EP1573668A2 - Procede permettant d expliquer une decision prise par un mod ele d agregation multicritere compensatoire - Google Patents

Procede permettant d expliquer une decision prise par un mod ele d agregation multicritere compensatoire

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Publication number
EP1573668A2
EP1573668A2 EP03796046A EP03796046A EP1573668A2 EP 1573668 A2 EP1573668 A2 EP 1573668A2 EP 03796046 A EP03796046 A EP 03796046A EP 03796046 A EP03796046 A EP 03796046A EP 1573668 A2 EP1573668 A2 EP 1573668A2
Authority
EP
European Patent Office
Prior art keywords
alternative
criteria
decision
model
explanation
Prior art date
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Ceased
Application number
EP03796046A
Other languages
German (de)
English (en)
Inventor
Christophe Labreuche
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
Thales SA
Original Assignee
Thales SA
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Thales SA filed Critical Thales SA
Publication of EP1573668A2 publication Critical patent/EP1573668A2/fr
Ceased legal-status Critical Current

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Classifications

    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING OR CALCULATING; COUNTING
    • G06N—COMPUTING ARRANGEMENTS BASED ON SPECIFIC COMPUTATIONAL MODELS
    • G06N5/00—Computing arrangements using knowledge-based models
    • G06N5/04—Inference or reasoning models
    • G06N5/048—Fuzzy inferencing
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING OR CALCULATING; COUNTING
    • G06N—COMPUTING ARRANGEMENTS BASED ON SPECIFIC COMPUTATIONAL MODELS
    • G06N7/00—Computing arrangements based on specific mathematical models
    • G06N7/02—Computing arrangements based on specific mathematical models using fuzzy logic

Definitions

  • the present invention relates to a method for explaining a decision taken by a compensatory multi-criteria aggregation model.
  • Decision support tools or methods are based on mathematical models that represent the knowledge of experts or decision-makers.
  • the decision-making model is determined by interview with the experts, then executed to provide recommendations. It is therefore crucial in this second phase of operating the model that the recommendations determined through the model be explained to the expert.
  • the term "alternative" is used in the present description within the meaning of one of the possibilities offered by a choice.
  • the present invention relates more particularly to the operating phase of the model and in particular to the explanation of the recommendations determined through the model.
  • the difficulty is to generate relevant, complete explanations that are comprehensible to the expert.
  • Certain software for example Which & Why sold by the American company Arlington Software Corp.
  • the expert has the possibility of seeing how the data (which he provided for determining the parameters) is sensitive to the value of the parameters, and conversely of studying how a variation on the parameters affects the comparisons between different alternatives. In doing so, the expert is convinced of the relevance of the model. He will then trust this model perfectly, and he will therefore apply it with confidence. It will not need an explanation each time the model is run.
  • the argument thus generated only gives more or less terms present in the aggregation function.
  • the complexity of the argument depends only on the wish of the expert, whereas it should depend on the margin which one has on the decision taken. Indeed, if the decision is made without question, it is not worth going into the explanation. Conversely, if the decision is taken justifiably, the arguments must be provided more. In addition, no analysis of the factors that are really behind the decision is made in this method. This approach is considered largely insufficient to provide a relevant and satisfactory explanation for an expert.
  • the subject of the present invention is a method for explaining a decision taken by a compensatory multi-criteria aggregation model, for which the complexity of the argument depends on how the decision is made, the explanations having to be relevant and satisfactory. for the user and for the expert.
  • the method according to the invention is a method for explaining to a user a decision taken using a compensatory multi-criteria aggregation model, according to which a unique compensatory multi-criteria aggregation model is established for the application. considered, described by a certain number of phenomena and reproducing a determined expertise, and according to a first characteristic of the invention, reference is not made in the explanation to the specifics of the aggregation model if the decision taken had been the even by replacing the aggregation model with any other close model, that, if this is not the case, the aggregation model is simplified more and more by taking into account less and less phenomena as long as the decision taken remains the same, and an explanation is then restored to the user based solely on the compensation phenomena present in the simplest model previously nt determined.
  • the explanation to be provided for the simplified model is obtained by comparison with a model even simpler aggregation but leading to a decision that does not conform to the single model.
  • the decision consists in choosing one alternative from two, then the model is evaluated for these two alternatives, the result of the decision being to choose the alternative with the highest score, and we explain this decision.
  • the aggregation model comprises several nested simplification levels and represented by a series of comparison functions M 1 , ..., M p between the two alternatives, the function -Vf 'includes all the compensation phenomena present in M ⁇ 1 plus others, the function M p represents the comparison with the initial aggregation model and includes all the possible compensation phenomena, the function M 1 does not include any compensation phenomenon specific to the aggregation model, if M 1 provides the same decision as the aggregation model, the explanation to be provided does not refer to the specifics of the aggregation model, and if not, the explanation is based on the function M q such that M q provides the same decision as the aggregation model and the preceding comparison functions M 1 -Vf ⁇ provide the opposite decision.
  • the explanation of the decision taken by the comparison function M 4 is done by comparison with a comparison function M i , with j ⁇ q, more simplified but providing the wrong decision, the phenomena of compensation used in the explanation are those contained in M q but not contained in M 1 , and to determine among these phenomena those which really counted in the decision taken, behaviors are gradually added to M J until the decision made is consistent with the single model.
  • the aggregation model corresponds to a weighted sum or a 2-additive Choquet integral.
  • the first comparison function M 1 indicates that an alternative is preferred to a second if the first alternative is better than the second according to all the criteria
  • the second comparison function M 2 corresponds to the comparison by an arithmetic mean
  • the third comparison function M 3 contains only the phenomena of importance of the criteria
  • the fourth comparison function M 4 contains all the phenomena of importance and d interaction between criteria
  • the decision to be taken consists in evaluating an alternative, in evaluating the model for this alternative and in explaining this evaluation.
  • the set of evaluations is divided into 2m + 1 ordered levels Nm N 0 N m , the level Nm is the worst, the level No is average, that is to say ni good or bad, N m is the best level, each level is characterized by a minimum value and a maximum value, we determine for the alternative the level N k corresponding to its evaluation by the model, we explain why the alternative is preferred to an alternative whose values following all the criteria are equal to the minimum value of level Nk by applying one of the characteristics 2 to 7, and it is explained why the alternative is less well preferred to an alternative whose values according to all the criteria are equal to the maximum value of the level N k by applying the one of characteristics 2 to 7.
  • the alternative when k> 0, it is indicated that "the alternative is N k " by applying one of the characteristics 2 to 7 to the comparison between the alternative and an alternative whose values according to all the criteria are equal to the minimum value of the level N k , and it is indicated that "the alternative is not N k + 1 " by applying one of the characteristics 2 to 7 to the comparison between the alternative and an alternative whose values according to all the criteria are equal to the maximum value of the level N k .
  • the alternative when k ⁇ 0, it is indicated that "the alternative is N k " by applying one of the characteristics 2 to 7 to the comparison between the alternative and an alternative whose values according to all the criteria are equal to the maximum value of the level N k , and it is indicated that "the alternative is not N k _ ⁇ " by applying one of the characteristics 2 to 7 to the comparison between the alternative and an alternative whose values according to all the criteria are equal to the minimum value of the level N k .
  • FIG. 1 is a diagram of a classic example of modeling by fuzzy sets making it possible to explain the degree of belonging to a level of an alternative
  • FIG. 2 is a representation by a non-fuzzy set of the example of FIG. 1, and
  • FIG. 3 is a simplified diagram of description of an application example to which the invention refers.
  • the approach according to the invention consists in simplifying the decision model as long as the decision taken remains the same. This makes it possible to determine the elementary phenomena of decision which are really at the origin of the decision taken. More precisely, the invention proposes, from the elementary phenomena making up the decision-making model, a series of models comprising more and more elementary phenomena. The former has none and the latter has them all. We then look for the smallest model leading to the same decision as the complete model. Thus, during the generation of explanations, we will only base our on the elementary phenomena in this smaller model. This approach is directly applied to generate the explanation for the comparison between two alternatives.
  • the utility functions are therefore used to be able to compare given values from different points of view.
  • the number u ⁇ (x /) corresponds to the degree of satisfaction that the expert gives to the alternative concerning only the point of view X /.
  • the aggregation function F therefore aggregates the degrees of satisfaction of an alternative according to the different points of view, and returns the overall degree of satisfaction.
  • a function F of [0.1] n in [0.1] is said to be aggregation if it satisfies two elementary properties: growth (if for all / we have £ x /, then F (y) ⁇ F (x)) and compensation (i.e.
  • Phase 1 Formalization of the criteria. A certain number of software programs make it possible to determine the utility functions u ⁇ (“Expert Choice”, “Crottirium Décision Plus”, “MACBETHmay”). ⁇ Phase 2: Determination of the aggregation function: Many software and techniques make it possible to determine the aggregation function F when the latter is a weighted sum: "Expert Choice”, “Crottirium Décision Plus”, “MACBETH ribs", “TOPSIS”, “DESCRIPTOR”. The restriction to a weighted sum does not make it possible to model the slightly fine decision strategies.
  • xi the score of the action x according to the criterion i.
  • the score x. corresponds to the degree of satisfaction of the alternative x concerning the point of view N ° i.
  • the coefficient ai represents the importance of criterion i in the overall assessment.
  • the weighted sum is the simplest compensatory aggregation function. It only models the relative importance of the criteria between them. Other very important phenomena are also present in the aggregation of criteria. It is mainly about the interaction between criteria. There are two types of interaction. The first type of interaction is said to be positive and corresponds to an intolerant expert. The latter is satisfied if several criteria are satisfied at the same time. He doesn't want there to be any weaknesses. This way of aggregating corresponds to the min function: the overall score is the lowest among the scores.
  • the second type of interaction is said to be negative and corresponds to a tolerant expert. For it to be satisfied, it is sufficient that only one criterion is well satisfied. It does nothing to be good according to several criteria at the same time. This way of aggregating corresponds to the max function: the overall score is the largest among the scores. These two attitudes of tolerance and intolerance are extreme. Most cases correspond to a combination of attitudes of this type applied to a subset of criteria.
  • F (x) a ⁇ X ⁇ + ... + a researchXn + b ⁇ , 2min (x 1 , x 2 ) + ... + bn- ⁇ l n in (x n - ⁇ , Xn) + c ⁇ , 2 max ( x ⁇ , x 2 ) + ... + Cn- ⁇ , n max (xn- ⁇ , Xn) where each coefficient is between 0 and 1, and their sum is 1: a ⁇ + ... + a n + b ⁇ . 2 + ... + b t> . ⁇ , r ⁇ + C ⁇ , 2 + ...
  • the process of the invention is based on the following three principles: the aggregation operator by a wide variety of other aggregation operators.
  • the third principle then consists in explaining why M ' k (x, y) ⁇ 0 while M J k (x, y) ⁇ 0, for / ⁇ /, provide opposite decisions.
  • j i-1.
  • M 1 k (x, y) ⁇ 0 if for all /, we have ax / ⁇ y /.
  • the third approximation is C 1 p (x) -C 1 ⁇ (y), where C 1 ⁇ is a weighted sum.
  • the indices k therefore materialize the phenomena of importance of the criteria.
  • Lemma 1 Let Ae ⁇ . We denote by p the number of elements of A. Then there exists at least one np tuple of distinct criteria two by two noted c ⁇ , ..., C n -p such as A ⁇ c ⁇ e ⁇ , Au ⁇ c., C 2 ⁇ - ⁇ , ....
  • Lemma 2 Let Ae ⁇ be minimal. So necessarily, ⁇ y / for all / Atel that vi> 1 / n, and X;>y; for all feAtel that vt ⁇ 1 / n. In other words, if Ae ⁇ is minimal, then the criteria of A for which y is better than x are important (ie vj> 1 / n), while the criteria of A for which x is better than y are unimportant (ie vr ⁇ 1 / n). So we find exactly the intuition given above. The previous lemma is essential because it allows to generate a complete and very simple explanation.
  • Case 4b We consider all cases not previously treated. - If C ⁇ (x) - C 1 ⁇ (y) ⁇ C ⁇ (x) - C 2 ⁇ (y) ⁇ 0, then the decision made with the Shapley operator is more clear cut than with the 2-additive model. We then begin by explaining why C ⁇ (x) - C 1 ⁇ (y) ⁇ 0. We then use what was done in case 3. Next, we must explain why the 2-additive model gives a less clear-cut decision. The explanation to be provided is therefore: c. y is preferred to x since .... This was partially mitigated by the fact that ... "where the first" ...
  • Y is preferred to x since y is on average better than. This has been amplified by the fact that y is better than x on the criteria A nl _ ⁇ which are important, while y is less good than x on the criteria A n T which are not important.
  • Sub-case 3b S (x) -S (y) “C ⁇ (x) - C ⁇ (y) ⁇ 0
  • S (x) ⁇ S (y) and C ⁇ (x) ⁇ C ⁇ (y) and S (x ) -S (y) ⁇ (1 + ⁇ .) (C ⁇ (x) - C ⁇ (y)) the decision is less clear cut with the Shapley operator than with the arithmetic mean.
  • ⁇ [(C ⁇ (x) -C ⁇ (y)) + (S (x) -S (y))] / 2.
  • ⁇ ⁇ C ⁇ (x) -C ⁇ (y).
  • n + 1 1 +
  • , n "
  • + [ ⁇ - 6 ⁇ +
  • " [ ⁇ Iel _
  • S ⁇ (x) ⁇ ⁇ .x ⁇ .
  • Lemma 7 We have, ⁇ [0,1] if and only if
  • C ⁇ A (x) ⁇ i ⁇ A v; X / + ⁇ eA ⁇ i.
  • Lemma 8 Let A ⁇ be minimal. Then necessarily, x ⁇ y / for all / ⁇ A such that v> ⁇ , and xj> y ⁇ for all / ⁇ A such that v / ⁇ . In order to be able to interpret the relations v /> ⁇ and v / ⁇ , we have the following lemma: Lemma 9: Under the condition S (x) - S (y) ⁇ - ⁇ , we have ⁇ > 1 / n and ⁇ ⁇ 1 / n.
  • the score of x on the criterion is penalized by a worse score according to the criterion ji (the criteria U and j ⁇ must be satisfied every two), ..., the score of x on the criterion i p is penalized by a worse score according to the criterion j p (the criteria i p and j p must both be satisfied), the score of y on the criterion ki was saved by a better score on the criterion (it suffices to satisfy one of the two criteria ki or li) the score of y on the criterion k q was saved by a better score on the criterion l q (it suffice to satisfy one of the two criteria k q or l q ), x is worse than y on the criteria Anl ⁇ n D + which are important, and x is better than y on the criteria AnPn D + which are not important .
  • the global explanation can be structured in several points (for example explaining why M ' k (x, y) ⁇ 0 while M J k (x, y) ⁇ 0, then explaining why M J k (x, y) ⁇ 0).
  • Each point can refer to several arguments.
  • the problem that arises is first of all to organize the arguments in the right order (so that it is logical and understandable by a user), and then to build the general explanation by putting the right words of connection between the different arguments. To do this, we store the arguments one after the other in a stack. For each argument, we indicate in addition to which argument it comes, and if it goes in the same direction or in the opposite direction to this argument.
  • S (X) -S (Y) 0.08, -0.11. We therefore have globally Y> X.
  • Y is preferred to X since the score of X on criterion 0 is penalized by a worse score on criterion 1 (criteria 0 and 1 must both be satisfied). This was amplified by the fact that X is better than Y on criterion 4 which is not very important. However, this has been partially mitigated by the fact that X is on average better than Y. ”
  • Pri 0.367; Dry: 0.216; East: 0.121; Pui: 0.254; Con: 0.042
  • PUI is penalized by a worse score on the PRI criterion (the PUI and PRI criteria must both be satisfied) and Y is better than X on the PRI criterion which is important.
  • X is preferred to Y since X is on average better than Y. This has been amplified by the fact that X is better than Y on the PRI criterion which is important. However, this was partially mitigated by the fact that the score of X on the PRI criterion is penalized by a worse score on the SEC criterion (the PRI and SEC criteria must both be satisfied). »Explanations of the overall score of x.

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Abstract

Le procédé conforme à l'invention est un procédé permettant d'expliquer une décision prise par un modèle d'agrégation multicritère compensatoire, selon lequel on établit un modèle d'agrégation multicritère compensatoire unique pour l'application considérée, décrit par un certain nombre de phénomènes et reproduisant une expertise déterminée, et il est caractérisé par le fait que l'on ne fait pas référence dans l'explication aux spécificités du modèle d'agrégation si la décision prise avait été la même en remplaçant le modèle d'agrégation par tout autre modèle proche, que, si tel n'est pas le cas, l'on simplifie le modèle d'agrégation en prenant en compte de moins en moins de phénomènes tant que la décision prise reste la même, et que l'on restitue à l'expert une explication basée uniquement sur les phénomènes de compensation présents dans le modèle le plus simple précédemment déterminé.

Description

Procédé permettant d'expliquer une décision prise par un modèle d'agrégation multicritère compensatoire
La présente invention se rapporte à un procédé permettant d'expliquer une décision prise par un modèle d'agrégation multicritère compensatoire. Les outils ou méthodes d'aide à la décision reposent sur des modèles mathématiques permettant de représenter la connaissance des experts ou décideurs. Dans le processus global d'aide à la décision, le modèle décisionnel est déterminé par interview avec les experts, puis exécuté pour fournir des préconisations. Il est alors crucial dans cette seconde phase d'exploitation du modèle que les préconisations déterminées au travers du modèle soient expliquées à l'expert. On se place dans le cadre d'un problème de décision multicritère, c'est-à-dire consistant à modéliser les préférences qu'un expert peut avoir entre différentes alternatives, ces alternatives étant décrites par différents attributs ou points de vue. Le terme « alternative » est utilisé dans la présente description au sens de l'une des possibilités offertes par un choix. Prendre en compte tous les points de vue en même temps demande de faire des compromis entre les critères bien satisfaits et les critères moins bien satisfaits. Cette recherche de compromis demande l'utilisation de modèles décisionnels compensatoires. Les modèles sont compensatoires dans le sens où des critères bien satisfaits compensent des critères mal satisfaits. Les modèles compensatoires se basent sur l'utilisation d'opérations arithmétiques permettant de combiner des phénomènes élémentaires de décision.
La présente invention se rapporte plus particulièrement à la phase d'exploitation du modèle et en particulier à l'explication des préconisations déterminées au travers du modèle. La difficulté est de générer des explications pertinentes, complètes et qui soient compréhensibles pour l'expert. Certains logiciels (par exemple Which & Why commercialisé par la société américaine Arlington Software Corp.) permettent de réaliser des traitements sur le modèle décisionnel une fois qu'il a été déterminé. Ils se concentrent sur une analyse de sensibilité des paramètres du modèle décisionnel. L'expert a la possibilité de constater comment les données (qu'il a fournies pour la détermination des paramètres) sont sensibles à la valeur des paramètres, et inversement d'étudier comment une variation sur les paramètres affecte les comparaisons entre différentes alternatives. Ce faisant, l'expert se persuade de la pertinence du modèle. Il fera ensuite parfaitement confiance à ce modèle, et il l'appliquera donc en toute confiance. Il n'aura pas besoin d'une explication à chaque exécution du modèle.
Toutefois, dans les systèmes d'aide à la décision, l'utilisateur n'est pas forcément l'expert avec qui le modèle a été établi. Il est donc nécessaire de générer une explication dans la phase d'exploitation du modèle. Dans ce cas, les logiciels précédemment mentionnés ne sont pas suffisants et ne répondent à ce problème.
Il existe dans le domaine de l'Intelligence Artificielle un courant concernant l'argumentation. Cela concerne principalement l'agencement de différents arguments (positifs ou négatifs) afin de convaincre un utilisateur. Certains travaux portent sur l'explication d'un modèle d'agrégation compensatoire du type somme pondérée (cf. J.Mont ain, A. Akharraz, G. Mauris « Knowledge management as a support for collective decision-making and argumentation processes » IP U 2002, pp. 91-98, Annecy, France). Leur méthode consiste uniquement à générer, parmi l'ensemble des termes présents dans le modèle d'agrégation, les k termes de plus grand module, où k est directement lié au degré de précision souhaité par l'expert (par exemple, /c=1 si l'expert ne souhaite que très peu d'information). L'argumentation ainsi générée ne fait que redonner plus ou moins de termes présents dans la fonction d'agrégation. La complexité de l'argumentation (le nombre k de termes utilisés) dépend uniquement du souhait de l'expert, alors qu'elle devrait dépendre de la marge que l'on a sur la décision prise. En effet, si la décision est prise sans conteste, ce n'est pas la peine de s'étendre sur l'explication. A l'opposé, si la décision est prise de justesse, l'argumentation devra être plus fournie. De plus, aucune analyse des facteurs qui sont réellement à l'origine de la décision prise n'est faite dans cette méthode. Cette approche est estimée largement insuffisante pour foumir une explication pertinente et satisfaisante pour un expert.
La présente invention a pour objet un procédé permettant d'expliquer une décision prise par un modèle d'agrégation multicritère compensatoire, pour lequel la complexité de l'argumentation soit fonction de la façon dont est prise la décision, les explications devant être pertinentes et satisfaisantes pour l'utilisateur et pour l'expert.
Le procédé conforme à l'invention est un procédé permettant d'expliquer à un utilisateur une décision prise à l'aide d'un modèle d'agrégation multicritère compensatoire, selon lequel on établit un modèle d'agrégation multicritère compensatoire unique pour l'application considérée, décrit par un certain nombre de phénomènes et reproduisant une expertise déterminée, et selon une première caractéristique de l'invention, l'on ne fait pas référence dans l'explication aux spécificités du modèle d'agrégation si la décision prise avait été la même en remplaçant le modèle d'agrégation par tout autre modèle proche, que, si tel n'est pas le cas, l'on simplifie de plus en plus le modèle d'agrégation en prenant en compte de moins en moins de phénomènes tant que la décision prise reste la même, et l'on restitue alors à l'utilisateur une explication basée uniquement sur les phénomènes de compensation présents dans le modèle le plus simple précédemment déterminé.
Selon une deuxième caractéristique de l'invention, l'explication à fournir pour le modèle simplifié s'obtient par comparaison avec un modèle d'agrégation encore plus simple mais amenant à une décision non conforme au modèle unique.
Selon une troisième caractéristique de l'invention, la décision consiste à choisir une alternative parmi deux, puis on évalue le modèle pour ces deux alternatives, le résultat de la décision étant de choisir l'alternative de plus fort score, et l'on explique cette décision.
Selon une quatrième caractéristique de l'invention, le modèle d'agrégation comporte plusieurs niveaux de simplification emboîtés et représentés par une suite de fonctions de comparaison M1,..., M p entre les deux alternatives, la fonction -Vf ' comporte tous les phénomènes de compensation présents dans Mμ1 plus d'autres, la fonction M p représente la comparaison avec le modèle d'agrégation initial et comporte l'ensemble des phénomènes de compensation possibles, la fonction M1 ne comporte aucun phénomène de compensation spécifique au modèle d'agrégation, si M1 fournit la même décision que le modèle d'agrégation, l'explication à fournir ne fait pas référence aux spécificités du modèle d'agrégation, et dans le cas contraire, l'explication se base sur la fonction M q telle que M q fournit la même décision que le modèle d'agrégation et les fonctions de comparaison précédentes M1 -Vf ^ fournissent la décision opposée.
Selon une cinquième caractéristique de l'invention, l'explication de la décision prise par la fonction de comparaison M 4 se fait par comparaison avec une fonction de comparaison M i , avec j<q, plus simplifiée mais fournissant la mauvaise décision, les phénomènes de compensation utilisés dans l'explication sont ceux contenus dans M q mais non contenus dans M1, et pour déterminer parmi ces phénomènes ceux qui ont vraiment compté dans la décision prise, on rajoute progressivement des comportements à M J jusqu'à ce que la décision prise soit conforme au modèle unique. Selon une sixième caractéristique de l'invention, le modèle d'agrégation correspond à une somme pondérée ou une intégrale de Choquet 2-additive.
Selon une septième caractéristique de l'invention, il y a quatre fonctions de comparaison, la première fonction de comparaison M1 indique qu'une alternative est préférée à une seconde si la première alternative est meilleure que la seconde suivant tous les critères, la deuxième fonction de comparaison M2 correspond à la comparaison par une moyenne arithmétique, la troisième fonction de comparaison M3 ne contient que les phénomènes d'importance des critères, la quatrième fonction de comparaison M4 contient l'ensemble des phénomènes d'importance et d'interaction entre critères, si la première fonction de comparaison donnant la décision conforme au modèle unique est M3, alors on détermine les phénomènes à mettre dans l'explication par comparaison avec M2, et si la première fonction de comparaison donnant la décision conforme au modèle unique est M4, alors on détermine les phénomènes de compensation à inclure dans l'explication par comparaison avec M2.
Selon une huitième caractéristique de l'invention, la décision à prendre consiste à évaluer une alternative, à évaluer le modèle pour cette alternative et à expliquer cette évaluation.
Selon une neuvième caractéristique de l'invention, l'ensemble des évaluations est découpé en 2m+1 niveaux ordonnés N-m N0 Nm, le niveau N-m est le plus mauvais, le niveau No est moyen, c'est-à-dire ni bon ni mauvais, Nm est le meilleur niveau, chaque niveau est caractérisé par une valeur minimale et une valeur maximale, on détermine pour l'alternative le niveau Nk correspondant à son évaluation par le modèle, on explique pourquoi l'alternative est préférée à une alternative dont les valeurs suivant tous les critères sont égales à la valeur minimale du niveau Nk en appliquant l'une des caractéristiques 2 à 7, et l'on explique pourquoi l'alternative est moins bien préférée à une alternative dont les valeurs suivant tous les critères sont égales à la valeur maximale du niveau Nk en appliquant l'une des caractéristiques 2 à 7.
Selon une dixième caractéristique de l'invention, lorsque k>0, l'on indique que « l'alternative est Nk » en appliquant l'une des caractéristiques 2 à 7 à la comparaison entre l'alternative et une altemative dont les valeurs suivant tous les critères sont égales à la valeur minimale du niveau Nk, et l'on indique que « l'alternative n'est pas Nk+1 » en appliquant l'une des caractéristiques 2 à 7 à la comparaison entre l'alternative et une alternative dont les valeurs suivant tous les critères sont égales à la valeur maximale du niveau Nk.
Selon une onzième caractéristique de l'invention, lorsque k<0, l'on indique que « l'alternative est Nk » en appliquant l'une des caractéristiques 2 à 7 à la comparaison entre l'alternative et une alternative dont les valeurs suivant tous les critères sont égales à la valeur maximale du niveau Nk, et l'on indique que « l'alternative n'est pas Nk_ι » en appliquant l'une des caractéristiques 2 à 7 à la comparaison entre l'alternative et une alternative dont les valeurs suivant tous les critères sont égales à la valeur minimale du niveau Nk.
Selon une douzième caractéristique de l'invention, lorsque k=0, l'on indique que « l'alternative n'est pas Ni » en appliquant l'une des l'une des caractéristiques 2 à 7 à la comparaison entre l'alternative et une alternative dont les valeurs suivant tous les critères sont égales à la valeur maximale du niveau N0, et l'on indique que « l'alternative n'est pas N-ι » en appliquant l'une des l'une des caractéristiques 2 à 7 à la comparaison entre l'alternative et une alternative dont les valeurs suivant tous les critères sont égales à la valeur minimale du niveau N0. La présente invention sera mieux comprise à la lecture de la description détaillée d'un mode de mise en oeuvre, pris à titre d'exemple non limitatif et illustré par le dessin annexé, sur lequel :
- la figure 1 est un diagramme d'un exemple classique de modélisation par des ensembles flous permettant d'expliquer le degré d'appartenance à un niveau d'une alternative,
- la figure 2 est une représentation par un ensemble non flou de l'exemple de la figure 1 , et
- la figure 3 est un diagramme simplifié de description d'un exemple applicatif auquel se réfère l'invention.
Deux problèmes sont traités ici : l'explication de la comparaison entre deux alternatives, et l'explication du score global d'une alternative. L'approche selon l'invention consiste à simplifier le modèle décisionnel tant que la décision prise reste la même. Cela permet de déterminer les phénomènes élémentaires de décision qui sont réellement à l'origine de la décision prise. De manière plus précise, l'invention propose, à partir des phénomènes élémentaires composant le modèle décisionnel, une suite de modèles comportant de plus en plus de phénomènes élémentaires. Le premier n'en comporte aucun et le dernier les comporte tous. On cherche alors le plus petit modèle amenant à la même décision que le modèle complet. Ainsi, lors de la génération des explications, on ne se basera que sur les phénomènes élémentaires dans ce plus petit modèle. Cette approche est directement appliquée pour générer l'explication de la comparaison entre deux alternatives. Concernant l'explication du score global d'une altemative, on se ramène à deux comparaisons entre alternatives, par découpage de l'ensemble des scores possibles en une partition de niveaux (par exemple Très Bon, Bon, Moyen, Mauvais, Très Mauvais). Après détermination du niveau auquel appartient l'alternative, les deux comparaisons consistent à expliquer pourquoi l'alternative n'appartient ni au niveau juste supérieur, ni au niveau juste inférieur. Par exemple, pour une alternative x qui est jugée Bonne, on veut expliquer pourquoi x n'est ni Moyen, ni Très Bon.
On décrit maintenant rapidement la théorie de la décision multicritère. Il s'agit de modéliser la relation de préférence notée que les experts peuvent avoir sur les alternatives. L'aspect multicritère provient du fait que les alternatives sont décrites par différents points de vue à prendre en compte. Plus précisément, nous proposons d'utiliser la théorie de l'utilité multi-attribut (R.L. Keeney and H. Raiffa, « Décision with Multiple Objectives », Wiley, New York, 1976). Il s'agit de modéliser la relation de préférence sur les résultats des élèves par une utilité globale (score global) : y±x <=> U(y ) ≥ ϋ(x)
A chaque alternative x, est donc associée une utilité globale U(x) qui traduit le degré de préférence que l'expert accorde à x. Pour décrire la théorie de l'utilité multi-attribut, on suppose que l'on dispose de n points de vue , ,..., Xn décrivant les différents aspects à prendre en compte pour évaluer un élève. La fonction d'utilité globale U est prise sous la forme suivante : U(x) = F(u1(x1),...,uπ(xn)) où F est la fonction d'agrégation et les ι/ι sont les fonctions d'utilité. Les n points de vue étant donnés dans des unités de mesure différentes, les fonctions d'utilité servent à passer à une échelle unique C de commensurabilité. Les fonctions d'utilité servent donc à pouvoir comparer des valeurs données suivant différents points de vue. L'échelle C est un intervalle de 91 (typiquement C=[0,1]). Le nombre uι(x/) correspond au degré de satisfaction que l'expert accorde à l'alternative concernant uniquement le point de vue X/. La fonction d'agrégation F agrège donc les degrés de satisfaction d'une alternative suivant les différents points de vue, et retourne le degré de satisfaction global. On rappelle qu'une fonction F de [0,1]n dans [0,1] est dite d'agrégation si elle satisfait deux propriétés élémentaires : croissance (si pour tout / on a y£x/, alors F(y)≥F(x)) et compensation (c'est à dire mini yι ≤ F(y) ≤ maxi y!). Pour déterminer entièrement le modèle, on passe par les deux phases suivantes : a Phase 1 : Formalisation des critères. Un certain nombre de logiciels permettent de déterminer les fonctions d'utilité uι (« Expert Choice », « Critérium Décision Plus », « MACBETH poids »). α Phase 2 : Détermination de la fonction d'agrégation : De nombreux logiciels et techniques permettent de déterminer la fonction d'agrégation F lorsque cette dernière est une somme pondérée : « Expert Choice », « Critérium Décision Plus », « MACBETH côtes », « TOPSIS », « DESCRIPTOR ». La restriction à une somme pondérée ne permet pas de modéliser les stratégies un peu fines de décision.
Pour pallier cela, l'intégrale de Choquet (G. Choquet, « Theory of capacities », Annales de l'Institut Fouήer, No 3, PP. 131-295, 1953) a été introduite comme fonction d'agrégation. Elle permet de modéliser l'importance des critères, l'interaction entre critères et les stratégies typiques de décision (veto, faveur, tolérance, intolérance) (M. Grabisch, « The application of fuzzy intégrais in multicήteria décision making », Europ. J. of Operationnal Research, No 89, PP. 445-456, 1996). Plusieurs méthodes permettent de déterminer les paramètres de l'intégrale de Choquet à partir de données d'apprentissage fournies par l'expert : on peut mentionner une méthode heuristique (M. Grabisch, « A new algo thm for identifying fuzzy measures and its application to pattern recignition », dans Int. Fuzzy Engeneering Symposium, PP 145-150, Yokohama, Japan, 1995), et une méthode linéaire (J.L. Marichal, M.
Roubens, « Dependence between criteria and multple criteria décision aid », dans 2πd Int. Workshop on Préférences and Décisions, PP. 69-75, Trento, Italy, 1998).
La description ci-dessus concerne le cas où tous les points de vue sont agrégés au même niveau. Néanmoins, lorsque le nombre de points de vue devient assez important, on réalise dans la pratique plusieurs niveaux d'agrégation en cascade. Dans ce cas, on génère une explication en cascade à chaque niveau, en commençant par le niveau le plus haut.
Une fois que le modèle décisionnel est déterminé, les deux problèmes traités se décrivent sous la forme suivante : expliquer pourquoi une alternative « y » est meilleure qu'une alternative « x » d'après le modèle, c'est à dire U(x)<U(y), et expliquer le score global U(x) d'une alternative x d'après le modèle.
On décrit maintenant plus précisément un cas particulier de l'intégrale de Choquet connnu sous le nom d'intégrale de Choquet 2-additive. Bien entendu, cette fonction d'agrégation multicritère n'est pas la seule possible dans le cadre de l'invention. On suppose que l'on dispose de n critères que l'on désire synthétiser pour obtenir une évaluation globale. On suppose que ces critères sont déjà rendus commensurables grâce à l'introduction de fonctions d'utilité. Autrement dit, les scores suivant chaque critère sont donnés directement dans l'intervalle [0,1] des nombres compris entre 0 et 1. Tout autre intervalle est parfaitement envisageable. On aurait pu aussi bien prendre n'importe quelle intervalle de 9t. Ces scores correspondent à un degré de satisfaction. Par exemple, le score 0,6 correspond à un degré de satisfaction plutôt bon. On note xi le score de l'action x suivant le critère i. Le score x. correspond au degré de satisfaction de l'alternative x concernant le point de vue N° i. La large majorité des modèles d'agrégation utilisés dans la pratique correspondent à une somme pondérée : où chaque coefficient ai est compris entre 0 et 1, et leur somme vaut 1 : aι+...+a„ =1. Le coefficient ai représente l'importance du critère i dans l'évaluation globale. La condition aι+...+an =1 implique que H(t,...t)=t pour tout nombre t. Si le nombre t correspond par exemple au niveau bon (typiquement t=0.7), cette relation signifie qu'une alternative qui est jugée bonne suivant tous les critères est jugée globalement bonne. Ceci traduit l'idée de commensurabilité. La somme pondérée est la fonction d'agrégation compensatoire la plus simple. Elle ne permet de modéliser que l'importance relative des critères entre eux. D'autres phénomènes très importants sont aussi présents dans l'agrégation de critères. Il s'agit principalement de l'interaction entre critères. Il y a deux types d'interaction. Le premier type d'interaction est dit positif et correspond à un expert intolérant. Ce dernier est satisfait si plusieurs critères sont satisfaits en même temps. Il ne veut pas qu'il y ait de points faibles. Cette manière d'agréger correspond à la fonction min : le score global est le plus petit parmi les scores. Le second type d'interaction est dit négatif et correspond à un expert tolérant. Pour qu'il soit satisfait, il suffit qu'un seul critère soit bien satisfait. Cela n'apporte rien d'être bon suivant plusieurs critères en même temps. Cette manière d'agréger correspond à la fonction max : le score global est le plus grand parmi les scores. Ces deux attitudes de tolérance et d'intolérance sont extrêmes. La plupart des cas correspondent à une combinaison d'attitudes de ce type appliquée à un sous-ensemble de critères. En se limitant à des interactions entre couples de critères, on obtient :
F(x) = aιXι+...+a„Xn + bι,2min(x1,x2)+...+bn-ιln in(xn-ι,Xn) + cι,2max(xι ,x2)+...+Cn-ι,nmax(xn-ι ,Xn) où chaque coefficient est compris entre 0 et 1, et leur somme vaut 1 : aι+...+an + bι.2+...+bt>.ι,rι+ Cι,2+...+cn-ι,n=1- On peut montrer que l'expression précédente s'écrit sous la forme suivante F(x)=∑ι Vi • xi - L^} | Xι-Xj | • I y/2. Dans cette expression, le terme |xι-Xj I • lg/2 correspond à l'interaction entre les critères i et j. Le signe de ly donne le type d'interaction, positive ou négative. Ce type d'opérateur d'agrégation est appelé intégrale de Choquet 2-additive. On le notera fp dans la suite. Il est bien sûr possible d'utiliser des opérateurs d'agrégation plus complexes comme par exemple l'intégrale de Choquet générale.
Selon le principe général du procédé de l'invention, on désire expliquer les décisions et les choix issus de la fonction d'agrégation F. Les alternatives sont supposées décrites directement par leurs performances suivant les n critères à prendre en compte. On note x=(xι,...,x„) une telle alternative. Il s'agit de fournir à un expert une explication écrite qui soit comprise par l'expert et qui le convainque. Elle doit donc être la plus simple possible afin de ne pas noyer l'expert. Elle doit toutefois être complète et refléter ce qui a réellement été à l'origine de la décision prise. On s'intéresse aux deux problèmes suivants :
• Expliquer pourquoi x < y, c'est à dire F(x) < F(y). » Expliquer le score F(x) d'une alternative x.
Le traitement du second problème se fera en le ramenant au premier cas. Expliquer pourquoi x < y, c'est à dire F(x) < F(y)
On commence par décrire les principes généraux que l'on propose pour expliquer pourquoi x < y, c'est à dire F(x) < F(y).
Le procédé de l'invention se base sur les trois principes suivants : <• Le premier principe est que ce n'est pas forcément la peine de faire référence aux spécificités de la fonction d'agrégation si la décision prise avait été la même en remplaçant l'opérateur d'agrégation par une grande variété d'autres opérateurs d'agrégation.
• On a vu précédemment que l'intégrale de Choquet 2-additive s'écrit comme une combinaison d'attitudes particulières, typiques de décisions (tolérance, intolérance,...). Toute fonction d'agrégation compensatoire peut se décomposer sous cette forme, c'est-à-dire sous la forme d'une somme convexe d'attitudes typiques de décision. On se base en grande partie sur cette décomposition. Il ne faut pas pour autant faire référence dans l'explication à l'ensemble des phénomènes. Afin de ne pas noyer l'expert, l'idée est de mentionner uniquement les arguments déterminants ayant réellement contribué à la prise de décision. Le second principe est donc que l'on simplifie l'opérateur d'agrégation (en prenant en compte de moins en moins de phénomènes) tant que la décision prise reste la même. Cela permet de déterminer les phénomènes de décision qui sont réellement à l'origine de la décision prise. a Le troisième principe est que l'explication est déterminée par comparaison entre deux fonctions d'agrégation fournissant des décisions opposées. On cherche alors à savoir ce qui fait pencher la décision en faveur d'une alternative. On appliquera ce principe à différents opérateurs et à différentes alternatives.
L'ensemble des phénomènes de décision modélisés par F sont regroupés en sous-ensembles emboîtés. Cela amène à définir p niveaux de complexité croissante comportant de plus en plus de phénomènes de décision. A chaque niveau, on doit spécifier si x est préféré ou non à y. Afin que l'exposé soit le plus général possible, les comparaisons sont réalisées au travers de fonctions dites de comparaison. Cela fournit une suite de fonctions de comparaison M (x,y),..., M pκ(x,y) entre x et y. M 'k(x,y) représente la famille N° / indicée par k décrivant l'ensemble des phénomènes possibles au niveau /. Le signe de M 'k(x,y) indique si la décision prise, en ne prenant en compte que la famille N° / de phénomènes, est la même ou non qu'avec F. Si M (x,y)<0, alors la décision prise est la même que F. Au fur et à mesure que / croît, M 'κ(x,y) comporte de plus en plus de phénomènes. On a Mpκ(x,y) = F(x)-F(y).
Lorsque pour tout /, on a x/<yι, alors n'importe quelle fonction d'agrégation indiquera que y est préféré à x. Ce n'est donc pas la peine dans ce cas d'invoquer les spécificités de l'opérateur d'agrégation F pour expliquer la décision prise. On applique ici le premier principe. Cela amène à prendre pour la première approximation M1 kfx^≈mm^^...,„; (xryi). On a en effet M (x,y)<0 si pour tout /, on a xι<yι. Le second principe indique que, dans l'explication, on remplace F par l'approximation la plus simple fournissant la même décision, c'est-à-dire le plus petit i tel que M (x,y)≥0,..., M μι k(x,y)≥0 et M 'k(x,y)<0 . Le troisième principe consiste alors à expliquer pourquoi M 'k(x,y)<0 alors que MJ k(x,y)≥0, pour /</, fournissent des décision opposées. On ne prend pas toujours j=i-1. De façon résumée, selon l'invention, on calcule l'indice / pour lequel M1 k(x,y)≥0,..., M M k(x,y)≥0 et M 'k(x,y)<0. Si =1, alors il suffit d'indiquer que la décision est triviale puisque tous les scores de y sont meilleurs que ceux de x. Si M, alors on explique pourquoi -Vf 'k(x,y)<0 alors que M J k(x,y)≥0, pour /</'. On se base alors sur les phénomènes élémentaires présents au niveau /et absents au niveau y. On peut aussi éventuellement expliquer pourquoi M Jk(x,y)≥0 en appliquant le procédé d'explication récursivement à MJ k.
Selon ce procédé, la complexité de l'explication générée dépend naturellement de la marge que l'on a sur la décision prise (la décision a-t- elle été prise de peu ou non ?). Expliquer le score F(x) d'une alternative x
On désire maintenant expliquer le score global de x, c'est-à-dire expliquer pourquoi F(x) vaut une certaine valeur α. Il n'y a aucun intérêt à expliquer la valeur exacte de α. Par contre, un expert souhaite savoir pourquoi α est jugé plutôt mauvais, plutôt bon ou moyen. On veut donc expliquer pourquoi α appartient à un certain niveau flou. On suppose que l'on dispose de 2m+1 niveaux flous: N_m, ..., N0 Nm. Le niveau N_m est le plus mauvais (TRÈS MAUVAIS), N0 est moyen (ni bon ni mauvais) et Nm est le meilleur niveau (TRÈS BON). Dans la théorie des ensembles flous, il est classique de modéliser de tels niveaux par des ensembles flous (cf. Figure 1 , sur laquelle on a représenté cinq ensemble flous, allant de « très mauvais » à « très bon »). Afin d'éviter l'utilisation de « modificateurs linguistiques » (qui sont inévitables pour caractériser les valeurs intermédiaires entre deux ensembles flous) qui rajouteraient une complexité supplémentaire dans l'explication, on représente chaque niveau linguistique par un ensemble non flou: Ni = ] mi , Mi ]. Les niveaux linguistiques forment un « pavage » si l'on suppose que pour tout i, Mi = ml+1. Cela correspond à la Figure 2, sur laquelle on a représenté les cinq ensembles non flous correspondant à ceux de la figure 1. N'importe quel score appartient alors à un unique niveau avec un degré 1.
Connaissant α, on détermine tout d'abord le niveau flou correspondant, c'est-à-dire l'entier ie{-p p) tel que oce] m. , Mi ]. Expliquer pourquoi α est Ni (c'est à dire que α appartient à Ni) revient à montrer pourquoi α n'est ni N1+1 (c'est à dire α < mι+ι ) ni N (c'est à dire α > Mu ) . On veut donc expliquer pourquoi α < M| et α > mi . Autrement dit, en utilisant la propriété que F(t,...,t)=t pour tout t, on se ramène à ce qui est exposé ci-dessous à propos de la détermination de la première ou de la secon de solution pour l'explication d'une comparaison entre deux alternatives, en expliquant pourquoi x < (M , Mi) et pourquoi x > (mi,
..., mi), où (t t) est l'alternative qui vaut t suivant tous les critères.
Le principe de l'explication est alors le suivant : on commence par donner la tendance générale (« plutôt bon » ou « plutôt mauvais »), puis on affine. a Si i>0, on commence par expliquer pourquoi α est plutôt bon. En utilisant l'argumentation de l'explication de x > (m , mi), l'explication à fournir est :
« x est Ni puisque ... » Ensuite, il faut expliquer pourquoi α n'est pas excellent, si α ne l'est pas déjà. Donc si i<p, en utilisant l'argumentation de l'explication de x < (Mi, ..., Mi), le second volet de l'explication est donc : « x n'est pas NM puisque ... » ϋ Si i<0, on commence par expliquer pourquoi α est plutôt mauvais. En utilisant l'argumentation de l'explication de x < (M Mi), l'explication à fournir est :
« x est Ni puisque ... » Ensuite, il faut ensuite expliquer pourquoi α n'est pas parfaitement nul, si α ne l'est pas déjà. Donc si i>-p, en utilisant l'argumentation de l'explication de x > (m mi), le second volet de l'explication est donc :
« x n'est pas N1-1 puisque ... » α Lorsque i=0, on explique pourquoi α n'est ni bon ni mauvais. En utilisant l'argumentation de l'explication de x < (Mi, ..., Mi), l'explication à fournir est :
« x n'est pas Ni puisque ... » En utilisant l'argumentation de l'explication de x > (mi, ..., mi), le second volet de l'explication est donc : « x n'est pas N_ι puisque ... »
On va décrire par la suite deux solutions concrètes dans le cas où F est l'intégrale de Choquet 2-additive. D'après le procédé qui vient d'être décrit, il suffit d'expliciter l'explication pour une comparaison entre deux alternatives, l'explication du score global s'en déduisant. Détermination d'une première solution pour l'explication d'une comparaison entre deux alternatives.
On va détailler ici une première solution pour l'explication d'une comparaison entre deux alternatives, dans le cas où F est l'intégrale de Choquet 2-additive. Conformément l'approche générale décrite, il faut définir une série emboîtée d'approximations de C2p. :
» La première approximation est (xr-yù- On a
M1 k(x,y)<0 si pour tout /, on a x/<y/. " La seconde approximation est M2 k(x,y)=S(x)-S(y), où S est la moyenne arithmétique, c'est à dire S(x)=(xι+...+Xη)/n . • La troisième approximation est C1p(x)-C1μ(y), où C1μ est une somme pondérée. La fonction C1μ ne fait intervenir que les phénomènes d'importance des critères. On a C1 μ(x)=∑ι v / x / . Les indices k matérialisent donc les phénomènes d'importance des critères. " La dernière approximation est - f x.yJ≈ C2μ(x)-C2μ(y). Il s'agit donc du modèle décisionnel complet. Les phénomènes d'importance des critères, et d'interaction entre couples de critères sont modélisés. Les indices k matérialisent donc les phénomènes d'importance et d'interaction.
Conformément au procédé général décrit précédemment, on détermine la plus petite approximation amenant à la même décision que C2--. On va exposer maintenant l'explication à fournir dans chaque cas. Cas où xι<yι pour tout / , c'est-à-dire où M1 k(χ,y)<0 : On a M (x,y)<0 si pour tout /, on a x/<y/. Dans ce cas, n'importe quelle fonction d'agrégation indiquera que y est préféré à x. Ce n'est donc pas la peine dans ce cas d'invoquer les spécificités de l'opérateur d'agrégation C?μ pour expliquer la décision prise. On applique ici le premier principe. L'explication à foumir est donc simplement la suivante : « y est préféré à x puisque TOUS les scores de y sont meilleurs que ceux de x. » Cas où S(x)<S(y) mais Ξï tel que xj≥yi , c'est-à-dire où M2ι/x.v)<0 et Wf*(x.v)≥0 Lorsque certains critères de x sont mieux satisfaits que ceux de y, et vice versa, on doit faire référence un minimum à une fonction d'agrégation pour expliquer le score. Le premier opérateur d'agrégation qui vient à l'esprit est la moyenne arithmétique. Il s'agit de l'opérateur d'agrégation que l'on utiliserait en l'absence d'information: tous les critères ont la même importance, et il n'y a pas d'interaction particulière entre les critères. Lorsque S(x)<S(y), il peut être suffisant de dire que x est en moyenne moins bon que y pour expliquer x<y. On applique ici les deux premiers principes. L'explication à foumir est alors la suivante : « y est préféré à x puisque les scores de y sont en moyenne meilleurs que ceux de x. » Cas où C1μ(x)<C1μ(y) mais S(x)≥S(y), c'est à dire où M3k x.v)<0. M2 lrfx.y)≥0 et M1 kfx.v)≥0:
Lorsque C1μ(x)<C1μ(y), on utilise d'après le second principe la fonction d'agrégation C dans l'explication. On suppose ici que S(x)≥S(y). Lorsque C1 μ(x)<C1 μ(y) mais que S(x)≥S(y), on sent intuitivement que les critères pour lesquels y est meilleur que x sont plus importants en moyenne que les critères pour lesquels x est meilleur que y. Il s'agit ici d'appliquer le troisième principe.
Pour trouver parmi les coefficients v/ ceux qui ont réellement compté dans la décision, on utilise encore une fois le second principe. Plus précisément, on remplace progressivement les poids Vi par 1/n tant que la décision prise reste la même. Soit N={1 n} l'ensemble des critères.
Pour A- N, on définit C1 μ,A(x)=∑ιeA ι /X/ + ∑ieA x/n. Soit donc Ω={ AçN, C1μ,A(x) < C1μ,A(y)}. L'ensemble Ω regroupe donc tous les sous- ensembles de phénomènes d'importance de critères amenant à la même décision que C?μ . On a 0ëΩ et NeΩ. On pose le lemme suivant :
Lemme 1 : Soit AeΩ. On note p le nombre d'éléments de A. Alors il existe au moins un n-p uplet de critères distincts deux à deux notés cι,...,Cn-p tels que A {cι}eΩ, Au{c.,C2}--Ω, ....
Au{Cι,....Cn-p}eΩ et Au{cι,...,Cn-p}=N. Ce lemme est très important puisqu'il donne une justification du « remplacement » de C1μ par C1μ,A dans l'explication. En effet, il indique que l'on a : C1μ,A(x) < C1μ,A(y) , C1μ,Asj{c }(x) < C1μ,Aufa}(y) , C1μ,Aufa,C2}(x) < ... CV.Au{c1-...cn.p}(x = C1μ(x) < C1μ(y) = Par conséquent, le lemme précédent prouve que l'on peut passer progressivement de l'opérateur C1μ à l'opérateur C1μ,A (en conservant tout le temps la même décision prise), en ne modifiant qu'un seul poids à la fois.
On peut alors remplacer C par Cμ,A dans l'explication à fournir.
Afin de simplifier l'explication, on cherche donc les coalitions AeΩ de plus petite cardinalité. On cherche donc les AeΩ minimaux au sens de l'inclusion. Il s'agit des coalitions AeΩ telles que Vie A, A\{i}gΩ. Comme le montre le lemme suivant, de telles coalitions satisfont des propriétés intéressantes :
Lemme 2: Soit AeΩ minimal. Alors nécessairement, <y/ pour tout / Atel que vi>1/n, et X;>y; pour tout feAtel que vt<1/n. Autrement dit, si AeΩ est minimal, alors les critères de A pour lesquels y est meilleur que x sont importants (i.e. vj>1/n), alors que les critères de A pour lesquels x est meilleur que y sont peu importants (i.e. vr<1/n). On retrouve donc exactement l'intuition donnée ci-dessus. Le lemme précédent est essentiel car il permet de générer une explication complète et très simple.
• Si A n T ≠0, alors l'explication à fournir est :
« Bien que x soit en moyenne meilleur que y, y est quand même préféré à x puisque y est meilleur que x sur les critères A n l~ qui sont importants, alors que y est moins bon que sur les critères A n T qui sont peu importants ».
• Si A n r =0, alors l'explication à foumir est :
« y est préféré à x puisque les critères A n l+ sur lesquels x est meilleur que y sont peu importants, et ne compensent pas le fait que y est en moyenne meilleur que x sur les autres critères. »
Cas où C (x)<C2μ (y) mais C1μ (x)≥C1μ (y) et S(x)≥S(y), c'est-à-dire où MVx.y)<0. /VrVχy)>0. M2Ux.v)≥0 et MVx.v)≥0:
On suppose ici que (fμ (x)<C2μ (y) mais que C1μ (x)≥ C1μ (y) et S(x)
≥ S(y). On a C2μ(x)=∑i v, • x, - ∑^ | X,-XJ | • ly/2. Le fait que C1μ (x)≥ C1μ (y) ne nous amène pas à baser l'explication uniquement sur les phénomènes d'interaction. En effet, les phénomènes d'importance ont aussi compté dans la décision prise, mais ils n'ont pas été suffisants. On veut donc expliquer, d'après le troisième principe, pourquoi (fμ (x)<C?μ (y) alors que S(x) ≥ S(y).
Comme précédemment, afin de simplifier au maximum l'explication, on désire enlever certaines interactions et remplacer certains vypar 1/n. On notera encore A les critères pour lesquels on garde les termes d'importance
Vj. L'ensemble N*={ {ijJeNxN, i≠j} fournit l'ensemble des couples d'indices pouvant apparaître dans les termes d'interaction. On note A* les termes d'interaction qui sont conservés. Pour AdM, on définit v*f=vι sï ieA et si igA. Pour A*ç=N*, on définit t}=ls si {i,j}eA* et ts=0 si {i,j}gA*. Les coefficients v*/ et /*/; correspondent aux nouveaux coefficients d'importance et d'interaction.
Les coefficients d'importance v*ι et les coefficients d'interaction f/y doivent satisfaire certaines conditions. Ce sont les conditions dites « de monotonie ». Ces conditions sont équivalentes au fait que la fonction d'agrégation correspondante est croissante. Ces conditions s'écrivent sous la forme : Vie N, v* /+ Σ ± t 2 ≥ 0 pour toutes les combinaisons possibles de + et de -. Le lemme suivant donne des conditions pour lesquelles la monotonie est vérifiée. Lemme 3: Si Aç N et A*_=N* vérifient la condition
{i,j}e A* = ieA et je A alors la mesure 2-additive formée des v*ι et des f est monotone. On supposera par la suite que cette condition est satisfaite. On définit alors :
Cfμ A^x) = ∑, v*ι x, - ∑i,ê |xrXy| « /* //2 = ∑≡A v,x,+ ∑kA x/n - ∑{ij}efs* I XrX] \ * li]/2. Soit donc :
Ω *={ AxAçNxN*, C μA A(x) < C2μ,A, A (y) et {ij}e A* => i.je A }. Il s'agit des ensembles d'importance et d'interaction amenant à la même décision que (fμ. On a (0,0)ÈΩ* et (N,N*)eΩ*. Comme précédemment, on s'intéresse aux éléments minimaux de Ω*. Le lemme suivant donne des propriétés intéressantes satisfaites par de tels éléments. Lemme 4: Soit (A,A*)eΩ* minimal. Alors o li] > 0 pour tout {i,j}e A* tel que | XrXj I > I yryj I o Ijj < 0 pour tout {i,j}e A* tel que | xrxy I < I yryj I o Vie Anl+, on a vr1/n < ∑MH}6A* ( I XrXj I - \ yr o VieAnl", on a vr1/n > Σj,{i-)}<=A* ( \xrXj\ - \yr
Comme les phénomènes d'interaction sont déterminants pour expliquer la décision prise, on s'intéresse aux (A,A*)eΩ* minimaux dans Ω* tels que A*≠0. Soit D*>+ ={ {i,j}eN*, /, > 0} et D* " ={ {i,j}eN*, /, < 0}. Soit D" ={feW, v n} et D+ ={/eΛ/, vι<1/n}. Tous les termes d'interaction de A* sont utilisés dans l'explication. Par contre, on n'utilise pas forcément tous les termes d'importance de A dans l'explication. D'après le lemme 3, certains termes d'importance ne sont présents dans A que pour satisfaire à la condition de monotonie. Ils n'ont pas réellement compté dans la décision prise. En conséquence, on ne mentionne dans l'explication que les termes d'importance satisfaisant les conditions du lemme 2. Autrement dit, on ne mentionne dans l'explication que les termes d'importance appartenant soit à
Anrn D+ soit à Anl~n D+. L'explication à foumir est la suivante : « y est préféré à x puisque l'interaction est positive sur les couples
A*n D*,+ pour lesquels l'écart sur les scores de x est supérieur à ceux sur les scores de y, l'interaction est négative sur les couples A*n D* ~ pour lesquels l'écart sur les scores de x est inférieur à ceux sur les scores de y, x est moins bon que y sur les critères Anrn D+ qui sont importants, et x est meilleur que y sur les critères Anl~n D+ qui sont peu importants. »
Pour rendre l'explication plus convaincante au sujet des termes d'interaction, on propose de reprendre les résultats du lemme 4. Soit {i,j}e A* tel que 1g > 0. Alors d'après le lemme 4, on a | r y I > I yt-yy I • On suppose par exemple que xi > xj. Alors l'explication à fournir sur un terme d'interaction positive est :
« ... le score de x sur le critère / est pénalisé par un plus mauvais score suivant le critère. (les critères /et j doivent être satisfaits tous les deux) ... »
On considère maintenant le cas des interactions négatives. Soit {i,j}ε
A* tel que lg < 0. Alors d'après le lemme 4, on a | xrxj I < I yryy I . On suppose par exemple que yy < yy. Alors, l'explication à fournir sur un terme d'interaction négative est : « ... le score de y sur le critère / a été sauvé par un meilleur score sur le critère j (il suffit de satisfaire l'un des deux critères io j) ... » L'explication ainsi générée ne présuppose aucune connaissance de l'utilisateur sur les phénomènes d'interaction et est facilement compréhensible. On suppose que A*n D*,+ = {(iι,jι),...,(ip,jP)} et A*n D* ~ = {(kι,lι),...,(kq,lqH) avec xn > Xji , ...,xip > Xp et y« < y« , ..., y q < yiq- L'explication à foumir est donc la suivante :
« y est préféré à x puisque le score de x sur le critère /. est pénalisé par un plus mauvais score suivant le critère ji (les critères et ji doivent être satisfaits tous les deux), ... , le score de x sur le critère îp est pénalisé par un plus mauvais score suivant le critère jp (les critères ip etjp doivent être satisfaits tous les deux), le score de y sur le critère ki a été sauvé par un meilleur score sur le critère U (il suffit de satisfaire l'un des deux critères ki ou ) le score de y sur le critère kq a été sauvé par un meilleur score sur le critère /„ (il suffit de satisfaire l'un des deux critères kq ou lq), x est moins bon que y sur les critères AnPn D+ qui sont importants, et x est meilleur que y sur les critères Anl~n D+ qui sont peu importants. » Détermination d'une seconde solution pour l'explication d'une comparaison entre deux alternatives :
On va maintenant détailler une seconde solution pour l'explication d'une comparaison entre deux alternatives, dans le cas où F est l'intégrale de Choquet 2-additive. La méthode décrite dans la section précédente mérite d'être raffinée. Par exemple, il n'est pas toujours suffisant de dire que y est préféré à x puisque les scores de y sont en moyenne meilleurs que ceux de x dès que la moyenne arithmétique fournit la même décision que C μ. D'autre part, il peut être opportun de ne remplacer C2-/ par une fonction d'agrégation plus simple que si la décision prise avec ces deux fonctions d'agrégation est certes la même mais, de plus, est grosso modo aussi tranchée. II n'est plus aussi facile d'expliciter les fonctions de comparaisons M
'k(x,y) que précédemment. La plupart du temps, on ne spécifiera pas ces fonctions. On donnera uniquement les conditions sous lesquelles on a M 'k(x,y)<0 et M'k(x,y)≥0. Algorithme général Les différentes constantes τ données plus bas sont des nombres compris entre 0 et 1 (typiquement 0.3).
Cas l: Lorsque Vie N, X| < yι, on utilise ce qui se trouve dans la section ci-dessus traitant du cas où xι<yι pour tout / .
Cas 2: Lorsque les trois fonctions d'agrégation S, Cμ et C2μ fournissent la même décision et que ces décision prises sont très tranchées, alors un grand nombre de fonctions d'agrégation fourniront la même décision. Par des arguments de continuité, si C1μ(x) < C1μ(y) alors il existe une multitude poids λ proches de v (v étant les indices d'importance) fournissant la même décision que C1μ, c'est à dire ∑ι λ. i < ∑i λι y- . Pour être plus précis, on se place dans l'ensemble 9în des poids possibles. On peut alors montrer qu'il existe dans 9tn une boule de centre v et de rayon composée uniquement de poids λ pour lesquels la décision prise est la même qu'avec C1μ . Plus le rayon de cette boule est important, moins il est nécessaire de mentionner les spécificités des fonctions d'agrégation dans l'explication. Ceci est valable aussi pour S et C . Autrement dit, lorsque
alors on n'utilise aucun phénomène particulier de l'opérateur d'agrégation pour expliquer la décision prise. La condition précédente est la condition permettant d'avoir M2κ(x,y)<0. L'explication à fournir est donc la suivante :
« y est préféré à x puisque les scores de y sont en moyenne meilleurs que ceux de x. »
Cas 3: Lorsque C1μ fournit la bonne décision et que la décision prise avec C1μ est quasiment aussi tranchée qu'avec (fμ, alors on n'utilise dans l'explication que les termes d'importance. Autrement dit, on « remplace » Cfμ par Cμ uniquement lorsque les décisions prises par ces deux opérateurs sont relativement similaires. La condition demandant que C1μ soit quasiment aussi tranchée qu'avec (fμ se décompose en deux parties. Tout d'abord, il faut préciser que la décision prise avec C1μ ne doit pas être largement plus tranchée qu'avec C?μ . Ceci peut se traduire par l'inégalité : Cμ(x) - C1μ(y) > τ2 (C*μ(x) - C2μ(y) ). Ensuite, la décision prise avec C*μ ne doit pas être largement plus tranchée qu'avec C1μ. Ceci peut être traduit par l'inégalité : C*μ(x) - C2μ(y) > τ4 ( C1μ(x) - C (y) )• La condition finale de remplacement de C2 / par Cμ est donc :
C1μ(x) < C1μ(y) et C1μ(x) - C1μ(y) > τ2 (C?μ(x) - C^y) ) et C?μ(x) - &μ(y) > τ4 ( C1μ(x) - C (y) )- C'est la condition pour avoir NPι<(x,y)<Q. Ce cas 3 comporte quatre sous-cas :
Cas 3a: Ici, on suppose que la moyenne arithmétique donne la même décision que Cμ mais que la décision est plus tranchée avec Cμ qu'avec la moyenne arithmétique. Ceci signifie que
Cμ(x) - Cμ(y) « S(x)-S(y) < 0. On obtient donc les conditions suivantes :
S(x) < S(y) et Cμ(x) < Cμ(y) et Cμ(x) - Cμ(y) < (1+^) (S(x)-
S(y)). C'est la condition pour avoir Af3Vx,y)<0. On utilise alors les conclusions qui sont exposées ci-dessous dans la description détaillée du sous-cas 3a.
Cas 3b: Ici, on suppose que la décision est moins tranchée avec l'opérateur de Shapley qu'avec la moyenne arithmétique. Autrement dit, S(x)-S(y) « Cμ(x) - Cμ(y) < 0. On obtient donc les conditions suivantes : S(x) < S(y) et Cμ(x) < Cμ(y) et S(x)-S(y) < (1+n) (Cμ(x) -
Cμ(y)).
C'est la condition pour avoir M^kfx^O. On utilise alors alors les conclusions qui sont exposées ci-dessous dans la description détaillée du sous-cas 3b.
Cas 3c: Ici, on suppose que la décision est aussi tranchée avec l'opérateur de Shapley qu'avec la moyenne arithmétique.
Autrement dit, Cμ(x) - C1μ(y) ≈ S(x)-S(y) < 0. On obtient les conditions suivantes :
S(x) < S(y) et Cμ(x) < Cμ(y) et Cμ(x) - Cμ(y) ≥ (1+τ.) (S(x)-
S(y)) et S(x)-S(y) > (1+τ.) (Cμ(x) - Cμ(y) ). C'est la condition pour avoir On utilise alors alors les conclusions qui sont exposées ci-dessous dans la description détaillée du sous-cas 3c.
Cas 3d: Lorsque S(x) > S(y) et Cμ(x) < Cμ(y), alors la décision n'est pas la même avec l'opérateur de Shapley qu'avec la moyenne arithmétique. C'est la condition pour avoir On utilise alors ce qui a été exposé ci-dessus dans la description du cas où Cμ(x)<Cμ(y) mais S(x)≥S(y)
Lorsque, dans les cas 3a, 3b et 3c, on tombe dans une situation dans laquelle l'explication n'est pas parfaitement intuitive, alors on doit utiliser une autre explication. On peut alors avoir recours à des termes d'interaction, et donc on se reporte au cas 5 suivant. Il est aussi envisageable d'utiliser une méthode «joker» ne se servant que des termes d'importance. Cette méthode peut consister à baser l'explication sur les termes de plus grand module, le nombre de termes considérés étant déterminé de manière dynamique en fonction de la marge sur la décision prise. On peut alors générer un texte similaire à ce qui est généré dans les autres cas. Cas 4: Si l'on ne se trouve dans aucun des cas précédents, alors il faut faire référence aux interactions ainsi qu'aux importances. Lorsque l'on se trouve ici, c'est principalement par ce que le cas précédent a échoué. Voici la contraposée de la condition d'applicabilité du cas précédent :
Cμ(x) ≥ Cμ(y), ou Cμ(x) - Cμ(y) ≤ τ2 (C2μ(x) - C μ(y) ) ou Cμ(x) - Cμ(y) ≤ τ4 ( Cμ(x) - Cμ(y) ).
C'est la condition pour avoir -VfVx,y;<0. On remarquera que l'on peut aussi avoir à remplacer τ2 et τ par τ0, conformément à ce qui a été dit précédemment. o Cas 4a: Dans le premier cas, on suppose que Set Cμ conduisent à des décisions prises différentes et que Cμ(x) - C (y) est compris entre S(x)-S(y) et Cμ(x) - C2μ(y). La condition S(x)>S(y) signifie que S et Cμ conduisent à des décisions prises différentes. La condition : [ (Cμ(x) - Cμ(y)) - (S(x)-S(y)) ] x [ (Cμ(x) - Cμ(y)) - (Cμ(x) - Cμ(y)) ] ≤ 0. signifie que Cμ(x) - C 1μ(y) est compris entre S(x)-S(y) et Cμ(x) - C2μ(y) . Autrement dit, le terme Cμ(x) - C1μ(y) ne sert à rien et peut être oublié dans l'explication. Il suffit de se baser sur la comparaison entre Set Cμ. On se place donc dans les conditions suivantes :
S(x)>S(y) et [ (Cμ(x) - Cμ(y)) - (S(x)-S(y)) ] x [ (Cμ(x) - C'μ(y)) - (C x)
- Cμ(y)) ] ≤ 0. C'est la condition pour avoir -Vf*yx, )<0. On a alors deux cas: - Si S(x)-S(y) < Cμ(x) - C2μ(y) , alors la décision prise avec la moyenne arithmétique est la bonne et est plus tranchée qu'avec le modèle 2-additif. L'explication de la relation S(x)-S(y) < Cμ(x) - Cμ(y) atténue l'explication de S(x)-S(y) < 0. L'explication à fournir est donc :
« y est préféré à x puisque y est en moyenne meilleur que x. Ceci a été partiellement atténué par le fait que ... » où « ... » contient l'explication de la relation S(x)-S(y) < Cμ(x) - Cμ(y).
' Si Cμ(x) - Cμ(y) < 0 < S(x)-S(y) , alors la moyenne arithmétique et le modèle 2-additif donnent des décisions opposées. L'explication à fournir est donc : « Bien que y soit en moyenne moins bon que x, y est quand même préféré à x puisque » où « ... » contient l'explication de la relation S(x)-S(y) < Cμ(x) - Cμ(y).
Les détails de la méthode utilisée dans ce cas se trouvent dans les conclusions qui sont exposées ci-dessous dans la description détaillée du sous-cas 4a.
Cas 4b: On considère tous les cas non traités précédemment. - Si Cμ(x) - C 1μ(y) < Cμ(x) - C2μ(y) < 0, alors la décision prise avec l'opérateur de Shapley est plus tranchée qu'avec le modèle 2-additif. On commence alors par expliquer pourquoi Cμ(x) - C1μ(y) < 0. On utilise alors ce qui a été fait dans le cas 3. Ensuite, il faut expliquer pourquoi le modèle 2-additif donne une décision moins tranchée. L'explication à fournir est donc : c. y est préféré à x puisque ... . Ceci a été partiellement atténué par le fait que ... » où les premiers « ... » contiennent l'explication de la relation C*μ(x) - C1μ(y) < 0, et les seconds « ... » contiennent l'explication de la relation Cμ(x) - C*μ(y) < C M - C2μ(y). L'explication de la relation Cμ(x) - C 1μ(y) < Cμ(x) - C2μ(y) est décrite plus précisément dans les conclusions qui sont exposées ci-dessous dans la description détaillée du sous-cas
4b.
- Si Cμ(x) - C2μ(y) < Cμ(x) - C 1μ(y) < 0, alors la décision prise avec l'opérateur de Shapley est moins tranchée qu'avec le modèle 2-additif. On commence par expliquer pourquoi le modèle 2-additif donne une décision plus tranchée que l'opérateur de Shapley. Comme Cμ(x) - C1μ(y) < 0, l'opérateur de Shapley va globalement dans la même direction que le
5 modèle 2-additif, c'est à dire que y est préféré à x.
Ainsi, l'explication de Cμ(x) - C1μ(y) < 0, bien que modérant un peu la décision prise par le modèle 2- additif, est présentée comme un point qui va dans le même sens que le modèle 2-additif. L'explication à
10 fournir est donc :
« y est préféré à x puisque ... . Ceci a été accentué par le fait que ... » où les premiers « ... » contiennent l'explication de la relation Cμ(x) - C 2μ(y) < Cμ(x) - C 1μ(y), et les
15 seconds « ... » contiennent l'explication de la relation
Cμ(x) - Cμ(y) < 0. L'explication de la relation Cμ(x) - C^Λy) < Cμ(x) - Cμ(y) est décrit plus précisément dans les conclusions qui sont exposées ci-dessous dans la description détaillée du sous-cas 4b.
20 Si Cμ(x) - C2μ(y) < 0 < Cμ(x) - C1μ(y) , alors la décision prise avec l'opérateur de Shapley est contraire à celle prise par le modèle 2-additif. On commence par expliquer pourquoi le modèle 2-additif donne une décision opposée à celle de l'opérateur de
25 Shapley.
Comme Cμ(x) - Cμ(y) > 0, l'explication de la décision prise par l'opérateur de Shapley va dans la direction opposée à celle du modèle 2-additif. Ainsi, l'explication de Cμ(x) - Cμ(y) > 0 est donnée comme atténuant un peu la décision prise par le modèle 2-additif. L'explication à fournir est donc :
« y est préféré à x puisque ... . Ceci a été partiellement atténué par le fait que ... » où les premiers « ... » contiennent l'explication de la relation Cμ(x) - C 2μ(y) < Cμ(x) - C 1μ(y), et les seconds « ... » contiennent l'explication de la relation
Cμ(x) - Cμ(y) > 0. L'explication de la relation Cμ(x)
- Cμ(y) < Cμ(x) - Cμ(y) est décrite plus précisément dans les conclusions qui sont exposées ci-dessous dans la description détaillée du sous-cas
4b.
On va décrire maintenant de façon plus détaillée les différents sous- cas des cas 3 et 4. Sous-cas 3a : C1μ[x) - C1μ(y) « S(x)-S(y) < 0
Lorsque S(x) < S(y) et Cμ(x) < Cμ(y) et Cμ(x) - Cμ(y) < (1+τ^
(S(x)-S(y)), alors la décision est plus tranchée avec l'opérateur de Shapley qu'avec la moyenne arithmétique. On désire expliquer pourquoi la décision est plus tranchée avec l'opérateur de Shapley qu'avec la moyenne arithmétique. Soit r=[(01 μ(x)-C μ(y)) + (S(x)-S(y))]/2. On a η<0. On veut expliquer en utilisant les principes développés dans le cas où Cμ(x)<Cμ(y) mais S(x)≥S(y), pourquoi C μ(x)-C μ(y)< η et S(x)-S(y)>η. Dans le même esprit que ce qui a été fait dans ces conclusions, soit : Ω={ AçN, CμA(x-Α) < C1μA(y). On a 0ÊΩ et NeΩ. On peut alors remplacer C'μpar CμAians l'explication à fournir. Afin de simplifier l'explication, on cherche donc les coalitions AeΩ de plus petite cardinalité. De manière similaire à ce qui a été exposé au lemme 2, on a le résultat suivant :
Lemme 5: Soit AeΩ minimal. Alors nécessairement, X/-y/<η pour tout eA tel que vj>1/n, et xι-yi>r\ pour tout /eA tel que vr<1/n. Soit l+ η={ieA, X/-y/>η} et l~ η ={ieA, x /-yi<η}. Afin de fournir une explication simple à comprendre, on désire, conformément au lemme 2, ne mentionner que les critères importants appartenant à I" et les critères peu importants appartenant à l+. D'après le lemme 5, si ieA est important (vj>1/n), alors ie l-η. Comme η<0, cela implique que ie I". Par contre, si i est peu important, on n'a pas forcément ie l+. On a donc les cas suivants:
• Si A n rη ≠0, alors l'explication à foumir est :
« y est préféré à x puisque y est en moyenne meilleur que . Ceci a été amplifié par le fait que y est meilleur que x sur les critères A n l_ η qui sont importants, alors que y est moins bon que x sur les critères A n T qui sont peu importants. »
• Si A n rη =0 et A n l+ ≠0, alors l'explication à fournir est :
« y est préféré à x puisque les critères A n l+ sur lesquels x est meilleur que y sont peu importants, et ne compensent pas le fait que y est en moyenne meilleur que x sur les autres critères. »
• Si A n rη =0 et A n l+ =0, alors Aç l+ η\ T. L'utilisation des critères de A fournirait une explication peu intuitive. Une autre méthode doit être utilisée ici. On peut utiliser à cet effet la méthode alternative décrite plus loin pour générer des arguments pour l'explication d'une comparaison entre deux alternatives.
Sous-cas 3b : S(x)-S(y) « Cμ(x) - Cμ(y) < 0 Lorsque S(x) ≤ S(y) et Cμ(x) < Cμ(y) et S(x)-S(y) < (1+τ.) (Cμ(x) - Cμ(y) ), la décision est moins tranchée avec l'opérateur de Shapley qu'avec la moyenne arithmétique. On désire expliquer ceci. Soit τ =[(Cμ(x)-Cμ(y)) + (S(x)-S(y))]/2. On a η<0. On veut expliquer en utilisant les principes développés dans le cas où Cμ(x)<Cμ(y) mais S(x)≥S(y), pourquoi μ(x)-C μ(y)> η et (S(x)-S(y)<η. Dans le même esprit que ce qui a été fait dans le cas où Cμ(x)<Cμ(y) mais S(x)≥S(y), on a : Ω={A<≡N, CμA(y) < ÔμA(x- ))}. On a 0ÊΩ et NeΩ. On peut alors remplacer Cμ par CμA dans l'explication à fournir. Afin de simplifier l'explication, on cherche donc les coalitions AεΩ de plus petite cardinalité. De manière similaire à celle exposée au lemme 2, on a le résultat suivant : Lemme 6: Soit AeΩ minimal. Alors nécessairement, x/-yi>η pour tout /eA tel que vj>1/n, et xr-y/<η pour tout /eA tel que vr<1/n. Soit l+ η={ieA, Xryr^t } et l" η ={iεA, X/-y/>η}. On procède grosso modo comme dans la section précédente: • Si A ζ l+ η\ l+, alors au moins l'un des deux ensembles A n l~ η ou A n
T est non vide. Dans l'explication, on écarte les indices appartenant à l+ η\ T. L'explication à fournir est :
« y est préféré à x puisque y est en moyenne meilleur que x. Ceci a été partiellement atténué par le fait que x est meilleur que y sur les critères A n l+ qui sont importants, alors que y est meilleur que x sur les critères A n l~ η qui sont peu importants. »
• Si A c l+ η\ I+, l'utilisation des critères de A fournirait une explication peu intuitive. Une autre méthode doit être utilisée ici. On peut utiliser à cet effet la méthode alternative décrite plus loin pour générer des arguments pour l'explication d'une comparaison entre deux alternatives.
• Sous-cas 3c : C1μ(x) - C μ(y) ≈ S(x)-S(y) < 0
Lorsque Cμ(x) ≥ Cμ(y), ou Cμ(x) - Cμ(y) ≤ τ2 (Cμ(x) - C2μ(y) ) ou Cμ(x) - Cμ(y) ≤ τ4 ( Cμ(x) - Cμ(y) )S(x) ≤ S(y) et Cμ(x) < Cμ(y) et Cμ(x) - C 1μ(y) < (1+τ (S(x)-S(y)), alors la décision est aussi tranchée avec l'opérateur de Shapley qu'avec la moyenne. On ne peut plus utiliser ici la méthode consistant à baser l'explication sur une comparaison avec la moyenne arithmétique. La solution est alors de remplacer la moyenne arithmétique par une fonction d'agrégation de référence. Il va s'agir d'une autre somme pondérée. On note φ les nouveaux poids de référence. I
33
φι=α si xι>yι , φpβ si xι<yι et φι=1/n si xι=yι Soit τ\=Cμ(x)-Cμ(y). On note : n += 1 1+ | , n"= | T | , |xy|+= [ Σ-6ι+ |x.-yι| ] / n+ et |xy|"= [ ∑Iel_ |x,-yi| ] / n" . On note Sφ(x) = ∑ι φ.xι. On cherche α et β de telle sorte que ∑i φp1 et Sφ(x) - Sφ(y) = - η. Cela donne : n+ α + n"β = (n+ + n")/n et n+ |xy|+ α - n~ |xy|" β = -η- On obtient : = [-η + |xyr (n+ + n-)/n ] / [ n+ (|xy|++|xyr)] β = [ η + |xy|+ (n+ + n-)/n ] / [ n~ (|xy|++|xy|- ) ] On a le résultat suivant :
Lemme 7: On a ,βε [0,1] si et seulement si |xy|+ (n+ + n~)/n > - η. Pour AdM, on définit Cμ§A(x) =∑i≡A v;X/+ ∑ιeA φi . Dans le même esprit que ce qui a été fait dans le cas où Cμ(x) <Cμ(y) mais S(x)≥S(y) , on a : Ω={Aç=N, Cμ§A(x) < ÔμA(y).
On a 0ÊΩ et NeΩ puisque Cμ(x) - Cμ(y)= η<0 et Sφ(x) - Sφ(y) = - η>0. On peut alors remplacer Cμpar C μφ 4-dans l'explication à fournir. Afin de simplifier l'explication, on cherche donc les coalitions AεΩ de plus petite cardinalité. De manière similaire à celle exposée au lemme 2, on a le résultat suivant :
Lemme 8: Soit AεΩ minimal. Alors nécessairement, x <y/pour tout /ε A tel que v>β, et xj>yι pour tout /ε A tel que v/<α. Afin de pouvoir interpréter les relations v/>β et v/<α, on a le lemme suivant : Lemme 9: Sous la condition S(x) - S(y) < - η, on a α>1/n et β<1/n.
Comme S(x) - S(y ) < 0 < - η, on a o>1/n et β<1/n. Ainsi, les critères satisfaisant v>β ne sont pas nécessairement importants (vγ>1/n). De même, les critères satisfaisant vj> ne sont pas nécessairement peu importants Afin de fournir une explication simple à comprendre, on désire, conformément au lemme 2, ne mentionner que les critères importants appartenant à I" et les critères peu importants appartenant à l+. On pose donc :
D+={ieN, v/>1/n} et D~={ieN, v/<1/n} . On a donc les cas suivants:
• Si A n T n D+ ≠0, alors l'explication à fournir est :
« y est préféré à x puisque y est meilleur que x sur les critères A n l"n D+ qui sont importants, alors que y est moins bon que x sur les critères A n l+ n D~ qui sont peu importants. » • Si A n T n D+ =0 et A n l+ n D~ ≠0, alors l'explication à fournir est :
« y est préféré à x puisque les critères A n l+n D~ sur lesquels x est meilleur que y sont peu importants, et ne compensent pas le fait que y est en moyenne meilleur que x sur les autres critères. » • Si A n T n D+ =0 et A n T n D" =0, alors l'utilisation des critères de
A fournirait une explication peu intuitive. Une autre méthode doit être utilisée ici. On peut utiliser à cet effet la méthode altemative décrite plus loin pour générer des arguments pour l'explication d'une comparaison entre deux alternatives.
Sous-cas 4a
On se trouve dans l'un des deux cas suivants : S(x)-S(y) < Cμ(x) - Cμ(y) < 0 ou Cμ(x) - Cμ(y) < 0 < S(x)-S(y). On définit : η=[(C*μ(x)-C μ(y)) + (S(x)-S(y))]/2 si S(x)-S(y) < Cμ(x) - Cμ(y) < 0 η=0 si Cμ(x) - Cμ(y) < 0 < S(x)-S(y). et : ε = -1 si S(x)-S(y) < Cμ(x) - Cμ(y) < 0 ε = 1 si Cμ(x) - Cμ(y) < 0 < S(x)-S(y). Avec ces notations, on a : ε (Cμ(x-r\) - C2μ(y)) < 0 et ε (S(x-η)-S(y) )) > 0. On veut donc expliquer cette différence de signe. De manière similaire à ce qui vient d'être exposé ci-dessus pour le sous-cas 3a, on définit : ςi*={ AxA*çNxN*, ε (Cμ,A, A(x-τ\) - Cμt A A*(y) ) < 0 et {ij}e A* => ijeA}.
On a (0,0)gΩ* et (N,N*)eΩ*. Comme précédemment, on s'intéresse aux éléments minimaux de Ω*. On a des propriétés similaires à celles du lemme 4. L'explication à fournir est donc similaire à ce qui a été fait dans l'exposé du cas où Cμ (x)<Cμ (y) mais Cμ (x)≥Cμ (y) et S(x)≥S(y) On suppose que A*n D* + = {(h,jι),...,(iP,jP)} et A*n D* ~ =
{(kι,lι), ...,(kq,la)} avec x« > xy, , ...,x,p > xjp et yw < yn , ..., y < y*,. Lorsque ε = 1 , l'explication est la suivante :
« Bien que y soit en moyenne moins bon que x, y est quand même préféré à x puisque le score de x sur le critère est pénalisé par un plus mauvais score suivant le critère ji (les critères /* et ji doivent être satisfaits tous les deux), ... , le score de x sur le critère i est pénalisé par un plus mauvais score suivant le critère jp (les critères ip et jp doivent être satisfaits tous les deux), le score de y sur le critère ki a été sauvé par un meilleur score sur le critère /. (il suffit de satisfaire l'un des deux critères ki ou ) le score de y sur le critère kq a été sauvé par un meilleur score sur le critère lq (il suffit de satisfaire l'un des deux critères kq ou lq), x est moins bon que y sur les critères AnPn D+ qui sont importants, et x est meilleur que y sur les critères AnPn D+ qui sont peu importants. »
Lorsque ε = -1 , l'explication est la suivante :
« y est préféré à x puisque y est en moyenne meilleur que x.
Ceci a été partiellement compensé par le fait que le score de x sur le critère est pénalisé par un plus mauvais score suivant le critère ji (les critères U et jι doivent être satisfaits tous les deux), ... , le score de x sur le critère ip est pénalisé par un plus mauvais score suivant le critère jp (les critères ip et jp doivent être satisfaits tous les deux), le score de y sur le critère ki a été sauvé par un meilleur score sur le critère (il suffit de satisfaire l'un des deux critères ki ou li ) le score de y sur le critère kq a été sauvé par un meilleur score sur le critère lq (il suffit de satisfaire l'un des deux critères kq ou lq), x est moins bon que y sur les critères Anl~n D + qui sont importants, et x est meilleur que y sur les critères AnPn D + qui sont peu importants. »
Sous-cas 4b :
On se trouve dans l'un des trois cas suivants : Cμ(x) - C 1μ(y) < Cμ(x) - Cμ(y) < 0, Cμ(x) - C2μ(y) < Cμ(x) - Cμ(y) < 0 ou Cμ(x) - C μ(y) < 0 < Cμ(x) - Cμ(y). On se limite ici à expliquer la comparaison entre Cμ et Cμ. On définit : τ\=[(Cμ(x)-Cμ(y)) + (Cμ(x) - Cμ(y))]/2 si Cμ(x) - C 1μ(y) ≤ 0 η=0 sinon, et : ε = -1 si Cμ(x) - Cμ(y) < Cμ(x) - Cμ(y) ε = 1 sinon.
Avec ces notations, on a : ε (C^x-η) - Cμ(y)) < 0 et ε (Cμ(x-η) - C (y) )) > 0. On veut donc expliquer cette différence de signe. De manière similaire à celle exposée ci-dessus pour le sous-cas 3c, on définit : Cμ,A*(x) = ∑feN v, x, - ∑tf eA* I XrXy I • lιj/2.
Tous les coefficients d'importance sont conservés. On cherche donc à déterminer les termes d'interaction qui sont à l'origine de la décision prise. Comme tous les termes d'importance sont présents, on n'a pas de problème de monotonie de la mesure floue (cf. lemme 3). Soit : Ω*={ A*<=N*, ε (Cμ,A*(x-τ\) - Cμ,A*(y) ) < 0 }. On a 0ÊΩ* et N*εΩ*. Comme précédemment, on s'intéresse aux éléments minimaux de Ω*. On a des propriétés similaires à celles du lemme 4. L'explication à fournir est donc similaire à ce qui a été fait dans le cas où Cμ (x)<Cμ (y) mais Cμ (x)≥Cμ (y) et S(x)≥S(y). On suppose que A*n D*,+ = {(iι,Jι), --,(iP P)} et A*n D* ~ = {(/c. ,/*>,... ,( <Λ avec X/. >xjι ,...,XιP > xjP et ykι
Lorsque Cμ(x) - C 1μ(y) < Cμ(x) - C2μ(y) < 0, on doit expliquer pourquoi le modèle 2-additif donne une décision moins tranchée que Cμ.
Cela donne l'explication suivante : «y est préféré à x puisque ... . Ceci a été partiellement compensé par le fait que le score de x sur le critère U est pénalisé par un plus mauvais score suivant le critère ji (les critères et ji doivent être satisfaits tous les deux), ... , le score de x sur le critère îp est pénalisé par un plus mauvais score suivant le critère jp (les critères ip et jp doivent être satisfaits tous les deux), le score de y sur le critère ki a été sauvé par un meilleur score sur le critère / . (il suffit de satisfaire l'un des deux critères ki ou ) le score de y sur le critère kq a été sauvé par un meilleur score sur le critère lq (il suffit de satisfaire l'un des deux critères kq ou lq). » où « ... » contient l'explication de la relation Cμ(x) - Cμ(y) < 0.
Lorsque Cμ(x) - C2μ(y) < Cμ(x) - C1μ(y) < 0, on commence par expliquer pourquoi le modèle 2-additif donne une décision plus tranchée que
Cμ. Cela donne l'explication suivante : « y est préféré à x puisque le score de x sur le critère /. est pénalisé par un plus mauvais score suivant le critère y', (les critères et ji doivent être satisfaits tous les deux) le score de x sur le critère ip est pénalisé par un plus mauvais score suivant le critère jp (les critères ip et jp doivent être satisfaits tous les deux), le score de y sur le critère ki a été sauvé par un meilleur score sur le critère U (il suffît de satisfaire l'un des deux critères ki ou ) le score de y sur le critère kq a été sauvé par un meilleur score sur le critère lq (il suffit de satisfaire l'un des deux critères kq ou lq). Ceci a été accentué par le fait que ... » où « ... » contient l'explication de la relation Cμ(x) - Cμ(y) < 0.
Lorsque Cμ(x) - Cμ(y) < 0 < Cμ(x) - Cμ(y), on explique pourquoi le modèle 2-additif donne une décision plus tranchée que Cμ. Cela donne l'explication suivante : c. y est préféré à x puisque le score de x sur le critère est pénalisé par un plus mauvais score suivant le critère ji (les critères . et ji doivent être satisfaits tous les deux) le score de x sur le critère ip est pénalisé par un plus mauvais score suivant le critère jp (les critères ip et jp doivent être satisfaits tous les deux), le score de y sur le critère c. a été sauvé par un meilleur score sur le critère h (il suffît de satisfaire l'un des deux critères ki ou ), ... , le score de y sur le critère kq a été sauvé par un meilleur score sur le critère lq (il suffit de satisfaire l'un des deux critères kq ou lq). Ceci a été partiellement atténué par le fait que ... » où « ... » contient l'explication de la relation Cμ(x) - Cμ(y) > 0.
Méthode alternative pour générer des arguments pour l'explication d'une comparaison entre deux alternatives :
On suppose que l'on souhaite expliquer pourquoi C1μ(x)< C1μ (y). On écrit :
C1μ(x)-Ciμ(y) =
On veut déterminer les phénomènes les plus importants dans Cμ(x)-Cμ(y). Du point de vue comptable, il s'agit des indices / pour lesquels vι |x,-yi| est grand. Soit donc n±=|l±|, et cr la permutation -r : {1 ,...,n}→ l±- telle que : -y „. ] > ••• > v è, x ±/ ±. -y t. à I cherche i+ε{1,...,n+} et i"ε{1,...,n"} qui satisfont les exigences suivantes: D On veut que les phénomènes retenus contiennent en valeur absolue la plupart des phénomènes existants. On veut donc que :
soit « grand ». Le terme grand est réglé par la fonction d'appartenance F. α On veut que la valeur moyenne de la valeur absolue des phénomènes retenus ne soit pas négligeable par rapport au phénomène le plus important. On veut donc que : i ψ =- max^, P o) ^*( (i1))|' Voσ--((il)) | σ--- ((il)) -O 'σ--((ll))
soit « granc ». Le terme grand est réglé par la fonction d'appartenance G. α On veut qu'aucun phénomène positif retenu soit inutile. Autrement dit, le rapport entre le phénomène le moins important retenu et le plus important ne doit pas être trop petit. On veut donc que :
soit « grand ». Le terme grand est réglé par la fonction d'appartenance H . α On ne veut pas oublier un phénomène positif important: Le rapport entre le phénomène le plus important non pris en compte et le phénomène le plus important doit donc être faible. On veut donc que : soit « petit ». Le terme petit est réglé par la fonction d'appartenance K*. α On veut que la décision prise soit approximativement la même. Par conséquent, la somme des phénomènes retenus doit être assez proche de Sμ(x)<Sμ (y). On veut que :
soit le plus proche possible de 0. Ceci est traduit par la fonction d'appartenance L
On cherche i+ε{1,...,n+} et i"ε{1....,n"} qui maximise : On peut générer une explication du genre :
« y est préféré à x puisque y est meilleur que x sur les critères σ~(1) σ~(i~) qui ont contribué largement dans la décision prise. »
Si η+/(η"+η+) est assez grand , alors il faut mentionner dans l'explication les termes σ+(1 ),..., σ+(i+). On rajoute donc au texte précédent la ligne suivante : « Ceci a été partiellement compensé par le fait que x est meilleur que y sur les critères σ+(1) σ+(i+). » Arrangement des différents arguments.
Comme on vient de le voir, l'explication globale peut être charpentée en plusieurs points (par exemple expliquer pourquoi M 'k(x,y)<0 alors que M Jk(x,y)≥0, puis expliquer pourquoi M J k(x,y)≥0). Chaque point peut faire référence à plusieurs arguments. Le problème qui survient est alors tout d'abord d'organiser les arguments dans le bon ordre (afin que ce soit logique et compréhensible par un utilisateur), et ensuite de construire l'explication générale en mettant les bons mots de liaison entre les différents arguments. Pour ce faire, on stocke dans une pile les arguments les uns après les autres. Pour chaque argument, on indique en complément de quel argument il vient, et s'il va dans le même sens ou dans le sens contraire à cet argument. On souhaite comparer deux actions X et Y. On suppose que l'on obtient S(X)-S(Y)=0.08, -0.11. On a donc globalement Y>X. En appliquant les principes donnés précédemment, l'explication à foumir s'organise de la manière suivante :
• On commence par expliquer pourquoi Cμ(X)-CμÇf) < 0 alors que cV(X)-C7μ(Y) > 0. On se trouve alors dans le cas 4b. Cela donne, par exemple :
« Y est préféré à X puisque le score de X sur le critère 0 est pénalisé par un plus mauvais score sur le critère 1 (les critères 0 et 1 doivent être satisfaits tous les deux). »
• Il faut ensuite expliquer pourquoi CμQQ-C 1μ Y) > 0. Ce point va donc en modération du précédent. Comme S(X)-S(Y) > CμQQ-CμÇY) > 0, on se trouve alors dans le cas 3b. L'argument est donc composé de deux points : o Le premier argument indique que S(X)-S(Y)>0 :
« X est en moyenne meilleur que Y. » o Le second argument vient en modération du précédent, et explique pourquoi la décision prise avec l'opérateur de Shapley est moins tranchée qu'avec la moyenne arithmétique : « X est meilleur que Y sur le critère 4 qui est peu important. » On voit que le troisième argument vient en modération du second argument qui lui-même vient en modération du premier. Par voie de conséquence, le troisième vient en fait en complément du premier argument. Ainsi, l'explication globale se base sur ces trois arguments dans l'ordre donné précédemment, on obtient :
« Y est préféré à X puisque le score de X sur le critère 0 est pénalisé par un plus mauvais score sur le critère 1 (les critères 0 et 1 doivent être satisfaits tous les deux).
Ceci a été partiellement compensé par le fait que X est en moyenne meilleur que Y. Ceci a été partiellement atténué par le fait que X est meilleur que Y sur le critère
4 qui est peu important. » L'utilisateur risque d'être trompé par la signification réelle du dernier argument. On ne sait pas clairement quel argument le dernier atténue. Afin de clarifier les explications, la solution est alors de remonter le dernier argument en seconde position, c'est à dire de commencer par les arguments qui vont dans le même sens que le premier argument, et de terminer par les autres. Cela donne dans l'exemple pris ici :
« Y est préféré à X puisque le score de X sur le critère 0 est pénalisé par un plus mauvais score sur le critère 1 (les critères 0 et 1 doivent être satisfaits tous les deux). Ceci a été amplifié par le fait que X est meilleur que Y sur le critère 4 qui est peu important. Néanmoins, ceci a été partiellement atténué par le fait que X est en moyenne meilleur que Y. »
On détermine pour chaque argument de la pile s'il va en complément ou en modération de l'argument principal. On réordonne alors la pile en plaçant en premier les arguments qui vont en complément à l'argument principal. Les arguments sont alors générés dans cet ordre, en commençant les arguments qui vont en complément par « Ceci a été amplifié par le fait que », en commençant le premier argument qui va en modération à l'argument principal par « Néanmoins, ceci a été partiellement atténué par le fait que », et en commençant les autre arguments qui vont en modération de l'argument principal par « De plus ». Exemples d'explications générées.
On va exposer maintenant des exemples d'explications générées pour les deux problèmes cités ci-dessus dans l'exposé du principe général du procédé de l'invention. Pour ce faire, on part d'un exemple d'agrégation multicritère.
On considère l'exemple simplifié de l'évaluation d'une voiture suivant cinq critères : Prix (Pri) ; Sécurité (Sec) ; Esthétique (Est) ; Puissance (Pui) et Confort (Con), comme représenté en figure 3.
A titre d'exemple, on considère les indices d'importance suivants : Pri : 0.367 ; Sec : 0.216 ; Est : 0.121 ; Pui : 0.254 ; Con :0.042
Les indices d'interactions non nuls sont donnés ci-dessous :
(Pri.Sec): 0.254; (Pri.Est): 0.085; (Pri.Pui): 0.253; (Sec,Pui): 0.151; (Sec,Con): 0.027; (Est.Pui): 0.062; (Est.Con): 0.058 On va exposer les explications de la comparaison entre deux alternatives et on va donner ici quelques exemples de textes générés avec la seconde solution (exposée ci-dessus), dans tous les cas possibles.
Cas 1 de la seconde solution : X=( Pri = 0.93; Sec = 0.98; Est = 0.76; Pui = 0.21 ; Con = 0.38 ) et Y=( Pri = 0.22; Sec = 0.61 ; Est = 0.39; Pui = 0.20; Con = 0.27). On a Y<X. L'explication générée est la suivante :
« X est préféré à Y puisque TOUS les scores de X sont meilleurs que ceux de Y. » Cas 2 de la seconde solution : X=( Pri = 0.76; Sec = 0.71 ; Est = 0.59; Pui = 0.91 ; Con = 0.80 ) et Y=( Pri = 0.38; Sec = 0.67; Est = 0.89; Pui = 0.21 ; Con = 0.39). On a Y<X. L'explication générée est la suivante :
« X est préféré à Y puisque les scores de X sont en moyenne bien meilleurs que ceux de Y. » Cas 3a de la seconde solution : X=( Pri = 0.95; Sec = 0.66; Est = 0.59; Pui = 0.71; Con = 0.56 ) et Y=( Pri = 0.28; Sec = 0.66; Est = 0.68; Pui = 0.32; Con = 0.90). On a Y<X. L'explication générée est la suivante :
« X est préféré à Y puisque X est en moyenne meilleur que Y. Ceci a été amplifié par le fait que X est meilleur que Y sur le critère PRI qui est important, alors que Y est meilleur que X sur le critère CON qui est peu important. » Cas 3b de la seconde solution : X=( Pri = 0.93; Sec = 0.36; Est = 0.97; Pui = 0.39; Con = 0.99 ) et Y=( Pri = 0.78; Sec = 0.27; Est = 0.40; Pui = 0.59; Con = 0.49). On a Y<X. L'explication générée est la suivante :
« X est préféré à Y puisque X est en moyenne meilleur que Y. Ceci a été partiellement atténué par le fait que X est meilleur que Y sur les critères EST, CON qui sont peu importants. » Cas 3c de la seconde solution :
X=( Pri = 0.56; Sec = 0.11; Est = 0.92; Pui = 0.42; Con = 0.16 ) et Y=( Pri = 0.54; Sec = 0.53; Est = 0.30; Pui = 0.75; Con = 0.65). On a X<Y. L'explication générée est la suivante :
« Y est préféré à X puisque le critère EST pour lequel X est meilleur que Y est peu important, et ne compense pas le fait que Y est en moyenne meilleur que X sur les autres critères. » Cas 3d de la seconde solution : X=( Pri = 0.28; Sec = 0.75; Est = 0.24; Pui = 0.50; Con = 0.51 ) et Y=( Pri = 0.27; Sec = 0.51; Est = 0.44; Pui = 0.35; Con = 0.92). On a Y<X. L'explication générée est la suivante :
X est préféré à Y puisque le critère CON pour lequel Y est meilleur que X est peu important, et ne compensé pas le fait que X est en moyenne meilleur que Y sur les autres critères. Si on a : X=( Pri = 0.61; Sec = 0.43; Est = 0.96; Pui = 0.01; Con = 0.60 ) et Y=( Pri =
0.86; Sec = 0.29; Est = 0.23; Pui = 0.33; Con = 0.30). On obtient X<Y.
L'explication générée est la suivante :
« Bien que Y soit en moyenne moins bon que X, Y est quand même préféré à X puisque Y est meilleur que X sur le critère PRI qui est important, alors que X est meilleur que Y sur les critères EST, CON qui sont peu importants. »
Cas 4a de la seconde solution :
X=( Pri = 0.99; Sec = 0.83; Est = 0.97; Pui = 0.16; Con = 0.64 ) et Y=( Pri = 0.71; Sec = 0.65; Est = 0.36; Pui = 0.90; Con = 0.18). On a X<Y.
L'explication générée est la suivante :
« Bien que Y soit en moyenne moins bon que X, Y est quand même préféré à X puisque le score de X sur le critère PRI est pénalisé par un plus mauvais score sur le critère PUI (les critères PRI et PUI doivent être satisfaits tous les deux), le score de X sur le critère SEC est pénalisé par un plus mauvais score sur le critère PUI (les critères SEC et PUI doivent être satisfaits tous les deux), Y est meilleur que X sur le critère PUI qui est important et X est meilleur que Y sur le critère CON qui est peu important. » Si on a :
X=( Pri = 0.27; Sec = 0.47; Est = 0.70; Pui = 0.97; Con = 0.51 ) et Y=( Pri =
0.51; Sec = 0.24; Est = 0.69; Pui = 0.48; Con = 0.01). On obtient Y<X.
L'explication générée est la suivante :
« X est préféré à Y puisque X est en moyenne meilleur que Y. Ceci a été partiellement atténué par le fait que le score de X sur le critère
PUI est pénalisé par un plus mauvais score sur le critère PRI (les critères PUI et PRI doivent être satisfaits tous les deux) et Y est meilleur que X sur le critère PRI qui est important. »
Cas 4b de la seconde solution : X=( Pri = 0.33; Sec = 0.60; Est = 0.25; Pui = 0.79; Con = 0.24 ) et Y=( Pri = 0.27; Sec = 0.46; Est = 0.93; Pui = 0.57; Con = 0.63). On a X<Y. L'explication générée est la suivante :
« Y est préféré à X puisque le score de X sur le critère SEC est pénalisé par un plus mauvais score sur le critère PRI (les critères
SEC et PRI doivent être satisfaits tous les deux). Ceci a été partiellement atténué par le fait que X est meilleur que Y sur les critères PRI, PUI qui sont importants, alors que Y est meilleur que X sur les critères EST, CON qui sont peu importants. » Si on a :
X=( Pri = 0.96; Sec = 0.01; Est = 0.49; Pui = 0.16; Con = 0.32 ) et Y=( Pri = 0.27; Sec = 0.17; Est = 0.26; Pui = 0.08; Con = 0.43). On obtient Y<X. L'explication générée est la suivante :
« X est préféré à Y puisque X est en moyenne meilleur que Y. Ceci a été amplifié par le fait que X est meilleur que Y sur le critère PRI qui est important. Néanmoins, ceci a été partiellement atténué par le fait que le score de X sur le critère PRI est pénalisé par un plus mauvais score sur le critère SEC (les critères PRI et SEC doivent être satisfaits tous les deux). » Explications du score global de x.
On va exposer ici quelques exemples de textes générés de l'explication du score global d'une alternative X en se basant sur la seconde méthode.
Si :X=( Pri = 1; Sec = 1 ; Est = 1; Pui = 0.97 ; Con = 1). Score global=0.97 , l'explication générée est la suivante :
« X est TRÈS BON puisque TOUS les scores de X sont TRÈS BON. Si :
X=( Pri = 0.98; Sec = 0.92; Est = 0.69; Pui = 0.63 ; Con = 0.02). Score global=0.68 , l'explication générée est la suivante : « X est BON puisque le critère Con pour lequel X n'est pas BON est peu important, et ne compense pas le fait que X est en moyenne
BON sur les autres critères.
X n'est pas EXCELLENT puisque le score de X sur le critère Pri est pénalisé par un plus mauvais score sur le critère Pui (les critères Pri et Pui doivent être satisfaits tous les deux). D'autre part, les scores suivant les différents critères se compensent plus ou moins les uns avec les autres. » Si : X=( Pri = 0.72; Sec = 0.56; Est = 0.88; Pui = 0.16 ; Con = 0.01). Score global=0.35. L'explication générée est la suivante :
« Bien que X ne soit pas en moyenne MAUVAIS, X est quand même
MAUVAIS puisque le score de X sur le critère Est est pénalisé par un plus mauvais score sur le critère Pui (les critères Est et Pui doivent être satisfaits tous les deux), X est MAUVAIS sur le critère Pui qui est important et X n'est pas MAUVAIS sur le critère Est qui est peu important.
X n'est pas EXÉCRABLE puisque X n'est pas EXÉCRABLE sur le critère Pri qui est important. » Si :
X=( Pri = 0.72; Sec = 0.07; Est = 0.75; Pui = 0.29 ; Con = 0.74). Score global=0.30 . L'explication générée est la suivante :
« Bien que X ne soit pas en moyenne MAUVAIS, X est quand même
MAUVAIS puisque le score de X sur le critère Pri est pénalisé par un plus mauvais score sur le critère Sec (les critères Pri et Sec doivent être satisfaits tous les deux), X est MAUVAIS sur le critère Sec qui est important et X n'est pas MAUVAIS sur les critères Est, Con qui sont peu importants.
X n'est pas EXÉCRABLE puisque X n'est pas EXÉCRABLE sur le critère Pri qui est important. »

Claims

REVENDICATIONS
1. Procédé de génération d'explications pour expliquer à un utilisateur une décision prise à l'aide d'un modèle d'agrégation multicritère compensatoire pour une application donnée, selon lequel on établit un modèle d'agrégation multicritère compensatoire unique pour l'application considérée, modèle décrit par un certain nombre de phénomènes et reproduisant une expertise déterminée, caractérisé par le fait que l'on recherche dans le modèle décisionnel les phénomènes élémentaires de décision qui sont à l'origine de la décision prise, qu'à partir de ces phénomènes élémentaires on établit une suite de modèles comportant de plus en plus de phénomènes élémentaires, que l'on recherche le plus petit modèle amenant à la même décision que le modèle complet, que l'on ne produit les explications que sur les phénomènes élémentaires de ce plus petit modèle, et que l'explication du score global d'une alternative est faite par deux comparaisons entre alternatives.
2. Procédé selon la revendication 1, caractérisé par le fait que l'explication à foumir pour le modèle simplifié s'obtient par comparaison avec un modèle d'agrégation encore plus simple mais amenant à une décision non conforme au modèle unique.
3. Procédé selon l'une des revendications 1 à 2, caractérisé par le fait que la décision consiste à choisir une alternative parmi deux, que l'on évalue le modèle pour ces deux alternatives, que la décision sera de choisir l'alternative de plus fort score, et qu'on explique cette décision.
4. Procédé selon la revendication 2, caractérisé par le fait que le modèle d'agrégation comporte plusieurs niveaux de simplification emboîtés et représentés par une suite de fonctions de comparaison M1,...,MP entre les deux alternatives, que la fonction -Vf ' comporte tous les phénomènes compensatoires présents dans -Vf plus d'autres phénomènes, que la fonction M p représente la comparaison avec le modèle d'agrégation initial et comporte l'ensemble des phénomènes de compensation possibles, que la fonction M1 ne comporte aucun phénomène de compensation spécifique au modèle d'agrégation, que si M1 fournit la même décision que le modèle d'agrégation, l'explication à foumir ne fait pas référence aux spécificités du modèle d'agrégation, que dans le cas contraire l'explication se base sur la fonction -Vf q telle que M q fournit la même décision que le modèle d'agrégation et que les fonctions de comparaison précédentes M1,..., M (*~1 fournissent la décision opposée.
5. Procédé selon la revendication 4, caractérisé par le fait que l'explication de la décision prise par la fonction de comparaison -Vf q se fait par comparaison avec une fonction de comparaison -V J , avec j<q, plus simplifiée mais fournissant une décision non conforme au modèle unique, que les phénomènes de compensation utilisés dans l'explication sont ceux contenus dans M q mais non contenus dans -Vf J, et que pour déterminer parmi ces phénomènes ceux qui ont vraiment compté dans la décision prise, on rajoute progressivement des comportements à M J jusqu'à ce que la décision prise soit conforme au modèle unique.
6. Procédé selon la revendication 5, caractérisé par le fait que le modèle d'agrégation correspond à une somme pondérée ou une intégrale de
Choquet 2-additive.
7. Procédé selon la revendication 6, caractérisé par le fait qu'il y a quatre fonctions de comparaison, que la première fonction de comparaison M1 indique qu'une alternative est préférée à une seconde si la première altemative est meilleure que la seconde suivant tous les critères, que la deuxième fonction de comparaison M2 correspond à la comparaison par une moyenne arithmétique, que la troisième fonction de comparaison -Vf 3 ne contient que les phénomènes d'importance des critères, que la quatrième fonction de comparaison M4 contient l'ensemble des phénomènes d'importance et d'interaction entre critères, que si la première fonction de comparaison donnant la décision conforme au modèle unique est M3, alors on détermine les phénomènes à mettre dans l'explication par comparaison avec -Vf2, et que si la première fonction de comparaison donnant la décision conforme au modèle unique est M4, alors on détermine les phénomènes de compensation à inclure dans l'explication par comparaison avec M2.
8. Procédé selon la revendication 1, caractérisé par le fait que la décision à prendre consiste à évaluer une alternative, que l'on évalue le modèle pour cette alternative et qu'on explique cette évaluation.
9. Procédé selon la revendication 8, caractérisé par le fait que l'ensemble des évaluations est découpé en 2m+1 niveaux ordonnés N-m, ..., No, .... Nm, que le niveau N_m est le plus mauvais, que le niveau N0 est moyen, c'est-à-dire ni bon ni mauvais, que Nm est le meilleur niveau, que chaque niveau est caractérisé par une valeur minimale et une valeur maximale, que l'on détermine pour l'alternative le niveau Nk correspondant à son évaluation par le modèle, que l'on explique pourquoi l'alternative est préférée à une alternative dont les valeurs suivant tous les critères sont égales à la valeur minimale du niveau Nk en appliquant le procédé selon l'une des revendications 2 à 7, et que l'on explique pourquoi l'alternative est moins bien préférée à une alternative dont les valeurs suivant tous les critères sont égales à la valeur maximale du niveau Nk en appliquant le procédé selon l'une des revendications 2 à 7.
10. Procédé selon la revendication 9, caractérisé par le fait que k>0, que l'on indique que « l'alternative est Nk » en appliquant le procédé selon l'une des revendications 2 à 7 à la comparaison entre l'alternative et une altemative dont les valeurs suivant tous les critères sont égales à la valeur minimale du niveau Nk, et que l'on indique que « l'alternative n'est pas Nk+ι » en appliquant le procédé selon l'une des revendications 2 à 7 à la comparaison entre l'alternative et une altemative dont les valeurs suivant tous les critères sont égales à la valeur maximale du niveau Nk.
11. Procédé selon la revendication 9, caractérisé par le fait que k<0, que l'on indique que « l'alternative est N » en appliquant le procédé selon l'une des revendications 2 à 7 à la comparaison entre l'alternative et une alternative dont les valeurs suivant tous les critères sont égales à la valeur maximale du niveau Nk, et que l'on indique que « l'alternative n'est pas Nk-ι » en appliquant le procédé selon l'une des revendications 2 à 7 à la comparaison entre l'alternative et une altemative dont les valeurs suivant tous les critères sont égales à la valeur minimale du niveau N .
12. Procédé selon la revendication 9, caractérisé par le fait que k=0, que l'on indique que « l'alternative n'est pas Ni » en appliquant le procédé selon l'une des revendications 2 à 7 à la comparaison entre l'alternative et une altemative dont les valeurs suivant tous les critères sont égales à la valeur maximale du niveau N0, et que l'on indique que « l'alternative n'est pas N-ι » en appliquant le procédé selon l'une des revendications 2 à 7 à la comparaison entre l'altemative et une altemative dont les valeurs suivant tous les critères sont égales à la valeur minimale du niveau N0.
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