CN113296409B - 用于直线电机平台轮廓跟踪的离散分数阶滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

用于直线电机平台轮廓跟踪的离散分数阶滑模控制方法，它属于直线电机平台轮廓跟踪控制技术领域。本发明解决了传统连续时间控制方法与数字处理器不适配，且控制过程不稳定以及控制精度低的问题。本发明考虑到直线电机平台运动时所产生的库伦摩擦和粘性摩擦，设计了离散的分数阶滑模轮廓跟踪控制方法，得益于分数阶微积分的历史记忆效应，所设计控制方法的输出响应快速且平滑，能够获得更好的轮廓跟踪控制效果和更高的控制精度。且本发明方法适合直接应用于数字处理器，能够避免抖振对轮廓跟踪的影响，获得更稳定的控制效果。本发明可以应用于对直线电机平台的轮廓跟踪。

Description

用于直线电机平台轮廓跟踪的离散分数阶滑模控制方法

技术领域

本发明涉及现代化工业控制与高精密加工的直线电机平台轮廓跟踪控制技术领域，具体涉及一种用于直线电机平台轮廓跟踪的离散分数阶滑模控制方法。

背景技术

在现代化工业控制和高精密加工领域，直线电机以其高速、高精度和大推力等优点在近年来获得了广泛的关注。直线电机没有如永磁伺服电机的内部磁场间隙，不依靠皮带、丝杠及传动轴齿轮等机械传动机构，所以其运行过程更加平稳且可靠性高、寿命长。直线电机采用了直驱的方式，显著地减少了死区、摩擦等非线性因素影响。因此直线电机平台系统具有结构简单、定位精度高、响应速度快、安全可靠、推力稳定等特点，目前已广泛应用于列车推进、飞机发射系统、工业龙门架等领域。

传统直线电机平台系统大多采用连续时间的控制方法实现轮廓跟踪控制，但在工程实际中，直线电机平台系统属于数字控制系统，因此存在连续时间控制方法与数字处理器不适配的问题，就需要进一步离散化的操作，这将可能导致实际系统中抖振、周期震荡甚至控制失败等现象。此外，在平台进行高速轮廓跟踪时，传统控制方法的控制过程不够稳定、控制精度低，且控制过程的超调和振荡会增加额外的控制成本。当考虑到工程实际中的干扰和不确定性等因素时，这一问题将会更加突出。

发明内容

本发明的目的是为解决传统连续时间控制方法与数字处理器不适配，且控制过程不稳定以及控制精度低的问题，而提出一种用于直线电机平台轮廓跟踪的离散分数阶滑模控制方法。

本发明为解决上述技术问题所采取的技术方案是：

一种用于直线电机平台轮廓跟踪的离散分数阶滑模控制方法，所述方法具体包括以下步骤：

步骤一、针对直线电机平台系统建立离散化的直线电机平台系统模型；

设置离散分数阶滑模控制方法的采样间隔为h，获取采样时间为t＝kh，k为采样时刻；并初始化直线电机平台系统在k时刻的参考轮廓位置P_r(k)＝[p_r1(k),p_r2(k),...,p_rn(k)]^T，其中p_ri(k)代表直线电机平台系统第i个运动轴在k时刻的参考位置，i＝1,...,n，n为运动轴的个数，初始化直线电机平台系统的总控制周期T，k＝1,2,...,T；

步骤二、通过采样获取直线电机平台系统在k时刻的实际轮廓位置P(k)＝[p₁(k),p₂(k),...,p_n(k)]^T与实际轮廓速度V(k)＝[v₁(k),v₂(k),...,v_n(k)]^T，其中p_i(k)和v_i(k)分别代表直线电机平台系统第i个运动轴在k时刻的实际位置和实际速度；

步骤三、根据直线电机平台系统在k时刻的实际轮廓位置、参考轮廓位置以及实际轮廓速度，计算直线电机平台系统在k时刻的轮廓位置误差和轮廓速度误差；

步骤四、根据步骤三计算出的轮廓位置误差和轮廓速度误差，设计离散分数阶滑模面；

步骤五、根据步骤四设计的离散分数阶滑模面，计算相邻时刻滑动模态的误差项ΔS(k)；

步骤六、令误差项ΔS(k)＝0，并结合建立的离散化的直线电机平台系统模型，计算出离散分数阶滑模控制方法的等效控制率；

步骤七、根据设计的离散分数阶滑模面，提出基于终端滑模形式的切换控制率；

步骤八、根据等效控制率和切换控制率，得出离散分数阶滑模控制方法的控制输出u(k)；

步骤九、将控制输出u(k)代入离散化的直线电机平台系统模型，获得直线电机平台在k时刻基于离散分数阶滑模控制的轮廓位置及轮廓速度；

判断直线电机平台系统是否完成T个控制周期的轮廓跟踪，若是，则结束跟踪控制过程，反之，令k＝k+1，并返回步骤二(重复迭代步骤二至步骤九的过程)，直至直线电机平台系统完成T个控制周期的轮廓跟踪。

进一步地，所述离散化的直线电机平台系统模型如下：

其中，m为移动台的质量，k_m代表负载质量引起的增益变化，0≤k_m＜1，k_f表示电压-力放大器的增益，u(k)为离散分数阶滑模控制方法的控制输出，f(k)为集总的系统摩擦项，d(k)表示由未建模的系统动力学和外部干扰组成的集总不确定性，k_c和k_v分别是库伦摩擦因数和粘滞摩擦因数，V(k)为直线电机平台系统在k时刻的实际轮廓速度，sgn(·)为符号函数，ΔP(k)表示k时刻实际轮廓位置的差分，ΔV(k)表示k时刻实际轮廓速度的差分。

进一步地，所述步骤三中的轮廓位置误差为：

其中，

为k时刻的轮廓位置误差。

进一步地，所述步骤三中的轮廓速度误差为：

其中，

为k时刻的轮廓速度误差，V_r(k)为k时刻的参考轮廓速度。

进一步地，所述参考轮廓速度V_r(k)为：

其中，P_r(k+1)为直线电机平台系统在k+1时刻的参考轮廓位置。

进一步地，所述步骤四的具体过程为：

其中，S(k)为离散分数阶滑模面，c_i＞0，i＝1,2,3，Δ^α-1(·)为离散分数阶算子，0＜α＜1，sig(·)^β＝|·|^βsgn(·)，0＜β＜1。

进一步地，所述步骤五的具体过程为：

其中，

为k+1时刻的轮廓位置误差，

为k+1时刻的轮廓速度误差。

进一步地，所述离散分数阶滑模控制方法的等效控制率为：

其中，u_eq(k)为等效控制率，

ΔV_r(k)＝V_r(k+1)-V_r(k)，V_r(k+1)为k+1时刻的参考轮廓速度，

进一步地，所述切换控制率为：

u_sw(k)＝-Ψ{c₄S³(k)+c₅sig[S(k)]^γ}

其中，u_sw(k)为切换控制率，c₄,c₅＞0，0＜γ＜1。

更进一步地，所述步骤八的具体过程为：

u(k)＝u_eq(k)+u_sw(k)

其中，u(k)为离散分数阶滑模控制方法的控制输出。

本发明的有益效果是：

1、本发明所设计的离散分数阶滑模控制方法解决了传统连续时间控制方法不适合直接应用于数字处理器的弊端，能够有效避免连续时间轮廓跟踪控制方法的抖振影响，获得更稳定的控制效果。

2、本发明考虑到平台运动时所产生的库伦摩擦和粘性摩擦，创新性地设计了离散的分数阶滑模轮廓跟踪控制方法。得益于分数阶微积分的历史记忆效应，所设计控制方法的输出响应快速且平滑，本发明能够获得更好的轮廓跟踪控制效果和更高的控制精度，且通过平滑控制过程，可以减少超调和振荡消耗来节约控制成本。研究发现，本发明方法的均方根误差仅仅是传统方法均方根误差的1/20～1/10，有效提高了控制精度。

3、本发明根据设计的离散分数阶滑模面，提出了一种新型的切换控制率，可以自适应地调整切换控制输入，可以有效地提升直线电机平台跟踪不同参考轮廓时的精度，且能够保证在有限的采样步长内将系统状态轨迹驱动到预定的滑动面上。

4、本发明的离散分数阶滑模控制方法不仅适合数字控制，而且具有很强的鲁棒性和有效性。在工程实际中的非线性摩擦、系统不确定性及外界扰动存在的情况下，本发明依然能够保证直线电机平台的高速、高精度轮廓跟踪控制，具有很好的工程实用性。

附图说明

图1为本发明的用于直线电机平台轮廓跟踪的离散分数阶滑模控制方法的流程图；

图2为本发明方法跟踪余弦参考轮廓的位置跟踪响应图；

图3为本发明方法跟踪余弦参考轮廓的跟踪误差图。

具体实施方式

具体实施方式一、结合图1说明本实施方式。本实施方式所述的一种用于直线电机平台轮廓跟踪的离散分数阶滑模控制方法，能够有效解决传统连续时间控制方法与数字处理器不适配的问题，提升平台轮廓跟踪的控制精度，稳定控制过程，节约控制成本。此外，当考虑工程实际中的干扰和不确定性存在时，本发明方法依然能保证高速、高精度的轮廓跟踪控制性能。本发明方法具体包括以下步骤：

步骤一：设置控制方法的采样间隔h，获取采样时间为t＝kh，k为采样后的离散系统时间。针对直线电机平台系统，建立离散化的直线电机平台系统模型如下式。所述离散直线电机平台系统模型的输入为离散分数阶滑模控制方法的控制输出，输出为直线电机平台的轮廓位置。初始化平台系统的参考轮廓位置P_r(k)＝[p_r1(k),p_r2(k),p_r3(k)]^T，初始化平台系统的总控制周期T(k＝1,2,...,T)。

其中，m为移动台的质量，P和V是移动台的实际位置和速度，0≤k_m＜1代表负载质量引起的增益变化，k_f表示电压-力放大器的增益，d表示由未建模的系统动力学和外部干扰组成的集总不确定性。f(k)为集总的系统摩擦项，k_c和k_v分别是库伦摩擦因数和粘滞摩擦因数。

本实施方式中的直线电机平台可以是X-Y直线电机平台，X-Y直线电机平台具有三个运动轴，包括一个X轴和两个Y轴。

步骤二：采样获取直线电机平台系统在k时刻的实际轮廓位置P(k)＝[p₁(k),p₂(k),p₃(k)]^T与实际轮廓速度V(k)＝[v₁(k),v₂(k),v₃(k)]^T。

步骤三：根据所述实际轮廓位置和参考轮廓位置，计算平台系统的轮廓位置误差和轮廓速度误差：

其中，

为参考的轮廓速度。

步骤四：根据所述轮廓位置误差和轮廓速度误差，设计离散分数阶滑模面：

其中，0＜α＜1，0＜β＜1，c_i＞0(i＝1,2,3)，Δ^α-1(·)为离散分数阶算子，sig(·)^β＝|·|^βsgn(·)。

采用分数阶定义可以有效减弱超调和振荡，此外，滑模面属于终端滑模面形式，能够显著提高收敛速度和轮廓跟踪的动态性能。

步骤五：根据所述离散分数阶滑模面，计算相邻时刻滑动模态的误差项ΔS(k)：

步骤六：令ΔS(k)＝0，结合所述离散直线电机平台系统模型，计算得出离散分数阶滑模控制方法的等效控制率：

其中，

ΔV_r(k)＝V_r(k+1)-V_r(k)，

基于等效控制率，当系统状态到达滑模面时，将获得极佳的稳定性，能够渐进的收敛于平衡点，在此过程中具有很强的鲁棒性，尤其对于干扰和未建模动态的影响具有很好的不敏感性。

步骤七：根据所述离散分数阶滑模面，设计基于终端滑模形式的切换控制率：

u_sw(k)＝-Ψ{c₄S³(k)+c₅sig[S(k)]^γ}，

其中，c₄、c₅为可调参数，0＜γ＜1。

基于终端滑模形式的切换控制率，使得系统状态具有更好的收敛能力和动态性能，能够更快更好地收敛到滑模面上。

步骤八：根据所述等效控制率与切换控制率，得出离散分数阶滑模控制方法最终的控制输出：

u(k)＝u_eq(k)+u_sw(k)。

步骤九：根据所述离散分数阶滑模控制方法，代入所述离散直线电机平台系统模型，获得直线电机平台在k时刻基于离散分数阶滑模控制的轮廓位置及轮廓速度。判断平台是否完成T周期的轮廓跟踪，是则转至步骤十，反之则令k＝k+1，进行下一个控制周期，重复迭代步骤二至步骤九直至平台完成轮廓跟踪。

步骤十：完成所述的离散分数阶滑模控制流程，最后根据轮廓跟踪控制的仿真或实验结果对直线电机平台系统控制方法的相关参数进行调整，以获得最佳的参数c_i(i＝1，2，3，4,5),α,β,γ，利用获得的参数对直线电机平台的参考轮廓进行跟踪。

具体实施方式二：本实施方式是对具体实施方式一的进一步限定，所述离散分数阶算子根据Grünwald–Letnikov分数阶定义计算，其具体表达如下式：

其中，λ为任意实数，g(λ,j)为二项式表示如下

其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式是对具体实施方式二的进一步限定，考虑实际工程应用，采用了有限步长L来计算离散分数阶算子如下式，L为根据数字处理器内存和计算效率确定的正整数，由此离散分数阶滑模方法可以基于数字控制理念降低控制计算成本。

其中，系数之和可表示为

其它步骤及参数与具体实施方式二相同。

具体实施方式四：本实施方式是对具体实施方式一的进一步限定，直线电机平台系统模型可以具有其他形式，平台的轮廓位置与轮廓速度可以具有其他多维形式。当平台系统模型变化时，步骤六中的离散分数阶滑模方法的等效控制率也会随之更新。

其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

实施例

基于X-Y直线电机平台系统进行的轮廓跟踪控制实验。实验中，在直线电机平台施加有效载荷为3.3kg，设计余弦参考轮廓的跟踪实验如图2和图3所示，分别从位置跟踪响应和跟踪误差两方面与传统方法进行了对比分析(传统方法1为无抖振的离散滑模控制方法，传统方法2为离散终端滑模控制方法)。根据实验结果可以看出，在整个轮廓跟踪过程中，本发明方法对于实际工程中的不确定性具有更强的鲁棒性，对时变参考轮廓的跟踪效果更好，且相比于传统控制方法具有更高的跟踪精度(如图3)。即使当有效载荷或参考轮廓发生快速变化时，本发明方法仍然能够保证良好的轮廓跟踪性能(如图2放大部分)，因此本发明具有更好的实际应用价值。

本发明的上述算例仅为详细地说明本发明的计算模型和计算流程，而并非是对本发明的实施方式的限定。对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动，这里无法对所有的实施方式予以穷举，凡是属于本发明的技术方案所引伸出的显而易见的变化或变动仍处于本发明的保护范围之列。

Claims (7)

1.用于直线电机平台轮廓跟踪的离散分数阶滑模控制方法，其特征在于，所述方法具体包括以下步骤：

步骤一、针对直线电机平台系统建立离散化的直线电机平台系统模型；

设置离散分数阶滑模控制方法的采样间隔为h，获取采样时间为t＝kh，k为采样时刻；并初始化直线电机平台系统在k时刻的参考轮廓位置P_r(k)＝[p_r1(k),p_r2(k),…,p_rn(k)]^T，其中p_ri(k)代表直线电机平台系统第i个运动轴在k时刻的参考位置，i＝1,…,n，n为运动轴的个数，初始化直线电机平台系统的总控制周期T，k＝1,2,…,T；

步骤二、通过采样获取直线电机平台系统在k时刻的实际轮廓位置P(k)＝[p₁(k),p₂(k),...,p_n(k)]^T与实际轮廓速度V(k)＝[v₁(k),v₂(k),...,v_n(k)]^T，其中p_i(k)和v_i(k)分别代表直线电机平台系统第i个运动轴在k时刻的实际位置和实际速度；

步骤三、根据直线电机平台系统在k时刻的实际轮廓位置、参考轮廓位置以及实际轮廓速度，计算直线电机平台系统在k时刻的轮廓位置误差和轮廓速度误差；

步骤四、根据步骤三计算出的轮廓位置误差和轮廓速度误差，设计离散分数阶滑模面；

所述步骤四的具体过程为：

其中，S(k)为离散分数阶滑模面，c_i＞0，i＝1,2,3，Δ^α-1(·)为离散分数阶算子，0＜α＜1，sig(·)^β＝|·|^βsgn(·)，0＜β＜1；

其中，系数之和表示为

步骤五、根据步骤四设计的离散分数阶滑模面，计算相邻时刻滑动模态的误差项ΔS(k)；

步骤六、令误差项ΔS(k)＝0，并结合建立的离散化的直线电机平台系统模型，计算出离散分数阶滑模控制方法的等效控制率；

所述离散分数阶滑模控制方法的等效控制率为：

其中，u_eq(k)为等效控制率，

ΔV_r(k)＝V_r(k+1)-V_r(k)，V_r(k+1)为k+1时刻的参考轮廓速度，

步骤七、根据设计的离散分数阶滑模面，提出基于终端滑模形式的切换控制率；

所述切换控制率为：

u_sw(k)＝-Ψ{c₄S³(k)+c₅sig[S(k)]^γ}

其中，u_sw(k)为切换控制率，c₄,c₅＞0，0＜γ＜1；

步骤八、根据等效控制率和切换控制率，得出离散分数阶滑模控制方法的控制输出u(k)；

步骤九、将控制输出u(k)代入离散化的直线电机平台系统模型，获得直线电机平台在k时刻基于离散分数阶滑模控制的轮廓位置及轮廓速度；

判断直线电机平台系统是否完成T个控制周期的轮廓跟踪，若是，则结束跟踪控制过程，反之，令k＝k+1，并返回步骤二，直至直线电机平台系统完成T个控制周期的轮廓跟踪。

2.根据权利要求1所述的用于直线电机平台轮廓跟踪的离散分数阶滑模控制方法，其特征在于，所述离散化的直线电机平台系统模型如下：

其中，m为移动台的质量，k_m代表负载质量引起的增益变化，0≤k_m＜1，k_f表示电压-力放大器的增益，u(k)为离散分数阶滑模控制方法的控制输出，f(k)为集总的系统摩擦项，d(k)表示由未建模的系统动力学和外部干扰组成的集总不确定性，k_c和k_v分别是库伦摩擦因数和粘滞摩擦因数，V(k)为直线电机平台系统在k时刻的实际轮廓速度，sgn(·)为符号函数，ΔP(k)表示k时刻实际轮廓位置的差分，ΔV(k)表示k时刻实际轮廓速度的差分。

3.根据权利要求2所述的用于直线电机平台轮廓跟踪的离散分数阶滑模控制方法，其特征在于，所述步骤三中的轮廓位置误差为：

其中，

为k时刻的轮廓位置误差。

4.根据权利要求3所述的用于直线电机平台轮廓跟踪的离散分数阶滑模控制方法，其特征在于，所述步骤三中的轮廓速度误差为：

其中，

为k时刻的轮廓速度误差，V_r(k)为k时刻的参考轮廓速度。

5.根据权利要求4所述的用于直线电机平台轮廓跟踪的离散分数阶滑模控制方法，其特征在于，所述参考轮廓速度V_r(k)为：

其中，P_r(k+1)为直线电机平台系统在k+1时刻的参考轮廓位置。

6.根据权利要求5所述的用于直线电机平台轮廓跟踪的离散分数阶滑模控制方法，其特征在于，所述步骤五的具体过程为：

其中，

为k+1时刻的轮廓位置误差，

为k+1时刻的轮廓速度误差。

7.根据权利要求6所述的用于直线电机平台轮廓跟踪的离散分数阶滑模控制方法，其特征在于，所述步骤八的具体过程为：

u(k)＝u_eq(k)+u_sw(k)

其中，u(k)为离散分数阶滑模控制方法的控制输出。

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