CN113034639B - 一种基于可分离汉克尔矩阵的磁共振成像的图像重建方法 - Google Patents

一种基于可分离汉克尔矩阵的磁共振成像的图像重建方法 Download PDF

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Abstract

一种基于可分离汉克尔矩阵的磁共振成像的图像重建方法，涉及磁共振成像。提供通过利用多个可分离汉克尔矩阵的低秩特性来降低磁共振图像重建时间的一种基于可分离汉克尔矩阵的磁共振成像的图像重建方法。包括以下步骤：1)建立基于可分离汉克尔矩阵的图像重建模型；2)建立基于可分离汉克尔矩阵重建模型的求解算法；3)重建多通道磁共振图像，多通道合并后即得到基于可分离汉克尔矩阵的磁共振成像的图像。通过构建多个可分离的汉克尔矩阵来代替大规模结构化矩阵，以达到加快重建计算速度，减小重建所需内存的目的。通过约束多个可分离汉克尔矩阵的低秩性，来代替约束大规模结构化矩阵的低秩性，能够显著降低计算时间，减小计算内存。

Description

一种基于可分离汉克尔矩阵的磁共振成像的图像重建方法
技术领域
本发明涉及磁共振成像，尤其是涉及一种基于可分离汉克尔矩阵的磁共振成像的图像重建方法。
背景技术
磁共振成像被广泛应用在临床医疗诊断中。但是，磁共振成像需要较长时间来采集位于傅里叶空间的数据。稀疏采样重建可以从小于奈奎斯特采样率采集的数据中重建磁共振图像，因此可以用来缩短采样时间。
稀疏采样通过施加约束从欠采样数据中重建图像，其中稀疏和低秩是两种常用约束。稀疏约束通过寻找磁共振图像在预先构造或自适应字典基上的稀疏表示(Xiaobo Qu,Yingkun Hou,Fan Lam,Di Guo,Jianhui Zhong,Zhong Chen,"Magnetic resonance imagereconstruction from undersampled measurements using a patch-based nonlocaloperator,"Medical Image Analysis,vol.18,pp.843-856,2014.；Zongying Lai,XiaoboQu,Yunsong Liu,Di Guo,Jing Ye,Zhifang Zhan,Zhong Chen,"Image reconstructionof compressed sensing MRI using graph-based redundant wavelet transform,"Medical Image Analysis,vol.27,pp.93-104,2016)。典型的低秩约束(Bo Zhao,JustinP.Haldar,Anthony G.Christodoulou,Zhi-Pei Liang,"Image reconstruction fromhighly undersampled(k,t)-space data with joint partial separability andsparsity constraints,"IEEE Transactions on Medical Imaging,vol.31,pp.1809-1920,2012.)利用了多幅图像的低秩特性来重建磁共振图像。近些年，结构化矩阵低秩方法因其更低的重建误差，被广泛应用到磁共振图像重建中(Justin P.Haldar,"Low-rankmodeling of local k-space neighborhoods(LORAKS)for constrained MRI,"IEEETransaction on Medical Imaging,vol.33,pp.668-81,2014.；Greg Ongie,MathewsJacob,"Off-the-grid recovery of piecewise constant images from few Fouriersamples,"SIAM Journal on Imaging Sciences,vol.9,no.3,pp.1004-1041,2016；KyongHwanJin,Dongwook Lee,Jong Chul Ye,"A general framework for compressed sensingand parallel MRI using annihilating filter based low-rank Hankel matrix,"IEEETransactions on Computational Imaging,vol.2,pp.480-495,2016；Xinlin Zhang,DiGuo,Yiman Huang,Ying Chen,Liansheng Wang,Feng Huang,Qin Xu,Xiaobo Qu,"Imagereconstruction with low-rankness and self-consistency of k-space data inparallel MRI,"Medical Image Analysis,vol.63,p.101687,2020.)。但上述结构化矩阵低秩的方法需要构建大规模结构化矩阵或块汉克尔矩阵，这使得在重建计算过程中，计算耗时久，内存占用大。
发明内容
本发明的目的在于针对现有技术存在的上述问题，提供通过利用多个可分离汉克尔矩阵的低秩特性来降低磁共振图像重建时间的一种基于可分离汉克尔矩阵的磁共振成像的图像重建方法。
本发明包括以下步骤：
1)建立基于可分离汉克尔矩阵的图像重建模型；
2)建立基于可分离汉克尔矩阵重建模型的求解算法；
3)重建多通道磁共振图像，多通道合并后即得到基于可分离汉克尔矩阵的磁共振成像的图像。
在步骤1)中，所述建立基于可分离汉克尔矩阵的图像重建模型的具体方法可为：
Figure BDA0002987278380000021
其中，X＝[X1,...,Xj,...,XJ]表示待重建的所有线圈图像，其中Xj为待重建的第j个线圈的图像，大小为M×N，M、N和J分别表示多通道磁共振图像的行数、列数和通道数；
Figure BDA0002987278380000022
大小为N×J，
Figure BDA0002987278380000023
大小为M×J；其中，
Figure BDA0002987278380000024
表示由X第j个通道第m行的数据构成的列向量，
Figure BDA0002987278380000025
表示由X第j个通道第n列的数据构成的列向量；H表示把向量转换为汉克尔矩阵的算子，F1D表示对向量做一维傅里叶变换矩阵，W是一个对角矩阵，表示对向量进行加权，对角线元素为加权的权值，其权值通过一维稀疏变换的核函数的傅里叶变换得到；算子或矩阵上方的“～”表示对矩阵的每一列都进行相应的操作，即
Figure BDA0002987278380000026
Figure BDA0002987278380000027
算子
Figure BDA0002987278380000028
的下标“vc”表示构建基于虚拟线圈的汉克尔矩阵，算子
Figure BDA0002987278380000029
的具体操作可表示为：
Figure BDA00029872783800000210
其中上标
Figure BDA00029872783800000211
表示对向量进行沿中心翻转并取共轭的操作；Y表示采样数据并在未采样点进行填零操作后得到的傅里叶空间数据，U表示欠采样并在未采样的位置进行填零操作的算子，F2D表示对X的每个通道图像都进行二维傅里叶变换的算子；||·||*指矩阵的核范数，||·||F指矩阵的弗罗贝尼乌斯范数，||·||2指向量的二范数，λ与λ1是正则化参数。vec(X)＝[x1；…；xj；…；xJ]，表示待重建的所有线圈图像构成的列向量，其中，xj表示待重建的第j个线圈的图像Xj排列成的列向量。G是图像域校准数据一致性的矩阵，可以表示为：
Figure BDA0002987278380000031
其中，Ga,b是大小为MN×MN的矩阵，表示第b个线圈图像相对于第a个线圈图像的加权系数，I表示单位阵，大小为MNJ×MNJ。Ga,b可以通过自动校准数据计算得出。
在步骤2)中，所述建立基于可分离汉克尔矩阵重建模型的求解算法的具体方法可为：利用交替方向乘子法(Zhifang Zhan,Jian-Feng Cai,Di Guo,Yunsong Liu,ZhongChen,Xiaobo Qu,"Fast multi-class dictionaries learning with geometricaldirections in MRI reconstruction,"IEEE Transactions on BiomedicalEngineering,vol.63,pp.1850-1861,2016.)求解公式(1)中的最优化问题；引入中间变量
Figure BDA0002987278380000032
以及拉格朗日乘子
Figure BDA0002987278380000033
Figure BDA0002987278380000034
其中，<·,·>为内积；根据以下公式迭代更新(3)中的变量：
Figure BDA0002987278380000035
当达到最大迭代次数K或X在相邻两次迭代中的误差
Figure BDA0002987278380000041
小于设定的正数阈值μ时，迭代结束；上标“-1”表示求矩阵的逆，上标“*”表示伴随算子，上标“(k)”表示第k次迭代的解，X(k)，
Figure BDA0002987278380000042
分别表示变量X，
Figure BDA0002987278380000043
在第k次迭代时的值，
Figure BDA0002987278380000044
表示奇异值收缩算子，阈值为
Figure BDA0002987278380000045
参数λ，λ1，β和τ都是正数；初值化算法中，也就是k＝1时，
Figure BDA0002987278380000046
和
Figure BDA0002987278380000047
是值全为0的矩阵，
Figure BDA0002987278380000048
和
Figure BDA0002987278380000049
是值全为1的矩阵。
3)由步骤2)得到重建的多通道磁共振图像X，对重建的多通道磁共振图像X进行多通道合并，最终得到磁共振图像。
本发明通过构建多个可分离的汉克尔矩阵来代替大规模结构化矩阵，以达到加快重建计算速度，减小重建所需内存的目的。首先建立基于可分离汉克尔矩阵的图像重建模型，然后通过迭代算法重建磁共振的图像，最后将多通道图像通过合并得到最终重建的磁共振图像。本发明通过约束多个可分离汉克尔矩阵的低秩性，来代替约束大规模结构化矩阵的低秩性，因此能够显著降低计算时间，减小计算内存。
附图说明
图1是本发明实施例中对傅里叶空间数据进行欠采样的采样模板。在图1中，白色表示采样到的点，黑色表示未采样到的点。
图2是本发明重建的磁共振图像。
图3是全采样的磁共振图像。
具体实施方式
以下实施例将结合附图对本发明作进一步的说明，并给出重建结果。本实施例使用磁场强度为3特斯拉的磁共振成像仪对志愿者的大脑进行成像。全采样数据为磁共振成像全身扫描仪的4通道数据。本实施例使用的序列为T2加权快速自旋回波，全采样的直接维与间接维均为256个点，TR/TE＝6100ms/99ms，视野为220mm×220mm，层厚为3mm。采样模板(如图1所示)采样34％的数据，则采样的数据点为22272点。正则化参数λ＝104，λ1＝106。本实施例中，β＝1。具体步骤如下：
1)建立基于可分离汉克尔矩阵的图像重建模型：
Figure BDA0002987278380000051
其中，X＝[X1,...,Xj,...,XJ]表示待重建的所有线圈图像，其中Xj为待重建的第j个线圈的图像，大小为M×N，M、N和J分别表示多通道磁共振图像的行数、列数和通道数。本实施例中，M＝256，N＝256，J＝4。
Figure BDA0002987278380000052
大小为256×4，
Figure BDA0002987278380000053
大小为256×4。其中，
Figure BDA0002987278380000054
表示由X第j个通道第m行的数据构成的列向量，
Figure BDA0002987278380000055
表示由X第j个通道第n列的数据构成的列向量，这里m＝1,…,256，n＝1,…,256。
H表示把向量转换为汉克尔矩阵的算子，F1D表示对向量做一维傅里叶变换矩阵，W是一个对角矩阵，表示对向量进行加权，对角线元素为加权的权值，其权值通过一维稀疏变换的核函数的傅里叶变换得到。算子或矩阵上方的“～”表示对矩阵的每一列都进行相应的操作，即
Figure BDA0002987278380000056
算子
Figure BDA0002987278380000057
的下标“vc”表示构建基于虚拟线圈的汉克尔矩阵，算子
Figure BDA0002987278380000058
的具体操作可表示为：
Figure BDA0002987278380000059
其中上标
Figure BDA00029872783800000510
表示对向量进行沿中心翻转并取共轭的操作。Y表示采样数据并在未采样点进行填零操作后得到的傅里叶空间数据，U表示欠采样并在未采样的位置进行填零操作的算子，F2D表示对X的每个通道图像都进行二维傅里叶变换的算子。||·||*指矩阵的核范数，||·||F指矩阵的弗罗贝尼乌斯范数，||·||2指向量的二范数，λ与λ1是正则化参数。vec(X)＝[x1；…；xj；…；xJ]，表示待重建的所有线圈图像构成的列向量，其中，xj表示待重建的第j个线圈的图像Xj排列成的列向量。G是图像域校准数据一致性的矩阵，可以表示为：
Figure BDA00029872783800000511
其中，Ga,b是大小为MN×MN的矩阵，表示第b个线圈图像相对于第a个线圈图像的加权系数，I表示单位阵，大小为MNJ×MNJ。Ga,b可以通过自动校准数据计算得出。
2)建立基于可分离汉克尔矩阵重建模型的求解算法：
在步骤1)，所述建立基于可分离汉克尔矩阵重建模型的求解算法的具体方法可为：可以利用交替方向乘子法(Zhifang Zhan,Jian-Feng Cai,Di Guo,Yunsong Liu,ZhongChen,Xiaobo Qu,"Fast multi-class dictionaries learning with geometricaldirections in MRI reconstruction,"IEEE Transactions on BiomedicalEngineering,vol.63,pp.1850-1861,2016.)求解公式(1)中的最优化问题。引入中间变量
Figure BDA0002987278380000061
以及拉格朗日乘子
Figure BDA0002987278380000062
Figure BDA0002987278380000063
其中，<·,·>为内积。
根据以下公式迭代更新(3)中的变量：
Figure BDA0002987278380000064
当达到最大迭代次数K或X在相邻两次迭代中的误差
Figure BDA0002987278380000065
小于设定的正数阈值μ时，迭代结束。在本实施例中，K＝80，μ＝10-5。上标“-1”表示求矩阵的逆，上标“*”表示伴随算子，上标“(k)”表示第k次迭代的解，X(k)、
Figure BDA0002987278380000066
分别表示变量X，
Figure BDA0002987278380000067
在第k次迭代时的值，
Figure BDA0002987278380000068
表示奇异值收缩算子，阈值为
Figure BDA0002987278380000069
τ的取值为1。初值化算法中，也就是k＝1时，
Figure BDA00029872783800000610
和
Figure BDA00029872783800000611
是值全为0的矩阵，
Figure BDA00029872783800000612
和
Figure BDA00029872783800000613
是值全为1的矩阵。
3)由步骤2)得到重建的多通道磁共振图像X，对重建的多通道磁共振图像X进行多通道合并，最终得到磁共振图像。
表1给出基于块汉克尔矩阵的图像重建时间与按照本发明方法的图像重建时间对比。
表1
磁共振图像重建方法 重建耗时(单位：秒)
基于块汉克尔矩阵的磁共振图像重建方法 1090.3
本发明方法 80.3
由表1可见，本发明方法重建耗时明缩短，本发明通过构建多个可分离的汉克尔矩阵来代替大规模结构化矩阵，以达到加快重建计算速度，减小重建所需内存的目的。通过约束多个可分离汉克尔矩阵的低秩性，来代替约束大规模结构化矩阵的低秩性，因此能够显著降低计算时间，减小计算内存。
图2是本发明重建的磁共振图像，图3是全采样的磁共振图像。从图2和图3可以看出，本发明利用多个可分离汉克尔矩阵的低秩性，能够以较小误差重建欠采样磁共振图像，同时重建时间短，所需计算内存小。

Claims (1)

1.一种基于可分离汉克尔矩阵的磁共振成像的图像重建方法，其特征在于包括以下步骤：
1)建立基于可分离汉克尔矩阵的图像重建模型，具体方法为：
Figure FDA0003755612670000011
其中，X＝[X1,...,Xj,...,XJ]表示待重建的所有线圈图像，其中Xj为待重建的第j个线圈的图像，大小为M×N，M、N和J分别表示多通道磁共振图像的行数、列数和通道数；
Figure FDA0003755612670000012
大小为N×J，
Figure FDA0003755612670000013
大小为M×J；其中，
Figure FDA0003755612670000014
表示由X第j个通道第m行的数据构成的列向量，
Figure FDA0003755612670000015
表示由X第j个通道第n列的数据构成的列向量；H表示把向量转换为汉克尔矩阵的算子，F1D表示对向量做一维傅里叶变换矩阵，W是一个对角矩阵，表示对向量进行加权，对角线元素为加权的权值，其权值通过一维稀疏变换的核函数的傅里叶变换得到；算子或矩阵上方的“～”表示对矩阵的每一列都进行相应的操作，即
Figure FDA0003755612670000016
Figure FDA0003755612670000017
算子
Figure FDA0003755612670000018
的下标“vc”表示构建基于虚拟线圈的汉克尔矩阵，算子
Figure FDA00037556126700000112
的具体操作表示为：
Figure FDA0003755612670000019
其中上标
Figure FDA00037556126700000110
表示对向量进行沿中心翻转并取共轭的操作；Y表示采样数据并在未采样点进行填零操作后得到的傅里叶空间数据，U表示欠采样并在未采样的位置进行填零操作的算子，F2D表示对X的每个通道图像都进行二维傅里叶变换的算子；||·||*指矩阵的核范数，||·||F指矩阵的弗罗贝尼乌斯范数，||·||2指向量的二范数，λ与λ1是正则化参数；vec(X)＝[x1；…；xj；…；xJ]，表示待重建的所有线圈图像构成的列向量，其中，xj表示待重建的第j个线圈的图像Xj排列成的列向量；G是图像域校准数据一致性的矩阵，表示为：
Figure FDA00037556126700000111
其中，Ga,b是大小为MN×MN的矩阵，表示第b个线圈图像相对于第a个线圈图像的加权系数，I表示单位阵，大小为MNJ×MNJ；Ga,b通过自动校准数据计算得出；
2)建立基于可分离汉克尔矩阵重建模型的求解算法，具体方法为：
利用交替方向乘子法求解公式(1)中的最优化问题；引入中间变量
Figure FDA0003755612670000021
Figure FDA0003755612670000022
以及拉格朗日乘子
Figure FDA0003755612670000023
Figure FDA0003755612670000024
其中，<·,·>为内积；根据以下公式迭代更新(3)中的变量：
Figure FDA0003755612670000025
当达到最大迭代次数K或X在相邻两次迭代中的误差
Figure FDA0003755612670000026
小于设定的正数阈值μ时，迭代结束；上标“-1”表示求矩阵的逆，上标“*”表示伴随算子，上标“(k)”表示第k次迭代的解，X(k)，
Figure FDA0003755612670000027
分别表示变量X，
Figure FDA0003755612670000028
Figure FDA0003755612670000029
在第k次迭代时的值，
Figure FDA00037556126700000210
表示奇异值收缩算子，阈值为
Figure FDA00037556126700000211
参数λ，λ1，β和τ都是正数；初值化算法中，也就是k＝1时，
Figure FDA00037556126700000212
和
Figure FDA00037556126700000213
是值全为0的矩阵，
Figure FDA00037556126700000214
和
Figure FDA00037556126700000215
是值全为1的矩阵；
3)重建多通道磁共振图像，多通道合并后即得到基于可分离汉克尔矩阵的磁共振成像的图像。
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