CN113742911B - 混沌时间序列的高精度自适应盲估计方法 - Google Patents

Abstract

混沌时间序列的高精度自适应盲估计方法，属于通信技术领域，本发明混在预处理基础上建立混沌时间序列自适应辨识模型，推导出线性估计方程，通过与最小二乘机制有机结合限制其复杂度，使得模型能够在改变序列种类与长度的条件下自适应改变其各项参数，进而构建混沌时间序列运动轨迹方程，解决混沌时间序列盲估计的问题。本发明能够以较低的计算复杂度实现混沌时间序列的高精度估计，其精度最高可达到10^‑16量级，高于其他估计方法1～13个量级。本发明适用于具有混沌特性的时间序列盲估计系统及装置。

Description

混沌时间序列的高精度自适应盲估计方法

技术领域

本发明涉及通信技术领域，尤其是混沌系统应用的时间序列盲估计领域。

背景技术

混沌时间序列具有高度复杂性、不确定性、随机性、非线性与不可预测性等特征，其表现类似随机信号特性，对初值十分敏感，但其内在的非线性动力学特性又是确定性的，使得混沌理论在物理学、气象学、经济学、生物学和工程学等各个领域具有广泛应用，因此混沌时间序列成为了近年来的热门研究领域。混沌时间序列的估计与预测也逐渐成为相关学科的重要子研究领域。而考虑到其可以作为信息加密的安全伪随机序列用于通信保密系统，具有广阔的应用前景，且在隐蔽通信中扮演着十分重要的角色，所以对混沌时间序列的估计与预测也逐渐成为相关学科的重要子研究领域。

发明内容

本发明的目的是提供混沌时间序列的高精度自适应盲估计方法。

混沌时间序列的高精度自适应盲估计方法以博克斯-詹金斯法理论框架为基础，在预处理基础上建立混沌时间序列自适应辨识模型，推导出线性估计方程，通过与最小二乘机制有机结合限制盲估计的复杂度，使得模型能够在改变序列种类与长度的条件下自适应改变各项参数，进而构建混沌时间序列运动轨迹方程，解决混沌时间序列盲估计的问题，达到高精度的盲估计目的。

采用的技术方案是：

首先利用ADF(Augmented Dickey-Fuller)单位根检验法对混沌时间序列进行平稳性检验，进而利用P值检验法补充检验来确保准确性。进而，为降低估计过程中的误差值，对混沌时间序列进行序列零均值优化处理。

然后，利用ARMA(Auto regressive moving average model，自回归滑动平均模型)模型对优化后的混沌时间序列进行估计，在对混沌时间序列进行估计前，需要确定模型阶数，进而代入ARMA模型。

进一步，采用线性情况的最小二乘法对ARMA模型方程中的参数进行估计，通过建立序列求解方程，进而通过移项及整理求解参数矩阵，即ARMA模型方程中的参数。

最后，将求解的参数带入ARMA模型，得到能够反映混沌时间序列变化规律的方程，进而恢复混沌时间序列运动轨迹，构造混沌时间序列运动轨迹方程，以实现对序列的估计。

其优点在于：

混沌时间序列的高精度自适应盲估计方法在预处理基础上建立混沌时间序列自适应辨识模型，推导出线性估计方程，通过与最小二乘机制有机结合限制盲估计的复杂度，使得模型能够在改变序列种类与长度的条件下自适应改变各项参数，进而构建混沌时间序列运动轨迹方程，解决混沌时间序列盲估计的问题。本发明能够以较低的计算复杂度实现混沌时间序列的高精度估计，其精度最高可达到10^-16量级，高于其他估计方法1～13个量级。本发明适用于具有混沌特性的时间序列盲估计系统及装置。

附图说明

图1是本发明混沌时间序列的高精度自适应盲估计方法原理图。

具体实施方式

步骤1：对待估计的混沌时间序列进行序列检验与优化处理。首先，采用如公式(1)所示的ADF单位根检验法对长度为N的混沌时间序列x(n)＝{x₁,x₂,...,x_N},n＝1,2,...,N进行平稳性检验，式中，δ为待检验项，a为常数项，β_n为趋势项，ω(n)＝{ω₁,ω₂,...,ω_N}为平稳白噪声序列。

判决平稳性的标准为：

进一步，为了避免因混沌时间序列长度过短造成δ取值不准确，需要对混沌时间序列x(n)进行进一步检验，采用如公式(3)所示的P值检验法补充检验来确保准确性：

式中，Z表示混沌时间序列检验的统计量值，Z_c表示抽样后混沌时间序列检验的统计量值，x_i为抽样混沌时间序列，

为混沌时间序列的平均值，/>

检验标准为当P_value的数值小于置信区间临界经验值0.01、0.05或0.1时，则混沌时间序列x(n)平稳。

进而，为降低估计过程中的误差值，需要对混沌时间序列x(n)进行序列零均值优化处理，即对混沌时间序列进行平移，建立的优化序列模型为如公式(4)所示，其中，y(n)为经规范标准优化后的混沌时间序列。

步骤2：进行最小化信息量准则计算模型阶数，其目的是为了利用ARMA模型对优化后的混沌时间序列y(n)进行估计。ARMA模型如公式(5)所示，其中，β_l，β₂，...，β_p；α₁,α₂,...,α_q为未知参数β(n)＝{β₁,β₂,...,β_p}及α(n)＝α₁,α₂,...,α_q，p值和q值为模型的两个未知阶数，ε(n)＝{ε₁,ε₂,...,ε_N}为残差序列。

在对混沌时间序列进行估计前，需要确定公式(5)中的模型阶数，即p值和q值。为了提高混沌时间序列拟合估计过程中的优良性，采用如公式(6)所示的最小化信息量准则(AIC准则)进行计算。

σ_p,q＝2k-2ln(L) (6)。

式中，k为未知参数数量，由于模型中未知参数p值和q值，因此k取值为2，L为模型的最大似然函数值，σ为AIC准则计算结果。从一组可供选择的模型中选择最佳模型时，通常选择使σ_p,q值最小的模型，即采用公式(6)对ARMA模型进行定阶的原则是在满足模型拟合度的同时又使模型p与q值最小，从而避免出现过拟合现象。

进一步，经统计分析p值与q值的取值范围一般为1～10，因此在定阶过程中可选择的模型为ARMA(m,s)(m＝1,2,...,10；s＝1,2,...,10)，分别计算这100组模型的σ_p,q值，通过统计比较，找到满足使σ_p,q取值最小条件下的m,s，即为p值与q值，如公式(7)所示，其中，s＝1,2,...,q,m＝1,2,...,p。

步骤3：采用线性情况的最小二乘法对ARMA模型方程中的参数α(n)和β(n)进行估计，由于当n<p或n<q时，在n-p或n-q之前的序列变化规律未知，即混沌初值前的各序列初值未知，直接求出参数α(n)和β(n)的估计值会影响估计的准确性。因此为了避免出现这一问题，忽略前N'个混沌时间序列y(n)(n＝1,2,...,N')，从第N'+1个序列开始建立求解方程，其中，N'取值如公式(8)所示。

N'＝max(p,q) (8)。此时用于参数估计的序列长度变为：

l＝n-N' (9)。

令Y(n)＝y(n)-ε(n)(n＝1,2,...,l)，使Y(n)作为求解过程的观测向量，则Y(n)为：

Y(n)＝{Y₁,Y₂,...,Y_l}＝{y₁-ε₁,y₂-ε₂,...y_l-ε_l} (10)。

将式(10)代入式(5)并对其进行移项，得到的求解方程为：

即线性方程组：

将式(12)中过去时刻的混沌时间序列与残差分别写成矩阵形式如公式(13)所示。

将未知参数向量分别记为

与/>

如公式(14)所示。

所以，式(11)可写为：

将式(14)中两未知参数向量

和/>

与H_y和H_ε分别写为复合矩阵的形式为：

其中，b为参数矩阵，A为数据矩阵，进一步，线性方程组又可表示为：

Ab＝Y_l (17)。

解得的参数矩阵b表达式如公式(18)所示，其包含的各个元素值即为ARMA模型方程中未知参数的估计值β₁,β₂,...,β_p及α₁,α₂,...,α_q。

b＝(A^TA)^-1A^TY_l (18)。

步骤4：将式(18)得到的估计值带入公式(11)，得到的能够反映混沌时间序列变化规律方程如公式(19)所示。

步骤5：恢复构造混沌时间序列运动轨迹方程，如公式(20)所示，进而输出混沌时间序列估计结果x′_l。

Claims (1)

1.混沌时间序列的高精度自适应盲估计方法，其特征在于包括下列步骤：

步骤1：对待估计的混沌时间序列进行序列检验与优化处理；首先，采用如公式(1)所示的ADF单位根检验法对长度为N的混沌时间序列x(n)＝{x₁,x₂,...,x_N},n＝1,2,...,N进行平稳性检验，式中，δ为待检验项，a为常数项，β_n为趋势项，ω(n)＝{ω₁,ω₂,...,ω_N}为平稳白噪声序列；

判决平稳性的标准为：

进一步，对混沌时间序列x(n)进行进一步检验，采用如公式[3]所示的P值检验法补充检验来确保准确性：

式中，Z表示混沌时间序列检验的统计量值，Z_c表示抽样后混沌时间序列检验的统计量值，x_i为抽样混沌时间序列，

为混沌时间序列的平均值，检验标准为当P_value的数值小于置信区间临界经验值0.01、0.05或0.1时，则混沌时间序列x(n)平稳；

进而，为降低估计过程中的误差值，需要对混沌时间序列x(n)进行序列零均值优化处理，即对混沌时间序列进行平移，建立的优化序列模型为如公式[4]所示，其中，y(n)为经规范标准优化后的混沌时间序列；

步骤2：进行最小化信息量准则计算模型阶数，目的是为了利用ARMA模型对优化后的混沌时间序列y(n)进行估计；ARMA模型如公式[5]所示，其中，β₁，β₂，...，β_p；α₁，α₂，...，α_q为未知参数β(n)＝{β₁,β₂,...,β_p}及α(n)＝α₁,α₂,...,α_q，p值和q值为模型的两个未知阶数，ε(n)＝{ε₁,ε₂,...,ε_N}为残差序列；

y_n＝β₁y_n-1+β₂y_n-2+…+β_py_n-p+ε_n+α₁ε_n-1+α₂ε_n-2+…+α_qε_n-q

[5]；

在对混沌时间序列进行估计前，需要确定公式[5]中的模型阶数，即p值和q值；为了提高混沌时间序列拟合估计过程中的优良性，采用如公式[6]所示的最小化信息量准则(AIC准则)进行计算；

σ_p,q＝2k-2ln(L) [6]；

式中，k为未知参数数量，由于模型中未知参数p值和q值，因此k取值为2，L为模型的最大似然函数值，σ为AIC准则计算结果；从一组可供选择的模型中选择最佳模型时，通常选择使σ_p,q值最小的模型，即采用公式[6]对ARMA模型进行定阶的原则是在满足模型拟合度的同时又使模型p与q值最小，从而避免出现过拟合现象；

进一步，经统计分析p值与q值的取值范围一般为1～10，因此在定阶过程中选择的模型为ARMA(m,s)(m＝1,2,...,10；s＝1,2,...,10)，分别计算这100组模型的σp,q值，通过统计比较，找到满足使σ_p,q取值最小条件下的m,s，即为p值与q值，如公式[7]所示，其中，s＝1,2,...,q,m＝1,2,...,p；

步骤3：采用线性情况的最小二乘法对ARMA模型方程中的参数α(n)和β(n)进行估计，由于当n<p或n<q时，在n-p或n-q之前的序列变化规律未知，即混沌初值前的各序列初值未知，直接求出参数α(n)和β(n)的估计值会影响估计的准确性；因此为了避免出现这一问题，忽略前N'个混沌时间序列y(n)(n＝1,2,...,N')，从第N'+1个序列开始建立求解方程，其中，N'取值如公式[8]所示；

N'＝max(p,q) [8]；

此时用于参数估计的序列长度变为：

l＝n-N′ [9]；

令Y(n)＝y(n)-ε(n)(n＝1，2，…，l)，使Y(n)作为求解过程的观测向量，则Y(n)为：

Y(n)＝{Y₁，Y₂，...，Y_l}＝{y₁-ε₁，y₂-ε₂，...y_l-ε_l} [10]；

将式[10]代入式[5]并对其进行移项，得到的求解方程为：

Y_l＝β₁y_l-1+β₂y_l-2+…+β_py_l-pα₁ε_l-1+α₂ε_l-2+…+α_qε_l-q [11]；

即线性方程组：

将式[12]中过去时刻的混沌时间序列与残差分别写成矩阵形式如公式[13]所示；

将未知参数向量分别记为

与/>

如公式[14]所示；

所以，式[11]可写为：

将式[14]中两未知参数向量

和/>

与H_y和H_ε分别写为复合矩阵的形式为：

其中，b为参数矩阵，A为数据矩阵，进一步，线性方程组又可表示为：

Ab＝Y_l [17]；

解得的参数矩阵b表达式如公式[18]所示，其包含的各个元素值即为ARMA模型方程中未知参数的估计值β₁,β₂,...,β_p及α₁,α₂,...,α_q；

b＝(A^TA)^-1A^TY_l [18]；

步骤4：将式[18]得到的估计值带入公式[11]，得到的能够反映混沌时间序列变化规律方程如公式[19]所示；

步骤5：恢复构造混沌时间序列运动轨迹方程，如公式(20)所示，进而输出混沌时间序列估计结果x′_l；

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