DE102010003072A1

DE102010003072A1 - Verfahren zur Simulation von elektronischen Schaltungen auf der Grundlage automatisch generierter Modelle

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Publication number: DE102010003072A1
Application number: DE102010003072A
Authority: DE
Inventors: Daniel Zaum; Stefan Hölldampf; Artur Quiring; Sebastian Schmidt; Erich Barke; Markus Olbrich; Ingmar Neumann
Original assignee: Continental Teves AG and Co OHG
Current assignee: Continental Automotive Technologies GmbH
Priority date: 2010-03-19
Filing date: 2010-03-19
Publication date: 2011-09-22

Abstract

Es wird ein Verfahren zur rechnergestützten Simulation einer mindestens ein nichtlineares und gegebenenfalls weitere lineare Bauelemente enthaltenden elektronischen Schaltung vorgeschlagen, insbesondere zur Simulation des Schaltungsnetzwerks einer analogen Leistungselektronik für ein Kraftfahrzeug, bei dem das oder die nichtlinearen Bauelemente durch mehrere Schaltungsmodelle, welche lineare Teilnetzwerke repräsentieren, beschrieben wird/werden, wobei ein Umschalten zwischen den Schaltungsmodellen zu geeigneten Zeitpunkten vorgenommen wird, wobei der oder die Zeitpunkte für das Umschalten zwischen den Schaltungsmodellen für die unterschiedlichen Teilnetzwerke anhand einer Nullstellensuche ermittelt werden.

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren gemäß Oberbegriff von Anspruch 1.
Moderne Steuergeräte enthalten häufig integrierte Schaltungen, in denen digitale Logikbausteine und analoge Leistungsbauteile auf einem gemeinsamen Substrat aufgebracht sind (Mixed-Signal-ICs). Während die Fertigungskosten pro Stück bei dieser Technologie gegenüber einem diskreten Aufbau deutlich geringer sind, wird sowohl eine Überprüfung der Fehlerfreiheit des Schaltungsentwurfs als auch der Erfüllung spezifizierter gewünschter Eigenschaften schwieriger. Es muss zunächst eine Charge der Mixed-Signal-ICs gefertigt und Prototypenboards hergestellt werden, um anschließend in langwierigen Testläufen die Funktion zu prüfen. Dieser Zeitaufwand lässt sich mit Hilfe von virtuellen Prototypen, also der vollständigen Simulation des Verhaltens der Schaltungen mit Hilfe von Mikrocomputern verringern. Der Einsatz von üblichen bereits bekannten Verfahren erfordert häufig Kompromisse:
Weit verbreitet ist die numerische Simulation von analogen elektronischen Schaltungsnetzwerken mit Hilfe von Simulationsprogrammen, wie etwa SPICE (= Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis) oder SABER (= Programm zur Simulation einer integrierten Schaltung auf Basis eines SPICE-ähnlichen Verfahrens). Diese auf Mikrocomputern lauffähigen Simulationsprogramme (auch Simulatoren genannt) gestatten es, den Zustand eines analogen Schaltungsnetzwerks zu in der Zukunft liegenden Zeitpunkten zu berechnen, wofür in der Regel zumindest für einen Teil der einzelnen Maschen oder Knoten des zu simulierenden Schaltungsnetzwerks nichtlineare Differentialgleichungen (kurz DGL genannt) aufgestellt und zur Laufzeit des Simulators gelöst werden müssen. Wenn eine Kopplung mehrer Maschen oder Knoten während der Berechnung einer vorgegebenen Masche zu berücksichtigen ist, muss zur Lösung der Differentialgleichungen eine numerische Integration in verhältnismäßig kleinen Zeitschritten ausgeführt werden. Da dies ausgesprochen rechenintensiv ist, können mit handelsüblichen Rechnern nur verhältnismäßig kleine Schaltungen in einem akzeptablen Zeitaufwand simuliert werden. Eine Beschreibung des sehr viele Bauelemente umfassenden digitalen Teils der Schaltung ist für viele technische Anwendungsfälle, z. B. für die Simulation eines Schaltungsnetzwerks einer analogen Leistungselektronik für Kraftfahrzeuge, zu kostenintensiv.
Zur Beschreibung von digitalen Netzwerken sind Verfahren bekannt, die Transistoren als spannungsgesteuerte Ein-Aus-Schalter modellieren. Bei solchen „Switch-Level” Simulationen, wie sie beispielsweise in der Doktorarbeit „Piecewise Linear Models for Switch-Level Simulation" von Rusell Kao ,Western Research Laboratory, 250 University Avenue, Palo Alto, California, 94301 USA, September 1992, beschrieben werden, erfolgt eine Aufteilung des zu simulierenden digitalen Gesamt-Netzwerks in kleinere, getrennt simulierbare Teilnetzwerke (auch Maschen genannt), die ein oder mehrere elektronische Bauelemente enthalten können. Bei deutlich reduzierter Rechenzeit kann das Verhalten von Transistoren in erster Näherung beschrieben werden. Zur Simulation von analogen Schaltungen, insbesondere von nichtlinearen Schaltungen, die Spulen umfassen, sind bekannte „Switch-Level” Verfahren nicht ohne weiteres einsetzbar.
In der DE 10106247 A1 wird ebenfalls ein Verfahren zur numerischen Simulation elektronischer Schaltungsnetzwerke beschrieben, das eine Erweiterung einer „Switch-Level” Simulation auf analoge Schaltungen darstellt, bei dem das Schaltungsnetzwerk in Komponenten wie Teilnetzwerke oder elektrische Bauteile zerlegt wird. Diese werden in 3 Kategorien unterteilt:

a) Komponenten mit linearem Strom/Spannungsverlauf wie z. B. Widerstände,
b) aktive Komponenten mit nichtlinearem Strom/Spannungsverlauf, die sich je nach Eingangszustand durch ein lineares Netzwerk simulieren lassen, wie z. B. Transistoren,
c) Komponenten, die sich mittels explizit gelöster und parametrisierbarer linearer oder nichtlinearer Differentialgleichungen simulieren lassen.

Jedes Teilnetzwerk oder elektrisches Bauteil wird getrennt simuliert, wobei mindestens eine Komponente der Kategorie c) vorkommt. Im Ausführungsbeispiel wird anhand einer Spule diskutiert, wie die zeitraubende numerische Integration von Differentialgleichungen vermieden werden kann. Bei der Simulation wird angenommen, dass während des Schaltens einer Spule bzw. eines Kondensators in der Regel genau ein treibender Pfad zu einer Strom-/Spannungsquelle aktiv ist. Bei Vorliegen dieser Bedingung ist eine realistische Beschreibung analoger Schaltungen mit deutlich verringertem Rechenaufwand möglich.
Eine Verbesserung des Verfahrens sowie eine zur Durchführung des Verfahrens geeignete Vorrichtung und ein Computerprogrammprodukt werden in der DE 10 2004 002 371 A1 offenbart. Die Beschränkung auf einen treibenden Pfad zu einer Strom- bzw. Spannungsquelle wird aufgehoben, indem zunächst anhand aller möglichen Schaltzustände alle durch die umschaltbaren Teilnetzwerke vorgegebenen Schaltungslösungen durch Permutation vollständig berechnet werden. Beim Ablauf der Simulation wird in Abhängigkeit vom jeweiligen Schaltzustand die entsprechende Schaltungslösung verwendet. Ein Zustandsübergang wird anhand einer Null- oder Polstelle der Übertragungsfunktion erkannt. Das Verfahren wurde prototypisch mit Hilfe eines symbolisch berechnenden Computeralgebrasystems durchgeführt. Während es in einzelnen Fällen für nicht zu große Schaltungen gute Ergebnisse zeigt, ist dessen Verwendung zur Entwicklung moderner Kraftfahrzeug-Steuergeräte nur eingeschränkt möglich, da die symbolischen Berechnungen für die Simulation der komplexen Schaltungen immer noch zu langsam sind.
Aufgabe der vorliegenden Erfindung ist es daher, die vorstehend beschriebenen, an sich bekannten „Switch-Level” Verfahren im Hinblick auf eine höhere Simulationsgeschwindigkeit deutlich zu verbessern.
Diese Aufgabe wird erfindungsgemäß durch das in Anspruch 1 definierte Verfahren gelöst. Das Verfahren ermöglicht die Simulation einer elektronischen Schaltung mit einem Satz von Schaltungsmodellen (diese entsprechen im Wesentlichen den Schaltungslösungen aus der bereits erwähnten DE 10 2004 002 371 A1 und werden auch als Zustandsraummodelle bezeichnet). Wie sich gezeigt hat, stellt dabei die Erkennung von Umschaltzeitpunkten einen zeitkritischen Schritt dar.
Es wird also ein Verfahren zur rechnergestützten Simulation einer mindestens ein nichtlineares und gegebenenfalls weitere lineare Bauelemente enthaltenden elektronischen Schaltung bereitgestellt, insbesondere zur Simulation des Schaltungsnetzwerks einer analogen Leistungselektronik für ein Kraftfahrzeug, bei dem das oder die nichtlinearen Bauelemente durch mehrere Schaltungsmodelle, welche lineare Teilnetzwerke repräsentieren, beschrieben wird bzw. werden, wobei ein Umschalten zwischen den Schaltungsmodellen zu geeigneten Zeitpunkten vorgenommen wird und der oder die Zeitpunkte für das Umschalten zwischen den Schaltungsmodellen für die unterschiedlichen Teilnetzwerke anhand einer Nullstellensuche ermittelt werden. Lineare Bauelemente, beispielsweise Widerstände, Induktivitäten und Kapazitäten, weisen einen im Wesentlichen linearen Zusammenhang zwischen elektrischen Größen wie Strom und Spannung auf. Als nichtlineare Bauelemente werden zum Beispiel Dioden, Zener-Dioden, Bipolar- und Feldeffekttransistoren bezeichnet.
Zweckmäßigerweise sucht die Nullstellensuche die erste Nullstelle einer zeitlichen Potentialdifferenzfunktion des jeweils betrachteten nichtlinearen Bauteils.
Es ist vorteilhaft, die Nullstellensuche auf Basis der maximalen Ableitung der betrachteten Funktion durchzuführen. Die Bildung der maximalen Ableitung lässt sich für die zeitlichen Potentialdifferenzfunktionen besonders schnell vornehmen, ohne dass die Zuverlässigkeit verringert wird.
Die Erfindung betrifft alternativ zum Verfahren gemäß Anspruch 1 auch ein Verfahren zur rechnergestützten Simulation einer mindestens ein nichtlineares und gegebenenfalls weitere lineare Bauelemente enthaltenden elektronischen Schaltung, insbesondere zur Simulation des Schaltungsnetzwerks einer analogen Leistungselektronik für ein Kraftfahrzeug, bei dem das oder die nichtlinearen Bauelemente durch mehrere Schaltungsmodelle, welche lineare Teilnetzwerke repräsentieren, beschrieben wird bzw. werden, wobei ein Umschalten zwischen den Schaltungsmodellen zu geeigneten Zeitpunkten vorgenommen wird und beim Umschalten zwischen den Schaltungsmodellen die Erhaltung der in der Schaltung gespeicherten Energie berücksichtigt wird. Dieses alternative Verfahren kann auch bevorzugt in Verbindung mit dem Verfahren gemäß Anspruch 1 durchgeführt werden.
Bevorzugt wird die Erhaltung der in einzelnen Bauelementen gespeicherten Energie über eine Randbedingung von den Zustand des Bauelements beschreibenden Zustandsgrößen berücksichtigt.
Besonders bevorzugt wird bei Induktivitäten eine Stetigkeit der Ströme und bei Kapazitäten eine Stetigkeit der Spannungen als Randbedingung berücksichtigt.
In einer weiteren bevorzugten Ausführungsform der Erfindung werden mit Hilfe der Betrachtung der in einem oder mehreren Bauelement gespeicherten Energie bei einem Umschalten zwischen Schaltungsmodellen die Zustandsgrößen am Anfang des folgenden Simulationsschritts bestimmt.
Zweckmäßigerweise werden der Schaltung zugeführte Signale als stückweise konstant modelliert.
Es ist vorteilhaft, für jede aus der Simulation zu extrahierende Größe mit Hilfe von Übertragungsfunktionen eine Ausgangsfunktion vorzuberechnen.
Die Erfindung betrifft auch ein Computerprogrammprodukt zur Durchführung des zuvor beschriebenen Verfahrens.
Somit kann das Verhalten komplexer Schaltungen mit einer den „Switch-Level” Simulationen verwandten Methode berechnet werden. Durch die erhöhte Berechnungsgeschwindigkeit können besonders vorteilhaft mehr und längere Testszenarien simuliert werden, wodurch eine erhöhte Produktqualität von Kraftfahrzeugen besonders hinsichtlich Zuverlässigkeit und Sicherheit bei gleichbleibend kurzer Entwicklungszeit erreichbar ist.
Weitere bevorzugte Ausführungsformen ergeben sich aus den Unteransprüchen und der nachfolgenden Beschreibung eines Ausführungsbeispiels an Hand von Figuren.
Es zeigen
1 ein Flussdiagramm des Ablaufs von Modellgenerierung und Simulation,
2 eine Beispielschaltung mit Diode,
3 eine stückweise linearisierte Diodenkennlinie,
4 Ersatzschaltungen für die verschiedenen linearen Teilkennlinien,
5 ein Flussdiagramm zur Transformation zwischen zwei Schaltungsmodellen,
6 ein Diagramm zur oberen Abschätzung einer oszillierenden Exponentialfunktion,
7 ein Flussdiagramm zur Nullstellensuche anhand der Methode der maximalen Ableitung, und
8 Diagramme eines Beispiels für die Durchführung der Nullstellensuche.
Der grundsätzliche Ablauf von Modellgenerierung und Simulation ist in 1 gezeigt, wobei zunächst eine Vorberechnung erfolgt (Schritte P.1 bis P.5), so dass während der Simulation selbst nur wenige Schritte häufig wiederholt werden müssen (S.1 und S.2). Zu Anfang sind eine Netzliste der zu simulierenden Schaltung, die Eingangserregung der Schaltung, d. h. die zu Beginn der Simulation an Knoten anliegenden Spannungen und durch Maschen fließenden Ströme, sowie eine Liste der als Simulationsergebnis gefragten Ausgangsgrößen, d. h. Spannungen und Ströme gegeben. Für jede der beobachteten Größen soll nun eine Ausgangsfunktion bestimmt werden, wobei jede Eingangserregung als stückweise konstant modelliert wird.
In einem ersten Schritt (P.1) werden nichtlineare Bauelemente durch stückweise lineare Modelle ersetzt, wobei zu jedem Schaltzustand jedes nichtlinearen Bauelements ein zugehöriges Teilnetzwerk aus linearen Bauelementen ermittelt wird. Mit Hilfe einer modifizierten Knotenanalyse der Netzliste, wie beispielsweise in „The Modified Nodal Approach to Network Analysis", Ho, Ruehli, und Brennan, Proc. 1974 Int. Symposium on Circuits and Systems, San Francisco, pp. 505–509, beschrieben, werden die beschreibenden Gleichungen der Schaltung ermittelt, welche die Strom-Spannungs-Charakteristik der einzelnen Bauelemente und die Kirchhoffschen Regeln umfassen: (sC₀ + G₀)x ₀ = B₀ u
Hierbei stellt s die verallgemeinerte Frequenz dar, C₀ beschreibt Bauelemente, deren Zustand sich zeitlich ändert, wie z. B. Kapazitäten und Induktivitäten, G₀ umfasst zeitlich nicht veränderliche Bauelemente der Schaltung wie z. B. Widerstände, und B₀ u die Eingangserregung, also von außen an die Schaltung angelegte Signale. (sC₀ + G₀) wird auch mit dem Symbol M_MNA bezeichnet.
Anschließend (Schritt P.2) wird die Übertragungsmatrix M_TF der Schaltung berechnet:
Die Komponenten der Matrix, also einzelne Übertragungsfunktionen, verbinden jeweils genau einen Ein- mit einem Ausgang und haben die Form eines Bruchs aus zwei Polynomen:
Sie wurden durch Lösen des linearen Gleichungssystems M_MNA·x = ẕ ~ bestimmt, wobei x den Zustandsvektor mit allen Knotenspannungen und nötigen Zweigströmen und ẕ ~ die momentane Eingangserregung, also der Schaltung von außen zugeführte Spannungen und Ströme, bezeichnet.
Der nächste Schritt (P.3) besteht darin, die Übertragungsmatrix in eine minimale, d. h. steuerbare und beobachtbare, Zustandsraumdarstellung umzuformen: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)
Die zeitliche Änderung von x wird dabei über die Systemmatrix A und die Steuerbarkeitsmatrix B vom Vektor der Zustandsgrößen selbst und dem Eingangsvektor u bestimmt. Der Vektor der beobachtbaren Ausgangsgrößen wird über Beobachtbarkeitsmatrix und Durchgangsmatrix von denselben Größen beeinflusst. Diese Umformung wird mittels symbolischer Computeralgebra-Toolboxen durchgeführt.
Anschließend (Schritt P.4) werden Schaltungsmodelle berechnet. Diese Zeitbereichslösungen können zur beschleunigten Simulation verwendet werden und haben folgende Form:
A ~ ist eine Diagonalmatrix, deren Komponenten zur Berechnung der Umschaltzeitpunkte verwendet werden.
Der folgende Schritt (P.5) behandelt die Berechnung von Startbedingungen. Da im Verlauf der Simulation zwischen verschiedenen Schaltungsmodellen umgeschaltet wird, muss eine Abbildung der Zustandsgrößen eines Modells in die Anfangszustandsgrößen eines anderen Modells bestimmt werden. Durch die Linearisierung nichtlinearer Bauelemente kann es beim Wechsel zwischen verschiedenen linearen Teilnetzwerken zum Wegfallen bzw. Hinzufügen von Knoten kommen, weshalb die Zustandsgrößen dann unterschiedlich sein können. Außerdem ist die Bestimmung minimaler Zustandsraummodelle nicht eindeutig hinsichtlich ihrer internen Zustandsgrößen, so dass bei gleichem Eingangs- und Ausgangsverhalten die internen Zustandsgrößen zweier Modelle voneinander abweichen können. Diese Abweichungen können auch dann auftreten, wenn jeweils ein Zustandsraummodell für zwei einander ähnliche Schaltungen bestimmt wird. Dieser Sachverhalt wird anhand von 2 bis 4 detaillierter beschrieben; mit Hilfe von 5 wird ein Transformationsalgorithmus zur Lösung des Problems erläutert.
Die bisher beschriebenen Schritte werden einmal vor Ablauf der eigentlichen Simulation durchgeführt. Nur die folgenden Schritte werden in einer Schleife mehrfach wiederholt und sind daher besonders zeitkritisch.
Im ersten Simulationsschritt (S.1) wird überprüft, ob die gewünschte Zeitspanne bereits simuliert wurde. Ist dies nicht der Fall, so erfolgt eine Berechnung der Ausgangsgrößen anhand des für den momentanen Schaltzustand geeigneten Schaltungsmodells. Die Eingangsgrößen werden dabei als stückweise konstant angenommen.
Danach (Schritt S.2) wird das Vorliegen einer Umschaltbedingung überprüft. Hierzu wird die erste Nullstelle einer zeitlichen Potentialdifferenzfunktion der linearisierten Bauelemente gesucht. Der verwendete Algorithmus zur Nullstellensuche wird anhand von 7 detaillierter beschrieben. Wird eine Nullstelle gefunden, ist also ein Umschalten zwischen Schaltungsmodellen erforderlich, so werden die Zustandsgrößen der verschiedenen Modelle anhand der vorher bestimmten Transformationen umgerechnet. Anschließend wird zum ersten Simulationsschritt gesprungen.
In der 2 ist eine beispielhafte Schaltung mit einem nichtlinearen Bauelement, beispielsweise einer Diode, gezeigt. Je nach anliegender Spannung kann die Diode als nichtlineares Bauelement durch verschiedene lineare Netzwerke ersetzt werden.
Die Kennlinie der Diode ist in 3 gemeinsam mit einer stückweise linearen Ersatzfunktion gezeigt. Wenn an der Diode eine Spannung anliegt, die kleiner als eine Schwellwertspannung V_T von typischerweise 0.7 V ist, so sperrt die Diode, d. h. die in 4a) gezeigte Ersatzschaltung ist gültig. Anhand eines Schaltungsmodells, d. h. einer zeitabhängigen Lösungsfunktion für dieses Netzwerk können die gesuchten Größen – wie z. B. der Strom durch die Diode – berechnet werden. Bei anliegenden Spannungen oberhalb von V_T leitet die Diode, die Schaltung kann durch das in 4b) angegebene Netzwerk beschrieben werden.
Beim Umschalten zwischen den Schaltungsmodellen für verschiedene Ersatzschaltungen können sich die Zustandsgrößen ändern. Betrachtet man in 4 Spannungsquelle und Widerstand, also den beiden die Diode aus 3 ersetzenden linearen Bauteilen, so fließt durch diese kein Strom, wenn die Ersatzschaltung durch 4a) gegeben ist. Falls 4b) die gültige Ersatzschaltung darstellt, fließt ein endlicher Strom durch die beiden Bauteile. Wenn die in 4a) gezeigte Schaltung gültig ist, liegt der Punkt zwischen Spannungsquelle auf einem hohen Potential, bei Gültigkeit der in 4b) gezeigten Schaltung auf Masse. Wechselt man zwischen verschiedenen Schaltzuständen eines durch stückweise lineare Kennlinien beschriebenen Bauelements, erfolgt ein Wechsel in ein anderes Zustandsraummodell, d. h. die den internen Zustand der Schaltung beschreibenden Größen können sich ändern. Diese Zustandsgrößen korrespondieren mit Spannungen an Kapazitäten und Strömen durch Induktivitäten.
Grundlage der Transformation von Zustandsgrößen zwischen verschiedenen Schaltungsmodellen ist die Gültigkeit des Energieerhaltungssatzes. Kapazitäten speichern Energie in Form des elektrischen Feldes zwischen ihren Elektroden, Induktivitäten speichern Energie in Form eines magnetischen Feldes. Daher dürfen sich die entsprechenden Zustandsgrößen auch beim Umschalten zwischen verschiedenen Schaltungsmodellen nicht ändern, d. h. die Spannung an Kapazitäten und der Strom durch Induktivitäten müssen stetig sein.
5 zeigt das Flussdiagramm eines Algorithmus zur Transformation zwischen den Schaltungsmodellen zweier Teilnetzwerke, welches auf diesem Zusammenhang basiert. Diese Schaltungsmodelle wurden in einer Vorberechnung bereits ermittelt, weshalb die später verwendeten Komponenten von Systemmatrix, Steuerbarkeitsmatrix, Beobachtbarkeitsmatrix und Durchgangsmatrix ebenfalls bereits vorliegen. Zustandsgrößen und Ausgangsgrößen sind aus einer Vorberechnung oder einem vorhergehenden Simulationsschritt entnehmbar.
Da sich je nach Schaltzustand die Zustandsgrößen im jeweiligen Zustandsraummodell ändern können, kann beim Umschalten der Vektor der Zustandsgrößen des einen Modells M1 nicht einfach als anfänglicher Zustandsvektor des anderen Modells M2 verwendet werden. Folglich muss in einem ersten Schritt zum Zeitpunkt des Umschaltens aus dem Vektor der Ausgangsgrößen y des bisherigen Schaltungsmodells der Vektor y _KS bestimmt werden, welcher nur Kapazitätsspannungen und Induktivitätsströme enthält. Kapazitätsspannungen erhält man aus der Differenz zwischen den Potentialen der mit der Kapazität verbundenen Knoten. Induktivitätsströme gehören zu den Ausgangsgrößen und können daher direkt aus y entnommen werden. Wegen der Energieerhaltung muss die Stetigkeit von Kapazitätsspannungen und Induktivitätsströmen gegeben sein: y _KS,M1(t_u) = y _KS,M2(t_u)
Da die Form der Zeitbereichslösungen gleich bleibt, erhält man aus y _KS(t) = C ~_KS x(t) + D_KS u _KS(t) die Matrizen C ~_KS, D_KS sowie u _KS.
Im Moment der Umschaltung, also zum Zeitpunkt t_u = 0 gilt:
Die direkt vor dem Umschalten gültigen Kapazitätsspannungen und Spulenströme im Vektor
ändern sich wegen der Energieerhaltung beim Wechsel der Schaltungsmodelle nicht. Durch Einsetzen und Umformen erhält man:
Mit der Substitution
ergibt sich das lineare Gleichungssystem
mit dessen Lösung der Startzustand bestimmt werden kann:
Für ein Schaltungsmodell kann sich während der Simulation nur z _KS ändern, weshalb es sich anbietet, durch eine vorberechnete Zerlegung von C ~_KS in eine linke untere und eine rechte obere Dreiecksmatrix die Berechnungen während des Ablaufs der Simulation zu verkürzen.
Zunächst wird geprüft, ob C ~_KS quadratisch ist, d. h. die Zustandsraumdarstellung ist minimal, jede Zustandsgröße wirkt sich auf die Ausgangsgrößen aus und wird von den Eingangsgrößen beeinflusst.
Wenn dies nicht gegeben ist, C ~_KS also eine n×m Matrix mit n < m darstellt, gibt es mehr Spaltenvektoren a _i als Zeilenvektoren b _i:
Das Gleichungssystem zur Bestimmung des Startzustands wäre unterbestimmt. Daher werden dann aus den m Spaltenvektoren die n linear unabhängigen bestimmt, was bevorzugt mit einem an sich bekannten QR-Zerlegungsverfahren geschieht, welches eine Matrix in eine unitäre Matrix und eine obere Dreiecksmatrix zerlegt. Aus den n linear unabhängigen Spaltenvektoren wird die Matrix
gebildet, mit deren Hilfe der Startzustand aus
nun eindeutig bestimmt werden kann.
Die quadratische Matrix C ~_KS bzw.
wird mit einem Rechenverfahren in eine linke untere Dreiecksmatrix L sowie eine rechte obere Dreiecksmatrix U zerlegt, wobei bevorzugt das an sich bekannte LU-Zerlegungsverfahren verwendet wird. Die erhaltenen Matrizen werden gespeichert. Sie ermöglichen die Berechnung des Startzustandsvektors durch eine einfache Vorwärts- und Rückwärtssubstitution. Da diese Berechnung während des Ablaufs der Simulation häufig durchgeführt wird, verringert diese Vorberechnung die Gesamtrechenzeit deutlich.
Während des Ablaufs der Simulation können sich die Spannungen an den Anschlüssen eines nichtlinearen Bauteils mit der Zeit ändern. Wenn an der Diode aus 2 eine mit der Zeit zunehmende Spannung anliegt, dann muss bei Erreichen der Schwellwertspannung von dem Schaltungsmodell, welches die Ersatzschaltung aus 4a) beschreibt, zu dem Schaltungsmodell, welches das Netzwerk aus 4b) beschreibt, umgeschaltet werden (bei fallender Spannung entsprechend umgekehrt). Man muss also prüfen, ob die Potentialdifferenzfunktion f(t) = y₁(t) – y₂(t) – V_T eine Nullstelle hat, wobei y₁(t) und y₂(t) zeitabhängige Funktionen sind, die das Potential am ersten und zweiten Anschluss der Diode beschreiben. Um die Umschaltzeitpunkte zu ermitteln, muss also die erste Nullstelle einer aus Differenzen von an den Anschlüssen eines nichtlinearen Bauelements anliegenden Potentialen bestehenden zeitabhängigen Funktion bestimmt werden. Da diese mit der anhand 1 beschriebenen Modellgenerierung gewonnen wurden, haben sie die Form einer Summe von Exponentialtermen, deren Exponenten komplexwertig sein können:
Da eine analytische Bestimmung der Nullstellen für diese Funktion nicht einfach durchgeführt werden kann, muss die Suche mit einem numerischen Verfahren erfolgen.
Diese Nullstellensuche soll einerseits möglichst schnell ablaufen, andererseits muss sichergestellt sein, dass immer die erste Nullstelle gefunden wird, also die Nullstelle mit dem kleinsten Wert auf der Zeitachse. Bekannte Verfahren zur Nullstellensuche, wie das Newton-Raphson-Verfahren, sind zur Bestimmung der Umschaltzeitpunkte nicht geeignet, da nicht sichergestellt ist, dass die erste Nullstelle in einem gegebenen Intervall gefunden wird. Das Newton-Raphson-Verfahren, welches lokale Tangenten bzw. die Ableitung einer Funktion zur Nullstellensuche nutzt, ist vergleichsweise schnell. Übliche Verfahren, die sicher die erste Nullstelle finden, erfordern eine wesentlich längere Rechenzeit; aufgrund der hier gestellten Anforderungen an die Simulationsgeschwindigkeit sind sie daher (für die vorliegende Erfindung) nicht geeignet.
Die Struktur einer Potentialdifferenzfunktion f(t) ermöglicht es, den Algorithmus zur Nullstellensuche gezielt auf diese zu optimieren. Da sie aus einer Summe von Exponentialtermen besteht, hat auch ihre Ableitung eine ähnliche Form, bei der sich nur die Koeffizienten a_k ändern sowie der konstante Term wegfällt:
Wegen der Beschränkung auf stabile Systeme gilt für die Realteile der Exponenten b_k < 0. Die einzelnen Terme g(t) der Summe, g(t) = a·e^(b+c·i)·t·e^d·i, stellen daher eine abklingende oszillierende Funktion dar, die in 6 dargestellt ist. Ihr maximaler bzw. minimaler reeller Wert kann durch g_reell(t) = a·e^b·t abgeschätzt werden. Wie ebenfalls in 6 gezeigt, gilt zu jeder Zeit (–1)·|g_reell(t)| ≤ g(t) ≤ |g_reell(t)| bzw. |g(t)| ≤ |g_reell(t)|.
Summiert man also die einzelnen Terme g_reell(t) auf, so erhält man eine obere Abschätzung des Betrags der Ableitung einer Potentialdifferenzfunktion,
Aufgrund des Verlaufs einer abklingenden Exponentialfunktion gilt außerdem, dass die Ableitung zu späteren Zeitpunkten immer kleiner wird, t₁ < t₂ ⇒ |f ' / reel(t₁)| > |f ' / reel(t₂)|.
Unter Berücksichtigung dieser Eigenschaften bietet sich zur Bestimmung der Umschaltzeitpunkte eine Nullstellensuche mit der Methode der maximalen Ableitung an. Hierbei werden iterativ Punkte t_k ermittelt, die immer näher an der gesuchten Nullstelle liegen. Dieses Vorgehen wird nun anhand des Flussdiagramms in 7 detaillierter beschrieben.
Um von einer Funktion f(t) die Nullstellen zu suchen, muss man neben der Funktion selbst noch ihre maximale Ableitung f ' / max(t) kennen. Der Wert dieser Funktion zum Zeitpunkt t_k ist vom Betrag her größer als der Betrag der Ableitung f'(t) zu jedem späteren Zeitpunkt, |f ' / max(t_k)| ≥ max{|f'(t)||t_k ≤ t}.
Eine Gerade der Steigung f ' / max(t) wird die Zeitachse also immer vor der betrachteten Funktion schneiden. Die Suche wird in einem angegebenen Intervall I = [t_min, t_max] durchgeführt, wobei die Abbruchbedingung auf der Angabe zweier gewünschter Genauigkeiten ε₁ und ε₂ basiert. Man startet im Punkt t₀ = t_min und wählt als nächsten Punkt zunächst t₁ = t_max.
In einem ersten Schritt wird überprüft, ob der Funktionswert am nächsten Punkt unter einer Schwelle, also nahe bei Null liegt: |f(t_k+1)| < ε₁
Ausserdem wird getestet, ob der Abstand zwischen beiden Punkten klein, also nahezu Null ist: |t_k – t_k+1| < ε₂
Treffen beide Bedingungen zu, so wurde die gesuchte erste Nullstelle im Intervall gefunden, und die Suche kann beendet werden.
Ist dies nicht der Fall, so wird im nächsten Schritt überprüft, ob der nächste Punkt außerhalb des betrachteten Intervalls liegt, d. h. t_k+1 > t_max gilt. Dann enthält das Intervall keine Nullstelle, die Suche wird abgebrochen.
Ausgehend vom aktuellen Punkt t_k wird nun ein neuer Punkt t_k+1 gesucht, der näher an der Nullstelle liegt. Man linearisiert die Funktion im Punkt t_k, nähert ihren Verlauf also durch eine Gerade der Steigung f ' / max(t_k) an. Die Nullstelle der Geraden wird als nächster Punkt t_k+1 gewählt:
Anschließend wird zum ersten Schritt des Verfahrens gesprungen, dem Prüfen auf das Vorliegen einer Nullstelle.
Da eine Potentialdifferenzfunktion f(t) immer die Form einer Summe von Exponentialfunktionen mit komplexen Exponenten hat, ist ihre maximale Ableitung durch |f ' / reell(t)| gegeben, d. h. |f ' / max(t)| = |f ' / reell(t)|.
Das Vorgehen zum Finden einer Nullstelle ist in 8 an einer Beispielfunktion illustriert. Im ersten Punkt t₀ = t_min betrachtet man wie in 8a) die Gerade mit der maximalen Steigung f ' / max(t₀). Diese schneidet die Zeitachse immer vor der betrachteteten Funktion, weshalb man also einen Punkt t₁ erhält, welcher näher an der Nullstelle liegt. Betrachtet man wie in 8b) dort wieder die Gerade mit der maximalen Steigung f ' / max(t₁), so erhält man als Schnittpunkt mit der Zeitachse einen weiteren Punkt t₂, der noch näher an der Nullstelle liegt. In 8c) ist zu sehen, dass der Schnittpunkt der Geraden maximaler Steigung in diesem Punkt f ' / max(t₂) mit der Zeitachse bereits ausreichend nahe an der gesuchten Nullstelle liegt, die Methode der maximalen Ableitung also bereits nach 3 Schritten das gewünschte Ergebnis geliefert hat.
ZITATE ENTHALTEN IN DER BESCHREIBUNG
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Zitierte Patentliteratur

DE 10106247 A1 [0004]
DE 102004002371 A1 [0006, 0008]

Zitierte Nicht-Patentliteratur

„Piecewise Linear Models for Switch-Level Simulation” von Rusell Kao ,Western Research Laboratory, 250 University Avenue, Palo Alto, California, 94301 USA, September 1992 [0003]
„The Modified Nodal Approach to Network Analysis”, Ho, Ruehli, und Brennan, Proc. 1974 Int. Symposium on Circuits and Systems, San Francisco, pp. 505–509 [0031]

Claims

Verfahren zur rechnergestützten Simulation einer mindestens ein nichtlineares und gegebenenfalls weitere lineare Bauelemente enthaltenden elektronischen Schaltung, insbesondere zur Simulation des Schaltungsnetzwerks einer analogen Leistungselektronik für ein Kraftfahrzeug, bei dem das oder die nichtlinearen Bauelemente durch mehrere Schaltungsmodelle, welche lineare Teilnetzwerke repräsentieren, beschrieben wird/werden, wobei ein Umschalten zwischen den Schaltungsmodellen zu geeigneten Zeitpunkten vorgenommen wird, dadurch gekennzeichnet, dass der oder die Zeitpunkte für das Umschalten zwischen den Schaltungsmodellen für die unterschiedlichen Teilnetzwerke anhand einer Nullstellensuche ermittelt werden.
Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass die Nullstellensuche die erste Nullstelle einer zeitlichen Potentialdifferenzfunktion des jeweils betrachteten nichtlinearen Bauteils sucht.
Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass die Nullstellensuche auf Basis der maximalen Ableitung der betrachteten Funktion erfolgt.
Verfahren nach mindestens einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass beim Umschalten zwischen den Schaltungsmodellen die Erhaltung der in der Schaltung gespeicherten Energie berücksichtigt wird.
Verfahren nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, dass die Erhaltung der in einzelnen Bauelementen gespeicherten Energie über eine Randbedingung von den Zustand des Bauelements beschreibenden Zustandsgrößen berücksichtigt wird.
Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, dass bei Induktivitäten eine Stetigkeit der Ströme und bei Kapazitäten eine Stetigkeit der Spannungen als Randbedingung berücksichtigt wird.
Verfahren nach einem der Ansprüche 4 bis 6, dadurch gekennzeichnet, dass mit Hilfe der Betrachtung der in einem oder mehreren Bauelement gespeicherten Energie bei einem Umschalten zwischen Schaltungsmodellen die Zustandsgrößen am Anfang des folgenden Simulationsschritts bestimmt werden.
Verfahren nach mindestens einem der Ansprüche 1 bis 7, dadurch gekennzeichnet, dass der Schaltung zugeführte Signale als stückweise konstant modelliert werden.
Verfahren nach mindestens einem der Ansprüche 1 bis 8, dadurch gekennzeichnet, dass für jede aus der Simulation zu extrahierende Größe mit Hilfe von Übertragungsfunktionen eine Ausgangsfunktion vorberechnet wird.
Computerprogrammprodukt zur Durchführung aller Schritte eines Verfahrens gemäß mindestens einem der Ansprüche 1 bis 9.