map evaluation demonstrated with candidate next-generation cardiac CT architectures. 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Claims

REVENDICATIONS 1. Procédé de reconstruction d’un objet par tomographie à rayons X au moyen de sources ^"_;, "₉, … , "_@^ et de détecteurs ^A_;, A₉, … , A_@^ de rayons X, ledit objet appartenant à un espace imagé (Ω) défini par un ensemble de voxels, ledit procédé comprenant les étapes suivantes : - obtention (E0) des positions des sources et des détecteurs de rayons X ; - pré-calcul (E1) d’un ensemble de directions ; - calcul (E2) d’une carte vectorielle d’incomplétude tomographique comprenant pour chaque voxel un vecteur selon une direction ^ ∗ parmi ledit ensemble de directions ; - calcul (E3) d’une carte d’incomplétude tomographique des métriques ^0^^^ définissant pour chaque voxel une perte d’information selon la direction ^ ∗ ; - calcul (E4) de termes de régularisation à partir de la carte vectorielle d’incomplétude tomographique et de la carte d’incomplétude tomographique des métriques ; et - résolution (E5), de manière itérative, d’un problème de reconstruction tomographique régularisé au moyen des termes de régularisation calculés. 2. Procédé de reconstruction selon la revendication 1, dans lequel le calcul (E2) de la carte vectorielle d’incomplétude tomographique comprend pour chaque voxel de l’espace imagé ^Ω) les sous-étapes de : - sélection (E21) parmi lesdites sources ^"_;, "₉, … , "_@^ d’une source pour chaque direction parmi ledit ensemble de directions ; et - choix (E22) pour chaque source sélectionnée de la direction ^ ∗, la perte d’information définie par la carte d’incomplétude tomographique des métriques ^0^^^ correspondant à la perte d’information selon la direction choisie ^ ∗ par ledit détecteur associé à ladite source sélectionnée. 3. Procédé de reconstruction selon la revendication 2, dans lequel l’étape de calcul (E2) de la carte vectorielle d’incomplétude tomographique comprend une sous-étape préalable de sélection (E20), parmi lesdites sources ^"_;, "₉, … , "_@^, des sources projetant le voxel de l’objet sur leurs détecteurs associés, la source étant sélectionnée parmi les sources projetant le voxel de l’objet sur leurs détecteurs ^A_;, A₉, … , A_@^ associés. 4. Procédé de reconstruction selon la revendication 2 ou la revendication 3, dans lequel la sélection (E21) de ladite source est réalisée par le calcul d’une incomplétude tomographique locale directionnelle ^^^, ^^ ∈ ℝ^{^} selon l’expression ∈ ℝ^!, est la projection d’une source " ^ sur le plan défini par le point ^ du voxel et la direction normale ^. 5. Procédé de reconstruction selon la revendication 4, dans lequel ladite direction choisie est choisie en fonction de l’incomplétude tomographique locale directionnelle ^^{^}^, ^^{^}. 6. Procédé de reconstruction selon la revendication 4 ou la revendication 5, dans lequel ladite direction choisie ^ ∗ est choisie à partir du calcul d’une norme de plusieurs directions (v1, …., vn) pour lesquelles l’incomplétude tomographique locale directionnelle ^^{^}^, ^^{^} est calculée. 7. Procédé de reconstruction selon la revendication 6, dans lequel ladite norme est la norme Lp pour p ∈ [1 ;+∞], p étant de préférence égal à +∞. 8. Procédé de reconstruction selon la revendication 4 ou la revendication 5, dans lequel ladite direction choisie ^ ∗ est choisie à partir du calcul d’une moyenne pondérée de plusieurs directions (v1, …., vn) pour lesquelles l’incomplétude tomographique locale directionnelle ^^{^}^, ^^{^} est calculée. 9. Procédé de reconstruction selon l’une des revendications 1 à 8, dans lequel les termes de régularisation sont calculés pour une fonction de régularisation ‖%‖_&é()*+,-*. suivante : où ^u₈^_1,2,3 correspond aux différences finies dans différentes directions, j, k, l correspondant à l’indexation pour chaque voxel, et d à la direction de la différence finie. 10. Procédé de reconstruction selon la revendication 9, dans lequel la fonction de régularisation ‖%‖_&é()*+,-*. est de type variation totale directionnelle.