EP1559071A2 - Procede de prise de decision en l'absence de regles clairement identifiables - Google Patents

Procede de prise de decision en l'absence de regles clairement identifiables

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Publication number
EP1559071A2
EP1559071A2 EP03778342A EP03778342A EP1559071A2 EP 1559071 A2 EP1559071 A2 EP 1559071A2 EP 03778342 A EP03778342 A EP 03778342A EP 03778342 A EP03778342 A EP 03778342A EP 1559071 A2 EP1559071 A2 EP 1559071A2
Authority
EP
European Patent Office
Prior art keywords
compensation
value
expert
variables
variable
Prior art date
Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
Withdrawn
Application number
EP03778342A
Other languages
German (de)
English (en)
Inventor
Christophe Labreuche
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
Thales SA
Original Assignee
Thales SA
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Thales SA filed Critical Thales SA
Publication of EP1559071A2 publication Critical patent/EP1559071A2/fr
Withdrawn legal-status Critical Current

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Classifications

    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING OR CALCULATING; COUNTING
    • G06N—COMPUTING ARRANGEMENTS BASED ON SPECIFIC COMPUTATIONAL MODELS
    • G06N5/00—Computing arrangements using knowledge-based models
    • G06N5/04—Inference or reasoning models
    • G06N5/048—Fuzzy inferencing

Definitions

  • the present invention relates to a decision-making process in the absence of clearly identifiable rules.
  • the rule-based approach is very widely used in many expert systems. It allows experts to enter their knowledge as naturally as possible in the form of “business rules”. The rule-based approach allows the expert to provide his expertise directly in an explicit and perfectly clear form.
  • Decision trees are widely used to model decision-making among a finite set of alternatives (“alternative” signifying in the present description one of the possibilities offered by a choice). Their big interest is to be perfectly understandable by an expert.
  • a decision tree can be represented as a set of rules. The difficulty is to take into account the imprecisions and uncertainties of the expert's knowledge in these decision trees. The imprecisions and uncertainties are conventionally modeled thanks to the use of fuzzy logic. If we consider the following rule "If Ri ⁇ i and R 2 ⁇ 2 then zeC", then this amounts to saying that Ri is greater than or equal to ai, and likewise for R 2 with ⁇ 2 . Imprecisions and uncertainties are not the only phenomena that deserve to be modeled.
  • An object of the invention is to be able to model the compensation phenomena.
  • the difficulty is to take into account in the decision trees the imprecisions and the uncertainties, as well as the compensatory phenomena.
  • the inclusion of uncertainties and inaccuracies in standard rules is conventionally done using fuzzy logic. This amounts to saying that the condition Ri greater than or equal to ai can be more or less verified (with a certain degree), and the same for R 2 and ⁇ 2 .
  • a fuzzy set ⁇ which is nothing other than a function which, with a value of Ri associates a degree between 0 and 1.
  • the compensatory fuzzy rule that we have described with two variables in the premises is generalized to any number of variables. This gives: “If F (V ⁇ (R ⁇ ) N 2 (R 2 ), ... Nn (R n )) is large, so zeC ".
  • the number F (V ⁇ (R 1 ), ... N ⁇ (R n )) corresponds to the degree of compensation between 0 and 1. It describes with what degree the compensation takes place and therefore with what degree the rule must be triggered.
  • N n (R n )) refers to the notion of bounded unipolar scale modeling a notion whose opposite does not exist and whose degree admits a maximum value, as is the case for example for satisfaction. The degree is therefore typically modeled in a scale [0,1].
  • the concept of compensation is based on the concept of bipolar scale (modeling a concept and its opposite, such as, for example, attractiveness and repulsion) since, in any phenomenon of compensation, there are necessarily positive aspects which compensate for negative aspects.
  • the utility functions Vi (R) must therefore correspond to such scales.
  • the function F has as argument values belonging to a bipolar scale (the utilities V ⁇ (Rj)) and returns a value belonging to a bounded unipolar scale (the degree of compensation). Consequently, there must therefore exist inside F a function T making it possible to pass from a bipolar scale to a bounded unipolar scale.
  • H is a function aggregation such as those used in multi-criteria decision support.
  • the H function models the compensation.
  • H (u ⁇ , ..., u n ) is between the smallest value among the Uj and the largest value among the Uj.
  • good aspects compensate for bad ones.
  • Good aspects are variables such that Vj (R ⁇ ) is large while bad aspects are variables such that Vj (Rj) is large.
  • Rj ⁇ oci for the good variables
  • RJ ⁇ OCJ for the bad variables.
  • fuzzy decision tree exists (cf. JM Adamo "Fuzzy decision trees”, Fuzzy Sets & Systems, Vol. 4, pp. 207-219, 1980).
  • the determination of fuzzy decision trees is generally done by learning techniques. These techniques do not make it possible to introduce vagueness into an already existing decision tree. In addition, they do not deal with compensatory phenomena.
  • a standard fuzzy rule of the type "If U ⁇ (x) and U ⁇ (y) are large, then zeC”, the fuzzy sets U ⁇ and U ⁇ are directly palpable for an expert, so that he will be able to explicitly determine. This is no longer directly the case in the compensatory rules, since the Vi are perceived only through the function F. It is therefore very difficult, if not impossible, for an expert to directly supply the values of as well as of F. C This is why there is not really a method to do this.
  • fuzzy logic There are a number of relatively conventional methods in fuzzy logic which indirectly make it possible to model compensatory phenomena.
  • Each combination of ki k n provides a priori value different from C.
  • the fuzzy rule approach using an aggregation function F consists in describing the compensation globally using a mathematical function, while this approach consists in describing the point-to-point compensation (i.e. for any tuple k ⁇ , ..., k n ).
  • the big disadvantage of this approach is “the combinatorial explosion” since it is necessary to explain a rule for all the possible combinations of k ⁇ , mecanic., K n .
  • conjunctive rules have an interpretation which does not correspond to an implication between the conditions in the premise and the conclusion, but just to the observation of something that has happened (cf. D. Dubois & H.
  • the decision-making method is a method according to which decision-making rules are established comprising at least two variables for each of which at least one limit is not strict, and it is characterized in that we formally introduce a compensation condition into the rules that are not clearly identifiable, that we determine for each parameter of a compensatory condition at least one particular point belonging to a compensation boundary and linked to the parameter, that we deduce the value of parameters, apply all the rules and deduce the decision. Note that the fact that a limit is not strict means that the conditions on the corresponding thresholds can be violated.
  • the compensation is binary in nature, and there is only one compensation frontier.
  • the conditions in the premises are blurred by the expert, the compensation can be more or less verified, there are two compensation boundaries, the application of the rules makes it possible to calculate a degree of possibility on the set of possible alternatives, and we must interpret the final possibility distributions to deduce the decision.
  • the compensation condition is written as the aggregation by a sum, which is advantageously a simple unweighted sum, of utility functions on each variable, the utility functions are refined by pieces, an expert provides the abscissa of the points delimiting the affine parts, and the parameters of the compensation condition are the ordinates of these points.
  • the expert provides in relative values with respect to the extreme values the ordinates of the utility functions for all points delimiting the affine parts except the two extreme points and the threshold, the utility at the threshold is null and the parameters of the compensation condition are the ordinates of the utility functions for the extreme points.
  • the utility at the threshold is zero and the parameters of the compensation condition are the ordinates of the utility functions for all points delimiting the affine parts, except the threshold.
  • the particular points are such that all of their coordinates according to the variables except one are equal to one of the values delimiting the affine parts of the utility functions, we ask the expert to provide the value according to the unfixed coordinate so that the particular point is exactly on a compensation boundary, we determine a characteristic point for any variable and any value delimiting the parts affines of the utility function on this variable such that the coordinate of the characteristic point following the variable is equal to the value and such that the ordinate of this value is a parameter (that is to say is unknown), the relations which we have on the characteristic points leading to a system of equations of which the unknowns are the parameters, and we solve this system with a classical method.
  • the expert determines for each variable the type of compensation to which it belongs, which provides a set of equations and inequalities to which we add the equations from the characteristic points, and we solve this system with a classical method.
  • all the variables correspond to a compensation of the type for which, for each variable Ri, there is a value of Ri beyond or below which no more compensation is possible whatever the value according to the other variables, which the expert provides in relative values with respect to the extreme values the ordinates of the utility functions for all points delimiting the affine parts except the two extreme points and the threshold, that the utility at the threshold is null, that the parameters of the compensation condition are the ordinates of the utility functions for the extreme points, that the conditions in the premises are blurred by the expert, that the compensation can be more or less verified, than the points characteristics are such that the component according to a well satisfied variable corresponds to the maximum value according to this variable, that the component according to a badly satisfied variable is free, that one asks the expert to provide the value according to the free coordinate (not fixed) so that the particular point is located exactly on a compensation frontier and that all other components are set at the thresholds.
  • the rule base corresponds to a decision tree.
  • the rule base corresponds to a decision tree, and a single alternative cannot be perfectly possible in the distribution of final possibilities (this is the hypothesis H described below).
  • the pairs of complementary conditions are highlighted in the decision tree, including the compensation conditions, the complementary conditions are treated at the same time by separating the core from their fuzzy set by a very small number.
  • FIG. 1 is an example of a simplified decision tree used to explain the invention
  • FIG. 2 is a diagram drawn in the plane of the two variables of the tree of FIG. 1
  • FIG. 3 is a diagram repeating that of FIG. 2, into which the compensations in accordance with the invention have been introduced,
  • FIGS. 4 to 6 are diagrams of fuzzy functions used by the invention.
  • FIGS. 7 to 13 are diagrams in the plane of the two variables of a decision tree, into which various compensations are introduced, in accordance with the invention, and FIGS. 14 to 16 are diagrams of utility functions implemented by the invention.
  • This compensation term corresponds to the complement of the initial compensation term.
  • P2 Introduction of fuzziness.
  • the conditions in the premises of the decision tree form a partition of the space of variables. The fact that we obtain a partition implies that each time that l 'we find a condition, we necessarily find its complement somewhere in the same decision tree. Two conditions are complementary if, whatever the value of the variables, one and only one condition among these two conditions is perfectly true. This corresponds to an hypothesis H described later. In order to introduce vagueness, the invention proposes to jointly treat each pair of complementary conditions so that hypothesis H is satisfied.
  • the operators of conjunction and disjunction are transformed respectively into minimum and maximum.
  • phases P2 and P3 are sufficient. It is also quite possible to introduce compensation without blurring in a decision tree. Phases P1 and P4 are then sufficient. We can indeed use the P4 process to specify the compensation found in a non-fuzzy decision tree.
  • Characteristics 10 to 13 of the invention relate to the explanation of compensation in a decision tree. Characteristics 11 to 13 of the invention are more particularly concerned with a decision tree into which one wishes to introduce blurring while satisfying hypothesis H.
  • Characteristic 12 of the invention corresponds to step P2 and consists of particular to treat couples of complementary conditions at the same time.
  • Characteristic 13 of the invention consists in using steps P1 to P4 to introduce blurring and compensation in a decision tree.
  • step P4 alone describes a process which can be considered separately.
  • P4 provides a process for explaining a compensatory phenomenon in a fuzzy rule.
  • P4 taken separately can therefore be used to specify compensation in a condition of the compensation type found in the premise of a fuzzy rule.
  • the characteristics 1 to 9 of the invention relate to the explanation of the compensation in a single rule, that is to say the step P4 taken alone.
  • the originality of the process of the invention relates firstly to the process corresponding to phase P4 (Specification of the compensatory fuzzy conditions), and secondly to the fact of introducing the fuzzy in a certain way (in considering the pairs of complementary conditions) so as to ensure that the result (the chosen alternative) satisfies certain properties.
  • the fuzzy compensation is characterized by three zones: one in which one compensates perfectly, another in which one does not compensate at all, and in the middle an zone in which one compensates a little with a degree compensation between 0 and 1.
  • the expert will not be able to determine the degree to which compensation is allowed for this point.
  • the points for which the most information is deduced belong to the border between two zones. Indeed, it is easy to see that each border is characterized as a certain level curve of H (V (R 1 ) N 2 (R 2 ), ...
  • N n (Rn) that is to say say the set of values of variables Ri R n for which H (V 1 (R ⁇ ) N 2 (R 2 ), ... N n (Rn)) is equal to a certain value, whereas the fact of belonging to a zone gives just an inequality on H (V ⁇ (R 1 ), ... N n (R n )) - which is less informative.
  • the process therefore consists in asking the expert to specify a certain number of points lying on the border between the zones “we compensate perfectly” and “we compensate a little”, and on the border between the zones “we do not compensate at all "and” we compensate a little ". Knowledge of these points will allow the parameters of compensation to be determined.
  • V the utility function defined on the variable Ri
  • V we characterize V by a set of discrete points of R ⁇ . This set is noted%. It then suffices to determine the value Vj (Xi) of the utility function at each point Xi of this set to entirely specify Vi. For example, V can be refined between these points.
  • the method of the invention consists in questioning the expert on a set of singular points of compensation belonging to the border between two zones. These singular points are points of which all the coordinates except one belong to the sets%. We then ask the expert for what value of the last variable the singular point is located exactly on the border between two areas.
  • Such a singular point noted R '(Rj) is such that for all k ⁇ i its component on the variable k belongs to the set%. and its component on the variable i is worth Rj.
  • the values of R '(Rj) according to the components other than i are such that when R, varies, the point R' (Ri) necessarily crosses one of the two borders.
  • a point R '(Rj) is sought, satisfying the preceding hypotheses, such that its component according to the variable j is worth Xj.
  • the values of the components of R '(R ⁇ ) outside of i and j can be fixed at values whose utilities are already known, while ensuring that R' (R ⁇ ) necessarily cuts one of the two boundaries for a value of Ri.
  • the present invention will be described below with reference to an example of a decision tree. It is simple, but representative of the phenomena that can occur.
  • the example is a passing exam.
  • the exam consists of two tests. The results following the two tests are noted Ri and R 2 .
  • Ri and R 2 the results following the two tests are noted Ri and R 2 .
  • the decision tree shown in Figure 1 indicates the student's situation based on their results. This decision tree stipulates that Ri and R 2 must be greater than or equal to 10. If these two conditions are satisfied at the same time, the student is accepted. If not, we look to see if these two results at the same time are greater than or equal to 8. If so, the student is caught up, if not, he is refused.
  • Ri is more important than the result R 2 .
  • R 2 that is to say R 2 ⁇ 8
  • Ri is more important than the result R 2 .
  • FIG. 3 shows these two ways of doing things.
  • the compensation here extends the possible values leading to the alternative "Catch-up". It is easier to explain first the alternative for which the domain is restricted. This is the "Refused” alternative. Without compensation, the condition for granting the alternative “Refused” is: “Refused” if R ⁇ ⁇ 8 OR R 2 ⁇ 8 We have just restricted the condition "R 2 ⁇ 8". We therefore add the compensation condition to the condition "R 2 ⁇ 8", as before: “Refused” if R ⁇ ⁇ 8 OR (R 2 ⁇ 8 AND Ri does not compensate R 2 ) The compensation condition here is "Ri does not compensate for R 2 ”. The term “compensation" has a positive connotation. The fact of being able to compensate must therefore lead to a positive conclusion.
  • ⁇ should be less than the numerical precision on the variable Ri.
  • R_i we mean the vector R deprived of its i the e component, that is to say (Ri, ..., Ru, Rj + ⁇ , ..., R n ).
  • U (R) H (V ⁇ (R ⁇ ), ..., V ⁇ (R ⁇ )), where H is an aggregation function.
  • the invention plans to construct U (R ⁇ > 10) as a piecewise affine function defined by a few points between R ⁇ ⁇ f and 10.
  • the value of U (R ⁇ > 10) for these points is determined using a method from the theory of measurement and allowing the construction of a difference scale. Such a scale is given to a translation and a homothety close.
  • the vector (if s n ) belongs to the level curve 0 of U since
  • the compensation terms are combined via min and max operators with other conditions.
  • an unbounded behavior that is to say with a level curve going to infinity
  • the compensation can be bounded by other conditions.
  • the utility function Vi is assumed to be monotonous, that is to say either increasing or decreasing.
  • ⁇ i the sign of the derivative of Vi.
  • ⁇ j -1 if Vi is decreasing.
  • the compensation relates to the alternative C m eC.
  • the compensation introduced is of the type: Ri compensates R 2
  • T ⁇ ie ⁇ 1, ..., n ⁇ / 3 (A + , A _ ) el such that i A- ⁇
  • T (i) ⁇ je l " / 3 (A + , A ⁇ ) el such as ieA ⁇ and jeA + ⁇
  • l ⁇ (i) ⁇ jel + / 3 (A + , A ⁇ ) el such as ieA- etjeA + ⁇ .
  • R1 There is a value of Ri beyond (if below (if ⁇ r-1) of which no more compensation is possible whatever the value according to the other variables.
  • R2 Whatever the value of R; (even very bad), we compensate perfectly for sufficiently good values of the other variables.
  • 9 ⁇ the set of i belonging to case R1.
  • 3t 2 the set of i belonging to the case R2.
  • 9Î 3 the set of i belonging to the case R3.
  • Vi, * Vj (Rj, *).
  • Vj, ** satisfies the relation V- ,
  • the value Vi * satisfies the relation Vj, * + ⁇ jeA + V j * ⁇ -1 for all (A + , A ⁇ ) l such that ieA ⁇ (one of these inequalities corresponding to an equality), so that Ri, * has a challenge Clear and precise definition referring to the case of compensation situations defined by the expert.
  • V (A + , A " ) e I such that ie A " , we have Vj, * + ⁇ jeA + Vj * ⁇ 0
  • C1 means that we are in case 1 (that is, we determine the utility functions only at the ends) while R1 means that all the variables are supposed to belong to the framework R1 compensation.
  • the method of the invention is composed of the following steps: C1 -R1-1 - Definition of reference thresholds si. .... s n :
  • the reference thresholds Si s n correspond to the level which makes it possible to compensate perfectly, but just, on the variables Ri, ..., R n .
  • the expert answers the following question:
  • R k * for ke l ⁇ :
  • V k corresponds to a ratio scale.
  • ⁇ k (R) a method from the measurement theory is used. The invention provides for the MACBETH methodology (cf. C. Bana e
  • Vj * - ⁇ Rij 0 ) x ⁇ (A + , A - ) el / ieA _ - (1 + ⁇ jeA + nD + Vj * ) /
  • V k , * -1 - ⁇ j ⁇ k V j *
  • U (R k , j _ (Rk, j "1 )) V k (R k ) + Vj * , we have: R, j ⁇ 1 is interpreted as follows:
  • R j R j . If the expert does not agree with the value of R k j ⁇ 1 , we impose - (1+ Vj * ) / V k
  • Vector of variables R k , j ⁇ for keA ⁇ ⁇ i ⁇ and jeA + . According to the same explanations concerning the particular points, there exists a value R k , j ° of the variable R k such that U (R k) j ⁇ (R k , j °)) 0.
  • Ry 0 is interpreted as follows:
  • Vj k Vj (Rj k ) for ke ⁇ 1, ..., pj ⁇ , as shown in Figure 15.
  • Vi k Vi (Ri k ) for ke ⁇ -p '-1 ⁇ .
  • V ⁇ (R, ⁇ - 1 ) + ⁇ JsA + V J * l -1
  • Ri K * '° and Ri * 1 the remarkable points of the vector of variables Ri K *" defined previously from K * .
  • V q * ] ⁇ > Vi k e [Vi , *, Vi , * + V j * ] So if k is large, then we expect V k to be close to Vi, *. In this case, the values k q which will allow the level curve -1 to be crossed will be equal to p q +1 or in any case large.
  • the process of the invention is composed of the following steps:
  • C2-R1 -1 - Definition of reference thresholds if s n This step is strictly identical to step C1-R1-1.
  • C2-R1 -2 - Definition of Ri * values for ie T This step is strictly identical to step C1-R1 -2.
  • C2-R1 -3 - Definition of R k * values for ke l ⁇ This step is strictly identical to step C1-R1-2.
  • Equation (3- [C2-R1]) therefore provides a relation satisfied by Vj k for all I l + (i) ⁇ D + and all ke ⁇ 1 Pj + 1 ⁇ .
  • the indices j in l + (i) ⁇ Dj + (where Di + is the value of D + when step C2-R1-6 is at the level of the reference index i) for a reference index i will all be preferred to the indices l + (i ') ⁇ D- * for another reference index i' if the expert has given i before i '.
  • the union of all the sets l + (i) ⁇ Di + for all the reference indices i is equal to f. It therefore suffices now to explain how to order the different indices among l + (i) ⁇ Dj + for a fixed i.
  • Rj described [R, * , Sj] intersects one of the level curves 0 or -1.
  • C1-R * -2 • »Definition of Ri * values for je l * This step is strictly identical to step C1-R1-2.
  • Determination of V for ie% ⁇ The steps whose number ends with a hook [1] are specific to case R1 (ie9î ⁇ ). They will be declined according to cases R2 and R3 respectively with the brackets [2] and [3]. The steps without a hook are generic and are not repeated in cases R2 and R3.
  • C1 -R * -3H1 - Definition of Rk * values for ke l ⁇ This step is strictly identical to step C1-R1-2.
  • C1 -R - Determination of the utility function V k between Rk * and Sk for ke l ⁇ This step is strictly identical to step C1-R1-4.
  • C1-R * -6m - Determination of the reference ie9î ⁇ ⁇ D The questionnaire will be based on a particular variable among 9l ⁇ ⁇ D ⁇ . This step is identical to step C1-R1-6.
  • step C1 -R1 -7m Determination of Vi * and V * for all ie. * ⁇ ) ⁇ D *: Let I l + (i) ⁇ D + . This step is identical to step C1 -R1-7. Thanks to question Q5 [C1-R1], we determine Ry 0 . As in step C1-R1-7, we have:
  • V ,, * ⁇ (A + , A _ ) e , / isA _ - (1 + ⁇ jsA + nD + Vj * ) / (1 - ⁇ jeA + ⁇ i (Ri, j ° ))
  • Vj * - ⁇ i (Rij °) X ⁇ ( A +
  • Vs for ie9l 2 are determined as follows.
  • the expert is asked the pair (A + , A ⁇ ) for which the previous inequality is satisfied.
  • ⁇ j ⁇ (R ⁇ 0 ) if V
  • ,. + Vj ⁇ -1, and ⁇ iJ 1 / ⁇ j (R j °) if Vj * + V j * > -1.
  • Vj * - T y - ⁇ y x ( ⁇ + ⁇ keA + ⁇ D + T ik - ⁇ kSA + n D + V k * ) /
  • V kj * K - ⁇ jeA + V j * We then proceed to the determination of V, for ie9î 3 :
  • Vj * ⁇ ( ⁇ jsA + ⁇ D + Tjj - ⁇ jeA + ⁇ D + Vj) / (1 - ⁇ j s A + ⁇ D + Xij) and:
  • Vj * ⁇ (A +, A-) el / ieA- ( ⁇ jeA + ⁇ D + Tjj - ⁇ j ⁇ A + nD + Vj) / (1 - ⁇ j s A + ⁇ D + tjj)
  • V, * ⁇ (A +, A-) sl ieA- ( ⁇ jsA + ⁇ D + Tjj - ⁇ jsA + nD + Vj) / (1 - ⁇ jeA + ⁇ D + Tjj)
  • Vj * + ⁇ J S A + VJ * 0.
  • Vj - Ty -Tjj X ⁇ (A +, A-) sl / isA- ( ⁇ jsA + ⁇ D + Tjj - ⁇ j s A + nD + Vj) / (1 - ⁇ jeA + ⁇ D + Xij)
  • * ⁇ (A +, A-) el / keA- ⁇ ⁇ jsA + Vj
  • C1-R 0 - Determination of V j * for a te l * This step is strictly identical to step C1-R1-9.
  • r M min ⁇ r ( Vj * , ⁇ ), v ⁇ e [V], v]], ⁇ e [ ⁇ , ⁇ ] ⁇ or:
  • indices ⁇ k q ⁇ q ⁇ A + ⁇ j considered are those maximizing r (if we wish to solve the exact problem) or r M (if we are content with the approximate problem).

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Abstract

Le procédé de l'invention est un procédé de prise de décision en l'absence de règles clairement identifiables, selon lequel on établit des règles de prise de décision comportant au moins deux variables pour chacune desquelles au moins une limite n'est pas stricte, et il est caractérisé par le fait que l'on introduit formellement une condition de compensation dans les règles non clairement identifiables, qu'on détermine pour chaque paramètre d'une condition compensatoire au moins un point particulier appartenant à une frontière de compensation et relié au paramètre, qu'on en déduit la valeur des paramètres, qu'on applique l'ensemble des règles et qu'on en déduit la décision.

Description

PROCEDE DE PRISE DE DECISION EN L'ABSENCE DE REGLES CLAIREMENT IDENTIFIABLES
La présente invention se rapporte à un procédé de prise de décision en l'absence de règles clairement identifiables.
L'approche par règles est très largement utilisée dans de nombreux systèmes experts. Elle permet aux experts de rentrer le plus naturellement possible leur connaissances sous forme de « règles métier ». L'approche par règles permet à l'expert de fournir son expertise directement sous forme explicite et parfaitement claire.
Les arbres de décision sont très utilisés pour modéliser la prise d'une décision parmi un ensemble fini d'alternatives (« alternative » signifiant dans la présente description l'une des possibilités offertes par un choix). Leur gros intérêt est d'être parfaitement compréhensibles par un expert. Un arbre de décision peut se représenter comme un ensemble de règles. La difficulté est de prendre en compte les imprécisions et les incertitudes de la connaissance de l'expert dans ces arbres de décision. Les imprécisions et incertitudes sont classiquement modélisées grâce à l'utilisation de la logique floue. Si l'on considère la règle suivante « Si Ri≥αi et R2≥α2 alors zeC », alors cela revient à dire que Ri est supérieur ou égal à ai, et de même pour R2 avec α2. Les imprécisions et incertitudes ne sont pas les seuls phénomènes qui méritent d'être modélisés. D'après la règle précédente, on a zeC dès que Rι>ocι et R2>α2. Or, à l'évidence, il se peut qu'il existe de nombreux cas pratiques dans lesquels z devrait aussi appartenir à C lorsque Ri est légèrement inférieur à ai mais que R2 est suffisamment supérieur à α2. Dans ce cas, on s'attend effectivement à ce qu'une bonne valeur de la variable R2 compense une mauvaise valeur de R-i. Il en va évidemment de même entre une bonne valeur de la variable Ri et une mauvaise valeur de R2.
Un objet de l'invention est de pouvoir modéliser les phénomènes de compensation. La difficulté est de prendre en compte dans les arbres de décision les imprécisions et les incertitudes, ainsi que les phénomènes compensatoires. On reprend la règle « Si Ri≥αi et R2≥α2 alors zeC ». La prise en compte des incertitudes et imprécisions dans les règles standard se fait classiquement grâce à la logique floue. Cela revient à dire que la condition Ri supérieur ou égal à ai peut être plus ou moins vérifiée (avec un certain degré), et de même pour R2 et α2. On introduit alors un ensemble flou \ qui n'est rien d'autre qu'une fonction qui, à une valeur de Ri associe un degré entre 0 et 1. Ce degré vaut 0 (c'est à dire Vι(R-ι)=0) si la condition R-i≥αi n'est pas du tout satisfaite, et ce degré vaut 1 (c'est à dire Vι(R-ι)=1) si la condition Rι≥αι est parfaitement satisfaite. Il existe dans la littérature de nombreuses façons de transformer une règle standard en une règle floue. A chaque façon correspond une interprétation de la règle. Par exemple, pour les règles floues dites « à certitude », cela donne : « plus Ri est supérieur à i et plus R2 est supérieur à α2 , alors plus il est certain que zeC ».
On peut écrire la règle précédente sous forme floue, de la façon générique suivante : « Si V-ι(Rι) ET V2(R2) sont grands , alors zeC ». Pour modéliser les phénomènes compensatoires, le connecteur ET dans la règle doit être étendu. Dans la littérature, l'extension des connecteurs de conjonction et de disjonction existe. En remplaçant le connecteur ET par un connecteur générique noté ®, on obtient « Si Vι(Rι), ® V2(R2) est grand alors zeC ». Pour modéliser plus particulièrement la compensation, on utilise un connecteur du type moyenne. On écrit alors plus particulièrement « Si F(Vι(Rι),V2(R2)) est grand alors zeC », où F est une fonction que l'on va expliciter ci-dessous. La règle floue compensatoire que l'on a décrite avec deux variables dans les prémisses se généralise à un nombre quelconque de variables. Cela donne : « Si F(Vι(Rι)N2(R2), ...Nn(Rn)) est grand, alors zeC ». Le nombre F(Vι(R1),...Nπ(Rn)) correspond au degré de compensation entre 0 et 1. Il décrit avec quel degré la compensation a lieu et donc avec quel degré la règle doit être déclenchée. La notion de degré (et en particulier le degré de compensation F(Vι(R1),...Nn(Rn))) renvoie à la notion d'échelle unipolaire bornée modélisant une notion dont le contraire n'existe pas et dont le degré admet une valeur maximale, comme c'est le cas par exemple pour la satisfaction. Le degré est donc typiquement modélise dans une échelle [0,1]. A l'opposé, la notion de compensation s'appuie sur la notion d'échelle bipolaire (modélisant une notion et son contraire, comme par exemple l'attractivité et la répulsion) puisque, dans tout phénomène de compensation, il y a forcément des aspects positifs qui compensent des aspects négatifs. Les fonctions d'utilité Vi(R) doivent donc correspondre à de telles échelles. On voit donc que la fonction F a en argument des valeurs appartenant à une échelle bipolaire (les utilités Vι(Rj)) et renvoie une valeur appartenant à une échelle unipolaire bornée (le degré de compensation). En conséquence, Il doit donc exister à l'intérieur de F une fonction T permettant de passer d'une échelle bipolaire à une échelle unipolaire bornée. Pour des valeurs quelconques uι,...,un de ses arguments, F s'écrit donc F(u-ι,...,un)=T(H(uι un)), où H est une fonction d'agrégation comme celles utilisées en aide multicritères à la décision. La fonction H modélise la compensation. Elle est dite compensatoire dans le sens où H(uι,...,un) est compris entre la plus petite valeur parmi les Uj et la plus grande valeur parmi les Uj. Un exemple de fonction H est typiquement la somme pondérée : H(uι,...,un)=∑i-={1 n) ot, Uj.
Comme détaillé plus loin, dans tout phénomène compensatoire, de bons aspects compensent de mauvais. Les bons aspects sont les variables telles que Vj(Rι) est grand alors que de mauvais aspects sont les variables telles que Vj(Rj) est petit. Typiquement, on a Rj≥oci pour les bonnes variables, et RJ<OCJ pour les mauvaises variables. Certaines variables Rj peuvent donc se situer en deçà des seuils otj pourvu que les autres variables soient suffisamment au-dessus des seuils. On dira alors que la limite OCJ n'est pas stricte.
La notion d'arbre de décision flou existe (cf. J.M. Adamo « Fuzzy décision trees », Fuzzy Sets & Systems, Vol. 4, pp. 207-219, 1980). Dans la littérature, la détermination d'arbres de décision flous se fait en général par des techniques d'apprentissage. Ces techniques ne permettent pas d'introduire du flou dans un arbre de décision déjà existant. De plus, elles ne traitent pas les phénomènes compensatoires. Dans une règle floue standard du type « Si Uα(x) et Uβ(y) sont grands, alors zeC », les ensembles flous Uα et Uβ sont directement palpables pour un expert, de sorte qu'il sera capable de les déterminer explicitement. Ce n'est plus directement le cas dans les règles compensatoires, puisque les Vi sont perçus uniquement au travers de la fonction F. Il est donc très difficile, voire impossible, à un expert de fournir directement les valeurs des ainsi que de F. C'est pour cela qu'il n'existe pas réellement de méthode permettant de faire cela.
Il existe un certain nombre de procédés relativement classiques en logique floue qui permettent indirectement de modéliser les phénomènes compensatoires. Le premier concerne l'utilisation des règles floues dites « conjonctives » (cf. E.H. Mamdani « Application of fuzzy logic to approximate reasoning using linguistic Systems » IEEE Transactions on Computers, N°26, pp. 1182-1191, 1977). Il s'agit de « paver » l'ensemble des valeurs possibles de chaque variable Ri par une suite d'ensembles flous Aj,ι, ..., Aj,p. On crée alors une règle pour chaque combinaison des ensembles flous : « Si RιeAι,kι et ... et RneAn,kn alors zeC » pour tout kι,...,kn. Chaque combinaison des ki kn fournit une valeur a priori différente de C. L'approche par règles floues utilisant une fonction d'agrégation F consiste à décrire la compensation globalement grâce à une fonction mathématique, alors que cette approche consiste à décrire la compensation point par point (c'est-à-dire pour tout n-uplet kι,...,kn). Le gros inconvénient de cette approche est « l'explosion combinatoire » puisqu'il faut expliciter une règle pour toutes les combinaisons possibles de kι,„.,kn. De plus, les règles conjonctives ont une interprétation qui ne correspond pas à une implication entre les conditions en prémisse et la conclusion, mais juste à l'observation de quelque chose qui s'est produit (cf. D. Dubois & H. Prade, «What are fuzzy rules and how to use them», Fuzzy Sets & Systems, N°84, pp. 169-185, 1996). Cette approche est moins pertinente que celle utilisant la fonction F. Le second procédé connu est l'interpolation entre règles (cf. D.
Dubois & H. Prade, « On fuzzy interpolation », Int. Journal of General Systems, N°28, pp. 103-114, 1999). On considère par exemple deux règles qui s'appliquent sur des valeurs différentes des variables dans les prémisses : « Si R-ieAi et ... et Rn<≡An alors zeC » et « Si RieB-i et ... et RneBn alors zeC ». L'interpolation entre ces deux règles permet créer des règles qui s'appliqueront sur les valeurs intermédiaires entre les Ai et les Bj. La concaténation de toutes ces règles aura un effet similaire à l'approche utilisant une fonction d'agrégation F. Par contre, la façon d'obtenir la règle compensatoire globale est détournée. Les conséquences de l'interpolation peuvent dépasser ce que l'expert souhaitait initialement. Selon l'invention, il est préférable d'aider l'expert à raisonner directement sur la compensation.
Le procédé de prise de décision conforme à l'invention est un procédé selon lequel on établit des règles de prise de décision comportant au moins deux variables pour chacune desquelles au moins une limite n'est pas stricte, et il est caractérisé par le fait que l'on introduit formellement une condition de compensation dans les règles non clairement identifiables, qu'on détermine pour chaque paramètre d'une condition compensatoire au moins un point particulier appartenant à une frontière de compensation et relié au paramètre, qu'on en déduit la valeur des paramètres, qu'on applique l'ensemble des règles et qu'on en déduit la décision. On notera que le fait qu'une limite ne soit pas stricte signifie que les conditions sur les seuils correspondants peuvent être violées.
Selon une deuxième caractéristique de l'invention, la compensation est de nature binaire, et il n'y a qu'une seule frontière de compensation.
Selon une troisième caractéristique de l'invention, les conditions dans les prémisses sont rendues floues par l'expert, la compensation peut être plus ou moins vérifiée, il y a deux frontières de compensation, l'application des règles permet de calculer un degré de possibilité sur l'ensemble des alternatives possibles, et l'on doit interpréter les distributions de possibilité finales pour en déduire la décision.
Selon une quatrième caractéristique de l'invention, la condition de compensation s'écrit comme l'agrégation par une somme, qui est avantageusement une simple somme non pondérée, de fonctions d'utilité sur chaque variable, les fonctions d'utilité sont affines par morceaux, un expert fournit les abscisses des points délimitant les parties affines, et les paramètres de la condition de compensation sont les ordonnées de ces points.
Selon une cinqième caractéristique de l'invention, l'expert fournit en valeurs relatives par rapport aux valeurs extrêmes les ordonnées des fonctions d'utilité pour tous points délimitant les parties affines hormis les deux points extrêmes et le seuil, l'utilité au seuil est nulle et les paramètres de la condition de compensation sont les ordonnées des fonctions d'utilité pour les points extrêmes. Selon une sixième caractéristique de l'invention, l'utilité au seuil est nulle et les paramètres de la condition de compensation sont les ordonnées des fonctions d'utilité pour tous points délimitant les parties affines, hormis le seuil.
Selon une septième caractéristique de l'invention, les points particuliers sont tels que toutes leur coordonnées suivant les variables sauf une sont égales à une des valeurs délimitant les parties affines des fonctions d'utilité, on demande à l'expert de fournir la valeur suivant la coordonnée non fixée de telle sorte que le point particulier se situe exactement sur une frontière de compensation, on détermine un point caractéristique pour toute variable et toute valeur délimitant les parties affines de la fonction d'utilité sur cette variable telle que la coordonnée du point caractéristique suivant la variable soit égale à la valeur et telle que l'ordonnée de cette valeur soit un paramètre (c'est-à-dire soit inconnue), les relations que l'on a sur les points caractéristiques aboutissant à un système d'équations dont les inconnues sont les paramètres, et on résout ce système avec une méthode classique.
Selon une huitième caractéristique de l'invention, l'expert détermine pour chaque variable le type de compensation à laquelle elle appartient, ce qui fournit un ensemble d'équations et d'inéquations auxquelles on ajoute les équations issues des points caractéristiques, et on résout ce système avec une méthode classique.
Selon une neuvième caractéristique de l'invention, toutes les variables correspondent à une compensation du type pour laquelle , pour chaque variable Ri, il existe une valeur de Ri au-delà ou en deçà de laquelle plus aucune compensation n'est possible quelle que soit la valeur suivant les autres variables, que l'expert fournit en valeurs relatives par rapport aux valeurs extrêmes les ordonnées des fonctions d'utilité pour tous points délimitant les parties affines hormis les deux points extrêmes et le seuil, que l'utilité au seuil est nulle, que les paramètres de la condition de compensation sont les ordonnées des fonctions d'utilité pour les points extrêmes, que les conditions dans les prémisses sont rendues floues par l'expert, que la compensation peut être plus ou moins vérifiée, que les points caractéristiques sont tels que la composante suivant une variable bien satisfaite corresponde à la valeur maximale suivant cette variable, que la composante suivant une variable mal satisfaite soit libre, que l'on demande à l'expert de fournir la valeur suivant la coordonnée libre (non fixée) de telle sorte que le point particulier se situe exactement sur une frontière de compensation et que toutes les autres composantes soient fixées aux seuils.
Selon une dixième caractéristique de l'invention, la base de règles correspond à un arbre de décision. Selon une onzième caractéristique de l'invention, la base de règles correspond à un arbre de décision, et une seule alternative ne peut être parfaitement possible dans la distribution de possibilités finale (c'est l'hypothèse H décrite ci-dessous).
Selon une douzième caractéristique de l'invention, on met en évidence dans l'arbre de décision les couples de conditions complémentaires, y compris les conditions de compensation, on traite les conditions complémentaires en même temps en séparant le noyau de leur ensemble flou par un nombre très petit.
Selon une treizième caractéristique de l'invention, on commence par introduire formellement la compensation, puis on introduit formellement le flou, puis on spécifie les conditions floues non compensatoires, et enfin on spécifie les conditions floues compensatoires.
La présente invention sera mieux comprise à la lecture de la description détaillée d'un mode de mise en oeuvre, pris à titre d'exemple non limitatif et illustré par le dessin annexé, sur lequel :
-la figure 1 est un exemple d'arbre de décision simplifié servant à expliquer l'invention,
-la figure 2 est un diagramme tracé dans le plan des deux variables de l'arbre de la figure 1 , -la figure 3 est un diagramme reprenant celui de la figure 2, dans lequel ont été introduites les compensations conformes à l'invention,
-les figures 4 à 6 sont des diagrammes de fonctions floues utilisées par l'invention,
-les figures 7 à 13 sont des diagrammes dans le plan des deux variables d'un arbre de décision, dans lesquels sont introduites diverses compensations, conformément à l'invention, et -les figures 14 à 16 sont des diagrammmes de fonctions d'utilité mises en œuvre par l'invention.
On va d'abord décrire succinctement les caractéristiques générales du procédé de l'invention. Ainsi, on part de l'écriture d'un arbre de décision sous forme de règles standard. Les phases suivantes décrivent le processus de prise en compte des imprécisions et des incertitudes, ainsi que des phénomènes compensatoires.
• P1 - Introduction de la compensation. L'explicitation de l'arbre de décision sous forme de règles montre que l'on aboutit à une partition de l'espace des variables en différentes zones, chaque zone correspondant aux valeurs des variables amenant à une alternative particulière. L'introduction d'un phénomène de compensation induit une modification de la frontière entre deux zones. Il faut donc déterminer dans un premier temps sur la frontière entre quelles alternatives la compensation porte principalement. Selon l'invention, on détermine dans quelle zone la compensation induit une réduction de domaine. On ajoute alors un terme de compensation en conjonction dans les conditions en prémisses de la règle définissant cette zone. A l'opposé, la zone voisine va s'agrandir de la partie enlevée à la zone précédente. On doit alors ajouter un terme de compensation en disjonction dans les conditions en prémisses de la règle définissant cette zone voisine.
Ce terme de compensation correspond au complémentaire du terme initial de compensation. " P2 - Introduction du flou. Comme dit ci-dessus, les conditions en prémisses de l'arbre de décision forment une partition de l'espace des variables. Le fait que l'on obtienne une partition implique qu'à chaque fois que l'on trouve une condition, on trouve nécessairement son complémentaire quelque part dans le même arbre de décision. Deux conditions sont complémentaires si, quelle que soit la valeur des variables, une et une seule condition parmi ces deux conditions est parfaitement vraie. Cela correspond à une hypothèse H décrite plus tard. Afin d'introduire du flou, l'invention propose de traiter conjointement chaque paire de conditions complémentaires de telle sorte que l'hypothèse H soit satisfaite. D'autre part, dans les conditions en prémisses des règles, les opérateurs de conjonction et de disjonction sont transformés respectivement en minimum et maximum.
• P3 - Spécification du flou dans les conditions non compensatoires.
Afin que l'hypothèse H soit vérifiée, les valeurs pour lesquelles les conditions floues sont parfaitement satisfaites correspondent aux valeurs pour lesquelles les conditions non floues sont satisfaites.
Pour déterminer les valeurs pour lesquelles les conditions floues ne sont plus du tout satisfaites, on peut poser des questions à l'expert.
,r Au minimum, il suffit de poser une seule question par condition. • P4 - Spécification du flou dans les conditions compensatoires. Ceci fait l'objet d'un processus à part décrit ci-dessous.
Il n'est pas nécessaire de réaliser ces étapes dans l'ordre indiqué précédemment. L'ordre décrit ci-dessus est un exemple préféré. Les relations de précédence entre les différentes phases sont : P4 vient après P1 et P2 ; P3 vient après P2. D'autre part, il est tout à fait possible d'introduire du flou mais pas de compensation dans un arbre de décision.
Dans ce cas, les phases P2 et P3 suffisent. Il est de même tout à fait possible d'introduire de la compensation sans le flou dans un arbre de décision. Les phases P1 et P4 suffisent alors. On peut en effet utiliser le processus P4 pour spécifier la compensation se trouvant dans un arbre de décision non flou.
Les caractéristiques 10 à 13 de l'invention portent sur l'explication de la compensation dans un arbre de décision. Les caractéristiques 11 à 13 de l'invention s'intéressent plus particulièrement à un arbre de décision dans lequel on veut introduire du flou tout en satisfaisant l'hypothèse H.
La caractéristique 12 de l'invention correspond à l'étape P2 et consiste en particulier à traiter les couples de conditions complémentaires en même temps. La caractéristique 13 de l'invention consiste à utiliser les étapes P1 à P4 pour introduire du flou et de la compensation dans un arbre de décision. II est à noter que l'étape P4 décrit à elle seule un processus qui peut être considéré séparément. En effet, P4 fournit un processus d'explicitation d'un phénomène compensatoire dans une règle floue. P4 pris séparément peut donc servir à spécifier la compensation dans une condition du type compensation se trouvant en prémisse d'une règle floue. Les caractéristiques 1 à 9 de l'invention portent sur l'explicitation de la compensation dans un règle seule, c'est-à-dire l'étape P4 prise seule.
L'originalité du procédé de l'invention porte dans un premier temps sur le processus correspondant à la phase P4 (Spécification des conditions floues compensatoires), et dans un second temps sur le fait d'introduire le flou d'une certaine manière (en considérant les couples de conditions complémentaires) de sorte d'assurer que le résultat (l'alternative choisie) satisfasse certaines propriétés.
Le point délicat dans le processus consiste à formaliser la compensation. Dans l'espace des variables, la compensation floue est caractérisée par trois zones : l'une dans laquelle on compense parfaitement, une autre dans laquelle on ne compense pas du tout, et au milieu une zone dans laquelle on compense un peu avec un degré de compensation compris entre 0 et 1. Pour un point se situant dans la zone intermédiaire, l'expert ne sera pas capable de déterminer le degré avec lequel la compensation est permise pour ce point. On peut par contre demander à l'expert à quelle zone appartient un point. Les points pour lesquels on déduit le plus d'information appartiennent à la frontière entre deux zones. En effet, il est facile de voir que chaque frontière se caractérise comme une certaine courbe de niveau de H(V (R1)N2(R2),...Nn(Rn)), c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de variables Ri Rn pour lesquelles H(V1(Rι)N2(R2),...Nn(Rn)) est égal à une certaine valeur, alors que le fait d'appartenir à une zone donne juste une inégalité sur H(Vι(R1),...Nn(Rn)) - ce qui est moins informatif. Le processus consiste donc à demander à l'expert de spécifier un certain nombre de points se situant sur la frontière entre les zones « on compense parfaitement » et « on compense un peu », et sur la frontière entre les zones « on ne compense pas du tout » et « on compense un peu ». La connaissance de ces points permettra de déterminer les paramètres de la compensation.
Afin de déterminer la fonction d'utilité V définie sur la variable Ri, on caractérise V par un ensemble de points discrets de R\. Cet ensemble est noté %. Il suffit alors de déterminer la valeur Vj(Xi) de la fonction d'utilité en chaque point Xi de cet ensemble pour spécifier entièrement Vi. Par exemple, V peut être affine entre ces points.
Le procédé de l'invention consiste à questionner l'expert sur un ensemble de points singuliers de la compensation appartenant à la frontière entre deux zones. Ces points singuliers sont des points dont toutes les coordonnées sauf une appartiennent aux ensembles %. On demande alors à l'expert pour quelle valeur de la dernière variable le point singulier se situe exactement sur la frontière entre deux zones. Un tel point singulier noté R'(Rj) est tel que pour tout k≠i sa composante sur la variable k appartient à l'ensemble %. et sa composante sur la variable i vaut Rj. Les valeurs de R'(Rj) suivant les composantes autres que i sont telles que lorsque R, varie, le point R'(Ri) coupe forcément l'une des deux frontières. S'il s'agit de la frontière entre les zones « on compense parfaitement » et « on compense un peu », on obtient cette valeur de Ri en demandant jusqu'à quelle valeur de Ri ou à partir de quelle valeur de Ri - selon que la fonction d'utilité V est croissante ou décroissante - l'on compense parfaitement pour le point R'(Rι). S'il s'agit de la frontière entre les zones « on ne compense pas du tout » et « on compense un peu », on obtient cette valeur de Ri en demandant à partir de quelle valeur de Ri ou jusqu'à quelle valeur de Ri -- selon que la fonction d'utilité V est croissante ou décroissante - l'on ne compense plus du tout pour le point R'(Rj). Pour chaque variable j et chaque point Xj de ,, on cherche un point R'(Ri), satisfaisant les hypothèses précédentes, tel que sa composante suivant la variable j vaut Xj. Pour la valeur Ri pour laquelle R'(Rι) se trouve à une frontière, on obtient une équation (correspondant au fait que H(Vι(R'(Ri)ι))...Nn(R'(Ri)n)) est égal à une certaine valeur) dans laquelle se trouve Vj(Xj). En faisant cela pour chaque variable j et chaque point Xj de 9îj, on obtient ainsi un système d'équations que l'on peut résoudre de façon classique.
A ces équations, on peut aussi joindre quelques inégalités portant notamment sur le type de compensation souhaitée. On a en effet identifié trois comportements types de compensation (notés R1, R2 et R3 par la suite). Ces comportements permettent de donner une définition claire aux valeurs clés de chaque variable Rj. Les relations que l'on obtient peuvent être résolues soit directement soit via un programme linéaire standard ou un programme linéaire en nombres entiers.
Comme cela a été indiqué ci-dessus, pour chaque variable j et chaque point Xj de 9îj, on cherche un point R'(Rj), satisfaisant les hypothèses précédentes, tel que sa composante suivant la variable j vaut Xj. On cherche donc des valeurs de R'(Ri) sur les composantes autres que i et j de telle sorte que R'(Rι) coupe au moins l'une des deux courbes de niveau lorsque Ri varie. Dans les cas favorables, on peut fixer les valeurs des composantes de R'(Rι) en dehors de i et j, à des valeurs dont les utilités sont déjà connues, tout en assurant que R'(Rι) coupe forcément l'une des deux frontières pour une valeur de Ri. Dans les autres cas, on doit utiliser des valeurs des composantes de R'(Ri) hors i et j dont on ne connaît pas encore les utilités. On ne peut pas alors être sûr que R'(Rι) coupe forcément l'une des deux courbes de niveau puisque, justement, cette propriété dépend des utilités suivant les composantes autres que i et j qui ne sont pas encore connues. Dans ce cas, on peut choisir les autres composantes qui maximisent une sorte de probabilité de croiser une courbe de niveau.
Pour terminer, on va expliquer brièvement comment introduire de la compensation (sans le flou) dans une règle non floue. On fait référence ici à la deuxième caractéristique de l'invention ainsi qu'à celles qui en découlent. Le fait d'aboutir en fin de processus à une décision binaire (« on compense » ou « on ne compense pas ») sans nuance implique qu'il n'y a que deux zones, et donc une seule frontière au lieu de deux comme précédemment. De plus, la fonction T renvoie 1 (dans ce cas, « on compense ») si son argument est supérieur à une certaine valeur, et 0 (dans ce cas, « on ne compense pas ») sinon. On procède alors comme précédemment, mis à part que l'on ne dispose que d'une seule courbe de niveau. De ce fait, comme on a un seul niveau de référence absolu (la valeur de la courbe de niveau), les résultats seront donnés à une homothetie près (par rapport à la valeur). Cela sera suffisant pour pouvoir faire sans ambiguïté possible la comparaison par rapport à cette valeur.
La présente invention sera décrite ci-dessous en référence à un exemple d'arbre de décision. Il est simple, mais représentatif des phénomènes pouvant se produire. L'exemple consiste en un examen de passage. L'examen est composé de deux épreuves. Les résultats suivant les deux épreuves sont notés Ri et R2. En fonction des résultats obtenus, on a trois états possibles : Accepté (l'examen de passage est réussi et l'élève est accepté), Rattrapage (les résultats ne sont pas suffisants pour accepter l'élève du premier coup, mais suffisamment corrects pour l'autoriser à passer un oral de rattrapage), et Refusé (l'examen est très mal réussi, et l'élève est refusé). L'arbre de décision représenté en figure 1 indique la situation de l'élève en fonction de ses résultats. Cet arbre de décision stipule que Ri et R2 doivent être supérieurs ou égaux à 10. Si ces deux conditions à la fois sont satisfaites, l'élève est accepté. Si non, on regarde si ces deux résultats à la fois sont supérieurs ou égaux à 8. Dans l'affirmative, l'élève est rattapé, si non, il est refusé.
Dans le plan des variables Ri et R2, les zones matérialisant les situations Accepté, Rattrapage et Refusé sont représentées sur la figure 2, qui traduit fidèlement dans ce plan l'arbre de décision de la figure 1.
On va maintenant décrire en détail un processus permettant de prendre en compte les imprécisions, les incertitudes et les phénomènes compensatoires dans les arbres de décision.
Les arbres de décision sont très utilisés pour modéliser la prise d'une décision parmi un ensemble fini d'alternatives C={Cι O,}. Leur gros intérêt est d'être parfaitement compréhensibles par un expert.
L'introduction du flou dans un arbre amène, lors du parcours de cet arbre de décision, à ne plus aboutir à une alternative unique Cm mais à une distribution de possibilités pc sur l'ensemble des alternatives possibles. Ainsi, pour chaque alternative CmeC, on détermine le degré de possibilité
Pc( m) (compris entre 0 et 1) que Cm soit la décision à prendre.
L'interprétation de cette distribution de possibilités se fait alors en se basant sur la théorie des possibilités.
Pour introduire dans chaque arbre de décision du flou et de la compensation, l'invention prévoit de partir de l'arbre de décision standard. On va expliquer tout d'abord comment introduire la compensation, et plus précisément la forme que la compensation doit prendre (s'il y a lieu d'introduire de la compensation). On décrira ensuite comment introduire du flou. On commence par introduire de la compensation dans un arbre non encore rendu flou. Il faut partir de l'écriture d'un arbre de décision sous forme de règles standard donnant les conditions d'attribution de chaque alternative. Pour l'exemple de l'examen, cela donne : « Accepté » si Rι>10 ET R2>10 « Rattrapage » si (8<Rι<10 ET R2≥8) OU (Rι>8 ET 8<R2<10) « Refusé » si Rι<8 OU R2<8
Comme il est difficile de prendre en compte la compensation sans outil adapté, aucun phénomène de compensation n'est généralement explicité dans les arbres. Il se peut qu'il n'y ait pas lieu d'en introduire. Par contre, les explications ci-dessous se rapportent au cas contraire. L'explicitation de l'arbre de décision sous forme de règles montre bien que l'on aboutit à une partition de l'espace des variables en différentes zones, chaque zone correspondant aux valeurs des variables amenant à une alternative particulière. L'introduction de compensation induit une modification de la frontière entre deux zones. Il faut donc déterminer dans un premier temps sur quelle frontière entre alternatives porte principalement la compensation, et dans un second temps sur quelles variables la compensation s'applique.
On reprend ici l'exemple de l'examen. Les conditions d'acceptation à un examen sont en général strictes et on peut supposer qu'il n'est peut-être pas souhaitable d'introduire de la compensation sur l'alternative « Accepté ».
Par contre, on peut se demander si un élève doit être refusé dès qu'un résultat est inférieur à 8 même lorsque l'autre résultat est excellent. De même, on peut se demander si un élève qui obtenu la note 8 suivant les deux résultats mérite quand même d'aller en session de rattrapage.
Autrement dit, on suppose qu'il est pertinent d'introduire une compensation à la frontière entre les alternatives « Rattrapage » et « Refusé », et que cela concerne les variables Ri et R2. Il va falloir forcément modifier l'ensemble des valeurs de Ri et R2 amenant aux alternatives « Rattrapage » et « Refusé ». La frontière entre ces deux alternatives peut être modifiée de deux façons :
• La première façon consiste à restreindre l'ensemble des valeurs de Ri et R2 conduisant à l'alternative « Rattrapage ». En l'absence de compensation, les plus mauvais résultats pouvant conduire encore au rattrapage sont Rι=8 et R2=8. Par conséquent, dans cette première façon de faire, un élève qui obtenu la note 8 aux deux résultats ne mérite pas d'aller en session de rattrapage. On est plus exigeant, plus intolérant. On suppose maintenant que le résultat R-i soit plus important que le résultat R2. Dans ce cas, on ne tolère une valeur relativement mauvaise de Ri que si R2 a une valeur suffisamment bonne. Autrement dit, on attribue l'alternative « Rattrapage » si une valeur plutôt bonne du résultat R2 (c'est-à-dire R2>8) compense une valeur relativement mauvaise du résultat Ri (c'est-à-dire par exemple
8<R-ι<10). Bien sûr, il existe d'autres manières de restreindre l'ensemble des valeurs de Ri et R2 amenant à l'alternative
« Rattrapage ».
• La seconde façon consiste à étendre l'ensemble des valeurs de Ri et
R2 amenant à l'alternative « Rattrapage ». Supposons que le résultat
Ri soit plus important que le résultat R2. On décide alors de rattraper une mauvaise valeur de R2 (c'est-à-dire R2<8) lorsque Ri est suffisamment bon. On est moins exigeant, et plus tolérant. Autrement dit, on attribue l'alternative « Rattrapage » si une plutôt bonne valeur du résultat Ri (c'est-à-dire Rι>8) compense une mauvaise valeur du résultat R2 (c'est-à-dire R2<8). Ceci n'est qu'une manière d'étendre l'ensemble des valeurs de Ri et R2 amenant à l'alternative
« Rattrapage ».
La figure 3 montre ces deux façons de faire.
Ces deux façons d'introduire de la compensation sont très différentes.
Choisir le type revient à savoir si toutes les valeurs de Ri et R2 conduisant à l'alternative « Rattrapage » dans l'arbre de décision initial méritent vraiment d'attribuer cette alternative. Pour déterminer la bonne façon de faire, on peut poser la question suivante :
Si Rι=8 et R2=8, estimez-vous vraiment que l'alternative « Rattrapage » mérite d'être attribuée ? Cela revient à demander si les plus mauvaises valeurs des variables Ri amenant à l'alternative dans l'arbre de décision initial méritent vraiment d'aboutir à cette alternative. Si la réponse est positive, c'est la seconde façon de faire qui est la bonne. II est aussi possible de mélanger les deux façons de faire précédentes en restreignant d'un certain coté les valeurs de Ri et R2 conduisant à l'alternative « Rattrapage », et en étendant d'un autre coté Ri et R2 conduisant à l'alternative « Rattrapage ».
On va d'abord examiner le cas de l'introduction de la compensation par restriction (intolérance)
La compensation restreint ici les valeurs possibles conduisant à l'alternative « Rattrapage ». Cela signifie que la compensation est une condition qui vient en plus des conditions déjà existantes. Prenons l'exemple de l'examen. La condition d'attribution de l'alternative « Rattrapage » sans compensation est :
« Rattrapage » si (8<Rι<10 ET R2>8) OU (Rι>8 ET 8<R2<10) La compensation décrite précédemment revient à restreindre la condition 8<R-ι<10 et R2>8. Afin que les deux conditions ne présentent pas d'intersection entre elles, on réécrit cette règle : « Rattrapage » si (8<Rι<10 ET R2>8) OU (R^l 0 ET 8<R2<10)
Comme on restreint les valeurs conduisant à l'alternative « Rattrapage », cela signifie tout simplement que l'on ajoute une condition supplémentaire à la condition « 8<R-ι<10 et R2>8 » et que cette condition porte justement sur la compensation : « Rattrapage » si (8<Rι<10 ET R2>8 ET R2 compense Ri)
OU (Rι≥10 ET 8≤R <10) Sans compensation, la condition d'attribution de l'alternative « Refusé » est :
« Refusé » si Rι<8 OU R2<8 Avec l'introduction de la compensation par restriction sur l'alternative « Rattrapage », on étend les conditions d'attribution de l'alternative « Refusé ». Autrement dit, en plus des conditions précédentes, l'alternative « Refusé » est aussi attribuée pour les valeurs qui ne sont plus attribuées à l'alternative « Rattrapage » lorsque la compensation a été introduite. Ce sont les valeurs satisfaisant les conditions d'attribution de l'alternative « Rattrapage » sans compensation pour lesquelles la compensation ne doit pas se produire : δ≤R^IO ET R2>8 ET R2 ne compense pas Ri Donc, dans le cas de compensation, on a
« Refusé » si Rι<8 OU R2<8
OU ( 8<Rι<10 et R2≥8 et R2 ne compense pas Ri ) Les conditions « R2 compense Ri » et « R2 ne compense pas Ri » sont complémentaires. On examine maintenant les cas de l'Introduction de la compensation par extension (tolérance).
La compensation étend ici les valeurs possibles amenant à l'alternative « Rattrapage ». Il est plus facile d'expliciter d'abord l'alternative pour laquelle on restreint le domaine. Il s'agit de l'alternative « Refusé ». Sans compensation, la condition d'attribution de l'alternative « Refusé » est : « Refusé » si Rι<8 OU R2<8 On vient restreindre la condition « R2<8 ». On rajoute donc la condition de compensation à la condition « R2<8 », comme précédemment : « Refusé » si Rι<8 OU ( R2<8 ET Ri ne compense pas R2 ) La condition de compensation est ici « Ri ne compense pas R2 ». Le terme de « compensation » a une connotation positive. Le fait de pouvoir compenser doit donc aboutir à une conclusion positive. Parmi les deux alternatives « Rattrapage » et « Refusé », c'est l'attribution de l'alternative « Rattrapage » qui est la plus positive. Ainsi, on parle de compensation pour arriver à l'alternative « Rattrapage » et de non-compensation pour aboutir à l'alternative « Refusé ». C'est pour cela que la condition de compensation fait référence à « ne compensent pas ».
Les conditions d'attribution de l'autre alternative s'obtiennent comme précédemment . On a donc l'alternative « Rattrapage » si les conditions d'attribution de l'alternative « Rattrapage » sans compensation sont satisfaites ou bien si on a défaut de non-compensation dans les conditions d'attribution de l'alternative « Refusé » :
« Rattrapage » si (β≤R^IO ET R2>8) OU (Rι>8 ET 8<R2<10) OU ( R2<8 ET Ri compense R2 )
On examine maintenant le cas de l'Introduction du flou dans un arbre de décision.
Il faut partir de l'écriture d'un arbre de décision sous forme de règles standard, avec, de préférence, déjà, introduction de la compensation.
Le fait de raisonner sur des arbres de décision apporte une propriété intéressante. En effet, dans un arbre de décision, on connaît l'alternative attribuée pour toutes les valeurs possibles suivant les variables. De plus, on dispose explicitement des conditions d'attribution de chaque alternative. Il s'avère donc que les domaines dans lesquels chaque alternative est attribuée forment une partition de l'espace des variables. Cela implique qu'à chaque fois que l'on trouve une condition, on trouve nécessairement son complémentaire quelque part dans le même arbre de décision. Par exemple, R-ι≥10 avec Rι<10.
Tout d'abord, on examine le cas de conditions standard. L'introduction du flou va consister à rendre floues les conditions. Au lieu de considérer que la condition Rι<10 est soit vraie soit fausse, on définit un degré de validité sur la condition. Pour une condition R, on notera dans la suite U(R) le degré de validité sur la condition R. U(R)=1 si la condition R est parfaitement satisfaite, et U(R)=0 si la condition R n'est pas du tout satisfaite. Par exemple, U(Rι<10) est le degré de validité de la condition R-ι<10 d'après la valeur de Ri. Il faut donc définir pour chaque condition un degré de validité pour la condition et aussi pour son complémentaire. En logique standard, deux conditions R et T sont complémentaires si on a soit R soit T qui est vrai. Dans la théorie des possibilités, cette condition devient : Hypothèse H : max( U(R) , U(T) ) = 1. De plus, on a soit
U(R)=1, soit U(T)=1. Cette condition implique que parmi les deux conditions R et T, l'une est toujours parfaitement satisfaite. De plus, elles ne peuvent pas être parfaitement satisfaites en même temps. Plusieurs façons de satisfaire l'hypothèse H sont possibles. On en décrit une pour l'exemple des conditions complémentaires Rι>10 et R-]<10 :
• La condition R-ι>10 est parfaitement satisfaite dès que Rι>10. Elle n'est plus du tout satisfaite lorsque Ri est très inférieur à 10. U(Rι>10) a donc la forme donnée sur la figure 4. " La condition R-ι<10 est parfaitement satisfaite dès que Rι<10. Ainsi, on doit avoir U(Rι<10)<1 pour Rι=10. De ce fait, pour Rι=10, seule la condition Rι>10 sera parfaitement satisfaite. Pour vérifier ces conditions, on impose que U(Rι<10) vaille 1 si et seulement si Rι≤10 - ε, où ε est une valeur très petite. Pour les valeurs 10 - ε < Rι<10, aucune des deux conditions Rι>10 et Rι<10 n'est parfaitement vérifiée. Ce sont les seules valeurs de Ri pour lesquelles la propriété H n'est pas vérifiée.
En pratique, ε devra être inférieur à la précision numérique sur la variable Ri. En procédant ainsi, comme la valeur Rι=10 est atteignable, on est sûr que les valeurs 10 - ε < Rι < 10 ne sont pas atteignables numériquement. Par conséquent, la propriété H est vérifiée pour toutes les valeurs atteignables de R-i.
Une fois les différentes utilités définies, on obtient simplement le degré de possibilité sur les différentes conditions apparaissant dans l'arbre de décision. Lorsqu'il y a plusieurs conditions en prémisses composées avec les opérateurs ET et OU, on fait de même en remplaçant ET par un minimum (noté Λ) et OU par un maximum (noté v). Cela donne ainsi pour l'exemple de l'examen en l'absence de compensation : p (Accepté) = U(Rι>10) Λ U(R2>10) p(Rattrapage) = ( U(R-ι>8) Λ U(RI<10) Λ U(R2>8) ) v ( U(Rι>8) Λ U(R2>8) Λ U(R2<10) ) p(Refusé) = U(Rι<8) v U(R2<8) où p (Accepté), p (Rattrapage) et £? (Refusé) sont les degrés de possibilité associés aux trois alternatives possibles. On vient donc de montrer que l'introduction du flou dans les arbres de décision revient à rendre floue chaque condition, le reste du travail étant trivial.
Le fait de raisonner conjointement sur une condition et son complémentaire assure que la condition H est vérifiée. On examine maintenant le cas de conditions de compensation. Les conditions de compensation sont du type « R2 compense Ri » et « R2 ne compense pas Ri ». On remarque que ces conditions sont complémentaires. On va donc procéder exactement de la même manière que précédemment. On va examiner d'abord le cas d'une expression d'une condition floue du type compensation. On veut spécifier l'expression de l'utilité U(R2 compense Ri) d'une condition de compensation du type « R2 compense Ri ». On se place dans le cadre très général où les variables à prendre en compte dans la compensation sont On note N={1,...,n} et R=(Rι,...,Rπ). Par R_i, on entend le vecteur R privé de sa ile e composante, c'est-à-dire (Ri,..., Ru, Rj+ι,...,Rn). Pour déterminer si la compensafion doit être attribuée ou non, on calcule une utilité U(R) qui agrège des utilités partielles Vj(Ri) suivant les différentes variables. U(R) s'écrit alors sous la forme U(R)=H(Vι(Rι),..., Vι(Rι)), où H est une fonction d'agrégation. Comme on désire modéliser la compensation, H est typiquement une somme pondérée H(u) = ∑iS{i n} «i Ui. Cela donne O Ï Vj(Rj). Dans la compensation, certaines variables compensent d'autres variables. Cela signifie que les variables qui compensent ont des valeurs satisfaisantes alors que les variables compensées ont des valeurs non satisfaisantes. On voit donc que les utilités V doivent traduire aussi bien des valeurs satisfaisantes que des valeurs non satisfaisantes. De plus, l'élément neutre (ni bon ni mauvais) existe. Il correspond à un seuil noté si sur la variable i. On voit donc que les utilités Vi ont la signification d'une échelle bipolaire de ratio dans laquelle les valeurs positives correspondent aux valeurs satisfaisantes, les valeurs négatives correspondent aux valeurs non satisfaisantes, et la valeur 0 correspond à l'élément neutre (le seuil). On a Vj(Si)=0. Lorsque les valeurs suivant toutes les variables sont satisfaisantes (c'est-à-dire au-dessus des seuils), alors on compense bien sûr parfaitement, puisqu'il n'y a aucune valeur non satisfaisante susceptible d'empêcher ou d'atténuer la compensation. Dans ce cas, comme tous les V(Ri) sont positifs, l'utilité globale U(R) est strictement positive. Lorsque toutes les variables sont égales aux seuils, alors on compense également parfaitement. On a U(sι,...,sn)=0. Par contre, si toutes les variables sauf une sont égales aux seuils et que cette variable est non satisfaisante, alors on ne compense plus parfaitement. Dans ce cas, l'utilité de cette variable est négative et les autres utilités sont nulles. Comme H est une fonction compensatoire, sa valeur est comprise entre la plus petite valeur parmi ses arguments et la plus grande. On en déduit que U(R) est négatif dans ce cas. On voit donc que la valeur U(R)=0 est la plus petite valeur à partir de laquelle on compense parfaitement. Autrement dit, on compense parfaitement si et seulement si U(R)>0. De même, en dessous d'une certaine valeur négative, on ne compensera plus du tout. Par contre, il n'y a aucune raison de prendre une valeur particulière ici. On choisit arbitrairement la valeur -1. Donc on ne compense pas du tout si et seulement si U(R)<-1. Lorsque -1<U(R)<0, on compense un peu.
On remarque dans l'expression de U(R) que V est toujours présent dans le produit oc,Vj. Or, contrairement aux ensembles flous sur les conditions dans les règles floues non compensatoires, Vi ne comporte pas de niveau de référence absolu, mis à part le seuil Si permettant de normaliser Vj. D'ailleurs, on a choisi arbitrairement la valeur -1 comme limite de « on ne compense pas du tout » puisque justement il n'est pas possible de normaliser V|. Il n'est donc pas pertinent de séparer le poids OCJ de V|. Pour cette raison, dans la suite, le produit αM sera dénoté simplement par Vi. Cela signifie que le poids j est inclus dans Vj. En conséquence, dans la suite, U(R) sera égal à
∑isfi n) Vi(Rj). Comme précédemment, on compense parfaitement si
U(R)>0, et on ne compense plus du tout si U(R)<-1. On doit transformer la valeur fournie par U(R) pour déterminer un degré de compensation compris entre 0 et 1. On applique alors une fonction T à U(R). Ainsi, le degré de compensation vaudra T(U(R)). D'après ce qui précède, on compense parfaitement si U(R)>0. Donc, comme le degré de compensation vaut 1 lorsque l'on compense parfaitement, T(u)=1 si u>0. De plus, on ne compense pas du tout si U(R)<-1. Donc, comme le degré de compensation vaut 0 lorsque l'on ne compense pas du tout, T(u)=0 si u≤-1. La fonction T est donnée en figure 5. Donc l'utilité de la condition de compensation est U(compensation dans Rι,...,Rπ) = T(U(R)).
La condition complémentaire de « compensation dans Rι,...,Rn » est « non compensation dans Rι,...,Rπ ». L'utilité de la condition complémentaire est simplement U(non compensation dans Ri Rn) = T'(U(R)), où les deux fonctions T et T' doivent être complémentaires l'une de l'autre au sens de la condition H. Il y a donc un ε qui sépare le noyau de T et T' (c'est-à-dire les valeurs de u telles que T(u)=1 et les valeurs de u telles que T'(u)=1), comme le montre la figure 5. On va maintenant examiner le cas de l'Introduction de la compensation par restriction (intolérance). On reprend l'exemple de l'examen. Les conditions d'attribution des alternatives « Rattrapage » et « Refusé » sont : « Rattrapage » si (8<Rι<10 ET R2>8 ET R2 compense Ri) « Refusé » si Rι<8 OU R2<8 OU ( 8<Rι<10 et R2>8 et R2 ne compense
Les conditions « R2 compense Ri » et « R2 ne compense pas Ri » sont complémentaires. Pour introduire du flou dans ces conditions, on procède comme décrit précédemment, c'est-à-dire en remplaçant ET par Λ et OU par v : p(Rattrapage) = ( U(Rι>8) Λ U(Rι<10) Λ U(R2>8) Λ U(R2 compense Ri) ) v ( U(Rι>10) Λ U(R2>8) U(R2<10) ) Dans le terme « U(Rι≥ 8) Λ U(R ι<10) Λ U(R2>8) Λ U(R 2 compense
Ri) », les trois premières conditions permettent de fixer les limites de la compensation, cette dernière étant spécifiée au-delà de ces conditions. Les trois premières conditions assurent le fait que le degré de possibilité p(Rattrapage) soit graduel. La dernière condition se concentre sur la compensation et ne s'intéresse pas aux transitions lisses en dehors de ces trois conditions. On procède de la même manière pour l'alternative « Refusé » : p(Refusé) = U(Rι<8) v U(R2<8) v ( U(Rι> 8) Λ U(Rι<10) Λ U(R2>8) Λ U(R2 ne compense pas Ri) ) D'après ce qui a été vu précédemment, on a :
U(R2 compense Ri) = T(Vι(Rι) + V2{R2)) et
U(R2 ne compense pas Ri) = T'( Vι( ι) + V2(R2)) Dans le cas de l'Introduction dé la compensation par extension (tolérance), on procède exactement de la même manière. On va voir ce que cela donne sur l'exemple de l'examen. Les conditions d'attribution de l'alternative « Rattrapage » et « Refusé » sont : « Rattrapage » si (8<Rι<10 ET R2>8) OU (Rι>8 ET 8<R2<10)
OU ( R2<8 ET Ri compense R2 ) « Refusé » si Rι<8 OU ( R2<8 ET Ri ne compense pas R2 ) L'introduction du flou donne alors : p(Rattrapage) = ( U(Rι> 8) Λ U(R I<10) Λ U(R 2≥8) Λ U(R 2 compense Ri) ) v ( U(Rι>8) Λ U(R2>8) U(R2<10) ) v ( U(R2<8)
Λ U(Rι compense R2) ) p(Refusé) = U(Rι<8) v ( U(R2<8) Λ U(RI ne compense pas
R2) ) où : U(Rι compense R2) = T(Vι(Rι) + V2(R2)) et :
U(Rι ne compense pas R2) = T'(Vι(Rι) + V2(R2))
On va expliciter maintenant la manière dont les ensembles flous doivent être spécifiés dans une condition non compensatoire. Pour une condition R, afin de satisfaire l'hypothèse H, on a U(R)=1 lorsque la condition R est vérifiée au sens standard (non flou). On a U(R)=0 lorsque la condition R n'est plus du tout satisfaite. On demande à l'expert de donner le(s) point(s) limite(s) pour le(s)quel(s) R n'est plus du tout satisfaite. Ce(s) point(s) limite(s) peut (peuvent) aussi être demandé(s) au travers des conséquences du fait que U(R)=0 dans l'arbre de décision.
On va prendre le cas de U(R-ι≥10). Bien souvent, U(Rι>10) sera définie par trois tronçons de droites : U(Rι>10)=1 si R-ι>10, U(Rι>10)=0 si R-ι< R ιι 4, et U(R-ι>10) est affine au milieu. Dans ce cas, il suffit donc de fournir une unique valeur Ri,*. Il s'agit de la valeur de Ri en dessous de laquelle U(Rι>10) est tout le temps nul. Pour obtenir la valeur de Ri,», on peut demander à l'expert :
En dessous de quelle valeur de RΛ estimez-vous que la condition Rι>10 n'est pas du tout satisfaite ? Pour rendre cela encore plus concret pour l'expert, on peut se ramener à une conséquence sur la conclusion du fait que U(Rι>10)=0. Comme p(Accepté) = U(Rι>10) Λ U(R2>10), le fait que U(Rι>10)=0 implique que l'alternative « Accepté » est impossible. On peut alors poser la question suivante à l'expert : En dessous de quelle valeur de Ri, estimez-vous que l'alternative
« Accepté » ne doit plus du tout être attribuée ?
Lorsque le lien entre la condition que l'on cherche à spécifier et l'alternative est plus complexe, il faut imposer la valeur des autres conditions de sorte que le fait que la condition ne soit pas du tout vérifiée implique que l'alternative ne soit plus du tout possible. On pose alors une question à l'expert faisant référence aux hypothèses sur les autres conditions.
On voit donc que l'expert peut ne répondre qu'à une seule question par condition pour introduire du flou (première courbe de la figure 6). Par contre, rien n'oblige à prendre U(Rι≥10) simplement affine entre Rι= Ri,* et Rι=10. Ceci est nécessaire lorsque le comportement entre R1|4 et 10 est non linéaire. U(Rι>10) s'interprétant comme la possibilité sur l'alternative « /Accepté » lorsque U(R2≥10)=1, il se peut par exemple que l'alternative « Accepté » soit encore quasiment impossible lorsque Ri est un peu supérieur à Ri,*, alors que l'alternative « Accepté » ne soit plus du tout parfaitement possible lorsque Ri est légèrement inférieur à 10, comme c'est le cas pour la seconde courbe de la figure 6. Dans de tels cas, l'invention prévoit de construire U(Rι>10) comme une fonction affine par morceaux et définie par quelques points entre Rιιf et 10. La valeur de U(Rι>10) pour ces points est déterminée en utilisant une méthode issue de la théorie du mesurage et permettant de construire une échelle de différence. Une telle échelle est donnée à une translation et une homothetie près. Ces deux degrés de liberté sont fixés par les deux conditions U(Rι>10)=0 lorsque Rι= Ri,* et U(Rι>10)=1 lorsque Rι=10.
Concernant la condition U(Rι<10), la valeur à partir de laquelle la condition Rι<10 n'est plus du tout vérifiée est notée Ri*.
On va examiner maintenant les comportements types de compensation. Soit N={1,...,n} l'ensemble des variables à prendre en compte dans la compensation. La somme pondérée caractérisant la compensation s'écrit V(Ri), avec la notation R=(Rι,...,Rπ). Par R_i, on entend le vecteur R privé de sa i'emΘ composante, c'est-à-dire (Ri,..., Ru, Rι+ι>...,Rn)- On compense parfaitement si U(R)>0, et on ne compense pas du tout si U(R)<-1. On va spécifier un peu plus les fonctions d'utilité V. Pour des raisons pratiques, on suppose que les fonctions d'utilité Vi sont bornées. Ainsi, Vj admet une valeur maximale V* atteinte en un point Ri* : Vj(Ri*)=Vj*. De même, Vj admet une valeur minimale Vj« atteinte en un point V,** : Le comportement de V entre Ri,** et Ri* n'est pas spécifié pour l'instant, mis à part que Vi(Si)=0.
Le vecteur (si sn) appartient à la courbe de niveau 0 de U puisque
U(sι sn)=0. On cherche à déterminer les limites sur chaque variable des courbes de niveau 0 et -1. On commence par la courbe de niveau 0. Soit ie N. On désire savoir si, en dessous d'une certaine mauvaise valeur de cette variable Ri, il ne sera plus jamais possible de la compenser parfaitement. On cherche la valeur RI(# de Rj (si elle existe) pour laquelle pour tout Ri tel que Vj(Rj)<Vι(Rj,#) et pour tout R_j, on a U(R)<0, et pour laquelle pour tout Ri tel que Vj(Ri)≥Vi(Ri,#), il existe R_j tel que U(R)>0. On cherche donc la valeur de Ri avec V(Ri) la plus négative possible telle que l'on compense encore parfaitement. On cherche donc :
Min { Vi(R , 3 R-., tel que U(R) > 0 } On a U(R) < V f(Ri) + ∑J SN\I V J*. Donc si U(R)>0, alors nécessairement
U(Ri,R-i*)>0, où R_î*=(Rι* Rμi*, Ri+ι*,...,Rn *). Donc, le minimum précédent vaut :
Min { Vi(Ri) , Vi(Ri) + IJ6N Vj *> 0 } Si ce minimum existe, alors il est forcément atteint en Rι=Ri,# satisfaisant :
V<R,.#) + ∑J6NM VJ * = 0
Il est facile de voir que Rι,# peut très bien être égal à Rj«. Donc, Vi(Ri,#) peut atteindre la valeur Vi,**. D'où Vj(Ri,#) > V ,,**. En remplaçant cette condition dans la relafion satisfaite par Rj,#, on en déduit que le minimum existe et est atteint si et seulement si : Si cette condition n'est pas vérifiée, alors on peut compenser parfaitement, même pour des valeurs infinies de R, avec V(Ri)<0. Cas où Vi** + ΣJPNM Vi* < 0 (avec Vi décroissant) : ce cas est illustré en figure 7. cas est illustré en figure 8
On va maintenant examiner les caractéristiques de la courbe de niveau -1. Soit ieN. On désire savoir si, à partir d'une certaine mauvaise valeur de cette variable Ri, il ne sera plus jamais possible de la compenser au moins un peu. On cherche la valeur Rif$ de Ri (si elle existe) pour laquelle pour tout Rj tel que et pour tout R_j, on a U(R)< -1 , et pour laquelle pour tout Ri tel que Vi(R,)>Vi(Ri,#) il existe R_j tel que U(R)>-1. On cherche donc la valeur de Ri avec Vi(Rj) le moins négatif possible pour laquelle on ne compense plus du tout. On cherche donc :
Max { Vi(Ri) , tel que U(R) < -1 , V R_i } On a U(R) < Vi(Ri) + ∑jeN Vj*. Donc pour que U(R) < -1 pour tout R_i, il faut et il suffit que U(Ri,R-i*)< -1. Donc le maximum précédent vaut : Max{V,(Ri) , V,(R,) + ∑j6NM V ≤-1 } Si ce maximum existe, alors il est forcément atteint en Rj=Rj,$ satisfaisant :
Il est facile de voir que Rj,$ peut très bien être égal à Rif**. Donc, on a : Vi(Ri,$)>Vi,**. En remplaçant cette condition dans la relation satisfaite par R,,$, on en déduit que le minimum existe et est atteint si et seulement si :
Cas où Vi.** + Σ J(-N I V;* -1 (avec Vi décroissant): ce cas est illustré en figure 9.
Cas où Vi.** + ∑ j,-Nλi V;* > -1 : ce cas est illustré en figure 10.
Dans les prémisses des règles, les termes de compensation sont combinés via des opérateurs min et max à d'autres conditions. Ainsi, un comportement non borné (c'est-à-dire avec une courbe de niveau allant à l'infini) sur la compensation peut être borné par d'autres conditions.
En se bornant à une seule variable Ri, on a trois comportements possibles en combinant les cas précédents : Cas où V, ** + Σ ÎPNM V[ * ≤ -1. Cela donne pour Vj décroissant le diagramme de la figurre 11.
Cas où -1 < Vj** + Σ J CNM V J* ≤ 0 . Cela donne pour Vj décroissant le diagramme de la figure 12.
Cas où 0 < V** + Σ i<=N\i V . Cela donne pour Vj décroissant le diagramme de la figure 13.
On va exposer maintenant la méthodologie d'explicitation de la compensation selon l'invention. On se place dans le cadre très général où l'on dispose de n variables notées Rι,...,Rn. On rappellera ici que
U(Rι,...,Rn) = ∑is{i n) Vi(Rj). On compense parfaitement si U(Rι,...,Rn)>0, et on ne compense plus du tout si U(Rι,...,Rn)<-1.
Pour chaque ie{1, ...,n}, la fonction d'utilité Vi est supposée monotone, c'est-à-dire soit croissante, soit décroissante. On note εi le signe de la dérivée de Vi. On a ει=1 si Vi est croissant, et εj=-1 si Vi est décroissant. On suppose que la compensation porte sur l'alternative CmeC. Dans l'introduction de la compensation, plusieurs situations de compensations peuvent être possibles. Dans l'exemple cité ci-dessus (à propos de l'introduction de la compensation dans un arbre de décision) , la compensation introduite est du type : Ri compense R2
Cela correspond au cas où la variable Ri est plus importante que R2. Dans le cas où aucune variable n'est dominante, les deux sens de compensation auraient pu être possibles :
(Ri compense R2 ) OU (R2 compense Ri ) On voit donc que plusieurs situations de compensation peuvent être autorisées conjointement. Dans le cas général, on suppose que l'expert autorise un certain nombre (noté t) de situations de compensations possibles :
( les variables de A+ι compensent les variables de A"ι ) OU ... OU ( les variables de A\ compensent les variables de A~ t )
Pour tout pe{1 ,...,t}, on a A+ p n A~ p=0 et A+ p u A"" p={1,...,n}. Autrement dit, une variable ne peut pas, dans une même situation de compensation, être à la fois compensée et compensante. De plus, dans n'importe quelle situation de compensation, toute variable est soit compensée soit compensante. On note l={(A+ι , A~ι),..., (A+t , A )} l'ensemble des couples des compensations autorisées. L'ensemble des variables qui compensent d'autres vaut : l+ = { ie {1 n} / 3(A+, A I tel que i e A+}
L'ensemble des variables qui sont compensées par d'autres vaut :
T = { ie{1,...,n} / 3(A+,A_)el tel que i A-} Pour ief, on note T(i) = { je l" / 3(A+,A~)el tel que ieA~ et jeA+ } et l~(i) = { jel+ / 3(A+,A~)el tel que ieA- etjeA+}.
Toutes les situations de compensation sont modélisées dans une unique fonction d'utilité globale U(Rι,...,Rn) = ∑i«={i n) Vj(Rj). Pour spécifier
U(R) dans les situations de compensation de I, il suffit de déterminer la partie positive de Vj pour tout j l+, et la partie négative de V-, pour tout ief. Néanmoins, puisque l'on se trouve dans un contexte de logique floue, la compensation sera forcément au moins un peu permise hors des situations de compensation telles qu'elles ont été définies par l'expert. Ceci montre que U(R) devra être défini pour tout R, et donc que les parties positives et négatives de V doivent être spécifiées pour tout ie{1,...,n}. Toutefois, l'expert ne sera pas capable de réellement spécifier la compensation en dehors des situations de compensation qu'il a définies. On demandera donc le minimum d'informations possible dans ces zones. Pour chaque ieN, on désire savoir à quel cas parmi ceux décrits ci-dessus (à propos des comportements types de compensation) correspond la variable Rj. Rappelons que ces cas décrivent le comportement des courbes de niveau pour les mauvaises valeurs de la variable R. Pour ie r, on pose la question : Parmi les trois comportements possibles suivants, lequel correspond à
On a les trois réponses possibles suivantes R1 à R3 :
R1 : Il existe une valeur de Ri au -delà(si deça(si εr-1) de laquelle plus aucune compensation n'est possible quelle que soit la valeur suivant les autres variables. R2 : Quelle que soit la valeur de R; (même très mauvaise), on compense parfaitement pour des valeurs suffisamment bonnes des autres variables.
R3 : Il existe une valeur de Ri au -delà(si εj=1)/en deça(si εp-1) de laquelle on ne compense plus parfaitement quelle que soit la valeur suivant les autres variables. De plus, quelle que soit la valeur de Ri (même très mauvaise), on compense toujours au moins un peu pour des valeurs suffisamment bonnes des autres variables. On note 9îι l'ensemble des i appartenant au cas R1. On note 3t2 l'ensemble des i appartenant au cas R2. On note 9Î3 l'ensemble des i appartenant au cas R3.
Comme cela a déjà été mentionné précédemment, les fonctions d'utilité sont caractérisées par le fait qu'elles ont une valeur minimale, une valeur maximale, et qu'elles passent par le niveau zéro. On peut donc se limiter à déterminer ces trois points caractéristiques.
Lorsque ie9lι, la forme de la fonction d'utilité est un peu plus complexe. Elle comporte deux niveaux négatifs Vj,* et Vj,**. Afin de pouvoir donner une définition rigoureuse de Ri,** se référant à Vi,**, on se borne aux situations de compensations I telles qu'elles sont définies par l'expert. On rappelle que V,,** satisfait la relation Vj,** + ∑J 6N\I VJ* < -1. Or l'expert s'intéresse aux situations de compensations telles qu'il les a définies, dans lesquelles la variable Rj apparaît. Il s'agit des couples (A+,A~)el tels que ie A". Il faut donc satisfaire la relation Vi,** + ΣJSA+ VJ* ≤ -1 pour tout (A+,A~)e I tel que ieA~. De plus, afin de pouvoir définir très précisément Rit**, on impose que la relation V,** +ΣJ<=A+ VJ* < -1 soit satisfaite avec une égalité pour un couple (A+,A~)el avec ieA~. Malheureusement, on ne peut pas satisfaire en même temps cette contrainte et la relation Vj,** + ∑JS \J VJ* ≤ -1. Pour résoudre cette difficulté, on introduit deux niveaux négatifs Vi,* et Vi,**. Soit Ri,* la valeur de la variable Ri correspondant à l'utilité V.* : Vi,*=Vj(Rj,*). La valeur Vj,** satisfait la relation V-,,** + ∑j-=N\ι Vj* = -1, de sorte que Ri,** a une définition claire et précise en dehors du cadre de la compensation. La valeur Vi* satisfait la relation Vj,* + ΣjeA+ Vj * < -1 pour tout (A+,A~) l tel que ieA~ (une de ces inégalités correspondant à une égalité), de sorte que Ri,* a une définition claire et précise se référant au cas des situations de compensation définies par l'expert. La courbe de la figure 14 donne l'allure des fonctions d'utilité lorsqu'elles sont croissantes (εi=1). Dans le cas où i appartient à 9Î2 ou 9Î3, on n'a pas besoin d'introduire
Ri,* et Vi*. Néanmoins, dans la suite, on se référera aux valeurs Rj,* et Vi,* lorsque l'on se trouvera dans les situations de compensation de I. Par uniformité, on définit aussi Rit* et Vj,* dans le cas où i appartient à 9l2 ou 9Î3. Dans ce cas, on note Ri,* = Ri,** et Vj,* = Rj,** .
On a pour tout ie9lι :
V (A+,A~)e I tel que ie A", on a Vj,* + ΣjsA+ Vj * < -1 On a pour tout ie9î2 :
3(A+,A~)e l tel que ieA~, on a 0 < V^ +∑jeA+ Vj* Le cas R3 est le complémentaire de l'union des deux premiers cas. On a pour tout ie9î3 :
3(A+,A~)e I tel que ie A", on a Vj,* +ΣjeA+ J* > -1
V(A+,A")e I tel que ie A", on a Vj,* +ΣjeA+ Vj* < 0
On va examiner le cas de la réponse R1 seule. On suppose ici que pour tout i, on a ie9îι.
Tout d'abord, on va examiner les fonctions d'utilité déterminées aux extrémités. On se limite dans cette partie à déterminer, pour tout i, les points caractéristiques Sj, Ri*, Ri,*, Riτ** ainsi que leur utilité. On suppose que les fonctions d'utilité sont soit simplement affines soit données par l'expert entre ces points. On va poser à l'expert des questions relatives aux deux courbes de niveau « on compense parfaitement » et « on ne compense pas du tout » concernant uniquement ces points caractéristiques. On suppose que l'expert sera capable d'expliciter seul le reste des fonctions d'utilité, c'est-à-dire leur comportement entre les points caractéristiques. On doit donc déterminer pour tout i, les sept valeurs remarquables Si,
Ri*, Rj*, Rj,**, V*, V* et Vj,**. Pour ce faire, on va se baser sur les conséquences de ces valeurs, c'est-à-dire la possibilité de l'alternative dérivant de U. Néanmoins, il ne sera pas aisé du tout pour un expert de pouvoir fournir, à partir de la valeur des variables, directement le degré de possibilité sur l'alternative dérivant de U. Par contre, il sera capable de dire si l'alternative Cm est parfaitement possible ou si elle est impossible. Autrement dit, la détermination des paramètres pourra se faire en se basant sur des points remarquables des courbes de niveau 0 (l'alternative Cm est parfaitement possible) et-1 (l'alternative Cm est impossible) de U. On va lister ici les points particuliers des deux courbes de niveau 0 et
-1 de U susceptibles de permettre de déterminer les paramètres.
Soit (A+,A~)el, ieA~ et AcA+. On définit le vecteur de variables Rι.A-(Ri) par : (Ri,A_(Ri))i=Ri, pour keA i et pour keAΛA, et pour ke A. D'après cette définition, pour Ri compris entre Ri* et s,, les variables de A+ sont bonnes alors que les variables de A" s ont mauvaises. Donc, les variables dans A+ compensent bien les variables de A". On se trouve dans la compensation telle qu'elle est souhaitée par l'expert. On a :
U( Ri,A "(Ri) ) = Vi(Ri) +Σk6A Vk * Pour Ri=sι, on a U( Ri,A~(sι) ) = ΣkeAV k *≥0. Pour Rι= Ri,*, comme la compensation est du type R1, on a :
U( Ri _(f ) ) - i,* +ΣksA Vk * < V,* +ΣksA+ Vk * ≤ -1 Donc, par continuité de la fonction d'utilité Vu il existe Ri compris entre R,,* et s, tel que U( Ri,A~(Ri) ει=— 1 ) valeur de Ri pour laquelle l'alternative Cm mérite parfaitement d'être attribuée au point RJ,A~(RJ). De plus, il existe Ri compris entre Ri,* et s, tel que U( Ri,A-(Rι) εj=-1) valeur de Rj pour laquelle l'alternative Cm est complètement impossible pour le point
Un cas particulier intéressant se produit lorsque A=0. Dans ce cas, on a : U( Ri,0-(Ri) ) = V,(R,). Donc U( R,ι0-(s,) ) = 0. Dans le cadre de la détermination des paramètres, et pour éviter les effets de seuils, on doit déterminer U, non pas seulement pour toutes les valeurs possibles des variables dans le cadre de la compensation, mais pour toutes les valeurs possibles des variables même en dehors du cadre de la compensation. Néanmoins, on devra poser à l'expert, dans la mesure du possible, uniquement des questions relatives à des valeurs se situant dans le cadre de la compensation.
On détermine au fur et à mesure les fonctions d'utilité. En cours de déroulement d'algorithme, on note D+ l'ensemble des variables Rj pour lesquelles la partie positive de la fonction d'utilité Vj est déterminée, et D- l'ensemble des variables Ri pour lesquelles la partie positive de la fonction d'utilité Vj est déterminée. Au départ de l'algorithme, on a D+=0 et D~=0.
On détaille maintenant l'algorithme. Les étapes sont numérotées par un label commençant toujours par C1-R1. La dénomination C1 signifie que l'on se situe dans le cas 1 (c'est-à-dire que l'on détermine les fonctions d'utilité uniquement aux extrémités) alors que R1 signifie que toutes les variables sont supposées appartenir au cadre R1 de compensation.
Le procédé de l'invention est composé des étapes suivantes : C1 -R1-1 -- Définition des seuils de référence s-i. .... sn : Les seuils de référence Si sn correspondent au niveau qui permet de compenser parfaitement, mais de justesse, sur les variables Ri, ...,Rn. Pour déterminer s,, l'expert répond à la question suivante :
Q1 [C1 -R1] : Quelle est la valeur qui permet d'attribuer l'alternative Cm parfaitement, mais de justesse, d'après uniquement la variable Ri ?
Une autre question possible serait :
Q1' [C1 -R1] : Quelle est la valeur qui permet d'attribuer l'alternative Cm parfaitement, mais de justesse, sur la variable Rj, si les autres seuils sont fixés au même niveau de satisfaction ? On doit avoir :
(1-[C1-R1]) V,(s,)=0
C1-R1 -2 - Définition des valeurs Rj* pour ie T : A partir(si εj=1)/En deçà(si εj=-1) de Rj*, la fonction d'utilité Vj reste bloquée à la valeur Vj * et ne progresse plus. Pour déterminer Rj*, l'expert répond à la question suivante :
Q2 [C1 -R1] : A partir(si εj=1)/En dessous(si de quelle valeur de Rj cette variable ne peut-elle plus compenser davantage les variables de l~(j) dans l'attribution de l'alternative Cm ? On doit avoir q x Rj,* > εj x Rj,*, où Rj,* est défini ci-dessus (à propos de la méthodologie d'explicitation du flou dans une condition non compensatoire).
C1 -R1 -3 -- Définition des valeurs Rk* pour ke l~ : Dans le cadre d'une compensation du type R1 , Rkl* est la valeur de Rk en dessous de laquelle aucune compensation ne sera possible, quelle que soit la valeur suivant les autres variables (dans une situation de compensation de I). Cela signifie que l'on ne doit pas compenser du tout lorsque Rk= Rk|* pour les meilleures valeurs possibles suivant les autres variables, dans le cadre de la compensation. On rappellera ici la condition donnée précédemment pour R1 :
(2-[C1-R1j) V(A+,A I avec ke A", Vk,* + ΣieA+ Vj* < -1
Pour déterminer Rk,*, l'expert répond à la question suivante :
Q3 [C1 -R1] : En dessous(si εk=1)/A partir(si εk=-1) de quelle valeur de R souhaitez -vous ne plus compenser du tout, et ce, quelle que soit la valeur suivant les autres variables (avec des valeurs correspondant à une situation de compensation) ?
Une autre question possible serait :
Q3' [C1 -R1] : Jusqu'à(si εk=1)/A partir de(sî εk=-1) quelle valeur de Rk l'alternative Cm ne mérite-t-elle plus d'être envisagée (avec des valeurs correspondant à une situation de compensation) ?
On doit avoir ε x Rk * < ε x Rk , où Rk* est défini ci -dessus (à propos de la méthodologie d'explicitation du flou dans une condition non compensatoire). D'après cette définition, Rk * est la valeur limite de la compensation. Donc, dans (2-[C1-R1]), on doit avoir égalité pour un couple (A+,A~).
C1-R1-4 -- Détermination de la fonction d'utilité Vk entre Rk* et Sk pour keA~ : A ce stade, la valeur de Vk,* n'est toujours pas spécifiée. Par contre, d'après l'équation (1-[C1-R1]), on sait que Vk correspond à une échelle de ratio. L'objectif de cette phase est de spécifier V en tant qu'échelle de ratio, c'est-à-dire de déterminer λk(Rk)=Vk(Rk)/ Vk,*. Ce nombre est compris entre 0 et 1 pour Rk compris entre Rk|* et sk. Pour déterminer λk(R ), on utilise une méthodes issue de la théorie du mesurage. L'invention prévoit la méthodologie MACBETH (cf. C. Bana e
Costa & J.C. Vansnick, Applications of the MACBETH approach in the framework of an additive aggregation model, Journal of Multicriteria
Décision Analysis, N°6, pp.107-114, 1997). Néanmoins, toute autre méthodologie permettant de déterminer des fonctions d'utilité convient aussi. Dans le cas le plus simple, λk est simplement affine : λk(Rk)=(sk-Rk)/(Sk-Rk,*).
C1-R1-5 -- Détermination de la fonction d'utilité VLentre s, et Rj* pour je A* : On procède exactement comme dans la phase précédente. On détermine donc grâce à une méthode issue de la théorie du mesurage la valeur de λj(Rj)=Vj(Rj)/ Vj*. Ce nombre est compris entre 0 et 1 pour Rj compris entre Sj et Rj*. Dans le cas le plus simple, λj est simplement affine : λj(Rj)=(Rj-sj)/(Rj *-sj).
C1 -R1 -6 - Détermination de ie l~\D~ de référence : Le questionnaire va se baser sur une variable particulière parmi \ D~. L'objectif de cette étape est de déterminer cet indice. Il s'agit de la variable la plus importante parmi celles qui sont compensées (dans l~\D~). La compensation que l'on décrit porte généralement principalement sur une variable. C'est la variable que l'on cherche. Pour déterminer ie P, l'expert répond à la question suivante : Q4 [C1 -R1] : Quelle est parmi les variables restantes qui sont compensées (c'est-à-dire r\D~) la plus importante, celle sur laquelle le questionnaire sera basé ? jel+(i)\D+. Soit (A+,A~)e l tel que ie " et j A+. On va utiliser un point singulier défini ci-dessus (à propos des points particuliers sur les deux courbes de niveau). On considère le vecteur de variables Ri,j_(Rι) défini précédemment avec les ensembles A+ et A-. Ri,j~(Ri) correspond Ri,A_(Rι) lorsque A={j}. Le vecteur de variables Ri,j""(Rι) est défini par : (Rij"(Ri))j=Rj*, et pour ke N\{i,j}. On voit donc que Rι, (Rι) est indépendant de A+ et A~. On a vu ci-dessus (toujours à propos des points particuliers), qu'il existe Ri compris entre R* et Si tel que U( Ri,j~(Ri) )=0. On note R 0 cette valeur. Elle est indépendante de A+ et A~. C'est la plus petite(si εj=1)/grande(si εj=-1) valeur de Ri pour que l'alternative Cm mérite parfaitement d'être attribuée au point Ri,j~(Ri). Pour déterminer Ry°, l'expert répond à la question suivante :
Q5[C1 -R1] : Pour Rk fixé à sk pour k≠i,j, à partir defsi εj=1)/jusqu'à(si εp-1) quelle valeur de Rj estimez -vous que la variable Rj= Rj * compense parfaitement Ri ? Comme U( Rj,j_( R 0 ) )=0, on doit avoir : (3-[C1-R1]) Vj * + λi(Ri|j0) Viι* = 0
On écrit, d'après l'équation (3-[C1-R1]), Vj* en fonction de Vi,*. En plaçant cela dans (2-[C1-R1]), on obtient
(1-∑jsA+\D+ λj(Ri,j ) ) Vj,* + ΣjeA+nD+ Vj < -1 . On ne peut pas se trouver dans le cas R1 de compensation si λj(Rj,j0 )>0. Dans la cas contraire, les informations fournies sont incohérentes. Vi,* satisfait donc : Vj,* < -(1 +∑je A+nD+ Vj * ) / (1 -ΣieA+ λi(Rj j°) )
Cette relation doit être satisfaite pour tout (A+,A~)e l tel que ieA". On obtient donc :
Vi,* < Λ(A+|A_)e|/jsA_ -(1+ΣjeA+nD+ Vj ) / (1-∑jsA+ λj(Rj,j ) ) où l'opérateur Λ désigne le minimum. Afin que Ri,* corresponde effectivement à la plus grande(si εi=1)/ petite(si εj=-1) valeur de Rj pour laquelle on ne compense plus du tout, la relation précédente doit être considérée avec une égalité. Ceci signifie que la relation Vj* + ΣJ€A+ VJ* < -1 sera satisfaite avec une égalité pour un couple (A+,A"). Donc : (4-[C1-R1j) Vi,* = Λ(A+,A-)el/ieA_ -(1+ΣjsA+πD+ V/ ) / (1-ΣjeA+ λi(Ri,j°) )
On en déduit avec (3-[C1-R1]) l'expression de Vj* pour tout je l+(i)\D+ : (5-[C1-R1]) Vj* = - λ Rij0) x Λ(A+,A-)e l / ieA_ -(1+ΣjeA+nD+ Vj* ) /
On ajoute à l'ensemble D~ la variable i, et à D+ l'ensemble l+(i)\D+. C1-R1-8 -- Détermination de Vk* pour ke HD" tel que l*(k)cD* : Pour tout ke P T tel que T(i)cD+, on a d'après (2-[C1-R1]), quel que soit (A+,A~)e l avec keA~, on a : Donc : Vk,* < Λ(A+,A_)e[/keA- -1-∑jeA+ Vj
Comme précédemment, la relation précédente doit être considérée avec une égalité. On a donc pour tout ke HD- tel que l+(i)cD+ : (6-[C1 -R1]) Vk,* = Λ(A+1A-)- i/k-A- -1-∑JSA+ Vj* On ajoute à l'ensemble D~ les variables ke r\D~ telles que l+(k)cD+. Si D~≠ T, on retourne à l'étape C1-R1-6. Si D~ = I", alors forcément, on a D+ = l+. C1-R1-9 -- Détermination de V,* pour un ie T : La variable Rj pour je l+ n'est jamais censée compenser d'autres variables, d'après les compensations possibles fixées par l'utilisateur. Néanmoins, il faut bien, pour éviter les effets de seuil, que toutes les compensations soient définies. Pour déterminer Rj*, on pose à l'expert une question très proche de la question Q2[C1-R1] :
Q6 [C1-R1] : Jusqu'à(si εj=1)/A partir de(si βj=— 1) quelle valeur de Rj cette variable ne peut-elle plus compenser davantage les autres variables dans l'attribution de l'alternative Cm ?
On ne va pas poser à l'expert une question du type Q5[C1 -R1] pour déterminer Vj*. On veut déterminer une valeur de Vj* sans poser de question, quitte à être empirique. L'expert ne sera pas capable de raisonner dans ces zones, et donc de répondre à une question précise du type Q5[C1-R1]. La valeur exacte de la compensation dans ces zones est de moindre importance.
Comme cette variable n'est pas censée compenser d'autres, la manière dont elle compensera les autres sera forcément d'amplitude faible, c'est-à-dire qu'elle compensera moins que les variables qui sont censées compenser :
Vj * < Λks|+ Vk * .
On peut prendre par exemple: C1-R1-10 -- Détermination de Vk au delà de Rk* pour ke l~ : Pour déterminer Rk,**, on pose à l'expert une question très proche de la question Q3 [C1-R1] :
Q7 [C1-R1] : En dessous(si εk=1)/A partir(si εk=-1) de quelle valeur de Rk ne souhaitez-vous plus compenser du tout, et ce, quelle que soit la valeur suivant les autres variables (avec des valeurs en dehors du cadre de la compensation) ?
Pour déterminer dans quelle mesure la compensation doit avoir lieu dans les zones autorisées de compensation, il suffit de connaître Vk entre Sk et Rk*. Les valeurs de Rk,** et V ι** n'ont aucune influence dans les zones où la compensation est autorisée. D'après la définition de R ,**, Vk,** doit satisfaire la relation :
Vk,** + Σj≠k Vj * = -1 On obtient donc : (7-[C1-R1]) Vk,** = -1 - ∑j≠k Vj *
C1 -R1 -11 - Détermination de Rk * et de Vk * pour kg l~ : Pour kg I" , la variable Rk n'est jamais censée être compensée par d'autres variables. Pour déterminer Rk* et Vk* , on procède comme dans l'étape précédente. Pour déterminer Rk,*, on pose à l'expert une question très proche de la question Q3 [C1-R1] :
Q8 [C1 -R1] : En dessous(si εk=1)/A partir(si εk=-1) de quelle valeur de Rk ne souhaitez-vous plus compenser du tout, et ce quelle que soit la valeur suivant les autres variables? D'après la définition de Rk,*, on obtient, comme précédemment, pour Vk,* l'expression suivante :
(8-[C1-R1]) Vk,* = -1 - Σj≠k Vj *
A la fin des étapes C1-R1-7 et C1-R1-8, la construction certifie que la condition V* +ΣjeA+ Vj* < -1 est bien satisfaite pour tout (A+,A~)e I tel que ieA". Une fois les paramètres calculés, on peut les valider en se reportant sur des points remarquables. Soit (A+,A~)e I. On examine alors les différents cas de vecteurs de variables.
• Vecteur de variables Rk,0~ pour keA~. D'après les explications ci- dessus concernant les points particuliers sur les deux courbes de niveau, il existe une valeur R |0 1 de la variable R tel que U( Rk,0 "( Rk,0_1 ) ) = -1. Comme U( Rk,0 _( Rk,0~1 ) ) = Vk(Rk), on a :
Rk,0-1 = Vk-1(-1 ) Rk,0_1 s'interprète de la manière suivante : Jusqu'à(si εk=1)/A partir de(si εk=-1) la valeur Rk,0 ~1 de la variable Rk, les variables Rp=sp pour pε A+ ne compensent plus du tout Rk et Rp=sp pour pe A~\{i}. Cela peut aussi se dire de la façon suivante :
Jusqu'à(si εk≈1)/A partir de(si εk=-1) la valeur Rk,0 ~1 de la variable Rk, l'alternative Cm est impossible lorsque les autres variables sont au niveau du seuil sp. Si l'expert n'est pas en accord avec la valeur de Rk,0 _1, on impose -1/ Vkι* pour la valeur Rk,0 ~1 que l'expert estime être correcte. Vecteur de variables Rk,j~ pour keAΑij} et jeA+. D'après les mêmes explications concernant les points particuliers, il existe une valeur Rk,j_1 de la variable R telle que U( Rk,j~( Ry"1 ) ) = -1. Comme U( Rk,j_( Rk,j"1 ) ) = Vk(Rk)+ Vj*, on a : R ,j~1 s'interprète de la manière suivante :
Jusqu'à(si εk=1)/A partir de(si εk=-1) la valeur Rkj_1 de la variable Rk, les variables Rk= Rk * et Rp=sp pour peA^fj} ne compensent plus du tout Rk et Rp=sp pour pe A~\{i}. Cela peut aussi se dire de la façon suivante : Jusqu'à(si εk=1)/A partir de(si εk=-1) la valeur Rk|j _1 de la variable Rk, l'alternative Cm est impossible lorsque les autres variables sont au niveau du seuil sp, sauf la variable
Rj= Rj . Si l'expert n'est pas en accord avec la valeur de Rkj~1, on impose -(1+ Vj*)/ Vk|* pour la valeur Rk 1 que l'expert estime être correcte. Vecteur de variables Rk,j~ pour keAΛ{i} et jeA+. D'après les mêmes explications concernant les points particuliers, il existe une valeur Rk,j° de la variable Rk tel que U( Rk)j ~( Rk,j° ) ) = 0. On a : Ry0 s'interprète de la manière suivante :
A partirfsi εk=1)/En dessous(si εk=-1) de la valeur R 0 de la variable Rk, les variables Rk= Rk * et Rp=sp pour peAΑfl} compensent parfaitement Rk et Rp=sp pour pe A"Λ{i}. Cela peut aussi se dire de la façon suivante :
A partir(si εk=1)/En dessous(si εk=-1) de la valeur RkJ° de la variable Rk, l'alternative Cm est parfaitement possible lorsque les autres variables sont au niveau du seuil sp, sauf la variable Rj= Rj*.
Si l'expert n'est pas en accord avec la valeur de Rk,j°, on impose λk(Rk,j°)= - Vj*/ Vkι* pour la valeur Rk,j° que l'expert estime être correcte.
On va examiner maintenant les fonctions d'utilité déterminées en tout point pour T et I" . L'hypothèse faite ci-dessus à propos des fonctions d'utilité déterminées aux extrémités est que l'expert est capable d'expliciter les fonctions d'utilité entre les valeurs extrêmes qui elles sont déterminées par la méthodologie. Ainsi, d'après les étapes C1-R1-4 et C1-R1-5 décrites ci- dessus, l'expert doit être capable de fournir λj(Rj) pour tout Rj. Ceci est discutable compte tenu des implications que les valeurs de λj ont sur les courbes de niveau. Il est classique de considérer les fonctions d'utilité comme des fonctions affines par morceaux. Il peut paraître alors souhaitable que la méthodologie permette de déterminer les niveaux Vi(Rj) de chaque point Ri délimitant deux parties affines.
Dans cette section, on suppose que l'expert n'est pas capable de déterminer λj(Ri) entre les deux extrémités pour ie T ou ie T.
Pour je l+, on suppose que l'expert est capable de fournir les points intermédiaires pertinents entre Sj et Rj *. On note Rj1 Rjpj ces pj points, et
Vjk=Vj(Rjk) pour ke{1 , ...,pj} , comme représenté en figure 15.
On note Rj° = sj, Vj° = 0, Rj pj+1= Rj * et Vj*. Pour ke{0, ...,pj} et Rjk+1], on a Vj +(Vjk+1 - Vjk)λjk(Rj) où λjk(Rj) = (Rj - Rjk)/(Rjk+1 - Rj k). Pour ie l", on suppose que l'expert est capable de fournir les points intermédiaires pertinents entre Rj* et si. On note Rf1,...,Rfp'' ces p'i points, et
Vik=Vi(Rik) pour ke{-p' -1}. On note Ri°= s(, Vi°=0,
Pour tout ke{-p'r1 -1} et tout Vjk+(Vjk+1 -
Vik)λik(Ri) où λjk(Rj) = (Ri - R ik)/(Rik+1 - Rιk). La fonction d'utilité est affine dans chaque segment Rk+1], comme représenté sur la courbe de la figure 16. On cherche ici, d'après les courbes de niveau 0 et -1, à déterminer Vf1, ..., Vf , Vt. pour ie l", et Vj*, Vj1 Vjpj pour je T. On va répertorier les points particuliers des deux courbes de niveau 0 et -1 de U susceptibles de permettre de déterminer les paramètres. Soit (A+,A")e l.
Soit K un ensemble d'indices kj pour jeA+, avec kje{0 Pj+1}. Soit ieA" et On définit le vecteur de variables RiK~(Ri) par : (RiK"(Ri))q=sq pour qeAΛi, et (RiK"(Ri))q=Rq kq pour qeA+. On a :
U( RiK-(Ri) ) = Vi(Ri) +ΣjsA+ Vj kj Pour Rj≈Sj, il vient :
U( RiK-(Si) ) = ΣjeA+ Vjki > 0. Pour Rj= Ri,*, comme la compensation est du type R1, on a :
U( RiK-(Ri,*) ) = Vi,* +ΣjsA+ Vjki < V,* +ΣksA+ Vk * -1 Donc, par continuité, il existe Ri compris entre Sj et Ri,* tel que U( RiK~(Ri) )=0. On note RiK,° ce point. C'est la plus petite(si εi=1)/grande(si εj=-1) valeur de Ri pour laquelle l'alternative Cm mérite parfaitement d'être attribuée au point
De plus, il existe Ri compris entre Si et Rj* tel que U( RjK"(Ri) )=-1. On note Ri ~1 ce point. C'est la plus grande(si εj=1)/petite(si εj=-1) valeur de Ri pour laquelle l'alternative Cm est complètement impossible pour le point Ri,A "(Ri). On a :
Vι( R,κ--1 ) +ΣJsA+ VJ*l = -1
Soit kie{-p'r1,-.. -1}, et un ensemble d'indices kj pour jeA'λfj}, avec kje{0,...,Pj+1). On définit maintenant un autre point remarquable. Soit ieA" , jeA+ et . On définit le vecteur de variables Rj,jK+(Rj) par : (RLΛRJHJ≈RJ,
On a :
U( Ryκ+(Rj) ) = Vj(Rj) + Viki Vq k«
Contrairement au point remarquable précédent, il n'est pas assuré que lorsque Rj décrit l'intervalle compris entre Sj et Rj* alors U( Ryκ+(Rj) ) coupe l'une des deux courbes de niveau 0 ou -1. On va étudier sous quelles conditions il y a intersection. Pour ce faire, soit K° l'ensemble d'indices défini sur A+ par (K°)q=kq si qeA+\j et (K°)j=0. On note RiK o et R 0'"1 les points remarquables du vecteur de variables RjK0,~ défini précédemment à partir de K°. Soit K* l'ensemble d'indices défini sur A+ par (K*)q=kq si qeA+\j et (K*)j= Pj+1. On note RiK*'° et Ri * "1 les points remarquables du vecteur de variables RiK* " défini précédemment à partir de K*. Soit enfin le vecteur de variables Ri,jK(Ri,Rj) par : (Ryκ(Ri,Rj))i=Ri, (Ri,jK(Ri,Rj))q=sq pour qeA~λi, et (Ri,j K(Ri,Rj))q=Rq kq pour qe A+\j. On a : U( RIJK(R,,RJ) ) = Vj(Ri) + Vj(Rj) + ΣqeA+\j Vq kq
On a les cas suivants :
• Si εf x Rj < εj x RiK*~, alors pour tout Rje [Rj *,Sj], on a, comme Vj est croissant(si $ =1)/décroissant(si εj = — 1 ) et d'après la définition de Riκ* " :
Donc :
U( Rijκ(Rι,Rj) ) < Vj(Ri) + Vj* + ΣqsA+\j Vq kq < -1 On en déduit que la courbe de niveau U( R κ(Ri,Rj) ) = -1 ne passe pas par le rectangle ε-, x Ri < εj x Rικ , Rje[ Sj.Rj*]. - Soit ^ x Riκ*'" < εj x Rj < εj x RiK0'". Alors Vi(RiK*'") ≤ V|(Rι) < Vi(RiK0'").
On a :
Vi(Ri) > Vi(RiK ) «. U( Ryκ(Ri,Rj*) ) > -1 Vi(Ri) < Vi(RiK -) U( Ryκ(Ri,Sj) ) < -1 On en déduit qu'il existe Rje[Sj,Rj*] tel que U( Ri,jK(Ri,Rj) ) = -1. - Soit ^ x Riκ*'° < ^ x R < ε, x RiK0'°. Alors Vi(RjK*'0) ≤ V,(Rι) < Vi(RiK0'°).
On a :
Vi(Ri) > Vi(RiK*'°) U( R.JK(RI,R ) ) > 0 Vi(Ri) < Vi(RiK0'°) U( Ryκ(Rι,Sj) ) < 0 On en déduit qu'il existe Rje[Sj,Rj*] tel que U( Ri,jK(Ri,Rj) ) = 0. - Si ει x Rj > q x RiK0'0, alors, pour tout Rje [SJ.RJ*] U( Ri,j κ(Ri,Rj) ) ≥ U( Ri,jK(Si,Sj) ) > 0 On en déduit que la courbe de niveau U( Ri κ(Ri,Rj) ) = 0 ne passe pas par le rectangle εj x Rj > x RiK0,° , Rje [Sj.Rj *]. Clairement, on a εi x R * " < ε-t x RiK0,° puisque : εi x Riκ*'" < εi x RiK0'° > Vi(RiK*'-) < Vi(RiK0'°) -1-Vj *-ΣqsA+ Vq kq <
∑qsA+\j Vq
Cette dernière condition est vraie puisque Vj *>0.
D'autre part, il est facile de voir que l'on est sûr que pour tout Ri tel que εj x R^" ≤ εj x Rj < εj x R 0,0, au moins une des deux courbes de niveau U( Ryκ(Ri,Rj) ) = 0 ou U( RirjK(Ri,Rj) ) = -1 est atteinte pour un Rje [Sj,Rj*] si et seulement si les deux intervalles [ RjK*'~, RiK0 ~ ] et [ RiK*'° , RjK ° ] s'intersèquent. Cette dernière condition dit qu'il n'y a pas de trou entre les deux intervalles. Cela s'écrit ει x RiK*'° < εj x RiK0,~. On a : Ei x Riκ*'° < εi x RiK0'" <=> Vi(RiK*'0) < Vi(RiK0'-) -Vj *-Σq6A+\j Vq kq <
-1-ΣqsA+\j Vq kq <=> Vj * > 1
Autrement dit, pour tout Ri tel que εi x RjK* ~ < εj x Ri < εj x RiK0,°, au moins une des deux courbes de niveau U( Ryκ(Ri,Rj) ) = 0 ou U( RÎ,JK(RÎ,RJ) ) = -1 est atteinte pour un Rje [Sj.Rj*] si et seulement si Vj * > 1. On va revenir maintenant à RÏ K+(RJ)- On souhaite que l'ensemble des valeurs que peut prendre U(Ri,jK+(Rj)) lorsque Rj décrit [Sj.Rj*] coupe l'une des courbes de niveau 0 ou -1 pour tout kje{-pι-1 ,... -1}. Pour ce faire, d'après ce qui précède, il faut que j satisfasse Vj* > 1 et que εj x RiK* ~ < εj x Rk < x p.KO.O On a :
3 Rje[Sj,Rj*] tel que U(Ri,] κ+(Rj)) = 0 εi x Riκ*'° < £i x Rik < e. x RjK0'° * Vke [ Vi(RiK*'°) , Vi(RiK0'0) ] «- Vke[ -Vj *-ΣqeA+\j Vq kq, -Σq6A+\j Vq kq ] Si kq=0 pour tout qe A+\j, alors Vq kq=0 et donc cela donne : 3 Rje [Sj.Rj *] tel que U(Ri,jK+(Rj)) = 0 <* Vke [ -Vj *, 0 ] Donc si k est très petit, alors on s'attend à ce que V k soit proche de 0. Dans ce cas, les valeurs kq qui permettront de croiser la courbe de niveau 0 seront nulles ou en tout cas petites. On a de plus :
3 Rje[Sj,Rj*] tel que U(Riîj κ+(Rj)) = -1 ^ x Riκ < ε, x Rik ≤ ε, x RiK0'- <=> Vike [ Vi(RiK ) , Vj(RjK0--) ] Vq q ] Si kq=pq+1 pour tout qe A+\j , alors Vq kq=Vq * et donc cela donne : 3 Rje[Sj,Rj *] tel que U(Ri,jK+(Rj)) = 0 < > Vke [ -1-ΣqeA+ Vq *, -1-ΣqsA+
Vq * ] <=> Vike[ Vi,*, Vi,* + Vj * ] Donc si k est grand, alors on s'attend à ce que Vk soit proche de Vi,*. Dans ce cas, les valeurs kq qui permettront de croiser la courbe de niveau -1 seront égales à pq+1 ou en tout cas grandes. On procède de la façon suivante pour la détermination des paramètres.On détermine au fur et à mesure les fonctions d'utilité. En cours de déroulement d'algorithme, on note D+ l'ensemble des variables Rj pour lesquelles la partie positive de la fonction d'utilité Vj est déterminée, et D~ l'ensemble des variables Ri pour lesquelles la partie positive de la fonction d'utilité Vi est déterminée. Au départ de l'algorithme, on a D+=0 et D~=0.
On détaille maintenant l'algorithme. Les étapes sont numérotées par un label commençant toujours par C2-R1. La dénomination C2 signifie que l'on se situe dans le cas 2 (c'est-à-dire que l'on détermine les fonctions d'utilité en tout point) alors que R1 signifie que toutes les variables sont supposées appartenir au cadre R1 de compensation.
Le processus de l'invention est composé des étapes suivantes :
C2-R1 -1 - Définition des seuils de référence si sn : Cette étape est strictement identique à l'étape C1-R1-1. C2-R1 -2 -- Définition des valeurs Ri* pour ie T : Cette étape est strictement identique à l'étape C1-R1 -2. C2-R1 -3 -- Définition des valeurs Rk* pour ke l~ : Cette étape est strictement identique à l'étape C1-R1-2. C2-R1-4 -- Détermination des points Rif Rk"p k pour kel" : On demande à l'expert de donner les points intermédiaires pertinents entre sk et Rk|*. Il n'est pas nécessaire en général d'en mettre beaucoup. De un à trois points suffisent la plupart du temps. C2-R1 -5 -- Détermination des points Ri1 R;pj pour je l* : On demande à l'expert de donner les points intermédiaires pertinents entre Rj* et Sj.
On pose D+=0 et D~=0 avant d'arriver à l'étape suivante. C2-R1 -6 -- Détermination de ie l~\D~ de référence, et caractérisation de On commence par déterminer un indice ie r\D~ de référence. Cette étape est strictement identique à l'étape C1-R1-6. On pose en particulier la question Q4[C1-R1] pour déterminer cet indice i. Soient je l+(i)\D+. Soit ke{1 ,...,Pj+1} et K l'ensemble d'indices défini sur A+
(pour A+ tel que (A+,A~)e l, ieA" et jeA+) par Kq=0 si qeA+\j et Kj=k. RjK'° ne dépend pas de A+' On demande à l'expert de fournir la valeur de
Riκ'° : Q4[C2-R1] : Pour Rq fixé à sq pour q≠ij, à partir de(si εFl)/jusqu'à(si quelle valeur de Ri estimez -vous que la variable Rj= Rj k compense parfaitement Rj ?
Comme U( RjK"( RiK'° ) )=0, on doit avoir :
(3-[C2-R1]) Vjk + Vj(RiK'°) = 0
A partir de l'indice i de référence, on détermine RjK,° pour tout je l+(i)\D+ et tout ke{1 ,...,pj+1}. L'équation (3-[C2-R1]) fournit donc une relation satisfaite par Vjk pour tout je l+(i)\D+ et tout ke{1 Pj+1}.
On ajoute à l'ensemble D- la variable i, et à D+ l'ensemble l+(i)\D+. Si
D~≠ l ~, on retourne à l'étape C2-R1-6. Si D~= l~, toutes les valeurs Vjk
(pour tout je l+ et tout ke{1 ,...,Pj+1}) sont caractérisées par une relation du type (3-[C2-R1]). On va s'occuper dans l'étape suivante de caractériser Vk.
C2-R1 -7 -- Détermination d'un classement sur T: On doit fixer un indice de référence j e l+\D+. On souhaite prendre j pour lequel Vf est maximum. Contrairement à l'étape précédente, comme on dispose déjà d'informations, on veut éviter de poser une question à l'expert pour déterminer l'indice de référence j. On souhaite obtenir une sorte de classement parmi les indices de T. Les indices de référence seront pris dans l'ordre établi par ce classement. Comme on ne connaît pas encore la valeur de Vj *, on se base sur la connaissance des RiK,° , où i est un indice de référence de l'étape C2- R1-6. Lors de l'étape C2-R1-6, l'expert a pu fournir plusieurs indices i de référence. On part donc de l'ordre dans lequel l'expert a fourni les indices i de référence. Les indices j dans l+(i)\Dj+ (où Di+ est la valeur de D+ au moment où l'étape C2-R1-6 se trouve au niveau de l'indice de référence i) pour un indice de référence i seront tous préférés aux indices l+(i')\ D-* pour un autre indice de référence i' si l'expert a donné i avant i'. L'union des tous les ensembles l+(i)\Di+ pour tous les indices i de référence est égal à f. Il suffit donc maintenant d'expliquer comment ordonner les différents indices parmi l+(i)\Dj+ pour un i fixé. Pour jel+, d'après l'équation (3-[C2-R1]), la valeur RiK0 vérifie Vj*+Vi(RiK'0)=0. On en déduit que Vj * est d'autant plus grand que Vi(RiK,°) est petit, et donc que RjK,° est petit(si εi=1 )/grand(si ει=-1 ). On classe donc les indices je l +(i)\Di+ par ordre croissant(si εi=1)/décroissant(si ) de RjK,°. On pose à nouveau D+=0 et D"=0 avant d'aller à l'étape suivante.
C2-R1 -8 -- Détermination de ie l*\D* de référence, et caractérisation de Vik pour tout ie πi)\D~ et ke -p'ι-1.....-11: L'indice de référence je l+\D+ considéré est le plus petit indice appartenant à l^λD* dans l'ordre défini à l'étape précédente. Si l~(j)\D~=0, on rajoute j à D+ et on détermine à nouveau un indice de référence je l+\D+. Soit ie l J)\D-. Soit ke{-p' 1 -1}. Soit (A+,A I avec ieA" et je A+.
On doit déterminer les valeurs des indices kq pour qeA+\j pour lesquelles l'ensemble des valeurs que peut prendre U(Ri,j K+(Rj)) lorsque
Rj décrit [R,*,Sj] coupe l'une des courbes de niveau 0 ou -1. On se sert de ce qui a été établi ci-dessus à propos des points particuliers sur les deux courbes de niveau 0 et -1 de U.
La détermination des indices {kq}qsA+\j est décrite ci-dessous à propos des fonctions d'utilité déterminées en tout point pour l+ et I ". On considère tout d'abord le cas de la courbe de niveau 0. On demande à l'expert de fournir la valeur de Rj pour laquelle U(Rjj κ+(Rj))=0 :
Q5 : A partir de(si εj==1)/Jusqu'à(si εj=-1) quelle valeur de Rj estimez-vous que les variables Rj et Rq=Rq kq pour qeA*\{j} compensent parfaitement Rj= Rjk et Rq=sq pour qe A~\{i} ? On note Rj'κ,° cette valeur. On doit avoir : (4-[C2-R1j) Vik + Vj(Rj iK'0) + ∑q^} Vq kq = 0
Si l'expert préfère raisonner sur la courbe de niveau -1 , on lui demande de fournir la valeur de Rj pour laquelle U(Rj,jK+(Rj))= -1 :
Q5' : A partir de(si εj=1)/Jusqu'à(si εj=-1) quelle valeur de Rj estimez-vous que les variables Rj et Rq=Rq kq pour qeAΑfl} compensent parfaitement Rj= Rjk et Rq=sq pour qe A~\{i} ? On note Rj'κ ~ cette valeur. On doit avoir : (4'-[C2-R1]) Vik + Vj(R κ'-) + ΣqeA+\{j} Vq kq = -1
On ajoute à l'ensemble D+ la variable j, et à D" l'ensemble ΓG)\D~. Si D+≠ T, on retourne à l'étape C2-R1 -8.
C2-R1 -9 - Détermination des paramètres dans les situations de compensation : on va se référer aux équations obtenues. La relation (1- [C1-R1]) donne la valeur de sq pour tout q. On met ces équations à part, car cela revient à ne pas considérer Vq(sq) comme une inconnue. Ainsi, les inconnues sont Vk pour ieA", ke{-pY-1 ,...,-1} et Vj k pour jeA+, ke{1 ,...,pj+1}. Cela donne ∑qe i n} (pq +1) inconnues. D'autre part, on a la relation (3-[C2-R1]) pour tout jeA+, ke{1 ,...,pj+1}, et la relation (4-[C2- R1]) ou (4'-[C2-R1]) pour tout jeA" et ke{-p'j-1,...,-1}. Au total cela donne ∑qe{i π} (Pq+1) équations. Il faut ajouter à cela les conditions sur le type de compensation. Dans le cas général, cela revient à introduire un certain nombre d'équations et d'inéquations en variables réelles et {0,1}, comme décrit ci-dessous en référence à la détermination du point particulier. On a donc autant d'inconnues que d'équations. Cela permet donc de calculer une unique solution, si elle existe. On peut aussi ajouter les contraintes suivantes :
Vj 1 < Vj 2 < ... < Vj pj+1 V je l+ et Vf > Vf2 > ... > Vf "μι V ie I" On peut résoudre un problème linéaire en minimisant la somme des erreurs sur toutes les équations. Si on impose que, parmi toutes les inégalités dans (2-[C1-R1]), une soit une égalité, on obtient un programme linéaire en nombres entiers.
C2-R1-10 à C2-R1-12: Ces étapes sont strictement identiques aux étapes C1 -R1 -9 à C1 -R1 -11.
On va examiner maintenant le cas général, pour lequel on suppose que l'on peut avoir un mélange entre les cas 9tι, 9î2 et 9Î3. On s'intéresse d'abord aux fonctions d'utilité déterminées aux extrémités. On détermine au fur et à mesure les fonctions d'utilité. En cours de déroulement d'algorithme, on note D+ l'ensemble des variables Rj pour lesquelles la partie positive de la fonction d'utilité Vj est déterminée, et D~ l'ensemble des variables Rj pour lesquelles la partie positive de la fonction d'utilité V est déterminée. Au départ du déroulement de l'algorithme, on a D+=0 et D~=0.
On suppose que, pour tout i, la variable Ri satisfait l'hypothèse suivante :
H-[C1-R*] : Pour R_j fixé à s_j, la compensation devient complètement impossible au-delà d'une certaine valeur de Rj. Autrement dit, une très mauvaise valeur de Ri ne peut plus du tout être compensée pour des valeurs neutres (égales aux seuils) suivant les autres variables. Cette condition implique la relation suivante : On va détailler maintenant l'algorithme. Les étapes sont numérotées par un label commençant toujours par C1-R*. La dénomination C1 signifie que l'on se situe dans le cas 1 (c'est-à-dire que l'on détermine les fonctions d'utilité uniquement aux extrémités) alors que R* signifie que les variables sont succeptibles d'appartenir à n'importe quel des trois cas de compensation R1 , R2 ou R3.
Les étapes dépendent en partie du type de compensation considéré
(R1 , R2 ou R3). Lorsqu'une étape dépend du type de compensation, on met entre crochets à la fin du numéro de l'étape un rappel de la compensation correspondante. Le processus est basé sur les étapes suivantes :
C1 -R*-1 - Définition des seuils de référence s sn : Cette étape est strictement identique à l'étape C1-R1-1.
C1-R*-2 •» Définition des valeurs Ri* pour je l* : Cette étape est strictement identique à l'étape C1-R1-2. Détermination des V pour ie%ι : Les étapes dont le numéro se termine par un crochet [1] sont spécifiques au cas R1 (ie9îι). Elles seront déclinées suivant les cas R2 et R3 respectivement avec les crochets [2] et [3]. Les étapes ne portant pas de crochet sont génériques et ne sont pas répétées dans les cas R2 et R3. C1 -R*-3H1 -- Définition des valeurs Rk* pour ke l~ : Cette étape est strictement identique à l'étape C1-R1-2. C1 -R -- Détermination de la fonction d'utilité Vk entre Rk* et Sk pour ke l~ : Cette étape est strictement identique à l'étape C1-R1-4. C1 -R*-5 -- Détermination de la fonction d'utilité V; entre s; et R\ pour je l* : Cette étape est strictement identique à l'étape C1-R1-5. C1-R*-6m - Détermination de ie9îι\D de référence : Le questionnaire va se baser sur une variable particulière parmi 9lι\D~. Cette étape est identique à l'étape C1-R1-6.
C1 -R1 -7m -- Détermination de Vi* et de V* pour tout ie .*π)\D* : Soit je l+(i)\D+. Cette étape est identique à l'étape C1 -R1-7. Grâce à la question Q5[C1-R1], on détermine Ry0. Comme dans l'étape C1-R1-7, on a :
(2-[C1-R*]) V,,* = Λ(A+,A_)e,/isA_ -(1+ΣjsA+nD+ Vj* ) / (1 -ΣjeA+ λi(Ri,j°) )
L'expression de Vj * pour tout je l+(i)\D+ est :
(3-[C1-R*]) Vj* = - λi(Rij°) X Λ(A+|A-)S, / isA_ -(1 +ΣjeA+nD+ Vj* ) / (1 -∑jeA+ λj(Ri,j0) )
On ajoute à l'ensemble D~ la variable i, et à D+ l'ensemble l+(i)\D+. Si D"≠ r, on retourne à une étape C1-R1-6[1], C1-R1-6[2] ou C1-R1-6[3]. C1-R*-8m -- Détermination de Vk* pour ke9t n (I ~\D~) tel que l*(k)cD* : Pour tout ke9îι n (\ΛD~) tel que l+(i)cD+, on procède exactement comme dans l'étape C1-R1-8. La valeur de Vk,* est alors donnée par la formule (6-[C1-R1]).
On procède ensuite à la détermination des V pour ie9l2 comme suit. C1 -R*-3I21 -- Définition des valeurs Rk|* pour ke l~ : En dessous(si εk=1)/A partir(si εk=-1) de Rk,*, la fonction d'utilité Vk reste bloquée à la valeur Vk?* et ne diminue plus. Contrairement à une compensation du type R1, il n'y a pas de comportement limite selon la variable R au delà de R ,* avec une compensation du type R2. Pour déterminer Rk,*, l'expert répond à la question suivante :
Q1[C1-R*] : A parti r(si εk=1)/En dessous(si εk=-1) de quelle valeur de Rk souhaitez-vous ne plus pénaliser davantage la compensation?
C1 -R*-6f21 -- Détermination de ie %AD~ de référence : Le questionnaire va se baser sur une variable particulière parmi 9t2\D~. Cette étape est identique à l'étape C1-R1-6. D'après la condition donnée précédemment pour R2, on a :
(4-[C1 -R*]) 3(A+,A_)e I tel que ieA-, on a 0 < Vj,* +ΣjsA+ Vj *
On demande à l'expert le couple (A+,A~) pour lequel l'inégalité précédente est satisfaite.
Q2[C1-R*] : Dans quelle situation de compensation, quelle que soit la valeur de Rj (même très mauvaise), compense-t-on parfaitement pour des valeurs suffisamment bonnes des autres variables ? C1-R*-7f21 - Déterminat ion de V.* et de V.* pour tout ieA*\D* :
Pour tout jeA+\D+, on pose la question suivante :
Q3[C1-R*] : Pour R_{i,j} fixé à s_{jj}, la variable Rj à la valeur Rj * compense-t-elle au moins un peu la variable Ri à la valeur Rj,*?
• Si la réponse à Q3[C1-R*] est positive, alors cela signifie que Vj,*+Vj*>-1. Soit alors le vecteur de variables R(Rj) tel que :
(R(Rj))j=Rj, (R(Rj))i=Ri,* et (R(Rj))k.=sk pour ke{i,j}. On a : U(R(Rj))=Vj(Rj)+Vi,*. Pour Rj=Sj, on a : U(R(Sj))=Vi,*<-1 d'après (1-[C1- R*]), et pour Rj=Rj*, on a U(R(Rj*))=Vj*+Vi,*>-1 d'après la réponse à la question Q5[C1-R2], On en déduit qu'il existe Rj° compris entre Sj et Rj* tel que U(R(Rj*))=-1. Comme Vi,*<-1 , on a Rj°<Sj et donc λj(Rj°)>0.
Pour déterminer Rj°, l'expert répond à la question suivante : Q3[C1-R*] : Pour R_{j,j} fixé à S-^}, jusqu'à(si εj=1)/à partir de(si quelle valeur de Rj estimez-vous que la variable Rj à la valeur R;,* n'est plus du tout compensée? Comme U(R(Rj°))= -1 , on a :
(5-[C1-R*j) λjj j V/≈ -l
• Si la réponse à Q3[C1-R*] est négative, alors cela signifie que Vi*+Vj*<-1. Soit alors le vecteur de variables R(Ri) tel que (R(Rj))i=Rj, (R(Ri))j=Ri* et pour kë{i,j}. On a : U(R(Ri))=Vi(Ri)+Vj *. Pour Rj=Sj, on a : U(R(Si))=Vj*≥0, et pour Ri=Ri,*, on a : U(R(Ri,*))=Vi,*+Vj *<-1 d'après la réponse à la question Q5[C1-R2]. On en déduit qu'il existe Ri0 compris entre Si et Rfι* tel que U(R(Ri°))=-1. Pour déterminer R|°, l'expert répond à la question suivante :
Q3'[C1 -R*] : Pour R_{i,j} fixé à β-pj}, à partir(si εi=1)/en dessous(si εj=-1) de quelle valeur estimez-vous que Ri ne peut plus du tout être compensé par Rj à la valeur Rj * ? Comme U(R(Rι°))= -1 , on a : (5'-[C1-R*j) VJ *+ λι(Rι0) Vιl*= -1
On pose : τj=λι(Rι0) si V|,.+Vj ≤-1, et τiJ=1/λj(Rj° ) si Vj*+Vj *>-1. On pose de plus Ty=1 si Vι,*+Vj ≤-1 , et Tjj=1/λj(Rj° ) si Vι,*+Vj*>-1. D'après (4-
[C1-R2]) et (4'-[C1-R2]), pour tout je AΛD", on a :
(5"-[C1-R*]) Vj*+ τij Vj,* = -Tij
D'après (4-[C1-R*j) On considère l'égalité lorsque le second membre vaut un nombre positif fixé K. D'où : (6-[C1 -R*]) Vj,* = (κ+ΣjeA+\D+ Tjj -∑js A+nD+ Vj*) / (1 -∑je A+\D+ τ,j )
Avec (5"-[C1-R*]), on obtient , pour tout je A+\D+ :
(7-[C1-R*]) Vj* = - T y -τy x ( κ+ΣkeA+\D+ T ik - ΣkSA+nD+ V k *) /
On ajoute à l'ensemble D~ la variable i, et à D+ l'ensemble A+\D+. Si D~≠
T, on retourne à une étape C1-R1-6[1], C1-R1-6[2] ou C1-R1-6[3].
C1 -R*-8r21 - Détermination de Vk* pour ke%> n l"\D" tel que l*(k)cD* :
Pour tout ke9î2nr\D~ tel que T(i)cD+, on peut déterminer la valeur de Vk*. On pose la question Q2[C1-R*] pour déterminer le couple (A+,A~) pour lequel la relation (4-[C1-R*]) est satisfaite. D'après (4-[C1-R*]), on a : On obtient :
Vkj* = K - ΣjeA+ Vj * On procède ensuite à la détermination des V, pour ie9î3 :
C1 -R*-3f31 -- Définition des valeurs Rk * pour ke l~ : Cette étape est strictement identique à l'étape C1-R*-3[2].
C1 -R*-6r31 - Détermination de ie9î3\D~ de référence : Le questionnaire va se baser sur une variable particulière parmi 9 3\D~. Cette étape est identique à l'étape C1-R1-6.
C1-R*-7.31 - Détermination de Vi* et de Vi* pour tout ie l*(i)\D* : Pour tout je l+(i)\D+, on procède exactement comme pour le début de l'étape C1-
R*-7[2]. Pour tout je l+(i)\D+, on aboutit à la relation (5"-[C1-R*]). La seconde relation correspondant au cas R3 donne pour tout
(A+,A")el avec ieA" :
Vj,* Tjj +∑jeA+nD+ Vj < 0
Donc :
Vj * ≤ (ΣjsA+\D+ Tjj -∑jeA+πD+ Vj ) / (1 -∑jsA+\D+ Xij ) et :
Vj * < Λ(A+,A-)el /ieA- (∑jeA+\D+ Tjj -∑j<=A+nD+ Vj ) / (1 -∑jsA+\D+ tjj )
On prend l'égalité : (8-[C1-R*])
V,* = Λ(A+,A-)sl ieA- (∑jsA+\D+ Tjj -∑jsA+nD+ Vj ) / (1 -∑jeA+\D+ Tjj ) Pour le couple (A+,A~)e I réalisant le minimum, on a : Vj* +ΣJSA+ VJ* = 0.
Ceci implique que pour ce couple, on a en particulier : V,* +ΣJGA+ VJ* > -1.
On en déduit que la première relation correspondant au cas R3 est satisfaite. En conséquence, Vj* donné par (8-[C1-R*j) satisfait les conditions du cas R3. Avec (5"-[C1-R*]), on obtient, pour tout je l+(i)\D+ :
(9-[C1-R*j) Vj = - Ty -Tjj X Λ(A+,A-)sl / isA- (∑jsA+\D+ Tjj -∑jsA+nD+ Vj ) / (1 -ΣjeA+\D+ Xij )
On ajoute à l'ensemble D~ la variable i, et à D+ l'ensemble l+(i)\D+. Si D"≠ I", on retourne à une étape C1-R1-6[1], C1-R1-6[2] ou C1-R1-6[3]. C1 -R*-8r31 -- Détermination de Vk* pour ke9t? n l"\D" tel que l*(k)cD* :
Pour tout ke9l3nr\D- tel que l+(i)cD+, on peut déterminer la valeur de Vkl*. La seconde relation correspondant au cas R3 donne :
Vk * ≤ Λ(A+,A-)s I / keA- ~∑je A+ Vj Comme précédemment, on prend l'égalité :
V |* = Λ(A+,A-)el / keA- ~∑jsA+ Vj
Pour le couple (A+,A~)e I réalisant le minimum, on a : Vk* +ΣjeA+ Vj* = 0. On en déduit que la première relation correspondant au cas R3 est satisfaite. En conséquence, Vk|* donné par la formule précédente satisfait les conditions du cas R3.
On procède ensuite à la détermination des Vj pour je l+\D+ , comme suit.
C1 -R*-9 -- Détermination de Vi* pour tout ie l*\D* : A l'issue des étapes C1-R*-7, si f≠D+, c'est forcément dû à un cas R2, c'est à dire à un couple (A+,A~)el avec je A+, pour lequel tous les ieA" correspondent au cas R2.
Soit donc je l+\D+. Soit (A+,A~)e l avec j A+. On demande à l'expert, à l'image de l'étape C1-R1-2, un indice ieA" sur lequel une question sera posée. On procède alors exactement comme au début de l'étape C1 -R*- 7[2]. On aboutit à la relation (5"-[C1-R*]). Cela donne l'expression de Vj* : (9-[C1 -R*]) Vj * = - Ty -τij x Vj*
On va examiner comment se passe la détermination des paramètres en dehors du cadre de la compensation.
C1-R 0 -- Détermination de Vj * pour un te l* : Cette étape est strictement identique à l'étape C1-R1-9. C1 -R 1 -- Détermination de Vi au delà de Ri* pour ie%ι : Dans le cadre d'une compensation du type R1, il faut s'assurer que plus aucune compensation ne soit possible en dessous(si εi=1)/au- delà(si εj=-1 ) d'une certaine valeur de Rj. C'est pour cette raison que l'on a vu qu'il est nécessaire d'introduire un point Ri,** en dessous(si de Ri*. Cette étape est strictement identique à l'étape C1-R1-10. C1-R*-12 -- Détermination de Rk* et de Vk* pour kgl" : Pour kg I" , la variable Rk n'est jamais censée être compensée par d'autres variables. On suppose donc que les variables ne faisant pas a priori partie des variables censées être compensées d'après l'expert, appartiennent au cas R1, c'est-à-dire au cas le plus restrictif. On procède alors exactement comme dans l'étape C1-R1-11.
Pour déterminer les fonctions d'utilité en tout point pour l+ et I" , la méthode est similaire à ce qui est décrit ci-dessus en référence à la figure
15. On ne la décrira pas en détail. Il s'agit de généraliser les étapes C2-
R1-6 et C2-R1-8. On cherche alors à déterminer Vjk pour tout ie l~, ke{-p'i
-1.... -1} et pour tout iel+, ke{1 Pι+1}. Ce sont les inconnues en question. Soit ije N et Aç:N\{i,j}. Soit R le vecteur dont les coordonnées sont les suivantes : Ri=Rk, Rj valeur non fixée, Rq=Rq kq pour tout qeA\j, et Rq=sq pour tout qe N\(Au{i,j}). On a U(R) = Vk + Vj(Rj) + ΣqsA\{j} Vq kq. Le vecteur R met donc en œuvre l'utilité Vjk. Afin d'avoir une relation satisfaite par Vk, on cherche donc à avoir Rj tel que U(R)=0 ou U(R)= -1. On cherche donc des indices {kq}qsA\j de telle sorte que lorsque Rj passe de Rj,* à Sj, on soit sûr que U(R) traverse l'une des deux courbes de niveau 0 ou -1. On décrit ici la manière dont on détermine les indices {kq}qsA\j.
Pour chaque ie l~, ke{-p'i -1 -1} et chaque ie l+, ke{1 ,..., pι+1}, on utilise cette technique pour déterminer une relation satisfaite par Vk. On commence par ceux pour lesquels on n'a pas besoin de chercher numériquement des indices (c'est-à-dire ceux pour lesquels on connaît a priori des {kq}q(≡A\j pour lesquels U(R) traverse l'une des deux courbes de niveau 0 ou -1). Pour effectuer la détermination du point particulier, la difficulté est que l'on ne connaît pas encore les valeurs des utilités Vq kq . Dans ces conditions, comment déterminer les meilleurs indices {kq}qeA\j de telle sorte que U(R) croise à coup sûr l'une des deux courbes de niveau ? L'idée est, à partir des éléments dont on dispose, de déterminer les meilleurs indices {kq}qeA\j de telle sorte qu'il soit parfaitement possible que U(R) croise l'une des deux courbes de niveau, c'est-à-dire qu'il n'y ait aucune contre-indication d'après les éléments dont on dispose. Les éléments dont on dispose sont regroupés dans un ensemble noté Ψ. Il s'agit des relations dont on dispose sur les inconnues. On dénote par Ψ l'ensemble des égalités provenant des points particuliers déjà déterminés, et des relations suivantes provenant du type de compensation choisie: π Cas où i %]. Pour tout (A+,A~)e I tel que ieA" , on a Vj* +ΣjsA+ Vj* < -1.
De plus, pour que Ri* corresponde à sa définition donnée précédemment, au moins l'une de ces inégalités doit être satisfaite avec une égalité. On modélise cela à l'aide d'un problème linéaire en nombres entiers. Cela donne :
Pour tout (A+,A~)e I tel que ie A" : Vi,*+Σj€A+ Vj = -1-EJ,A+ εiιA+ e {0,1}
∑(A+A-)el tel que ieA- (1~εi,A+) ≥ 1 où δ est un nombre très petit (par exemple δ=10~8) et Emaχ est une borne supérieure a priori des Ej,A+ (par exemple Les variables εi,A+ sont entières. La relation εi,A+ < EI,A+ / δ implique que εiιA+ = 0 dès que EJ,A+ < δ. La relation εi,A+ ≥ ( EiιA+ - δ)/Emaχ implique que εiτA+ = 1 dès que Ei,A+ > δ. En gros, εi|A+ = 0 si Vj,* +ΣjeA+ Vj* = -1 et εi|A+ = 1 si Vj* +ΣjeA+ Vj* < -1. On en déduit que ∑(A+,A-)eι el que ieA- (1-εilA+) donne le nombre de (A+,A_)e l pour lesquels on a égalité dans Vit* +ΣjsA+ Vj* < -1. La relation Σ(A+,A-)eι teι que ieA- (1-εi,A+) ≥ 1 indique donc qu'au moins l'une de ces inégalités doit être satisfaite avec une égalité. α Cas où ie9l2. Pour tout (A+,A~)e I tel que ie A~ on a Vj,* +ΣjeA+ Vj * > 0. On écrit cela de la manière suivante : pour tout (A+,A~)e l tel que ie A" on a Vj,* +Σj6A+ V j* >γ (avec γ très petit). De plus, pour que R,* corresponde à sa définition donnée précédemment, au moins l'une de ces inégalités doit être satisfaite avec une égalité. On modélise cela à l'aide d'un problème linéaire en nombres entiers. Cette façon de faire est similaire à celle du cas précédent. Pour tout (A\A~)e I tel que ie A"~ : Vi,* +ΣjsA+ Vj * = γ+Ei,A+ EiιA+ > 0 εilA+ e {0,1}
∑(A+,A-)sl tel que ie A- (1-εi,A+) ≥ α Cas où ie9Î3. On n'impose aucune condition supplémentaire autre que les conditions sur 9l3. Cela donne : Pour tout (A+,A~)e I tel que i A" : On a vu précédemment que : 3Rje [Sj,Rj*] tel que U(R) ≈ 0 Vk e [-Vj(Rj) -ΣqsA Vq kq , -ΣqeA Vq kq ]
(1)
SRje tSj.Rj*] tel que U(R) = -1 «- Vk e [-1 -V,(Rj) -ΣqsA Vq kq , -1-ΣqeA Vq kq ] (2) souhaite donc que (1) ou (2) soit satisfaite. Soit : L' = { (Vj*,Vik,{vq kq}qeA) tel que Ψu{Vj *=Vj *}u{Vik=Vik}u{Vq kq=vq kq}qsA u {
(1) ou (2) } ≠0 } tel que 3 v,k avec (vj*,Vik,{vq kq}qeA) L } L'ensemble L fournit les valeurs des variables Vj*,vk,{vqkq}qsA compatibles avec Ψ, et (1) ou (2). Autrement dit, si L≠0 alors (1) ou (2) sera réalisable et U(R) coupera l'une des deux courbes de niveau 0 ou -1 pour une valeur de Rj. On veut que L≠0. Pour aller plus loin, on veut maximiser la plage des vk possibles. En effet, plus il y a des valeurs de Vk possibles, plus on aura de marge sur (1 ) ou (2). Soit :
On veut donc choisir {kq}qeA de sorte à maximiser n_. Ce nombre n'est pas facile à calculer. On en cherche une approximation simple à calculer.
Soit :
* * — * *
Vj = Λvj* tel que Ψ {Vj*=vj*}≠0 Vj et V - Vvj* tel que Ψu{Vj*=vj*}≠0 Vj
V_, = Λvik tel que Ψu{Vik=vik}≠0 Vi et V, = Vvjk tel que Ψu{Vik=vik}≠0 Vj
A — Λ{Vqkq}qsA tel que Ψu{Vqkq=vqkq}qeA≠0 qsA Vq et A = V{Vqkq}qeA tel que Ψu{Vqkq=vqkq}qe A ≠0 ∑qsA q
Soit
M' = { (Vj*,Vik,{vq kq}qsA) tel que v{e[v ,VΛ, v K .F ], ΣqeA Vq kqe[λ , λ ] et (1 ) ou (2) }
M= { (Vj *,{vq kq}q6A) tel que 3 v avec (Vj *,Vik,{vq kq}qeA)e M }
On a L'çM' et LçM. M et M' sont donc des sur-approximations des ensembles L et L'. Soit : ( v(vj*,vik,{vqkq}qeA)eM' Vj — Λ(vj*,vik,{vqkq}qsA)eM' vi ) Comme L'çM' et LcM, il vient : rM ≥ rL
Le nombre rM est très facile à calculer. En effet, on pose : p=0 si l'on considère la relation (1) p=1 si l'on considère la relation (2) Tout d'abord, on remarque que : rM= min { r(Vj *,λ), v{e[V], v]], λe[λ , λ] } ou :
— k . r(Vj *,λ) = | [V ,ri] n [-vj -λ-p,-λ-p] |
Pour un intervalle T=[To,Tι], la longueur |T| de cet intervalle est définie
De plus, il est facile de voir que :
Les indices {kq}qεA+\j considérés sont ceux maximisant r (si l'on souhaite résoudre le problème exact) ou rM (si l'on se contente du problème approché).

Claims

REVENDICATIONS
1. - Procédé de prise de décision par un système expert en l'absence de règles clairement identifiables, selon lequel ce système établit des règles de prise de décision comportant au moins deux variables pour chacune desquelles au moins une limite n'est pas stricte, caractérisé par le fait que ce système pose des questions en vue de permettre au système d'introduire une condition de compensation dans les règles non clairement identifiables, que l'expert détermine avec le système, pour chaque paramètre d'une condition compensatoire, au moins un point particulier appartenant à une frontière de compensation et relié au paramètre, que le système en déduit la valeur des paramètres, qu'il applique l'ensemble des règles et qu'il en déduit la décision.
2. -Procédé selon la revendication 1 , caractérisé par le fait que la compensation est soit vérifiée soit non vérifiée, et qu'il n'y a qu'une seule frontière de compensation.
3. -Procédé selon la revendication 1, caractérisé par le fait que les conditions dans les prémisses sont rendues floues par l'expert, que la compensation peut être plus ou moins vérifiée, qu'il y a deux frontières de compensation, que l'application des règles permet de calculer un degré de possibilité sur l'ensemble des alternatives possibles, et que le système interprète les distributions de possibilité finales pour en déduire la décision.
4. -Procédé selon l'une des revendications 1 à 3, caractérisé par le fait que la condition de compensation s'écrit comme l'agrégation par une simple somme non pondérée de fonctions d'utilité sur chaque variable, que les fonctions d'utilité sont affines par morceaux, que l'expert fournit les abscisses des points délimitant les parties affines, et que les paramètres de la condition de compensation sont les ordonnées de ces points.
5. -Procédé selon la revendication 4, caractérisé par le fait que l'expert fournit en relatif par rapport aux valeurs extrêmes les ordonnées des fonctions d'utilité pour tous points délimitant les parties affines hormis les deux points extrêmes et le seuil, que l'utilité au seuil est nulle et que les paramètres de la condition de compensation sont les ordonnées des fonctions d'utilité pour les points extrêmes.
6. -Procédé selon la revendication 4, caractérisé par le fait que l'utilité au seuil est nulle et que les paramètres de la condition de compensation sont les ordonnées des fonctions d'utilité pour tous points délimitant les parties affines hormis le seuil.
7. -Procédé selon l'une des revendications 5 à 6, caractérisé par le fait que les points particuliers sont tels que toutes leur coordonnées suivant les variables sauf une sont égales à une des valeurs délimitant les parties affines des fonctions d'utilité, que le système demande à l'expert de fournir la valeur suivant la coordonnée non fixée de telle sorte que le point particulier se situe exactement sur une frontière de compensation, que le système détermine un point caractéristique pour toute variable et toute valeur délimitant les parties affines de la fonction d'utilité sur cette variable telle que la coordonnée du point caractéristique suivant la variable soit égale à la valeur et telle que l'ordonnée de cette valeur soit un paramètre, que les relations que l'on a sur les points caractéristiques aboutissent à un ensemble d'équations dont les inconnues sont les paramètres, et que le système résout cet ensemble avec une méthode classique.
8. -Procédé selon la revendication 7, caractérisé par le fait que l'expert détermine pour chaque variable le type de compensation à laquelle elle appartient, que cela fournit un ensemble d'équations et d'inéquations, qu'il faut ajouter les équations issues des points caractéristiques, et que le système résout ce système selon une méthode classique.
9. -Procédé selon la revendication 7, caractérisé par le fait que toutes les variables correspondent à une compensation du type pour lequel , pour chaque variable Rj, il existe une valeur de Ri au-delà ou en deçà de laquelle plus aucune compensation n'est possible quelle que soit la valeur suivant les autres variables, que l'expert fournit en valeurs relatives par rapport aux valeurs extrêmes les ordonnées des fonctions d'utilité pour tous points délimitant les parties affines hormis les deux points extrêmes et le seuil, que l'utilité au seuil est nulle, que les paramètres de la condition de compensation sont les ordonnées des fonctions d'utilité pour les points extrêmes, que les conditions dans les prémisses sont rendues floues par l'expert, que la compensation peut être plus ou moins vérifiée, que les points caractéristiques sont tels que la composante suivant une variable bien satisfaite corresponde à la valeur maximale suivant cette variable, que la composante suivant une variable mal satisfaite soit libre, que le système demande à l'expert de fournir la valeur suivant la coordonnée libre de telle sorte que le point particulier se situe exactement sur une frontière de compensation et que toutes les autres composantes soient fixées aux seuils.
10. -Procédé selon la revendication 1 , caractérisé par le fait que la base de règles correspond à un arbre de décision.
11. -Procédé selon la revendication 3, caractérisé par le fait que la base de règles correspond à un arbre de décision, et qu'une seule alternative peut être parfaitement possible dans la distribution de possibilités finale.
12. -Procédé selon la revendication 11, caractérisé par le fait que le système met en évidence dans l'arbre de décision les couples de conditions complémentaires, y compris les conditions de compensation, que le système traite les conditions complémentaires en même temps en séparant le noyau de leur ensemble flou par un nombre très petit.
13. -Procédé selon l'une des revendications 11 à 12, caractérisé par le fait que le système commence par introduire formellement la compensation, puis que le système introduit formellement le flou, puis que le système spécifie les conditions floues non compensatoires, et enfin que le système spécifie les conditions floues compensatoires.
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D. DUBOIS; H. PRADE: "What are fuzzy rules and how to use them", FUZZY SETS & SYSTEMS, 1996, pages 169 - 185, XP000635602, DOI: doi:10.1016/0165-0114(96)00066-8 *

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