CN113010841A - 基于数值化正交变换的任意孔径光学元件面形重构方法 - Google Patents

基于数值化正交变换的任意孔径光学元件面形重构方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了基于数值化正交变换的任意孔径光学元件面形重构方法，包括：获得任意孔径被测光学元件的面形数据以及各个面形数据点的位置；选用相应孔径形状的正交基函数，对正交基函数进行数值化正交变换；将变换后得到的正交多项式展开式表示为矩阵形式，数值化变换矩阵为M；引入中间矩阵Q；计算数值化变换矩阵M和数值化正交多项式数据矩阵F；将基函数线性组合形式表示为矩阵形式W＝Fa，根据模式化法计算面形数据矩阵W，计算面形系数矩阵a；由面形系数矩阵a对被测光学元件面形进行分析。本发明能够用于任意孔径形状且适应离散数据点的光学元件面形检测与分析，具有通用性和一般性。

Description

基于数值化正交变换的任意孔径光学元件面形重构方法
技术领域
本发明涉及光学元件面形分析方法，特别涉及一种基于数值化正交变换的任意孔径光学元件面形重构方法。
背景技术
在现代科学工程与空间载荷应用中，圆形孔径与非圆形孔径光学元件的应用非常广泛，例如我国神光装置中采用很多矩形孔径光学元件，地基式天文望远镜系统采用六边形拼接式镜面元件。针对不同孔径类型的光学元件面形重构分析，需要采用相应的孔径类型正交多项式来进行分析，具有一一对应性，现有的正交多项式分析方式包括泽尼克圆域正交多项式、泽尼克方形域正交多项式、泽尼克六边形正交多项式、切比雪夫方形域正交多项式和勒让德方形域正交多项式等。这类解析型正交多项式其本身的定义域是连续的，而在光学元件实际检测中所获得的面形数据都是离散的，使得解析型正交多项式的面形分析适应性降低，抗干扰能力减弱。
发明内容
发明目的：针对以上问题，本发明目的是提供一种基于数值化正交变换的任意孔径光学元件面形重构方法，适应光学元件离散波前或面形数据，且对任意孔径都具有适应性。
技术方案：本发明所述的一种基于数值化正交变换的任意孔径光学元件面形重构方法，包括：
(1)利用光学探测器获得任意孔径被测光学元件的面形数据以及各个面形数据点的位置；
(2)根据光学元件孔径形状，选用相应孔径形状的正交基函数，对正交基函数进行数值化正交变换；
(3)将变换后得到的正交多项式展开式表示为矩阵形式，数值化变换矩阵为M；
(4)引入中间矩阵Q，与变换矩阵的关系为M＝(QT)-1；
(5)计算数值化变换矩阵M和数值化正交多项式数据矩阵F；
(6)将基函数线性组合形式表示为矩阵形式W＝Fa，根据模式化法计算面形数据矩阵W，计算面形系数矩阵a；
(7)由面形系数矩阵a对被测光学元件面形进行分析。
所述步骤(1)中面形数据表示为W(xi,yi)，其中，(xi,yi)为归一化的坐标点，i为光学元件第i个面形数据点，面形数据点总数为N，采用模式化法将光学元件的面形数据表示为基函数线性组合的形式：
Figure BDA0002941527000000021
其中，Fj(xi,yi)为第j项基函数，aj为相应基函数的权重系数，在实际光学元件面形检测中，所用基函数的项数为有限多个，一般采用有限J项基函数进行面形数据分析。
所述步骤(2)中经过数值化正交变换后正交多项式线性组合的形式为：
Figure BDA0002941527000000022
其中，Zl(xi,yi)为正交基函数，l为正交基函数的序号，L为正交基函数的总项数，Mjl为数值化正交变换系数。
所述步骤(3)包括：
对于任意孔径被测光学元件有效孔径内的任意一个有效面形数据点(xi,yi)，将正交多项式线性组合多项式展开为：
Figure BDA0002941527000000023
将展开式表示为矩阵形式：
[F1(xi,yi)F2(xi,yi)…Fj(xi,yi)…FJ(xi,yi)]
＝[Z1(xi,yi)Z2(xi,yi)…Zl(xi,yi)…ZL(xi,yi)]M
其中，M为数值化变换矩阵，具体为：
Figure BDA0002941527000000031
进一步，对于任意孔径内所有N个有效的面形数据点表示为：
Figure BDA0002941527000000032
Figure BDA0002941527000000033
在步骤(2)中，基于数值化正交变换获得的Fj的数量与基函数Zl的数量是相等的，J＝L，将矩阵简写为矩阵表示形式为F＝ZMT，其中，F和Z分别为大小N×J的数值矩阵，Z为基函数的数据矩阵，F为数值化正交变换的数值化正交多项式数据矩阵，MT为变换矩阵M的转置矩阵，变换矩阵M的大小为J×J。
进一步，数值矩阵F具有归一化特征，FTF＝NI，其中I为J×J的单位矩阵；
将F＝ZMT代入FTF＝NI，得到FTF＝FTZMT＝NI；根据矩阵基本性质，矩阵FTZMT变化为(FTZMT)T＝MZTF＝MZTZMT＝(NI)T＝NI，从而得到MZTZMT＝NI。
所述步骤(4)包括：
将M＝(QT)-1代入MZTZMT＝NI，得到QTQ＝ZTZ/N，矩阵ZTZ是由正交完备基函数构成的对称且正定矩阵。
所述步骤(5)包括：
利用乔里斯基分解法获得中间矩阵Q，进而得到变化矩阵M，根据F＝ZMT得到数值化正交多项式的数值矩阵F。
所述步骤(6)包括：
将
Figure BDA0002941527000000041
表示为矩阵形式W＝Fa，面形矩阵a大小为J×1，W为N×1的所有有效面形数据点的数值矩阵，与被测元件的孔径形状无关；根据最小二乘法得到系数矩阵a，有效估计值为
Figure BDA0002941527000000042
所述步骤(1)中采用的光学探测器为CCD或CMOS。
有益效果：本发明与现有技术相比，其显著优点是：本发明能够用于任意孔径形状且适应离散数据点的光学元件面形检测与分析，具有通用性和一般性。
附图说明
图1为本发明流程图。
具体实施方式
如图1，本实施例所述的基于数值化正交变换的任意孔径光学元件面形重构方法，包括：
(1)对于任意孔径类型的光学元件，包括圆形孔径、方形孔径、六边形孔径或其他不规则形状孔径光学元件，通过CCD或CMOS探测器获得被测光学元件的面形数据以及各个面形数据点的位置。
面形数据表示为W(xi,yi)，其中，(xi,yi)为归一化的坐标点，i为光学元件第i个面形数据点，面形数据点总数为N，采用模式化法将光学元件的面形数据表示为基函数线性组合的形式
Figure BDA0002941527000000051
其中，Fj(xi,yi)为第j项基函数，aj为相应基函数的权重系数，在实际光学元件面形检测中，所用基函数的项数为有限多个，一般采用有限J项基函数进行面形数据分析。
(2)为了适应任意光学孔径形状且适应离散面形数据点，根据光学元件孔径形状，选用相应孔径形状的正交基函数，对正交基函数进行数值化正交变换；
经过数值化正交变换后正交多项式线性组合的形式为：
Figure BDA0002941527000000052
其中，Zl(xi,yi)为正交基函数，l为正交基函数的序号，L为正交基函数的总项数，Mjl为数值化正交变换系数。经过数值化正交变换，由具有连续定义域的解析正交多项式函数Zl变换为适应离散数据点的数值化正交多项式Fj。
(3)将变换后得到的正交多项式展开式表示为矩阵形式，数值化变换矩阵为M；
对于任意孔径被测光学元件有效孔径内的任意一个有效面形数据点(xi,yi)，将正交多项式线性组合多项式展开为：
Figure BDA0002941527000000053
将展开式表示为矩阵形式：
[F1(xi,yi)F2(xi,yi)…Fj(xi,yi)…FJ(xi,yi)]
＝[Z1(xi,yi)Z2(xi,yi)…Zl(xi,yi)…ZL(xi,yi)]M
其中，M为数值化变换矩阵，具体为：
Figure BDA0002941527000000061
对于任意孔径内所有N个有效的面形数据点表示为：
Figure BDA0002941527000000062
在步骤(2)中，基于数值化正交变换获得的Fj的数量与基函数Zl的数量是相等的，J＝L，将矩阵简写为矩阵表示形式为F＝ZMT，其中，F和Z分别为大小N×J的数值矩阵，Z为基函数的数据矩阵，F为数值化正交变换的数值化正交多项式数据矩阵，MT为变换矩阵M的转置矩阵，变换矩阵M的大小为J×J。
数值矩阵F具有归一化特征，FTF＝NI，其中I为J×J的单位矩阵；将F＝ZMT代入FTF＝NI，得到FTF＝FTZMT＝NI；根据矩阵基本性质，矩阵FTZMT变化为(FTZMT)T＝MZTF＝MZTZMT＝(NI)T＝NI，从而得到MZTZMT＝NI。
(4)引入中间矩阵Q，与变换矩阵的关系为M＝(QT)-1；
将M＝(QT)-1代入MZTZMT＝NI，得到QTQ＝ZTZ/N，矩阵ZTZ是由正交完备基函数构成的对称且正定矩阵。
(5)计算数值化变换矩阵M和数值化正交多项式数据矩阵F；
利用乔里斯基分解法获得中间矩阵Q，进而得到变化矩阵M，根据F＝ZMT得到数值化正交多项式的数值矩阵F。
(6)将基函数线性组合形式表示为矩阵形式W＝Fa，根据模式化法计算面形数据矩阵W，计算面形系数矩阵a；
将
Figure BDA0002941527000000071
表示为矩阵形式W＝Fa，面形矩阵a大小为J×1，W为N×1的所有有效面形数据点的数值矩阵，与被测元件的孔径形状无关；根据最小二乘法得到系数矩阵a，有效估计值为
Figure BDA0002941527000000072
(7)由面形系数矩阵a对被测光学元件面形进行分析。

Claims (10)

1.基于数值化正交变换的任意孔径光学元件面形重构方法，其特征在于，包括：
(1)利用光学探测器获得任意孔径被测光学元件的面形数据以及各个面形数据点的位置；
(2)根据光学元件孔径形状，选用相应孔径形状的正交基函数，对正交基函数进行数值化正交变换；
(3)将变换后得到的正交多项式展开式表示为矩阵形式，数值化变换矩阵为M；
(4)引入中间矩阵Q，与变换矩阵的关系为M＝(QT)-1；
(5)计算数值化变换矩阵M和数值化正交多项式数据矩阵F；
(6)将基函数线性组合形式表示为矩阵形式W＝Fa，根据模式化法计算面形数据矩阵W，计算面形系数矩阵a；
(7)由面形系数矩阵a对被测光学元件面形进行分析。
2.根据权利要求1所述的任意孔径光学元件面形重构方法，其特征在于，所述步骤(1)中面形数据表示为W(xi,yi)，其中，(xi,yi)为归一化的坐标点，i为光学元件第i个面形数据点，面形数据点总数为N，采用模式化法将光学元件的面形数据表示为基函数线性组合的形式：
Figure FDA0002941526990000011
其中，Fj(xi,yi)为第j项基函数，aj为相应基函数的权重系数，在实际光学元件面形检测中，所用基函数的项数为有限多个，一般采用有限J项基函数进行面形数据分析。
3.根据权利要求1所述的任意孔径光学元件面形重构方法，其特征在于，所述步骤(2)中经过数值化正交变换后正交多项式线性组合的形式为：
Figure FDA0002941526990000012
其中，Zl(xi,yi)为正交基函数，l为正交基函数的序号，L为正交基函数的总项数，Mjl为数值化正交变换系数。
4.根据权利要求3所述的任意孔径光学元件面形重构方法，其特征在于，所述步骤(3)包括：
对于任意孔径被测光学元件有效孔径内的任意一个有效面形数据点(xi,yi)，将正交多项式线性组合多项式展开为：
Figure FDA0002941526990000021
将展开式表示为矩阵形式：
[F1(xi,yi) F2(xi,yi)…Fj(xi,yi)…FJ(xi,yi)]＝[Z1(xi,yi) Z2(xi,yi)…Zl(xi,yi)…ZL(xi,yi)]M
其中，M为数值化变换矩阵，具体为：
Figure FDA0002941526990000022
5.根据权利要求4所述的任意孔径光学元件面形重构方法，其特征在于，对于任意孔径内所有N个有效的面形数据点表示为：
Figure FDA0002941526990000031
Figure FDA0002941526990000032
在步骤(2)中，基于数值化正交变换获得的Fj的数量与基函数Zl的数量是相等的，J＝L，将矩阵简写为矩阵表示形式为F＝ZMT，其中，F和Z分别为大小N×J的数值矩阵，Z为基函数的数据矩阵，F为数值化正交变换的数值化正交多项式数据矩阵，MT为变换矩阵M的转置矩阵，变换矩阵M的大小为J×J。
6.根据权利要求5所述的任意孔径光学元件面形重构方法，其特征在于，数值矩阵F具有归一化特征，FTF＝NI，其中I为J×J的单位矩阵；
将F＝ZMT代入FTF＝NI，得到FTF＝FTZMT＝NI；根据矩阵基本性质，矩阵FTZMT变化为(FTZMT)T＝MZTF＝MZTZMT＝(NI)T＝NI，从而得到MZTZMT＝NI。
7.根据权利要求6所述的任意孔径光学元件面形重构方法，其特征在于，所述步骤(4)包括：
将M＝(QT)-1代入MZTZMT＝NI，得到QTQ＝ZTZ/N，矩阵ZTZ是由正交完备基函数构成的对称且正定矩阵。
8.根据权利要求7所述的任意孔径光学元件面形重构方法，其特征在于，所述步骤(5)包括：
利用乔里斯基分解法获得中间矩阵Q，进而得到变化矩阵M，根据F＝ZMT得到数值化正交多项式的数值矩阵F。
9.根据权利要求2所述的任意孔径光学元件面形重构方法，其特征在于，所述步骤(6)包括：
将
Figure FDA0002941526990000041
表示为矩阵形式W＝Fa，面形矩阵a大小为J×1，W为N×1的所有有效面形数据点的数值矩阵，与被测元件的孔径形状无关；根据最小二乘法得到系数矩阵a，有效估计值为
Figure FDA0002941526990000042
10.根据权利要求1所述的任意孔径光学元件面形重构方法，其特征在于，所述步骤(1)中采用的光学探测器为CCD或CMOS。
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