CN113434969B - 一种球面渐开线直齿锥齿轮齿廓齿向修形的计算方法 - Google Patents

Abstract

一种球面渐开线直齿锥齿轮齿廓齿向修形的计算方法，包括以下步骤：1)建立直齿锥齿轮齿向修形数学模型,求解直齿锥齿轮齿向修形方程；2)建立直齿锥齿轮齿形修形数学模型,求解直齿锥齿轮齿形修形方程；3)根据直齿锥齿轮的齿向修形量和齿形修形量，建立产形轮的动坐标三维坐标系；4)根据产形轮的动坐标方程，求解产形轮的静坐标系方程；5)根据直齿锥齿轮与产形轮啮合时的几何关系，得出产形轮与直齿锥齿轮的啮合方程；6)根据产形轮静坐标与直齿锥齿轮静坐标之间的运动关系，得出直齿锥齿轮的静坐标方程；7)由步骤6)的直齿锥齿轮静坐标方程，求解出直齿锥齿轮的动坐标方程。

Description

一种球面渐开线直齿锥齿轮齿廓齿向修形的计算方法

技术领域

本发明涉及齿轮加工技术领域，特别涉及一种球面渐开线直齿锥齿轮齿廓齿向修形的计算方法。

背景技术

直齿锥齿轮理论齿面是球面渐开线，当直齿锥齿轮作为行星齿轮或半轴齿轮时，由于啮合过程中存在错位，会导致锥齿轮在实际工作过程中存在局部齿面应力过大，从而最终导致齿面被压溃造成损坏，因此需要对锥齿轮齿面进行微观修形来解决问题。关于球面渐开线直齿锥齿轮的齿面修形已经有了一些研究，现有的齿面修形方法主要有两种，一种是在三维软件中划出理论球面渐开线，修形部分用直线抛物线等平面曲线代替，这种方法的优点是直观形象，缺点是修形量和修形方向不能准确反映变形方向和大小；另一种是通过理论球面渐开线方程加入一定的修形量来达到修形的目的，但修形量的描述和表达不够灵活。

发明内容

本发明的目的是针对现有技术的不足，提供一种球面渐开线直齿锥齿轮齿廓齿向修形的计算方法，其利用数学迭代求解，可以计算求得微观修形后的直齿锥齿轮齿面，解决直齿锥齿轮齿面压溃的问题。

本发明的技术方案是：一种球面渐开线直齿锥齿轮齿廓齿向修形的计算方法，步骤如下：

1)以直齿锥齿轮的节锥顶点为原点，建立直齿锥齿轮齿向修形的数学模型：

1-1)对整个齿宽进行二次抛物线鼓形，方程如下：

Δ_y2＝p₂·(R_y-R_m)² (R_i≤R_y≤R_m)

式中，Δ_y2为R_y位置处二次抛物修形量，R_y为直齿锥齿轮任一截面到节锥顶点的距离，R_i为齿向修形起始位置点，R_m为齿宽中心位置点，p₂为齿宽二次抛物鼓形方程的二次项系数，Δ₂为齿宽中点二次抛物修形量，b为齿向宽度；

1-2)对齿宽方向的小端进行四次抛物线修缘，方程如下：

式中，Δ_y41为R_y位置处小端四次抛物修形量，R₁为小端四次抛物修形位置点，R_a为齿向修形终止位置点，p₄₁为小端四次抛物修缘方程的四次项系数，Δ₄₁为小端四次抛物修形量；

1-3)对齿宽方向的大端分别进行四次抛物线修缘，方程如下：

式中，Δ_y42为R_y位置处大端四次抛物修形量，R₂为大端四次抛物修形位置点，p₄₂为大端四次抛物修缘方程的四次项系数，Δ₄₂为大端四次抛物修形量；

1-4)根据步骤1-1)、1-2)、1-3)，得到直齿锥齿轮齿向修形的表达方程：

式中，Δ_y为R_y位置处齿向方向的修形量；

2)以直齿锥齿轮节锥顶点为原点，任意截面上存在压力角修形，建立直齿锥齿轮齿形修形的数学模型：

2-1)对齿形方向进行二次抛物线鼓形，方程如下：

Δ_yv2＝p_v2·v² (-b_y≤v≤a_y)

式中，Δ_yv2为R_y截面上二次抛物修形量，Δ_v2为R_y截面上齿根处二次抛物修形量，Δ_v2i为小端齿形二次抛物修形量，Δ_v2a为大端齿形二次抛物修形量，v为产形轮齿形方向上的变量，p_v2为齿形方向二次抛物鼓形方程的二次项系数，a_y为R_y截面上齿顶高，a_a为大端齿顶高，b_y为R_y截面上的齿根高，b_a为大端齿根高；

2-2)对齿根进行四次抛物线修缘，方程如下：

Δ_yv4r＝p_v4r·(V+b_ry)⁴ (-b_y≤v≤-b_ry)

式中，Δ_yv4r为R_y截面上v位置处齿根四次抛物修形量，Δ_v4r为R_y截面上齿根四次抛物修形量，Δ_v4ri为小端齿根齿顶四次抛物修形，Δ_v4ra为大端齿根四次抛物修形量，p_v4r为齿根四次抛物修形方程的四次项系数，a_ty为R_y截面上齿顶四次抛物修形位置点，a_ta为R_y截面上大端齿顶四次抛物修形位置点，b_ry为R_y截面上齿根四次抛物修形位置点；

2-3)对齿顶进行四次抛物修缘，方程如下：

Δ_yv4t＝p_v4t·(v-a_ty)⁴ (a_ty≤v≤a_y)

式中，Δ_yv4t为R_y截面上v位置处齿顶四次抛物修形量，Δ_v4t为R_y截面上齿顶四次抛物修形量，Δ_v4ti为小端齿顶四次抛物修形量，Δ_v4ta为大端齿顶四次抛物修形量，p_v4t为齿顶四次抛物修缘方程的四次项系数，a_ty为R_y截面上齿顶四次抛物修形位置点，b_ra为大端齿根四次抛物修形位置点；

2-4)根据步骤2-1)、2-2)、2-3)，得出齿形修形的表达方程：

式中，Δ_yv为R_y截面上齿形方向的修形量；

3)以节锥顶点为坐标系原点，将直齿锥齿轮的齿向修形量和齿形修形量表达在该直齿锥齿轮的产形轮动坐标方程中，建立产形轮的三维坐标系，方程如下：

式中，x_c为产形轮动坐标系下的径向坐标，y_c为产形轮动坐标系下的齿厚方向坐标，z_c为产形轮动坐标系下的旋转轴向坐标，α为直齿锥齿轮压力角，Δα为压力角修形倾斜量；

4)根据产形轮的动坐标方程，求解出产形轮的静坐标系方程：

式中，x_cs为产形轮静坐标系下的径向坐标，y_cs为产形轮静坐标系下的齿厚方向坐标，z_cs为产形轮静坐标系下的旋转轴向坐标，

为产形轮的转动角度；

5)根据直齿锥齿轮与产形轮啮合时的几何关系，得出产形轮与直齿锥齿轮的啮合方程：

产形轮任意一点的法线方程为：

当n_zc＝0时，该点即为产形轮与直齿锥齿轮的啮合点，则产形轮与直齿锥齿轮的啮合方程为：

式中，

为法线方程，

为产形轮任意一点向量，

为产形轮任意一点的法向量，l为法线方程的系数，n_xc为法线方程x方向的法矢分量，n_yc为法线方程y方向的法矢分量，n_zc为法线方程z方向的法矢分量；

6)根据产形轮静坐标与直齿锥齿轮静坐标之间的运动关系，得出直齿锥齿轮的静坐标，方程如下：

式中，x_s为直齿锥齿轮静坐标系下的旋转轴向坐标，y_s为直齿锥齿轮静坐标系下的齿厚方向坐标，z_s为直齿锥齿轮静坐标系下的径向坐标，δ为直齿锥齿轮的节锥角；

7)根据产形轮转动角度

直齿锥齿轮随之转动的角度为

则由步骤6)的直齿锥齿轮静坐标方程，即可得出直齿锥齿轮的动坐标方程为：

式中，x为直齿锥齿轮动坐标系下的旋转轴向坐标，y为直齿锥齿轮动坐标系下的齿厚方向坐标，z为直齿锥齿轮动坐标系下的径向坐标。

进一步的，步骤5)中产形轮任意一点的向量

可根据以下方程计算：

进一步的，步骤5)中产形轮任意一点的法向量

可根据以下方程计算：

其中，

式中，

为

对v求偏导的向量，

为

对R_y求偏导的向量。

进一步的，步骤7)产形轮转动角度

与直齿锥齿轮随之转动的角度

之间的关系为：

采用上述技术方案的有益效果：

1.该计算方法从直齿锥齿轮的产形轮出发，通过产形轮与直齿锥齿轮之间啮合关系，利用数学迭代求解，计算求得微观修形后的直齿锥齿轮齿面，为解决直齿锥齿轮齿面压溃提供方法，能适用各种不同齿面的直齿锥齿轮产品。

2.该计算方法的修形表达较为全面，应用灵活。

3.本发明可直接将计算结果进行数据处理，导入计量设备进行直齿锥齿轮测量，可验证精锻出来的直齿锥齿轮是否满足齿面修形的设计要求。

下面结合说明书附图和具体实施例对本发明作进一步说明。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2为本发明齿向修形的示意图；

图3为本发明任意截面齿形修形的示意图；

图4为产形轮静坐标与直齿锥齿轮静坐标之间的旋转关系示意图。

具体实施方式

参见图1至图4，一种球面渐开线直齿锥齿轮齿廓齿向修形的计算方法，包括以下步骤：

1)以直齿锥齿轮的节锥顶点为原点，建立直齿锥齿轮齿向修形的数学模型：

1-1)对整个齿宽进行二次抛物线鼓形，方程如下：

Δ_y2＝p₂·(R_y-R_m)² (R_i≤R_y≤R_m)

式中，Δ_y2为R_y位置处二次抛物修形量，R_y为直齿锥齿轮任一截面到节锥顶点的距离，R_i为齿向修形起始位置点，R_m为齿宽中心位置点，p₂为齿宽二次抛物鼓形方程的二次项系数，Δ₂为齿宽中点二次抛物修形量，b为齿向宽度；

1-2)对齿宽方向的小端进行四次抛物线修缘，方程如下：

式中，Δ_y41为R_y位置处小端四次抛物修形量，R₁为小端四次抛物修形位置点，R_a为齿向修形终止位置点，p₄₁为小端四次抛物修缘方程的四次项系数，Δ₄₁为小端四次抛物修形量；

1-3)对齿宽方向的大端分别进行四次抛物线修缘，方程如下：

式中，Δ_y42为R_y位置处大端四次抛物修形量，R₂为大端四次抛物修形位置点，p₄₂为大端四次抛物修缘方程的四次项系数，Δ₄₂为大端四次抛物修形量；

1-4)根据步骤1-1)、1-2)、1-3)，得到直齿锥齿轮齿向修形的表达方程：

式中，Δ_y为R_y位置处齿向方向的修形量。

2)以直齿锥齿轮节锥顶点为原点，任意截面上存在压力角修形，建立直齿锥齿轮齿形修形的数学模型：

2-1)对齿形方向进行二次抛物线鼓形，方程如下：

Δ_yv2＝p_v2·v² (-b_y≤v≤a_y)

式中，Δ_yv2为R_y截面上二次抛物修形量，Δ_v2为R_y截面上齿根处二次抛物修形量，Δ_v2i为小端齿形二次抛物修形量，Δ_v2a为大端齿形二次抛物修形量，v为产形轮齿形方向上的变量，p_v2为齿形方向二次抛物鼓形方程的二次项系数，a_y为R_y截面上齿顶高，a_a为大端齿顶高，b_y为R_y截面上的齿根高，b_a为大端齿根高；

2-2)对齿根进行四次抛物线修缘，方程如下：

Δ_yv4r＝p_v4r·(V+b_ry)⁴ (-b_y≤v≤-b_ry)

式中，Δ_yv4r为R_y截面上v位置处齿根四次抛物修形量，Δ_v4r为R_y截面上齿根四次抛物修形量，Δ_v4ri为小端齿根齿顶四次抛物修形，Δ_v4ra为大端齿根四次抛物修形量，p_v4r为齿根四次抛物修形方程的四次项系数，a_ty为R_y截面上齿顶四次抛物修形位置点，a_ta为R_y截面上大端齿顶四次抛物修形位置点，b_ry为R_y截面上齿根四次抛物修形位置点；

2-3)对齿顶进行四次抛物修缘，方程如下：

Δ_yv4t＝p_v4t·(v-a_ty)⁴ (a_ty≤v≤a_y)

式中，Δ_yv4t为R_y截面上v位置处齿顶四次抛物修形量，Δ_v4t为R_y截面上齿顶四次抛物修形量，Δ_v4ti为小端齿顶四次抛物修形量，Δ_v4ta为大端齿顶四次抛物修形量，p_v4t为齿顶四次抛物修缘方程的四次项系数，a_ty为R_y截面上齿顶四次抛物修形位置点，b_ra为大端齿根四次抛物修形位置点；

2-4)根据步骤2-1)、2-2)、2-3)，得出齿形修形的表达方程：

式中，Δ_yv为R_y截面上齿形方向的修形量。

3)以节锥顶点为坐标系原点，将直齿锥齿轮的齿向修形量和齿形修形量表达在该直齿锥齿轮的产形轮动坐标方程中，建立产形轮的三维坐标系，方程如下：

式中，x_c为产形轮动坐标系下的径向坐标，y_c为产形轮动坐标系下的齿厚方向坐标，z_c为产形轮动坐标系下的旋转轴向坐标，α为直齿锥齿轮压力角，Δα为压力角修形倾斜量。

4)根据产形轮的动坐标方程，求解出产形轮的静坐标系方程：

式中，x_cs为产形轮静坐标系下的径向坐标，y_cs为产形轮静坐标系下的齿厚方向坐标，z_cs为产形轮静坐标系下的旋转轴向坐标，

为产形轮的转动角度。

5)根据直齿锥齿轮与产形轮啮合时的几何关系，得出产形轮与直齿锥齿轮的啮合方程：

5-1)产形轮任意一点的向量

可根据以下方程计算：

5-2)产形轮任意一点的法向量

可根据以下方程计算：

其中，

式中，

为

对v求偏导的向量，

为

对R_y求偏导的向量。

5-3)产形轮任意一点的法线方程为：

当n_zc＝0时，该点即为产形轮与直齿锥齿轮的啮合点，则产形轮与直齿锥齿轮的啮合方程为：

式中，

为法线方程，

为产形轮任意一点向量，

为产形轮任意一点的法向量，l为法线方程的系数，n_xc为法线方程x方向的法矢分量，n_yc为法线方程y方向的法矢分量，n_zc为法线方程z方向的法矢分量。

6)根据产形轮静坐标与直齿锥齿轮静坐标之间的运动关系，即产形轮静坐标与直齿锥齿轮静坐标之间呈90°旋转关系，如图4所示，得出直齿锥齿轮的静坐标，方程如下：

式中，x_s为直齿锥齿轮静坐标系下的旋转轴向坐标，y_s为直齿锥齿轮静坐标系下的齿厚方向坐标，z_s为直齿锥齿轮静坐标系下的径向坐标，δ为直齿锥齿轮的节锥角；

7)由于产形轮转动角度

直齿锥齿轮随之转动的角度为

则根据步骤6)的直齿锥齿轮静坐标方程，可求解直齿锥齿轮的动坐标方程；

由于直齿锥齿轮与产形轮做纯滚动运动时，线速度相等，则产形轮转动角度

与直齿锥齿轮随之转动的角度

之间的关系为：

直齿锥齿轮的动坐标方程，即直齿锥齿轮修形齿面的方程为：

式中，x为直齿锥齿轮动坐标系下的旋转轴向坐标，y为直齿锥齿轮动坐标系下的齿厚方向坐标，z为直齿锥齿轮动坐标系下的径向坐标。

实施例1，以汽车差速器的半轴锥齿轮为例，输入直齿锥齿轮的宏观参数及设计边界，其半轴锥齿轮的宏观参数及设计边界，如表1所示：

表1

齿数	13
		模数	5.464
压力角	25°
		轴交角	90°
节锥角	55.3047°
		顶锥角	61.51°
根锥角	46.7°
		全齿高	10.76(mm)
齿顶高	3.88(mm)
		小端半径	28.2
大端半径	39.2
		配对齿轮齿数	9

根据本发明的直齿锥齿轮齿廓齿向修形计算方法，求解得到半轴锥齿轮齿廓齿向的各修形量，如表2所示：

表2

根据表2所示的半轴锥齿轮齿廓齿向的各个修形量，求解得到半轴锥齿轮齿面的5×9数据点阵，如表3所示，其中包括每个点所在的列数、行数、X坐标值、Y坐标值、Z坐标值，由这些点阵数据可以描述出半轴锥齿轮的齿面，以及可以将这些点阵数据直接导入计量设备进行直齿锥齿轮测量，从而验证精锻出来的半轴锥齿轮是否满足直齿锥齿轮齿面修形的设计要求。

表3

本发明的计算方法从直齿锥齿轮的产形轮出发，通过产形轮与直齿锥齿轮之间啮合关系，利用数学迭代求解，计算求得微观修形后的直齿锥齿轮齿面，为解决直齿锥齿轮齿面压溃提供一种可行有效的方法，能适用于各种不同的直齿锥齿轮齿面的产品。而且，本发明是一种直齿锥齿轮齿面微观修形的计算方法，这种方法包括齿向二次抛物线鼓形，齿向小端四次抛物线修形，齿向大端四次抛物线修形，齿形压力角修形，齿形二次抛物线鼓形，齿形齿根四次抛物线修形，齿形齿顶四次抛物线修形，修形表达全面，应用起来十分灵活。此外，本发明可直接将计算结果进行数据处理，导入计量设备进行直齿锥齿轮测量，可验证精锻出来的直齿锥齿轮是否满足直齿锥齿轮齿面修形的设计要求，且已在Gleason测量设备上成功验证，应用非常方便快捷。

Claims (4)

1.一种球面渐开线直齿锥齿轮齿廓齿向修形的计算方法，其特征在于步骤如下：

1)以直齿锥齿轮的节锥顶点为原点，建立直齿锥齿轮齿向修形的数学模型：

1-1)对整个齿宽进行二次抛物线鼓形，方程如下：

Δ_y2＝p₂·(R_y-R_m)²(R_i≤R_y≤R_m)

式中，Δ_y2为R_y位置处二次抛物修形量，R_y为直齿锥齿轮任一截面到节锥顶点的距离，R_i为齿向修形起始位置点，R_m为齿宽中心位置点，p₂为齿宽二次抛物鼓形方程的二次项系数，Δ₂为齿宽中点二次抛物修形量，b为齿向宽度；

1-2)对齿宽方向的小端进行四次抛物线修缘，方程如下：

式中，Δ_y41为R_y位置处小端四次抛物修形量，R₁为小端四次抛物修形位置点，R_a为齿向修形终止位置点，p₄₁为小端四次抛物修缘方程的四次项系数，Δ₄₁为小端四次抛物修形量；

1-3)对齿宽方向的大端分别进行四次抛物线修缘，方程如下：

式中，Δ_y42为R_y位置处大端四次抛物修形量，R₂为大端四次抛物修形位置点，p₄₂为大端四次抛物修缘方程的四次项系数，Δ₄₂为大端四次抛物修形量；

1-4)根据步骤1-1)、1-2)、1-3)，得到直齿锥齿轮齿向修形的表达方程：

式中，Δ_y为R_y位置处齿向方向的修形量；

2)以直齿锥齿轮节锥顶点为原点，任意截面上存在压力角修形，建立直齿锥齿轮齿形修形的数学模型：

2-1)对齿形方向进行二次抛物线鼓形，方程如下：

Δ_yv2＝p_v2·v²(-b_y≤v≤a_y)

式中，Δ_yv2为R_y截面上二次抛物修形量，Δ_v2为R_y截面上齿根处二次抛物修形量，Δ_v2i为小端齿形二次抛物修形量，Δ_v2a为大端齿形二次抛物修形量，v为产形轮齿形方向上的变量，p_v2为齿形方向二次抛物鼓形方程的二次项系数，a_y为R_y截面上齿顶高，a_a为大端齿顶高，b_y为R_y截面上的齿根高，b_a为大端齿根高；

2-2)对齿根进行四次抛物线修缘，方程如下：

Δ_yv4r＝p_v4r·(v+b_ry)⁴(-b_y≤v≤-b_ry)

式中，Δ_yv4r为R_y截面上v位置处齿根四次抛物修形量，Δ_v4r为R_y截面上齿根四次抛物修形量，Δ_v4ri为小端齿根齿顶四次抛物修形，Δ_v4ra为大端齿根四次抛物修形量，p_v4r为齿根四次抛物修形方程的四次项系数，a_ty为R_y截面上齿顶四次抛物修形位置点，a_ta为R_y截面上大端齿顶四次抛物修形位置点，b_ry为R_y截面上齿根四次抛物修形位置点；

2-3)对齿顶进行四次抛物修缘，方程如下：

Δ_yv4t＝p_v4t·(v-a_ty)⁴(a_ty≤v≤a_y)

式中，Δ_yv4t为R_y截面上v位置处齿顶四次抛物修形量，Δ_v4t为R_y截面上齿顶四次抛物修形量，Δ_v4ti为小端齿顶四次抛物修形量，Δ_v4ta为大端齿顶四次抛物修形量，p_v4t为齿顶四次抛物修缘方程的四次项系数，a_ty为R_y截面上齿顶四次抛物修形位置点，b_ra为大端齿根四次抛物修形位置点；

2-4)根据步骤2-1)、2-2)、2-3)，得出齿形修形的表达方程：

式中，Δ_yv为R_y截面上齿形方向的修形量；

3)以节锥顶点为坐标系原点，将直齿锥齿轮的齿向修形量和齿形修形量表达在该直齿锥齿轮的产形轮动坐标方程中，建立产形轮的动坐标三维坐标系，方程如下：

式中，x_c为产形轮动坐标系下的径向坐标，y_c为产形轮动坐标系下的齿厚方向坐标，z_c为产形轮动坐标系下的旋转轴向坐标，α为直齿锥齿轮压力角，Δα为压力角修形倾斜量；

4)根据产形轮的动坐标方程，求解出产形轮的静坐标系方程：

式中，x_cs为产形轮静坐标系下的径向坐标，y_cs为产形轮静坐标系下的齿厚方向坐标，z_cs为产形轮静坐标系下的旋转轴向坐标，

为产形轮的转动角度；

5)根据直齿锥齿轮与产形轮啮合时的几何关系，得出产形轮与直齿锥齿轮的啮合方程：

产形轮任意一点的法线方程为：

当n_zc＝0时，该点即为产形轮与直齿锥齿轮的啮合点，则产形轮与直齿锥齿轮的啮合方程为：

式中，

为法线方程，

为产形轮任意一点向量，

为产形轮任意一点的法向量，l为法线方程的系数，n_xc为法线方程x方向的法矢分量，n_yc为法线方程y方向的法矢分量，n_zc为法线方程z方向的法矢分量；

6)根据产形轮静坐标与直齿锥齿轮静坐标之间的运动关系，得出直齿锥齿轮的静坐标，方程如下：

式中，x_s为直齿锥齿轮静坐标系下的旋转轴向坐标，y_s为直齿锥齿轮静坐标系下的齿厚方向坐标，z_s为直齿锥齿轮静坐标系下的径向坐标，δ为直齿锥齿轮的节锥角；

7)根据产形轮转动角度

直齿锥齿轮随之转动的角度为

则由步骤6)的直齿锥齿轮静坐标方程，即可得出直齿锥齿轮的动坐标方程为：

式中，x为直齿锥齿轮动坐标系下的旋转轴向坐标，y为直齿锥齿轮动坐标系下的齿厚方向坐标，z为直齿锥齿轮动坐标系下的径向坐标。

2.根据权利要求1所述的球面渐开线直齿锥齿轮齿廓齿向修形的计算方法，其特征在于：步骤5)中产形轮任意一点的向量

可根据以下方程计算：

3.根据权利要求1所述的球面渐开线直齿锥齿轮齿廓齿向修形的计算方法，其特征在于：步骤5)中产形轮任意一点的法向量

可根据以下方程计算：

其中，

式中，

为

对v求偏导的向量，

为

对R_y求偏导的向量。

4.根据权利要求1所述的球面渐开线直齿锥齿轮齿廓齿向修形的计算方法，其特征在于：步骤7)产形轮转动角度

与直齿锥齿轮随之转动的角度

之间的关系为：

式中，δ为直齿锥齿轮的节锥角。

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